Tuletise teooria. Tuletisgraafiku lugemine

B8. Ühtne riigieksam

1. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis, mille abstsiss on x0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0. Vastus: 2

2.

Vastus: -5

3.

Intervalli peal (–9;4).

Vastus: 2

4.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0 Vastus: 0,5

5. Leidke sirge y = 3x + 8 puutumispunkt ja funktsiooni y = x3+x2-5x-4 graafik. Oma vastuses märkige selle punkti abstsiss. Vastus: -2

6.

Määrake argumendi täisarvude arv, mille puhul funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne. Vastus: 4

7.

Vastus: 2

8.

Leia punktide arv, milles funktsiooni f(x) graafiku puutuja on paralleelne sirgega y=5–x või langeb sellega kokku. Vastus: 3

9.

Intervall (-8; 3).

Sirge y = -20. Vastus: 2

10.

Vastus: -0,5

11

Vastus: 1

12. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0. Vastus: 0,5

13. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0. Vastus: -0,25

14.

Leidke punktide arv, milles funktsiooni f(x) graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = x+7 või langeb sellega kokku. Vastus: 4

15

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0. Vastus: -2

16.

intervall (-14;9).

Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv lõigul [-12;7]. Vastus: 3

17

intervallil (-10;8).

Leia funktsiooni f(x) ekstreemumipunktide arv lõigul [-9;7]. Vastus: 4

18. Sirge y = 5x-7 puudutab funktsiooni y = 6x2 + bx-1 graafikut punktis, mille abstsiss on väiksem kui 0. Leia b. Vastus: 17

19

Vastus:-0,25

20

Vastus: 6

21. Leia funktsiooni y=x2+6x-7 graafiku puutuja, mis on paralleelne sirgega y=5x+11. Oma vastuses märkige puutepunkti abstsiss. Vastus: -0,5

22.

Vastus: 4

23. f "(x) intervallil (-16;4).

Lõigul [-11;0] leidke funktsiooni maksimumpunktide arv. Vastus: 1

B8 Funktsioonide graafikud, funktsioonide tuletised. Funktsiooniuuringud . Ühtne riigieksam

1. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis, mille abstsiss on x0. Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

2. Joonisel on kujutatud intervallil (-6; 5) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik.

Millises lõigu punktis [-5; -1] f(x) võtab väikseima väärtuse?

3. Joonisel on defineeritud funktsiooni y = f(x) tuletise graafik

Intervalli peal (–9;4).

Leidke punktide arv, milles funktsiooni f(x) graafiku puutuja on paralleelne sirgega

y = 2x-17 või langeb sellega kokku.

4. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0

5. Leidke sirge y = 3x + 8 puutumispunkt ja funktsiooni y = x3+x2-5x-4 graafik. Oma vastuses märkige selle punkti abstsiss.

6. Joonisel on kujutatud intervallil (-7; 5) defineeritud funktsiooni y = f(x) graafik.

Määrake argumendi täisarvude arv, mille puhul funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne.

7. Joonisel on kujutatud intervallil (-8; 8) defineeritud funktsiooni y=f "(x) graafik.

Leia lõiku [-4] kuuluva funktsiooni f(x) ekstreemumipunktide arv; 6].

8. Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f "(x) graafik, mis on defineeritud vahemikus (-8; 4).

Leia punktide arv, milles funktsiooni f(x) graafiku puutuja on paralleelne sirgega y=5–x või langeb sellega kokku.

9. Joonisel on defineeritud funktsiooni y = f(x) tuletise graafik

Intervall (-8; 3).

Leia punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne

Sirge y = -20.

10. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

11 . Joonisel on kujutatud intervallil (-9;9) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik.

Leia funktsiooni $f(x)$ miinimumpunktide arv intervallil [-6;8]. 1

12. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

13. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

14. Joonisel on kujutatud intervallil (-6;8) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik.

Leidke punktide arv, milles funktsiooni f(x) graafiku puutuja on paralleelne sirgega y = x+7 või langeb sellega kokku.

15 . Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle puutuja punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

16. Joonisel on defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik

intervall (-14;9).

Leia funktsiooni f(x) maksimumpunktide arv lõigul [-12;7].

17 . Joonisel on defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik

intervallil (-10;8).

Leia funktsiooni f(x) ekstreemumipunktide arv lõigul [-9;7].

18. Sirge y = 5x-7 puudutab funktsiooni y = 6x2 + bx-1 graafikut punktis, mille abstsiss on väiksem kui 0. Leia b.

19 . Joonisel on kujutatud funktsiooni f(x) tuletise ja selle puutuja graafik punktis, mille abstsiss on x0.

Leia funktsiooni f(x) tuletise väärtus punktis x0.

20 . Leia punktide arv intervallil (-1;12), mille korral graafikul näidatud funktsiooni y = f(x) tuletis võrdub 0-ga.

21. Leia funktsiooni y=x2+6x-7 graafiku puutuja, mis on paralleelne sirgega y=5x+11. Oma vastuses märkige puutepunkti abstsiss.

22. Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik. Leia täisarvu punktide arv intervallis (-2;11), mille juures funktsiooni f(x) tuletis on positiivne.

23. Joonisel on kujutatud funktsiooni y= graafik f "(x) intervallil (-16;4).

Lõigul [-11;0] leidke funktsiooni maksimumpunktide arv.

Tere! Lööme eelseisvale ühtsele riigieksamile kvaliteetse süstemaatilise ettevalmistuse ja järjekindlusega teaduse graniidi lihvimisel!!! INPostituse lõpus on võistlusülesanne, ole esimene! Ühes selle jaotise artiklis sina ja mina, kus on antud funktsiooni graafik ja tõstatatud erinevaid küsimusi ekstreemide, suurenemise (vähenemise) intervallide ja muude kohta.

Selles artiklis käsitleme matemaatika ühtses riigieksamis sisalduvaid probleeme, milles on antud funktsiooni tuletise graafik ja esitatakse järgmised küsimused:

1. Millises segmendi punktis omandab funktsioon suurima (või väikseima) väärtuse.

2. Leia antud lõiku kuuluvate funktsiooni maksimaalsete (või minimaalsete) punktide arv.

3. Leia antud lõiku kuuluvate funktsiooni ekstreemumipunktide arv.

4. Leia antud lõiku kuuluva funktsiooni äärmuspunkt.

5. Leidke suureneva (või kahaneva) funktsiooni intervallid ja märkige vastuses nendesse intervallidesse kuuluvate täisarvude punktide summa.

6. Leia funktsiooni suurenemise (või vähenemise) intervallid. Oma vastuses märkige nendest intervallidest suurima pikkus.

7. Leidke punktide arv, milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne või langeb kokku sirgega, mille kuju on y = kx + b.

8. Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne abstsissteljega või langeb sellega kokku.

Küsimusi võib olla ka teisi, kuid need ei tekita teile raskusi, kui mõistate ja (artiklitele on toodud lingid, mis pakuvad lahenduseks vajalikku teavet, soovitan neid korrata).

Põhiteave (lühidalt):

1. Suurenevate intervallidega tuletis on positiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil suureneb.

2. Vähenevate intervallidega on tuletis negatiivse märgiga.

Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.

3. Tuletis punktis x on võrdne funktsiooni graafikule samas punktis tõmmatud puutuja kaldega.

4. Funktsiooni ekstreemumi (maksimum-miinimum) punktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne x-teljega.

Seda tuleb selgelt mõista ja meeles pidada!!!

Tuletisgraafik ajab paljud inimesed segadusse. Mõned inimesed peavad seda kogemata ekslikult funktsiooni enda graafikuks. Seetõttu keskenduge sellistes hoonetes, kus näete, et graafik on antud, tingimusel koheselt sellele, mis on antud: funktsiooni graafikule või funktsiooni tuletise graafikule?

Kui see on funktsiooni tuletise graafik, käsitlege seda funktsiooni enda "peegeldusena", mis lihtsalt annab teile selle funktsiooni kohta teavet.

Mõelge ülesandele:

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervalliga (–2;21).

Vastame järgmistele küsimustele:

1. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X) võtab suurima väärtuse.

Antud intervallil on funktsiooni tuletis negatiivne, mis tähendab, et sellel intervallil olev funktsioon väheneb (väheneb intervalli vasakust piirist paremale). Seega saavutatakse funktsiooni suurim väärtus lõigu vasakpoolsel piiril, st punktis 7.

Vastus: 7

2. Millises lõigu punktis funktsioon asub f(X)

Selle tuletisgraafiku põhjal saame öelda järgmist. Antud intervallil on funktsiooni tuletis positiivne, mis tähendab, et sellel intervallil olev funktsioon suureneb (see suureneb intervalli vasakust piirist paremale). Seega saavutatakse funktsiooni väikseim väärtus segmendi vasakpoolsel piiril, st punktis x = 3.

Vastus: 3

3. Leia funktsiooni maksimumpunktide arv f(X)

Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletismärk muutub positiivsest negatiivseks. Mõelgem, kus märk sel viisil muutub.

Segmendil (3;6) on tuletis positiivne, segmendil (6;16) negatiivne.

Segmendil (16;18) on tuletis positiivne, segmendil (18;20) negatiivne.

Seega on antud lõigul funktsioonil kaks maksimaalset punkti x = 6 ja x = 18.

Vastus: 2

4. Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X), mis kuulub segmenti.

Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletismärk muutub negatiivsest positiivseks. Meie tuletis on intervallil (0;3) negatiivne ja intervallil (3;4) positiivne.

Seega on lõigul funktsioonil ainult üks miinimumpunkt x = 3.

*Vastuse kirja panemisel olge ettevaatlik – märgitakse punktide arv, mitte x väärtus, sellise vea võib teha tähelepanematusest.

Vastus: 1

5. Leia funktsiooni äärmuspunktide arv f(X), mis kuulub segmenti.

Pange tähele, mida peate leidma kogusäärmuspunktid (need on nii maksimum- kui ka miinimumpunktid).

Ekstreemumipunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Tingimuses antud graafikul on need funktsiooni nullpunktid. Tuletis kaob punktides 3, 6, 16, 18.

Seega on funktsioonil lõigul 4 ekstreemumipunkti.

Vastus: 4

6. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Selle funktsiooni suurendamise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel selle tuletis on positiivne, st intervallidele (3;6) ja (16;18). Pange tähele, et intervalli piire see ei sisalda (ümmargused sulud - piirid ei sisaldu intervallis, nurksulud - kaasas). Need intervallid sisaldavad täisarvu punkte 4, 5, 17. Nende summa on: 4 + 5 + 17 = 26

Vastus: 26

7. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X) etteantud intervalliga. Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Funktsiooni kahanevad intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Selles ülesandes on need intervallid (–2;3), (6;16), (18:21).

Need intervallid sisaldavad järgmisi täisarvu punkte: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Nende summa on:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Vastus: 140

*Pöörake tähelepanu tingimusele: kas piirid sisalduvad intervallis või mitte. Kui piirid on kaasatud, siis tuleb lahendusprotsessis arvestatavate intervallidega ka neid piire arvesse võtta.

8. Leia suureneva funktsiooni intervallid f(X)

Funktsiooni suurenemise intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on positiivne. Oleme need juba märkinud: (3;6) ja (16:18). Suurim neist on intervall (3;6), selle pikkus on 3.

Vastus: 3

9. Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.

Funktsiooni kahanevad intervallid f(X) vastavad intervallidele, millel funktsiooni tuletis on negatiivne. Oleme need juba ära märkinud, need on intervallid (–2;3), (6;16), (18;21), nende pikkused on vastavalt 5, 10, 3.

Suurima pikkus on 10.

Vastus: 10

10. Leia punktide arv, kus funktsiooni graafiku puutuja f(X) paralleelne või langeb kokku sirgega y = 2x + 3.

Tuletise väärtus puutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne sirgega y = 2x + 3 või langeb sellega kokku, on nende nurkkoefitsiendid võrdsed 2. See tähendab, et tuleb leida punktide arv, kus y′(x 0) = 2. Geomeetriliselt vastab see tuletisgraafiku lõikepunktide arvule sirgega y = 2. Sel intervallil on 4 sellist punkti.

Vastus: 4

11. Leia funktsiooni äärmuspunkt f(X), mis kuulub segmenti.

Funktsiooni äärmuspunkt on punkt, kus selle tuletis on võrdne nulliga ja selle punkti läheduses muutub tuletis märki (positiivsest negatiivseks või vastupidi). Segmendil lõikub tuletisgraafik x-teljega, tuletis muudab märgi negatiivsest positiivseks. Seetõttu on punkt x = 3 äärmuspunkt.

Vastus: 3

12. Leidke nende punktide abstsissid, milles graafiku puutujad y = f (x) on paralleelsed abstsissteljega või langevad sellega kokku. Oma vastuses märkige neist suurim.

Graafiku puutuja y = f (x) võib olla paralleelne abstsissteljega või sellega kokku langeda ainult punktides, kus tuletis on võrdne nulliga (need võivad olla äärmuspunktid või statsionaarsed punktid, mille läheduses tuletis on ei muuda oma märki). See graafik näitab, et tuletis on punktides 3, 6, 16,18 null. Suurim on 18.

Saate oma arutluskäiku struktureerida järgmiselt:

Tuletise väärtus puutepunktis on võrdne puutuja kaldega. Kuna puutuja on paralleelne x-teljega või langeb sellega kokku, on selle kalle 0 (tõepoolest, nullkraadise nurga puutuja on null). Seetõttu otsime punkti, kus kalle on võrdne nulliga ja seetõttu on tuletis võrdne nulliga. Tuletis on võrdne nulliga punktis, kus selle graafik lõikub x-teljega, ja need on punktid 3, 6, 16, 18.

Vastus: 18

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervalliga (–8;4). Millises lõigu [–7;–3] punktis funktsioon asub f(X) võtab väikseima väärtuse.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervalliga (–7;14). Leia funktsiooni maksimaalsete punktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–6;9].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervallil (–18;6). Leia funktsiooni miinimumpunktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–13;1].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), mis on määratletud intervallil (–11; –11). Leia funktsiooni äärmuspunktide arv f(X), mis kuulub segmenti [–10; -10].

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervalliga (–7;4). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), määratletud intervalliga (–5;7). Leia kahaneva funktsiooni intervallid f(X). Oma vastuses märkige nendes intervallides sisalduvate täisarvude punktide summa.

Joonisel on kujutatud graafik y =f"(X)- funktsiooni tuletis f(X), defineeritud intervallil (–11;3). Leia funktsiooni suurenemise intervallid f(X). Oma vastuses märkige neist suurima pikkus.

F Joonisel on kujutatud graafik

Probleemi tingimused on samad (mida me kaalusime). Leidke kolme arvu summa:

1. Funktsiooni f (x) ekstreemumite ruutude summa.

2. Funktsiooni f (x) maksimumpunktide summa ja miinimumpunktide summa ruutude vahe.

3. Sirgjoonega y = –3x + 5 paralleelsete puutujate arv f (x).

Esimesena õige vastuse andja saab ergutusauhinna 150 rubla. Kirjutage oma vastused kommentaaridesse. Kui see on teie esimene kommentaar blogis, ei ilmu see kohe, vaid veidi hiljem (ärge muretsege, kommentaari kirjutamise aeg salvestatakse).

Edu sulle!

Parimate soovidega Aleksander Krutitsikh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Joonisel on graafik funktsiooni f(x) tuletisest, mis on defineeritud intervallil [–5; 6]. Leidke f(x) graafikul nende punktide arv, millest igaühe juures funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja langeb kokku või on paralleelne x-teljega

Joonisel on kujutatud diferentseeruva funktsiooni y = f(x) tuletise graafik.

Leia funktsioonigraafikult punktide arv, mis kuuluvad lõigu [–7; 7], milles funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne võrrandiga y = –3x määratud sirgega.

Materjalipunkt M hakkab liikuma punktist A ja liigub sirgjooneliselt 12 sekundit. Graafik näitab, kuidas kaugus punktist A punkti M muutus aja jooksul. Abstsisstelg näitab aega t sekundites ja ordinaattelg näitab kaugust s meetrites. Määrata, mitu korda liikumise jooksul punkti M kiirus nulliks pöördus (ei arvesta liikumise algust ja lõppu).

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) ja selle puutuja graafiku lõiked punktis, mille abstsiss on x = 0. On teada, et see puutuja on paralleelne graafiku punkte läbiva sirgega abstsissiga x = -2 ja x = 3. Seda kasutades leidke tuletise f"(o) väärtus.

Joonisel on kujutatud graafik y = f’(x) – funktsiooni f(x) tuletis, mis on defineeritud lõigul (−11; 2). Leidke selle punkti abstsiss, kus funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja on abstsissiga paralleelne või langeb sellega kokku.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites, mõõdetuna liikumise algusest. Mis ajahetkel (sekundites) oli selle kiirus võrdne 2 m/s?

Materiaalne punkt liigub mööda sirgjoont algpositsioonist lõppasendisse. Joonisel on selle liikumise graafik. Abstsisstelg näitab aega sekundites ja ordinaattelg näitab kaugust punkti algsest asukohast (meetrites). Leidke punkti keskmine kiirus. Esitage oma vastus meetrites sekundis.

Funktsioon y = f (x) on defineeritud intervallil [-4; 4]. Joonisel on selle tuletise graafik. Leia funktsiooni y = f (x) graafikult punktide arv, mille puutuja moodustab Ox-telje positiivse suunaga 45° nurga.

Funktsioon y = f (x) on defineeritud intervallil [-2; 4]. Joonisel on selle tuletise graafik. Leia funktsiooni y = f (x) graafikult punkti abstsiss, mille juures see võtab lõigul [-2; -0,001].

Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja on antud võrrandiga y = -2x + 15. Leia funktsiooni y = -(1/4)f(x) + 5 tuletise väärtus punktis x0.

Diferentseeruva funktsiooni y = f (x) graafikule on märgitud seitse punkti: x1,.., x7. Leia kõik märgitud punktid, kus funktsiooni f(x) tuletis on suurem kui null. Oma vastuses märkige nende punktide arv.

Joonisel on näidatud intervallil (-10; 2) defineeritud funktsiooni f(x) tuletise graafik y = f"(x). Leia punktide arv, kus funktsiooni f graafiku puutuja (x) on paralleelne sirgega y = -2x-11 või langeb sellega kokku.

Joonisel on kujutatud graafik y=f"(x) - funktsiooni f(x) tuletis. Abstsissteljele on märgitud üheksa punkti: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Kui paljud neist punktidest kuuluvad kahaneva funktsiooni f(x) intervallidesse?

Joonisel on kujutatud funktsiooni y = f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja on antud võrrandiga y = 1,5x + 3,5. Leia funktsiooni y = 2f(x) - 1 tuletise väärtus punktis x0.

Joonisel on kujutatud funktsiooni f (x) ühe antiderivaadi graafik y=F(x). Graafikule on märgitud kuus punkti abstsissidega x1, x2, ..., x6. Mitmes neist punktidest saab funktsioon y=f(x) negatiivseid väärtusi?

Joonisel on kujutatud marsruudil liikuva auto graafikut. Abstsisstelg näitab aega (tundides) ja ordinaattelg näitab läbitud vahemaad (kilomeetrites). Leidke auto keskmine kiirus sellel marsruudil. Esitage oma vastus km/h

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kus x on kaugus võrdluspunktist (meetrites), t on aeg liikumisest (sekundites). Leia selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t=6 s

Joonisel on kujutatud mingi funktsiooni y = f(x) antiderivaadi y = F(x) graafik, mis on defineeritud vahemikus (-6; 7). Määrake joonise abil funktsiooni f(x) nullide arv sellel intervallil.

Joonisel on graafik y = F(x) mõne funktsiooni f(x) antiderivaadist, mis on defineeritud vahemikus (-7; 5). Joonist kasutades määrake võrrandi f(x) = 0 lahendite arv intervallil [- 5; 2].

Joonisel on diferentseeruva funktsiooni y=f(x) graafik. X-teljele on märgitud üheksa punkti: x1, x2, ... x9. Leia kõik märgitud punktid, kus funktsiooni f(x) tuletis on negatiivne. Oma vastuses märkige nende punktide arv.

Materiaalne punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele x(t)=12t^3−3t^2+2t, kus x on kaugus võrdluspunktist meetrites, t on aeg sekundites mõõdetuna liikumise algusest. Leia selle kiirus (meetrites sekundis) ajahetkel t=6 s.

Joonisel on kujutatud funktsiooni y=f(x) graafik ja selle graafiku puutuja, mis on tõmmatud punktis x0. Puutuja võrrand on näidatud joonisel. leida funktsiooni y=4*f(x)-3 tuletise väärtus punktis x0.

Kujutagem ette künklikku ala läbivat sirget teed. See tähendab, et see läheb üles ja alla, kuid ei pööra paremale ega vasakule. Kui telg on suunatud horisontaalselt piki teed ja vertikaalselt, on teejoon väga sarnane mõne pideva funktsiooni graafikuga:

Telg on teatud nullkõrguse tase; elus kasutame sellena merepinda.

Mööda sellist teed edasi liikudes liigume ka üles või alla. Võime ka öelda: kui argument muutub (liikumine mööda abstsisstellge), muutub funktsiooni väärtus (liikumine mööda ordinaattelge). Mõelgem nüüd sellele, kuidas määrata meie tee “järsust”? Mis väärtus see võiks olla? See on väga lihtne: kui palju kõrgus teatud vahemaa võrra edasi liikudes muutub. Tõepoolest, erinevatel teelõikudel, liikudes edasi (piki x-telge) ühe kilomeetri võrra, tõuseme või langeme merepinna suhtes (mööda y-telge) erineva arvu meetreid.

Tähistame edusamme (loe "delta x").

Kreeka tähte (delta) kasutatakse matemaatikas tavaliselt eesliitena, mis tähendab "muutust". See tähendab - see on koguse muutus, - muutus; mis see siis on? See on õige, suurusjärgu muutus.

Tähtis: avaldis on üks tervik, üks muutuja. Ärge kunagi eraldage "delta" tähest "x" või mis tahes muust tähest! See tähendab näiteks.

Niisiis, oleme liikunud edasi, horisontaalselt, võrra. Kui võrrelda tee joont funktsiooni graafikuga, siis kuidas tähistada tõusu? Kindlasti,. See tähendab, et edasi liikudes tõuseme kõrgemale.

Väärtust on lihtne arvutada: kui alguses olime kõrgusel ja pärast liikumist avastasime end kõrguselt, siis. Kui lõpp-punkt on alguspunktist madalam, on see negatiivne - see tähendab, et me ei tõuse, vaid laskume.

Pöördume tagasi "järsuse" juurde: see on väärtus, mis näitab, kui palju (järsult) kasvab kõrgus ühe kaugusühiku võrra edasi liikudes:

Oletame, et mõnel teelõigul kilomeetri võrra edasi liikudes tõuseb tee kilomeetri võrra ülespoole. Siis on selle koha kalle võrdne. Ja kui tee m edasi liikudes km võrra langeks? Siis on kalle võrdne.

Vaatame nüüd ühe mäe tippu. Kui võtta lõigu algus pool kilomeetrit enne tippu ja lõpp pool kilomeetrit pärast seda, on näha, et kõrgus on peaaegu sama.

See tähendab, et meie loogika kohaselt selgub, et kalle on siin peaaegu võrdne nulliga, mis ilmselgelt pole tõsi. Veidi üle kilomeetri võib palju muutuda. Järsu adekvaatsemaks ja täpsemaks hindamiseks on vaja arvestada väiksemate aladega. Näiteks kui mõõta kõrguse muutust ühe meetri liigutamisel, on tulemus palju täpsem. Kuid isegi sellest täpsusest ei pruugi meile piisata - kui tee keskel on post, siis saame sellest lihtsalt mööda minna. Millise vahemaa peaksime siis valima? Sentimeeter? Millimeeter? Vähem on parem!

Reaalses elus on kauguste mõõtmine millimeetri täpsusega enam kui piisav. Kuid matemaatikud püüdlevad alati täiuslikkuse poole. Seetõttu leiutati kontseptsioon lõpmatult väike, see tähendab, et absoluutväärtus on väiksem kui suvaline arv, mida saame nimetada. Näiteks ütlete: triljondik! Kui palju vähem? Ja jagate selle arvu - ja see on veelgi väiksem. Ja nii edasi. Kui tahame kirjutada, et suurus on lõpmata väike, kirjutame nii: (loeme “x kipub nulli”). On väga oluline mõista et see arv ei ole null! Aga sellele väga lähedal. See tähendab, et saate sellega jagada.

Lõpmatu väikesele vastandmõiste on lõpmata suur (). Tõenäoliselt olete sellega juba kokku puutunud, kui töötasite ebavõrdsuse kallal: see arv on mooduli võrra suurem kui ükski number, mida võite ette kujutada. Kui leiate suurima võimaliku arvu, korrutage see lihtsalt kahega ja saate veelgi suurema arvu. Ja lõpmatus on veelgi suurem kui see, mis juhtub. Tegelikult on lõpmatult suur ja lõpmatult väike teineteise pöördväärtus, st at ja vastupidi: at.

Nüüd pöördume tagasi oma tee juurde. Ideaalselt arvutatud kalle on tee lõpmatu väikese lõigu jaoks arvutatud kalle, see tähendab:

Märgin, et lõpmata väikese nihke korral on ka kõrguse muutus lõpmatult väike. Kuid lubage mul teile meelde tuletada, et lõpmata väike ei tähenda nulliga võrdset. Kui jagada lõpmata väikesed arvud üksteisega, saab täiesti tavalise arvu, näiteks . See tähendab, et üks väike väärtus võib olla täpselt kordi suurem kui teine.

Milleks see kõik on? Tee, järsk... Me ei lähe autorallile, vaid õpetame matemaatikat. Ja matemaatikas on kõik täpselt sama, ainult kutsutakse teisiti.

Tuletise mõiste

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral.

Järk-järgult matemaatikas kutsuvad nad muutust. Nimetatakse seda, kuivõrd argument () muutub piki telge liikudes argumentide juurdekasv ja on määratud.Kui palju on funktsioon (kõrgus) muutunud piki telge vahemaa võrra edasi liikudes funktsiooni juurdekasv ja on määratud.

Seega on funktsiooni tuletis suhe millal. Tuletist tähistame funktsiooniga sama tähega, ainult algarvuga üleval paremal: või lihtsalt. Niisiis, kirjutame tuletisvalemi järgmiste tähiste abil:

Sarnaselt teele on siin, kui funktsioon suureneb, on tuletis positiivne ja kui see väheneb, on see negatiivne.

Kas tuletis võib olla võrdne nulliga? Kindlasti. Näiteks kui sõidame tasasel horisontaalsel teel, on järsus null. Ja see on tõsi, kõrgus ei muutu üldse. Nii on ka tuletisega: konstantse funktsiooni tuletis (konstant) on võrdne nulliga:

kuna sellise funktsiooni juurdekasv on võrdne nulliga mis tahes.

Meenutagem mäetipu näidet. Selgus, et lõigu otsad oli võimalik paigutada tipu vastaskülgedele nii, et otste kõrgus osutub samaks, see tähendab, et segment on teljega paralleelne:

Kuid suured segmendid on märk ebatäpsest mõõtmisest. Tõstame oma lõigu endaga paralleelselt üles, siis selle pikkus väheneb.

Lõpuks, kui oleme tipule lõpmatult lähedal, muutub lõigu pikkus lõpmatult väikeseks. Kuid samal ajal jäi see teljega paralleelseks, see tähendab, et kõrguste erinevus selle otstes on võrdne nulliga (see ei kipu, kuid on võrdne). Seega tuletis

Seda võib mõista nii: kui seisame kõige tipus, muudab väike nihe vasakule või paremale meie pikkust tühiselt.

Sellel on ka puhtalgebraline seletus: tipust vasakul funktsioon suureneb, paremal aga väheneb. Nagu me varem teada saime, on funktsiooni suurenemisel tuletis positiivne ja kui see väheneb, siis negatiivne. Aga see muutub sujuvalt, ilma hüpeteta (kuna tee ei muuda kuskil järsult kallet). Seetõttu peavad olema negatiivsed ja positiivsed väärtused. See on koht, kus funktsioon ei suurene ega vähene – tipupunktis.

Sama kehtib ka küna kohta (ala, kus vasakpoolne funktsioon väheneb ja parempoolne funktsioon suureneb):

Natuke juurdekasvu kohta.

Seega muudame argumendi suuruseks. Millisest väärtusest me muudame? Mis sellest (vaidlusest) nüüd on saanud? Saame valida mis tahes punkti ja nüüd tantsime sellest.

Vaatleme koordinaadiga punkti. Funktsiooni väärtus selles on võrdne. Seejärel teeme sama juurdekasvu: suurendame koordinaati võrra. Mis argument nüüd on? Väga lihtne: . Mis on funktsiooni väärtus praegu? Kuhu läheb argument, läheb ka funktsioon: . Aga funktsiooni juurdekasv? Ei midagi uut: see on ikkagi summa, mille võrra funktsioon on muutunud:

Harjutage juurdekasvu leidmist:

1. Leia funktsiooni juurdekasv punktis, kus argumendi juurdekasv on võrdne.
2. Sama kehtib ka funktsiooni kohta punktis.

Lahendused:

Erinevates punktides sama argumendi juurdekasvuga on funktsiooni juurdekasv erinev. See tähendab, et tuletis igas punktis on erinev (me arutasime seda kohe alguses - tee järsk on erinevates punktides erinev). Seetõttu peame tuletise kirjutamisel näitama, millisel hetkel:

Toitefunktsioon.

Võimsusfunktsioon on funktsioon, mille argument on mingil määral (loogiline, eks?).

Pealegi - mis tahes määral: .

Lihtsaim juhtum on siis, kui eksponents on:

Leiame selle tuletise ühest punktist. Tuletagem meelde tuletise määratlust:

Nii et argument muutub väärtusest kuni. Mis on funktsiooni juurdekasv?

Kasv on see. Kuid funktsioon mis tahes punktis on võrdne selle argumendiga. Sellepärast:

Tuletis on võrdne:

Tuletis on võrdne:

b) Vaatleme nüüd ruutfunktsiooni (): .

Nüüd meenutagem seda. See tähendab, et juurdekasvu väärtuse võib tähelepanuta jätta, kuna see on lõpmata väike ja seetõttu teise termini taustal tähtsusetu:

Niisiis, me leidsime veel ühe reegli:

c) Jätkame loogilist seeriat: .

Seda avaldist saab lihtsustada mitmel viisil: avage esimene sulg, kasutades summa kuubi lühendatud korrutamise valemit, või faktoristage kogu avaldis kuubikute erinevuse valemi abil. Proovige seda ise teha, kasutades mõnda soovitatud meetodit.

Niisiis, sain järgmise:

Ja jälle meenutagem seda. See tähendab, et võime tähelepanuta jätta kõik terminid, mis sisaldavad:

Saame: .

d) Sarnased reeglid on saadaval suurte võimsuste jaoks:

e) Selgub, et seda reeglit saab üldistada suvalise astendajaga astmefunktsiooni jaoks, isegi mitte täisarvuga:

(2)

Reegli saab sõnastada sõnadega: "aste tuuakse koefitsiendina ette ja seejärel vähendatakse võrra."

Tõestame seda reeglit hiljem (peaaegu päris lõpus). Vaatame nüüd mõnda näidet. Leidke funktsioonide tuletis:

1. (kahel viisil: valemiga ja kasutades tuletise definitsiooni – funktsiooni juurdekasvu arvutades);

Trigonomeetrilised funktsioonid.

Siin kasutame ühte fakti kõrgemast matemaatikast:

Väljendiga.

Tõestust saate teada oma esimesel instituudiaastal (ja sinna jõudmiseks peate hästi sooritama ühtse riigieksami). Nüüd näitan seda lihtsalt graafiliselt:

Näeme, et kui funktsiooni pole olemas, lõigatakse graafik punkt välja. Kuid mida lähemal väärtusele, seda lähemal on funktsioon. See on eesmärk.

Lisaks saate seda reeglit kontrollida kalkulaatori abil. Jah, jah, ärge kartke, kasutage kalkulaatorit, me ei ole veel ühtsel riigieksamil.

Niisiis, proovime: ;

Ärge unustage lülitada oma kalkulaatorit radiaanirežiimile!

jne. Näeme, et mida väiksem, seda lähemal on suhtarvu väärtus.

a) Mõelge funktsioonile. Nagu tavaliselt, leiame selle juurdekasvu:

Muudame siinuste erinevuse korrutiseks. Selleks kasutame valemit (pidage meeles teemat ""): .

Nüüd tuletis:

Teeme asendus: . Siis on see ka lõpmatu väiksearvuline: . Avaldis jaoks on järgmine:

Ja nüüd meenutame seda väljendiga. Ja mis siis, kui summas (st at-s) võib tähelepanuta jätta lõpmata väikese suuruse.

Niisiis, saame järgmise reegli: siinuse tuletis on võrdne koosinusega:

Need on põhilised (tabelikujulised) tuletised. Siin on need ühes loendis:

Hiljem lisame neile veel mõned, kuid need on kõige olulisemad, kuna neid kasutatakse kõige sagedamini.

Harjuta:

1. Leia funktsiooni tuletis punktis;
2. Leia funktsiooni tuletis.

Lahendused:

Eksponent ja naturaallogaritm.

Matemaatikas on funktsioon, mille tuletis mis tahes väärtuse jaoks on samaaegselt võrdne funktsiooni enda väärtusega. Seda nimetatakse eksponendiks ja see on eksponentsiaalne funktsioon

Selle funktsiooni alus - konstant - on lõpmatu kümnendmurd, see tähendab irratsionaalne arv (näiteks). Seda nimetatakse "Euleri numbriks", mistõttu on see tähistatud tähega.

Niisiis, reegel:

Väga lihtne meelde jätta.

Noh, ärme lähe kaugele, mõelgem kohe pöördfunktsioonile. Milline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördfunktsioon? Logaritm:

Meie puhul on aluseks number:

Sellist logaritmi (see tähendab logaritmi alusega) nimetatakse "loomulikuks" ja me kasutame selle jaoks spetsiaalset tähistust: kirjutame selle asemel.

Millega see on võrdne? Muidugi, .

Naturaallogaritmi tuletis on samuti väga lihtne:

Näited:

1. Leia funktsiooni tuletis.
2. Mis on funktsiooni tuletis?

Vastused: Eksponent- ja naturaallogaritm on tuletise vaatenurgast ainulaadselt lihtsad funktsioonid. Mis tahes muu alusega eksponentsiaalsetel ja logaritmilistel funktsioonidel on erinev tuletis, mida analüüsime hiljem, kui oleme läbinud diferentseerimisreeglid.

Eristamise reeglid

Mille reeglid? Jälle uus termin, jälle?!...

Eristumine on tuletise leidmise protsess.

See on kõik. Kuidas veel ühe sõnaga seda protsessi nimetada? Mitte tuletis... Matemaatikud nimetavad diferentsiaali funktsiooni samaks juurdekasvuks at. See termin pärineb ladina sõnast differentia – erinevus. Siin.

Kõigi nende reeglite tuletamisel kasutame kahte funktsiooni, näiteks ja. Nende juurdekasvu jaoks vajame ka valemeid:

Kokku on 5 reeglit.

Konstant võetakse tuletismärgist välja.

Kui - mingi konstantne arv (konstant), siis.

Ilmselt töötab see reegel ka erinevuse jaoks: .

Tõestame seda. Las see olla või lihtsam.

Näited.

Leidke funktsioonide tuletised:

1. punktis;
2. punktis;
3. punktis;
4. punktis.

Lahendused:

Toote tuletis

Siin on kõik sarnane: tutvustame uut funktsiooni ja leiame selle juurdekasvu:

Tuletis:

Näited:

1. Leia funktsioonide ja tuletised;
2. Leia funktsiooni tuletis punktis.

Lahendused:

Eksponentfunktsiooni tuletis

Nüüd piisab teie teadmistest, et õppida leidma mis tahes eksponentsiaalfunktsiooni tuletist, mitte ainult eksponente (kas olete juba unustanud, mis see on?).

Niisiis, kus on mõni number.

Me juba teame funktsiooni tuletist, seega proovime oma funktsiooni taandada uuele alusele:

Selleks kasutame lihtsat reeglit: . Seejärel:

Noh, see töötas. Proovige nüüd leida tuletis ja ärge unustage, et see funktsioon on keeruline.

Juhtus?

Siin kontrollige ennast:

Valem osutus väga sarnaseks eksponendi tuletisele: nii nagu see oli, jääb see samaks, ilmus ainult tegur, mis on vaid arv, kuid mitte muutuja.

Näited:
Leidke funktsioonide tuletised:

Vastused:

Logaritmilise funktsiooni tuletis

Siin on see sarnane: te juba teate naturaallogaritmi tuletist:

Seetõttu, et leida suvaline logaritm erineva alusega, näiteks:

Peame selle logaritmi taandada baasini. Kuidas muuta logaritmi alust? Loodan, et mäletate seda valemit:

Alles nüüd kirjutame selle asemel:

Nimetaja on lihtsalt konstant (konstantne arv, ilma muutujata). Tuletis saadakse väga lihtsalt:

Eksponentsiaalsete ja logaritmiliste funktsioonide tuletisi ei leidu ühtsest riigieksamist peaaegu kunagi, kuid nende tundmine ei ole üleliigne.

Kompleksfunktsiooni tuletis.

Mis on "keeruline funktsioon"? Ei, see ei ole logaritm ega arctangent. Nendest funktsioonidest võib olla raske aru saada (kuigi kui te peate logaritmi keeruliseks, lugege teemat "Logaritmid" ja kõik on korras), kuid matemaatilisest vaatenurgast ei tähenda sõna "keeruline" "keeruline".

Kujutage ette väikest konveieri: kaks inimest istuvad ja teevad mingeid toiminguid mõne esemega. Näiteks esimene mähib šokolaaditahvli ümbrisesse ja teine ​​seob selle paelaga. Tulemuseks on komposiitobjekt: paelaga mähitud ja seotud šokolaaditahvel. Šokolaaditahvli söömiseks peate tegema vastupidised toimingud vastupidises järjekorras.

Loome sarnase matemaatilise konveieri: kõigepealt leiame arvu koosinuse ja seejärel ruudustage saadud arv. Niisiis, meile antakse number (šokolaad), ma leian selle koosinuse (ümbris) ja siis ruudud, mis ma sain (seo see lindiga). Mis juhtus? Funktsioon. See on näide keerulisest funktsioonist: kui selle väärtuse leidmiseks sooritame esimese toimingu otse muutujaga ja seejärel teise toimingu esimese toiminguga.

Saame hõlpsasti teha samu samme vastupidises järjekorras: kõigepealt ruudud ja siis otsin saadud arvu koosinust: . Lihtne on arvata, et tulemus on peaaegu alati erinev. Keeruliste funktsioonide oluline tunnus: toimingute järjekorra muutumisel muutub funktsioon.

Teisisõnu, kompleksfunktsioon on funktsioon, mille argument on teine ​​funktsioon: .

Esimese näitena .

Teine näide: (sama asi). .

Tegevust, mida me viimati teeme, nimetatakse "väline" funktsioon, ja esmalt sooritatud toiming – vastavalt "sisemine" funktsioon(need on mitteametlikud nimed, kasutan neid ainult materjali lihtsas keeles selgitamiseks).

Proovige ise kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine:

Vastused: Sisemiste ja välimiste funktsioonide eraldamine on väga sarnane muutujate muutmisega: näiteks funktsioonis

Muudame muutujaid ja saame funktsiooni.

Noh, nüüd eraldame oma šokolaaditahvli ja otsime tuletise. Protseduur on alati vastupidine: kõigepealt otsime välisfunktsiooni tuletist, seejärel korrutame tulemuse sisemise funktsiooni tuletisega. Seoses algse näitega näeb see välja järgmine:

Veel üks näide:

Niisiis, sõnastame lõpuks ametliku reegli:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

Tundub lihtne, eks?

Kontrollime näidetega:

DERIVAAT. LÜHIDALT PEAMISEST

Funktsiooni tuletis- funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhe argumendi lõpmatu väikese juurdekasvu korral:

Põhilised tuletised:

Eristamise reeglid:

Konstant võetakse tuletismärgist välja:

Summa tuletis:

Toote tuletis:

Jagatise tuletis:

Kompleksfunktsiooni tuletis:

Algoritm kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

1. Defineerime "sisemise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
2. Defineerime "välise" funktsiooni ja leiame selle tuletise.
3. Korrutame esimese ja teise punkti tulemused.

Noh, teema on läbi. Kui loete neid ridu, tähendab see, et olete väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui sa loed lõpuni, siis oled selle 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooriast aru saanud. Ja kordan, see... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Ühtse riigieksami eduka sooritamise, eelarvega kõrgkooli astumise ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena sind milleski, ütlen vaid üht...

Hea hariduse saanud inimesed teenivad palju rohkem kui need, kes seda pole saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla ühtsel riigieksamil teistest parem ja lõpuks... õnnelikum?

SELLEL TEEMAL PROBLEEMIDE LAHENDAMISEGA VÕITA OMA KÄSI.

Eksami ajal teooriat ei küsita.

Sa vajad lahendada probleeme ajaga.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), teete kindlasti kuskil rumala vea või teil pole lihtsalt aega.

See on nagu spordis – seda on vaja mitu korda korrata, et kindlalt võita.

Leidke kollektsioon kust iganes soovite, tingimata lahendustega, üksikasjaliku analüüsiga ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (valikuline) ja me loomulikult soovitame neid.

Meie ülesannete paremaks kasutamiseks peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage kõik selles artiklis peidetud toimingud -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpiku 99 artiklis - Osta õpik - 499 RUR

Jah, meie õpikus on 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud saidi KOGU eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt peatuge teoorial.

“Arusaadav” ja “ma oskan lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda need!

(Joon.1)

Joonis 1. Tuletisgraafik

Tuletisgraafiku omadused

1. Suurenevate ajavahemike järel on tuletis positiivne. Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on positiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil suureneb.
2. Vähenevate intervallidega on tuletis negatiivne (miinusmärgiga). Kui tuletis teatud punktis teatud intervallist on negatiivse väärtusega, siis funktsiooni graafik sellel intervallil väheneb.
3. Punkti x tuletis võrdub funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja kaldega samas punktis.
4. Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunktides on tuletis võrdne nulliga. Funktsiooni graafiku puutuja selles punktis on paralleelne OX-teljega.

Näide 1

Määrake tuletise graafiku (joonis 2) abil, millises punktis lõigul [-3; 5] funktsioon on maksimaalne.

Joonis 2. Tuletisgraafik

Lahendus: Sellel lõigul on tuletis negatiivne, mis tähendab, et funktsioon väheneb vasakult paremale ja suurim väärtus on vasakul pool punktis -3.

Näide 2

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil maksimaalsete punktide arv lõigul [-11; 3].

Joonis 3. Tuletisgraafik

Lahendus: Maksimaalsed punktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub positiivsest negatiivseks. Sellel intervallil muudab funktsioon märki plussist miinusesse kaks korda - punktis -10 ja punktis -1. See tähendab, et maksimumpunktide arv on kaks.

Näide 3

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil minimaalsete punktide arv segmendis [-11; -1].

Lahendus: Miinimumpunktid vastavad punktidele, kus tuletise märk muutub negatiivsest positiivseks. Sellel lõigul on selline punkt ainult -7. See tähendab, et antud lõigul on miinimumpunktide arv üks.

Näide 4

Määrake tuletise graafiku (joonis 3) abil ekstreemumipunktide arv.

Lahendus: äärmuslikud punktid on nii miinimum- kui ka maksimumpunktid. Leiame punktide arvu, kus tuletis märki muudab.