Teoria derivatelor. Citirea graficului derivat

B8. Examenul de stat unificat

1. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Raspuns: 2

Răspuns: -5

Pe intervalul (–9;4).

Răspuns: 2

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0 Răspuns: 0,5

5. Aflați punctul de tangență al dreptei y = 3x + 8 și graficul funcției y = x3+x2-5x-4. În răspunsul dvs., indicați abscisa acestui punct. Raspuns: -2

Determinați numărul de valori întregi ale argumentului pentru care derivata funcției f(x) este negativă. Raspuns: 4

Raspuns: 2

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă cu dreapta y=5–x sau coincide cu aceasta. Raspuns: 3

Interval (-8; 3).

Linie dreaptă y = -20. Raspuns: 2

10.

Răspuns: -0,5

Raspunsul 1

12. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Răspuns: 0,5

13. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Răspuns: -0,25

14.

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y = x+7. Raspuns: 4

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0. Raspuns: -2

16.

interval (-14;9).

Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe segmentul [-12;7]. Raspuns: 3

pe intervalul (-10;8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe segmentul [-9;7]. Răspuns: 4

18. Linia y = 5x-7 atinge graficul funcției y = 6x2 + bx-1 într-un punct cu o abscisă mai mică de 0. Aflați b. Răspuns: 17

Răspuns:-0,25

Răspuns: 6

21. Aflați tangenta la graficul funcției y=x2+6x-7, paralelă cu dreapta y=5x+11. În răspunsul dvs., indicați abscisa punctului de tangență. Răspuns: -0,5

22.

Răspuns: 4

23. f „(x) pe intervalul (-16;4).

Pe segmentul [-11;0] găsiți numărul de puncte maxime ale funcției. Răspuns: 1

B8 Grafice ale funcțiilor, derivate ale funcțiilor. Cercetare Funcțională . Examenul de stat unificat

1. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul cu abscisa x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

2. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-6; 5).

În ce punct al segmentului [-5; -1] f(x) ia cea mai mică valoare?

3. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f(x), definită

Pe intervalul (–9;4).

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă cu dreapta

y = 2x-17 sau coincide cu acesta.

4. Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0

5. Aflați punctul de tangență al dreptei y = 3x + 8 și graficul funcției y = x3+x2-5x-4. În răspunsul dvs., indicați abscisa acestui punct.

6. Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x), definită pe intervalul (-7; 5).

Determinați numărul de valori întregi ale argumentului pentru care derivata funcției f(x) este negativă.

7. Figura prezintă un grafic al funcției y=f "(x), definită pe intervalul (-8; 8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) aparținând segmentului [-4; 6].

8. Figura prezintă un grafic al funcției y = f "(x), definită pe intervalul (-8; 4).

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă cu dreapta y=5–x sau coincide cu aceasta.

9. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției y = f(x), definită pe

Interval (-8; 3).

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă

Linie dreaptă y = -20.

10. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

11 . Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-9;9).

Aflați numărul de puncte minime ale funcției $f(x)$ pe intervalul [-6;8]. 1

12. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

13. Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

14. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-6;8).

Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f(x) este paralelă sau coincide cu dreapta y = x+7.

15 . Figura prezintă graficul funcției y = f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

16. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe

interval (-14;9).

Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe segmentul [-12;7].

17 . Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită

pe intervalul (-10;8).

Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe segmentul [-9;7].

18. Linia y = 5x-7 atinge graficul funcției y = 6x2 + bx-1 într-un punct cu o abscisă mai mică de 0. Aflați b.

19 . Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) și tangentei la aceasta în punctul cu abscisa x0.

Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.

20 . Aflați numărul de puncte din intervalul (-1;12) la care derivata funcției y = f(x) prezentată pe grafic este egală cu 0.

21. Aflați tangenta la graficul funcției y=x2+6x-7, paralelă cu dreapta y=5x+11. În răspunsul dvs., indicați abscisa punctului de tangență.

22. Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x). Aflați numărul de puncte întregi din intervalul (-2;11) la care derivata funcției f(x) este pozitivă.

23. Figura prezintă graficul funcției y= f „(x) pe intervalul (-16;4).

Pe segmentul [-11;0] găsiți numărul de puncte maxime ale funcției.

Buna ziua! Să ajungem la următorul examen de stat unificat cu pregătire sistematică de înaltă calitate și perseverență în măcinarea granitului științei!!! ÎNExistă o sarcină de concurs la sfârșitul postării, fii primul! Într-unul dintre articolele din această secțiune, tu și cu mine, în care s-a dat un grafic al funcției și s-au ridicat diverse întrebări referitoare la extreme, intervale de creștere (scădere) și altele.

În acest articol, vom lua în considerare problemele incluse în examenul de stat unificat la matematică, în care este dat un grafic al derivatei unei funcții și se pun următoarele întrebări:

1. În ce punct al unui segment dat funcția ia cea mai mare (sau cea mai mică) valoare.
2. Aflați numărul de puncte maxime (sau minime) ale funcției aparținând unui segment dat.
3. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției aparținând unui segment dat.
4. Aflați punctul extrem al funcției aparținând segmentului dat.
5. Aflați intervalele funcției crescătoare (sau descrescătoare) și indicați în răspuns suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.
6. Aflați intervalele de creștere (sau scădere) ale funcției. În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre aceste intervale.
7. Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu o dreaptă de forma y = kx + b.
8. Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta.

S-ar putea să apară și alte întrebări, dar nu vă vor crea dificultăți dacă înțelegeți și (sunt furnizate link-uri către articole care oferă informațiile necesare soluției, recomand să le repetați).

Informații de bază (pe scurt):

1. Derivata la intervale crescatoare are semn pozitiv.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. La intervale descrescătoare, derivata are semn negativ.

Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.

3. Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.

4. În punctele de extremum (maximum-minim) ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa x.

Acest lucru trebuie înțeles și amintit clar!!!

Graficul derivat „derutează” mulți oameni. Unii oameni îl confundă din greșeală cu graficul funcției în sine. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde vezi că este dat un grafic, concentrează-ți imediat atenția în condiția asupra a ceea ce este dat: graficul funcției sau graficul derivatei funcției?

Dacă este un grafic al derivatei unei funcții, atunci tratați-l ca pe o „reflecție” a funcției în sine, care pur și simplu vă oferă informații despre acea funcție.

Luați în considerare sarcina:

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–2;21).

Vom răspunde la următoarele întrebări:

1. În ce punct al segmentului se află funcția f(X) ia cea mai mare valoare.

Pe un interval dat, derivata unei funcții este negativă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval scade (descrește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mare valoare a funcției este atinsă pe marginea stângă a segmentului, adică la punctul 7.

Raspuns: 7

2. În ce punct al segmentului se află funcția f(X)

Din acest grafic derivat putem spune următoarele. Pe un interval dat, derivata funcției este pozitivă, ceea ce înseamnă că funcția pe acest interval crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare a funcției se realizează pe marginea din stânga a segmentului, adică în punctul x = 3.

Raspuns: 3

3. Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X)

Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la pozitiv la negativ. Să luăm în considerare unde se schimbă semnul în acest fel.

Pe segmentul (3;6) derivata este pozitivă, pe segmentul (6;16) este negativă.

Pe segmentul (16;18) derivata este pozitivă, pe segmentul (18;20) este negativă.

Astfel, pe un segment dat funcția are două puncte maxime x = 6 și x = 18.

Raspuns: 2

4. Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivat se schimbă de la negativ la pozitiv. Derivata noastră este negativă pe intervalul (0;3) și pozitivă pe intervalul (3;4).

Astfel, pe segment funcția are un singur punct minim x = 3.

*Aveți grijă când scrieți răspunsul - se înregistrează numărul de puncte, nu valoarea x; o astfel de greșeală poate fi făcută din cauza neatenției.

Raspunsul 1

5. Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului.

Vă rugăm să rețineți ce trebuie să găsiți cantitate puncte extremum (acestea sunt ambele puncte maxime și minime).

Punctele extreme corespund punctelor în care semnul derivatei se modifică (de la pozitiv la negativ sau invers). În graficul dat în condiție, acestea sunt zerourile funcției. Derivata dispare la punctele 3, 6, 16, 18.

Astfel, funcția are 4 puncte extreme pe segment.

Raspuns: 4

6. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a acestei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata sa este pozitivă, adică intervalele (3;6) și (16;18). Vă rugăm să rețineți că limitele intervalului nu sunt incluse în acesta (paranteze rotunde - limitele nu sunt incluse în interval, paranteze drepte - incluse). Aceste intervale conțin puncte întregi 4, 5, 17. Suma lor este: 4 + 5 + 17 = 26

Raspuns: 26

7. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X) la un interval dat. În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. În această problemă, acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18:21).

Aceste intervale conțin următoarele puncte întregi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Raspuns: 140

*Acordați atenție condiției: dacă limitele sunt incluse sau nu în interval. Dacă sunt incluse limite, atunci în intervalele luate în considerare în procesul de soluționare trebuie să se țină seama și de aceste limite.

8. Aflați intervalele funcției crescătoare f(X)

Intervale de creștere a funcției f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este pozitiva. Le-am indicat deja: (3;6) și (16:18). Cel mai mare dintre ele este intervalul (3;6), lungimea sa este de 3.

Raspuns: 3

9. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

Intervalele descrescătoare ale unei funcții f(X) corespund intervalelor la care derivata functiei este negativa. Le-am indicat deja; acestea sunt intervalele (–2;3), (6;16), (18;21), lungimile lor sunt respectiv 5, 10, 3.

Lungimea celui mai mare este de 10.

Raspuns: 10

10. Aflați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției f(X) paralel cu sau coincide cu linia dreaptă y = 2x + 3.

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu dreapta y = 2x + 3 sau coincide cu aceasta, coeficienții lor unghiulari sunt egali cu 2. Aceasta înseamnă că este necesar să găsim numărul de puncte la care y′(x 0) = 2. Din punct de vedere geometric, acesta corespunde numărului de puncte de intersecție a graficului derivat cu linia dreaptă y = 2. Există 4 astfel de puncte pe acest interval.

Raspuns: 4

11. Aflați punctul extrem al funcției f(X), aparținând segmentului.

Punctul extremum al unei funcții este punctul în care derivata sa este egală cu zero, iar în vecinătatea acestui punct derivata își schimbă semnul (de la pozitiv la negativ sau invers). Pe segment, graficul derivatului intersectează axa x, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv. Prin urmare, punctul x = 3 este un punct extremum.

Raspuns: 3

12. Aflați abscisa punctelor în care tangentele la graficul y = f (x) sunt paralele cu axa absciselor sau coincid cu aceasta. În răspunsul dvs., indicați cel mai mare dintre ele.

Tangenta la graficul y = f (x) poate fi paralelă cu axa absciselor sau coincide cu aceasta, numai în punctele în care derivata este egală cu zero (acestea pot fi puncte extreme sau puncte staționare în vecinătatea cărora derivata face nu-i schimba semnul). Acest grafic arată că derivata este zero la punctele 3, 6, 16, 18. Cel mai mare este 18.

Vă puteți structura raționamentul astfel:

Valoarea derivatei în punctul de tangență este egală cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă sau coincide cu axa x, panta ei este 0 (într-adevăr, tangenta unui unghi de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este egală cu zero și, prin urmare, derivata este egală cu zero. Derivata este egală cu zero în punctul în care graficul său intersectează axa x, iar acestea sunt punctele 3, 6, 16,18.

Raspuns: 18

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–8;4). În ce punct al segmentului [–7;–3] este funcția f(X) ia cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;14). Aflați numărul maxim de puncte ale funcției f(X), aparținând segmentului [–6;9].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–18;6). Aflați numărul de puncte minime ale funcției f(X), aparținând segmentului [–13;1].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11; –11). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(X), aparținând segmentului [–10; -10].

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–7;4). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–5;7). Aflați intervalele funcției descrescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic y =f'(X)- derivata unei functii f(X), definit pe intervalul (–11;3). Aflați intervalele funcției crescătoare f(X). În răspunsul dvs., indicați lungimea celui mai mare dintre ele.

F Figura prezintă un grafic

Condițiile problemei sunt aceleași (pe care le-am considerat). Aflați suma a trei numere:

1. Suma pătratelor extremelor funcției f (x).

2. Diferența dintre pătratele sumei punctelor maxime și suma punctelor minime ale funcției f (x).

3. Numărul de tangente la f (x) paralele cu dreapta y = –3x + 5.

Primul care va da răspunsul corect va primi un premiu stimulativ de 150 de ruble. Scrieți răspunsurile dvs. în comentarii. Dacă acesta este primul tău comentariu pe blog, acesta nu va apărea imediat, ci puțin mai târziu (nu vă faceți griji, este înregistrată ora în care a fost scris comentariul).

Multă baftă!

Salutări, Alexander Krutitsikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul [–5; 6]. Aflați numărul de puncte de pe graficul lui f(x), la fiecare dintre ele tangenta trasată la graficul funcției coincide cu sau este paralelă cu axa x

Figura prezintă un grafic al derivatei funcției diferențiabile y = f(x).

Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției care aparțin segmentului [–7; 7], în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta specificată de ecuația y = –3x.

Punctul material M începe să se miște din punctul A și se mișcă în linie dreaptă timp de 12 secunde. Graficul arată cum s-a schimbat distanța de la punctul A la punctul M în timp. Axa absciselor arată timpul t în secunde, iar axa ordonatelor arată distanța s în metri. Determinați de câte ori în timpul mișcării viteza punctului M a ajuns la zero (nu țineți cont de începutul și sfârșitul mișcării).

Figura prezintă secțiuni ale graficului funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x = 0. Se știe că această tangentă este paralelă cu dreapta care trece prin punctele graficului. cu abscisa x = -2 și x = 3. Folosind aceasta, găsiți valoarea derivatei f"(o).

Figura prezintă un grafic al lui y = f’(x) - derivata funcției f(x), definită pe segmentul (−11; 2). Aflați abscisa punctului în care tangenta la graficul funcției y = f(x) este paralelă sau coincide cu abscisa.

Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde, măsurată de la începutul mișcării. În ce moment (în secunde) viteza sa a fost egală cu 2 m/s?

Un punct material se deplasează de-a lungul unei linii drepte de la poziția inițială la cea finală. Figura prezintă un grafic al mișcării sale. Axa absciselor arată timpul în secunde, iar axa ordonatelor arată distanța de la poziția inițială a punctului (în metri). Aflați viteza medie a punctului. Dați răspunsul în metri pe secundă.

Funcția y = f (x) este definită pe intervalul [-4; 4]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați numărul de puncte de pe graficul funcției y = f (x), tangenta la care formează un unghi de 45° cu direcția pozitivă a axei Ox.

Funcția y = f (x) este definită pe intervalul [-2; 4]. Figura prezintă un grafic al derivatei sale. Aflați abscisa punctului din graficul funcției y = f (x), la care ia cea mai mică valoare de pe segmentul [-2; -0,001].

Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = -2x + 15. Aflați valoarea derivatei funcției y = -(1/4)f(x) + 5 în punctul x0.

Pe graficul funcției diferențiabile y = f (x) se notează șapte puncte: x1,.., x7. Găsiți toate punctele marcate la care derivata funcției f(x) este mai mare decât zero. În răspunsul dvs., indicați numărul acestor puncte.

Figura prezintă un grafic y = f"(x) al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-10; 2). Aflați numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f (x) este paralelă cu dreapta y = -2x-11 sau coincide cu aceasta.

Figura prezintă un grafic al lui y=f"(x) - derivata funcției f(x). Există nouă puncte marcate pe axa absciselor: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Câte dintre aceste puncte aparțin intervalelor funcției descrescătoare f(x)?

Figura prezintă un grafic al funcției y = f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul x0. Tangenta este dată de ecuația y = 1,5x + 3,5. Aflați valoarea derivatei funcției y = 2f(x) - 1 în punctul x0.

Figura prezintă graficul y=F(x) al uneia dintre antiderivatele funcției f (x). Există șase puncte marcate pe grafic cu abscise x1, x2, ..., x6. În câte dintre aceste puncte funcția y=f(x) ia valori negative?

Figura prezintă un grafic al mașinii care se deplasează de-a lungul traseului. Axa absciselor arată timpul (în ore), iar axa ordonatelor arată distanța parcursă (în kilometri). Găsiți viteza medie a mașinii pe această rută. Dati raspunsul in km/h

Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, unde x este distanța de la punctul de referință (în metri), t este timpul de mișcare (în secunde). Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s

Figura prezintă un grafic al antiderivatei y = F(x) a unei funcții y = f(x), definită pe intervalul (-6; 7). Folosind figura, determinați numărul de zerouri ale funcției f(x) pe acest interval.

Figura prezintă un grafic al lui y = F(x) al uneia dintre antiderivatele unei funcții f(x), definită pe intervalul (-7; 5). Folosind figura, determinați numărul de soluții ale ecuației f(x) = 0 pe intervalul [- 5; 2].

Figura prezintă graficul funcției diferențiabile y=f(x). Există nouă puncte marcate pe axa x: x1, x2, ... x9. Găsiți toate punctele marcate la care derivata funcției f(x) este negativă. În răspunsul dvs., indicați numărul acestor puncte.

Un punct material se deplasează rectiliniu conform legii x(t)=12t^3−3t^2+2t, unde x este distanța de la punctul de referință în metri, t este timpul în secunde măsurat de la începutul mișcării. Aflați viteza acesteia (în metri pe secundă) la momentul t=6 s.

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) și o tangentă la acest grafic desenată în punctul x0. Ecuația tangentei este prezentată în figură. aflați valoarea derivatei funcției y=4*f(x)-3 în punctul x0.

Să ne imaginăm un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de altitudine zero; în viață folosim nivelul mării.

Pe măsură ce înaintăm pe un astfel de drum, ne deplasăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasare de-a lungul axei absciselor), se modifică valoarea funcției (deplasare de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Ce fel de valoare ar putea fi aceasta? Este foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea atunci când înaintezi o anumită distanță. Într-adevăr, pe diferite secțiuni ale drumului, deplasându-ne înainte (de-a lungul axei x) cu un kilometru, vom crește sau coborî cu un număr diferit de metri față de nivelul mării (de-a lungul axei y).

Să notăm progresul (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare în cantitate, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de amploare.

Important: o expresie este un singur întreg, o variabilă. Nu separa niciodată „delta” de „x” sau de orice altă literă! Adică, de exemplu, .

Deci, am avansat, pe orizontală, cu. Dacă comparăm linia drumului cu graficul funcției, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, pe măsură ce înaintăm, ne ridicăm mai sus.

Valoarea este ușor de calculat: dacă la început eram la înălțime, iar după mutare ne-am trezit la înălțime, atunci. Dacă punctul final este mai jos decât punctul de plecare, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Să revenim la „abrupte”: aceasta este o valoare care arată cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când avansăm cu o unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de drum, atunci când înaintează cu un kilometru, drumul se ridică cu un kilometru. Atunci panta în acest loc este egală. Și dacă drumul, în timp ce mergea înainte cu m, scădea cu km? Atunci panta este egală.

Acum să ne uităm la vârful unui deal. Dacă luați începutul porțiunii cu jumătate de kilometru înainte de vârf, iar sfârșitul cu jumătate de kilometru după acesta, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Puțin peste o distanță de kilometri se pot schimba multe. Este necesar să se ia în considerare suprafețe mai mici pentru o evaluare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii pe măsură ce vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, putem pur și simplu să-l depășim. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!

În viața reală, măsurarea distanțelor la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost inventat infinitezimal, adică valoarea absolută este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că o mărime este infinitezimală, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important să înțelegeți ca acest numar nu este zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că puteți împărți cu el.

Conceptul opus infinitezimal este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este modulo mai mare decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă găsiți cel mai mare număr posibil, înmulțiți-l cu doi și veți obține un număr și mai mare. Iar infinitul este chiar mai mare decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinitul de mare și infinit de mic sunt invers unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum să ne întoarcem la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinitezimal al traseului, adică:

Observ că cu o deplasare infinitezimală, modificarea înălțimii va fi și ea infinitezimală. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinitezimal nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu, . Adică, o valoare mică poate fi de exact ori mai mare decât alta.

Pentru ce sunt toate acestea? Drumul, abruptul... Nu mergem la un raliu de mașini, dar predăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului.

Treptatîn matematică ei numesc schimbare. Se numește măsura în care argumentul () se schimbă pe măsură ce se mișcă de-a lungul axei increment de argumentși este desemnat. Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) la deplasarea înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este desemnat.

Deci, derivata unei funcții este raportul față de când. Notăm derivata cu aceeași literă ca și funcția, doar cu un prim în dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Poate derivata să fie egală cu zero? Cu siguranță. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Și este adevărat, înălțimea nu se schimbă deloc. Așa este și cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este egal cu zero pentru oricare.

Să ne amintim exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În cele din urmă, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinitezimală. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțimi la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles astfel: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: la stânga vârfului funcția crește, iar la dreapta scade. După cum am aflat mai devreme, atunci când o funcție crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (din moment ce drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, trebuie să existe între valori negative și pozitive. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru jgheab (zona în care funcția din stânga scade și din dreapta crește):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul în mărime. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, la fel merge și funcția: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

Găsiți incrementul funcției într-un punct în care incrementul argumentului este egal cu.
Același lucru este valabil și pentru funcția la un punct.

Solutii:

În puncte diferite cu același argument increment, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata în fiecare punct este diferită (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului este diferit în puncte diferite). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere este o funcție în care argumentul este într-o anumită măsură (logic, nu?).

Mai mult – în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Să ne amintim definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Incrementul este acesta. Dar o funcție în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este egala cu:

Derivata lui este egala cu:

b) Acum considerăm funcția pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinitezimală și, prin urmare, nesemnificativă pe fondul celuilalt termen:

Deci, am venit cu o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula de înmulțire abreviată a cubului sumei sau factorizați întreaga expresie folosind formula diferenței cuburilor. Încercați să o faceți singur folosind oricare dintre metodele sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și din nou să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

(2)

Regula poate fi formulată în cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient și apoi redus cu ”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

(în două moduri: prin formulă și folosind definiția derivatei - prin calcularea incrementului funcției);

Funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Cu expresie.

Dovada o vei învăța în primul an de institut (și pentru a ajunge acolo, trebuie să treci bine Examenul Unificat de Stat). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este tăiat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape. Acesta este ceea ce „țintește”.

În plus, puteți verifica această regulă folosind un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examenul de stat unificat.

Deci să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât este mai mic, cu atât valoarea raportului este mai aproape de.

a) Luați în considerare funcția. Ca de obicei, să-i găsim incrementul:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (rețineți subiectul „”): .

Acum derivata:

Să facem un înlocuitor: . Atunci pentru infinitezimal este și infinitezimal: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o cantitate infinitezimală poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci, obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabulare”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practică:

Aflați derivata funcției într-un punct;
Aflați derivata funcției.

Solutii:

Exponent și logaritm natural.

Există o funcție în matematică a cărei derivată pentru orice valoare este egală cu valoarea funcției însăși în același timp. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții - o constantă - este o fracție zecimală infinită, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci, regula:

Foarte ușor de reținut.

Ei bine, să nu mergem departe, să luăm imediat în considerare funcția inversă. Care funcție este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este numărul:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu bază) se numește „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

Aflați derivata funcției.
Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Logaritmul exponențial și natural sunt funcții unice simple dintr-o perspectivă derivată. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, pe care o vom analiza mai târziu, după ce vom parcurge regulile de diferențiere.

Reguli de diferențiere

Reguli de ce? Din nou un nou termen, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Asta e tot. Ce altceva poți numi acest proces într-un singur cuvânt? Nu derivată... Matematicienii numesc diferenţialul acelaşi increment al unei funcţii la. Acest termen provine din latinescul differentia - diferență. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. Vom avea nevoie și de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatului.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Să fie, sau mai simplu.

Exemple.

Aflați derivatele funcțiilor:

la un punct;
la un punct;
la un punct;
la punct.

Solutii:

Derivat al produsului

Totul este similar aici: să introducem o nouă funcție și să găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

Aflați derivatele funcțiilor și;
Aflați derivata funcției într-un punct.

Solutii:

Derivată a unei funcții exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponenți (ai uitat încă ce este asta?).

Deci, unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să ne reducem funcția la o nouă bază:

Pentru a face acest lucru, vom folosi o regulă simplă: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata unui exponent: așa cum a fost, rămâne aceeași, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Aflați derivatele funcțiilor:

Raspunsuri:

Derivată a unei funcții logaritmice

Este similar și aici: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un logaritm arbitrar cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să reducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum vom scrie în schimb:

Numitorul este pur și simplu o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivata se obține foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examenul de stat unificat, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arctangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă ți se pare dificil logaritmul, citește subiectul „Logaritmi” și vei fi bine), dar din punct de vedere matematic, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă o bandă rulantă mică: două persoane stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Rezultatul este un obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faceți pașii inversi în ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătrat numărul rezultat. Așadar, ni se dă un număr (ciocolată), îi găsesc cosinus (înveliș), iar apoi pătrați ceea ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, executăm prima acțiune direct cu variabila, iar apoi o a doua acțiune cu ceea ce a rezultat din prima.

Putem face cu ușurință aceiași pași în ordine inversă: mai întâi îl pătrați, iar apoi caut cosinusul numărului rezultat: . Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. O caracteristică importantă a funcțiilor complexe: atunci când ordinea acțiunilor se schimbă, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, o funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (același lucru). .

Acțiunea pe care o facem ultima va fi numită funcția „externă”., iar acțiunea efectuată prima - în consecință funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, într-o funcție

Schimbăm variabilele și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage batonul de ciocolată și vom căuta derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. În raport cu exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Pare simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

DERIVAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Derivată a unei funcții- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului pentru o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferentiere:

Constanta este scoasă din semnul derivat:

Derivată a sumei:

Derivat al produsului:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Definim funcția „internă” și găsim derivata ei.
Definim funcția „externă” și găsim derivata ei.
Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ REZOLVÂND PROBLEME PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

Vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliata si decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

În concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!

(Fig.1)

Figura 1. Graficul derivat

Proprietăți grafice derivate

La intervale crescătoare, derivata este pozitivă. Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.
La intervale descrescătoare, derivata este negativă (cu semnul minus). Dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției scade pe acest interval.
Derivata in punctul x este egala cu panta tangentei trasate la graficul functiei in acelasi punct.
În punctele maxim și minim ale funcției, derivata este egală cu zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa OX.

Exemplul 1

Folosind graficul (Fig. 2) al derivatei, determinați în ce punct al segmentului [-3; 5] este maximă.

Figura 2. Graficul derivat

Rezolvare: Pe acest segment, derivata este negativă, ceea ce înseamnă că funcția scade de la stânga la dreapta, iar cea mai mare valoare este în partea stângă în punctul -3.

Exemplul 2

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte maxime de pe segmentul [-11; 3].

Figura 3. Graficul derivat

Rezolvare: Punctele maxime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă de la pozitiv la negativ. În acest interval, funcția își schimbă semnul de la plus la minus de două ori - la punctul -10 și la punctul -1. Aceasta înseamnă că numărul maxim de puncte este de două.

Exemplul 3

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte minime din segmentul [-11; -1].

Rezolvare: Punctele minime corespund punctelor în care semnul derivatei se schimbă din negativ în pozitiv. Pe acest segment, un astfel de punct este doar -7. Aceasta înseamnă că numărul minim de puncte pe un anumit segment este unul.

Exemplul 4

Folosind graficul (Fig. 3) al derivatei, determinați numărul de puncte extreme.

Soluție: Punctele extreme sunt atât punctele minime, cât și cele maxime. Să aflăm numărul de puncte la care derivata își schimbă semnul.