Powody pojawienia się obcych pierwiastków podczas rozwiązywania równań. Warsztaty „Rozwiązywanie równań trygonometrycznych”. Przekształcenia równoważne równań

Temat równań trygonometrycznych rozpoczyna się od wykładu szkolnego, który ma formę rozmowy heurystycznej. Na wykładzie omawiany jest materiał teoretyczny oraz przykłady rozwiązywania wszystkich typowych problemów zgodnie z planem:

• Najprostsze równania trygonometryczne.
• Podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
• Równania jednorodne.

Na kolejnych lekcjach rozpoczyna się samodzielny rozwój umiejętności, oparty na zastosowaniu zasady wspólnego działania nauczyciela i ucznia. W pierwszej kolejności wyznaczane są cele dla uczniów, tj. zdeterminowane jest, kto nie chce wiedzieć więcej, niż wymagają tego standardy państwowe, a kto jest gotowy zrobić więcej.

Diagnoza końcowa tworzona jest z uwzględnieniem zróżnicowania poziomów, co pozwala uczniom świadomie określić minimalny poziom wiedzy niezbędny do uzyskania oceny „3”. Na tej podstawie dobierane są wielopoziomowe materiały służące do diagnozy wiedzy uczniów. Taka praca pozwala na indywidualne podejście do uczniów, włączając wszystkich w świadome działania edukacyjne, rozwijając umiejętności samoorganizacji i samokształcenia oraz zapewniając przejście do aktywnego, samodzielnego myślenia.

Seminarium prowadzone jest po przećwiczeniu podstawowych umiejętności rozwiązywania równań trygonometrycznych. Na kilka lekcji przed seminarium studenci otrzymują pytania, które będą omawiane w trakcie seminarium.

Seminarium składa się z trzech części.

1. Część wprowadzająca obejmuje cały materiał teoretyczny, w tym wprowadzenie do problemów, które pojawią się przy rozwiązywaniu złożonych równań.

2. W drugiej części omówiono rozwiązanie równań postaci:

• i cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• równania rozwiązywalne poprzez zmniejszenie stopnia.

W równaniach tych zastosowano uniwersalne podstawienie, wzory redukcji stopni i metodę argumentów pomocniczych.

3. W trzeciej części omówiono problematykę utraty korzeni i nabywania korzeni obcych. Pokazuje, jak wybrać korzenie.

Uczniowie pracują w grupach. Aby rozwiązać przykłady, wzywa się dobrze przeszkolonych chłopaków, którzy mogą pokazać i wyjaśnić materiał.

Seminarium przeznaczone jest dla studenta dobrze przygotowanego, ponieważ... porusza kwestie nieco wykraczające poza zakres materiału programowego. Obejmuje równania o bardziej złożonej postaci, a zwłaszcza omawia problemy napotykane przy rozwiązywaniu złożonych równań trygonometrycznych.

Seminarium odbyło się dla uczniów klas 10-11. Każdy uczeń miał okazję poszerzyć i pogłębić swoją wiedzę na ten temat, porównać poziom swojej wiedzy nie tylko z wymaganiami stawianymi absolwentowi szkoły, ale także z wymaganiami stawianymi przystępującym do V.U.Z.

SEMINARIUM

Temat:„Rozwiązywanie równań trygonometrycznych”

Cele:

• Uogólnienie wiedzy na temat rozwiązywania równań trygonometrycznych wszystkich typów.
• Skoncentruj się na problemach: utrata korzeni; obce korzenie; wybór korzenia.

PODCZAS ZAJĘĆ.

I. Część wprowadzająca

1. Podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych

• Faktoryzacja.
• Wprowadzenie nowej zmiennej.
• Funkcjonalna metoda graficzna.

2. Niektóre typy równań trygonometrycznych.

• Równania sprowadzające się do równań kwadratowych w odniesieniu do cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Rozwiązuje się je poprzez wprowadzenie nowej zmiennej.

• Równania jednorodne pierwszego i drugiego stopnia

Równanie pierwszego stopnia: Asinx + Bcosx = 0 podziel przez cos x, otrzymamy Atg x + B = 0

Równanie drugiego stopnia: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 podziel przez cos 2 x, otrzymamy Atg 2 x + Btgx + C = 0

Rozwiązuje się je poprzez faktoryzację i wprowadzenie nowej zmiennej.

Obowiązują wszystkie metody.

• Nachylenie:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Rozwiązane metodą faktoryzacji.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Równanie postaci: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Zredukowane do kwadratu w odniesieniu do t = sinx + cosx; grzech2x = t 2 – 1.

3. Formuły.

x + 2 n; Sprawdzenie jest wymagane!

• Malejąca moc: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; grzech 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Metoda argumentacji pomocniczej.

Zastąpmy Acosx + Bsinx Csin (x + ), gdzie sin = a/C; cos=v/c;

– argument pomocniczy.

4. Zasady.

• Jeśli widzisz kwadrat, obniż stopień.
• Jeśli zobaczysz kawałek, zrób sumę.
• Jeśli widzisz kwotę, wykonaj pracę.

5. Utrata korzeni, dodatkowe korzenie.

• Utrata korzeni: podziel przez g(x); niebezpieczne formuły (uniwersalna substytucja). Dzięki tym operacjom zawężamy zakres definicji.

• Nadmiar korzeni: podniesiony do równej mocy; pomnóż przez g(x) (pozbądź się mianownika). Dzięki tym operacjom rozszerzamy zakres definicji.

II. Przykłady równań trygonometrycznych

1. Równania w postaci Asinx + Bcosx = C

1) Uniwersalna substytucja.O.D.Z. x – dowolne.

3 grzech 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = ty x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Badanie: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 grzech + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funkcjonalna metoda graficzna. O.D.Z. x – dowolne.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Narysujmy funkcje: y = sinx, y = cosx + 1.

Odpowiedź: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Wprowadzenie argumentu pomocniczego. O.D.Z.: x – dowolne.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, ponieważ (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, to istnieje takie, że grzech = 8/17,

cos = 15/17, co oznacza sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Odpowiedź: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Zmniejszenie rzędu: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). grzech 2 3x + grzech 2 4x + grzech 2 6x + grzech 2 7x = 2. O.D.Z.: x – dowolne.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
sałata 6x + sałata 8x + sałata 12x + sałata 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Odpowiedź: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Na

k = 1 i m = 0 k = 4 i m = 1.

seriale są takie same.

3. Redukcja do jednorodności. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – dowolne.
5 grzech 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 grzech 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nie można podzielić przez cos 2 x, ponieważ tracimy pierwiastki.
cos 2 x = 0 spełnia równanie.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Odpowiedź: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Równanie postaci: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – dowolne.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5 t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = grzech(x + /2),
sinx + grzech(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
grzech(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Odpowiedź: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktoryzacja.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, bez pierwiastków.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Odpowiedź: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problemy pojawiające się przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

1. Utrata pierwiastków: podziel przez g(x); Używamy niebezpiecznych formuł.

1) Znajdź błąd.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 ze wzoru.
2 grzech 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 podzielić przez 2 grzech 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Utracone korzenie sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Prawidłowe rozwiązanie: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

grzech 2x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Obce pierwiastki: pozbywamy się mianownika; podnieść do równej potęgi.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). os3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 grzech 2/3 = 3/2 nie zadowalaj. O.D.Z. 2. n = 1 grzech 2 = 0 zadowolić O.D.Z. 3. n = 2 grzech 2/3 = –3 / 2 zadowolić O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 grzech 2/6 = 3/2 nie zadowalają O.D.Z. 2. k = 1 grzech 2*5/6 = –3 / 2 zadowolić O.D.Z.

Odpowiedź: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. ZGUBIONE I WYKRĘCONE KORZENIE PRZY ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ (NA PRZYKŁADY)

MATERIAŁ ODNIESIENIA

1. Dwa twierdzenia w § 3 rozdziału VII mówiły o tym, jakie działania na równaniach nie naruszają ich równoważności.

2. Rozważmy teraz operacje na równaniach, które mogą prowadzić do nowego równania, nierównego pierwotnemu równaniu. Zamiast rozważań ogólnych ograniczymy się do rozważenia tylko konkretnych przykładów.

3. Przykład 1. Mając równanie, otwórzmy nawiasy w tym równaniu, przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę i rozwiążmy równanie kwadratowe. Jego korzenie są

Jeśli zmniejszymy obie strony równania przez wspólny współczynnik, otrzymamy równanie, które jest różne od pierwotnego, ponieważ ma tylko jeden pierwiastek

Zatem zmniejszenie obu stron równania o czynnik zawierający niewiadomą może spowodować utratę pierwiastków równania.

4. Przykład 2. Biorąc pod uwagę równanie. To równanie ma jeden pierwiastek. Podstawmy obie strony tego równania i otrzymamy dwa pierwiastki:

Widzimy, że nowe równanie nie jest równoważne pierwotnemu równaniu. Pierwiastek jest pierwiastkiem równania, które po podniesieniu obu stron do kwadratu prowadzi do równania

5. Obce pierwiastki mogą również pojawić się, gdy obie strony równania zostaną pomnożone przez współczynnik zawierający niewiadomą, jeśli czynnik ten zniknie dla rzeczywistych wartości x.

Przykład 3. Jeśli pomnożymy obie strony równania przez to otrzymamy nowe równanie, które po przeniesieniu wyrazu z prawej strony na lewą i rozłożeniu na czynniki daje równanie albo

Pierwiastek nie spełnia równania, które ma tylko jeden pierwiastek

Stąd wyciągamy wnioski: przy podnoszeniu obu stron równania do kwadratu (ogólnie do parzystej potęgi), a także przy mnożeniu przez współczynnik zawierający niewiadomą i znikający przy rzeczywistych wartościach nieznanego, mogą pojawić się obce pierwiastki.

Wszystkie wyrażone tutaj rozważania na temat utraty i pojawienia się obcych pierwiastków równania odnoszą się w równym stopniu do wszelkich równań (algebraicznych, trygonometrycznych itp.).

6. Równanie nazywa się algebraicznym, jeśli na nieznanej wykonywane są tylko operacje algebraiczne - dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie i ekstrakcja pierwiastka z wykładnikiem naturalnym (a liczba takich operacji jest skończona).

Na przykład równania

są algebraiczne, a równania

ZĘBY. Zęby kręgowców mają całkowicie podobną budowę i rozwój do łusek placoidalnych pokrywających całą skórę rekinów. Ponieważ cała jama ustna, a częściowo jama gardłowa, jest pokryta nabłonkiem ektodermalnym, typowy placoid... ...

GRUŹLICA PŁUC- GRUŹLICA PŁUC. Spis treści: I. Anatomia patologiczna...........110 II. Klasyfikacja gruźlicy płuc.... 124 III. Klinika............................128 IV. Diagnostyka............................160 V. Rokowanie.............. ........... 190 VI. Leczenie … Wielka encyklopedia medyczna

ZATRUCIE- ZATRUCIE. Zatrucie oznacza „zaburzenia funkcji zwierząt”. organizmy, wywołane przez substancje egzogenne lub endogenne, chemicznie lub fizycznie i chemicznie czynne, obce pod względem jakości, ilości lub stężenia... ... Wielka encyklopedia medyczna

Bakterie guzkowe roślin strączkowych- Dane paleontologiczne wskazują, że najstarszymi roślinami strączkowymi posiadającymi guzki były niektóre rośliny należące do grupy Eucaesalpinioideae. We współczesnych gatunkach roślin strączkowych znaleziono guzki... Encyklopedia biologiczna

Lista odcinków serialu animowanego „Luntik”- W artykule brakuje linków do źródeł informacji. Informacje muszą być weryfikowalne, w przeciwnym razie mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Można... Wikipedia

ROŚLINY I ŚRODOWISKO- Życie rośliny, jak każdego innego żywego organizmu, to złożony zestaw powiązanych ze sobą procesów; Jak wiadomo, najważniejszym z nich jest wymiana substancji z otoczeniem. Środowisko jest źródłem, z którego... ... Encyklopedia biologiczna

Lista odcinków serialu „Luntik”- Główny artykuł: Przygody Luntika i jego przyjaciół Spis treści 1 Liczba odcinków 2 Lista odcinków serialu animowanego Luntik i jego przyjaciele ... Wikipedia

Choroby drzew owocowych- Drzewa owocowe, dzięki ciągłej opiece człowieka, powinny osiągnąć wiek znacznie starszy od swoich nieuprawnych krewnych, gdyby nie przeciwdziałające wpływy wielu uwarunkowań samej kultury, a mianowicie stawianych przez nas wymagań... ...

Wycinka lasu- Pozyskiwanie lasu, czyli pozyskiwanie dochodów leśnych w postaci drewna i kory, można przeprowadzić na dwa sposoby: poprzez wykopanie lub wyrwanie całych drzew, tj. pni wraz z korzeniami, lub osobno, w częściach, wcześniej ściętych lub usuniętych z... ... Słownik encyklopedyczny F.A. Brockhausa i I.A. Efrona

Grosz- (polski grosz, od niemieckiego grosza, od łacińskiego Grossus (dēnārius) „gruby denar”) moneta różnych krajów i czasów. Spis treści 1 Wygląd grosza… Wikipedia

Monety amerykańskie- 20 dolarów Saint Gaudens najpiękniejsza i najdroższa moneta amerykańska Monety amerykańskie to monety bite w Mennicy Amerykańskiej. Produkowane od 1792 roku... Wikipedia

Książki

• Główne przyczyny wypadania włosów u kobiet, Alexey Michman, Sześć na dziesięć kobiet cierpi na wypadanie włosów w którymś momencie swojego życia. Wypadanie włosów może wystąpić z wielu powodów, takich jak dziedziczność, zmiany hormonalne w... Kategoria:

Na ostatniej lekcji zastosowaliśmy trzy kroki do rozwiązania równań.

Pierwszy etap ma charakter techniczny. Korzystając z łańcucha przekształceń z pierwotnego równania, dochodzimy do dość prostego, które rozwiązujemy i znajdujemy pierwiastki.

Drugi etap to analiza rozwiązania. Analizujemy przekształcenia, które wykonaliśmy i sprawdzamy, czy są one równoważne.

Trzeci etap to weryfikacja. Sprawdzenie wszystkich znalezionych pierwiastków poprzez podstawienie ich do pierwotnego równania jest obowiązkowe przy wykonywaniu przekształceń, które mogą prowadzić do równania wynikowego

Czy przy rozwiązywaniu równania zawsze konieczne jest rozróżnienie trzech etapów?

Oczywiście nie. Jak na przykład przy rozwiązywaniu tego równania. W życiu codziennym zazwyczaj nie są one rozróżniane. Ale o wszystkich tych etapach należy „pamiętać” i przeprowadzać je w takiej czy innej formie. Konieczne jest zbadanie równoważności przekształceń. A jeśli analiza wykaże, że należy przeprowadzić kontrolę, jest ona obowiązkowa. W przeciwnym razie równanie nie może zostać uznane za rozwiązane poprawnie.

Czy zawsze można sprawdzić pierwiastki równania tylko przez podstawienie?

Jeżeli przy rozwiązywaniu równania zastosowano przekształcenia równoważne, weryfikacja nie jest wymagana. Przy sprawdzaniu pierwiastków równania bardzo często stosuje się ODZ (dopuszczalny zakres wartości). Jeżeli sprawdzenie za pomocą ODZ jest trudne, wówczas dokonuje się tego poprzez podstawienie go do pierwotnego równania.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy z dwóch x plus trzy równa się jeden plus x.

Rozwiązanie

ODZ równania jest wyznaczany przez układ dwóch nierówności: dwa x plus trzy jest większe lub równe zero i jeden plus x jest większe lub równe zero. Rozwiązaniem jest x większe lub równe minus jeden.

Podnieśmy obie strony równania do kwadratu, przenieś wyrazy z jednej strony równania na drugą, dodaj podobne wyrazy i otrzymaj równanie kwadratowe x kwadrat równa się dwa. Jego korzenie są

x pierwszy, drugi równa się plus lub minus pierwiastek kwadratowy z dwóch.

Badanie

Wartość x pierwsza jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch i jest pierwiastkiem równania, ponieważ jest uwzględniona w ODZ.
Wartość x sekundy równa się minus pierwiastek kwadratowy z dwóch nie jest pierwiastkiem równania, ponieważ nie jest on uwzględniony w DZ.
Sprawdźmy, czy pierwiastek x jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch, podstawiając go do pierwotnej równości, otrzymamy

równość jest prawdziwa, co oznacza, że ​​x równa się pierwiastkowi kwadratowemu z dwóch, co jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź: pierwiastek kwadratowy z dwóch.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy z x minus osiem równa się pięć minus x.

Rozwiązanie

ODZ równania irracjonalnego jest wyznaczana przez układ dwóch nierówności: x minus osiem jest większe lub równe zero i pięć minus x jest większe lub równe zero. Rozwiązując go, okazuje się, że ten układ nie ma rozwiązań. Pierwiastkiem równania nie może być żadna z wartości zmiennej x.

Odpowiedź: brak korzeni.

Zadanie 3

Rozwiąż równanie pierwiastek kwadratowy z x do sześcianu plus cztery x minus jeden minus osiem pierwiastków kwadratowych x do potęgi czwartej minus x równa się pierwiastek kwadratowy z x do sześcianu minus jeden plus dwa pierwiastki kwadratowe z x.

Rozwiązanie

Znalezienie ODZ w tym równaniu jest dość trudne.

Przeprowadźmy transformację: podnieś obie strony tego równania do kwadratu,

Przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania i przyprowadźmy wyrazy podobne, napiszmy dwa pierwiastki pod jednym, otrzymamy podobne pierwiastki, przyprowadźmy podobne, podzielmy przez współczynnik minus 12 i uwzględnimy wyrażenie pierwiastkowe, otrzymamy równanie w postać iloczynu dwóch czynników równych zero. Po rozwiązaniu problemu znajdujemy korzenie:

x pierwsze jest równe jeden, x drugie jest równe zero.

Ponieważ podnieśliśmy obie strony równania do parzystej potęgi, sprawdzenie pierwiastków jest obowiązkowe.

Badanie

Jeśli x jest równe jeden, to

otrzymujemy poprawną równość, co oznacza, że ​​x równa się jeden jest pierwiastkiem równania.

Jeśli x wynosi zero, to pierwiastek kwadratowy z minus jeden jest nieokreślony.

Oznacza to, że x równe zero jest obcym pierwiastkiem.

Odpowiedź: jedna.

Zadanie 4

Rozwiąż równanie logarytm wyrażenia x kwadrat plus pięć x plus dwa przy podstawie dwa równa się trzy.

Rozwiązanie

Znajdźmy równanie ODZ. Aby to zrobić, rozwiązujemy nierówność x kwadrat plus pięć x plus dwa przez zero.

Nierówność rozwiązujemy metodą przedziałową. Aby to zrobić, rozkładamy na czynniki jego lewą stronę, po wcześniejszym rozwiązaniu równania kwadratowego i biorąc pod uwagę znak nierówności, określamy ODZ. ODZ jest równy sumie promieni otwartych od minus nieskończoności do minus ułamek pięć plus pierwiastek kwadratowy z siedemnaście podzielony przez dwa i od minus ułamek pięć minus pierwiastek kwadratowy z siedemnaście podzielony przez dwa do plus nieskończoność.

Teraz zacznijmy znajdować pierwiastki równania. Biorąc pod uwagę, że trzy jest równe logarytmowi ośmiu do podstawy dwa, zapisujemy równanie w następujący sposób: logarytm wyrażenia x kwadrat plus pięć x plus dwa do podstawy dwa jest równy logarytmowi ośmiu do podstawy dwa. Wzmocnijmy równanie, otrzymajmy i rozwiążmy równanie kwadratowe.

Wyróżnikiem jest czterdzieści dziewięć.

Oblicz pierwiastki:

x pierwszy jest równy minus sześć; x sekunda równa się jeden.

Badanie

Minus sześć należy do ODZ, jeden należy do ODZ, co oznacza, że ​​obie liczby są pierwiastkami równania.

Odpowiedź: minus sześć; jeden.

Na ostatniej lekcji przyjrzeliśmy się kwestii pojawiania się obcych korzeni. Możemy je wykryć poprzez weryfikację. Czy można stracić korzenie przy rozwiązywaniu równania i jak temu zapobiec?

Wykonując takie działania na równaniu, jak po pierwsze, dzieląc obie strony równania tym samym wyrażeniem ax od x (z wyjątkiem przypadków, gdy wiadomo na pewno, że ax od x nie jest równy zero dla dowolnego x od dziedzina definicji równania);

po drugie, zawężanie OD równania podczas procesu rozwiązywania może prowadzić do utraty pierwiastków równania.

Pamiętać!

Równanie zapisane jako

ef od x pomnożony przez popiół z x jest równy zhe od x pomnożony przez popiół z x rozwiązuje się w ten sposób:

musisz dokonać rozkładu na czynniki, umieszczając wspólny czynnik w nawiasach;

następnie przyrównaj każdy czynnik do zera, uzyskując w ten sposób dwa równania.

Obliczamy ich pierwiastki.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż równanie x sześcian równa się x.

Pierwszy sposób

Dzielimy obie strony tego równania przez x, otrzymujemy x kwadrat równa się jeden, mając pierwiastek x pierwszy równa się jeden,

x sekunda równa się minus jeden.

Drugi sposób

X sześcian równa się X. Przesuńmy x na lewą stronę równania, usuńmy x z nawiasów i otrzymamy: x pomnożone przez x kwadrat minus jeden równa się zero.

Obliczmy jego pierwiastki:

X pierwsze jest równe zero, x drugie jest równe jeden, x trzecie jest równe minus jeden.

Równanie ma trzy pierwiastki.

Rozwiązując pierwszą metodę straciliśmy jeden pierwiastek - x równa się zero.

Odpowiedź: minus jeden; zero; jeden.

Pamiętać! Zmniejszenie obu stron równania o czynnik zawierający niewiadomą może spowodować utratę pierwiastków.

Zadanie 2

Rozwiąż równanie: logarytm dziesiętny x kwadrat jest równy dwa.

Rozwiązanie

Pierwszy sposób

Z definicji logarytmu otrzymujemy równanie kwadratowe x kwadrat równa się sto.

Jego pierwiastki: x pierwszy równa się dziesięć; X sekunda równa się minus dziesięć.

Drugi sposób

Z własności logarytmów wynika, że ​​mamy dwa logarytmy dziesiętne x równa się dwa.

Jego pierwiastek - x jest równy dziesięć

W przypadku drugiej metody pierwiastek x równy minus dziesięć został utracony. A powodem jest to, że zastosowali złą formułę, zawężając zakres równania. Wyrażenie logarytmu dziesiętnego x kwadrat jest zdefiniowane dla wszystkich x z wyjątkiem x równego zero. Wyrażenie logarytmu dziesiętnego x jest takie, że x jest większe od zera. Prawidłowy wzór na logarytm dziesiętny x kwadrat jest równy modułowi dwóch logarytmów dziesiętnych x.

Pamiętać! Rozwiązując równanie, mądrze korzystaj z dostępnych wzorów.

Podstawowe metody rozwiązywania równań

Jakie jest rozwiązanie równania?

Identyczna transformacja. Podstawowy

rodzaje transformacji tożsamości.

Korzeń obcy. Utrata korzeni.

Rozwiązanie równania jest procesem polegającym głównie na zastąpieniu danego równania innym równaniem mu równoważnym . To zastąpienie nazywa sięidentyczna transformacja . Główne przemiany tożsamości są następujące:

1.

Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie mu równym. Na przykład równanie (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 można zastąpić następującym odpowiednikiem:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Przenoszenie składników równania z jednej strony na drugą za pomocą odwrotnych znaków. Zatem w poprzednim równaniu możemy przenieść wszystkie jego wyrazy z prawej strony na lewą ze znakiem „-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, po czym otrzymujemy:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez to samo wyrażenie (liczbę) inne niż zero. Jest to bardzo ważne, ponieważnowe równanie może nie być równoważne poprzedniemu, jeśli wyrażenie, przez które mnożymy lub dzielimy, może być równe zero.

PRZYKŁAD RównanieX - 1 = 0 ma pojedynczy pierwiastekx = 1.

Mnożąc obie strony przezX - 3 , otrzymujemy równanie

( X - 1)( X - 3) = 0, co ma dwa pierwiastki:x = 1 iX = 3.

Ostatnia wartość nie jest pierwiastkiem danego równania

X - 1 = 0. Jest to tzwobcy korzeń .

I odwrotnie, podział może prowadzić doutrata korzeni . Więc

w naszym przypadku, jeśli (X - 1 )( X - 3 ) = 0 to oryginał

równanie, potem pierwiastekx = 3 zostaną utracone w dywizji

obie strony równaniaX - 3 .

W ostatnim równaniu (punkt 2) możemy podzielić wszystkie jego wyrazy przez 3 (a nie zero!) i ostatecznie otrzymać:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

To równanie jest równoważne pierwotnemu:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Mócpodnieś obie strony równania do nieparzystej potęgi Lubwyodrębnij pierwiastek nieparzysty z obu stron równania . Należy pamiętać, że:

a) budowa wnawet stopień może powodowaćdo nabycia obcych korzeni ;

B)zło ekstrakcjanawet root Może prowadzić doutrata korzeni .

PRZYKŁADY. Równanie 7X = 35 ma jeden korzeńX = 5 .

Podnosząc do kwadratu obie strony tego równania, otrzymujemy

równanie:

49 X 2 = 1225 .

mający dwa korzenie:X = 5 IX = – 5. Ostatnia wartość

jest obcym korzeniem.

Błędny biorąc pierwiastek kwadratowy z obu

części równania 49X 2 = 1225 wyników w 7X = 35,

i tracimy korzenieX = – 5.

Prawidłowy biorąc pierwiastek kwadratowy, otrzymasz wynik

równanie: | 7X | = 35, A stąd dwa przypadki:

1) 7 X = 35, NastępnieX = 5 ; 2) – 7 X = 35, NastępnieX = – 5 .

Dlatego kiedyprawidłowy wyodrębnianie kwadratu

pierwiastki nie tracimy pierwiastków równania.

Co znaczyPrawidłowy wyodrębnić korzeń? Tutaj się spotykamy

z bardzo ważną koncepcjąpierwiastek arytmetyczny

(cm. ).