Atvasinājumu teorija. Atvasinātā grafika lasīšana

B8. Vienotais valsts eksāmens

1. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu x0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0. Atbilde: 2

2.

Atbilde: -5

3.

Uz intervālu (–9;4).

Atbilde: 2

4.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0 Atbilde: 0,5

5. Atrodiet taisnes y = 3x + 8 pieskares punktu un funkcijas y = x3+x2-5x-4 grafiku. Atbildē norādiet šī punkta abscisu. Atbilde: -2

6.

Nosakiet argumenta veselo skaitļu vērtību skaitu, kuram funkcijas f(x) atvasinājums ir negatīvs. Atbilde: 4

7.

Atbilde: 2

8.

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y=5–x vai sakrīt ar to. Atbilde: 3

9.

Intervāls (-8; 3).

Taisna līnija y = -20. Atbilde: 2

10.

Atbilde: -0,5

11

Atbilde: 1

12. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0. Atbilde: 0,5

13. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0. Atbilde: -0,25

14.

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y = x+7 vai sakrīt ar to. Atbilde: 4

15

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0. Atbilde: -2

16.

intervāls (-14;9).

Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā [-12;7]. Atbilde: 3

17

uz intervālu (-10;8).

Atrodiet funkcijas f(x) ekstrēmu punktu skaitu nogriežņā [-9;7]. Atbilde: 4

18. Taisne y = 5x-7 pieskaras funkcijas y = 6x2 + bx-1 grafikam punktā, kura abscise ir mazāka par 0. Atrodiet b. Atbilde: 17

19

Atbilde:-0,25

20

Atbilde: 6

21. Atrodiet funkcijas y=x2+6x-7 grafika pieskari, kas ir paralēla taisnei y=5x+11. Atbildē norādiet pieskares punkta abscisu. Atbilde: -0,5

22.

Atbilde: 4

23. f "(x) intervālā (-16;4).

Uz segmenta [-11;0] atrodiet funkcijas maksimālo punktu skaitu. Atbilde: 1

B8 Funkciju grafiki, funkciju atvasinājumi. Funkciju izpēte . Vienotais valsts eksāmens

1. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā ar abscisu x0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

2. Attēlā parādīts intervālā (-6; 5) definētas funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks.

Kurā posma punktā [-5; -1] f(x) ņem mazāko vērtību?

3. Attēlā parādīts definētas funkcijas y = f(x) atvasinājuma grafiks

Uz intervālu (–9;4).

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei

y = 2x-17 vai sakrīt ar to.

4. Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0

5. Atrodiet taisnes y = 3x + 8 pieskares punktu un funkcijas y = x3+x2-5x-4 grafiku. Atbildē norādiet šī punkta abscisu.

6. Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks, kas definēts intervālā (-7; 5).

Nosakiet argumenta veselo skaitļu vērtību skaitu, kuram funkcijas f(x) atvasinājums ir negatīvs.

7. Attēlā parādīts funkcijas y=f "(x") grafiks, kas definēts intervālā (-8; 8).

Atrodi segmentam [-4 piederošās funkcijas f(x) ekstrēmu punktu skaitu; 6].

8. Attēlā parādīts funkcijas y = f "(x) grafiks, kas definēts intervālā (-8; 4).

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y=5–x vai sakrīt ar to.

9. Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) atvasinājuma grafiks, kas definēts uz

Intervāls (-8; 3).

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla

Taisna līnija y = -20.

10. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

11 . Attēlā parādīts intervālā (-9;9) definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks.

Atrodiet funkcijas $f(x)$ minimālo punktu skaitu intervālā [-6;8]. 1

12. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

13. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

14. Attēlā parādīts intervālā (-6;8) definētas funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks.

Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas f(x) grafika pieskare ir paralēla taisnei y = x+7 vai sakrīt ar to.

15 . Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

16. Attēlā parādīts funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks, kas definēts uz

intervāls (-14;9).

Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu segmentā [-12;7].

17 . Attēlā parādīts definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks

uz intervālu (-10;8).

Atrodiet funkcijas f(x) ekstrēmu punktu skaitu nogriežņā [-9;7].

18. Taisne y = 5x-7 pieskaras funkcijas y = 6x2 + bx-1 grafikam punktā, kura abscise ir mazāka par 0. Atrodiet b.

19 . Attēlā parādīts funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks un tai pieskare punktā ar abscisu x0.

Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x0.

20 . Atrodiet punktu skaitu intervālā (-1;12), pie kura grafikā redzamās funkcijas y = f(x) atvasinājums ir vienāds ar 0.

21. Atrodiet funkcijas y=x2+6x-7 grafika pieskari, kas ir paralēla taisnei y=5x+11. Atbildē norādiet pieskares punkta abscisu.

22. Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks. Atrodiet veselu skaitļu punktu skaitu intervālā (-2;11), kurā funkcijas f(x) atvasinājums ir pozitīvs.

23. Attēlā parādīts funkcijas y= grafiks f "(x) intervālā (-16;4).

Uz segmenta [-11;0] atrodiet funkcijas maksimālo punktu skaitu.

Sveiki! Sitīsim gaidāmo Vienoto valsts eksāmenu ar kvalitatīvu sistemātisku sagatavošanos un neatlaidību zinātnes granīta slīpēšanā!!! INIeraksta beigās ir konkursa uzdevums, esi pirmais! Vienā no šīs sadaļas rakstiem jūs un es, kurā tika dots funkcijas grafiks un tika uzdoti dažādi jautājumi par ekstremitātēm, pieauguma (samazinājuma) intervāliem un citiem.

Šajā rakstā aplūkosim Vienotajā valsts eksāmenā matemātikā iekļautās problēmas, kurās ir dots funkcijas atvasinājuma grafiks un uzdoti šādi jautājumi:

1. Kurā noteiktā segmenta punktā funkcija iegūst lielāko (vai mazāko) vērtību.

2. Atrodiet noteiktam segmentam piederošās funkcijas maksimālo (vai minimālo) punktu skaitu.

3. Atrodiet noteiktam segmentam piederošās funkcijas ekstrēmu punktu skaitu.

4. Atrodiet dotajam segmentam piederošās funkcijas galējo punktu.

5. Atrodiet pieaugošās (vai samazinošās) funkcijas intervālus un atbildē norādiet šajos intervālos ietverto veselo skaitļu punktu summu.

6. Atrodiet funkcijas pieauguma (vai samazinājuma) intervālus. Atbildē norādiet lielākā no šiem intervāliem garumu.

7. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei ar formu y = kx + b vai sakrīt ar to.

8. Atrodiet tā punkta abscisu, kurā funkcijas grafika pieskare ir paralēla abscisu asij vai sakrīt ar to.

Var būt arī citi jautājumi, bet tie jums nesagādās grūtības, ja sapratīsiet un (tiek dotas saites uz rakstiem, kas sniedz risinājumam nepieciešamo informāciju, iesaku atkārtot).

Pamatinformācija (īsi):

1. Atvasinājumam ar pieaugošiem intervāliem ir pozitīva zīme.

Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā palielinās.

2. Ar intervāliem, kas samazinās, atvasinājumam ir negatīva zīme.

Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir negatīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā samazinās.

3. Atvasinājums punktā x ir vienāds ar funkcijas grafikam tajā pašā punktā novilktās pieskares slīpumu.

4. Funkcijas ekstrēma (maksimums-minimums) punktos atvasinājums ir vienāds ar nulli. Funkcijas grafika pieskare šajā punktā ir paralēla x asij.

Tas ir skaidri jāsaprot un jāatceras!!!

Atvasinātais grafiks “mulsina” daudzus cilvēkus. Daži cilvēki to nejauši sajauc ar pašas funkcijas grafiku. Tāpēc šādās ēkās, kur redzat, ka ir dots grafiks, stāvoklī nekavējoties koncentrējiet uzmanību uz to, kas ir dots: funkcijas grafiks vai funkcijas atvasinājuma grafiks?

Ja tas ir funkcijas atvasinājuma grafiks, uzskatiet to par pašas funkcijas "atspoguļojumu", kas vienkārši sniedz informāciju par šo funkciju.

Apsveriet uzdevumu:

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–2;21).

Mēs atbildēsim uz šādiem jautājumiem:

1. Kurā segmenta punktā atrodas funkcija f(X) aizņem vislielāko vērtību.

Noteiktā intervālā funkcijas atvasinājums ir negatīvs, kas nozīmē, ka funkcija šajā intervālā samazinās (tas samazinās no intervāla kreisās robežas uz labo). Tādējādi lielākā funkcijas vērtība tiek sasniegta segmenta kreisajā malā, t.i., 7. punktā.

Atbilde: 7

2. Kurā segmenta punktā atrodas funkcija f(X)

No šī atvasinātā grafika mēs varam teikt sekojošo. Noteiktā intervālā funkcijas atvasinājums ir pozitīvs, kas nozīmē, ka funkcija šajā intervālā palielinās (tā palielinās no intervāla kreisās robežas uz labo pusi). Tādējādi mazākā funkcijas vērtība tiek sasniegta segmenta kreisajā malā, tas ir, punktā x = 3.

Atbilde: 3

3. Atrodiet funkcijas maksimālo punktu skaitu f(X)

Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinātā zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu. Apsvērsim, kur zīme mainās šādā veidā.

Segmentā (3;6) atvasinājums ir pozitīvs, segmentā (6;16) tas ir negatīvs.

Segmentā (16;18) atvasinājums ir pozitīvs, segmentā (18;20) tas ir negatīvs.

Tādējādi noteiktā segmentā funkcijai ir divi maksimālie punkti x = 6 un x = 18.

Atbilde: 2

4. Atrodiet funkcijas minimālo punktu skaitu f(X), kas pieder segmentam.

Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinātā zīme mainās no negatīvas uz pozitīvu. Mūsu atvasinājums ir negatīvs intervālā (0;3) un pozitīvs intervālā (3;4).

Tādējādi segmentā funkcijai ir tikai viens minimālais punkts x = 3.

*Pierakstot atbildi, esi uzmanīgs - tiek fiksēts punktu skaits, nevis x vērtība, šāda kļūda var tikt pieļauta neuzmanības dēļ.

Atbilde: 1

5. Atrodiet funkcijas galējo punktu skaitu f(X), kas pieder segmentam.

Lūdzu, ņemiet vērā, kas jums jāatrod daudzums galējie punkti (tie ir gan maksimālie, gan minimālie punkti).

Ekstrēma punkti atbilst punktiem, kuros mainās atvasinājuma zīme (no pozitīvas uz negatīvu vai otrādi). Nosacījuma grafikā šīs ir funkcijas nulles. Atvasinājums pazūd 3., 6., 16., 18. punktos.

Tādējādi funkcijai segmentā ir 4 galējie punkti.

Atbilde: 4

6. Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus f(X)

Šīs funkcijas palielināšanas intervāli f(X) atbilst intervāliem, kuros tā atvasinājums ir pozitīvs, tas ir, intervāliem (3;6) un (16;18). Lūdzu, ņemiet vērā, ka intervāla robežas tajā nav iekļautas (apaļās iekavas - robežas nav iekļautas intervālā, kvadrātiekavas - iekļautas). Šajos intervālos ir veseli skaitļu punkti 4, 5, 17. To summa ir: 4 + 5 + 17 = 26

Atbilde: 26

7. Atrodiet dilstošās funkcijas intervālus f(X) noteiktā intervālā. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.

Funkcijas samazināšanas intervāli f(X) atbilst intervāliem, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Šajā uzdevumā tie ir intervāli (–2;3), (6;16), (18:21).

Šajos intervālos ir šādi veseli skaitļi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. To summa ir:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Atbilde: 140

*Pievērsiet uzmanību nosacījumam: vai robežas ir iekļautas intervālā vai nē. Ja iekļauj robežas, tad risinājuma procesā aplūkotajos intervālos arī šīs robežas ir jāņem vērā.

8. Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus f(X)

Funkcijas palielināšanas intervāli f(X) atbilst intervāliem, kuros funkcijas atvasinājums ir pozitīvs. Mēs tos jau esam norādījuši: (3;6) un (16:18). Lielākais no tiem ir intervāls (3;6), tā garums ir 3.

Atbilde: 3

9. Atrodiet dilstošās funkcijas intervālus f(X). Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.

Funkcijas samazināšanas intervāli f(X) atbilst intervāliem, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs. Mēs tos jau esam norādījuši, tie ir intervāli (–2;3), (6;16), (18;21), to garumi ir attiecīgi 5, 10, 3.

Lielākā garums ir 10.

Atbilde: 10

10. Atrodiet punktu skaitu, kuros pieskaras funkcijas grafikam f(X) paralēli vai sakrīt ar taisni y = 2x + 3.

Atvasinājuma vērtība pieskares punktā ir vienāda ar pieskares slīpumu. Tā kā pieskare ir paralēla taisnei y = 2x + 3 vai sakrīt ar to, to leņķiskie koeficienti ir vienādi ar 2. Tas nozīmē, ka jāatrod punktu skaits, kuros y′(x 0) = 2. Ģeometriski tas atbilst atvasinātā grafika krustošanās punktu skaitam ar taisni y = 2. Šajā intervālā ir 4 šādi punkti.

Atbilde: 4

11. Atrodiet funkcijas galējo punktu f(X), kas pieder segmentam.

Funkcijas galējais punkts ir punkts, kurā tās atvasinājums ir vienāds ar nulli, un šī punkta tuvumā atvasinājums maina zīmi (no pozitīvas uz negatīvu vai otrādi). Segmentā atvasinātais grafiks krustojas ar x asi, atvasinājums maina zīmi no negatīvas uz pozitīvu. Tāpēc punkts x = 3 ir galējības punkts.

Atbilde: 3

12. Atrodiet to punktu abscisas, kuros grafa y = f (x) pieskares ir paralēlas abscisu asij vai sakrīt ar to. Atbildē norādiet lielāko no tiem.

Grafa pieskare y = f (x) var būt paralēla abscisu asij vai sakrist ar to tikai punktos, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli (tie var būt ekstremāli punkti vai stacionāri punkti, kuru tuvumā atvasinājums atrodas nemaina zīmi). Šis grafiks parāda, ka atvasinājums ir nulle punktos 3, 6, 16, 18. Lielākais ir 18.

Jūs varat strukturēt savu argumentāciju šādi:

Atvasinājuma vērtība pieskares punktā ir vienāda ar pieskares slīpumu. Tā kā pieskare ir paralēla x asij vai sakrīt ar to, tās slīpums ir 0 (patiesi, nulles grādu leņķa tangensa ir nulle). Tāpēc mēs meklējam punktu, kurā slīpums ir vienāds ar nulli, un tāpēc atvasinājums ir vienāds ar nulli. Atvasinājums ir vienāds ar nulli punktā, kurā tā grafiks krustojas ar x asi, un tie ir punkti 3, 6, 16, 18.

Atbilde: 18

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–8;4). Kurā segmenta punktā [–7;–3] atrodas funkcija f(X)ņem mazāko vērtību.

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–7;14). Atrodiet funkcijas maksimālo punktu skaitu f(X), kas pieder segmentam [–6;9].

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–18;6). Atrodiet funkcijas minimālo punktu skaitu f(X), kas pieder segmentam [–13;1].

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–11; –11). Atrodiet funkcijas galējo punktu skaitu f(X), kas pieder segmentam [–10; -10].

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–7;4). Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus f(X). Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–5;7). Atrodiet dilstošās funkcijas intervālus f(X). Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.

Attēlā parādīts grafiks y =f“(X)- funkcijas atvasinājums f(X), kas definēts intervālā (–11;3). Atrodiet pieaugošās funkcijas intervālus f(X). Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.

F Attēlā parādīts grafiks

Problēmas nosacījumi ir vienādi (ko mēs apsvērām). Atrodiet trīs skaitļu summu:

1. Funkcijas f (x) ekstrēmu kvadrātu summa.

2. Funkcijas f (x) maksimālo punktu summas un minimālo punktu summas kvadrātu starpība.

3. Pieskares skaits f (x) paralēli taisnei y = –3x + 5.

Pirmais, kurš sniegs pareizo atbildi, saņems veicināšanas balvu 150 rubļu apmērā. Rakstiet savas atbildes komentāros. Ja šis ir jūsu pirmais komentārs emuārā, tas neparādīsies uzreiz, bet nedaudz vēlāk (nesatraucieties, komentāra rakstīšanas laiks tiek ierakstīts).

Veiksmi tev!

Ar cieņu, Aleksandrs Kruticihs.

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Attēlā parādīts intervālā [–5; definētas funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 6]. Atrodiet punktu skaitu f(x) grafikā, pie kuriem katrā funkcijas grafikam novilktā tangensa sakrīt ar x asi vai ir tai paralēla

Attēlā parādīts diferencējamās funkcijas y = f(x) atvasinājuma grafiks.

Atrodi funkciju grafikā punktu skaitu, kas pieder segmentam [–7; 7], kurā funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei, kas noteikta ar vienādojumu y = –3x.

Materiāls punkts M sāk kustēties no punkta A un kustas pa taisnu līniju 12 sekundes. Grafikā parādīts, kā laika gaitā mainījās attālums no punkta A līdz punktam M. Abscisu ass rāda laiku t sekundēs, bet ordinātu ass rāda attālumu s metros. Nosakiet, cik reizes kustības laikā punkta M ātrums pagriezās uz nulli (neņem vērā kustības sākumu un beigas).

Attēlā parādīti funkcijas y=f(x) grafika un tās pieskares posmi punktā ar abscisu x = 0. Ir zināms, ka šī pieskare ir paralēla taisnei, kas iet caur grafika punktiem ar abscisu x = -2 un x = 3. Izmantojot to, atrodiet atvasinājuma f"(o) vērtību.

Attēlā parādīts grafiks, kurā y = f’(x) - funkcijas f(x) atvasinājums, kas definēts segmentā (-11; 2). Atrodiet abscisu punktam, kurā funkcijas y = f(x) grafika pieskare ir paralēla abscisai vai sakrīt ar to.

Materiāls punkts pārvietojas taisni saskaņā ar likumu x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, mēra no kustības sākuma. Kurā brīdī (sekundēs) tā ātrums bija vienāds ar 2 m/s?

Materiāls punkts pārvietojas pa taisnu līniju no sākotnējās pozīcijas uz pēdējo. Attēlā parādīts tā kustības grafiks. Abscisu ass rāda laiku sekundēs, bet ordinātu ass rāda attālumu no punkta sākotnējās pozīcijas (metros). Atrodiet punkta vidējo ātrumu. Norādiet atbildi metros sekundē.

Funkcija y = f (x) ir definēta intervālā [-4; 4]. Attēlā parādīts tā atvasinājuma grafiks. Atrodiet punktu skaitu funkcijas y = f (x) grafikā, pie kuras pieskares veido 45° leņķi ar Ox ass pozitīvo virzienu.

Funkcija y = f (x) ir definēta intervālā [-2; 4]. Attēlā parādīts tā atvasinājuma grafiks. Funkcijas y = f (x) grafikā atrodiet punkta abscisi, pie kuras tas iegūst mazāko vērtību nogrieznē [-2; -0,001].

Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā x0. Tangensu uzrāda vienādojums y = -2x + 15. Atrodiet funkcijas y = -(1/4)f(x) + 5 atvasinājuma vērtību punktā x0.

Diferencējamās funkcijas y = f (x) grafikā atzīmēti septiņi punkti: x1,.., x7. Atrodiet visus atzīmētos punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir lielāks par nulli. Atbildē norādiet šo punktu skaitu.

Attēlā parādīts funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks y = f"(x), kas definēts intervālā (-10; 2). Atrodiet punktu skaitu, kurā pieskaras funkcijas f grafikam. (x) ir paralēla taisnei y = -2x-11 vai sakrīt ar to.

Attēlā parādīts grafiks y=f"(x) - funkcijas f(x) atvasinājums. Uz abscisu ass ir atzīmēti deviņi punkti: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Cik no šiem punktiem pieder dilstošās funkcijas f(x) intervāliem?

Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā x0. Tangensu nosaka vienādojums y = 1,5x + 3,5. Atrodiet funkcijas y = 2f(x) - 1 atvasinājuma vērtību punktā x0.

Attēlā parādīts grafiks y=F(x) vienam no funkcijas f (x) antiatvasinājumiem. Grafikā ir seši punkti, kas atzīmēti ar abscisēm x1, x2, ..., x6. Cik no šiem punktiem funkcijai y=f(x) ir negatīvas vērtības?

Attēlā parādīts grafiks, kurā automašīna pārvietojas pa maršrutu. Abscisu ass parāda laiku (stundās), bet ordinātu ass parāda nobraukto attālumu (kilometros). Atrodiet automašīnas vidējo ātrumu šajā maršrutā. Sniedziet atbildi km/h

Materiāls punkts pārvietojas taisni saskaņā ar likumu x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kur x ir attālums no atskaites punkta (metros), t ir laiks kustības (sekundēs). Atrast tā ātrumu (metros sekundē) laikā t=6 s

Attēlā parādīts kādas funkcijas y = f(x) antiatvasinājuma y = F(x) grafiks, kas definēts intervālā (-6; 7). Izmantojot attēlu, nosakiet funkcijas f(x) nulles punktu skaitu šajā intervālā.

Attēlā parādīts grafiks ar y = F(x) vienai no kādas funkcijas f(x) antiatvasinājumiem, kas definēti intervālā (-7; 5). Izmantojot attēlu, nosaka vienādojuma f(x) = 0 atrisinājumu skaitu intervālā [- 5; 2].

Attēlā parādīts diferencējamās funkcijas y=f(x) grafiks. Uz x ass ir atzīmēti deviņi punkti: x1, x2, ... x9. Atrodiet visus atzīmētos punktus, kuros funkcijas f(x) atvasinājums ir negatīvs. Atbildē norādiet šo punktu skaitu.

Materiāls punkts kustas taisni saskaņā ar likumu x(t)=12t^3−3t^2+2t, kur x ir attālums no atskaites punkta metros, t ir laiks sekundēs, ko mēra no kustības sākuma. Atrast tā ātrumu (metros sekundē) laikā t=6 s.

Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un šī grafika pieskare, kas novilkta punktā x0. Pieskares vienādojums ir parādīts attēlā. atrast funkcijas y=4*f(x)-3 atvasinājuma vērtību punktā x0.

Iedomāsimies taisnu ceļu, kas iet cauri paugurainam. Tas ir, tas iet uz augšu un uz leju, bet negriežas ne pa labi, ne pa kreisi. Ja ass ir vērsta horizontāli gar ceļu un vertikāli, tad ceļa līnija būs ļoti līdzīga kādas nepārtrauktas funkcijas grafikam:

Ass ir noteikts nulles augstuma līmenis; dzīvē mēs izmantojam jūras līmeni kā to.

Pa šādu ceļu virzoties uz priekšu, mēs arī virzāmies uz augšu vai uz leju. Var arī teikt: mainoties argumentam (kustība pa abscisu asi), mainās funkcijas vērtība (kustība pa ordinātu asi). Tagad padomāsim, kā noteikt mūsu ceļa “stāvumu”? Kāda tā varētu būt vērtība? Tas ir ļoti vienkārši: cik daudz mainīsies augstums, virzoties uz priekšu noteiktu attālumu. Patiešām, dažādos ceļa posmos, virzoties uz priekšu (pa x asi) par vienu kilometru, mēs pacelsimies vai kritīsimies par atšķirīgu metru skaitu attiecībā pret jūras līmeni (pa y asi).

Apzīmēsim progresu (lasiet “delta x”).

Grieķu burtu (delta) matemātikā parasti izmanto kā prefiksu, kas nozīmē "izmaiņas". Tas ir - tas ir daudzuma izmaiņas, - izmaiņas; tad kas tas ir? Tieši tā, lieluma izmaiņas.

Svarīgi: izteiksme ir viens vesels, viens mainīgais. Nekad neatdaliet “delta” no “x” vai jebkura cita burta! Tas ir, piemēram,.

Tātad, mēs esam virzījušies uz priekšu, horizontāli, par. Ja salīdzinām ceļa līniju ar funkcijas grafiku, tad kā apzīmēsim kāpumu? Noteikti,. Tas ir, virzoties uz priekšu, mēs paceļamies augstāk.

Vērtību ir viegli aprēķināt: ja sākumā bijām augstumā un pēc pārvietošanās atradāmies augstumā, tad. Ja beigu punkts ir zemāks par sākuma punktu, tas būs negatīvs – tas nozīmē, ka mēs nevis ejam augšup, bet gan lejup.

Atgriezīsimies pie "stāvuma": šī ir vērtība, kas parāda, cik (strauji) augstums palielinās, virzoties uz priekšu par vienu attāluma vienību:

Pieņemsim, ka kādā ceļa posmā, virzoties uz priekšu par kilometru, ceļš paceļas par kilometru uz augšu. Tad slīpums šajā vietā ir vienāds. Un ja ceļš, virzoties uz priekšu par m, nokritās par km? Tad slīpums ir vienāds.

Tagad paskatīsimies uz kalna virsotni. Ja paņem posma sākumu puskilometru pirms virsotnes, bet beigas puskilometru pēc tās, tad var redzēt, ka augstums ir gandrīz vienāds.

Tas ir, saskaņā ar mūsu loģiku, izrādās, ka slīpums šeit ir gandrīz vienāds ar nulli, kas acīmredzami nav taisnība. Nedaudz vairāk kā kilometru attālumā daudz kas var mainīties. Nepieciešams apsvērt mazākas platības, lai adekvātāk un precīzāk novērtētu stāvumu. Piemēram, ja mērīsit augstuma izmaiņas, pārvietojoties vienu metru, rezultāts būs daudz precīzāks. Bet pat ar šo precizitāti mums var nepietikt – galu galā, ja ceļa vidū ir stabs, varam vienkārši pabraukt tam garām. Kādu attālumu tad izvēlēties? Centimetrs? Milimetrs? Mazāk ir labāk!

Reālajā dzīvē attālumu mērīšana līdz tuvākajam milimetram ir vairāk nekā pietiekami. Bet matemātiķi vienmēr tiecas pēc pilnības. Tāpēc koncepcija tika izgudrota bezgala mazs, tas ir, absolūtā vērtība ir mazāka par jebkuru skaitli, ko varam nosaukt. Piemēram, jūs sakāt: viena triljonā daļa! Cik mazāk? Un jūs dalāt šo skaitli ar - un tas būs vēl mazāks. Un tā tālāk. Ja mēs vēlamies rakstīt, ka daudzums ir bezgalīgi mazs, mēs rakstām šādi: (lasām “x mēdz uz nulli”). Ir ļoti svarīgi saprast ka šis skaitlis nav nulle! Bet ļoti tuvu tam. Tas nozīmē, ka jūs varat dalīt ar to.

Jēdziens, kas ir pretējs bezgalīgi mazam, ir bezgalīgi liels (). Jūs, iespējams, jau esat ar to saskārušies, strādājot pie nevienlīdzības: šis skaitlis ir moduli lielāks par jebkuru skaitli, ko varat iedomāties. Ja izdomājat lielāko iespējamo skaitli, vienkārši reiziniet to ar divi, un jūs iegūsit vēl lielāku skaitli. Un bezgalība ir vēl lielāka par to, kas notiek. Faktiski bezgalīgi lielais un bezgalīgi mazais ir viens otra apgriezti, tas ir, pie un otrādi: pie.

Tagad atgriezīsimies pie sava ceļa. Ideāli aprēķinātais slīpums ir slīpums, kas aprēķināts bezgalīgi mazam ceļa segmentam, tas ir:

Es atzīmēju, ka ar bezgalīgi mazu nobīdi arī augstuma izmaiņas būs bezgalīgi mazas. Bet ļaujiet man atgādināt, ka bezgalīgi mazs nenozīmē vienāds ar nulli. Ja bezgalīgi mazus skaitļus sadala vienu ar otru, var iegūt pilnīgi parastu skaitli, piemēram, . Tas ir, viena maza vērtība var būt tieši reizes lielāka par citu.

Priekš kam tas viss? Ceļš, stāvums... Mēs neejam uz autoralliju, bet mācām matemātiku. Un matemātikā viss ir tieši tāpat, tikai sauc savādāk.

Atvasinājuma jēdziens

Funkcijas atvasinājums ir funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam.

Pakāpeniski matemātikā viņi sauc pārmaiņas. Tiek izsaukts, cik lielā mērā arguments () mainās, pārvietojoties pa asi argumentu pieaugums un ir apzīmēts.Tiek izsaukta funkcija (augstums), virzoties uz priekšu pa asi par attālumu funkcijas pieaugums un ir norādīts.

Tātad funkcijas atvasinājums ir attiecība pret kad. Mēs apzīmējam atvasinājumu ar tādu pašu burtu kā funkcija, tikai ar pirmskaitli augšējā labajā stūrī: vai vienkārši. Tātad, rakstīsim atvasināto formulu, izmantojot šos apzīmējumus:

Tāpat kā analoģijā ar ceļu, šeit, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs.

Vai atvasinājums var būt vienāds ar nulli? Noteikti. Piemēram, ja braucam pa līdzenu horizontālu ceļu, stāvums ir nulle. Un tā ir taisnība, augstums nemaz nemainās. Tā tas ir ar atvasinājumu: nemainīgas funkcijas (konstantes) atvasinājums ir vienāds ar nulli:

jo šādas funkcijas pieaugums ir vienāds ar nulli jebkurai.

Atcerēsimies piemēru kalna galā. Izrādījās, ka segmenta galus bija iespējams sakārtot virsotnes pretējās pusēs tā, lai augstums galos būtu vienāds, tas ir, segments ir paralēls asij:

Bet lieli segmenti liecina par neprecīzu mērījumu. Mēs pacelsim savu segmentu uz augšu paralēli sev, tad tā garums samazināsies.

Galu galā, kad esam bezgalīgi tuvu augšai, segmenta garums kļūs bezgalīgi mazs. Bet tajā pašā laikā tas palika paralēli asij, tas ir, augstuma starpība tās galos ir vienāda ar nulli (tā nemēdz, bet ir vienāda ar). Tātad atvasinājums

To var saprast tā: kad mēs stāvam pašā augšā, neliela nobīde pa kreisi vai pa labi maina mūsu augumu niecīgi.

Ir arī tīri algebrisks skaidrojums: pa kreisi no virsotnes funkcija palielinās, bet pa labi - samazinās. Kā mēs noskaidrojām iepriekš, kad funkcija palielinās, atvasinājums ir pozitīvs, un, kad tas samazinās, tas ir negatīvs. Bet mainās raiti, bez lēcieniem (jo ceļš nekur krasi nemaina savu slīpumu). Tāpēc ir jābūt starp negatīvām un pozitīvajām vērtībām. Tā būs vieta, kur funkcija ne palielinās, ne samazinās – virsotnes punktā.

Tas pats attiecas uz sile (laukums, kurā funkcija kreisajā pusē samazinās un labajā pusē palielinās):

Nedaudz vairāk par pieaugumu.

Tāpēc mēs mainām argumentu uz lielumu. No kādas vērtības mēs maināmies? Par ko tas (arguments) tagad ir kļuvis? Mēs varam izvēlēties jebkuru punktu, un tagad mēs dejosim no tā.

Apsveriet punktu ar koordinātu. Funkcijas vērtība tajā ir vienāda. Tad mēs veicam to pašu pieaugumu: mēs palielinām koordinātu par. Kāds tagad ir arguments? Ļoti viegli: . Kāda tagad ir funkcijas vērtība? Kur atrodas arguments, arī funkcija: . Kā ar funkciju pieaugumu? Nekas jauns: šī joprojām ir summa, par kādu funkcija ir mainījusies:

Praktizējiet pieauguma atrašanu:

1. Atrodiet funkcijas pieaugumu punktā, kad argumenta pieaugums ir vienāds ar.
2. Tas pats attiecas uz funkciju punktā.

Risinājumi:

Dažādos punktos ar vienu un to pašu argumenta pieaugumu funkcijas pieaugums būs atšķirīgs. Tas nozīmē, ka atvasinājums katrā punktā ir atšķirīgs (mēs to apspriedām pašā sākumā - ceļa stāvums dažādos punktos ir atšķirīgs). Tāpēc, rakstot atvasinājumu, mums jānorāda, kurā brīdī:

Jaudas funkcija.

Jaudas funkcija ir funkcija, kurā arguments ir zināmā mērā (loģisks, vai ne?).

Turklāt - jebkurā mērā: .

Vienkāršākais gadījums ir, ja eksponents ir:

Atradīsim tā atvasinājumu punktā. Atcerēsimies atvasinājuma definīciju:

Tātad arguments mainās no uz. Kāds ir funkcijas pieaugums?

Pieaugums ir šis. Bet funkcija jebkurā punktā ir vienāda ar tās argumentu. Tāpēc:

Atvasinājums ir vienāds ar:

Atvasinājums ir vienāds ar:

b) Tagad apsveriet kvadrātfunkciju (): .

Tagad atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka pieauguma vērtību var neņemt vērā, jo tā ir bezgalīgi maza un līdz ar to nenozīmīga uz cita termina fona:

Tātad, mēs izdomājām citu noteikumu:

c) Turpinām loģisko sēriju: .

Šo izteiksmi var vienkāršot dažādos veidos: atveriet pirmo iekavu, izmantojot formulu summas kuba saīsinātai reizināšanai, vai faktorizējiet visu izteiksmi, izmantojot kubu starpības formulu. Mēģiniet to izdarīt pats, izmantojot kādu no ieteiktajām metodēm.

Tātad, es saņēmu sekojošo:

Un atkal atcerēsimies to. Tas nozīmē, ka mēs varam neņemt vērā visus terminus, kas satur:

Mēs iegūstam:.

d) Līdzīgus noteikumus var iegūt lielām jaudām:

e) Izrādās, ka šo noteikumu var vispārināt jaudas funkcijai ar patvaļīgu eksponentu, pat ne veselu skaitli:

(2)

Noteikumu var formulēt ar vārdiem: “pakāpe tiek virzīta uz priekšu kā koeficients un pēc tam samazināta par ”.

Šo noteikumu mēs pierādīsim vēlāk (gandrīz pašās beigās). Tagad apskatīsim dažus piemērus. Atrodiet funkciju atvasinājumu:

1. (divos veidos: pēc formulas un izmantojot atvasinājuma definīciju - aprēķinot funkcijas pieaugumu);

Trigonometriskās funkcijas.

Šeit mēs izmantosim vienu faktu no augstākās matemātikas:

Ar izteiksmi.

Pierādījumus apgūsit institūta pirmajā kursā (un, lai tur nokļūtu, labi jānokārto vienotais valsts eksāmens). Tagad es to parādīšu tikai grafiski:

Mēs redzam, ka tad, kad funkcija neeksistē - punkts grafikā tiek izgriezts. Bet jo tuvāk vērtībai, jo tuvāk funkcija ir. Tas ir “mērķis”.

Turklāt jūs varat pārbaudīt šo noteikumu, izmantojot kalkulatoru. Jā, jā, nekautrējies, paņem kalkulatoru, mēs vēl neesam vienotajā valsts eksāmenā.

Tātad, mēģināsim: ;

Neaizmirstiet pārslēgt savu kalkulatoru uz Radiānu režīmu!

utt. Mēs redzam, ka jo mazāka, jo tuvāka ir koeficienta vērtība.

a) Apsveriet funkciju. Kā parasti, noskaidrosim tā pieaugumu:

Pārvērtīsim sinusu starpību reizinājumā. Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu (atcerieties tēmu “”): .

Tagad atvasinājums:

Veiksim nomaiņu: . Tad bezgalīgi mazam tas ir arī bezgalīgi mazs: . Izteiksmei ir šāda forma:

Un tagad mēs to atceramies ar izteicienu. Un arī, ja summā (tas ir, pie) var neņemt vērā bezgalīgi mazu lielumu.

Tātad, mēs iegūstam šādu noteikumu: sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu:

Tie ir pamata (“tabulas”) atvasinājumi. Šeit tie ir vienā sarakstā:

Vēlāk mēs tiem pievienosim vēl dažus, taču tie ir vissvarīgākie, jo tie tiek izmantoti visbiežāk.

Prakse:

1. Atrast funkcijas atvasinājumu punktā;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.

Risinājumi:

Eksponents un naturālais logaritms.

Matemātikā ir funkcija, kuras atvasinājums jebkurai vērtībai vienlaikus ir vienāds ar pašas funkcijas vērtību. To sauc par “eksponentu”, un tā ir eksponenciāla funkcija

Šīs funkcijas bāze - konstante - ir bezgalīga decimāldaļdaļa, tas ir, iracionāls skaitlis (piemēram,). To sauc par Eilera numuru, tāpēc to apzīmē ar burtu.

Tātad, noteikums:

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferencēšana ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas ir viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielināšanai:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Pirmajam piemēram, .

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

Mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par sekmīgu vienotā valsts eksāmena nokārtošanu, stāšanos koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀKI (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai uzvarētu droši.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti, un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!

(1. att.)

1. attēls. Atvasinātais grafiks

Atvasināto grafu īpašības

1. Ar pieaugošiem intervāliem atvasinājums ir pozitīvs. Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā palielinās.
2. Ar intervāliem, kas samazinās, atvasinājums ir negatīvs (ar mīnusa zīmi). Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir negatīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā samazinās.
3. Atvasinājums punktā x ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam tajā pašā punktā.
4. Funkcijas maksimālajā un minimālajā punktā atvasinājums ir vienāds ar nulli. Funkcijas grafika pieskare šajā punktā ir paralēla OX asij.

1. piemērs

Izmantojot atvasinājuma grafiku (2. att.), nosakiet, kurā posmā uz nogriežņa [-3; 5] funkcija ir maksimālā.

2. attēls. Atvasinātais grafiks

Risinājums: šajā segmentā atvasinājums ir negatīvs, kas nozīmē, ka funkcija samazinās no kreisās puses uz labo, un lielākā vērtība ir kreisajā pusē punktā -3.

2. piemērs

Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosakiet maksimālo punktu skaitu segmentā [-11; 3].

3. attēls. Atvasinātais grafiks

Risinājums: Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu. Šajā intervālā funkcija maina zīmi no plus uz mīnusu divas reizes - punktā -10 un punktā -1. Tas nozīmē, ka maksimālais punktu skaits ir divi.

3. piemērs

Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosaka minimālo punktu skaitu segmentā [-11; -1].

Risinājums: Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no negatīvas uz pozitīvu. Šajā segmentā šāds punkts ir tikai -7. Tas nozīmē, ka minimālais punktu skaits dotajā segmentā ir viens.

4. piemērs

Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosaka ekstrēmu punktu skaitu.

Risinājums: galējie punkti ir gan minimālie, gan maksimālie punkti. Atradīsim punktu skaitu, kuros atvasinājums maina zīmi.