წარმოებული თეორია. წარმოებული გრაფიკის კითხვა

B8. ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა

1. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, რომელიც შედგენილია x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 2

პასუხი: -5

ინტერვალზე (–9;4).

პასუხი: 2

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში პასუხი: 0.5

5. იპოვეთ y = 3x + 8 წრფის ტანგენციის წერტილი და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკი. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა. პასუხი: -2

განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. პასუხი: 4

პასუხი: 2

იპოვეთ იმ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია y=5–x სწორი წრფის ან ემთხვევა მას. პასუხი: 3

ინტერვალი (-8; 3).

სწორი ხაზი y = -20. პასუხი: 2

10.

პასუხი: -0.5

პასუხი: 1

12. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: 0.5

13. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -0.25

14.

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა სწორ წრფეს y = x+7. პასუხი: 4

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში. პასუხი: -2

16.

ინტერვალი (-14;9).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] სეგმენტზე. პასუხი: 3

ინტერვალზე (-10;8).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] სეგმენტზე. პასუხი: 4

18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b. პასუხი: 17

პასუხი:-0,25

პასუხი: 6

21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 სწორი წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ტანჯვის წერტილის აბსციზა. პასუხი: -0,5

22.

პასუხი: 4

23. ვ „(x) ინტერვალზე (-16;4).

სეგმენტზე [-11;0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა. პასუხი: 1

B8 ფუნქციების გრაფიკები, ფუნქციების წარმოებულები. ფუნქციის კვლევა . ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა

1. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და ამ გრაფიკის ტანგენსი, რომელიც შედგენილია x0 აბსცისის წერტილში. იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

2. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-6; 5) ინტერვალზე.

სეგმენტის რომელ წერტილში [-5; -1] f(x) იღებს უმცირეს მნიშვნელობას?

3. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, განსაზღვრული

ინტერვალზე (–9;4).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი სწორი ხაზის პარალელურია.

y = 2x-17 ან ემთხვევა მას.

4. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში

5. იპოვეთ y = 3x + 8 წრფის ტანგენციის წერტილი და y = x3+x2-5x-4 ფუნქციის გრაფიკი. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ პუნქტის აბსცისა.

6. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ინტერვალზე (-7; 5).

განსაზღვრეთ არგუმენტის მთელი მნიშვნელობების რაოდენობა, რომლისთვისაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია.

7. ნახატზე ნაჩვენებია y=f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-8; 8) ინტერვალზე.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა, რომელიც მიეკუთვნება [-4; 6].

8. ნახატზე ნაჩვენებია y = f "(x) ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-8; 4) ინტერვალზე.

იპოვეთ იმ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია y=5–x სწორი წრფის ან ემთხვევა მას.

9. ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია ზე

ინტერვალი (-8; 3).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც პარალელურია ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი

სწორი ხაზი y = -20.

10. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

11 . ნახატზე ნაჩვენებია (-9;9) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი.

იპოვეთ $f(x)$ ფუნქციის მინიმალური წერტილების რაოდენობა [-6;8] ინტერვალზე. 1

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

14. ნახატზე ნაჩვენებია (-6;8) ინტერვალზე განსაზღვრული f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი.

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა სწორ წრფეს y = x+7.

15 . ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი x0 აბსცისის წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

16. ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია

ინტერვალი (-14;9).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა [-12;7] სეგმენტზე.

17 . ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, განსაზღვრული

ინტერვალზე (-10;8).

იპოვეთ f(x) ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა [-9;7] სეგმენტზე.

18. y = 5x-7 წრფე ეხება y = 6x2 + bx-1 ფუნქციის გრაფიკს 0-ზე ნაკლები აბსცისის მქონე წერტილში. იპოვეთ b.

19 . ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და მასზე ტანგენსი აბსცისის x0 წერტილში.

იპოვეთ f(x) ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

20 . იპოვეთ წერტილების რაოდენობა ინტერვალზე (-1;12), რომლებშიც გრაფიკზე ნაჩვენები y = f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.

21. იპოვეთ y=x2+6x-7 ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი y=5x+11 სწორი წრფის პარალელურად. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ტანჯვის წერტილის აბსციზა.

22. ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. იპოვეთ მთელი რიცხვების რაოდენობა იმ ინტერვალში (-2;11), რომელზედაც f(x) ფუნქციის წარმოებული დადებითია.

23. ნახატზე ნაჩვენებია y= ფუნქციის გრაფიკივ „(x) ინტერვალზე (-16;4).

სეგმენტზე [-11;0] იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა.

გამარჯობა! ჩავაბაროთ მომავალ ერთიან სახელმწიფო გამოცდას მაღალი ხარისხის სისტემური მომზადებით და მეცნიერების გრანიტის დაფქვაში დაჟინებით!!! INპოსტის ბოლოს არის საკონკურსო დავალება, იყავი პირველი! ამ განყოფილების ერთ-ერთ სტატიაში მე და შენ, რომელშიც მოცემულია ფუნქციის გრაფიკი და დაისვა სხვადასხვა კითხვები ექსტრემებთან, გაზრდის (კლების) ინტერვალებთან და სხვასთან დაკავშირებით.

ამ სტატიაში განვიხილავთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შეტანილ ამოცანებს, რომლებშიც მოცემულია ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და დასმულია შემდეგი კითხვები:

1. მოცემული სეგმენტის რომელ წერტილში იღებს ფუნქცია უდიდეს (ან უმცირეს) მნიშვნელობას.
2. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის მაქსიმალური (ან მინიმალური) წერტილების რაოდენობა.
3. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა.
4. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.
5. იპოვეთ გაზრდის (ან კლების) ფუნქციის ინტერვალები და პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.
6. იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის (ან შემცირების) ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებიდან ყველაზე დიდის სიგრძე.
7. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = kx + b ფორმის წრფეს.
8. იპოვეთ აბსცისა იმ წერტილის, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია აბსცისის ღერძის ან ემთხვევა მას.

შეიძლება არსებობდეს სხვა კითხვები, მაგრამ ისინი არ შეგიქმნიან რაიმე სირთულეს, თუ გესმით და (მოწოდებულია სტატიების ბმულები, რომლებიც გვაწვდიან გადაწყვეტისთვის აუცილებელ ინფორმაციას, გირჩევთ მათ გამეორებას).

ძირითადი ინფორმაცია (მოკლედ):

1. წარმოებულს მზარდი ინტერვალებით აქვს დადებითი ნიშანი.

თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს დადებითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი იზრდება.

2. კლებადი ინტერვალებით წარმოებულს აქვს უარყოფითი ნიშანი.

თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.

3. წარმოებული x წერტილში ტოლია იმავე წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.

4. ფუნქციის უკიდურესობის (მაქსიმუმ-მინიმუმის) წერტილებში წარმოებული ნულის ტოლია. ამ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის x ღერძის პარალელურად.

ეს ნათლად უნდა გაიგოთ და გახსოვდეთ!!!

წარმოებული გრაფიკი ბევრ ადამიანს „აბნევს“. ზოგიერთი ადამიანი უნებურად ცდება მას ფუნქციის გრაფიკად. მაშასადამე, ასეთ შენობებში, სადაც ხედავთ, რომ მოცემულია გრაფიკი, მაშინვე გაამახვილეთ თქვენი ყურადღება მოცემულ მდგომარეობაში იმაზე, თუ რა არის მოცემული: ფუნქციის გრაფიკი თუ ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი?

თუ ეს არის ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, მაშინ განიხილეთ იგი როგორც თავად ფუნქციის „ასახვა“, რომელიც უბრალოდ გაწვდით ინფორმაციას ამ ფუნქციის შესახებ.

განიხილეთ დავალება:

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–2;21).

ჩვენ ვუპასუხებთ შემდეგ კითხვებს:

1. სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)იღებს უდიდეს ღირებულებას.

მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება (ის მცირდება ინტერვალის მარცხენა საზღვრიდან მარჯვნივ). ამრიგად, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ანუ მე-7 წერტილში.

პასუხი: 7

2. სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)

ამ წარმოებული გრაფიკიდან შეგვიძლია ვთქვათ შემდეგი. მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება (ის იზრდება ინტერვალის მარცხენა საზღვრიდან მარჯვნივ). ამრიგად, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ანუ x = 3 წერტილში.

პასუხი: 3

3. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)

მაქსიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებული ნიშანი იცვლება დადებითიდან უარყოფითზე. განვიხილოთ სად იცვლება ნიშანი ამ გზით.

სეგმენტზე (3;6) წარმოებული დადებითია, სეგმენტზე (6;16) უარყოფითი.

სეგმენტზე (16;18) წარმოებული დადებითია, სეგმენტზე (18;20) უარყოფითი.

ამრიგად, მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციას აქვს ორი მაქსიმალური წერტილი x = 6 და x = 18.

პასუხი: 2

4. იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

მინიმალური ქულები შეესაბამება წერტილებს, სადაც წარმოებული ნიშანი იცვლება უარყოფითიდან დადებითზე. ჩვენი წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (0;3), ხოლო დადებითია ინტერვალზე (3;4).

ამრიგად, სეგმენტზე ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი მინიმალური წერტილი x = 3.

*პასუხის ჩაწერისას ფრთხილად იყავით - იწერება ქულების რაოდენობა და არა x მნიშვნელობა, ასეთი შეცდომა შეიძლება დაუშვას უყურადღებობის გამო.

პასუხი: 1

5. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რა უნდა იპოვოთ რაოდენობაექსტრემალური ქულები (ეს არის როგორც მაქსიმალური, ასევე მინიმალური ქულები).

ექსტრემალური წერტილები შეესაბამება წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება (დადებითიდან უარყოფითზე ან პირიქით). მდგომარეობაში მოცემულ გრაფიკში ეს არის ფუნქციის ნულები. წარმოებული ქრება 3, 6, 16, 18 წერტილებზე.

ამრიგად, ფუნქციას აქვს 4 უკიდურესი წერტილი სეგმენტზე.

პასუხი: 4

6. იპოვეთ გაზრდის ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)

ამ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X)შეესაბამება იმ ინტერვალებს, რომლებზეც მისი წარმოებული დადებითია, ანუ ინტერვალებს (3;6) და (16;18). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მასში არ შედის ინტერვალის საზღვრები (მრგვალი ფრჩხილები - საზღვრები არ შედის ინტერვალში, კვადრატული ფრჩხილები - შედის). ეს ინტერვალები შეიცავს მთელ რიცხვებს 4, 5, 17. მათი ჯამია: 4 + 5 + 17 = 26

პასუხი: 26

7. იპოვეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)მოცემულ ინტერვალში. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფუნქციის ინტერვალების შემცირება ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. ამ პრობლემაში ეს არის ინტერვალები (–2;3), (6;16), (18:21).

ეს ინტერვალები შეიცავს შემდეგ მთელ რიცხვებს: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. მათი ჯამია:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

პასუხი: 140

*მიაქციეთ ყურადღება პირობას: შედის თუ არა საზღვრები ინტერვალში. თუ საზღვრები შედის, მაშინ გადაწყვეტის პროცესში განხილულ ინტერვალებში ეს საზღვრებიც უნდა იყოს გათვალისწინებული.

8. იპოვეთ გაზრდის ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)

ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული დადებითია. ჩვენ უკვე მივუთითეთ ისინი: (3;6) და (16:18). მათგან ყველაზე დიდი არის ინტერვალი (3;6), მისი სიგრძე 3.

პასუხი: 3

9. იპოვეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

ფუნქციის ინტერვალების შემცირება ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. ჩვენ უკვე მივუთითეთ ისინი; ეს არის ინტერვალები (–2;3), (6;16), (18;21), მათი სიგრძე არის შესაბამისად 5, 10, 3.

ყველაზე დიდის სიგრძეა 10.

პასუხი: 10

10. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზედაც ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე ვ(X)პარალელურად ან ემთხვევა სწორ ხაზს y = 2x + 3.

წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში უდრის ტანგენსის დახრილობას. ვინაიდან ტანგენსი პარალელურია სწორი წრფის y = 2x + 3 ან ემთხვევა მას, მათი კუთხური კოეფიციენტები უდრის 2. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც y′(x 0) = 2. გეომეტრიულად ეს შეესაბამება წარმოებული გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების რაოდენობას სწორ ხაზთან y = 2. ამ ინტერვალზე 4 ასეთი წერტილია.

პასუხი: 4

11. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის წერტილი, სადაც მისი წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ამ წერტილის სიახლოვეს წარმოებული ცვლის ნიშანს (დადებითიდან უარყოფითზე ან პირიქით). სეგმენტზე წარმოებული გრაფიკი კვეთს x ღერძს, წარმოებული ცვლის ნიშანს უარყოფითიდან დადებითზე. აქედან გამომდინარე, წერტილი x = 3 არის უკიდურესი წერტილი.

პასუხი: 3

12. იპოვეთ იმ წერტილების აბსცისა, რომლებშიც y = f (x) გრაფიკის ტანგენტები პარალელურია აბსცისის ღერძის ან ემთხვევა მას. თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი.

y = f (x) გრაფიკზე ტანგენსი შეიძლება იყოს აბსცისის ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას, მხოლოდ იმ წერტილებში, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის (ეს შეიძლება იყოს უკიდურესი წერტილები ან სტაციონარული წერტილები, რომელთა სიახლოვეს წარმოებული აკეთებს არ შეცვალოს მისი ნიშანი). ეს გრაფიკი აჩვენებს, რომ წარმოებული არის ნული 3, 6, 16,18 წერტილებში. ყველაზე დიდი არის 18.

თქვენი მსჯელობის სტრუქტურირება შეგიძლიათ ასე:

წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში უდრის ტანგენსის დახრილობას. ვინაიდან ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა x ღერძს, მისი დახრილობა არის 0 (მართლაც, ნულოვანი გრადუსიანი კუთხის ტანგენსი არის ნული). მაშასადამე, ჩვენ ვეძებთ წერტილს, სადაც დახრილობა ნულის ტოლია და, შესაბამისად, წარმოებული ნულის ტოლია. წარმოებული უდრის ნულს იმ წერტილში, სადაც მისი გრაფიკი კვეთს x ღერძს და ეს არის 3, 6, 16,18 წერტილები.

პასუხი: 18

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–8;4). [–7;–3] სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)იღებს უმცირეს მნიშვნელობას.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–7;14). იპოვნეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის [–6;9].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–18;6). იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის [–13;1].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–11; –11). იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა ვ(X), სეგმენტს ეკუთვნის [–10; -10].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–7;4). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–5;7). იპოვეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–11;3). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

F ფიგურა გვიჩვენებს გრაფიკს

პრობლემის პირობები იგივეა (რაც ჩვენ განვიხილეთ). იპოვეთ სამი რიცხვის ჯამი:

1. f (x) ფუნქციის კიდურების კვადრატების ჯამი.

2. f (x) ფუნქციის მაქსიმალური ქულების ჯამის კვადრატებისა და მინიმალური წერტილების ჯამის სხვაობა.

3. f (x) ტანგენტების რაოდენობა y = –3x + 5 სწორი წრფის პარალელურად.

პირველი, ვინც გასცემს სწორ პასუხს, მიიღებს წამახალისებელ პრიზს 150 რუბლის ოდენობით. დაწერეთ თქვენი პასუხები კომენტარებში. თუ ეს თქვენი პირველი კომენტარია ბლოგზე, ის მაშინვე არ გამოჩნდება, მაგრამ ცოტა მოგვიანებით (ნუ ინერვიულებთ, კომენტარის დაწერის დრო ჩაიწერება).

Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიციხ.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია [–5; 6]. იპოვეთ f(x) გრაფიკის წერტილების რაოდენობა, რომელთაგან თითოეულზე ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსი ემთხვევა ან პარალელურია x-ღერძზე.

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y = f(x).

იპოვეთ წერტილების რაოდენობა ფუნქციის გრაფიკზე, რომლებიც მიეკუთვნება სეგმენტს [–7; 7], რომელშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის y = –3x განტოლებით განსაზღვრული სწორი ხაზის პარალელურად.

მატერიალური წერტილი M იწყებს მოძრაობას A წერტილიდან და მოძრაობს სწორი ხაზით 12 წამის განმავლობაში. გრაფიკი აჩვენებს, თუ როგორ შეიცვალა მანძილი A წერტილიდან M წერტილამდე დროთა განმავლობაში. აბსცისის ღერძი აჩვენებს დროს t წამებში, ხოლო ორდინატთა ღერძი აჩვენებს მანძილს s მეტრებში. დაადგინეთ, მოძრაობისას რამდენჯერ აღმოჩნდა M წერტილის სიჩქარე ნულზე (არ გაითვალისწინოთ მოძრაობის დასაწყისი და დასასრული).

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკის მონაკვეთები და მასზე ტანგენსი აბსცისის x = 0 წერტილში. ცნობილია, რომ ეს ტანგენსი პარალელურია გრაფიკის წერტილებში გამავალი სწორი ხაზისა. აბსცისით x = -2 და x = 3. ამის გამოყენებით იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა f"(o).

ნახატზე ნაჩვენებია y = f’(x) - ფუნქციის წარმოებული, რომელიც განსაზღვრულია სეგმენტზე (−11; 2). იპოვეთ იმ წერტილის აბსცისა, რომელშიც y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა აბსცისს.

მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში, იზომება მოძრაობის დაწყებიდან. დროის რომელ მომენტში (წამებში) იყო მისი სიჩქარე 2 მ/წმ-ის ტოლი?

მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორი ხაზის გასწვრივ საწყისიდან საბოლოო პოზიციამდე. ნახატზე ნაჩვენებია მისი მოძრაობის გრაფიკი. აბსცისის ღერძი აჩვენებს დროს წამებში, ხოლო ორდინატთა ღერძი აჩვენებს მანძილს წერტილის საწყისი პოზიციიდან (მეტრებში). იპოვეთ წერტილის საშუალო სიჩქარე. მიეცით პასუხი მეტრებში წამში.

ფუნქცია y = f (x) განისაზღვრება ინტერვალზე [-4; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა y = f (x) ფუნქციის გრაფიკზე, ტანგენსი, რომლის დროსაც Ox ღერძის დადებითი მიმართულების მქონე კუთხეს ქმნის 45°.

ფუნქცია y = f (x) განისაზღვრება [-2; 4]. ნახატზე ნაჩვენებია მისი წარმოებულის გრაფიკი. y = f (x) ფუნქციის გრაფიკში იპოვეთ წერტილის აბსცისა, რომელზეც ის იღებს უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტზე [-2; -0.001].

ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x0 წერტილზე დახატული ამ გრაფიკის ტანგენსი. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = -2x + 15. იპოვეთ y = -(1/4)f(x) + 5 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკზე y = f (x) აღინიშნება შვიდი წერტილი: x1,.., x7. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, რომლებშიც f(x) ფუნქციის წარმოებული მეტია ნულზე. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ქულების რაოდენობა.

ნახატზე ნაჩვენებია f(x) ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი y = f"(x), რომელიც განსაზღვრულია (-10; 2) ინტერვალზე. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც ტანგენსი ფუნქციონირებს f ფუნქციის გრაფიკზე. (x) პარალელურია სწორი ხაზის y = -2x-11 ან ემთხვევა მას.

ნახატზე ნაჩვენებია y=f"(x)-ის გრაფიკი - f(x) ფუნქციის წარმოებული. აბსცისის ღერძზე ცხრა წერტილია მონიშნული: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
ამ წერტილებიდან რამდენი ეკუთვნის f(x) კლებადი ფუნქციის ინტერვალებს?

ნახატზე ნაჩვენებია y = f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x0 წერტილზე დახატული ამ გრაფიკის ტანგენსი. ტანგენსი მოცემულია განტოლებით y = 1.5x + 3.5. იპოვეთ y = 2f(x) - 1 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

ნახატზე ნაჩვენებია f (x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიწარმოებულის y=F(x) გრაფიკი. გრაფიკზე მონიშნულია ექვსი წერტილი x1, x2, ..., x6 აბსცისებით. ამ წერტილებიდან რამდენ წერტილში იღებს y=f(x) ფუნქცია უარყოფით მნიშვნელობებს?

ნახატზე ნაჩვენებია მარშრუტის გასწვრივ მოძრავი მანქანის გრაფიკი. აბსცისის ღერძი აჩვენებს დროს (საათებში), ხოლო ორდინატთა ღერძი აჩვენებს გავლილ მანძილს (კილომებში). იპოვეთ მანქანის საშუალო სიჩქარე ამ მარშრუტზე. გაეცით პასუხი კმ/სთ-ში

მატერიალური წერტილი მოძრაობს სწორხაზოვნად კანონის მიხედვით x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან (მეტრებში), t არის დრო. მოძრაობის (წამებში). იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს

ნახატზე ნაჩვენებია y = F(x) ზოგიერთი ფუნქციის y = f(x) ანტიწარმოებულის გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-6; 7) ინტერვალზე. ფიგურის გამოყენებით განსაზღვრეთ f(x) ფუნქციის ნულების რაოდენობა ამ ინტერვალზე.

ნახატზე ნაჩვენებია ზოგიერთი f(x) ფუნქციის ერთ-ერთი ანტიწარმოებულის y = F(x) გრაფიკი, რომელიც განსაზღვრულია (-7; 5) ინტერვალზე. ფიგურის გამოყენებით განსაზღვრეთ განტოლების ამონახსნების რაოდენობა f(x) = 0 ინტერვალზე [- 5; 2].

ნახატზე ნაჩვენებია დიფერენცირებადი ფუნქციის y=f(x) გრაფიკი. x ღერძზე მონიშნულია ცხრა წერტილი: x1, x2, ... x9. იპოვეთ ყველა მონიშნული წერტილი, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ქულების რაოდენობა.

მატერიალური წერტილი მართკუთხედად მოძრაობს კანონის მიხედვით x(t)=12t^3−3t^2+2t, სადაც x არის მანძილი საცნობარო წერტილიდან მეტრებში, t არის დრო წამებში გაზომილი მოძრაობის დაწყებიდან. იპოვეთ მისი სიჩქარე (მეტრებში წამში) t=6 წმ დროს.

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და x0 წერტილში დახატული ამ გრაფიკის ტანგენსი. ტანგენტის განტოლება ნაჩვენებია სურათზე. იპოვეთ y=4*f(x)-3 ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა x0 წერტილში.

წარმოვიდგინოთ სწორი გზა, რომელიც გადის მთიან მხარეში. ანუ ადის და ქვევით, მაგრამ არ უხვევს მარჯვნივ და მარცხნივ. თუ ღერძი მიმართულია გზის გასწვრივ ჰორიზონტალურად და ვერტიკალურად, მაშინ გზის ხაზი ძალიან წააგავს რაიმე უწყვეტი ფუნქციის გრაფიკს:

ღერძი არის ნულოვანი სიმაღლის გარკვეული დონე; ცხოვრებაში ჩვენ ვიყენებთ ზღვის დონეს როგორც მას.

როცა წინ მივდივართ ასეთი გზის გასწვრივ, ჩვენც მაღლა ან ქვევით მივდივართ. ასევე შეგვიძლია ვთქვათ: როდესაც არგუმენტი იცვლება (მოძრაობა აბსცისის ღერძის გასწვრივ), იცვლება ფუნქციის მნიშვნელობა (მოძრაობა ორდინატთა ღერძის გასწვრივ). ახლა მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ განვსაზღვროთ ჩვენი გზის „ციცაბო“? რა სახის ღირებულება შეიძლება იყოს ეს? ეს ძალიან მარტივია: რამდენად შეიცვლება სიმაღლე გარკვეული მანძილის წინ გადაადგილებისას. მართლაც, გზის სხვადასხვა მონაკვეთზე, წინ მივდივართ (x-ღერძის გასწვრივ) ერთი კილომეტრით, ზღვის დონიდან (y ღერძის გასწვრივ) ავწევთ ან ჩამოვწევთ სხვადასხვა რაოდენობის მეტრით.

აღვნიშნოთ პროგრესი (წაიკითხეთ „დელტა x“).

ბერძნული ასო (დელტა) ჩვეულებრივ გამოიყენება მათემატიკაში, როგორც პრეფიქსი, რაც ნიშნავს "ცვლილებას". ანუ - ეს არის რაოდენობის ცვლილება, - ცვლილება; მაშინ რა არის? მართალია, სიდიდის ცვლილება.

მნიშვნელოვანია: გამოხატულება არის ერთი მთლიანი, ერთი ცვლადი. არასოდეს გამოყოთ "დელტა" "x" ან სხვა ასოდან! ანუ, მაგალითად,.

ასე რომ, ჩვენ წინ წავედით, ჰორიზონტალურად. თუ გზის ხაზს შევადარებთ ფუნქციის გრაფიკს, მაშინ როგორ აღვნიშნოთ აწევა? Რა თქმა უნდა, . ანუ, რაც წინ მივდივართ, უფრო მაღლა ვწევთ.

ღირებულება ადვილი გამოსათვლელია: თუ თავიდან სიმაღლეზე ვიყავით და გადაადგილების შემდეგ სიმაღლეზე აღმოვჩნდით, მაშინ. თუ ბოლო წერტილი საწყის წერტილზე დაბალია, ის უარყოფითი იქნება - ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ არ აღმავალთ, არამედ დაღმავალი ვართ.

დავუბრუნდეთ „ციცაბოს“: ეს არის მნიშვნელობა, რომელიც გვიჩვენებს, რამდენად (ციცაბო) იზრდება სიმაღლე მანძილის ერთი ერთეული წინსვლისას:

დავუშვათ, რომ გზის ზოგიერთ მონაკვეთზე, ერთი კილომეტრით წინ გადაადგილებისას, გზა ერთი კილომეტრით მაღლა იწევს. მაშინ ამ ადგილას ფერდობი თანაბარია. და თუ გზა მ-ით წინსვლისას დაეცა კმ-ით? მაშინ დახრილობა ტოლია.

ახლა მოდით შევხედოთ გორაკის მწვერვალს. თუ მონაკვეთის დასაწყისს აიღებთ მწვერვალამდე ნახევარი კილომეტრით ადრე, ხოლო დასასრულს მისგან ნახევარი კილომეტრის შემდეგ, ხედავთ, რომ სიმაღლე თითქმის იგივეა.

ანუ ჩვენი ლოგიკით გამოდის, რომ აქ დახრილობა თითქმის ნულის ტოლია, რაც აშკარად არ შეესაბამება სიმართლეს. მხოლოდ კილომეტრის მანძილზე ბევრი რამ შეიძლება შეიცვალოს. ციცაბოს უფრო ადეკვატური და ზუსტი შეფასებისთვის საჭიროა უფრო მცირე ფართობების გათვალისწინება. მაგალითად, თუ გაზომავთ სიმაღლის ცვლილებას ერთი მეტრის გადაადგილებისას, შედეგი გაცილებით ზუსტი იქნება. მაგრამ ეს სიზუსტეც შეიძლება არ იყოს საკმარისი ჩვენთვის - ბოლოს და ბოლოს, თუ შუა გზაზე არის ბოძი, შეგვიძლია უბრალოდ გავიაროთ. რა მანძილი უნდა ავირჩიოთ მაშინ? სანტიმეტრი? მილიმეტრი? ნაკლები უკეთესია!

რეალურ ცხოვრებაში, მანძილების გაზომვა მილიმეტრამდე საკმარისზე მეტია. მაგრამ მათემატიკოსები ყოველთვის სრულყოფილებისკენ ისწრაფვიან. ამიტომ, კონცეფცია გამოიგონეს უსასრულოდ მცირე, ანუ აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია ნებისმიერ რიცხვზე, რომლის დასახელებაც შეგვიძლია. მაგალითად, თქვენ ამბობთ: ერთი ტრილიონედი! რამდენით ნაკლები? და თქვენ გაყავით ეს რიცხვი - და ეს კიდევ უფრო ნაკლები იქნება. Და ასე შემდეგ. თუ გვინდა დავწეროთ, რომ სიდიდე უსასრულოდ მცირეა, ვწერთ ასე: (ვკითხულობთ „x მიდრეკილია ნულისკენ“). ძალიან მნიშვნელოვანია გაგება რომ ეს რიცხვი ნული არ არის!მაგრამ ძალიან ახლოს. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ მასზე.

უსასრულოდ მცირეს საპირისპირო კონცეფცია არის უსასრულოდ დიდი (). თქვენ ალბათ უკვე შეგხვედრიათ იგი, როცა უტოლობაზე მუშაობდით: ეს რიცხვი მოდულით აღემატება ნებისმიერ რიცხვს, რომელზეც შეგიძლიათ წარმოიდგინოთ. თუ შეძლებთ ყველაზე დიდ რიცხვს, უბრალოდ გაამრავლეთ ის ორზე და კიდევ უფრო დიდ რიცხვს მიიღებთ. და უსასრულობა კიდევ უფრო დიდია, ვიდრე ის, რაც ხდება. ფაქტობრივად, უსასრულოდ დიდი და უსასრულოდ მცირე არის ერთმანეთის შებრუნებული, ანუ at და პირიქით: at.

ახლა კი ჩვენს გზას დავუბრუნდეთ. იდეალურად გამოთვლილი დახრილობა არის დახრილობა, რომელიც გამოითვლება ბილიკის უსასრულოდ მცირე სეგმენტზე, ანუ:

აღვნიშნავ, რომ უსასრულოდ მცირე გადაადგილებით, სიმაღლის ცვლილებაც უსასრულოდ მცირე იქნება. მაგრამ შეგახსენებთ, რომ უსასრულოდ მცირე არ ნიშნავს ნულის ტოლს. თუ უსასრულოდ მცირე რიცხვებს ერთმანეთზე გაყოფთ, შეგიძლიათ მიიღოთ სრულიად ჩვეულებრივი რიცხვი, მაგალითად, . ანუ, ერთი მცირე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ზუსტად ჯერ მეორეზე დიდი.

რისთვის არის ეს ყველაფერი? გზა, ციცაბო... ჩვენ არ მივდივართ მანქანის რალიზე, მაგრამ ვასწავლით მათემატიკას. და მათემატიკაში ყველაფერი ზუსტად იგივეა, მხოლოდ სხვანაირად უწოდებენ.

წარმოებულის ცნება

ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის თანაფარდობა არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ზრდის არგუმენტის ზრდასთან.

თანდათანობითმათემატიკაში ისინი ცვლილებას უწოდებენ. რამდენად იცვლება არგუმენტი () ღერძის გასწვრივ მოძრაობისას, ეწოდება არგუმენტის ზრდადა არის დანიშნული.რამდენად შეიცვალა ფუნქცია (სიმაღლე) ღერძის გასწვრივ მანძილით წინსვლისას ე.წ. ფუნქციის ზრდადა დანიშნულია.

ამრიგად, ფუნქციის წარმოებული არის თანაფარდობა როდისთან. წარმოებულს აღვნიშნავთ იგივე ასოებით, როგორც ფუნქცია, მხოლოდ ზემოდან მარჯვნივ: ან უბრალოდ. მოდით დავწეროთ წარმოებული ფორმულა ამ აღნიშვნების გამოყენებით:

როგორც გზის ანალოგიაში, აქაც, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როცა მცირდება, უარყოფითი.

შეიძლება წარმოებული იყოს ნულის ტოლი? Რა თქმა უნდა. მაგალითად, თუ ვმოძრაობთ ბრტყელ ჰორიზონტალურ გზაზე, ციცაბო არის ნულის ტოლი. და მართალია, სიმაღლე საერთოდ არ იცვლება. ასეა წარმოებულიც: მუდმივი ფუნქციის წარმოებული (მუდმივი) ნულის ტოლია:

ვინაიდან ასეთი ფუნქციის ზრდა ნებისმიერისთვის ნულის ტოლია.

გავიხსენოთ გორაკზე მაგალითი. აღმოჩნდა, რომ შესაძლებელი იყო სეგმენტის ბოლოების დალაგება წვეროს მოპირდაპირე მხარეებზე ისე, რომ ბოლოებში სიმაღლე აღმოჩნდეს იგივე, ანუ სეგმენტი ღერძის პარალელურად იყოს:

მაგრამ დიდი სეგმენტები არაზუსტი გაზომვის ნიშანია. ჩვენ ავწევთ ჩვენს სეგმენტს თავის პარალელურად, შემდეგ მისი სიგრძე შემცირდება.

საბოლოოდ, როდესაც ჩვენ უსასრულოდ ახლოს ვიქნებით ზევით, სეგმენტის სიგრძე გახდება უსასრულოდ მცირე. მაგრამ ამავე დროს, ის დარჩა ღერძის პარალელურად, ანუ მის ბოლოებზე სიმაღლეების სხვაობა ნულის ტოლია (ის არ მიდრეკილია, მაგრამ უდრის). ასე რომ წარმოებული

ამის გაგება შეიძლება ასე: როდესაც ჩვენ ვდგავართ ზევით, მცირე ცვლა მარცხნივ ან მარჯვნივ ცვლის ჩვენს სიმაღლეს უმნიშვნელოდ.

ასევე არის წმინდა ალგებრული ახსნა: წვეროს მარცხნივ ფუნქცია იზრდება, მარჯვნივ კი მცირდება. როგორც ადრე გავარკვიეთ, როდესაც ფუნქცია იზრდება, წარმოებული დადებითია, ხოლო როდესაც მცირდება, უარყოფითი. მაგრამ ის იცვლება შეუფერხებლად, ნახტომების გარეშე (რადგან გზა მკვეთრად არსად ცვლის ფერდობს). აქედან გამომდინარე, უნდა იყოს უარყოფითი და დადებითი მნიშვნელობები. ეს იქნება იქ, სადაც ფუნქცია არც იზრდება და არც მცირდება - წვეროს წერტილში.

იგივე ეხება ღრმულს (არეალი, სადაც ფუნქცია მარცხნივ მცირდება და მარჯვნივ იზრდება):

ცოტა მეტი დანამატების შესახებ.

ასე რომ, ჩვენ ვცვლით არგუმენტს სიდიდეზე. რა ღირებულებიდან ვცვლით? რა გახდა ეს (არგუმენტი) ახლა? ჩვენ შეგვიძლია ავირჩიოთ ნებისმიერი წერტილი და ახლა ჩვენ ვიცეკვებთ მისგან.

განვიხილოთ წერტილი კოორდინატით. მასში ფუნქციის მნიშვნელობა ტოლია. შემდეგ ვაკეთებთ იგივე ზრდას: კოორდინატს გავზრდით. რა არგუმენტია ახლა? ძალიან ადვილია:. რა არის ფუნქციის ღირებულება ახლა? სადაც არგუმენტი მიდის, ასევე მოქმედებს ფუნქცია: . რაც შეეხება ფუნქციის გაზრდას? ახალი არაფერია: ეს არის ის თანხა, რომლითაც ფუნქცია შეიცვალა:

ივარჯიშეთ ნამატების პოვნაში:

იპოვეთ ფუნქციის ზრდა იმ წერტილში, როდესაც არგუმენტის ზრდა ტოლია.
იგივე ეხება ფუნქციას მომენტში.

გადაწყვეტილებები:

სხვადასხვა წერტილში ერთი და იგივე არგუმენტის ნამატით, ფუნქციის ზრდა განსხვავებული იქნება. ეს ნიშნავს, რომ წარმოებული თითოეულ წერტილში განსხვავებულია (ჩვენ თავიდანვე განვიხილეთ - გზის ციცაბო სხვადასხვა წერტილში განსხვავებულია). ამიტომ, როდესაც ჩვენ ვწერთ წარმოებულს, უნდა მივუთითოთ რა წერტილში:

დენის ფუნქცია.

ძალაუფლების ფუნქცია არის ფუნქცია, სადაც არგუმენტი გარკვეულწილად არის (ლოგიკური, არა?).

უფრო მეტიც - ნებისმიერი ზომით: .

უმარტივესი შემთხვევაა, როდესაც მაჩვენებელი არის:

მოდი ვიპოვოთ მისი წარმოებული ერთ წერტილში. გავიხსენოთ წარმოებულის განმარტება:

ასე რომ, არგუმენტი იცვლება. რა არის ფუნქციის ზრდა?

ზრდა ეს არის. მაგრამ ფუნქცია ნებისმიერ წერტილში უდრის მის არგუმენტს. Ამიტომაც:

წარმოებული ტოლია:

წარმოებული უდრის:

ბ) ახლა განვიხილოთ კვადრატული ფუნქცია (): .

ახლა ეს გავიხსენოთ. ეს ნიშნავს, რომ ნამატის მნიშვნელობა შეიძლება უგულებელვყოთ, რადგან ის უსასრულოდ მცირეა და, შესაბამისად, უმნიშვნელო სხვა ტერმინის ფონზე:

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ სხვა წესი:

გ) ვაგრძელებთ ლოგიკურ სერიას: .

ეს გამოთქმა შეიძლება გამარტივდეს სხვადასხვა გზით: გახსენით პირველი ფრჩხილები ჯამის კუბის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენებით, ან მთლიანი გამოთქმის ფაქტორიზაცია კუბურების სხვაობის ფორმულის გამოყენებით. სცადეთ ამის გაკეთება თავად რომელიმე შემოთავაზებული მეთოდის გამოყენებით.

ასე რომ, მე მივიღე შემდეგი:

და კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ ეს. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია უგულებელვყოთ ყველა ტერმინი, რომელიც შეიცავს:

ვიღებთ: .

დ) მსგავსი წესების მიღება შესაძლებელია დიდი სიმძლავრის შემთხვევაში:

ე) გამოდის, რომ ეს წესი შეიძლება განზოგადდეს ძალაუფლების ფუნქციისთვის თვითნებური მაჩვენებლით და არა მთელი რიცხვით:

(2)

წესი შეიძლება ჩამოყალიბდეს სიტყვებით: ”ხარისხი გამოყვანილია როგორც კოეფიციენტი, შემდეგ კი მცირდება ”.

ამ წესს მოგვიანებით (თითქმის ბოლოს) დავამტკიცებთ. ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებული:

(ორი გზით: ფორმულით და წარმოებულის განმარტების გამოყენებით - ფუნქციის ნაზრდის გამოთვლით);

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები.

აქ ჩვენ გამოვიყენებთ ერთ ფაქტს უმაღლესი მათემატიკიდან:

გამომეტყველებით.

მტკიცებულებას ინსტიტუტის პირველ კურსზე გაიგებთ (და იქ მისასვლელად, ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა კარგად უნდა ჩააბაროთ). ახლა მე მხოლოდ გრაფიკულად ვაჩვენებ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც ფუნქცია არ არსებობს - გრაფიკის წერტილი ამოჭრილია. მაგრამ რაც უფრო ახლოს არის მნიშვნელობასთან, მით უფრო ახლოს არის ფუნქცია. ეს არის ის, რაც "მიზანს ემსახურება".

გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ეს წესი კალკულატორის გამოყენებით. დიახ, დიახ, ნუ გეშინიათ, აიღეთ კალკულატორი, ჩვენ ჯერ არ ვართ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაშ ასე, ვცადოთ: ;

არ დაგავიწყდეთ თქვენი კალკულატორის გადართვა Radians რეჟიმში!

და ა.შ. ჩვენ ვხედავთ, რომ რაც უფრო მცირეა, მით უფრო უახლოვდება თანაფარდობის მნიშვნელობა.

ა) განიხილეთ ფუნქცია. ჩვეულებისამებრ, ვიპოვოთ მისი ზრდა:

სინუსების სხვაობა პროდუქტად ვაქციოთ. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას (გაიხსენეთ თემა ""): .

ახლა წარმოებული:

მოდით შევცვალოთ: . მაშინ უსასრულოდ მცირე ისიც უსასრულოა: . გამოთქმა for იღებს ფორმას:

და ახლა ჩვენ გვახსოვს ეს გამონათქვამით. და ასევე, რა მოხდება, თუ უსასრულო სიდიდის უგულებელყოფა შეიძლება ჯამში (ანუ at).

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ წესს: სინუსის წარმოებული ტოლია კოსინუსის:

ეს არის ძირითადი ("ტაბულური") წარმოებულები. აქ ისინი ერთ სიაშია:

მოგვიანებით მათ კიდევ რამდენიმეს დავამატებთ, მაგრამ ეს ყველაზე მნიშვნელოვანია, რადგან ისინი ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

ვარჯიში:

იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილი;
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენტური და ბუნებრივი ლოგარითმი.

მათემატიკაში არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის უდრის ამავე დროს თავად ფუნქციის მნიშვნელობას. მას ეწოდება "ექსპონენტი" და არის ექსპონენციალური ფუნქცია

ამ ფუნქციის საფუძველი - მუდმივი - არის უსასრულო ათობითი წილადი, ანუ ირაციონალური რიცხვი (როგორიცაა). მას "ეილერის რიცხვს" უწოდებენ, რის გამოც იგი ასოებით აღინიშნება.

ასე რომ, წესი:

ძალიან ადვილი დასამახსოვრებელია.

მოდი, შორს არ წავიდეთ, დაუყოვნებლივ განვიხილოთ შებრუნებული ფუნქცია. რომელი ფუნქციაა ექსპონენციალური ფუნქციის შებრუნებული? ლოგარითმი:

ჩვენს შემთხვევაში, ბაზა არის რიცხვი:

ასეთ ლოგარითმს (ანუ ფუძის მქონე ლოგარითმს) ეწოდება "ბუნებრივი" და ჩვენ ვიყენებთ სპეციალურ აღნიშვნას: ამის ნაცვლად ვწერთ.

რის ტოლია? Რა თქმა უნდა, .

ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული ასევე ძალიან მარტივია:

მაგალითები:

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.
რა არის ფუნქციის წარმოებული?

პასუხები: ექსპონენციალური და ბუნებრივი ლოგარითმი წარმოებული პერსპექტივიდან ცალსახად მარტივი ფუნქციებია. ნებისმიერ სხვა ფუძესთან ერთად ექსპონენციალურ და ლოგარითმულ ფუნქციებს ექნებათ განსხვავებული წარმოებული, რომელსაც მოგვიანებით გავაანალიზებთ, მას შემდეგ რაც გავივლით დიფერენციაციის წესებს.

დიფერენცირების წესები

რისი წესები? ისევ ახალი ტერმინი, ისევ?!...

დიფერენციაციაწარმოებულის პოვნის პროცესია.

Სულ ეს არის. კიდევ რა შეიძლება ეწოდოს ამ პროცესს ერთი სიტყვით? არა წარმოებული... მათემატიკოსები დიფერენციალს ფუნქციის იგივე ნამატს უწოდებენ. ეს ტერმინი მომდინარეობს ლათინური დიფერენციიდან - განსხვავება. Აქ.

ყველა ამ წესის გამოყვანისას ჩვენ გამოვიყენებთ ორ ფუნქციას, მაგალითად და. ჩვენ ასევე დაგვჭირდება ფორმულები მათი ზრდისთვის:

სულ 5 წესია.

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან.

თუ - რაიმე მუდმივი რიცხვი (მუდმივი), მაშინ.

ცხადია, ეს წესიც მუშაობს განსხვავებაზე: .

დავამტკიცოთ. დაე ეს იყოს, ან უფრო მარტივი.

მაგალითები.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

წერტილში;
წერტილში;
წერტილში;
წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

პროდუქტის წარმოებული

აქ ყველაფერი მსგავსია: შემოვიტანოთ ახალი ფუნქცია და ვიპოვოთ მისი ზრდა:

წარმოებული:

მაგალითები:

იპოვეთ ფუნქციების წარმოებულები და;
იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული წერტილში.

გადაწყვეტილებები:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული

ახლა თქვენი ცოდნა საკმარისია იმისთვის, რომ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ნებისმიერი ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული და არა მხოლოდ ექსპონენტები (დაგავიწყდათ ეს ჯერ კიდევ რა არის?).

ასე რომ, სად არის გარკვეული რიცხვი.

ჩვენ უკვე ვიცით ფუნქციის წარმოებული, ამიტომ ვცადოთ ჩვენი ფუნქცია ახალ ბაზაზე შევიყვანოთ:

ამისათვის გამოვიყენებთ მარტივ წესს: . შემდეგ:

ისე, იმუშავა. ახლა შეეცადეთ იპოვოთ წარმოებული და არ დაგავიწყდეთ, რომ ეს ფუნქცია რთულია.

მოხდა?

აი, შეამოწმეთ საკუთარი თავი:

ფორმულა ძალიან წააგავდა მაჩვენებლის წარმოებულს: როგორც იყო, ის იგივე რჩება, გამოჩნდა მხოლოდ ფაქტორი, რომელიც მხოლოდ რიცხვია, მაგრამ არა ცვლადი.

მაგალითები:
იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები:

პასუხები:

ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული

აქაც მსგავსია: თქვენ უკვე იცით ბუნებრივი ლოგარითმის წარმოებული:

ამიტომ, იპოვონ თვითნებური ლოგარითმი განსხვავებული ფუძით, მაგალითად:

ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს ლოგარითმი ფუძემდე. როგორ შევცვალოთ ლოგარითმის საფუძველი? იმედია გახსოვთ ეს ფორმულა:

მხოლოდ ახლა დავწერთ ამის ნაცვლად:

მნიშვნელი უბრალოდ მუდმივია (მუდმივი რიცხვი, ცვლადის გარეშე). წარმოებული მიიღება ძალიან მარტივად:

ექსპონენციური და ლოგარითმული ფუნქციების წარმოებულები თითქმის არასოდეს გვხვდება ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში, მაგრამ მათი ცოდნა ზედმეტი არ იქნება.

რთული ფუნქციის წარმოებული.

რა არის "კომპლექსური ფუნქცია"? არა, ეს არ არის ლოგარითმი და არც არქტანგენტი. ეს ფუნქციები შეიძლება რთული გასაგები იყოს (თუმცა თუ ლოგარითმი გაგიჭირდებათ, წაიკითხეთ თემა „ლოგარითმები“ და კარგად იქნებით), მაგრამ მათემატიკური თვალსაზრისით სიტყვა „კომპლექსი“ არ ნიშნავს „რთულს“.

წარმოიდგინეთ პატარა კონვეიერის ქამარი: ორი ადამიანი ზის და რაღაც ობიექტებს აკეთებს. მაგალითად, პირველი შოკოლადის ფილას ახვევს სახვევში, მეორე კი ლენტით აკრავს. შედეგი არის კომპოზიტური ობიექტი: შოკოლადის ფილა გახვეული და მიბმული ლენტით. შოკოლადის ფილა რომ მიირთვათ, საპირისპირო ნაბიჯები უნდა გააკეთოთ საპირისპირო თანმიმდევრობით.

შევქმნათ მსგავსი მათემატიკური მილსადენი: ჯერ ვიპოვით რიცხვის კოსინუსს, შემდეგ კი კვადრატში მიღებულ რიცხვს. ასე რომ, ჩვენ გვეძლევა რიცხვი (შოკოლადი), მე ვპოულობ მის კოსინუსს (შეფუთვას) და შემდეგ თქვენ კვადრატში გააკეთეთ ის, რაც მე მივიღე (გაამაგრეთ იგი ლენტით). Რა მოხდა? ფუნქცია. ეს არის რთული ფუნქციის მაგალითი: როდესაც, მისი მნიშვნელობის საპოვნელად, ჩვენ ვასრულებთ პირველ მოქმედებას პირდაპირ ცვლადთან, შემდეგ კი მეორე მოქმედებასთან ერთად, რაც პირველიდან გამოვიდა.

ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გავაკეთოთ იგივე ნაბიჯები საპირისპირო თანმიმდევრობით: ჯერ თქვენ კვადრატში გააკეთებთ მას და შემდეგ ვეძებ მიღებული რიცხვის კოსინუსს: . ადვილი მისახვედრია, რომ შედეგი თითქმის ყოველთვის განსხვავებული იქნება. რთული ფუნქციების მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: როდესაც მოქმედებების თანმიმდევრობა იცვლება, ფუნქცია იცვლება.

Სხვა სიტყვებით, რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომლის არგუმენტი სხვა ფუნქციაა: .

პირველი მაგალითისთვის,.

მეორე მაგალითი: (იგივე). .

ქმედება, რომელსაც ჩვენ ვაკეთებთ ბოლოს, დაერქმევა "გარე" ფუნქცია, და პირველი შესრულებული მოქმედება - შესაბამისად "შინაგანი" ფუნქცია(ეს არაფორმალური სახელებია, მათ მხოლოდ მასალის მარტივი ენით ასახსნელად ვიყენებ).

შეეცადეთ თავად განსაზღვროთ რომელი ფუნქციაა გარე და რომელი შიდა:

პასუხები:შიდა და გარე ფუნქციების გამიჯვნა ძალიან ჰგავს ცვლადების შეცვლას: მაგალითად, ფუნქციაში

ჩვენ ვცვლით ცვლადებს და ვიღებთ ფუნქციას.

ახლა ჩვენ ამოვიღებთ ჩვენს შოკოლადის ფილას და ვეძებთ წარმოებულს. პროცედურა ყოველთვის საპირისპიროა: ჯერ ვეძებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს, შემდეგ ვამრავლებთ შედეგს შიდა ფუნქციის წარმოებულზე. ორიგინალურ მაგალითთან დაკავშირებით, ასე გამოიყურება:

Სხვა მაგალითი:

ასე რომ, საბოლოოდ ჩამოვაყალიბოთ ოფიციალური წესი:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

როგორც ჩანს მარტივია, არა?

მოდით შევამოწმოთ მაგალითებით:

წარმოებული. მოკლედ მთავარის შესახებ

ფუნქციის წარმოებული- ფუნქციის ზრდის შეფარდება არგუმენტის უსასრულოდ მცირე ნამატის არგუმენტის ზრდასთან:

ძირითადი წარმოებულები:

დიფერენცირების წესები:

მუდმივი ამოღებულია წარმოებული ნიშნიდან:

თანხის წარმოებული:

პროდუქტის წარმოებული:

კოეფიციენტის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებული:

რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ალგორითმი:

ჩვენ განვსაზღვრავთ "შიდა" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
ჩვენ განვსაზღვრავთ "გარე" ფუნქციას და ვპოულობთ მის წარმოებულს.
ვამრავლებთ პირველი და მეორე ქულების შედეგებს.

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, ეს ნიშნავს, რომ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხავთ, მაშინ ამ 5%-ში ხართ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაიგეთ თეორია ამ თემაზე. და ვიმეორებ, ეს... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი...

Რისთვის?

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, კოლეჯში ბიუჯეტით ჩასვლისთვის და რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს გამოიმუშავებენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარი ის არის, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). იქნებ იმიტომ, რომ კიდევ ბევრი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ... ბედნიერი?

მოიპოვეთ თქვენი ხელი ამ თემაზე არსებული პრობლემების გადაჭრით.

გამოცდის დროს თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების გადაჭრა დროის წინააღმდეგ.

და თუ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დრო არ გექნებათ.

ეს ისეა, როგორც სპორტში - აუცილებლად უნდა გაიმეორო, რომ აუცილებლად გაიმარჯვო.

იპოვე კოლექცია სადაც გინდა, აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (სურვილისამებრ) და ჩვენ, რა თქმა უნდა, გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ უკეთ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არსებობს ორი ვარიანტი:

განბლოკეთ ყველა ფარული დავალება ამ სტატიაში -
განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ ამოცანაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 499 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია ჩვენს სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა ამოცანაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი ცხოვრების განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიაზე.

"გაგება" და "მე შემიძლია გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვნეთ პრობლემები და მოაგვარეთ ისინი!

(ნახ.1)

სურათი 1. წარმოებული გრაფიკი

წარმოებული გრაფიკის თვისებები

მზარდი ინტერვალებით, წარმოებული დადებითია. თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს დადებითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი იზრდება.
კლებადი ინტერვალებით წარმოებული უარყოფითია (მინუს ნიშნით). თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი მცირდება.
წარმოებული x წერტილში ტოლია იმავე წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.
ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებში წარმოებული ტოლია ნულის. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ამ წერტილში არის OX ღერძის პარალელურად.

მაგალითი 1

წარმოებულის გრაფიკის (ნახ. 2) გამოყენებით დაადგინეთ სეგმენტის რომელ წერტილში [-3; 5] ფუნქცია მაქსიმალურია.

სურათი 2. წარმოებული გრაფიკი

ამოხსნა: ამ სეგმენტზე წარმოებული უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია მცირდება მარცხნიდან მარჯვნივ და უდიდესი მნიშვნელობა არის მარცხენა მხარეს -3 წერტილში.

მაგალითი 2

წარმოებულის გრაფიკის (ნახ. 3) გამოყენებით განვსაზღვროთ სეგმენტზე მაქსიმალური ქულების რაოდენობა [-11; 3].

სურათი 3. წარმოებული გრაფიკი

ამოხსნა: მაქსიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება დადებითიდან უარყოფითზე. ამ ინტერვალზე ფუნქცია ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუს ორჯერ - -10 წერტილში და -1 წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ მაქსიმალური ქულების რაოდენობა არის ორი.

მაგალითი 3

წარმოებულის გრაფიკის (ნახ. 3) გამოყენებით განვსაზღვროთ მინიმალური წერტილების რაოდენობა სეგმენტში [-11; -1].

ამოხსნა: მინიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება უარყოფითიდან დადებითზე. ამ სეგმენტზე ასეთი წერტილი არის მხოლოდ -7. ეს ნიშნავს, რომ მოცემულ სეგმენტზე მინიმალური ქულების რაოდენობა არის ერთი.

მაგალითი 4

წარმოებულის გრაფიკის (ნახ. 3) გამოყენებით განსაზღვრეთ ექსტრემალური წერტილების რაოდენობა.

გამოსავალი: უკიდურესი წერტილები არის როგორც მინიმალური, ასევე მაქსიმალური წერტილები. ვიპოვოთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც წარმოებული ცვლის ნიშანს.