Databank för addition och subtraktion av bråk. Åtgärder med bråk. Sammanfattning: allmänt beräkningsschema

Åtgärder med bråk.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Så, vad är bråk, typer av bråk, transformationer - vi kom ihåg. Låt oss komma till huvudfrågan.

Vad kan du göra med bråk? Ja, allt är detsamma som med vanliga siffror. Addera, subtrahera, multiplicera, dividera.

Alla dessa åtgärder med decimal att arbeta med bråk skiljer sig inte från att arbeta med heltal. Det är faktiskt det som är bra med dem, decimala. Det enda är att du behöver sätta kommatecken rätt.

Blandade siffror, som jag redan har sagt, är till liten användning för de flesta åtgärder. De behöver fortfarande omvandlas till vanliga bråk.

Men åtgärderna med vanliga bråk de kommer att bli mer listiga. Och mycket viktigare! Låt mig påminna dig: alla handlingar med bråkuttryck med bokstäver, sinus, okända osv och så vidare skiljer sig inte från handlingar med vanliga bråk! Operationer med vanliga bråk är grunden för all algebra. Det är av denna anledning som vi kommer att analysera all denna aritmetik i detalj här.

Addera och subtrahera bråk.

Alla kan lägga till (subtrahera) bråk med samma nämnare (hoppas jag verkligen!). Nåväl, låt mig påminna de som är helt glömska: när man adderar (subtraherar) ändras inte nämnaren. Täljare adderas (subtraheras) för att ge täljaren för resultatet. Typ:

Kort sagt, i allmänna termer:

Vad händer om nämnarna är olika? Sedan, med hjälp av grundegenskapen för ett bråk (här kommer det till nytta igen!), gör vi nämnare lika! Till exempel:

Här fick vi göra bråket 4/10 från bråket 2/5. Enbart i syfte att göra nämnare lika. Låt mig notera, för säkerhets skull, att 2/5 och 4/10 är det samma bråkdel! Endast 2/5 är obekväma för oss, och 4/10 är verkligen okej.

Detta är förresten kärnan i att lösa alla matematiska problem. När vi från obekväm vi gör uttryck samma sak, men bekvämare att lösa.

Ett annat exempel:

Situationen är liknande. Här gör vi 48 av 16. Genom enkel multiplikation med 3. Allt detta är klart. Men vi stötte på något i stil med:

Hur man är?! Det är svårt att göra en nia av sju! Men vi är smarta, vi kan reglerna! Låt oss förvandla varje bråk så att nämnarna är desamma. Detta kallas "reducera till en gemensam nämnare":

Wow! Hur visste jag om 63? Väldigt enkelt! 63 är ett tal som är delbart med 7 och 9 samtidigt. Ett sådant tal kan alltid erhållas genom att multiplicera nämnarna. Om vi till exempel multiplicerar ett tal med 7, så kommer resultatet säkert att vara delbart med 7!

Om du behöver lägga till (subtrahera) flera bråk, behöver du inte göra det i par, steg för steg. Du behöver bara hitta den gemensamma nämnaren för alla bråk och reducera varje bråk till samma nämnare. Till exempel:

Och vad blir den gemensamma nämnaren? Du kan naturligtvis multiplicera 2, 4, 8 och 16. Vi får 1024. Nightmare. Det är lättare att uppskatta att talet 16 är perfekt delbart med 2, 4 och 8. Av dessa siffror är det därför lätt att få 16. Detta nummer kommer att vara den gemensamma nämnaren. Låt oss förvandla 1/2 till 16/8, 3/4 till 16/12 och så vidare.

Förresten, om man tar 1024 som gemensam nämnare så löser sig allt, i slutändan kommer allt att minska. Men alla kommer inte att nå detta, på grund av beräkningarna...

Komplettera exemplet själv. Inte någon form av logaritm... Det borde vara 29/16.

Så, additionen (subtraktionen) av bråk är tydlig, hoppas jag? Naturligtvis är det lättare att arbeta i en förkortad version, med ytterligare multiplikatorer. Men detta nöje är tillgängligt för dem som arbetat ärligt i de lägre årskurserna... Och inte glömt någonting.

Och nu kommer vi att göra samma handlingar, men inte med bråk, utan med fraktionerade uttryck. Ny rake kommer att avslöjas här, ja...

Så vi måste lägga till två bråktalsuttryck:

Vi måste göra nämnare lika. Och bara med hjälp multiplikation! Detta är vad huvudegenskapen för ett bråk dikterar. Därför kan jag inte lägga ett till X i första bråket i nämnaren. (det skulle vara trevligt!). Men om du multiplicerar nämnare, ser du, allt växer ihop! Så vi skriver ner raden av bråket, lämnar ett tomt utrymme överst, lägger sedan till det och skriver produkten av nämnarna nedan, för att inte glömma:

Och, naturligtvis, multiplicerar vi ingenting på höger sida, vi öppnar inte parentesen! Och nu, när vi tittar på den gemensamma nämnaren på höger sida, inser vi: för att få nämnaren x(x+1) i det första bråket, måste du multiplicera täljaren och nämnaren för denna bråkdel med (x+1) . Och i den andra bråkdelen - till x. Det här är vad du får:

Notera! Här är parenteserna! Det här är raken som många trampar på. Inte parenteser förstås, utan deras frånvaro. Parentesen visas eftersom vi multiplicerar Allt täljare och Allt nämnare! Och inte deras individuella bitar...

I täljaren på höger sida skriver vi summan av täljare, allt är som i numeriska bråk, sedan öppnar vi parenteserna i täljaren på höger sida, d.v.s. Vi multiplicerar allt och ger liknande. Det finns ingen anledning att öppna parentesen i nämnarna eller multiplicera något! Generellt sett, i nämnare (vilken som helst) är produkten alltid trevligare! Vi får:

Så vi fick svaret. Processen verkar lång och svår, men det beror på praktiken. När du löst exemplen, vänjer dig vid det, kommer allt att bli enkelt. De som har bemästrat bråk i sinom tid gör alla dessa operationer med en vänsterhand, automatiskt!

Och en anteckning till. Många handskas smart med bråk, men fastnar på exempel med hela tal. Gillar: 2 + 1/2 + 3/4= ? Var fäster man den tvådelade? Du behöver inte fästa den någonstans, du måste göra en bråkdel av två. Det är inte lätt, men väldigt enkelt! 2=2/1. Så här. Vilket heltal som helst kan skrivas som bråk. Täljaren är själva talet, nämnaren är ett. 7 är 7/1, 3 är 3/1 och så vidare. Det är samma sak med bokstäver. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, etc. Och så jobbar vi med dessa bråk enligt alla regler.

Jo, kunskapen om addition och subtraktion av bråk fräschas upp. Omvandling av fraktioner från en typ till en annan upprepades. Du kan också bli kontrollerad. Ska vi lösa det lite?)

Beräkna:

Svar (i oordning):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Multiplikation/division av bråk - i nästa lektion. Det finns även uppgifter för alla verksamheter med bråk.

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Klass: 5

Presentation för lektionen

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningar av bilder är endast i informationssyfte och representerar kanske inte alla funktioner i presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Lektionens mål:

Pedagogisk:

systematisera kunskap om vanliga bråk;
upprepa reglerna för att addera och subtrahera bråk med lika nämnare;
upprepa reglerna för att addera och subtrahera bråk med olika nämnare.

Pedagogisk:

utveckla uppmärksamhet, tal, minne, logiskt tänkande, självständighet.

Pedagogisk:

odla önskan att uppnå målet; självförtroende, förmåga att arbeta i team.

Känna till: regler för att addera och subtrahera bråk med lika och olik nämnare.

Lektionstyp: lektion om generalisering och systematisering av kunskap.

Utrustning: skärm, multimedia, presentation "Att lägga till och subtrahera vanliga bråk" (bilaga 1), modell av ett vanligt bråk (Figur 1); ett formulär med ett test, en tabell med svar (Figur 2), uttryckssymboler för reflektion (Figur 3), en ritad julgran (Figur 4).

Nej.	Lektionsstadiet	Tid	Scenuppgifter
1.	Att organisera tid.	3 min.	Gör eleverna redo för lektionen.
2.	Uppdaterar kunskap. Upprepning av täckt material.	10 minuter.	Granska korrekta och oegentliga bråk, reducera bråk, föra bråk till en ny nämnare, markera hela delen.
3.	Tillämpa reglerna för att addera och subtrahera vanliga bråk med lika nämnare.	10 minuter.	Se över att addera och subtrahera vanliga bråk med liknande nämnare.
4.	Idrottsminut.	3 min.	Lindra barnets trötthet, ge aktiv vila och öka elevernas mentala prestation.
5.	Tillämpa reglerna för att addera och subtrahera vanliga bråk med olika nämnare.	13 min.	Gå igenom hur man adderar och subtraherar vanliga bråk med olika nämnare.
6.	Läxa.	2 minuter.	Läxundervisning.
7.	Lektionssammanfattning.	4 min.	Summering. Betygsättning. Reflexion.

Under lektionerna

1). Att organisera tid.

- "Att lägga till och subtrahera vanliga bråk."

Det föreslås att målen och målen för lektionen formuleras, under diskussionen formuleras de (läraren kan skriva ner dem på tavlan).

2). Uppdaterar kunskap. Upprepning av täckt material. (Bild nr 1).

a) Idag börjar vi lektionen med en auktion. Det finns bara ett parti tillgängligt: "vanlig fraktion" (bild 1). Låt oss komma ihåg vad vi vet om vanliga bråk:

Täljare;

Nämnare;

Bråkstav - division;

På b vi delar delar, vi tar A sådana delar;

Korrekt;

Felaktig;

Välj hela delen;

Minska;

Minska till en ny nämnare;

Exempel.

Den som talade sist om ett vanligt bråk får en modell av ett vanligt bråk.

b) Låt oss befästa vår kunskap genom att göra testet(svarsformulär, uppgift nr 1, bild nr 2).

TESTA

1. Hitta rätt bråk:

A); B); I) .

2. Hitta den oegentliga bråkdelen:

A); B); I) .

3. Minska fraktionen:

A); B); I) .

4. Minska bråket till nämnaren 28:

A); B); I) .

5. Välj hela delen:

A); B); I) .

Svaren förs in i tabellen.

1 2 3 4 5

Sammanfatta:

5 "+" markering 5,
4 "+" markering 4,
3 "+" markering 3.

3). Tillämpa reglerna för att addera och subtrahera vanliga bråk med lika nämnare.

Vilka vanliga bråk kan vi lägga till?

Bråk med lika och olik nämnare (bild nummer 3).

Låt oss upprepa att lägga till bråk med samma nämnare.

För att lägga till två bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad.

För att subtrahera bråk med samma nämnare måste du subtrahera minuendens täljare från minuendens täljare och lämna nämnaren oförändrad.

Låt oss konsolidera kunskap i praktiken.

Eleverna ombeds att räkna ut exemplen muntligt och skriva ner svaren på svarsbladet för uppgift nr 2.

Byt anteckningsböcker och utför ömsesidiga kontroller.

Sammanfatta:

9-8 "+" markering 5,
7-6 "+" markering 4,
5 "+" markering 3.

4). Idrottsminut.

5). Tillämpa reglerna för att addera och subtrahera vanliga bråk med olika nämnare.

Vi lade till bråk med samma nämnare. Vad behöver göras för att addera vanliga bråk med olika nämnare?(bild nummer 4).

För att addera och subtrahera bråk med olika nämnare måste du reducera bråken till en gemensam nämnare genom att hitta ytterligare faktorer. Utför addition och subtraktion av vanliga bråk med samma nämnare.

Lektionens innehåll

Addera bråk med lika nämnare

Det finns två typer av addition av fraktioner:

Addera bråk med lika nämnare
Addera bråk med olika nämnare

Låt oss först lära oss additionen av bråk med lika nämnare. Allt är enkelt här. För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad. Låt oss till exempel lägga till bråken och . Lägg till täljare och lämna nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns pizzan, som är uppdelad i fyra delar. Om du lägger till pizza till pizza får du pizza:

Exempel 2. Lägg till bråk och .

Svaret visade sig vara en olämplig bråkdel. När slutet på uppgiften kommer är det vanligt att bli av med oegentliga fraktioner. För att bli av med en felaktig bråkdel måste du välja hela delen av den. I vårt fall är hela delen lätt isolerad - två dividerat med två är lika med en:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns om en pizza som är uppdelad i två delar. Lägger du till mer pizza till pizzan får du en hel pizza:

Exempel 3. Lägg till bråk och .

Återigen lägger vi ihop täljarna och lämnar nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi kommer ihåg pizzan, som är uppdelad i tre delar. Lägger du till mer pizza till pizzan får du pizza:

Exempel 4. Hitta värdet på ett uttryck

Detta exempel är löst på exakt samma sätt som de tidigare. Täljare måste läggas till och nämnaren lämnas oförändrad:

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Lägger du pizzor till en pizza och lägger till fler pizzor får du 1 hel pizza och fler pizzor.

Som du kan se är det inget komplicerat med att lägga till bråk med samma nämnare. Det räcker för att förstå följande regler:

För att lägga till bråk med samma nämnare måste du lägga till deras täljare och lämna nämnaren oförändrad;

Addera bråk med olika nämnare

Låt oss nu lära oss hur man lägger till bråk med olika nämnare. Vid addering av bråk måste bråkens nämnare vara desamma. Men de är inte alltid lika.

Till exempel kan bråk läggas till eftersom de har samma nämnare.

Men bråk kan inte läggas till direkt, eftersom dessa bråk har olika nämnare. I sådana fall måste bråk reduceras till samma (gemensamma) nämnare.

Det finns flera sätt att reducera bråk till samma nämnare. Idag kommer vi bara att titta på en av dem, eftersom de andra metoderna kan verka komplicerade för en nybörjare.

Kärnan i denna metod är att först genomsöks LCM för nämnarna för båda fraktionerna. LCM divideras sedan med nämnaren för den första bråkdelen för att erhålla den första ytterligare faktorn. De gör samma sak med den andra fraktionen - LCM divideras med nämnaren för den andra fraktionen och en andra ytterligare faktor erhålls.

Bråkens täljare och nämnare multipliceras sedan med deras ytterligare faktorer. Som ett resultat av dessa åtgärder förvandlas bråk som hade olika nämnare till bråk som har samma nämnare. Och vi vet redan hur man lägger till sådana fraktioner.

Exempel 1. Låt oss lägga till bråken och

Först och främst hittar vi den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för båda bråken. Nämnaren för det första bråket är talet 3, och nämnaren för det andra bråket är talet 2. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 6

LCM (2 och 3) = 6

Låt oss nu återgå till bråk och . Dela först LCM med nämnaren för det första bråket och få den första ytterligare faktorn. LCM är talet 6, och nämnaren för det första bråket är talet 3. Dividera 6 med 3, vi får 2.

Det resulterande talet 2 är den första ytterligare multiplikatorn. Vi skriver ner det till första bråket. För att göra detta, gör en liten sned linje över bråkdelen och skriv ner den ytterligare faktorn som finns ovanför den:

Vi gör samma sak med den andra bråkdelen. Vi dividerar LCM med nämnaren för den andra bråkdelen och får den andra tilläggsfaktorn. LCM är talet 6, och nämnaren för det andra bråket är talet 2. Dividera 6 med 2, vi får 3.

Det resulterande talet 3 är den andra ytterligare multiplikatorn. Vi skriver ner det till den andra bråkdelen. Återigen gör vi en liten sned linje över den andra bråkdelen och skriver ner den ytterligare faktorn som finns ovanför den:

Nu har vi allt klart för tillägg. Det återstår att multiplicera bråkens täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer:

Titta noga på vad vi har kommit fram till. Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man lägger till sådana fraktioner. Låt oss ta det här exemplet till slutet:

Detta avslutar exemplet. Det visar sig att lägga till .

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Om du lägger till pizza till en pizza får du en hel pizza och ytterligare en sjättedel av en pizza:

Att reducera bråk till samma (gemensamma) nämnare kan också avbildas med hjälp av en bild. Minska bråken och till en gemensam nämnare, vi fick bråken och . Dessa två fraktioner kommer att representeras av samma pizzabitar. Den enda skillnaden blir att de denna gång delas upp i lika delar (reducerat till samma nämnare).

Den första ritningen representerar en bråkdel (fyra bitar av sex), och den andra ritningen representerar en bråkdel (tre bitar av sex). Lägger vi till dessa bitar får vi (sju bitar av sex). Denna bråkdel är felaktig, så vi lyfte fram hela delen av den. Som ett resultat fick vi (en hel pizza och en annan sjätte pizza).

Observera att vi har beskrivit det här exemplet för mycket detaljerat. På utbildningsinstitutioner är det inte vanligt att skriva så detaljerat. Du måste snabbt kunna hitta LCM för både nämnare och ytterligare faktorer till dem, samt snabbt multiplicera de hittade ytterligare faktorerna med dina täljare och nämnare. Om vi var i skolan skulle vi behöva skriva det här exemplet så här:

Men det finns också en annan sida av myntet. Om du inte gör detaljerade anteckningar i de första stadierna av att studera matematik, börjar sådana frågor att dyka upp. "Var kommer den siffran ifrån?", "Varför blir bråk plötsligt till helt andra bråk? «.

För att göra det enklare att lägga till bråk med olika nämnare kan du använda följande steg-för-steg-instruktioner:

Hitta LCM för bråkens nämnare;
Dela LCM med nämnaren för varje bråkdel och få en extra faktor för varje bråkdel;
Multiplicera täljare och nämnare för bråk med deras ytterligare faktorer;
Lägg till bråk som har samma nämnare;
Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, välj sedan hela dess del;

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck .

Låt oss använda instruktionerna ovan.

Steg 1. Hitta LCM för bråkens nämnare

Hitta LCM för nämnarna för båda bråken. Bråkens nämnare är talen 2, 3 och 4

Steg 2. Dela LCM med nämnaren för varje bråkdel och få en extra faktor för varje bråkdel

Dividera LCM med nämnaren för den första bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det första bråket är talet 2. Dividera 12 med 2, vi får 6. Vi fick den första ytterligare faktorn 6. Vi skriver den ovanför det första bråket:

Nu dividerar vi LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 12 med 3, vi får 4. Vi får den andra ytterligare faktorn 4. Vi skriver det ovanför det andra bråket:

Nu dividerar vi LCM med nämnaren för den tredje bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det tredje bråket är talet 4. Dividera 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje ytterligare faktorn 3. Vi skriver det ovanför det tredje bråket:

Steg 3. Multiplicera bråkens täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer

Vi multiplicerar täljare och nämnare med deras ytterligare faktorer:

Steg 4. Lägg till bråk med samma nämnare

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma (gemensamma) nämnare. Allt som återstår är att lägga till dessa fraktioner. Lägg till det:

Tillägget passade inte på en rad, så vi flyttade det återstående uttrycket till nästa rad. Detta är tillåtet i matematik. När ett uttryck inte passar på en rad flyttas det till nästa rad, och det är nödvändigt att sätta ett likhetstecken (=) i slutet av den första raden och i början av den nya raden. Likhetstecknet på den andra raden indikerar att detta är en fortsättning på uttrycket som fanns på den första raden.

Steg 5. Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, välj sedan hela delen av det

Vårt svar visade sig vara en felaktig bråkdel. Vi måste lyfta fram en hel del av det. Vi lyfter fram:

Vi fick svar

Subtrahera bråk med lika nämnare

Det finns två typer av subtraktion av bråk:

Subtrahera bråk med lika nämnare
Subtrahera bråk med olika nämnare

Låt oss först lära oss hur man subtraherar bråk med lika nämnare. Allt är enkelt här. För att subtrahera en annan från ett bråk, måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket, men lämna nämnaren densamma.

Låt oss till exempel hitta värdet på uttrycket . För att lösa det här exemplet måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren oförändrad. Nu gör vi det:

Detta exempel kan lätt förstås om vi minns pizzan, som är uppdelad i fyra delar. Om du skär pizzor från en pizza får du pizzor:

Exempel 2. Hitta värdet på uttrycket.

Återigen, från täljaren för det första bråket, subtrahera täljaren för det andra bråket och lämna nämnaren oförändrad:

Detta exempel kan lätt förstås om vi kommer ihåg pizzan, som är uppdelad i tre delar. Om du skär pizzor från en pizza får du pizzor:

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Detta exempel är löst på exakt samma sätt som de tidigare. Från täljaren för det första bråket måste du subtrahera täljaren för de återstående bråken:

Som du kan se är det inget komplicerat med att subtrahera bråk med samma nämnare. Det räcker med att förstå följande regler:

För att subtrahera ett annat från ett bråk, måste du subtrahera täljaren för det andra bråket från täljaren för det första bråket och lämna nämnaren oförändrad;
Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel, måste du markera hela delen av det.

Subtrahera bråk med olika nämnare

Du kan till exempel subtrahera ett bråk från ett bråk eftersom bråken har samma nämnare. Men du kan inte subtrahera ett bråk från ett bråk, eftersom dessa bråk har olika nämnare. I sådana fall måste bråk reduceras till samma (gemensamma) nämnare.

Den gemensamma nämnaren hittas med samma princip som vi använde när vi adderade bråk med olika nämnare. Först och främst, hitta LCM för nämnarna för båda bråken. Därefter divideras LCM med nämnaren för det första bråket och den första ytterligare faktorn erhålls, som skrivs ovanför den första bråkdelen. På liknande sätt divideras LCM med nämnaren för den andra bråkdelen och en andra ytterligare faktor erhålls, som skrivs ovanför den andra bråkdelen.

Bråken multipliceras sedan med deras ytterligare faktorer. Som ett resultat av dessa operationer omvandlas bråk som hade olika nämnare till bråk som har samma nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk.

Exempel 1. Hitta innebörden av uttrycket:

Dessa bråk har olika nämnare, så du måste reducera dem till samma (gemensamma) nämnare.

Först hittar vi LCM för nämnarna för båda bråken. Nämnaren för det första bråket är talet 3, och nämnaren för det andra bråket är talet 4. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 12

LCM (3 och 4) = 12

Låt oss nu återgå till bråk och

Låt oss hitta en ytterligare faktor för den första bråkdelen. För att göra detta, dividera LCM med nämnaren för den första bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det första bråket är talet 3. Dividera 12 med 3, vi får 4. Skriv en fyra ovanför det första bråket:

Vi gör samma sak med den andra bråkdelen. Dividera LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 12, och nämnaren för det andra bråket är talet 4. Dividera 12 med 4, vi får 3. Skriv en trea över det andra bråket:

Nu är vi redo för subtraktion. Det återstår att multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer:

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk. Låt oss ta det här exemplet till slutet:

Vi fick svar

Låt oss försöka skildra vår lösning med hjälp av en ritning. Om du skär pizza från en pizza får du pizza

Detta är den detaljerade versionen av lösningen. Om vi var i skolan skulle vi behöva lösa det här exemplet kortare. En sådan lösning skulle se ut så här:

Att reducera bråk till en gemensam nämnare kan också avbildas med hjälp av en bild. Om vi reducerar dessa bråk till en gemensam nämnare, fick vi bråken och . Dessa fraktioner kommer att representeras av samma pizzaskivor, men den här gången kommer de att delas upp i lika delar (reducerat till samma nämnare):

Den första bilden visar en bråkdel (åtta stycken av tolv), och den andra bilden visar en bråkdel (tre stycken av tolv). Genom att skära tre bitar från åtta bitar får vi fem bitar av tolv. Bråket beskriver dessa fem stycken.

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Dessa bråk har olika nämnare, så först måste du reducera dem till samma (gemensamma) nämnare.

Låt oss hitta LCM för nämnarna för dessa bråk.

Bråkens nämnare är talen 10, 3 och 5. Den minsta gemensamma multipeln av dessa tal är 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nu hittar vi ytterligare faktorer för varje bråkdel. För att göra detta, dividera LCM med nämnaren för varje bråkdel.

Låt oss hitta en ytterligare faktor för den första bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det första bråket är talet 10. Dividera 30 med 10, vi får den första ytterligare faktorn 3. Vi skriver det ovanför det första bråket:

Nu hittar vi ytterligare en faktor för den andra fraktionen. Dividera LCM med nämnaren för den andra bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det andra bråket är talet 3. Dividera 30 med 3, vi får den andra ytterligare faktorn 10. Vi skriver det ovanför det andra bråket:

Nu hittar vi ytterligare en faktor för den tredje fraktionen. Dividera LCM med nämnaren för den tredje bråkdelen. LCM är talet 30, och nämnaren för det tredje bråket är talet 5. Dividera 30 med 5, vi får den tredje ytterligare faktorn 6. Vi skriver det ovanför det tredje bråket:

Nu är allt klart för subtraktion. Det återstår att multiplicera bråken med deras ytterligare faktorer:

Vi kom fram till att bråk som hade olika nämnare blev till bråk som hade samma (gemensamma) nämnare. Och vi vet redan hur man subtraherar sådana bråk. Låt oss avsluta detta exempel.

Fortsättningen av exemplet får inte plats på en rad, så vi flyttar fortsättningen till nästa rad. Glöm inte likhetstecknet (=) på den nya raden:

Svaret visade sig vara en vanlig bråkdel, och allt verkar passa oss, men det är för krångligt och fult. Vi borde göra det enklare. Vad kan göras? Du kan förkorta denna bråkdel.

För att minska ett bråk, måste du dividera dess täljare och nämnare med (GCD) av talen 20 och 30.

Så vi hittar gcd för nummer 20 och 30:

Nu återgår vi till vårt exempel och dividerar täljaren och nämnaren för bråket med den hittade gcd, det vill säga med 10

Vi fick svar

Multiplicera ett bråk med ett tal

För att multiplicera ett bråktal med ett tal, måste du multiplicera bråkets täljare med det talet och lämna nämnaren oförändrad.

Exempel 1. Multiplicera ett bråk med talet 1.

Multiplicera täljaren för bråket med talet 1

Inspelningen kan förstås som att den tar halv 1 gång. Om du till exempel tar pizza en gång får du pizza

Från multiplikationens lagar vet vi att om multiplikaden och faktorn byts om kommer produkten inte att förändras. Om uttrycket skrivs som , kommer produkten fortfarande att vara lika med . Återigen fungerar regeln för att multiplicera ett heltal och en bråkdel:

Denna notation kan förstås som att den tar hälften av en. Till exempel, om det finns en hel pizza och vi tar hälften av den, kommer vi att ha pizza:

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för bråket med 4

Svaret var en oegentlig bråkdel. Låt oss lyfta fram hela delen av det:

Uttrycket kan förstås som att det tar två fjärdedelar 4 gånger. Om du till exempel tar 4 pizzor får du två hela pizzor

Och om vi byter ut multiplikatorn och multiplikatorn får vi uttrycket . Det kommer också att vara lika med 2. Detta uttryck kan förstås som att man tar två pizzor från fyra hela pizzor:

Talet som multipliceras med bråket och bråkets nämnare löses om de har en gemensam faktor större än en.

Till exempel kan ett uttryck utvärderas på två sätt.

Första sättet. Multiplicera talet 4 med täljaren för bråket och lämna bråkets nämnare oförändrad:

Andra sättet. De fyra som multipliceras och de fyra i bråkets nämnare kan reduceras. Dessa fyror kan reduceras med 4, eftersom den största gemensamma delaren för två fyror är själva fyran:

Vi fick samma resultat 3. Efter att ha reducerat fyrorna bildas nya nummer i deras ställe: två ettor. Men att multiplicera ett med tre och sedan dividera med ett förändrar ingenting. Därför kan lösningen kortfattat skrivas:

Reduktionen kan utföras även när vi bestämde oss för att använda den första metoden, men när vi multiplicerade talet 4 och täljaren 3 bestämde vi oss för att använda reduktionen:

Men till exempel kan uttrycket bara beräknas på det första sättet - multiplicera 7 med nämnaren i bråket och lämna nämnaren oförändrad:

Detta beror på det faktum att talet 7 och bråkdelens nämnare inte har en gemensam divisor som är större än en och därför inte avbryter.

Vissa elever förkortar av misstag talet som multipliceras och täljaren för bråket. Du kan inte göra det här. Till exempel är följande post inte korrekt:

Att minska en bråkdel betyder det både täljare och nämnare kommer att delas med samma tal. I situationen med uttrycket utförs division endast i täljaren, eftersom att skriva detta är detsamma som att skriva . Vi ser att division endast utförs i täljaren, och ingen division sker i nämnaren.

Multiplicera bråk

För att multiplicera bråk, måste du multiplicera deras täljare och nämnare. Om svaret visar sig vara en felaktig bråkdel måste du markera hela delen av det.

Exempel 1. Hitta värdet på uttrycket.

Vi fick svar. Det är tillrådligt att minska denna fraktion. Fraktionen kan reduceras med 2. Sedan kommer den slutliga lösningen att ha följande form:

Uttrycket kan förstås som att man tar en pizza från en halv pizza. Låt oss säga att vi har en halv pizza:

Hur tar man två tredjedelar från denna halvlek? Först måste du dela upp denna halva i tre lika delar:

Och ta två av dessa tre delar:

Vi ska göra pizza. Kom ihåg hur pizza ser ut när den är uppdelad i tre delar:

En bit av denna pizza och de två bitarna vi tog kommer att ha samma mått:

Vi pratar med andra ord om samma storlek pizza. Därför är uttryckets värde

Exempel 2. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för det första bråket med täljaren för det andra bråket och nämnaren för det första bråket med nämnaren för det andra bråket:

Svaret var en oegentlig bråkdel. Låt oss lyfta fram hela delen av det:

Exempel 3. Hitta värdet på ett uttryck

Multiplicera täljaren för det första bråket med täljaren för det andra bråket och nämnaren för det första bråket med nämnaren för det andra bråket:

Svaret visade sig vara en vanlig bråkdel, men det vore bra om det förkortades. För att minska denna bråkdel måste du dividera täljaren och nämnaren för bråket med den största gemensamma divisorn (GCD) av talen 105 och 450.

Så låt oss hitta gcd för nummer 105 och 450:

Nu dividerar vi täljaren och nämnaren för vårt svar med den gcd som vi nu har hittat, det vill säga med 15

Representerar ett heltal som en bråkdel

Vilket heltal som helst kan representeras som ett bråktal. Till exempel kan siffran 5 representeras som . Detta kommer inte att ändra innebörden av fem, eftersom uttrycket betyder "talet fem dividerat med ett", och detta, som vi vet, är lika med fem:

Ömsesidiga siffror

Nu ska vi bekanta oss med ett mycket intressant ämne i matematik. Det kallas "omvända siffror".

Definition. Vänd till nummera är ett tal som, när det multipliceras meda ger en.

Låt oss ersätta i denna definition istället för variabeln a nummer 5 och försök att läsa definitionen:

Vänd till nummer 5 är ett tal som, när det multipliceras med 5 ger en.

Är det möjligt att hitta ett tal som, multiplicerat med 5, ger ett? Det visar sig att det är möjligt. Låt oss föreställa oss fem som en bråkdel:

Multiplicera sedan denna bråkdel med sig själv, byt bara ut täljaren och nämnaren. Med andra ord, låt oss multiplicera bråket med sig självt, bara upp och ner:

Vad kommer att hända som ett resultat av detta? Om vi fortsätter att lösa detta exempel får vi ett:

Det betyder att inversen av talet 5 är talet , eftersom när du multiplicerar 5 med får du en.

Den reciproka av ett tal kan också hittas för vilket annat heltal som helst.

Du kan också hitta ömsesidigheten för vilken annan fraktion som helst. För att göra detta, vänd bara på det.

Att dividera ett bråk med ett tal

Låt oss säga att vi har en halv pizza:

Låt oss dela det lika mellan två. Hur mycket pizza får varje person?

Det kan ses att efter att ha delat hälften av pizzan erhölls två lika stora bitar som var och en utgör en pizza. Så alla får en pizza.

Den här lektionen kommer att behandla att addera och subtrahera algebraiska bråk med liknande nämnare. Vi vet redan hur man adderar och subtraherar vanliga bråk med lika nämnare. Det visar sig att algebraiska bråk följer samma regler. Att lära sig att arbeta med bråk med liknande nämnare är en av hörnstenarna i att lära sig att arbeta med algebraiska bråk. I synnerhet kommer förståelsen av detta ämne att göra det lätt att bemästra ett mer komplext ämne - att lägga till och subtrahera bråk med olika nämnare. Som en del av lektionen kommer vi att studera reglerna för att addera och subtrahera algebraiska bråk med lika nämnare, och även analysera ett antal typiska exempel

Regel för att addera och subtrahera algebraiska bråk med lika nämnare

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (du-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fraktioner från en-på-till-dig-mi know-me-na-te-la-mi (det sammanfaller med den analoga regeln för vanliga skottslag): Det vill säga för addition eller beräkning av al-geb-ra-i-che-skih-bråk med en-till-dig know-me-on-te-la-mi nödvändig -ho-di-mo-kompilera en motsvarande al-geb-ra-i-che-summa av tal, och tecken-me-na-tel lämnar utan några.

Vi förstår denna regel både för exemplet med vanliga ven-dragningar och för exemplet med al-geb-ra-i-che-draws.

Exempel på tillämpning av regeln för vanliga bråk

Exempel 1. Lägg till fraktioner: .

Lösning

Låt oss lägga till antalet bråk och lämna tecknet detsamma. Efter detta dekomponerar vi talet och loggar till enkla multipliciteter och kombinationer. Låt oss ta det: .

Obs: ett standardfel som är tillåtet när man löser liknande typer av exempel, för -klu-cha-et-sya i följande möjliga lösning: . Detta är ett grovt misstag, eftersom tecknet förblir detsamma som det var i de ursprungliga bråken.

Exempel 2. Lägg till fraktioner: .

Lösning

Den här skiljer sig inte på något sätt från den tidigare: .

Exempel på tillämpning av regeln för algebraiska bråk

Från vanliga dro-beats går vi över till al-geb-ra-i-che-skim.

Exempel 3. Lägg till fraktioner: .

Lösning: som redan nämnts ovan skiljer sig sammansättningen av al-geb-ra-i-che-bråk på intet sätt från ordet på samma sätt som vanliga skottstrider. Därför är lösningsmetoden densamma: .

Exempel 4. Du är bråket: .

Lösning

Du-chi-ta-nie av al-geb-ra-i-che-skih bråk från addition endast av det faktum att i antalet pi-sy-va-et-sya skillnad i antalet använda bråk. Det är därför .

Exempel 5. Du är bråket: .

Lösning: .

Exempel 6. Förenkla: .

Lösning: .

Exempel på tillämpning av regeln följt av reduktion

I en bråkdel som har samma betydelse i resultatet av sammansättning eller beräkning är kombinationer möjliga nia. Dessutom bör du inte glömma ODZ för al-geb-ra-i-che-skih fraktioner.

Exempel 7. Förenkla: .

Lösning: .

Vart i . I allmänhet, om ODZ för de initiala bråken sammanfaller med ODZ för totalen, kan den utelämnas (trots allt är bråket i svaret, kommer inte heller att existera med motsvarande betydande förändringar). Men om ODZ för de använda bråken och svaret inte stämmer överens, måste ODZ anges.

Exempel 8. Förenkla: .

Lösning: . Samtidigt, y (ODZ för de initiala fraktionerna sammanfaller inte med ODZ för resultatet).

Addera och subtrahera bråk med olika nämnare

För att lägga till och läsa al-geb-ra-i-che-bråk med olika know-me-on-the-la-mi, gör vi ana-lo -giyu med vanliga-ven-ny-bråk och överför det till al-geb -ra-i-che-bråk.

Låt oss titta på det enklaste exemplet för vanliga bråk.

Exempel 1. Lägg till bråk: .

Lösning:

Låt oss komma ihåg reglerna för att lägga till bråk. Till att börja med en bråkdel är det nödvändigt att ta det till ett vanligt tecken. I rollen som allmänt tecken för vanliga bråk agerar du minsta gemensamma nämnare(NOK) initiala tecken.

Definition

Det minsta antalet, som samtidigt delas upp i tal och.

För att hitta NOC måste du dela upp kunskapen i enkla uppsättningar och sedan välja allt det finns många, som ingår i uppdelningen av båda tecknen.

; . Sedan måste LCM för siffror innehålla två tvåor och två treor: .

Efter att ha hittat den allmänna kunskapen är det nödvändigt för vart och ett av bråken att hitta en fullständig multiplicitetsinvånare (i själva verket, att hälla det gemensamma tecknet på tecknet för motsvarande bråk).

Sedan multipliceras varje bråkdel med en halvfull faktor. Låt oss ta några bråkdelar från samma du känner, lägga ihop dem och läsa upp dem.-studerat i tidigare lektioner.

Låt oss äta: .

Svar:.

Låt oss nu titta på sammansättningen av al-geb-ra-i-che-bråk med olika tecken. Låt oss nu titta på bråken och se om det finns några siffror.

Addera och subtrahera algebraiska bråk med olika nämnare

Exempel 2. Lägg till bråk: .

Lösning:

Al-go-rytm av beslutet ab-so-lyut-men ana-lo-gi-chen till föregående exempel. Det är lätt att ta det gemensamma tecknet för de givna bråken: och ytterligare multiplikatorer för var och en av dem.

Svar:.

Så, låt oss bilda al-go-rytm för addition och beräkning av al-geb-ra-i-che-skih bråk med olika tecken:

1. Hitta det minsta vanliga tecknet för bråket.

2. Hitta ytterligare multiplikatorer för var och en av bråken (det vanligaste tecknet för tecknet ges faktiskt -th bråk).

3. Upp till många tal på motsvarande upp till fulla multipliciteter.

4. Lägg till eller beräkna bråk, med hjälp av reglerna för sammansättning och beräkning av bråk med samma kunskap -me-na-te-la-mi.

Låt oss nu titta på ett exempel med bråk, i vilket tecken det finns bokstäver du -nia.