Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana datu bankā. Darbības ar daļskaitļiem. Kopsavilkums: vispārējā aprēķinu shēma

Darbības ar daļskaitļiem.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Tātad, kas ir daļskaitļi, frakciju veidi, pārvērtības - mēs atcerējāmies. Pāriesim pie galvenā jautājuma.

Ko jūs varat darīt ar frakcijām? Jā, viss ir tāpat kā ar parastajiem cipariem. Saskaitīt, atņemt, reizināt, dalīt.

Visas šīs darbības ar decimālzīme darbs ar daļskaitļiem neatšķiras no darba ar veseliem skaitļiem. Patiesībā tas ir tas, kas tajos ir labs, decimāldaļas. Vienīgais, ka komats ir jāliek pareizi.

Jaukti skaitļi, kā jau teicu, ir maz noderīgas lielākajai daļai darbību. Tie joprojām ir jāpārvērš parastajās daļās.

Bet darbības ar parastās frakcijas viņi būs viltīgāki. Un vēl daudz svarīgāk! Ļaujiet man jums atgādināt: visas darbības ar daļskaitļu izteiksmēm ar burtiem, sinusiem, nezināmajiem un tā tālāk un tā tālāk neatšķiras no darbībām ar parastajām daļām! Darbības ar parastajām daļām ir visas algebras pamatā. Šī iemesla dēļ mēs šeit ļoti detalizēti analizēsim visu šo aritmētiku.

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana.

Ikviens var pievienot (atņemt) daļskaitļus ar vienādiem saucējiem (es ļoti ceru!). Nu, pavisam aizmāršīgajiem atgādināšu: saskaitot (atņemot), saucējs nemainās. Skaitītājus saskaita (atņem), lai iegūtu rezultāta skaitītāju. Veids:

Īsāk sakot, vispārīgi:

Ko darīt, ja saucēji ir atšķirīgi? Tad, izmantojot daļskaitļa pamatīpašību (šeit tas atkal noder!), saucējus veidojam vienādus! Piemēram:

Šeit mums bija jāveido daļa 4/10 no frakcijas 2/5. Tikai ar mērķi padarīt saucējus vienādus. Ļaujiet man katram gadījumam atzīmēt, ka 2/5 un 4/10 ir tā pati frakcija! Tikai 2/5 mums ir neērti, un 4/10 ir patiešām labi.

Starp citu, tā ir jebkuru matemātikas uzdevumu risināšanas būtība. Kad mēs no neērti mēs veidojam izteiksmes tas pats, bet risināšanai ērtāks.

Vēl viens piemērs:

Situācija ir līdzīga. Šeit mēs veidojam 48 no 16. Vienkārši reizinot ar 3. Tas viss ir skaidrs. Bet mēs saskārāmies ar kaut ko līdzīgu:

Kā būt?! Ir grūti no septiņiem izveidot devītnieku! Bet mēs esam gudri, mēs zinām noteikumus! Pārveidosim katrs daļu, lai saucēji būtu vienādi. To sauc par “samazināt līdz kopsaucējam”:

Oho! Kā es uzzināju par 63? Ļoti vienkārši! 63 ir skaitlis, kas dalās ar 7 un 9 vienlaikus. Šādu skaitli vienmēr var iegūt, reizinot saucējus. Ja mēs reizinām skaitli, piemēram, ar 7, tad rezultāts noteikti dalīsies ar 7!

Ja nepieciešams pievienot (atņemt) vairākas daļdaļas, tas nav jādara pa pāriem, soli pa solim. Jums vienkārši jāatrod visiem daļskaitļiem kopīgs saucējs un jāsamazina katra daļa līdz šim pašam saucējam. Piemēram:

Un kāds būs kopsaucējs? Jūs, protams, varat reizināt ar 2, 4, 8 un 16. Mēs iegūstam 1024. Murgs. Vieglāk ir aprēķināt, ka skaitlis 16 ir pilnīgi dalāms ar 2, 4 un 8. Tāpēc no šiem skaitļiem ir viegli iegūt 16. Šis skaitlis būs kopsaucējs. Pārvērtīsim 1/2 par 8/16, 3/4 par 12/16 un tā tālāk.

Starp citu, ja par kopsaucēju ņemsi 1024, viss izdosies, beigās viss samazināsies. Bet ne visi tiks līdz šim, aprēķinu dēļ...

Pabeidziet piemēru pats. Nevis kaut kāds logaritms... Jābūt 29/16.

Tātad, daļskaitļu saskaitīšana (atņemšana) ir skaidra, es ceru? Protams, ir vieglāk strādāt saīsinātā versijā, ar papildu reizinātājiem. Bet šis prieks ir pieejams tiem, kuri godprātīgi strādāja zemākajās klasēs... Un neko neaizmirsa.

Un tagad mēs veiksim tādas pašas darbības, bet ne ar daļdaļām, bet ar daļskaitļu izteiksmes. Šeit tiks atklāts jauns grābeklis, jā...

Tātad, mums jāpievieno divas frakcionētas izteiksmes:

Mums ir jāpadara vienādi saucēji. Un tikai ar palīdzību reizināšana! To nosaka frakcijas galvenā īpašība. Tāpēc es nevaru pievienot vienu pie X pirmajā daļā saucējā. (tas būtu jauki!). Bet, ja sareizina saucējus, tad redz, viss aug kopā! Tātad mēs pierakstām daļskaitļa rindu, atstājam tukšu vietu augšpusē, pēc tam pievienojam to un zemāk ierakstām saucēju reizinājumu, lai neaizmirstu:

Un, protams, mēs neko nereizinām labajā pusē, mēs neatveram iekavas! Un tagad, aplūkojot kopsaucēju labajā pusē, mēs saprotam: lai pirmajā daļskaitlī iegūtu saucēju x(x+1), šīs daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar (x+1) . Un otrajā daļā - uz x. Tas ir tas, ko jūs saņemat:

Piezīme! Šeit ir iekavas! Šis ir grābeklis, uz kura kāpj daudzi. Nevis iekavas, protams, bet to neesamība. Iekavas parādās, jo mēs vairojam visi skaitītājs un visi saucējs! Un ne viņu atsevišķie gabali...

Labās puses skaitītājā ierakstām skaitītāju summu, viss ir kā skaitļos, tad labās puses skaitītājā atveram iekavas, t.i. Visu reizinām un dodam līdzīgus. Nevajag atvērt iekavas saucējos vai neko reizināt! Kopumā saucējos (jebkurā) produkts vienmēr ir patīkamāks! Mēs iegūstam:

Tātad mēs saņēmām atbildi. Process šķiet garš un grūts, bet tas ir atkarīgs no prakses. Kad atrisināsiet piemērus, pierodiet pie tā, viss kļūs vienkāršs. Tie, kas laikus apguvuši daļskaitļus, visas šīs darbības veic ar vienu kreiso roku, automātiski!

Un vēl viena piezīme. Daudzi gudri tiek galā ar daļskaitļiem, bet iestrēgst pie piemēriem ar vesels cipariem. Patīk: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur nostiprināt divdaļīgo? Jums tas nekur nav jāpiestiprina, jums ir jāizveido daļa no diviem. Tas nav viegli, bet ļoti vienkārši! 2=2/1. Kā šis. Jebkuru veselu skaitli var uzrakstīt kā daļskaitli. Skaitītājs ir pats skaitlis, saucējs ir viens. 7 ir 7/1, 3 ir 3/1 un tā tālāk. Tāpat ir ar burtiem. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 utt. Un tad mēs strādājam ar šīm frakcijām saskaņā ar visiem noteikumiem.

Nu tika atsvaidzinātas zināšanas par daļskaitļu saskaitīšanu un atņemšanu. Tika atkārtota frakciju pārvēršana no viena veida uz citu. Varat arī pārbaudīties. Vai mēs to nedaudz atrisināsim?)

Aprēķināt:

Atbildes (nekārtīgi):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Daļskaitļu reizināšana/dalīšana - nākamajā nodarbībā. Ir arī uzdevumi visām darbībām ar daļskaitļiem.

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Klase: 5

Prezentācija nodarbībai

Atpakaļ uz priekšu

Uzmanību! Slaidu priekšskatījumi ir paredzēti tikai informatīviem nolūkiem, un tie var neatspoguļot visas prezentācijas funkcijas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.

Nodarbības mērķi:

Izglītojoši:

sistematizēt zināšanas par parastajām daļskaitļiem;
atkārtojiet daļskaitļu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumus ar līdzīgiem saucējiem;
atkārtojiet daļskaitļu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumus ar dažādiem saucējiem.

Izglītojoši:

attīstīt uzmanību, runu, atmiņu, loģisko domāšanu, neatkarību.

Izglītojoši:

audzināt vēlmi sasniegt mērķi; pašpārliecinātība, spēja strādāt komandā.

Zināt: noteikumi daļskaitļu saskaitīšanai un atņemšanai ar līdzīgiem un atšķirīgiem saucējiem.

Nodarbības veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība.

Aprīkojums: ekrāns, multivide, prezentācija “Parasto daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana” (1.pielikums), parastās daļskaitļa modelis (1.attēls); veidlapa ar testu, atbilžu tabula (2. attēls), emocijzīmes pārdomām (3. attēls), zīmēta eglīte (4. attēls).

Nē.	Nodarbības posms	Laiks	Skatuves uzdevumi
1.	Laika organizēšana.	3 min.	Sagatavojiet skolēnus stundai.
2.	Zināšanu atjaunināšana. Pārsegtā materiāla atkārtošana.	10 min.	Pārskatiet pareizās un nepareizās daļskaitļus, samazinot daļskaitļus, apvienojot daļskaitļus līdz jaunam saucējam, izceļot visu daļu.
3.	Piemērojiet noteikumus par parasto daļskaitļu pievienošanu un atņemšanu ar līdzīgiem saucējiem.	10 min.	Pārskatiet parasto daļskaitļu pievienošanu un atņemšanu ar līdzīgiem saucējiem.
4.	Fiziskās audzināšanas minūte.	3 min.	Atbrīvojieties no bērna noguruma, nodrošiniet aktīvu atpūtu un paaugstiniet skolēnu garīgo sniegumu.
5.	Kopīgo daļskaitļu ar dažādiem saucējiem saskaitīšanas un atņemšanas noteikumu piemērošana.	13 min.	Pārskatiet kopējo daļskaitļu pievienošanu un atņemšanu ar dažādiem saucējiem.
6.	Mājasdarbs.	2 minūtes.	Mājas darbu instrukcija.
7.	Nodarbības kopsavilkums.	4 min.	Summējot. Novērtēšana. Atspulgs.

Nodarbību laikā

1). Laika organizēšana.

- "Parasto daļskaitļu pievienošana un atņemšana."

Tiek ierosināts formulēt stundas mērķus un uzdevumus, diskusijas laikā tie tiek formulēti (skolotājs tos var pierakstīt uz tāfeles).

2). Zināšanu atjaunināšana. Pārsegtā materiāla atkārtošana. (Slaids Nr. 1).

a) Šodien nodarbību sāksim ar izsoli. Ir pieejama tikai viena partija: "parastā frakcija" (1. attēls). Atcerēsimies, ko mēs zinām par parastajām frakcijām:

Skaitītājs;

Saucējs;

Daļveida josla - dalījums;

Ieslēgts b sadalām daļas, ņemam Ašādas daļas;

Pareizi;

Nepareizi;

Izvēlieties visu daļu;

Samazināt;

Samazināt līdz jaunam saucējam;

Piemēri.

Tas, kurš pēdējais runāja par parasto daļskaitli, iegūst parastās daļskaitļa modeli.

b) Nostiprināsim savas zināšanas, pildot testu(atbilžu forma, uzdevums Nr. 1, slaids Nr. 2).

PĀRBAUDE

1. Atrodiet pareizo daļu:

A); B) ; IN) .

2. Atrodiet nepareizo daļskaitli:

A); B) ; IN) .

3. Samaziniet daļu:

A); B) ; IN) .

4. Samaziniet daļu līdz saucējam 28:

A); B) ; IN) .

5. Atlasiet visu daļu:

A); B) ; IN) .

Atbildes tiek ievadītas tabulā.

1 2 3 4 5

Apkopojot:

5 "+" atzīme 5,
4 "+" atzīme 4,
3 "+" atzīme 3.

3) Noteikumu piemērošana parasto daļskaitļu saskaitīšanai un atņemšanai ar līdzīgiem saucējiem.

Kādas parastās frakcijas mēs varam pievienot?

Daļas ar līdzīgiem un atšķirīgiem saucējiem (3. slaids).

Atkārtosim, pievienojot daļskaitļus ar vienādiem saucējiem.

Lai pievienotu divas daļdaļas ar vienādiem saucējiem, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina.

Lai atņemtu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, no mazā vārda skaitītāja ir jāatņem mazā vārda skaitītājs un saucējs jāatstāj nemainīgs.

Nostiprināsim zināšanas praksē.

Skolēni tiek aicināti izskaitļot piemērus mutiski un pierakstīt atbildes uz atbilžu lapas uzdevumam Nr.2.

Apmainiet piezīmju grāmatiņas un veiciet savstarpējas pārbaudes.

Apkopojot:

9-8 "+" atzīme 5,
7-6 "+" atzīme 4,
5 "+" atzīme 3.

4). Fiziskās audzināšanas minūte.

5). Kopīgo daļskaitļu ar dažādiem saucējiem saskaitīšanas un atņemšanas noteikumu piemērošana.

Mēs pievienojām daļskaitļus ar vienādiem saucējiem. Kas jādara, lai pievienotu parastās daļskaitļus ar dažādiem saucējiem?(4. slaids).

Lai pievienotu un atņemtu daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, jums ir jāsamazina daļas līdz kopsaucējam, atrodot papildu faktorus. Veikt parasto daļskaitļu saskaitīšanu un atņemšanu ar vienādiem saucējiem.

Nodarbības saturs

Daļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem

Ir divi frakciju pievienošanas veidi:

Daļskaitļu pievienošana ar līdzīgiem saucējiem
Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem

Vispirms iemācīsimies pievienot daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai pievienotu daļskaitļus ar vienādiem saucējiem, jāpievieno to skaitītāji un saucējs nav jāmaina. Piemēram, pievienosim daļskaitļus un . Pievienojiet skaitītājus un atstājiet saucēju nemainītu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja picai pievienojat picu, jūs iegūsit picu:

2. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .

Atbilde izrādījās nepareiza daļa. Kad pienāk uzdevuma beigas, ir ierasts atbrīvoties no nepareizajām daļskaitļiem. Lai atbrīvotos no nepareizas frakcijas, jums ir jāizvēlas visa tās daļa. Mūsu gadījumā visa daļa ir viegli izolēta - divi dalīti ar diviem vienāds ar vienu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies par picu, kas ir sadalīta divās daļās. Ja picai pievienojat vairāk picas, jūs saņemsiet vienu veselu picu:

3. piemērs. Pievienojiet frakcijas un .

Atkal mēs saskaitām skaitītājus un atstājam nemainītu saucēju:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta trīs daļās. Ja pievienojat picai vairāk picas, jūs saņemsiet picu:

4. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. Skaitītāji jāpievieno un saucējs jāatstāj nemainīgs:

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picas picai un pievienojat vairāk picu, jūs saņemsiet 1 veselu picu un vairāk picu.

Kā redzat, daļskaitļu pievienošanā ar vienādiem saucējiem nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:

Lai pievienotu daļskaitļus ar vienu un to pašu saucēju, jāpievieno to skaitītāji un saucējs jāatstāj nemainīgs;

Daļskaitļu pievienošana ar dažādiem saucējiem

Tagad uzzināsim, kā pievienot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Saskaitot daļskaitļus, daļskaitļu saucējiem jābūt vienādiem. Bet tie ne vienmēr ir vienādi.

Piemēram, daļskaitļus var pievienot, jo tiem ir vienādi saucēji.

Bet daļskaitļus nevar pievienot uzreiz, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Ir vairāki veidi, kā samazināt daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam. Šodien mēs apskatīsim tikai vienu no tiem, jo citas metodes iesācējam var šķist sarežģītas.

Šīs metodes būtība ir tāda, ka vispirms tiek meklēts abu frakciju saucēju LCM. Pēc tam LCM tiek dalīts ar pirmās daļas saucēju, lai iegūtu pirmo papildu koeficientu. Viņi dara to pašu ar otro daļu - LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients.

Pēc tam daļskaitļu skaitītājus un saucējus reizina ar to papildu koeficientiem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvēršas par daļām, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot.

1. piemērs. Saskaitīsim daļskaitļus un

Pirmkārt, mēs atrodam abu daļskaitļu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 6

LCM (2 un 3) = 6

Tagad atgriezīsimies pie daļām un . Vispirms sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju un iegūstiet pirmo papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 6 ar 3, iegūstam 2.

Iegūtais skaitlis 2 ir pirmais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz pirmajai daļai. Lai to izdarītu, izveidojiet nelielu slīpu līniju virs frakcijas un pierakstiet virs tās atrasto papildu koeficientu:

Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju un iegūstam otro papildu koeficientu. LCM ir skaitlis 6, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 6 ar 2, iegūstam 3.

Iegūtais skaitlis 3 ir otrais papildu reizinātājs. Mēs to pierakstām līdz otrajai daļai. Atkal mēs izveidojam nelielu slīpu līniju virs otrās daļas un pierakstām virs tās atrasto papildu koeficientu:

Tagad mums viss ir gatavs pievienošanai. Atliek reizināt daļskaitļu skaitītājus un saucējus ar to papildu koeficientiem:

Paskatieties uzmanīgi, pie kā esam nonākuši. Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas frakcijas pievienot. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:

Tas pabeidz piemēru. Izrādās pievienot .

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja pievienojat picu picai, jūs saņemsiet vienu veselu picu un vēl vienu sesto daļu no picas:

Daļskaitļu samazināšanu līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam) var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot daļskaitļus un līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs divas frakcijas tiks attēlotas ar vieniem un tiem pašiem picas gabaliņiem. Vienīgā atšķirība būs tāda, ka šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam).

Pirmajā zīmējumā ir attēlota daļa (četri gabali no sešiem), bet otrais zīmējums ir daļa (trīs gabali no sešiem). Pievienojot šos gabalus, mēs iegūstam (septiņus gabalus no sešiem). Šī daļa ir nepareiza, tāpēc mēs izcēlām visu tās daļu. Rezultātā saņēmām (vienu veselu picu un vēl sesto picu).

Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs esam aprakstījuši šo piemēru pārāk detalizēti. Izglītības iestādēs nav pieņemts tik sīki rakstīt. Jums ir jāspēj ātri atrast abu saucēju un tiem pievienoto papildu faktoru LCM, kā arī ātri reizināt atrastos papildu faktorus ar skaitītājiem un saucējiem. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jāraksta šādi:

Taču medaļai ir arī otra puse. Ja matemātikas studiju pirmajos posmos neveicat detalizētas piezīmes, tad sāk parādīties tādi jautājumi. “No kurienes nāk šis skaitlis?”, “Kāpēc daļskaitļi pēkšņi pārvēršas par pilnīgi atšķirīgām daļskaitļiem? «.

Lai atvieglotu daļskaitļu pievienošanu ar dažādiem saucējiem, varat izmantot tālāk sniegtos soli pa solim sniegtos norādījumus.

Atrast daļskaitļu saucēju LCM;
Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai;
Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem;
Pievienojiet daļskaitļus, kuriem ir vienādi saucēji;
Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, atlasiet visu tās daļu;

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību .

Izmantosim iepriekš sniegtos norādījumus.

1. solis. Atrodiet daļskaitļu saucēju LCM

Atrodiet abu daļu saucēju LCM. Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 2, 3 un 4

2. darbība. Sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju un iegūstiet papildu koeficientu katrai daļai

Sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 2. Sadaliet 12 ar 2, iegūstam 6. Mēs ieguvām pirmo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:

Tagad mēs sadalām LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 12 ar 3, iegūstam 4. Iegūstam otro papildu koeficientu 4. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:

Tagad mēs dalām LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Iegūstam trešo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:

3. solis. Daļskaitļu skaitītājus un saucējus reiziniet ar to papildu koeficientiem

Mēs reizinām skaitītājus un saucējus ar to papildu faktoriem:

4. darbība. Pievienojiet daļas ar vienādiem saucējiem

Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Atliek tikai šīs frakcijas pievienot. Pievienojiet to:

Papildinājums neietilpa vienā rindā, tāpēc atlikušo izteiksmi pārvietojām uz nākamo rindiņu. Matemātikā tas ir atļauts. Ja izteiksme neietilpst vienā rindā, tā tiek pārvietota uz nākamo rindu, un pirmās rindas beigās un jaunās rindas sākumā ir jāliek vienādības zīme (=). Otrajā rindā esošā vienādības zīme norāda, ka šis ir izteiksmes turpinājums, kas bija pirmajā rindā.

5. solis. Ja izrādās, ka atbilde ir nepareiza daļa, iezīmējiet visu tās daļu

Mūsu atbilde izrādījās nepareiza daļa. Mums ir jāizceļ vesela tā daļa. Mēs izceļam:

Saņēmām atbildi

Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem

Ir divi daļskaitļu atņemšanas veidi:

Daļskaitļu atņemšana ar līdzīgiem saucējiem
Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem

Vispirms uzzināsim, kā atņemt daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Šeit viss ir vienkārši. Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs, bet saucējs jāatstāj tāds pats.

Piemēram, atradīsim izteiksmes vērtību. Lai atrisinātu šo piemēru, jums ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs no pirmās daļskaitļa skaitītāja un jāatstāj saucējs nemainīgs. Darām to:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta četrās daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.

Atkal no pirmās daļdaļas skaitītāja atņemiet otrās daļas skaitītāju un atstājiet saucēju nemainīgu:

Šo piemēru var viegli saprast, ja atceramies picu, kas sadalīta trīs daļās. Ja jūs izgriežat picas no picas, jūs saņemsiet picas:

3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šis piemērs ir atrisināts tieši tāpat kā iepriekšējie. No pirmās daļdaļas skaitītāja jums jāatņem atlikušo daļu skaitītāji:

Kā redzat, daļskaitļu ar vienādiem saucējiem atņemšanā nav nekā sarežģīta. Pietiek saprast šādus noteikumus:

Lai no vienas daļdaļas atņemtu citu, no pirmās daļdaļas skaitītāja ir jāatņem otrās daļdaļas skaitītājs un saucējs jāatstāj nemainīgs;
Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.

Daļskaitļu atņemšana ar dažādiem saucējiem

Piemēram, jūs varat atņemt daļskaitli no daļskaitļa, jo daļām ir vienādi saucēji. Bet jūs nevarat atņemt daļu no daļskaitļa, jo šīm daļām ir dažādi saucēji. Šādos gadījumos daļskaitļi jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Kopsaucējs tiek atrasts, izmantojot to pašu principu, ko izmantojām, pievienojot daļskaitļus ar dažādiem saucējiem. Vispirms atrodiet abu daļskaitļu saucēju LCM. Tad LCM tiek dalīts ar pirmās daļskaitļa saucēju un iegūts pirmais papildu koeficients, ko raksta virs pirmās daļas. Līdzīgi LCM tiek dalīts ar otrās daļas saucēju un tiek iegūts otrs papildu koeficients, kas tiek rakstīts virs otrās daļas.

Pēc tam frakcijas tiek reizinātas ar to papildu faktoriem. Šo darbību rezultātā daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, tiek pārvērsti daļās, kurām ir vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt.

1. piemērs. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc jums tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Vispirms atrodam abu frakciju saucēju LCM. Pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3, bet otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Šo skaitļu mazākais kopīgais daudzkārtnis ir 12

LCM (3 un 4) = 12

Tagad atgriezīsimies pie daļām un

Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar pirmās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Daliet 12 ar 3, iegūstam 4. Virs pirmās daļdaļas ierakstiet četrinieku:

Mēs darām to pašu ar otro frakciju. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 12, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 4. Sadaliet 12 ar 4, iegūstam 3. Uzrakstiet trijnieku virs otrās daļas:

Tagad mēs esam gatavi atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:

Mēs nonācām pie secinājuma, ka daļskaitļi, kuriem bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi saucēji. Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pieņemsim šo piemēru līdz beigām:

Saņēmām atbildi

Mēģināsim attēlot mūsu risinājumu, izmantojot zīmējumu. Ja jūs izgriežat picu no picas, jūs saņemsiet picu

Šī ir detalizēta risinājuma versija. Ja mēs būtu skolā, mums šis piemērs būtu jārisina īsāk. Šāds risinājums izskatītos šādi:

Daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam var attēlot arī, izmantojot attēlu. Samazinot šīs daļas līdz kopsaucējam, mēs ieguvām daļskaitļus un . Šīs frakcijas tiks attēlotas ar vienādām picas šķēlītēm, taču šoreiz tās tiks sadalītas vienādās daļās (samazinātas līdz vienam un tam pašam saucējam):

Pirmajā attēlā ir redzama daļa (astoņi gabali no divpadsmit), bet otrajā attēlā ir daļa (trīs gabali no divpadsmit). Izgriežot trīs gabalus no astoņiem gabaliem, mēs iegūstam piecus gabalus no divpadsmit. Daļa apraksta šos piecus gabalus.

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Šīm daļām ir dažādi saucēji, tāpēc vispirms tie jāsamazina līdz vienam un tam pašam (kopsaucējam).

Atradīsim šo daļskaitļu saucēju LCM.

Daļskaitļu saucēji ir skaitļi 10, 3 un 5. Šo skaitļu mazākais kopīgais reizinājums ir 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Tagad mēs atrodam papildu faktorus katrai frakcijai. Lai to izdarītu, sadaliet LCM ar katras frakcijas saucēju.

Atradīsim papildu koeficientu pirmajai daļai. LCM ir skaitlis 30, un pirmās daļdaļas saucējs ir skaitlis 10. Sadaliet 30 ar 10, iegūstam pirmo papildu koeficientu 3. Mēs to rakstām virs pirmās daļdaļas:

Tagad mēs atrodam papildu koeficientu otrajai daļai. Sadaliet LCM ar otrās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un otrās daļdaļas saucējs ir skaitlis 3. Sadaliet 30 ar 3, iegūstam otro papildu koeficientu 10. Mēs to rakstām virs otrās daļdaļas:

Tagad mēs atrodam papildu koeficientu trešajai daļai. Sadaliet LCM ar trešās daļas saucēju. LCM ir skaitlis 30, un trešās daļdaļas saucējs ir skaitlis 5. Sadaliet 30 ar 5, iegūstam trešo papildu koeficientu 6. Mēs to rakstām virs trešās daļdaļas:

Tagad viss ir gatavs atņemšanai. Atliek reizināt frakcijas ar to papildu faktoriem:

Mēs nonācām pie secinājuma, ka frakcijas, kurām bija dažādi saucēji, pārvērtās par daļām, kurām bija vienādi (kopsaucēji). Un mēs jau zinām, kā šādas daļas atņemt. Pabeigsim šo piemēru.

Piemēra turpinājums neiederēsies vienā rindā, tāpēc mēs pārceļam turpinājumu uz nākamo rindiņu. Neaizmirstiet par vienādības zīmi (=) jaunajā rindā:

Atbilde izrādījās parasta daļa, un šķiet, ka viss mums atbilst, bet tas ir pārāk apgrūtinoši un neglīti. Mums vajadzētu to padarīt vienkāršāku. Ko var darīt? Jūs varat saīsināt šo daļu.

Lai samazinātu daļu, tās skaitītājs un saucējs jāsadala ar (GCD) no skaitļiem 20 un 30.

Tātad, mēs atrodam skaitļu 20 un 30 gcd:

Tagad mēs atgriežamies pie mūsu piemēra un dalām daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar atrasto gcd, tas ir, ar 10

Saņēmām atbildi

Daļdaļas reizināšana ar skaitli

Lai reizinātu daļu ar skaitli, jums jāreizina daļskaitļa skaitītājs ar šo skaitli un saucējs jāatstāj nemainīgs.

1. piemērs. Reiziniet daļu ar skaitli 1.

Daļas skaitītāju reiziniet ar skaitli 1

Ierakstu var saprast tā, ka tas aizņem pusi 1 reizi. Piemēram, ja jūs ņemat picu vienu reizi, jūs saņemsiet picu

No reizināšanas likumiem mēs zinām, ka, ja reizinātājs un koeficients tiek apmainīti, reizinājums nemainīsies. Ja izteiksme ir uzrakstīta kā , reizinājums joprojām būs vienāds ar . Atkal darbojas vesela skaitļa un daļskaitļa reizināšanas noteikums:

Šo apzīmējumu var saprast kā pusi no viena. Piemēram, ja ir 1 vesela pica un mēs ņemam pusi no tās, tad mums būs pica:

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Daļdaļas skaitītāju reiziniet ar 4

Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:

Izteicienu var saprast kā ņemt divas ceturtdaļas 4 reizes. Piemēram, ja jūs ņemat 4 picas, jūs saņemsiet divas veselas picas

Un, ja mēs samainām reizinātāju un reizinātāju, mēs iegūstam izteiksmi . Tas arī būs vienāds ar 2. Šo izteiksmi var saprast kā divas picas no četrām veselām picām:

Skaitlis, kas tiek reizināts ar daļskaitli, un daļdaļas saucējs tiek atrisināti, ja tiem ir kopīgs koeficients, kas ir lielāks par vienu.

Piemēram, izteiksmi var novērtēt divos veidos.

Pirmais veids. Reiziniet skaitli 4 ar daļskaitļa skaitītāju un atstājiet daļdaļas saucēju nemainīgu:

Otrais veids. Četri tiek reizināti un četri daļdaļas saucējā var tikt samazināti. Šos četriniekus var samazināt par 4, jo lielākais kopīgais dalītājs diviem četriniekiem ir pats četrinieks:

Ieguvām tādu pašu rezultātu 3. Pēc četrinieku samazināšanas to vietā veidojas jauni skaitļi: divi vieninieki. Bet reizinot vienu ar trīs un pēc tam dalot ar vienu, tas neko nemaina. Tāpēc risinājumu var uzrakstīt īsi:

Samazināšanu var veikt pat tad, kad nolēmām izmantot pirmo metodi, bet skaitļa 4 un skaitītāja 3 reizināšanas posmā mēs nolēmām izmantot samazinājumu:

Bet, piemēram, izteiksmi var aprēķināt tikai pirmajā veidā - reiziniet 7 ar frakcijas saucēju un atstājiet saucēju nemainīgu:

Tas ir saistīts ar faktu, ka skaitlim 7 un daļskaitļa saucējam nav kopīgā dalītāja, kas lielāks par vienu, un attiecīgi tie neatceļ.

Daži skolēni kļūdaini saīsina reizināmo skaitli un daļskaitļa skaitītāju. Jūs to nevarat izdarīt. Piemēram, šāds ieraksts nav pareizs:

Daļas samazināšana nozīmē to gan skaitītājs, gan saucējs tiks dalīts ar tādu pašu skaitli. Situācijā ar izteiksmi dalīšana tiek veikta tikai skaitītājā, jo rakstīšana ir tāda pati kā rakstīšana. Mēs redzam, ka dalīšana tiek veikta tikai skaitītājā, un dalīšana nenotiek saucējā.

Daļskaitļu reizināšana

Lai reizinātu daļskaitļus, jāreizina to skaitītāji un saucēji. Ja atbilde izrādās nepareiza daļa, jums ir jāizceļ visa tās daļa.

1. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību.

Saņēmām atbildi. Šo frakciju ieteicams samazināt. Frakciju var samazināt par 2. Tad gala šķīdumam būs šāda forma:

Izteicienu var saprast kā picas paņemšanu no puspicas. Pieņemsim, ka mums ir puse picas:

Kā paņemt divas trešdaļas no šīs pusītes? Vispirms šī puse jāsadala trīs vienādās daļās:

Un paņemiet divus no šiem trim gabaliem:

Pagatavosim picu. Atcerieties, kā izskatās pica, ja tā ir sadalīta trīs daļās:

Vienam šīs picas gabalam un diviem mūsu paņemtajiem gabaliem būs vienādi izmēri:

Citiem vārdiem sakot, mēs runājam par tāda paša izmēra picu. Tāpēc izteiksmes vērtība ir

2. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:

Atbilde bija nepareiza daļa. Izcelsim visu tā daļu:

3. piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību

Reiziniet pirmās daļdaļas skaitītāju ar otrās daļas skaitītāju un pirmās daļas saucēju ar otrās daļdaļas saucēju:

Atbilde izrādījās regulāra daļa, bet būtu labi, ja to saīsinātu. Lai samazinātu šo daļu, šīs daļas skaitītājs un saucējs jādala ar skaitļu 105 un 450 lielāko kopīgo dalītāju (GCD).

Tātad, atradīsim skaitļu 105 un 450 gcd:

Tagad mēs dalām mūsu atbildes skaitītāju un saucēju ar gcd, ko esam tagad atraduši, tas ir, ar 15

Vesela skaitļa attēlošana kā daļskaitlis

Jebkuru veselu skaitli var attēlot kā daļskaitli. Piemēram, skaitli 5 var attēlot kā . Tas nemainīs pieci nozīmi, jo izteiciens nozīmē "skaitlis pieci dalīts ar vienu", un tas, kā mēs zinām, ir vienāds ar pieci:

Savstarpēji skaitļi

Tagad mēs iepazīsimies ar ļoti interesantu tēmu matemātikā. To sauc par "apgrieztajiem skaitļiem".

Definīcija. Atgriezties uz numurua ir skaitlis, kuru reizinot ara dod vienu.

Aizstāsim ar šo definīciju mainīgā vietā a numuru 5 un mēģiniet izlasīt definīciju:

Atgriezties uz numuru 5 ir skaitlis, kuru reizinot ar 5 dod vienu.

Vai ir iespējams atrast skaitli, kuru reizinot ar 5, tiek iegūts viens? Izrādās, ka tas ir iespējams. Iedomāsimies piecus kā daļskaitli:

Pēc tam reiziniet šo daļu ar sevi, vienkārši samainiet skaitītāju un saucēju. Citiem vārdiem sakot, reizināsim daļu ar sevi, tikai otrādi:

Kas tā rezultātā notiks? Ja turpināsim risināt šo piemēru, mēs iegūstam vienu:

Tas nozīmē, ka skaitļa 5 apgrieztā vērtība ir skaitlis , jo, reizinot 5 ar, jūs iegūstat vienu.

Skaitļa apgriezto vērtību var atrast arī jebkuram citam veselam skaitlim.

Varat arī atrast jebkuras citas daļskaitļa apgriezto vērtību. Lai to izdarītu, vienkārši apgrieziet to otrādi.

Daļas dalīšana ar skaitli

Pieņemsim, ka mums ir puse picas:

Sadalīsim to vienādi starp diviem. Cik daudz picas saņems katrs cilvēks?

Redzams, ka, sadalot pusi picas, tika iegūti divi vienādi gabali, no kuriem katrs veido picu. Tātad visi saņem picu.

Šajā nodarbībā tiks aplūkota algebrisko daļu saskaitīšana un atņemšana ar līdzīgiem saucējiem. Mēs jau zinām, kā pievienot un atņemt parastās daļskaitļus ar līdzīgiem saucējiem. Izrādās, ka algebriskās daļas atbilst tiem pašiem noteikumiem. Mācīšanās strādāt ar daļām ar līdzīgiem saucējiem ir viens no stūrakmeņiem, lai iemācītos strādāt ar algebriskajām daļām. Jo īpaši, izprotot šo tēmu, būs viegli apgūt sarežģītāku tēmu - daļskaitļu pievienošanu un atņemšanu ar dažādiem saucējiem. Nodarbības ietvaros mēs pētīsim noteikumus algebrisko daļu pievienošanai un atņemšanai ar līdzīgiem saucējiem, kā arī analizēsim vairākus tipiskus piemērus

Noteikums algebrisko daļu saskaitīšanai un atņemšanai ar līdzīgiem saucējiem

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakcijas no viena pret jums -mi know-me-na-te-la-mi (tas sakrīt ar analoģisku noteikumu parastajiem sitienu sitieniem): tas ir al-geb-ra-i-che-skih daļskaitļu saskaitīšanai vai aprēķināšanai ar vienu pret jums. know-me-on-the-la-mi nepieciešams -ho-di-mo-sastādīt atbilstošu al-geb-ra-i-che-sum skaitļiem, un sign-me-na-tel atstāt bez jebkādas.

Mēs saprotam šo noteikumu gan parastā ven-draw piemērā, gan al-geb-ra-i-che-draw.hit piemērā.

Noteikuma piemērošanas piemēri parastajām daļskaitļiem

Piemērs 1. Pievienojiet daļskaitļus: .

Risinājums

Saskaitīsim daļskaitļu skaitu un atstāsim zīmi to pašu. Pēc tam mēs sadalām skaitli un pierakstāmies vienkāršās reizinātās un kombinācijās. Saņemsim to: .

Piezīme: standarta kļūda, kas ir pieļaujama, risinot līdzīga veida piemērus, -klu-cha-et-sya šādā iespējamajā risinājumā: . Tā ir rupja kļūda, jo zīme paliek tāda pati, kāda tā bija sākotnējās daļās.

Piemērs 2. Pievienojiet daļskaitļus: .

Risinājums

Šis nekādā ziņā neatšķiras no iepriekšējā: .

Algebrisko daļu noteikuma piemērošanas piemēri

No parastajiem dro-bītiem mēs pārejam uz al-geb-ra-i-che-skim.

Piemērs 3. Pievienojiet daļskaitļus: .

Risinājums: kā jau minēts iepriekš, al-geb-ra-i-che-fractions sastāvs nekādā veidā neatšķiras no vārda, kas ir tāds pats kā parastajām šāvienu cīņām. Tāpēc risinājuma metode ir tāda pati: .

4. piemērs. Jūs esat daļskaitlis: .

Risinājums

You-chi-ta-nie no al-geb-ra-i-che-skih frakcijām no saskaitīšanas tikai ar to, ka skaitlis pi-sy-va-et-sya atšķiras izmantoto frakciju skaitā. Tāpēc .

5. piemērs. Jūs esat daļskaitlis: .

Risinājums:.

6. piemērs. Vienkāršojiet: .

Risinājums:.

Noteikuma piemērošanas piemēri, kam seko samazināšana

Daļā, kurai ir tāda pati nozīme salikšanas vai aprēķina rezultātā, kombinācijas ir iespējamas nia. Turklāt nevajadzētu aizmirst par al-geb-ra-i-che-skih frakciju ODZ.

7. piemērs. Vienkāršojiet: .

Risinājums:.

Kurā . Parasti, ja sākotnējo daļu ODZ sakrīt ar kopsummas ODZ, tad to var izlaist (galu galā, daļa ir atbildē, tā arī nepastāvēs ar attiecīgajām būtiskām izmaiņām). Bet, ja izmantoto daļu ODZ un atbilde nesakrīt, tad ODZ ir jānorāda.

8. piemērs. Vienkāršojiet: .

Risinājums:. Tajā pašā laikā y (sākotnējo daļu ODZ nesakrīt ar rezultāta ODZ).

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana ar dažādiem saucējiem

Lai pievienotu un lasītu al-geb-ra-i-che-daļskaitļus ar dažādām know-me-on-the-la-mi, mēs veicam ana-lo -giyu ar parastajām-ven-ny daļām un pārsūtām to uz al-geb. -ra-i-che-frakcijas.

Apskatīsim vienkāršāko piemēru parastajām frakcijām.

1. piemērs. Pievienojiet frakcijas: .

Risinājums:

Atcerēsimies daļskaitļu pievienošanas noteikumus. Lai sāktu ar daļskaitli, tas ir jāsaved līdz kopējai zīmei. Parasto daļskaitļu vispārīgās zīmes lomā jūs rīkojaties mazākais kopīgs daudzkārtnis(NOK) sākuma zīmes.

Definīcija

Mazākais skaitlis, kas vienlaikus tiek sadalīts skaitļos un.

Lai atrastu NOC, jums ir jāsadala zināšanas vienkāršās kopās un pēc tam jāatlasa viss, kas ir daudz, kas ir iekļauts abu zīmju sadalījumā.

; . Tad skaitļu LCM jāiekļauj divi divi un divi trīs: .

Pēc vispārīgo zināšanu atrašanas katrai no frakcijām ir jāatrod pilnīgs daudzkārtības rezidents (patiesībā, uz attiecīgās daļskaitļa zīmi jālej kopējā zīme).

Tad katra daļa tiek reizināta ar puspilnu koeficientu. Iegūsim dažas daļskaitļus no tiem pašiem, kurus jūs zināt, saskaitiet tos un nolasīsim - pētīts iepriekšējās nodarbībās.

Ēdam: .

Atbilde:.

Tagad apskatīsim al-geb-ra-i-che-frakciju sastāvu ar dažādām zīmēm. Tagad apskatīsim daļskaitļus un noskaidrosim, vai ir kādi skaitļi.

Algebrisko daļu ar dažādiem saucējiem saskaitīšana un atņemšana

2. piemērs. Pievienojiet frakcijas: .

Risinājums:

Al-go-ritms lēmuma ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen uz iepriekšējo piemēru. Ir viegli ņemt doto daļskaitļu kopējo zīmi: un katram no tiem papildu reizinātājus.

Atbilde:.

Tātad, veidosim al-go-ritms saskaitīšanas un al-geb-ra-i-che-skih frakciju ar dažādām zīmēm aprēķināšana:

1. Atrodiet daļskaitļa mazāko kopējo zīmi.

2. Atrodiet papildu reizinātājus katrai no daļskaitļiem (tiešām, zīmes kopējā zīme ir dota -tā daļa).

3. Līdz pat daudziem skaitļiem atbilstošajos reizinājumus līdz pilnam.

4. Saskaitiet vai aprēķiniet daļskaitļus, izmantojot daļskaitļu salikšanas un aprēķināšanas noteikumus ar tādām pašām zināšanām -me-na-te-la-mi.

Tagad apskatīsim piemēru ar daļskaitļiem, kuru zīmē ir burti jūs -nia.