რომელი ტრანსფორმაცია არ იწვევს ფესვების დაკარგვას. განტოლებათა ტრანსფორმაცია, ეკვივალენტური გარდაქმნები. DL-ის პირობების მიხედვით

ტრიგონომეტრიული განტოლებების თემა იწყება სასკოლო ლექციით, რომელიც სტრუქტურირებულია ევრისტიკული საუბრის სახით. ლექციაზე განხილულია თეორიული მასალა და ყველა ტიპიური ამოცანის გეგმის მიხედვით გადაჭრის მაგალითები:

• უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
• ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.
• ჰომოგენური განტოლებები.

შემდეგ გაკვეთილებზე იწყება დამოუკიდებელი უნარების განვითარება, მასწავლებლისა და მოსწავლის ერთობლივი აქტივობის პრინციპის გამოყენების საფუძველზე. პირველ რიგში, სტუდენტებისთვის დასახულია მიზნები, ე.ი. დგინდება, ვის სურს იცოდეს იმაზე მეტი, რაც სახელმწიფო სტანდარტით არის მოთხოვნილი და ვინ არის მზად მეტი გააკეთოს.

საბოლოო დიაგნოზი იქმნება დონის დიფერენციაციის გათვალისწინებით, რაც საშუალებას აძლევს სტუდენტებს შეგნებულად განსაზღვრონ მინიმალური ცოდნა, რომელიც აუცილებელია "3"-ის მისაღებად. ამის საფუძველზე შეირჩევა მრავალდონიანი მასალები სტუდენტების ცოდნის დიაგნოსტიკისთვის. ასეთი ნამუშევარი საშუალებას აძლევს ინდივიდუალურ მიდგომას მოსწავლეებთან, მათ შორის ყველას მიმართ ცნობიერ სასწავლო აქტივობებში, განუვითაროს თვითორგანიზაცია და თვითსწავლის უნარები და უზრუნველყოს აქტიურ, დამოუკიდებელ აზროვნებაზე გადასვლა.

სემინარი ტარდება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის საბაზისო უნარ-ჩვევების დაუფლების შემდეგ. სემინარამდე რამდენიმე გაკვეთილის დაწყებამდე სტუდენტებს ეძლევათ კითხვები, რომლებიც განიხილება სემინარზე.

სემინარი სამი ნაწილისგან შედგება.

1. შესავალი ნაწილი მოიცავს მთელ თეორიულ მასალას, მათ შორის შესავალი ამოცანების შესახებ, რომლებიც წარმოიქმნება რთული განტოლებების ამოხსნისას.

2. მეორე ნაწილში განხილულია ფორმის განტოლებების ამოხსნა:

• და cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ხარისხის შემცირებით ამოსახსნელი განტოლებები.

ეს განტოლებები იყენებენ უნივერსალურ ჩანაცვლებას, ხარისხის შემცირების ფორმულებს და დამხმარე არგუმენტის მეთოდს.

3. მესამე ნაწილი ეხება ფესვების დაკარგვის და უცხო ფესვების მოპოვების პრობლემებს. აჩვენებს, თუ როგორ უნდა აირჩიოთ ფესვები.

მოსწავლეები მუშაობენ ჯგუფებში. მაგალითების ამოსახსნელად იწვევენ კარგად გაწვრთნილ ბიჭებს, რომლებსაც შეუძლიათ მასალის ჩვენება და ახსნა.

სემინარი განკუთვნილია კარგად მომზადებული სტუდენტისთვის, რადგან... ის განიხილავს საკითხებს, რომლებიც გარკვეულწილად სცილდება პროგრამის მასალის ფარგლებს. იგი მოიცავს უფრო რთული ფორმის განტოლებებს და განსაკუთრებით ეხება რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის პრობლემებს.

სემინარი ჩატარდა მე-10–11 კლასების მოსწავლეებისთვის. თითოეულ მოსწავლეს ჰქონდა შესაძლებლობა გაეფართოებინა და გაეღრმავებინა ცოდნა ამ თემაზე, შეედარებინა თავისი ცოდნის დონე არა მხოლოდ სკოლის კურსდამთავრებულის, არამედ V.U.Z.

სემინარი

თემა:"ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა"

მიზნები:

• ცოდნის განზოგადება ყველა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის შესახებ.
• ფოკუსირება პრობლემებზე: ფესვების დაკარგვა; უცხო ფესვები; ფესვის შერჩევა.

გაკვეთილების დროს.

I. შესავალი ნაწილი

1. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

• ფაქტორიზაცია.
• ახალი ცვლადის დანერგვა.
• ფუნქციური გრაფიკული მეთოდი.

2. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ზოგიერთი სახეობა.

• განტოლებები, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

ისინი წყდება ახალი ცვლადის შემოღებით.

• პირველი და მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლებები

პირველი ხარისხის განტოლება: Asinx + Bcosx = 0 იყოფა cos x-ზე, მივიღებთ Atg x + B = 0

მეორე ხარისხის განტოლება: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 გავყოთ cos 2 x-ზე, მივიღებთ Atg 2 x + Btgx + C = 0

ისინი წყდება ფაქტორიზაციით და ახალი ცვლადის შემოღებით.

ყველა მეთოდი გამოიყენება.

• დაქვეითება:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

ამოხსნილია ფაქტორიზაციის მეთოდით.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• ფორმის განტოლება: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

შემცირებულია კვადრატამდე t = sinx + cosx-ის მიმართ; sin2x = t 2 – 1.

3. ფორმულები.

x + 2n; შემოწმება აუცილებელია!

• კლებადი სიმძლავრე: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• დამხმარე არგუმენტის მეთოდი.

მოდით შევცვალოთ Acosx + Bsinx Csin-ით (x +), სადაც sin = a/C; cos=v/c;

- დამხმარე არგუმენტი.

4. წესები.

• თუ ხედავთ კვადრატს, შეამცირეთ ხარისხი.
• თუ ნაჭერს ხედავთ, შეადგინეთ თანხა.
• თუ ხედავთ თანხას, გააკეთეთ სამუშაო.

5. ფესვების დაკარგვა, ზედმეტი ფესვები.

• ფესვების დაკარგვა: გაყოფა g(x-ზე); საშიში ფორმულები (უნივერსალური ჩანაცვლება). ამ ოპერაციებით ჩვენ ვიწროვებთ განმარტების ფარგლებს.

• ჭარბი ფესვები: ამაღლებული თანაბარ ძალამდე; გავამრავლოთ g(x)-ზე (გაათავისუფლეთ მნიშვნელი). ამ ოპერაციებით ჩვენ ვაფართოვებთ განმარტების ფარგლებს.

II. ტრიგონომეტრიული განტოლებების მაგალითები

1. Asinx + Bcosx = C ფორმის განტოლებები

1) უნივერსალური ჩანაცვლება.O.D.Z. x – ნებისმიერი.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = არქტანი (–1/3) + k, k Z.

გამოცდა: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x = არქტანი(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) ფუნქციური გრაფიკული მეთოდი. ო.დ.ზ. x – ნებისმიერი.

სინქსი – cosx = 1
სინქსი = cosx + 1.

დავხატოთ ფუნქციები: y = sinx, y = cosx + 1.

პასუხი: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) დამხმარე არგუმენტის შეყვანა. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, რადგან (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, მაშინ არსებობს ისეთი, რომ ცოდვა = 8/17,

cos = 15/17, რაც ნიშნავს sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

პასუხი: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. რიგის შემცირება: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

პასუხი: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ზე

k = 1 და m = 0 k = 4 და m = 1.

სერიები იგივეა.

3. ჰომოგენურობის შემცირება. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – ნებისმიერი.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) არ შეიძლება გაიყოს cos 2 x-ზე, რადგან ფესვებს ვკარგავთ.
cos 2 x = 0 აკმაყოფილებს განტოლებას.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

პასუხი: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. ფორმის განტოლება: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = ს. cosx = sin (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

პასუხი: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. ფაქტორიზაცია.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, ფესვების გარეშე.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

პასუხი: x = არქტანი(1/2) + n, n Z.

III. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას წარმოქმნილი ამოცანები

1. ფესვების დაკარგვა: გაყოფა g(x-ზე); ჩვენ ვიყენებთ სახიფათო ფორმულებს.

1) იპოვნეთ შეცდომა.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 ფორმულა.
2 ცოდვა 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 გაყოფა 2-ზე 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
დაკარგული ფესვები sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

სწორი გამოსავალი: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

ცოდვა 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. გარე ფესვები: ვაშორებთ მნიშვნელს; თანაბარ ძალამდე ამაღლება.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 ცოდვა 2/3 = 3/2 არ დააკმაყოფილო. ო.დ.ზ. 2. n = 1 ცოდვა 2=0 დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ. 3. n = 2 ცოდვა 2/3 = –3/2 დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 ცოდვა 2/6 = 3/2 არ დააკმაყოფილო ო.დ.ზ. 2. k = 1 ცოდვა 2*5/6 = –3/2 დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ.

პასუხი: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

რა არის განტოლების ამონახსნი?

იდენტური ტრანსფორმაცია. ძირითადი

იდენტობის ტრანსფორმაციის სახეები.

უცხო ფესვი. ფესვის დაკარგვა.

განტოლების ამოხსნა არის პროცესი, რომელიც ძირითადად შედგება მოცემული განტოლების სხვა განტოლებით მის ექვივალენტური განტოლებით ჩანაცვლებისგან. . ამ ჩანაცვლებას ე.წიდენტური ტრანსფორმაცია . იდენტობის ძირითადი გარდაქმნები შემდეგია:

1.

ერთი გამონათქვამის ჩანაცვლება მეორით, რომელიც მისი იდენტურად ტოლია. მაგალითად, განტოლება (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 შეიძლება შეიცვალოს შემდეგი ექვივალენტით:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

განტოლების ტერმინების გადატანა ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნებით. ასე რომ, წინა განტოლებაში ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ მისი ყველა წევრი მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს "-" ნიშნით: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, რის შემდეგაც მივიღებთ:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა იმავე გამოსახულებით (რიცხვით) ნულის გარდა. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგანახალი განტოლება შეიძლება არ იყოს წინას ექვივალენტური, თუ გამონათქვამი, რომელსაც ვამრავლებთ ან ვყოფთ, შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

მაგალითი განტოლებაx - 1 = 0 აქვს ერთი ფესვიx = 1.

ორივე მხარის გამრავლებაx - 3 , ვიღებთ განტოლებას

( x - 1)( x - 3) = 0, რომელსაც აქვს ორი ფესვი:x = 1 დაx = 3.

ბოლო მნიშვნელობა არ არის მოცემული განტოლების ფესვი

x - 1 = 0. ეს არის ე.წუცხო ფესვი .

პირიქით, გაყოფა შეიძლება გამოიწვიოსფესვის დაკარგვა . Ისე

ჩვენს შემთხვევაში, თუ (x - 1 )( x - 3 ) = 0 არის ორიგინალი

განტოლება, შემდეგ ფესვიx = 3 დაიკარგება დივიზიონში

განტოლების ორივე მხარესx - 3 .

ბოლო განტოლებაში (პუნქტი 2) შეგვიძლია მისი ყველა წევრი გავყოთ 3-ზე (არა ნულზე!) და საბოლოოდ მივიღოთ:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

ეს განტოლება ორიგინალის ტოლფასია:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

შეუძლიაგაზარდეთ განტოლების ორივე მხარე კენტ ხარისხზე ანამოიღეთ კენტი ფესვი განტოლების ორივე მხრიდან . აუცილებელია გახსოვდეთ, რომ:

ა) მშენებლობახარისხიც კი შეიძლება გამოიწვიოსუცხო ფესვების შეძენამდე ;

ბ)არასწორი მოპოვებაფესვიც კი შეიძლება გამოიწვიოსფესვების დაკარგვა .

მაგალითები. განტოლება 7x = 35 აქვს ერთი ფესვიx = 5 .

ამ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

განტოლება:

49 x 2 = 1225 .

ორი ფესვი აქვს:x = 5 დაx = – 5. ბოლო მნიშვნელობა

არის უცხო ფესვი.

Არასწორი ორივეს კვადრატული ფესვის აღება

49-ე განტოლების ნაწილებიx 2 = 1225 შედეგი 7-შიx = 35,

და ჩვენ ვკარგავთ ფესვებსx = – 5.

სწორი კვადრატული ფესვის აღება იწვევს

განტოლება: | 7x | = 35, ა აქედან გამომდინარე ორი შემთხვევა:

1) 7 x = 35, მერეx = 5 ; 2) – 7 x = 35, მერეx = – 5 .

ამიტომ, როცასწორი კვადრატის მოპოვება

ფესვები ჩვენ არ ვკარგავთ განტოლების ფესვებს.

Რას ნიშნავსუფლება ამოიღეთ ფესვი? სწორედ აქ ვხვდებით

ძალიან მნიშვნელოვანი კონცეფციითარითმეტიკული ფესვი

(სმ. ).

შეიძლება გამოიწვიოს ეგრეთ წოდებული გარე ფესვების გაჩენა. ამ სტატიაში ჩვენ პირველ რიგში დეტალურად გავაანალიზებთ რა არის უცხო ფესვები. მეორეც, მოდით ვისაუბროთ მათი წარმოშობის მიზეზებზე. და მესამე, მაგალითების გამოყენებით, განვიხილავთ ექსტრაორდინალური ფესვების გაფილტვრის მთავარ მეთოდებს, ანუ ფესვების შემოწმებას მათ შორის უცხოების არსებობისთვის, რათა გამოვრიცხოთ ისინი პასუხისგან.

განტოლების გარე ფესვები, განმარტება, მაგალითები

სასკოლო ალგებრის სახელმძღვანელოებში არ არის მოცემული უცხო ფესვის განმარტება. იქ გარე ფესვის იდეა იქმნება შემდეგი სიტუაციის აღწერით: განტოლების ზოგიერთი გარდაქმნის დახმარებით ხდება გადასვლა საწყისი განტოლებიდან თანმხლებ განტოლებაზე, ნაპოვნია შედეგად მიღებული თანმხლები განტოლების ფესვები. და ნაპოვნი ფესვები მოწმდება თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, რაც გვიჩვენებს, რომ ნაპოვნი ფესვებიდან ზოგიერთი არ არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ამ ფესვებს უწოდებენ გარე ფესვებს საწყისი განტოლებისთვის.

ამ ბაზიდან დაწყებული, თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ უცხო ფესვის შემდეგი განმარტება:

განმარტება

გარე ფესვები- ეს არის გარდაქმნების შედეგად მიღებული შედეგიანი განტოლების ფესვები, რომლებიც არ არის საწყისი განტოლების ფესვები.

მოვიყვანოთ მაგალითი. განვიხილოთ განტოლება და ამ განტოლების შედეგი x·(x−1)=0, რომელიც მიღებულია გამოსახულების იდენტურად ტოლი გამოსახულებით x·(x−1) ჩანაცვლებით. თავდაპირველ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 1. გარდაქმნის შედეგად მიღებულ განტოლებას აქვს ორი ფესვი 0 და 1. ეს ნიშნავს, რომ 0 არის უცხო ფესვი საწყისი განტოლებისთვის.

უცხო ფესვების შესაძლო გამოჩენის მიზეზები

თუ შედეგიანი განტოლების მისაღებად არ იყენებთ რაიმე „ეგზოტიკურ“ გარდაქმნებს, არამედ იყენებთ მხოლოდ განტოლებების ძირითად გარდაქმნებს, მაშინ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ორი მიზეზის გამო:

• ოძ-ის გაფართოების გამო და
• განტოლების ორივე მხარის იმავე ლუწი სიძლიერეზე აყვანის გამო.

აქ უნდა გავიხსენოთ, რომ ODZ-ის გაფართოება განტოლების გარდაქმნის შედეგად ძირითადად ხდება.

• წილადების შემცირებისას;
• პროდუქტის ერთი ან მეტი ნულოვანი ფაქტორით ნულით შეცვლისას;
• ნულოვანი მრიცხველით წილადის ნულით შეცვლისას;
• ძლიერების, ფესვების, ლოგარითმების ზოგიერთი თვისების გამოყენებისას;
• ზოგიერთი ტრიგონომეტრიული ფორმულის გამოყენებისას;
• როდესაც განტოლების ორივე მხარე მრავლდება ერთი და იგივე გამოსახულებით, ის ქრება ODZ-ით ამ განტოლებისთვის;
• ამოხსნის პროცესში ლოგარითმის ნიშნებისგან გათავისუფლებისას.

სტატიის წინა აბზაცის მაგალითი გვიჩვენებს უცხო ფესვის გამოჩენას ODZ-ის გაფართოების გამო, რომელიც ჩნდება განტოლებიდან თანმხლებ განტოლებაზე x·(x−1)=0 გადასვლისას. თავდაპირველი განტოლებისთვის ODZ არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე, გარდა ნულისა, შედეგად მიღებული განტოლებისთვის ODZ არის R სიმრავლე, ანუ ODZ გაფართოვებულია რიცხვით ნულით. ეს რიცხვი საბოლოოდ აღმოჩნდება უცხო ფესვი.

ჩვენ ასევე მივცემთ მაგალითს უცხო ფესვის გარეგნობის გამო განტოლების ორივე მხარის იმავე ლუწი სიძლიერეზე აყვანის გამო. ირაციონალურ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი 4 და ამ განტოლების შედეგი, მისგან მიღებული განტოლების ორივე მხარის კვადრატში, ანუ განტოლება , აქვს ორი ფესვი 1 და 4. აქედან ირკვევა, რომ განტოლების ორივე მხარის კვადრატმა გამოიწვია ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვის გამოჩენა.

გაითვალისწინეთ, რომ ODZ-ის გაფართოება და განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიმძლავრეზე აწევა ყოველთვის არ იწვევს უცხო ფესვების გამოჩენას. მაგალითად, განტოლებიდან x=2 განტოლებაზე გადასვლისას ODZ ფართოვდება ყველა არაუარყოფითი რიცხვის სიმრავლიდან ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლემდე, მაგრამ გარე ფესვები არ ჩნდება. 2 არის პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი. ასევე, არ ჩნდება რაიმე ზედმეტი ფესვები განტოლებიდან თანმხლებ განტოლებაზე გადასვლისას. ორივე პირველი და მეორე განტოლების ერთადერთი ფესვი არის x=16. ამიტომ ჩვენ ვსაუბრობთ არა გარე ფესვების გაჩენის მიზეზებზე, არამედ გარე ფესვების შესაძლო გაჩენის მიზეზებზე.

რა არის უცხო ფესვების სკრინინგი?

ტერმინს „გარე ფესვების ამოღება“ მხოლოდ დაწესებული შეიძლება ეწოდოს, ის არ არის ნაპოვნი ყველა ალგებრის სახელმძღვანელოში, მაგრამ ის ინტუიციურია, რის გამოც ჩვეულებრივ გამოიყენება. რა იგულისხმება უცხო ფესვების ამოღებაში, ირკვევა შემდეგი ფრაზიდან: „... გადამოწმება არის სავალდებულო ნაბიჯი განტოლების ამოხსნისას, რომელიც დაგეხმარებათ აღმოაჩინოს უცხო ფესვები, ასეთის არსებობის შემთხვევაში, და გადააგდოთ ისინი (ჩვეულებრივ, ისინი ამბობენ „გაასუფთავეთ ”)”

ამრიგად,

განმარტება

უცხო ფესვების სკრინინგი- ეს არის უცხო ფესვების აღმოჩენა და განდევნა.

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ უცხო ფესვების სკრინინგის მეთოდებზე.

გარე ფესვების სკრინინგის მეთოდები

ჩანაცვლების შემოწმება

გარე ფესვების გაფილტვრის მთავარი გზა არის ჩანაცვლების ტესტი. ეს საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ უცხო ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას როგორც ODZ-ის გაფართოების, ასევე განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიმძლავრეზე ამაღლების გამო.

ჩანაცვლების ტესტი ასეთია: თანმდევი განტოლების ნაპოვნი ფესვები თავის მხრივ ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში ან მის ეკვივალენტურ განტოლებაში, ისინი, რომლებიც სწორ რიცხვობრივ ტოლობას იძლევა, არის თავდაპირველი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც იძლევა არასწორი რიცხვითი თანასწორობა ან გამოთქმა არის ორიგინალური განტოლების ფესვები, არის ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

მოდით, მაგალითით ვაჩვენოთ, როგორ გავფილტროთ უცხო ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლების გზით.

ზოგიერთ შემთხვევაში, უფრო მიზანშეწონილია ზედმეტი ფესვების გაფილტვრა სხვა მეთოდების გამოყენებით. ეს ძირითადად ეხება იმ შემთხვევებს, როდესაც ჩანაცვლებით შემოწმება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან ან როდესაც გარკვეული ტიპის განტოლებების ამოხსნის სტანდარტული მეთოდი მოითხოვს სხვა შემოწმებას (მაგალითად, წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას გარე ფესვების სკრინინგი ხორციელდება შესაბამისად. პირობა, რომ წილადის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი). მოდით შევხედოთ უცხო ფესვების მოსაშორებლად ალტერნატიულ გზებს.

DL-ის მიხედვით

ჩანაცვლებით ტესტირებისგან განსხვავებით, უცხო ფესვების გაფილტვრა ODZ-ის გამოყენებით ყოველთვის არ არის მიზანშეწონილი. ფაქტია, რომ ეს მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გაფილტროთ მხოლოდ უცხო ფესვები, რომლებიც წარმოიქმნება ODZ-ის გაფართოების გამო, და ის არ იძლევა გარანტიას უცხო ფესვების ამოღებას, რომელიც შეიძლება წარმოიშვას სხვა მიზეზების გამო, მაგალითად, ორივე მხარის აწევის გამო. განტოლების იგივე ლუწი ძალა. უფრო მეტიც, ყოველთვის არ არის ადვილი ამოხსნილი განტოლებისთვის OD-ის პოვნა. მიუხედავად ამისა, ODZ-ის გამოყენებით ზედმეტი ფესვების ამოღების მეთოდის შენარჩუნება ღირს, რადგან მისი გამოყენება ხშირად მოითხოვს ნაკლებ გამოთვლით სამუშაოს, ვიდრე სხვა მეთოდების გამოყენებას.

ODZ-ის მიხედვით გარე ფესვების ამოღება ხორციელდება შემდეგნაირად: შემოწმდება განტოლების ყველა ნაპოვნი ფესვი იმის გასარკვევად, ეკუთვნის თუ არა ისინი ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონს თავდაპირველი განტოლებისთვის ან მისი ექვივალენტური განტოლებისთვის. ის, რაც ეკუთვნის ODZ-ს, არის საწყისი განტოლების ფესვები, ხოლო ისინი, რომლებიც ეკუთვნის ODZ-ს, არის საწყისი განტოლების ფესვები, ხოლო ის, რაც არ ეკუთვნის ODZ-ს, არის ორიგინალური განტოლების უცხო ფესვები.

მოწოდებული ინფორმაციის ანალიზს მივყავართ დასკვნამდე, რომ მიზანშეწონილია ზედმეტი ფესვების ამოღება ODZ-ის გამოყენებით, თუ ამავე დროს:

• მარტივია ორიგინალური განტოლებისთვის ODZ-ის პოვნა,
• უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო,
• ჩანაცვლებითი ტესტირება დაკავშირებულია მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებთან.

ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხდება პრაქტიკაში გარე ფესვების ამოღება.

DL-ის პირობების მიხედვით

როგორც წინა აბზაცში ვთქვით, თუ უცხო ფესვები შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ ODZ-ის გაფართოების გამო, მაშინ ისინი შეიძლება აღმოიფხვრას ორიგინალური განტოლებისთვის ODZ-ის გამოყენებით. მაგრამ ყოველთვის არ არის ადვილი ODZ-ის პოვნა რიცხვითი ნაკრების სახით. ასეთ შემთხვევებში შესაძლებელია გარე ფესვების სკრინინგი არა ODZ-ის, არამედ იმ პირობების მიხედვით, რომლებიც განსაზღვრავს ODZ-ს. მოდით განვმარტოთ, თუ როგორ ხდება ოზ-ის პირობებში გარე ფესვების მოცილება.

აღმოჩენილი ფესვები თავის მხრივ ჩანაცვლებულია იმ პირობებში, რომლებიც განსაზღვრავენ ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის ან მისი ნებისმიერი ექვივალენტის განტოლებისთვის. ის, ვინც აკმაყოფილებს ყველა პირობას, არის განტოლების ფესვები. და ისინი, ვინც არ აკმაყოფილებენ მინიმუმ ერთ პირობას ან არ იძლევა გამოხატულებას, რომელსაც აზრი არ აქვს, ორიგინალური განტოლებისთვის უცხო ფესვებია.

მოდით მოვიყვანოთ უცხო ფესვების სკრინინგის მაგალითი ODZ-ის პირობების მიხედვით.

განტოლების ორივე მხარის თანაბარ სიმძლავრემდე აყვანის შედეგად წარმოქმნილი უცხო ფესვების მოცილება

ცხადია, რომ განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიმძლავრემდე აწევის შედეგად წარმოქმნილი უცხო ფესვების ამოღება შეიძლება განხორციელდეს მისი ორიგინალური განტოლებით ან მის ექვივალენტური განტოლებით ჩანაცვლებით. მაგრამ ასეთი შემოწმება შეიძლება მოიცავდეს მნიშვნელოვან გამოთვლით სირთულეებს. ამ შემთხვევაში, ღირს ვიცოდეთ უცხო ფესვების ამოღების ალტერნატიული მეთოდი, რომელზეც ახლა ვისაუბრებთ.

გარე ფესვების სკრინინგი, რომლებიც შეიძლება წარმოიშვას ფორმის ირაციონალური განტოლებების ორივე მხარის ერთსა და იმავე სიმძლავრემდე აყვანისას , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, შეიძლება განხორციელდეს g(x)≥0 პირობის მიხედვით. ეს გამომდინარეობს ლუწი ხარისხის ფესვის განსაზღვრებიდან: ლუწი ხარისხის n ფესვი არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის რადიკალურ რიცხვს, საიდანაც . ამრიგად, გაჟღერებული მიდგომა არის ერთგვარი სიმბიოზი განტოლების ორივე მხარის ერთსა და იმავე ძალაზე აყვანის მეთოდისა და ფესვის განსაზღვრით ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდის. ანუ განტოლება , სადაც n არის ლუწი რიცხვი, იხსნება განტოლების ორივე მხარის იმავე ლუწი სიმძლავრეზე აწევით, ხოლო უცხო ფესვების აღმოფხვრა ხორციელდება g(x)≥0 პირობის მიხედვით, რომელიც აღებულია ირაციონალური განტოლებების ამოხსნის მეთოდიდან. ფესვის განსაზღვრა.

ბოლო გაკვეთილზე გამოვიყენეთ სამი ნაბიჯი განტოლებების ამოსახსნელად.

პირველი ეტაპი ტექნიკურია. ორიგინალური განტოლებიდან გარდაქმნების ჯაჭვის გამოყენებით მივდივართ საკმაოდ მარტივ განტოლებამდე, რომელსაც ვხსნით და ვპოულობთ ფესვებს.

მეორე ეტაპი არის ხსნარის ანალიზი. ჩვენ ვაანალიზებთ ჩვენს მიერ განხორციელებულ გარდაქმნებს და ვადგენთ, არის თუ არა ისინი ეკვივალენტური.

მესამე ეტაპი არის შემოწმება. ყველა ნაპოვნი ფესვის შემოწმება მათ თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით სავალდებულოა ტრანსფორმაციების შესრულებისას, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს თანმდევი განტოლება.

განტოლების ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა სამი ეტაპის გამოყოფა?

Რათქმაუნდა არა. როგორც, მაგალითად, ამ განტოლების ამოხსნისას. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ისინი, როგორც წესი, არ გამოირჩევიან. მაგრამ ყველა ეს ეტაპი უნდა იყოს "მხედველობაში" და განხორციელდეს ამა თუ იმ ფორმით. აუცილებელია ტრანსფორმაციების ეკვივალენტობის ანალიზი. და თუ ანალიზი აჩვენებს, რომ შემოწმებაა საჭირო, მაშინ ეს სავალდებულოა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არ შეიძლება ჩაითვალოს სწორად ამოხსნილად.

ყოველთვის შესაძლებელია განტოლების ფესვების შემოწმება მხოლოდ ჩანაცვლებით?

თუ განტოლების ამოხსნისას გამოყენებული იყო ეკვივალენტური გარდაქმნები, მაშინ გადამოწმება არ არის საჭირო. განტოლების ფესვების შემოწმებისას, ODZ (დაშვებული მნიშვნელობის დიაპაზონი) ძალიან ხშირად გამოიყენება, თუ ძნელია შემოწმება ODZ-ის გამოყენებით, მაშინ იგი შესრულებულია ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი ორ x-ს პლუს სამი უდრის ერთს პლუს x.

გამოსავალი

განტოლების ODZ განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: ორ x-ს პლუს სამი მეტია ან ტოლია ნულისა და ერთი პლუს x მეტია ან ტოლია ნულის. ამონახსნი არის x მეტი ან ტოლი მინუს ერთი.

მოდი განტოლების ორივე მხარე გავა კვადრატში, გადავიტანოთ ტერმინები განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე, დავამატოთ მსგავსი პუნქტები და მივიღოთ კვადრატული განტოლება x კვადრატში უდრის ორს. მისი ფესვებია

x პირველი, მეორე უდრის პლუს ან მინუს კვადრატული ფესვი ორი.

ექსპერტიზა

x პირველის მნიშვნელობა უდრის კვადრატულ ფესვს ორი არის განტოლების ფესვი, რადგან ის შედის ODZ-ში.
x წამის მნიშვნელობა უდრის მინუს კვადრატული ფესვი ორი არ არის განტოლების ფესვი, რადგან ის არ შედის DZ-ში.
მოდით შევამოწმოთ, რომ x ფესვი უდრის ორის კვადრატულ ფესვს, შევცვალოთ იგი თავდაპირველ ტოლობაში, მივიღებთ

ტოლობა არის ჭეშმარიტი, რაც ნიშნავს, რომ x უდრის კვადრატულ ფესვს ორი არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: კვადრატული ფესვი ორიდან.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი x-ს გამოკლებული რვა უდრის ხუთს გამოკლებული x.

გამოსავალი

ირაციონალური განტოლების ODZ განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: x გამოკლებული რვა მეტია ან ტოლია ნულისა და ხუთს გამოკლებული x მეტია ან ტოლია ნულის. მისი გადაჭრით, აღმოვაჩენთ, რომ ამ სისტემას არ აქვს გამოსავალი. განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს x ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობა.

პასუხი: არ არის ფესვები.

დავალება 3

ამოხსენით განტოლება კვადრატული ფესვი x-ის კუბური პლუს ოთხი x-ს გამოკლებული ერთი გამოკლებული x-ის რვა კვადრატული ფესვი მეოთხე ხარისხზე მინუს x უდრის x კუბიკების კვადრატულ ფესვს გამოკლებული ერთი პლუს x-ის ორი კვადრატული ფესვი.

გამოსავალი

ამ განტოლებაში ODZ-ის პოვნა საკმაოდ რთულია.

მოდით განვახორციელოთ ტრანსფორმაცია: კვადრატში ამ განტოლების ორივე მხარე,

გადავიტანოთ ყველა წევრი განტოლების მარცხენა მხარეს და მოვიყვანოთ მსგავსი ტერმინები, დავწეროთ ორი ძირი ერთის ქვეშ, მივიღოთ მსგავსი რადიკალები, მოვიყვანოთ მსგავსები, გავყოთ კოეფიციენტზე მინუს 12 და გავამრავლოთ რადიკალური გამოხატულება, მივიღებთ განტოლებას ორი ფაქტორის ნამრავლის ფორმა ნულის ტოლი. მისი ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვიპოვით ფესვებს:

x პირველი უდრის ერთს, x მეორე უდრის ნულს.

ვინაიდან განტოლების ორივე მხარე ტოლ ხარისხზე ავწიეთ, ფესვების შემოწმება სავალდებულოა.

ექსპერტიზა

თუ x უდრის ერთს, მაშინ

მივიღებთ სწორ ტოლობას, რაც ნიშნავს, რომ x უდრის ერთი არის განტოლების ფესვი.

თუ x არის ნული, მაშინ მინუს ერთის კვადრატული ფესვი განუსაზღვრელია.

ეს ნიშნავს, რომ x ნულის ტოლი არის უცხო ფესვი.

პასუხი: ერთი.

დავალება 4

ამოხსენით x გამოთქმის განტოლების ლოგარითმი პლუს ხუთ x პლუს ორი ფუძე ორი უდრის სამს.

გამოსავალი

ვიპოვოთ ODZ განტოლება. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას x კვადრატში დამატებული ხუთი x პლუს ორი ნულის მიმართ.

უტოლობას ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვაქცევთ მის მარცხენა მხარეს ფაქტორიზაციას, წინასწარ ამოხსნით კვადრატულ განტოლებას და უტოლობის ნიშნის გათვალისწინებით, ვადგენთ ODZ-ს. ODZ უდრის ღია სხივების გაერთიანებას მინუს უსასრულობამდე მინუს წილადი ხუთი პლუს კვადრატული ფესვი ჩვიდმეტის გაყოფილი ორზე და მინუს ხუთიდან გამოკლებული ჩვიდმეტის კვადრატული ფესვი გაყოფილი ორზე პლუს უსასრულობამდე.

ახლა დავიწყოთ განტოლების ფესვების პოვნა. თუ გავითვალისწინებთ, რომ სამი უდრის რვის ლოგარითმს ფუძე ორზე, განტოლებას ვწერთ შემდეგნაირად: გამოთქმის ლოგარითმი x კვადრატი პლუს ხუთ x პლუს ორი საფუძველს ორი უდრის ლოგარითმს რვა ფუძე ორიდან. მოდით გავაძლიეროთ განტოლება, მივიღოთ და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება.

დისკრიმინანტი არის ორმოცდაცხრამეტი.

გამოთვალეთ ფესვები:

X პირველი უდრის მინუს ექვსი; x წამი უდრის ერთს.

ექსპერტიზა

მინუს ექვსი ეკუთვნის ODZ-ს, ერთი ეკუთვნის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ორივე რიცხვი არის განტოლების ფესვები.

პასუხი: მინუს ექვსი; ერთი.

ბოლო გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ გარე ფესვების გარეგნობის საკითხს. ჩვენ შეგვიძლია მათი აღმოჩენა გადამოწმების გზით. შესაძლებელია თუ არა ფესვების დაკარგვა განტოლების ამოხსნისას და როგორ ავიცილოთ ეს?

განტოლებაზე ისეთი მოქმედებების შესრულებისას, როგორიცაა, პირველ რიგში, განტოლების ორივე მხარის გაყოფა იმავე გამოსახულებით ax-ზე x-დან (გარდა იმ შემთხვევებისა, როდესაც დანამდვილებით ცნობილია, რომ x-დან ცული არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი x-სთვის. განტოლების განსაზღვრის სფერო);

მეორეც, განტოლების OD-ის შევიწროება ამოხსნის პროცესში შეიძლება გამოიწვიოს განტოლების ფესვების დაკარგვა.

გახსოვდეს!

განტოლება დაწერილი როგორც

ef x-დან ნაცარზე გამრავლებული x-დან უდრის zhe-დან x გამრავლებული ნაცარზე x-დან იხსნება ამ გზით:

საჭიროა ფაქტორიზაცია ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებით;

შემდეგ, გაათანაბრეთ თითოეული ფაქტორი ნულთან, რითაც მიიღებთ ორ განტოლებას.

ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ ფესვებს.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლება x კუბი უდრის x.

პირველი გზა

მოდით გავყოთ ამ განტოლების ორივე მხარე x-ზე, მივიღებთ x კვადრატი უდრის ერთს, რომლის ფესვები x ჯერ უდრის ერთს,

x წამი უდრის მინუს ერთი.

მეორე გზა

X კუბი უდრის X. გადავიტანოთ x განტოლების მარცხენა მხარეს, ამოვიღოთ x ფრჩხილებიდან და მივიღებთ: x გამრავლებული x კვადრატზე გამოკლებული ერთი უდრის ნულს.

მოდით გამოვთვალოთ მისი ფესვები:

X პირველი უდრის ნულს, x მეორე უდრის ერთს, x მესამე უდრის მინუს ერთი.

განტოლებას სამი ფესვი აქვს.

პირველი მეთოდის ამოხსნისას დავკარგეთ ერთი ფესვი - x უდრის ნულს.

პასუხი: მინუს ერთი; ნული; ერთი.

გახსოვდეს! განტოლების ორივე მხარის შემცირება უცნობის შემცველი ფაქტორით შეიძლება გამოიწვიოს ფესვების დაკარგვა.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლება: x კვადრატის ათობითი ლოგარითმი უდრის ორს.

გამოსავალი

პირველი გზა

ლოგარითმის განმარტებით ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას x კვადრატი უდრის ასს.

მისი ფესვები: x პირველი უდრის ათს; X წამი უდრის მინუს ათს.

მეორე გზა

ლოგარითმების თვისებით გვაქვს ორი ათობითი ლოგარითმი x უდრის ორს.

მისი ფესვი - x უდრის ათს

მეორე მეთოდით, ფესვი x უდრის მინუს ათი დაიკარგა. და მიზეზი ის არის, რომ მათ გამოიყენეს არასწორი ფორმულა, ავიწროებენ განტოლების ფარგლებს. X კვადრატის ათობითი ლოგარითმის გამოხატულება განისაზღვრება ყველა x-ისთვის, გარდა x-ის ტოლი ნულისა. x-ის ათობითი ლოგარითმის გამოხატულება არის x-ისთვის ნულზე მეტი. ათობითი ლოგარითმის x კვადრატის სწორი ფორმულა უდრის ორ ათობითი ლოგარითმის x მოდულს.

გახსოვდეს! განტოლების ამოხსნისას გონივრულად გამოიყენეთ ხელმისაწვდომი ფორმულები.

ფესვებისა და გარე ფესვების დაკარგვა განტოლებების ამოხსნისას

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება „მე-2 საშუალო სკოლა ცალკეული საგნების სიღრმისეული შესწავლით“ ქალაქ ვსევოლოჟსკში. კვლევითი სამუშაო მოამზადა მე-11 ბ კლასის მოსწავლემ: ვასილიევმა ვასილიმ. პროექტის მენეჯერი: ეგოროვა ლუდმილა ალექსეევნა.

განტოლება პირველ რიგში, მოდით გადავხედოთ ამ განტოლების ამოხსნის სხვადასხვა გზებს sinx+cosx =- 1

ამოხსნა No1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 პასუხი: + 2

ამოხსნა No2 sinx+cosx =- 1 პასუხი: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

ამოხსნა No3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= პასუხი:

sinx+cosx =-1 ხსნარი No4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n პასუხი: - + 2 n

შევადაროთ ამონახსნები სწორი ამონახსნები გავარკვიოთ რა შემთხვევაში შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები და რატომ No 2 პასუხი: +2 No 3 პასუხი: No 4 პასუხი: + 2 n No 1 პასუხი: +2

ხსნარის შემოწმება აუცილებელია თუ არა შემოწმება? შეამოწმეთ ფესვები ყოველი შემთხვევისთვის, რომ იყოს უსაფრთხო მხარე? ეს, რა თქმა უნდა, სასარგებლოა, როდესაც მისი ჩანაცვლება ადვილია, მაგრამ მათემატიკოსები რაციონალური ადამიანები არიან და არ აკეთებენ ზედმეტ რამეებს. მოდით გადავხედოთ სხვადასხვა შემთხვევებს და გავიხსენოთ, როდის არის ნამდვილად საჭირო გადამოწმება.

1. უმარტივესი მზა ფორმულები c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a იმ შემთხვევებში, როდესაც ფესვები გვხვდება უმარტივესი, მზა ფორმულების გამოყენებით, შემოწმება არ არის საჭირო. თუმცა, ასეთი ფორმულების გამოყენებისას უნდა გახსოვდეთ რა პირობებით შეიძლება მათი გამოყენება. მაგალითად, ფორმულა = შეიძლება გამოყენებულ იქნას პირობით a 0, -4ac 0 და პასუხი x= arccos2+2 განტოლებისთვის cosx =2 ითვლება უხეში შეცდომად, რადგან ფორმულა x= arccos a +2 შეიძლება იყოს მხოლოდ გამოიყენება cosx =a განტოლების ფესვებისთვის, სადაც | a | 1

2. გარდაქმნები უფრო ხშირად, განტოლებების ამოხსნისას, თქვენ უნდა განახორციელოთ მრავალი ტრანსფორმაცია. თუ განტოლება შეიცვლება ახლით, რომელსაც აქვს წინას ყველა ფესვი და ის გარდაიქმნება ისე, რომ არ მოხდეს ფესვების დაკარგვა ან შეძენა, მაშინ ასეთ განტოლებებს ექვივალენტი ეწოდება. 1. განტოლების კომპონენტების ერთი ნაწილიდან მეორეზე გადატანისას. 2. ორივე მხარეს ერთი და იგივე რიცხვის დამატებისას. 3. როდესაც განტოლების ორივე მხარე მრავლდება ერთსა და იმავე არანულოვან რიცხვზე. 4 . იდენტობების გამოყენებისას, რომლებიც მოქმედებს ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე. თუმცა, გადამოწმება არ არის საჭირო!

თუმცა, ყველა განტოლება არ შეიძლება ამოხსნას ეკვივალენტური გარდაქმნებით. უფრო ხშირად საჭიროა არათანაბარი გარდაქმნების გამოყენება. ხშირად ასეთი გარდაქმნები ეფუძნება ფორმულების გამოყენებას, რომლებიც არ არის მოქმედი ყველა რეალური მნიშვნელობისთვის. ამ შემთხვევაში, კერძოდ, იცვლება განტოლების განსაზღვრის სფერო. ეს შეცდომა ნაპოვნია #4 გადაწყვეტაში. მოდით შევხედოთ შეცდომას, მაგრამ ჯერ კიდევ გადავხედოთ გადაწყვეტას No4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n შეცდომა მდგომარეობს ფორმულაში sin2x= ამ ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია, მაგრამ დამატებით უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა ფესვები ფორმის + რიცხვები, რომლებისთვისაც tg არ არის განსაზღვრული. ახლა გასაგებია, რომ გამოსავალი ფესვების დაკარგვაა. ვნახოთ ბოლომდე.

ამოხსნა No4 i y x 0 1 შევამოწმოთ რიცხვები = + n ჩანაცვლებით: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 მაშ. x= +2 n არის განტოლების ფესვი პასუხი: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

ჩვენ გადავხედეთ ფესვების დაკარგვის ერთ-ერთ გზას, მათემატიკაში ბევრი მათგანია, ასე რომ თქვენ უნდა გადაწყვიტოთ ყურადღებით, გახსოვდეთ ყველა წესი. როგორც თქვენ შეგიძლიათ დაკარგოთ განტოლების ფესვები, ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ დამატებითი ფესვები მისი ამოხსნის პროცესში. განვიხილოთ გამოსავალი No3, რომელშიც დაშვებულია ასეთი შეცდომა.

ამოხსნა #3 I y x 0 1 2 2 და დამატებითი ფესვები! უცხო ფესვები შეიძლება გამოჩნდეს განტოლების ორივე მხარის კვადრატში. ამ შემთხვევაში აუცილებელია შემოწმება. n=2k-სთვის გვაქვს sin k+cos k=-1; cos k=-1 k=2m-1-ისთვის, შემდეგ n=2(2m+1)=4m+2, x= = +2 m, პასუხი: +2 n=2k+1-ისთვის გვაქვს sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ რამდენიმე შესაძლო შემთხვევა, რომელთაგან ბევრია. შეეცადეთ არ დაკარგოთ დრო და არ დაუშვათ სულელური შეცდომები.