განტოლებების ამოხსნისას უცხო ფესვების გაჩენის მიზეზები. სემინარი „ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა“. განტოლებათა ეკვივალენტური გარდაქმნები

ტრიგონომეტრიული განტოლებების თემა იწყება სასკოლო ლექციით, რომელიც სტრუქტურირებულია ევრისტიკული საუბრის სახით. ლექციაზე განხილულია თეორიული მასალა და ყველა ტიპიური ამოცანის გეგმის მიხედვით გადაჭრის მაგალითები:

უმარტივესი ტრიგონომეტრიული განტოლებები.
ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.
ჰომოგენური განტოლებები.

შემდეგ გაკვეთილებზე იწყება დამოუკიდებელი უნარების განვითარება, მასწავლებლისა და მოსწავლის ერთობლივი აქტივობის პრინციპის გამოყენების საფუძველზე. პირველ რიგში, სტუდენტებისთვის დასახულია მიზნები, ე.ი. დგინდება, ვის სურს იცოდეს იმაზე მეტი, რაც სახელმწიფო სტანდარტით არის მოთხოვნილი და ვინ არის მზად მეტი გააკეთოს.

საბოლოო დიაგნოზი იქმნება დონის დიფერენციაციის გათვალისწინებით, რაც საშუალებას აძლევს სტუდენტებს შეგნებულად განსაზღვრონ მინიმალური ცოდნა, რაც აუცილებელია "3"-ის მისაღებად. ამის საფუძველზე შეირჩევა მრავალდონიანი მასალები სტუდენტების ცოდნის დიაგნოსტიკისთვის. ასეთი ნამუშევარი საშუალებას იძლევა ინდივიდუალური მიდგომა სტუდენტებთან, მათ შორის ყველას შეგნებულ სასწავლო აქტივობებში, განუვითაროს თვითორგანიზაცია და თვითსწავლის უნარები და უზრუნველყოს აქტიურ, დამოუკიდებელ აზროვნებაზე გადასვლა.

სემინარი ტარდება ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის საბაზისო უნარ-ჩვევების დაუფლების შემდეგ. სემინარამდე რამდენიმე გაკვეთილის დაწყებამდე სტუდენტებს ეძლევათ კითხვები, რომლებიც განიხილება სემინარზე.

სემინარი სამი ნაწილისგან შედგება.

1. შესავალი ნაწილი მოიცავს მთელ თეორიულ მასალას, მათ შორის შესავალი ამოცანების შესახებ, რომლებიც წარმოიქმნება რთული განტოლებების ამოხსნისას.

2. მეორე ნაწილში განხილულია ფორმის განტოლებების ამოხსნა:

და cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
ხარისხის შემცირებით ამოსახსნელი განტოლებები.

ეს განტოლებები იყენებენ უნივერსალურ ჩანაცვლებას, ხარისხის შემცირების ფორმულებს და დამხმარე არგუმენტის მეთოდს.

3. მესამე ნაწილში განხილულია ფესვების დაკარგვისა და უცხო ფესვების მოპოვების პრობლემები. აჩვენებს, თუ როგორ უნდა აირჩიოთ ფესვები.

მოსწავლეები მუშაობენ ჯგუფებში. მაგალითების ამოსახსნელად იწვევენ კარგად გაწვრთნილ ბიჭებს, რომლებსაც შეუძლიათ მასალის ჩვენება და ახსნა.

სემინარი განკუთვნილია კარგად მომზადებული სტუდენტისთვის, რადგან... ის განიხილავს საკითხებს, რომლებიც გარკვეულწილად სცილდება პროგრამის მასალის ფარგლებს. იგი მოიცავს უფრო რთული ფორმის განტოლებებს და განსაკუთრებით ეხება რთული ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის პრობლემებს.

სემინარი ჩატარდა მე-10–11 კლასების მოსწავლეებისთვის. თითოეულ მოსწავლეს ჰქონდა შესაძლებლობა გაეფართოებინა და გაეღრმავებინა ცოდნა ამ თემაზე, შეედარებინა თავისი ცოდნის დონე არა მხოლოდ სკოლის კურსდამთავრებულის, არამედ V.U.Z.

სემინარი

თემა:"ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნა"

მიზნები:

ცოდნის განზოგადება ყველა ტიპის ტრიგონომეტრიული განტოლების ამოხსნის შესახებ.
ფოკუსირება პრობლემებზე: ფესვების დაკარგვა; უცხო ფესვები; ფესვის შერჩევა.

გაკვეთილების დროს.

I. შესავალი ნაწილი

1. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

ფაქტორიზაცია.
ახალი ცვლადის დანერგვა.
ფუნქციურ-გრაფიკული მეთოდი.

2. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ზოგიერთი სახეობა.

განტოლებები, რომლებიც მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

ისინი წყდება ახალი ცვლადის შემოღებით.

პირველი და მეორე ხარისხის ერთგვაროვანი განტოლებები

პირველი ხარისხის განტოლება: Asinx + Bcosx = 0 იყოფა cos x-ზე, მივიღებთ Atg x + B = 0

მეორე ხარისხის განტოლება: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 გავყოთ cos 2 x-ზე, მივიღებთ Atg 2 x + Btgx + C = 0

ისინი წყდება ფაქტორიზაციით და ახალი ცვლადის შემოღებით.

ყველა მეთოდი გამოიყენება.

დაქვეითება:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

ამოხსნილია ფაქტორიზაციის მეთოდით.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

ფორმის განტოლება: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

შემცირებულია კვადრატამდე t = sinx + cosx-ის მიმართ; sin2x = t 2 – 1.

3. ფორმულები.

x + 2n; შემოწმება აუცილებელია!

კლების ხარისხი: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
დამხმარე არგუმენტის მეთოდი.

ჩაანაცვლეთ Acosx + Bsinx Csin-ით (x +), სადაც sin = a/C; cos=v/c;

- დამხმარე არგუმენტი.

4. წესები.

თუ ხედავთ კვადრატს, შეამცირეთ ხარისხი.
თუ ნაჭერს ხედავთ, შეადგინეთ თანხა.
თუ ხედავთ თანხას, გააკეთეთ სამუშაო.

5. ფესვების დაკარგვა, ზედმეტი ფესვები.

ფესვების დაკარგვა: გაყოფა g(x-ზე); საშიში ფორმულები (უნივერსალური ჩანაცვლება). ამ ოპერაციებით ჩვენ ვიწროვებთ განმარტების ფარგლებს.

ჭარბი ფესვები: ამაღლებული თანაბარ ძალამდე; გავამრავლოთ g(x)-ზე (გაათავისუფლეთ მნიშვნელი). ამ ოპერაციებით ჩვენ ვაფართოებთ განმარტების ფარგლებს.

II. ტრიგონომეტრიული განტოლებების მაგალითები

1. Asinx + Bcosx = C ფორმის განტოლებები

1) უნივერსალური ჩანაცვლება.O.D.Z. x – ნებისმიერი.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = არქტანი (–1/3) + k, k Z.

გამოცდა: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: x = არქტანი(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) ფუნქციურ-გრაფიკული მეთოდი. ო.დ.ზ. x – ნებისმიერი.

სინქსი – cosx = 1
სინქსი = cosx + 1.

დავხატოთ ფუნქციები: y = sinx, y = cosx + 1.

პასუხი: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) დამხმარე არგუმენტის შეყვანა. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, რადგან (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, მაშინ არსებობს ისეთი, რომ ცოდვა = 8/17,

cos = 15/17, რაც ნიშნავს sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

პასუხი: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. რიგის შემცირება: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

პასუხი: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

ზე

k = 1 და m = 0
k = 4 და m = 1.

სერიები იგივეა.

3. ჰომოგენურობის შემცირება. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – ნებისმიერი.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) არ შეიძლება გაიყოს cos 2 x-ზე, რადგან ფესვებს ვკარგავთ.
cos 2 x = 0 აკმაყოფილებს განტოლებას.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

პასუხი: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. ფორმის განტოლება: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – ნებისმიერი.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = ს. cosx = sin (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

პასუხი: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. ფაქტორიზაცია.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, ფესვების გარეშე.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

პასუხი: x = არქტანი(1/2) + n, n Z.

III. ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას წარმოქმნილი ამოცანები

1. ფესვების დაკარგვა: გაყოფა g(x-ზე); ჩვენ ვიყენებთ სახიფათო ფორმულებს.

1) იპოვნეთ შეცდომა.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 ფორმულა.
2 sinx 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 გაყოფა 2-ზე 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
დაკარგული ფესვები sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

სწორი გამოსავალი: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

ცოდვა 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. გარე ფესვები: ვაშორებთ მნიშვნელს; თანაბარ ძალამდე ამაღლება.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1) (2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
ცოდვა 2/3 = 3/2
არ დააკმაყოფილო. ო.დ.ზ.

2. n = 1
ცოდვა 2=0
დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ.

3. n = 2
ცოდვა 2/ 3 = –3/2
დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1.k = 0
ცოდვა 2/6 = 3/2
არ დააკმაყოფილო ო.დ.ზ.
2. k = 1
ცოდვა 2*5/6 = –3/2
დააკმაყოფილოს ო.დ.ზ.

პასუხი: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. დაკარგული და ამოღებული ფესვები განტოლებების ამოხსნისას (მაგალითები)

საცნობარო მასალა

1. VII თავის მე-3 პუნქტის ორმა თეორემამ ისაუბრა იმაზე, თუ რომელი მოქმედებები განტოლებებზე არ არღვევს მათ ეკვივალენტობას.

2. ახლა განვიხილოთ განტოლებებზე ისეთი მოქმედებები, რომლებმაც შეიძლება გამოიწვიოს ახალი განტოლება, რომელიც უტოლდება თავდაპირველ განტოლებას. ზოგადი მოსაზრებების ნაცვლად, ჩვენ შემოვიფარგლებით მხოლოდ კონკრეტული მაგალითების განხილვით.

3. მაგალითი 1. მოცემული განტოლება გავხსნათ ფრჩხილები ამ განტოლებაში, გადავიტანოთ ყველა წევრი მარცხენა მხარეს და ამოვხსნათ კვადრატული განტოლება. მისი ფესვებია

თუ თქვენ შეამცირებთ განტოლების ორივე მხარეს საერთო კოეფიციენტით, მიიღებთ განტოლებას, რომელიც უტოლდება თავდაპირველს, რადგან მას აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი.

ამრიგად, განტოლების ორივე მხარის შემცირება უცნობის შემცველი ფაქტორით შეიძლება გამოიწვიოს განტოლების ფესვების დაკარგვა.

4. მაგალითი 2. მოცემული განტოლება აქვს ერთი ფესვი და ამ განტოლების ამოხსნით ვიღებთ ორ ფესვს.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ახალი განტოლება არ არის ორიგინალური განტოლების ეკვივალენტი. ფესვი არის განტოლების ფესვი, რომელიც ორივე მხარის კვადრატში მიდის

5. გარე ფესვები ასევე შეიძლება გამოჩნდეს, როდესაც განტოლების ორივე მხარე მრავლდება უცნობის შემცველ ფაქტორზე, თუ ეს ფაქტორი ქრება x-ის რეალური მნიშვნელობებისთვის.

მაგალითი 3. თუ განტოლების ორივე მხარეს გავამრავლებთ მაშინ მივიღებთ ახალ განტოლებას, რომელიც ტერმინის მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ გადატანისა და ფაქტორირების შემდეგ იძლევა განტოლებას რომელიმედან.

ფესვი არ აკმაყოფილებს განტოლებას, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ფესვი

აქედან ვასკვნით: განტოლების ორივე მხარის კვადრატში (ზოგადად ლუწი სიმძლავრემდე), აგრეთვე უცნობის შემცველ ფაქტორზე გამრავლებისას და უცნობის რეალურ მნიშვნელობებზე გაქრობისას შეიძლება გამოჩნდეს უცხო ფესვები.

აქ გამოთქმული ყველა მოსაზრება განტოლების უცხო ფესვების დაკარგვისა და გამოჩენის საკითხზე თანაბრად ვრცელდება ნებისმიერ განტოლებაზე (ალგებრული, ტრიგონომეტრიული და ა.შ.).

6. განტოლებას ალგებრული ჰქვია, თუ უცნობზე შესრულებულია მხოლოდ ალგებრული მოქმედებები - შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა, გაძლიერება და ფესვის ამოღება ბუნებრივი მაჩვენებლით (და ასეთი მოქმედებების რაოდენობა სასრულია).

ასე, მაგალითად, განტოლებები

არის ალგებრული და განტოლებები

კბილები. ხერხემლიანთა კბილები აგებულებითა და განვითარებით სრულიად ჰგავს პლაკოიდურ ქერცლებს, რომლებიც ფარავს ზვიგენის თევზის მთელ კანს. ვინაიდან მთელი პირის ღრუ და ნაწილობრივ ფარინგეალური ღრუ გაფორმებულია ექტოდერმული ეპითელიუმით, ტიპიური პლაკოიდით... ...

ფილტვის ტუბერკულოზი- ფილტვის ტუბერკულოზი. სარჩევი: I. პათოლოგიური ანატომია...........110 II. ფილტვის ტუბერკულოზის კლასიფიკაცია.... 124 III. კლინიკა............................128 IV. დიაგნოსტიკა............................160 V. პროგნოზი................. .......... 190 VI. მკურნალობა… დიდი სამედიცინო ენციკლოპედია

მოწამვლა- მოწამვლა. მოწამვლა ნიშნავს "ცხოველთა ფუნქციების დარღვევას". ორგანიზმები, გამოწვეული ეგზოგენური ან ენდოგენური, ქიმიურად ან ფიზიკურად და ქიმიურად აქტიური ნივთიერებებით, რომლებიც უცხოა ხარისხის, რაოდენობის ან კონცენტრაციის თვალსაზრისით... ... დიდი სამედიცინო ენციკლოპედია

პარკოსანი კვანძოვანი ბაქტერია- პალეონტოლოგიური მონაცემები მიუთითებს, რომ უძველესი პარკოსნები, რომლებსაც ჰქონდათ კვანძები, იყო ზოგიერთი მცენარე, რომელიც მიეკუთვნებოდა Eucaesalpinioideae ჯგუფს. პარკოსან მცენარეთა თანამედროვე სახეობებში აღმოჩენილია კვანძები... ბიოლოგიური ენციკლოპედია

ანიმაციური სერიალის "Luntik" ეპიზოდების სია- ამ სტატიას აკლია ინფორმაციის წყაროების ბმულები. ინფორმაცია უნდა იყოს გადამოწმებადი, წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება დაკითხული იყოს და წაიშალოს. შეგიძლიათ... ვიკიპედია

მცენარე და გარემო- მცენარის სიცოცხლე, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა ცოცხალი ორგანიზმი, ურთიერთდაკავშირებული პროცესების კომპლექსია; მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანი, როგორც ცნობილია, არის ნივთიერებების გაცვლა გარემოსთან. გარემო არის წყარო, საიდანაც...... ბიოლოგიური ენციკლოპედია

სერიალის "Luntik" ეპიზოდების სია- მთავარი სტატია: ლუნტიკისა და მისი მეგობრების თავგადასავალი სარჩევი 1 ეპიზოდების რაოდენობა 2 ანიმაციური სერიალის ლუნტიკი და მისი მეგობრების ეპიზოდების სია ... ვიკიპედია

ხეხილის დაავადებები- ხეხილმა, მათზე მუდმივი ადამიანური ზრუნვის წყალობით, უნდა მიაღწიოს ბევრად უფრო დიდ ასაკს, ვიდრე მათი დაუმუშავებელი ნათესავები, რომ არა თვით კულტურის მრავალი მდგომარეობის საწინააღმდეგო გავლენა, კერძოდ, ჩვენს მიერ წამოყენებული მოთხოვნები... ...

ტყის ჭრა- ტყის აღება, ან ტყის შემოსავლის მოპოვება ხისა და ქერქის სახით, შეიძლება განხორციელდეს ორი გზით: მთლიანი ხეების გათხრით ან ამოძირკვით, ანუ ტოტების ფესვებთან ერთად, ან ცალკე, ნაწილებად, პირველად მოჭრილი ან ამოღებული. ეხლა... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი F.A. ბროკჰაუსი და ი.ა. ეფრონი

გროშ- (პოლონური grosz, გერმანულიდან Groschen, ლათ. grossus (dēnārius) „სქელი denarius“) სხვადასხვა ქვეყნისა და დროის მონეტა. სარჩევი 1 პენის გამოჩენა ... ვიკიპედია

აშშ-ს მონეტები- 20 Saint Gaudens დოლარი ყველაზე ლამაზი და ძვირადღირებული ამერიკული მონეტა აშშ-ს მონეტები არის მონეტები, რომლებიც მოჭრილია აშშ-ს ზარაფხანაში. წარმოებულია 1792 წლიდან... ვიკიპედია

წიგნები

თმის ცვენის ძირითადი მიზეზები ქალებში, ალექსეი მიჩმანი, ათი ქალიდან ექვსი განიცდის თმის ცვენას ცხოვრების გარკვეულ ეტაპზე. თმის ცვენა შეიძლება მოხდეს მრავალი მიზეზის გამო, როგორიცაა მემკვიდრეობა, ჰორმონალური ცვლილებები... კატეგორია:

ბოლო გაკვეთილზე გამოვიყენეთ სამი ნაბიჯი განტოლებების ამოსახსნელად.

პირველი ეტაპი ტექნიკურია. ორიგინალური განტოლებიდან გარდაქმნების ჯაჭვის გამოყენებით მივდივართ საკმაოდ მარტივ განტოლებამდე, რომელსაც ვხსნით და ვპოულობთ ფესვებს.

მეორე ეტაპი არის ხსნარის ანალიზი. ჩვენ ვაანალიზებთ ჩვენს მიერ განხორციელებულ გარდაქმნებს და ვადგენთ, არის თუ არა ისინი ეკვივალენტური.

მესამე ეტაპი არის შემოწმება. ყველა ნაპოვნი ფესვის შემოწმება მათ თავდაპირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით სავალდებულოა ტრანსფორმაციების შესრულებისას, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს თანმდევი განტოლება.

განტოლების ამოხსნისას ყოველთვის საჭიროა სამი ეტაპის გამოყოფა?

Რათქმაუნდა არა. როგორც, მაგალითად, ამ განტოლების ამოხსნისას. ყოველდღიურ ცხოვრებაში ისინი, როგორც წესი, არ გამოირჩევიან. მაგრამ ყველა ეს ეტაპი უნდა იყოს "მხედველობაში" და განხორციელდეს ამა თუ იმ ფორმით. აუცილებელია ტრანსფორმაციების ეკვივალენტობის ანალიზი. ხოლო თუ ანალიზი აჩვენებს, რომ შემოწმებაა საჭირო, მაშინ ეს სავალდებულოა. წინააღმდეგ შემთხვევაში, განტოლება არ შეიძლება ჩაითვალოს სწორად ამოხსნილად.

ყოველთვის შესაძლებელია განტოლების ფესვების შემოწმება მხოლოდ ჩანაცვლებით?

თუ განტოლების ამოხსნისას გამოყენებული იყო ეკვივალენტური გარდაქმნები, მაშინ გადამოწმება არ არის საჭირო. განტოლების ფესვების შემოწმებისას, ODZ (დაშვებული მნიშვნელობის დიაპაზონი) ძალიან ხშირად გამოიყენება, თუ ძნელია შემოწმება ODZ-ის გამოყენებით, მაშინ იგი შესრულებულია ორიგინალურ განტოლებაში ჩანაცვლებით.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი ორ x-ს პლუს სამი უდრის ერთს პლუს x.

გამოსავალი

განტოლების ODZ განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: ორ x-ს პლუს სამი მეტია ან ტოლია ნულისა და ერთი პლუს x მეტია ან ტოლია ნულის. ამონახსნი არის x მეტი ან ტოლი მინუს ერთი.

მოდი განტოლების ორივე მხარე გავა კვადრატში, გადავიტანოთ ტერმინები განტოლების ერთი მხრიდან მეორეზე, დავამატოთ მსგავსი პუნქტები და მივიღოთ კვადრატული განტოლება x კვადრატი უდრის ორს. მისი ფესვებია

x პირველი, მეორე უდრის პლუს ან მინუს კვადრატული ფესვი ორი.

ექსპერტიზა

x პირველის მნიშვნელობა უდრის კვადრატულ ფესვს ორი არის განტოლების ფესვი, რადგან ის შედის ODZ-ში.
x წამის მნიშვნელობა უდრის მინუს კვადრატული ფესვი ორი არ არის განტოლების ფესვი, რადგან ის არ შედის DZ-ში.
მოდით შევამოწმოთ, რომ x ფესვი უდრის ორის კვადრატულ ფესვს, შევცვალოთ იგი თავდაპირველ ტოლობაში, მივიღებთ

ტოლობა მართალია, რაც ნიშნავს, რომ x უდრის კვადრატული ფესვი ორი არის განტოლების ფესვი.

პასუხი: კვადრატული ფესვი ორიდან.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი x-ს გამოკლებული რვა უდრის ხუთს გამოკლებული x.

გამოსავალი

ირაციონალური განტოლების ODZ განისაზღვრება ორი უტოლობის სისტემით: x გამოკლებული რვა მეტია ან ტოლია ნულისა და ხუთს გამოკლებული x მეტია ან ტოლია ნულის. მისი გადაჭრით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ამ სისტემას არ აქვს გამოსავალი. განტოლების ფესვი არ შეიძლება იყოს x ცვლადის რომელიმე მნიშვნელობა.

პასუხი: არ არის ფესვები.

დავალება 3

ამოხსენით განტოლების კვადრატული ფესვი x კუბური პლუს ოთხი x გამოკლებული ერთი გამოკლებული x-ის რვა კვადრატული ფესვი მეოთხე ხარისხში მინუს x უდრის x კუბიკების კვადრატულ ფესვს გამოკლებული ერთი პლუს x-ის ორი კვადრატული ფესვი.

გამოსავალი

ამ განტოლებაში ODZ-ის პოვნა საკმაოდ რთულია.

მოდით განვახორციელოთ ტრანსფორმაცია: ამ განტოლების ორივე მხარე კვადრატში,

გადავიტანოთ ყველა წევრი განტოლების მარცხენა მხარეს და მოვიყვანოთ მსგავსი ტერმინები, დავწეროთ ორი ძირი ერთის ქვეშ, მივიღოთ მსგავსი რადიკალები, მოვიყვანოთ მსგავსები, გავყოთ კოეფიციენტზე მინუს 12 და გავამრავლოთ რადიკალური გამოხატულება, მივიღებთ განტოლებას ორი ფაქტორის ნამრავლის ფორმა ნულის ტოლი. მისი ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვიპოვით ფესვებს:

x პირველი უდრის ერთს, x მეორე უდრის ნულს.

იმის გამო, რომ განტოლების ორივე მხარე ტოლ ხარისხზე ავწიეთ, ფესვების შემოწმება სავალდებულოა.

ექსპერტიზა

თუ x უდრის ერთს, მაშინ

მივიღებთ სწორ ტოლობას, რაც ნიშნავს, რომ x უდრის ერთი არის განტოლების ფესვი.

თუ x არის ნული, მაშინ მინუს ერთის კვადრატული ფესვი განუსაზღვრელია.

ეს ნიშნავს, რომ x ნულის ტოლი არის უცხო ფესვი.

პასუხი: ერთი.

დავალება 4

ამოხსენით x გამოთქმის განტოლების ლოგარითმი პლუს ხუთ x პლუს ორი ფუძე ორი უდრის სამს.

გამოსავალი

ვიპოვოთ ODZ განტოლება. ამისათვის ჩვენ ვხსნით უტოლობას x კვადრატში დამატებული ხუთი x პლუს ორი ნულის მიმართ.

უტოლობას ვხსნით ინტერვალის მეთოდით. ამისათვის ჩვენ ვანაწილებთ მის მარცხენა მხარეს, წინასწარ ამოხსნით კვადრატულ განტოლებას და უტოლობის ნიშნის გათვალისწინებით, ვადგენთ ODZ-ს. ODZ უდრის ღია სხივების გაერთიანებას მინუს უსასრულობამდე მინუს წილადი ხუთი პლუს კვადრატული ფესვი ჩვიდმეტის გაყოფილი ორზე და მინუს ხუთიდან გამოკლებული ჩვიდმეტის კვადრატული ფესვი გაყოფილი ორზე პლუს უსასრულობამდე.

ახლა დავიწყოთ განტოლების ფესვების პოვნა. თუ გავითვალისწინებთ, რომ სამი უდრის რვის ლოგარითმს ფუძე ორზე, განტოლებას ვწერთ შემდეგნაირად: გამოთქმის ლოგარითმი x კვადრატი პლუს ხუთ x პლუს ორი საფუძველს ორი უდრის ლოგარითმს რვა ფუძე ორიდან. მოდით გავაძლიეროთ განტოლება, მივიღოთ და ამოხსნათ კვადრატული განტოლება.

დისკრიმინანტი არის ორმოცდაცხრამეტი.

გამოთვალეთ ფესვები:

X პირველი უდრის მინუს ექვსი; x წამი უდრის ერთს.

ექსპერტიზა

მინუს ექვსი ეკუთვნის ODZ-ს, ერთი ეკუთვნის ODZ-ს, რაც ნიშნავს, რომ ორივე რიცხვი არის განტოლების ფესვები.

პასუხი: მინუს ექვსი; ერთი.

ბოლო გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ გარე ფესვების გარეგნობის საკითხს. ჩვენ შეგვიძლია მათი აღმოჩენა გადამოწმების გზით. შესაძლებელია თუ არა ფესვების დაკარგვა განტოლების ამოხსნისას და როგორ ავიცილოთ ეს?

განტოლებაზე ისეთი მოქმედებების შესრულებისას, როგორიცაა, პირველ რიგში, განტოლების ორივე მხარის გაყოფა იმავე გამოსახულებით ax-ზე x-დან (გარდა იმ შემთხვევებისა, როდესაც დანამდვილებით ცნობილია, რომ x-დან ცული არ არის ნულის ტოლი ნებისმიერი x-სთვის. განტოლების განსაზღვრის სფერო);

მეორეც, განტოლების OD-ის შევიწროება ამოხსნის პროცესში შეიძლება გამოიწვიოს განტოლების ფესვების დაკარგვა.

გახსოვდეს!

განტოლება დაწერილი როგორც

ef x-დან ნაცარზე გამრავლებული x-დან უდრის zhe-დან x გამრავლებული ნაცარზე x-დან ამოხსნილია ამ გზით:

საჭიროა ფაქტორიზაცია ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღებით;

შემდეგ, გაათანაბრეთ თითოეული ფაქტორი ნულთან, რითაც მიიღებთ ორ განტოლებას.

ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ ფესვებს.

სავარჯიშო 1

ამოხსენით განტოლება x კუბი უდრის x.

პირველი გზა

მოდით გავყოთ ამ განტოლების ორივე მხარე x-ზე, მივიღებთ x კვადრატი უდრის ერთს, რომლის ფესვები x ჯერ უდრის ერთს,

x წამი უდრის მინუს ერთი.

მეორე გზა

X კუბი უდრის X. გადავიტანოთ x განტოლების მარცხენა მხარეს, ამოვიღოთ x ფრჩხილებიდან და მივიღებთ: x გამრავლებული x კვადრატზე გამოკლებული ერთი უდრის ნულს.

მოდით გამოვთვალოთ მისი ფესვები:

X პირველი უდრის ნულს, x მეორე უდრის ერთს, x მესამე უდრის მინუს ერთი.

განტოლებას სამი ფესვი აქვს.

პირველი მეთოდის ამოხსნისას დავკარგეთ ერთი ფესვი - x უდრის ნულს.

პასუხი: მინუს ერთი; ნული; ერთი.

გახსოვდეს! განტოლების ორივე მხარის შემცირება უცნობის შემცველი ფაქტორით შეიძლება გამოიწვიოს ფესვების დაკარგვა.

დავალება 2

ამოხსენით განტოლება: x კვადრატის ათობითი ლოგარითმი უდრის ორს.

გამოსავალი

პირველი გზა

ლოგარითმის განმარტებით ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას x კვადრატი უდრის ასს.

მისი ფესვები: x პირველი უდრის ათს; X წამი უდრის მინუს ათს.

მეორე გზა

ლოგარითმების თვისებით გვაქვს ორი ათობითი ლოგარითმი x უდრის ორს.

მისი ფესვი - x უდრის ათს

მეორე მეთოდით, ფესვი x უდრის მინუს ათი დაიკარგა. და მიზეზი ის არის, რომ მათ გამოიყენეს არასწორი ფორმულა, ავიწროებენ განტოლების ფარგლებს. X კვადრატის ათობითი ლოგარითმის გამოხატულება განისაზღვრება ყველა x-ისთვის, გარდა x-ის ტოლი ნულისა. x-ის ათობითი ლოგარითმის გამოხატულება არის x-ისთვის ნულზე მეტი. ათობითი ლოგარითმის x კვადრატის სწორი ფორმულა უდრის ორ ათობითი ლოგარითმის x მოდულს.

გახსოვდეს! განტოლების ამოხსნისას გონივრულად გამოიყენეთ ხელმისაწვდომი ფორმულები.

განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები

რა არის განტოლების ამონახსნი?

იდენტური ტრანსფორმაცია. ძირითადი

იდენტობის ტრანსფორმაციის სახეები.

უცხო ფესვი. ფესვის დაკარგვა.

განტოლების ამოხსნა არის პროცესი, რომელიც ძირითადად შედგება მოცემული განტოლების სხვა განტოლებით მის ექვივალენტური განტოლებით ჩანაცვლებისგან. . ამ ჩანაცვლებას ე.წიდენტური ტრანსფორმაცია . იდენტობის ძირითადი გარდაქმნები შემდეგია:

ერთი გამონათქვამის ჩანაცვლება მეორით, რომელიც მისი იდენტურად ტოლია. მაგალითად, განტოლება (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 შეიძლება შეიცვალოს შემდეგი ექვივალენტით:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

განტოლების ტერმინების გადატანა ერთი მხრიდან მეორეზე საპირისპირო ნიშნებით. ასე რომ, წინა განტოლებაში შეგვიძლია გადავიტანოთ მისი ყველა წევრი მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ "-" ნიშნით: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, რის შემდეგაც მივიღებთ:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

განტოლების ორივე მხარის გამრავლება ან გაყოფა იმავე გამოხატულებაზე (რიცხვზე) ნულის გარდა. ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგანახალი განტოლება შეიძლება არ იყოს წინას ექვივალენტური, თუ გამონათქვამი, რომელსაც ვამრავლებთ ან ვყოფთ, შეიძლება იყოს ნულის ტოლი.

მაგალითი განტოლებაx - 1 = 0 აქვს ერთი ფესვიx = 1.

ორივე მხარის გამრავლებაx - 3 , ვიღებთ განტოლებას

( x - 1)( x - 3) = 0, რომელსაც აქვს ორი ფესვი:x = 1 დაx = 3.

ბოლო მნიშვნელობა არ არის მოცემული განტოლების ფესვი

x - 1 = 0. ეს არის ე.წუცხო ფესვი .

პირიქით, გაყოფა შეიძლება გამოიწვიოსფესვის დაკარგვა . Ისე

ჩვენს შემთხვევაში, თუ (x - 1 )( x - 3 ) = 0 არის ორიგინალი

განტოლება, შემდეგ ფესვიx = 3 დაიკარგება დივიზიონში

განტოლების ორივე მხარესx - 3 .

ბოლო განტოლებაში (პუნქტი 2) შეგვიძლია მისი ყველა წევრი გავყოთ 3-ზე (არა ნულზე!) და საბოლოოდ მივიღოთ:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

ეს განტოლება ორიგინალის ტოლფასია: