Banka podataka zbrajanja i oduzimanja razlomaka. Akcije s razlomcima. Sažetak: opća računska shema

Akcije s razlomcima.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u posebnom odjeljku 555.
Za one koji su jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Prijeđimo na glavno pitanje.

Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.

Sve ove radnje sa decimal rad s razlomcima ne razlikuje se od rada s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono što im je dobro, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.

Mješoviti brojevi, kao što sam već rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.

Ali akcije sa obični razlomci bit će lukaviji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.

Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da podsjetim one potpuno zaboravne: pri zbrajanju (oduzimanju) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:

Ukratko, općenito:

Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći osnovno svojstvo razlomka (evo nam opet dobro dođe!), nazivnike učinimo istima! Na primjer:

Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. S jedinom svrhom da nazivnici budu isti. Da napomenem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 je sasvim ok.

Usput, to je bit rješavanja bilo kojeg matematičkog problema. Kad smo iz neugodno radimo izraze ista stvar, ali prikladnija za rješavanje.

Još jedan primjer:

Situacija je slična. Ovdje od 16 dobivamo 48. Jednostavnim množenjem s 3. Sve je jasno. Ali naišli smo na nešto poput:

Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. Ovo se zove "svesti na zajednički nazivnik":

Wow! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti djeljiv sa 7!

Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik zajednički svim razlomcima i svesti svaki razlomak na taj isti nazivnik. Na primjer:

I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobit ćemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz ovih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.

Usput, ako uzmete 1024 kao zajednički nazivnik, sve će uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Ali neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija...

Sami dovršite primjer. Ne nekakav logaritam... Trebalo bi biti 29/16.

Dakle, zbrajanje (oduzimanje) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo dostupno je onima koji su pošteno radili u nižim razredima... I nisu ništa zaboravili.

A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se otkriti novi rake, da...

Dakle, moramo zbrojiti dva razlomka:

Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! To je ono što nalaže glavno svojstvo razlomka. Stoga ne mogu X dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve raste zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:

I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik na desnoj strani, shvaćamo: da biste dobili nazivnik x(x+1) u prvom razlomku, trebate pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x+1) . A u drugom razlomku - do x. Evo što dobivate:

Bilješka! Evo zagrada! To su grablje na koje mnogi ljudi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo svi brojnik i svi nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...

U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. Sve množimo i dajemo slične. Nema potrebe otvarati zagrade u nazivnicima niti bilo što množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:

Pa smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Kad jednom riješite primjere, naviknete se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svojedobno savladali razlomke, sve ove operacije rade jednom lijevom rukom, automatski!

I još jedna napomena. Mnogi se pametno bave razlomcima, ali zapnu na primjerima s cijeli brojevima. Kao: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvodijelni? Ne trebate ga nigdje pričvrstiti, trebate napraviti razlomak od dva. Nije lako, ali vrlo jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.

Pa se osvježilo znanje o zbrajanju i oduzimanju razlomaka. Ponovljeno je pretvaranje razlomaka iz jedne vrste u drugu. Možete se i pregledati. Hoćemo li to malo riješiti?)

Izračunati:

Odgovori (u neredu):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Množenje/dijeljenje razlomaka – na sljedećem satu. Tu su i zadaci za sve operacije s razlomcima.

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)

Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Klasa: 5

Prezentacija za lekciju

Natrag naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati sve značajke prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

usustaviti znanja o obinim razlomcima;
ponoviti pravila zbrajanja i oduzimanja razlomaka s jednakim nazivnicima;
ponoviti pravila zbrajanja i oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima.

Obrazovni:

razvijati pozornost, govor, pamćenje, logično razmišljanje, samostalnost.

Obrazovni:

njegovati želju za postizanjem cilja; samopouzdanje, sposobnost timskog rada.

Znati: pravila zbrajanja i oduzimanja razlomaka s jednakim i različitim nazivnicima.

Vrsta lekcije: sat generalizacije i sistematizacije znanja.

Oprema: ekran, multimedija, prezentacija “Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka” (prilog 1.), model običnog razlomka (slika 1.); obrazac s testom, tablicu odgovora (slika 2), emotikone za razmišljanje (slika 3), nacrtano božićno drvce (slika 4).

Ne.	Faza lekcije	Vrijeme	Scenski zadaci
1.	Organiziranje vremena.	3 min.	Pripremite učenike za lekciju.
2.	Obnavljanje znanja. Ponavljanje pređenog gradiva.	10 min.	Ponavljanje pravih i nepravih razlomaka, smanjivanje razlomaka, dovođenje razlomaka na novi nazivnik, isticanje cijelog dijela.
3.	Primijeniti pravila zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s jednakim nazivnicima.	10 min.	Ponovite zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka s jednakim nazivnicima.
4.	Minute tjelesnog odgoja.	3 min.	Ublažite djetetov umor, omogućite aktivan odmor i povećajte mentalnu sposobnost učenika.
5.	Primjena pravila zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s različitim nazivnicima.	13 min.	Ponavljanje zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s različitim nazivnicima.
6.	Domaća zadaća.	2 minute.	Uputa za domaću zadaću.
7.	Sažetak lekcije.	4 min.	Sumirati. Ocjenjivanje. Odraz.

Tijekom nastave

1). Organiziranje vremena.

- "Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka."

Predlaže se formuliranje ciljeva i zadataka sata; tijekom rasprave oni se formuliraju (nastavnik ih može zapisati na ploču).

2). Obnavljanje znanja. Ponavljanje pređenog gradiva. (Slajd br. 1).

a) Danas ćemo lekciju započeti aukcijom. Dostupan je samo jedan lot: "obična frakcija" (slika 1). Prisjetimo se što znamo o običnim razlomcima:

Brojnik;

Nazivnik;

Razlomačka traka - podjela;

Na b dijelimo dijelove, uzimamo A takvi dijelovi;

Ispravno;

Netočno;

Odaberite cijeli dio;

Smanjiti;

Svesti na novi nazivnik;

Primjeri.

Tko je posljednji govorio o običnom razlomku, dobiva model običnog razlomka.

b) Učvrstimo svoje znanje rješavanjem testa(obrazac za odgovore, zadatak br. 1, slajd br. 2).

TEST

1. Pronađite točan razlomak:

A); B) ; IN) .

2. Pronađite nepravi razlomak:

A); B) ; IN) .

3. Smanjite razlomak:

A); B) ; IN) .

4. Skratite razlomak na nazivnik 28:

A); B) ; IN) .

5. Odaberite cijeli dio:

A); B) ; IN) .

Odgovori se upisuju u tablicu.

1 2 3 4 5

Rezimirati:

5 "+" oznaka 5,
4 "+" oznaka 4,
3 Oznaka "+" 3.

3).Primjena pravila zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s jednakim nazivnicima.

Koje obične razlomke možemo zbrajati?

Razlomci s jednakim i različitim nazivnicima (slajd broj 3).

Ponovimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.

Da biste zbrojili dva razlomka s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, morate od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Učvrstimo znanje u praksi.

Od učenika se traži da usmeno izračunaju primjere i zapišu odgovore na listu za odgovore zadatka br.

Razmijenite bilježnice i obavite međusobne provjere.

Rezimirati:

9-8 "+" oznaka 5,
7-6 "+" oznaka 4,
5 "+" oznaka 3.

4). Minute tjelesnog odgoja.

5). Primjena pravila zbrajanja i oduzimanja običnih razlomaka s različitim nazivnicima.

Zbrojili smo razlomke s istim nazivnicima. Što treba učiniti da bi se zbrajali obični razlomci s različitim nazivnicima?(slajd broj 4).

Da biste zbrajali i oduzimali razlomke s različitim nazivnicima, trebate svesti razlomke na zajednički nazivnik pronalaženjem dodatnih faktora. Izvršite zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka s istim nazivnicima.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima
Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Na primjer, zbrojimo razlomke i . Zbrojite brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2. Zbrojite razlomke i .

Pokazalo se da je odgovor nepravi razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je riješiti se nepravih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio se lako izolira - dva podijeljeno s dva jednako je jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Dodate li još pizze na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako na pizzu dodate još pizze, dobit ćete pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike je potrebno zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnikom, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti nazivnik nepromijenjen;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Naučimo sada kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo pogledati samo jednu od njih, budući da se druge metode početniku mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode je da se prvo pretražuje LCM nazivnika obaju razlomaka. LCM se zatim dijeli s nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto čine s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojnici i nazivnici razlomaka zatim se množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojimo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo razlomcima i . Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do drugog razlomka. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovo dovršava primjer. Ispada dodati .

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizzu na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svođenjem razlomaka i na zajednički nazivnik dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri komada od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri komada od šest). Zbrajanjem ovih komada dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo istaknuli cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore sa svojim brojnicima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako u prvim fazama učenja matematike ne vodite detaljne bilješke, tada se počinju javljati takva pitanja. “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

Odredite LCM nazivnika razlomaka;
Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Poslužimo se gore navedenim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobivamo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobijemo treći dodatni faktor 3. Zapišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke s istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje samo zbrojiti ove razlomke. Zbrojite:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, premješta se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraju prvog i na početku novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, označite cijeli njegov dio

Pokazalo se da je naš odgovor netočan razlomak. Moramo istaknuti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima
Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, ali nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, morate brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak možete oduzeti od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo koristeći isti princip koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je zapisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih trebate svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo nalazimo LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo razlomcima i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako izrežete pizzu od pizze, dobit ćete pizzu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor obični razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (NOT) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim gcd, odnosno s 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, morate brojnik razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Snimanje se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, umnožak se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pizze, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množenik i množitelj, dobit ćemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Broj koji se množi razlomkom i nazivnik razlomka rastavljaju se ako imaju zajednički faktor veći od jedan.

Na primjer, izraz se može izračunati na dva načina.

Prvi način. Pomnožite broj 4 s brojnikom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjenim:

Drugi način. Četvorka koja se množi i četiri u nazivniku razlomka mogu se smanjiti. Ove četvorke se mogu smanjiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:

Dobili smo isti rezultat 3. Nakon smanjivanja četvorki umjesto njih nastaju novi brojevi: dvije jedinice. Ali množenje jedan s tri, a zatim dijeljenje s jedan ne mijenja ništa. Stoga se rješenje može ukratko napisati:

Smanjenje se može izvesti čak i kada smo se odlučili za prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojnika 3 odlučili smo se za smanjenje:

Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 s nazivnikom razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjenim:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj veći od jedan, te se prema tome ne poništavaju.

Neki učenici pogrešno skraćuju broj koji se množi i brojnik razlomka. Ne možeš to učiniti. Na primjer, sljedeći unos nije točan:

Smanjenje razlomka znači da i brojnik i nazivnik podijelit će se istim brojem. U situaciji s izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojniku, jer je to pisanje isto što i pisanje . Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojniku, a u nazivniku nema dijeljenja.

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se odgovor pokaže kao netočan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravit ćemo pizzu. Prisjetite se kako pizza izgleda podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva komada koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Pokazalo se da je odgovor obični razlomak, ali bilo bi dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora s gcd-om koji smo sada pronašli, to jest s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Ovo neće promijeniti značenje pet, budući da izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo naopako:

Što će se dogoditi kao rezultat toga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je obrnuto od broja 5 broj , jer kad pomnožite 5 s dobit ćete jedan.

Recipročna vrijednost broja može se pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidljivo je da su se nakon dijeljenja pizze na pola dobila dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.

Ova lekcija će pokriti zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa sličnim nazivnicima. Već znamo zbrajati i oduzimati obične razlomke s jednakim nazivnicima. Ispada da algebarski razlomci slijede ista pravila. Učenje rada s razlomcima s istim nazivnicima jedan je od temelja učenja rada s algebarskim razlomcima. Konkretno, razumijevanje ove teme olakšat će svladavanje složenije teme - zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima. U sklopu lekcije proučit ćemo pravila zbrajanja i oduzimanja algebarskih razlomaka s sličnim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera

Pravilo za zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s jednakim nazivnicima

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakcija od jedan-na-vas -mi know-me-na-te-la-mi (poklapa se s analognim pravilom za obične udarce): To je za zbrajanje ili izračun al-geb-ra-i-che-skih razlomaka s jedan prema tebi know-me-on-the-la-mi potrebno -ho-di-mo-sastaviti odgovarajući al-geb-ra-i-che-zbroj brojeva, a sign-me-na-tel ostaviti bez ikakvih.

Ovo pravilo razumijemo i na primjeru običnih ven-remija i na primjeru al-geb-ra-i-che-remija.hit.

Primjeri primjene pravila za obične razlomke

Primjer 1. Zbrajanje razlomaka: .

Riješenje

Zbrojimo broj razlomaka, a predznak ostavimo isti. Nakon toga rastavljamo broj i potpisujemo na jednostavne množine i kombinacije. Nabavimo to: .

Napomena: standardna pogreška koja je dopuštena pri rješavanju sličnih tipova primjera, za -klu-cha-et-sya u sljedećem mogućem rješenju: . Ovo je velika pogreška, jer znak ostaje isti kao što je bio u izvornim razlomcima.

Primjer 2. Zbrajanje razlomaka: .

Riješenje

Ovaj se ni po čemu ne razlikuje od prethodnog: .

Primjeri primjene pravila za algebarske razlomke

Od običnih dro-bitova prelazimo na al-geb-ra-i-che-skim.

Primjer 3. Zbrajanje razlomaka: .

Rješenje: kao što je već spomenuto, sastav al-geb-ra-i-che-frakcija ni na koji se način ne razlikuje od riječi kao i obične pucačke borbe. Stoga je metoda rješenja ista: .

Primjer 4. Vi ste razlomak: .

Riješenje

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih frakcija od zbrajanja samo činjenicom da je u broju pi-sy-va-et-sya razlika u broju korištenih frakcija. Zato .

Primjer 5. Vi ste razlomak: .

Riješenje: .

Primjer 6. Pojednostavite: .

Riješenje: .

Primjeri primjene pravila praćenog redukcijom

U razlomku koji ima isto značenje u rezultatu slaganja ili računanja, kombinacije su moguće nia. Osim toga, ne smijete zaboraviti na ODZ al-geb-ra-i-che-skih frakcija.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Riješenje: .

pri čemu . Općenito, ako se ODZ početnih razlomaka podudara s ODZ ukupnog, tada se može izostaviti (uostalom, razlomak koji je u odgovoru također neće postojati s odgovarajućim značajnim promjenama). Ali ako se ODZ korištenih razlomaka i odgovor ne poklapaju, tada je potrebno navesti ODZ.

Primjer 8. Pojednostavite: .

Riješenje: . U isto vrijeme, y (ODZ početnih frakcija ne podudara se s ODZ rezultata).

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Za dodavanje i čitanje al-geb-ra-i-che-razlomaka s različitim know-me-on-the-la-mi, radimo ana-lo -giyu s običnim-ven-ny razlomcima i prenosimo ga u al-geb -ra-i-che-razlomci.

Pogledajmo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1. Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Prisjetimo se pravila zbrajanja razlomaka. Za početak s razlomkom, potrebno ga je dovesti do zajedničkog znaka. U ulozi općeg znaka za obične razlomke, vi djelujete najmanji zajednički višekratnik(NOK) početni znakovi.

Definicija

Najmanji broj, koji je istovremeno podijeljen na brojeve i.

Da biste pronašli NOC, morate rastaviti znanje na jednostavne skupove, a zatim odabrati sve kojih ima mnogo, što je uključeno u podjelu oba znaka.

; . Tada LCM brojeva mora sadržavati dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon pronalaženja općeg znanja, potrebno je da svaki od razlomaka pronađe potpuni rezident višestrukosti (zapravo, zapravo, pretočiti zajednički znak na znak odgovarajućeg razlomka).

Zatim se svaki razlomak množi s polupunim faktorom. Uzmimo neke razlomke od istih onih koje poznaješ, zbrojimo ih i pročitamo. -proučeno u prethodnim lekcijama.

Idemo jesti: .

Odgovor:.

Pogledajmo sada sastav al-geb-ra-i-che-frakcija s različitim predznacima. Sada pogledajmo razlomke i vidimo ima li brojeva.

Zbrajanje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima

Primjer 2. Zbroji razlomke: .

Riješenje:

Al-go-ritam odluke ab-so-lyut-ali ana-lo-gi-chen na prethodni primjer. Lako je uzeti zajednički predznak zadanih razlomaka: i dodatne množitelje za svaki od njih.

Odgovor:.

Dakle, formirajmo se al-go-ritam zbrajanja i izračunavanje al-geb-ra-i-che-skih razlomaka s različitim predznacima:

1. Odredi najmanji zajednički predznak razlomka.

2. Nađite dodatne množitelje za svaki od razlomaka (dapače, zajednički predznak je dan -ti razlomak).

3. Up-to-mnogi brojevi na odgovarajućim up-to-full višestrukostima.

4. Zbrajati ili izračunavati razlomke, koristeći pravila sastavljanja i računanja razlomaka s istim znanjem -me-na-te-la-mi.

Pogledajmo sada primjer s razlomcima u čijem su znaku slova you -nia.