Murdude liitmine ja lahutamine andmepank. Tegevused murdarvudega. Kokkuvõte: üldine arvutusskeem

Tegevused murdarvudega.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Niisiis, mis on murded, murdude tüübid, teisendused - me mäletasime. Läheme põhiküsimuse juurde.

Mida saab murdarvudega teha? Jah, kõik on sama, mis tavanumbrite puhul. Liita, lahutada, korrutada, jagada.

Kõik need toimingud koos kümnend murrudega töötamine ei erine tööst täisarvudega. Tegelikult on see nende puhul hea, kümnendkohad. Ainus asi on see, et peate koma õigesti panema.

Seganumbrid, nagu ma juba ütlesin, on enamiku toimingute jaoks vähe kasu. Need tuleb veel teisendada tavalisteks murdudeks.

Aga toimingud koos tavalised murrud nad on kavalamad. Ja palju tähtsam! Lubage mul teile meelde tuletada: kõik toimingud, mis sisaldavad tähtedega, siinuste, tundmatute jne ja nii edasi murdavaldisi ja nii edasi, ei erine tavaliste murdudega toimingutest! Tehted tavaliste murdudega on kogu algebra aluseks. Just sel põhjusel analüüsime siin kogu seda aritmeetikat väga üksikasjalikult.

Murdude liitmine ja lahutamine.

Igaüks saab liita (lahutada) samade nimetajatega murde (ma väga loodan!). Noh, tuletan täiesti unustajatele meelde: liitmisel (lahutamisel) nimetaja ei muutu. Lugejad liidetakse (lahutatakse), et saada tulemuse lugeja. Tüüp:

Lühidalt, üldiselt:

Mis siis, kui nimetajad on erinevad? Seejärel murru põhiomadust kasutades (siin tuleb jälle kasuks!) muudame nimetajad samaks! Näiteks:

Siin tuli teha murdosast 2/5 murdosa 4/10. Ainsa eesmärgiga muuta nimetajad samaks. Märgin igaks juhuks, et 2/5 ja 4/10 on sama murdosa! Ainult 2/5 on meie jaoks ebamugavad ja 4/10 on tõesti okei.

Muide, see on kõigi matemaatikaülesannete lahendamise olemus. Kui me pärit ebamugav me teeme väljendeid sama asi, aga lahendamiseks mugavam.

Veel üks näide:

Olukord on sarnane. Siin teeme 16-st 48. Lihtsa korrutamise teel 3-ga. Kõik on selge. Kuid me leidsime midagi sellist:

Kuidas olla?! Seitsmest on raske üheksat teha! Aga me oleme targad, teame reegleid! Muutkem iga murdosa nii, et nimetajad oleksid samad. Seda nimetatakse "taandada ühisele nimetajale":

Vau! Kuidas ma 63-st teadsin? Väga lihtne! 63 on arv, mis jagub korraga 7 ja 9-ga. Sellise arvu saab alati nimetajaid korrutades. Kui me korrutame arvu näiteks 7-ga, jagub tulemus kindlasti 7-ga!

Kui on vaja liita (lahutada) mitu murru, pole seda vaja teha paarikaupa, samm-sammult. Peate lihtsalt leidma kõikidele murdudele ühise nimetaja ja vähendama iga murdosa samale nimetajale. Näiteks:

Ja mis saab ühiseks nimetajaks? Muidugi võite korrutada 2, 4, 8 ja 16. Saame 1024. Õudusunenägu. Lihtsam on hinnata, et arv 16 jagub ideaalselt 2, 4 ja 8-ga. Seetõttu on nende arvude põhjal lihtne saada 16. See arv on ühine nimetaja. Muudame 1/2 8/16-ks, 3/4 12/16-ks ja nii edasi.

Muide, kui võtta ühiseks nimetajaks 1024, saab kõik korda, lõpuks kõik väheneb. Kuid kõik ei jõua selleni, sest arvutused...

Täitke näide ise. Mitte mingi logaritm... Peaks olema 29/16.

Niisiis, murdude liitmine (lahutamine) on selge, ma loodan? Muidugi on lihtsam töötada lühendatud versioonis, lisakordajatega. Aga see rõõm on kättesaadav neile, kes töötasid ausalt madalamates klassides... Ja ei unustanud midagi.

Ja nüüd teeme samu toiminguid, kuid mitte murdudega, vaid koos murdosa avaldised. Siin avalikustatakse uus reha, jah...

Seega peame lisama kaks murdosa avaldist:

Peame muutma nimetajad samaks. Ja ainult abiga korrutamine! Seda määrab murdosa peamine omadus. Seetõttu ei saa ma nimetaja esimeses murrus X-le ühte lisada. (see oleks tore!). Aga kui nimetajad korrutada, siis näed, kõik kasvab kokku! Nii kirjutame üles murdosa rea, jätame ülaossa tühja ruumi, lisame selle ja kirjutame alla nimetajate korrutise, et mitte unustada:

Ja loomulikult ei korruta me paremal pool midagi, me ei ava sulgusid! Ja nüüd, vaadates parempoolset ühisnimetajat, saame aru: selleks, et saada nimetaja x(x+1) esimeses murrus, tuleb selle murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (x+1) . Ja teises murrus - kuni x. See on see, mida saate:

Märge! Siin on sulud! See on reha, mille otsa astuvad paljud. Muidugi mitte sulud, vaid nende puudumine. Sulud ilmuvad, sest me korrutame kõik lugeja ja kõik nimetaja! Ja mitte nende üksikud tükid...

Parema poole lugejasse kirjutame lugejate summa, kõik on nagu numbrimurdudes, seejärel avame parema külje lugejas sulud, st. Korrutame kõik ja anname sarnased. Pole vaja nimetajates sulgu avada ega midagi korrutada! Üldiselt on nimetajates (mis tahes) toode alati meeldivam! Saame:

Nii et saime vastuse. Protsess tundub pikk ja keeruline, kuid see sõltub praktikast. Kui olete näited lahendanud, harjuge, muutub kõik lihtsaks. Need, kes on murdude õigeks ajaks omandanud, teevad kõik need toimingud ühe vasaku käega automaatselt!

Ja veel üks märkus. Paljud tegelevad murdudega nutikalt, kuid takerduvad näidete juurde terve numbrid. Meeldib: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kuhu kaheosaline kinnitada? Seda pole vaja kuhugi kinnitada, vaid kahest tuleb teha murdosa. See pole lihtne, kuid väga lihtne! 2 = 2/1. Nagu nii. Suvalise täisarvu saab kirjutada murruna. Lugeja on arv ise, nimetaja on üks. 7 on 7/1, 3 on 3/1 ja nii edasi. Sama on tähtedega. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 jne. Ja siis töötame nende murdudega kõigi reeglite järgi.

Noh, teadmised murdude liitmisest ja lahutamisest said värskendust. Korrati murdude teisendamist ühest tüübist teise. Saate ka kontrollida. Kas lahendame selle natuke?)

Arvutama:

Vastused (segaduses):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Murdude korrutamine/jagamine – järgmises õppetükis. Samuti on ülesanded kõikide murdosadega tehte jaoks.

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Klass: 5

Tunni esitlus

Tagasi edasi

Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

süstematiseerida teadmisi harilike murdude kohta;
korrake samade nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegleid;
korrake erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reegleid.

Hariduslik:

arendada tähelepanu, kõnet, mälu, loogilist mõtlemist, iseseisvust.

Hariduslik:

kasvatada soovi eesmärki saavutada; enesekindlus, oskus töötada meeskonnas.

Tea: Sarnaste ja erineva nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglid.

Tunni tüüp: teadmiste üldistamise ja süstematiseerimise tund.

Varustus: ekraan, multimeedia, esitlus “Harvimurdude liitmine ja lahutamine” (lisa 1), hariliku murru mudel (joonis 1); vorm testiga, vastuste tabel (Joonis 2), emotikonid järelemõtlemiseks (Joonis 3), joonistatud jõulupuu (Joonis 4).

Ei.	Tunni etapp	Aeg	Lavaülesanded
1.	Aja organiseerimine.	3 min.	Valmistage õpilased tunniks ette.
2.	Teadmiste värskendamine. Kaetud materjali kordamine.	10 min.	Vaadake üle õiged ja ebaõiged murded, vähendades murde, viies murrud uue nimetaja juurde, tõstes esile kogu osa.
3.	Rakendage sarnaste nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise reegleid.	10 min.	Vaadake samade nimetajatega harilike murdude liitmist ja lahutamist.
4.	Kehalise kasvatuse minut.	3 min.	Leevendage lapse väsimust, pakkuge aktiivset puhkust ja suurendage õpilaste vaimset jõudlust.
5.	Erinevate nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise reeglite rakendamine.	13 min.	Vaadake üle erinevate nimetajatega harilike murdude liitmine ja lahutamine.
6.	Kodutöö.	2 minutit.	Kodutöö juhendamine.
7.	Tunni kokkuvõte.	4 min.	Summeerida. Hindamine. Peegeldus.

Tundide ajal

1). Aja organiseerimine.

- "Tavaliste murdude liitmine ja lahutamine."

Soovitatav on sõnastada tunni eesmärgid ja eesmärgid, arutelu käigus need sõnastatakse (õpetaja saab need tahvlile üles kirjutada).

2). Teadmiste värskendamine. Kaetud materjali kordamine. (Slaid nr 1).

a) Täna alustame õppetundi oksjoniga. Saadaval on ainult üks partii: "harilik fraktsioon" (pilt 1). Meenutagem, mida me tavaliste murdude kohta teame:

Lugeja;

Nimetaja;

Murdriba - jagamine;

Peal b jagame osadeks, võtame A sellised osad;

Õige;

Vale;

Valige kogu osa;

Vähendada;

Vähenda uue nimetajani;

Näited.

Kes viimasena harilikust murrust rääkis, saab hariliku murru mudeli.

b) Kinnitame oma teadmisi testi sooritades(vastuste vorm, ülesanne nr 1, slaid nr 2).

TEST

1. Leidke õige murd:

A); B) ; IN) .

2. Leidke vale murd:

A); B) ; IN) .

3. Vähendage murdosa:

A); B) ; IN) .

4. Vähendage murdosa nimetajaks 28:

A); B) ; IN) .

5. Valige kogu osa:

A); B) ; IN) .

Vastused kantakse tabelisse.

1 2 3 4 5

Kokkuvõte:

5 "+" märk 5,
4 "+" märk 4,
3 "+" märk 3.

3) Sarnaste nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise reeglite rakendamine.

Milliseid tavalisi murde saame lisada?

Sarnaste ja erineva nimetajatega murrud (slaid number 3).

Kordame samade nimetajatega murdude liitmist.

Kahe samade nimetajatega murru liitmiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja muutmata.

Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate minuendi lugejast lahutama minuendi lugeja ja jätma nimetaja muutmata.

Kinnitame teadmisi praktikas.

Õpilastel palutakse näited suuliselt arvutada ja vastused ülesande nr 2 vastuselehele kirja panna.

Vahetage märkmikke ja tehke vastastikust kontrolli.

Kokkuvõte:

9-8 "+" märk 5,
7-6 "+" märk 4,
5 "+" märk 3.

4). Kehalise kasvatuse minut.

5). Erinevate nimetajatega harilike murdude liitmise ja lahutamise reeglite rakendamine.

Lisasime samade nimetajatega murde. Mida tuleb teha erinevate nimetajatega harilike murdude liitmiseks?(slaid number 4).

Erinevate nimetajatega murdude liitmiseks ja lahutamiseks tuleb murded lisategurite leidmisega taandada ühise nimetajani. Tehke samade nimetajatega harilike murdude liitmine ja lahutamine.

Tunni sisu

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine

Murdude liitmist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lisamine
Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Esiteks õpime sarnase nimetajaga murdude liitmist. Siin on kõik lihtne. Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta. Näiteks liidame murrud ja . Lisage lugejad ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lisate pitsale pitsa, saate pizza:

Näide 2. Lisage fraktsioonid ja .

Vastuseks osutus vale murd. Kui ülesande lõpp saabub, on kombeks valedest murdudest lahti saada. Ebaõigest murdosast vabanemiseks peate valima kogu selle osa. Meie puhul on kogu osa kergesti eraldatav - kaks jagatud kahega võrdub ühega:

Seda näidet saab hõlpsasti mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kaheks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate ühe terve pitsa:

Näide 3. Lisage fraktsioonid ja .

Jällegi liidame lugejad kokku ja jätame nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lisate pitsale rohkem pitsat, saate pizza:

Näide 4. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Lugejad tuleb lisada ja nimetaja jätta muutmata:

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsad ja lisate rohkem pitsasid, saate 1 terve pitsa ja rohkem pitsasid.

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude liitmises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Sama nimetajaga murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta;

Erinevate nimetajatega murdude liitmine

Nüüd õpime, kuidas lisada erinevate nimetajatega murde. Murdude liitmisel peavad murdude nimetajad olema samad. Kuid need ei ole alati ühesugused.

Näiteks võib murde lisada, kuna neil on samad nimetajad.

Kuid murde ei saa kohe lisada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Murdude samale nimetajale taandamiseks on mitu võimalust. Täna vaatleme neist ainult ühte, kuna teised meetodid võivad algajale tunduda keerulised.

Selle meetodi olemus seisneb selles, et esmalt otsitakse mõlema murru nimetajate LCM-i. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga, et saada esimene lisategur. Nad teevad sama ka teise murdosaga – LCM jagatakse teise murdosa nimetajaga ja saadakse teine lisategur.

Seejärel korrutatakse murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusel muutuvad erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada.

Näide 1. Liidame kokku murrud ja

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate väikseima ühiskordse. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 2. Nende arvude vähim ühiskordne on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Nüüd pöördume tagasi murdude ja . Esiteks jagage LCM esimese murru nimetajaga ja hankige esimene lisategur. LCM on arv 6 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 6 3-ga, saame 2.

Saadud arv 2 on esimene lisakordaja. Kirjutame selle esimese murruni. Selleks tehke murru kohale väike kaldus joon ja kirjutage üles selle kohal leitud lisategur:

Teeme sama teise murdosaga. Jagame LCM-i teise murru nimetajaga ja saame teise lisateguri. LCM on arv 6 ja teise murdosa nimetaja on arv 2. Jagage 6 2-ga, saame 3.

Saadud arv 3 on teine lisakordaja. Kirjutame selle teise murruni. Jällegi teeme teise murru kohale väikese kaldus joone ja kirjutame üles selle kohal leitud lisateguri:

Nüüd on meil kõik lisamiseks valmis. Jääb üle korrutada murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

Vaadake hoolikalt, milleni oleme jõudnud. Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lisada. Toome selle näite lõpuni:

See lõpetab näite. Selgub, et lisada.

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lisate pitsale pitsa, saate ühe terve pitsa ja veel kuuendiku pitsast:

Murdude taandamist samale (ühis)nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Vähendades murde ja ühise nimetaja, saime murrud ja . Neid kahte fraktsiooni esindavad samad pitsatükid. Ainus erinevus seisneb selles, et seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale).

Esimene joonis kujutab murdosa (neli tükki kuuest) ja teine joonis kujutab murdosa (kolm tükki kuuest). Lisades need tükid saame (seitse tükki kuuest). See murd on vale, seetõttu tõstsime esile kogu selle osa. Tulemuseks saime (ühe terve pitsa ja teise kuuenda pitsa).

Pange tähele, et oleme seda näidet liiga üksikasjalikult kirjeldanud. Haridusasutustes pole kombeks nii detailselt kirjutada. Peate suutma kiiresti leida mõlema nimetaja ja nende lisategurite LCM-i, samuti kiiresti korrutama leitud lisategurid lugejate ja nimetajatega. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite kirjutama järgmiselt:

Kuid mündil on ka teine pool. Kui te matemaatika õppimise esimestel etappidel üksikasjalikke märkmeid ei tee, hakkavad ilmnema omalaadsed küsimused. “Kust see arv tuleb?”, “Miks muutuvad murrud järsku täiesti erinevateks murdudeks? «.

Erinevate nimetajatega murdude lisamise hõlbustamiseks võite kasutada järgmisi samm-sammulisi juhiseid.

Leia murdude nimetajate LCM;
Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur;
Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega;
Lisa murrud, millel on samad nimetajad;
Kui vastus osutub valeks murruks, valige selle kogu osa;

Näide 2. Leidke avaldise väärtus .

Kasutame ülaltoodud juhiseid.

Samm 1. Leidke murdude nimetajate LCM

Leidke mõlema murru nimetajate LCM. Murdude nimetajad on numbrid 2, 3 ja 4

2. samm. Jagage LCM iga murdosa nimetajaga ja hankige iga murdosa jaoks lisategur

Jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 2. Jagage 12 2-ga, saame 6. Saime esimese lisateguri 6. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Saame teise lisateguri 4. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd jagame LCM-i kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja kolmanda murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Saame kolmanda lisateguri 3. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Etapp 3. Korrutage murdude lugejad ja nimetajad nende lisateguritega

Korrutame lugejad ja nimetajad nende lisateguritega:

4. samm. Lisage samade nimetajatega murded

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Jääb vaid need murded lisada. Lisage see:

Lisand ei mahtunud ühele reale, nii et teisaldasime ülejäänud avaldise järgmisele reale. See on matemaatikas lubatud. Kui avaldis ühele reale ei mahu, liigutatakse see järgmisele reale ning esimese rea lõppu ja uue rea algusesse on vaja panna võrdusmärk (=). Võrdsusmärk teisel real näitab, et see on esimesel real olnud avaldise jätk.

5. samm. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, siis valige kogu selle osa

Meie vastus osutus valeks murdarvuks. Peame esile tõstma terve osa sellest. Toome esile:

Saime vastuse

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine

Murdude lahutamist on kahte tüüpi:

Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine
Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Esiteks õpime, kuidas lahutada murde sarnaste nimetajatega. Siin on kõik lihtne. Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja, kuid jätma nimetaja samaks.

Näiteks leiame avaldise väärtuse. Selle näite lahendamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata. Teeme ära:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutada pitsat, mis on jagatud neljaks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus.

Jällegi lahutage esimese murru lugejast teise murru lugeja ja jätke nimetaja muutmata:

Seda näidet on lihtne mõista, kui meenutame pitsat, mis on jagatud kolmeks osaks. Kui lõikad pitsast pitsad, saad pitsad:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

See näide on lahendatud täpselt samamoodi nagu eelmised. Esimese murru lugejast tuleb lahutada ülejäänud murdude lugejad:

Nagu näete, pole samade nimetajatega murdude lahutamises midagi keerulist. Piisab, kui mõistad järgmisi reegleid:

Ühest murrust teise lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise murru lugeja ja jätma nimetaja muutmata;
Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Erinevate nimetajatega murdude lahutamine

Näiteks võite murdosast lahutada murdosa, kuna murdudel on samad nimetajad. Kuid te ei saa murdosast murda lahutada, kuna neil murdudel on erinevad nimetajad. Sellistel juhtudel tuleb murded taandada sama (ühise) nimetajani.

Ühine nimetaja leitakse samal põhimõttel, mida kasutasime erinevate nimetajatega murdude liitmisel. Kõigepealt leidke mõlema murru nimetajate LCM. Seejärel jagatakse LCM esimese murru nimetajaga ja saadakse esimene lisategur, mis kirjutatakse esimese murru kohale. Samamoodi jagatakse LCM teise murru nimetajaga ja saadakse teine lisategur, mis kirjutatakse teise murru kohale.

Seejärel korrutatakse fraktsioonid nende lisateguritega. Nende toimingute tulemusena teisendatakse erineva nimetajaga murrud samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada.

Näide 1. Leidke väljendi tähendus:

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, seega peate need taandama samale (ühise) nimetajale.

Kõigepealt leiame mõlema murru nimetajate LCM-i. Esimese murru nimetaja on arv 3 ja teise murru nimetaja on arv 4. Nende arvude vähim ühiskordne on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nüüd pöördume tagasi murdude ja

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. Selleks jagage LCM esimese murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja esimese murru nimetaja on arv 3. Jagage 12 3-ga, saame 4. Kirjutage esimese murru kohale neli:

Teeme sama teise murdosaga. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 12 ja teise murru nimetaja on arv 4. Jagage 12 4-ga, saame 3. Kirjutage teise murru kohale kolm:

Nüüd oleme lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Toome selle näite lõpuni:

Saime vastuse

Proovime oma lahendust joonise abil kujutada. Kui lõikad pitsast pitsa, saad pizza

See on lahenduse üksikasjalik versioon. Kui oleksime koolis, peaksime selle näite lühemalt lahendama. Selline lahendus näeks välja järgmine:

Murdude taandamist ühisele nimetajale saab kujutada ka pildi abil. Nende murdude taandamisel ühiseks nimetajaks saime murrud ja . Neid murde esindavad samad pitsaviilud, kuid seekord jagatakse need võrdseteks osadeks (vähendatud samale nimetajale):

Esimesel pildil on murdosa (kaheksa tükki kaheteistkümnest) ja teisel pildil murdosa (kolm tükki kaheteistkümnest). Lõikates kaheksast tükist kolm tükki, saame kaheteistkümnest viis tükki. Murd kirjeldab neid viit tükki.

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Nendel murdudel on erinevad nimetajad, nii et kõigepealt peate need taandama samale (ühisnimetajale).

Leiame nende murdude nimetajate LCM.

Murdude nimetajateks on arvud 10, 3 ja 5. Nende arvude vähim ühiskordne on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nüüd leiame iga murdosa jaoks täiendavaid tegureid. Selleks jagage LCM iga murdosa nimetajaga.

Leiame esimese murru jaoks lisateguri. LCM on arv 30 ja esimese murru nimetaja on arv 10. Jagage 30 10-ga, saame esimese lisateguri 3. Kirjutame selle esimese murru kohale:

Nüüd leiame teise murru jaoks lisateguri. Jagage LCM teise murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja teise murru nimetaja on arv 3. Jagage 30 3-ga, saame teise lisateguri 10. Kirjutame selle teise murru kohale:

Nüüd leiame kolmanda murru jaoks lisateguri. Jagage LCM kolmanda murru nimetajaga. LCM on arv 30 ja kolmanda murru nimetaja on arv 5. Jagage 30 5-ga, saame kolmanda lisateguri 6. Kirjutame selle kolmanda murru kohale:

Nüüd on kõik lahutamiseks valmis. Jääb üle korrutada fraktsioonid nende lisateguritega:

Jõudsime järeldusele, et erineva nimetajaga murrud muutusid samade (ühiste) nimetajatega murdudeks. Ja me juba teame, kuidas selliseid murde lahutada. Lõpetame selle näite.

Näite jätk ei mahu ühele reale, seega liigume jätku järgmisele reale. Ärge unustage uuel real võrdusmärki (=):

Vastuseks osutus tavaline murd ja kõik tundub meile sobivat, kuid see on liiga tülikas ja kole. Peaksime selle lihtsamaks tegema. Mida saaks teha? Saate seda murdosa lühendada.

Murru vähendamiseks peate jagama selle lugeja ja nimetaja (GCD) arvudest 20 ja 30.

Niisiis, leiame numbrite 20 ja 30 gcd:

Nüüd pöördume tagasi oma näite juurde ja jagame murru lugeja ja nimetaja leitud gcd-ga, see tähendab 10-ga

Saime vastuse

Murru korrutamine arvuga

Murru korrutamiseks arvuga peate korrutama murdosa lugeja selle arvuga ja jätma nimetaja muutmata.

Näide 1. Korrutage murdarvuga 1.

Korrutage murdosa lugeja arvuga 1

Salvestusest võib aru saada, et võtab pool 1 korda. Näiteks kui võtad pizza üks kord, saad pizza

Korrutamise seadustest teame, et kui korrutis ja tegur vahetada, siis korrutis ei muutu. Kui avaldis on kirjutatud kujul , on korrutis ikkagi võrdne . Jällegi töötab täisarvu ja murdarvu korrutamise reegel:

Seda tähistust võib mõista nii, et see võtab poole ühest. Näiteks kui on 1 terve pitsa ja me võtame sellest poole, siis saame pitsa:

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage murdosa lugeja 4-ga

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Väljendit võib mõista nii, et see võtab kaks veerandit 4 korda. Näiteks kui võtad 4 pitsat, saad kaks tervet pitsat

Ja kui vahetame kordaja ja kordaja, saame avaldise . See on samuti võrdne 2-ga. Seda väljendit võib mõista nii, et neljast tervest pitsast võetakse kaks pitsat:

Murruga korrutatav arv ja murdosa nimetaja lahendatakse, kui nende ühistegur on suurem kui üks.

Näiteks saab avaldist hinnata kahel viisil.

Esimene viis. Korrutage arv 4 murru lugejaga ja jätke murdosa nimetaja muutmata:

Teine viis. Korrutatavat nelja ja murdosa nimetajas olevat nelja saab vähendada. Neid neljasid saab vähendada 4 võrra, kuna kahe nelja suurim ühine jagaja on neli ise:

Saime sama tulemuse 3. Peale neljade vähendamist moodustuvad nende asemele uued numbrid: kaks ühte. Kuid ühe kolmega korrutamine ja seejärel ühega jagamine ei muuda midagi. Seetõttu võib lahenduse kirjutada lühidalt:

Vähendamist saab teha isegi siis, kui otsustasime kasutada esimest meetodit, kuid arvu 4 ja lugeja 3 korrutamise etapis otsustasime kasutada taandust:

Kuid näiteks avaldist saab arvutada ainult esimesel viisil - korrutage 7 murdosa nimetajaga ja jätke nimetaja muutmata:

See on tingitud asjaolust, et arvul 7 ja murdosa nimetajal ei ole ühest suuremat ühist jagajat ja need ei tühista.

Mõned õpilased lühendavad ekslikult korrutatavat arvu ja murru lugejat. Sa ei saa seda teha. Näiteks järgmine kirje pole õige:

Murru vähendamine tähendab seda nii lugeja kui ka nimetaja jagatakse sama arvuga. Avaldise olukorras toimub jagamine ainult lugejas, kuna selle kirjutamine on sama, mis kirjutamine . Näeme, et jagamine toimub ainult lugejas ja nimetajas jagamist ei toimu.

Murdude korrutamine

Murdude korrutamiseks peate korrutama nende lugejad ja nimetajad. Kui vastus osutub valeks murdarvuks, peate esile tõstma kogu selle osa.

Näide 1. Leidke avaldise väärtus.

Saime vastuse. Soovitav on seda osa vähendada. Fraktsiooni saab vähendada 2 võrra. Seejärel saab lõpplahus järgmise kuju:

Väljendit võib mõista kui pizza võtmist poole pitsa pealt. Oletame, et meil on pool pitsat:

Kuidas sellest poolest kaks kolmandikku võtta? Kõigepealt peate selle poole jagama kolmeks võrdseks osaks:

Ja võtke nendest kolmest tükist kaks:

Teeme pitsat. Pidage meeles, kuidas pitsa kolmeks osaks jagatuna välja näeb:

Üks tükk sellest pitsast ja kahel meie võetud tükil on samad mõõtmed:

Teisisõnu, me räägime sama suurusega pitsast. Seetõttu on avaldise väärtus

Näide 2. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastus oli vale murd. Toome esile kogu selle osa:

Näide 3. Leidke avaldise väärtus

Korrutage esimese murru lugeja teise murru lugejaga ja esimese murru nimetaja teise murru nimetajaga:

Vastuseks osutus tavaline murd, aga hea oleks, kui seda lühendaks. Selle murdosa vähendamiseks peate jagama selle murru lugeja ja nimetaja arvude 105 ja 450 suurima ühisjagajaga (GCD).

Niisiis, leiame numbrite 105 ja 450 gcd:

Nüüd jagame oma vastuse lugeja ja nimetaja nüüd leitud gcd-ga, see tähendab 15-ga

Täisarvu esitamine murruna

Mis tahes täisarvu saab esitada murdarvuna. Näiteks numbrit 5 saab esitada kui . See ei muuda viie tähendust, kuna väljend tähendab "arvu viis jagatud ühega" ja see, nagu me teame, võrdub viiega:

Vastastikused numbrid

Nüüd tutvume väga huvitava matemaatika teemaga. Seda nimetatakse "tagurpidi numbriteks".

Definitsioon. Tagurpidi numbrilea on arv, mis korrutatunaa annab ühe.

Asendame selles definitsioonis muutuja asemel a number 5 ja proovige definitsiooni lugeda:

Tagurpidi numbrile 5 on arv, mis korrutatuna 5 annab ühe.

Kas on võimalik leida arvu, mis 5-ga korrutades annab ühe? Selgub, et see on võimalik. Kujutagem ette viit murdosana:

Seejärel korrutage see murdosa iseendaga, vahetage lihtsalt lugeja ja nimetaja. Teisisõnu, korrutame murdosa iseendaga, ainult tagurpidi:

Mis selle tulemusena saab? Kui jätkame selle näite lahendamist, saame ühe:

See tähendab, et arvu 5 pöördväärtus on arv , sest kui korrutate 5-ga, saate ühe.

Arvu pöördarvu võib leida ka mis tahes muu täisarvu kohta.

Samuti saate leida mis tahes muu murru pöördarvu. Selleks keerake see lihtsalt ümber.

Murru jagamine arvuga

Oletame, et meil on pool pitsat:

Jagame selle kahe vahel võrdselt. Kui palju pitsat iga inimene saab?

Näha on, et peale poole pitsa jagamist saadi kaks võrdset tükki, millest igaüks moodustab pitsa. Nii et igaüks saab pitsa.

Selles õppetükis käsitletakse sarnaste nimetajatega algebraliste murdude liitmist ja lahutamist. Teame juba, kuidas sarnaste nimetajatega harilikke murde liita ja lahutada. Selgub, et algebralised murrud järgivad samu reegleid. Sarnaste nimetajatega murdudega töötamise õppimine on algebraliste murdudega töötamise õppimise üks nurgakive. Eelkõige muudab selle teema mõistmine lihtsaks keerukama teema valdamise – erinevate nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise. Tunni raames uurime sarnaste nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegleid ning analüüsime ka mitmeid tüüpilisi näiteid

Sarnaste nimetajatega algebraliste murdude liitmise ja lahutamise reegel

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fraktsioonid üks-teile -mi know-me-na-te-la-mi (see langeb kokku tavaliste löökide analoogse reegliga): see on al-geb-ra-i-che-skih murdude liitmiseks või arvutamiseks üks-teile. know-me-on-the-la-mi vaja -ho-di-mo-koostada vastav al-geb-ra-i-che-sum numbrid ja sign-me-na-tel lahkuda ilma.

Mõistame seda reeglit nii tavalise ven-draw näite kui ka al-geb-ra-i-che-draws.hiti näite puhul.

Näited reegli rakendamisest harilike murdude puhul

Näide 1. Murdude lisamine: .

Lahendus

Lisame murdude arvu ja jätame märgi samaks. Pärast seda lahutame arvu ja logime lihtsateks kordadeks ja kombinatsioonideks. Saame aru: .

Märkus: standardviga, mis on sarnast tüüpi näidete lahendamisel lubatud -klu-cha-et-sya jaoks järgmises võimalikus lahenduses: . See on jäme viga, kuna märk jääb samaks, mis oli algsetes murdudes.

Näide 2. Murdude lisamine: .

Lahendus

See ei erine kuidagi eelmisest: .

Näited algebraliste murdude reegli rakendamisest

Tavalistest dro-biitidest liigume al-geb-ra-i-che-skimi peale.

Näide 3. Murdude lisamine: .

Lahendus: nagu juba eespool mainitud, ei erine al-geb-ra-i-che-fraktsioonide koosseis mitte kuidagi sõnast, mis on sama, mis tavalistel löömingutel. Seetõttu on lahendusmeetod sama: .

Näide 4. Olete murdosa: .

Lahendus

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih murdude liitmisest ainult selle tõttu, et arvus pi-sy-va-et-sya kasutatud murdude arvu erinevus. Sellepärast .

Näide 5. Olete murdosa: .

Lahendus:.

Näide 6. Lihtsusta: .

Lahendus:.

Näited reegli rakendamisest, millele järgneb redutseerimine

Murrus, millel on liitmise või arvutamise tulemusel sama tähendus, on kombinatsioonid võimalikud nia. Lisaks ei tohiks unustada al-geb-ra-i-che-skih murdude ODZ-d.

Näide 7. Lihtsusta: .

Lahendus:.

Kus . Üldiselt, kui algsete murdude ODZ kattub kogusumma ODZ-ga, siis võib selle ära jätta (lõppude lõpuks, murdosa on vastuses, ei eksisteeri ka vastavate oluliste muudatustega). Kuid kui kasutatud murdude ODZ ja vastus ei ühti, tuleb ODZ märkida.

Näide 8. Lihtsusta: .

Lahendus:. Samal ajal y (algmurdude ODZ ei lange kokku tulemuse ODZ-ga).

Erinevate nimetajatega murdude liitmine ja lahutamine

Erinevate know-me-on-the-la-mi-ga al-geb-ra-i-che-murdude lisamiseks ja lugemiseks teeme ana-lo -giyu tavaliste-ven-ny murdudega ja edastame selle al-geb-i -ra-i-che-murrud.

Vaatame tavaliste murdude lihtsaimat näidet.

Näide 1. Murdude lisamine: .

Lahendus:

Pidagem meeles murdude liitmise reegleid. Murruga alustamiseks on vaja see viia ühise märgini. Tavamurrude üldmärgi rollis tegutsed sa vähim ühiskordne(NOK) esialgsed märgid.

Definitsioon

Väikseim arv, mis jaguneb samal ajal numbriteks ja.

NOC leidmiseks peate jaotama teadmised lihtsateks kogumiteks ja seejärel valima kõik, mida on palju, mis sisalduvad mõlema märgi jaotuses.

; . Siis peab arvude LCM sisaldama kahte kahte ja kahte kolme: .

Pärast üldteadmiste leidmist on vaja igal murdel leida täielik paljususe elanik (tegelikult valada ühismärk vastava murru märgile).

Seejärel korrutatakse iga murd pooltäisteguriga. Võtame mõned murrud samadest, mida sa tead, liidame need kokku ja loeme ette.-õpitud eelmistes tundides.

Sööme: .

Vastus:.

Vaatame nüüd erinevate märkidega al-geb-ra-i-che-murdude koostist. Nüüd vaatame murde ja vaatame, kas seal on numbreid.

Erinevate nimetajatega algebraliste murdude liitmine ja lahutamine

Näide 2. Murdude lisamine: .

Lahendus:

Al-go-rütm otsusest ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen eelmisele näitele. Lihtne on võtta antud murdude ühismärk: ja igaühe jaoks lisakordajad.

Vastus:.

Niisiis, vormime al-go-liitmise rütm ja al-geb-ra-i-che-skih erinevate tunnustega murdude arvutamine:

1. Leia murru väikseim ühine märk.

2. Leia igale murrule lisakordajad (tõepoolest, märgi ühismärk on antud -th murd).

3. Kuni mitu numbrit vastavatel kuni täiskordistel.

4. Murdude liitmine või arvutamine, kasutades samade teadmistega liitmise ja murdude arvutamise reegleid -me-na-te-la-mi.

Vaatame nüüd näidet murdudega, mille märgis on tähed te -nia.