Ableitungstheorie. Lesen des Ableitungsgraphen

B8. Einheitliches Staatsexamen

1. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt mit der Abszisse x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: 2

Antwort: -5

Im Intervall (–9;4).

Antwort:2

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0 Antwort: 0,5

5. Finden Sie den Tangentialpunkt der Geraden y = 3x + 8 und den Graphen der Funktion y = x3+x2-5x-4. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse dieses Punktes an. Antwort: -2

Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Werte des Arguments, für die die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist. Antwort: 4

Antwort: 2

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Geraden y=5–x verläuft oder mit dieser zusammenfällt. Antwort: 3

Intervall (-8; 3).

Gerade y = -20. Antwort: 2

10.

Antwort: -0,5

Antwort 1

12. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: 0,5

13. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: -0,25

14.

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Geraden y = x+7 verläuft oder mit dieser zusammenfällt. Antwort: 4

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0. Antwort: -2

16.

Intervall (-14;9).

Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-12;7]. Antwort: 3

auf dem Intervall (-10;8).

Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-9;7]. Antwort: 4

18. Die Linie y = 5x-7 berührt den Graphen der Funktion y = 6x2 + bx-1 an einem Punkt mit einer Abszisse kleiner als 0. Finden Sie b. Antwort: 17

Antwort:-0,25

Antwort: 6

21. Finden Sie die Tangente an den Graphen der Funktion y=x2+6x-7, parallel zur Geraden y=5x+11. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse des Tangentialpunktes an. Antwort: -0,5

22.

Antwort: 4

23. F "(x) im Intervall (-16;4).

Ermitteln Sie auf dem Segment [-11;0] die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion. Antwort: 1

B8 Graphen von Funktionen, Ableitungen von Funktionen. Funktionsforschung . Einheitliches Staatsexamen

1. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt mit der Abszisse x0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

2. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-6; 5).

An welchem Punkt des Segments [-5; -1] f(x) nimmt den kleinsten Wert an?

3. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion y = f(x), definiert

Im Intervall (–9;4).

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Geraden verläuft

y = 2x-17 oder stimmt damit überein.

4. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0

5. Finden Sie den Tangentialpunkt der Geraden y = 3x + 8 und den Graphen der Funktion y = x3+x2-5x-4. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse dieses Punktes an.

6. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x), definiert im Intervall (-7; 5).

Bestimmen Sie die Anzahl der ganzzahligen Werte des Arguments, für die die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist.

7. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f "(x), definiert im Intervall (-8; 8).

Finden Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x), die zum Segment [-4; 6].

8. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f "(x), definiert im Intervall (-8; 4).

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Geraden y=5–x verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

9. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion y = f(x), definiert am

Intervall (-8; 3).

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel ist

Gerade y = -20.

10. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

11 . Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-9;9).

Finden Sie die Anzahl der minimalen Punkte der Funktion $f(x)$ im Intervall [-6;8]. 1

12. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

13. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

14. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-6;8).

Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) parallel zur Geraden y = x+7 verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

15 . Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y = f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

16. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert am

Intervall (-14;9).

Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-12;7].

17 . Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert

auf dem Intervall (-10;8).

Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion f(x) auf dem Segment [-9;7].

18. Die Linie y = 5x-7 berührt den Graphen der Funktion y = 6x2 + bx-1 an einem Punkt mit einer Abszisse kleiner als 0. Finden Sie b.

19 . Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x) und der Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x0.

Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x0.

20 . Finden Sie die Anzahl der Punkte im Intervall (-1;12), an denen die Ableitung der im Diagramm dargestellten Funktion y = f(x) gleich 0 ist.

21. Finden Sie die Tangente an den Graphen der Funktion y=x2+6x-7, parallel zur Geraden y=5x+11. Geben Sie in Ihrer Antwort die Abszisse des Tangentialpunktes an.

22. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x). Finden Sie die Anzahl der ganzzahligen Punkte im Intervall (-2;11), bei denen die Ableitung der Funktion f(x) positiv ist.

23. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y= F "(x) im Intervall (-16;4).

Ermitteln Sie auf dem Segment [-11;0] die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion.

Guten Tag! Bewältigen wir das bevorstehende Einheitliche Staatsexamen mit einer qualitativ hochwertigen, systematischen Vorbereitung und der Beharrlichkeit, den Granit der Wissenschaft zu schleifen!!! INAm Ende des Beitrags gibt es eine Wettbewerbsaufgabe: Seien Sie der Erste! In einem der Artikel in diesem Abschnitt „Du und ich“, in dem ein Diagramm der Funktion dargestellt und verschiedene Fragen zu Extrema, Anstiegs- (Abnahmeintervallen) und anderen aufgeworfen wurden.

In diesem Artikel betrachten wir die Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik, in dem ein Diagramm der Ableitung einer Funktion angegeben und die folgenden Fragen gestellt werden:

1. An welchem Punkt eines bestimmten Segments nimmt die Funktion den größten (oder kleinsten) Wert an?
2. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen (oder minimalen) Punkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.
3. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion, die zu einem bestimmten Segment gehören.
4. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion, die zum gegebenen Segment gehört.
5. Finden Sie die Intervalle der steigenden (oder fallenden) Funktion und geben Sie in der Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.
6. Finden Sie die Intervalle der Zunahme (oder Abnahme) der Funktion. Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten dieser Intervalle an.
7. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu einer Geraden der Form y = kx + b verläuft oder mit dieser zusammenfällt.
8. Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Abszissenachse verläuft oder mit dieser zusammenfällt.

Möglicherweise gibt es noch weitere Fragen, aber diese werden Ihnen keine Schwierigkeiten bereiten, wenn Sie sie verstehen und (es werden Links zu Artikeln bereitgestellt, die die für die Lösung notwendigen Informationen liefern, ich empfehle, sie zu wiederholen).

Grundlegende Informationen (kurz):

1. Die Ableitung in zunehmenden Abständen hat ein positives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.

2. In abnehmenden Abständen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen.

Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.

3. Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente, die am selben Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

4. An den Extrempunkten (Maximum-Minimum) der Funktion ist die Ableitung gleich Null. Die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft an diesem Punkt parallel zur x-Achse.

Dies muss klar verstanden und beachtet werden!!!

Der Ableitungsgraph „verwirrt“ viele Menschen. Manche Leute verwechseln es versehentlich mit dem Graphen der Funktion selbst. Deshalb richten Sie in solchen Gebäuden, in denen Sie sehen, dass ein Graph gegeben ist, Ihre Aufmerksamkeit in der Bedingung sofort auf das, was gegeben ist: den Graphen der Funktion oder den Graphen der Ableitung der Funktion?

Wenn es sich um einen Graphen der Ableitung einer Funktion handelt, dann betrachten Sie ihn als „Spiegelbild“ der Funktion selbst, die Ihnen lediglich Informationen über diese Funktion liefert.

Betrachten Sie die Aufgabe:

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–2;21).

Wir beantworten folgende Fragen:

1. An welchem Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den größten Wert ein.

In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung einer Funktion negativ, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall abnimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts ab). Somit wird der größte Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also bei Punkt 7.

Antwort: 7

2. An welchem Punkt des Segments befindet sich die Funktion? F(X)

Aus diesem Ableitungsgraphen können wir Folgendes sagen. In einem bestimmten Intervall ist die Ableitung der Funktion positiv, was bedeutet, dass die Funktion in diesem Intervall zunimmt (sie nimmt von der linken Grenze des Intervalls nach rechts zu). Somit wird der kleinste Wert der Funktion am linken Rand des Segments erreicht, also am Punkt x = 3.

Antwort: 3

3. Ermitteln Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion F(X)

Die maximalen Punkte entsprechen den Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von positiv nach negativ ändert. Betrachten wir, wo sich das Vorzeichen auf diese Weise ändert.

Auf der Strecke (3;6) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (6;16) negativ.

Auf der Strecke (16;18) ist die Ableitung positiv, auf der Strecke (18;20) negativ.

Somit hat die Funktion auf einem gegebenen Segment zwei Maximalpunkte x = 6 und x = 18.

Antwort: 2

4. Ermitteln Sie die Anzahl der Mindestpunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Minimale Punkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung von negativ nach positiv ändert. Unsere Ableitung ist im Intervall (0;3) negativ und im Intervall (3;4) positiv.

Somit hat die Funktion auf dem Segment nur einen Minimalpunkt x = 3.

*Seien Sie beim Aufschreiben der Antwort vorsichtig – es wird die Anzahl der Punkte notiert, nicht der x-Wert; ein solcher Fehler kann durch Unaufmerksamkeit passieren.

Antwort 1

5. Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Bitte beachten Sie, was Sie finden müssen Menge Extrempunkte (dies sind sowohl Maximal- als auch Minimalpunkte).

Extremumpunkte entsprechen Punkten, an denen sich das Vorzeichen der Ableitung ändert (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Im in der Bedingung angegebenen Graphen sind dies die Nullstellen der Funktion. Die Ableitung verschwindet an den Punkten 3, 6, 16, 18.

Somit hat die Funktion 4 Extrempunkte auf dem Segment.

Antwort: 4

6. Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X)

Anstiegsintervalle dieser Funktion F(X) entsprechen den Intervallen, in denen seine Ableitung positiv ist, also den Intervallen (3;6) und (16;18). Bitte beachten Sie, dass die Grenzen des Intervalls darin nicht enthalten sind (runde Klammern - Grenzen sind nicht im Intervall enthalten, eckige Klammern - enthalten). Diese Intervalle enthalten die ganzzahligen Punkte 4, 5, 17. Ihre Summe ist: 4 + 5 + 17 = 26

Antwort: 26

7. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall. Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. In dieser Aufgabe sind dies die Intervalle (–2;3), (6;16), (18:21).

Diese Intervalle enthalten die folgenden ganzzahligen Punkte: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ihre Summe ist:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Antwort: 140

*Achten Sie auf die Bedingung: ob die Grenzen im Intervall enthalten sind oder nicht. Sind Grenzen enthalten, so müssen in den im Lösungsprozess betrachteten Intervallen auch diese Grenzen berücksichtigt werden.

8. Finden Sie die Intervalle der steigenden Funktion F(X)

Intervalle zunehmender Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion positiv ist. Wir haben sie bereits angedeutet: (3;6) und (16:18). Das größte davon ist das Intervall (3;6), seine Länge beträgt 3.

Antwort: 3

9. Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

Abnehmende Intervalle einer Funktion F(X) entsprechen Intervallen, in denen die Ableitung der Funktion negativ ist. Wir haben sie bereits angegeben; das sind die Intervalle (–2;3), (6;16), (18;21), ihre Längen betragen jeweils 5, 10, 3.

Die Länge des größten beträgt 10.

Antwort: 10

10. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft F(X) parallel zur Geraden y = 2x + 3 oder fällt mit dieser zusammen.

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur Geraden y = 2x + 3 verläuft oder mit dieser zusammenfällt, sind ihre Winkelkoeffizienten gleich 2. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Punkte ermittelt werden muss, an denen y′(x 0) = 2 ist. Geometrisch entspricht dies der Anzahl der Schnittpunkte des Ableitungsgraphen mit der Geraden y = 2. Auf diesem Intervall gibt es 4 solcher Punkte.

Antwort: 4

11. Finden Sie den Extrempunkt der Funktion F(X), zum Segment gehörend.

Der Extrempunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem ihre Ableitung gleich Null ist, und in der Nähe dieses Punktes ändert die Ableitung das Vorzeichen (von positiv zu negativ oder umgekehrt). Auf dem Segment schneidet der Ableitungsgraph die x-Achse, die Ableitung ändert das Vorzeichen von negativ nach positiv. Daher ist der Punkt x = 3 ein Extrempunkt.

Antwort: 3

12. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Tangenten an den Graphen y = f (x) parallel zur Abszissenachse verlaufen oder mit dieser zusammenfallen. Geben Sie in Ihrer Antwort den größten davon an.

Die Tangente an den Graphen y = f (x) kann parallel zur Abszissenachse sein oder mit dieser zusammenfallen, nur an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist (dies können Extrempunkte oder stationäre Punkte sein, in deren Nähe die Ableitung dies tut). sein Vorzeichen nicht ändern). Diese Grafik zeigt, dass die Ableitung an den Punkten 3, 6, 16,18 Null ist. Der größte ist 18.

Sie können Ihre Argumentation folgendermaßen strukturieren:

Der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt ist gleich der Steigung der Tangente. Da die Tangente parallel zur x-Achse verläuft oder mit dieser zusammenfällt, ist ihre Steigung 0 (tatsächlich ist die Tangente eines Winkels von null Grad null). Daher suchen wir nach dem Punkt, an dem die Steigung gleich Null ist und daher die Ableitung gleich Null ist. Die Ableitung ist an dem Punkt gleich Null, an dem ihr Graph die x-Achse schneidet, und das sind die Punkte 3, 6, 16,18.

Antwort: 18

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–8;4). An welcher Stelle des Segments [–7;–3] befindet sich die Funktion? F(X) nimmt den kleinsten Wert an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;14). Ermitteln Sie die maximale Punktzahl der Funktion F(X), gehört zum Segment [–6;9].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–18;6). Finden Sie die Anzahl der minimalen Punkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–13;1].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11; –11). Ermitteln Sie die Anzahl der Extrempunkte der Funktion F(X), gehört zum Segment [–10; -10].

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–7;4). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–5;7). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Summe der in diesen Intervallen enthaltenen ganzzahligen Punkte an.

Die Abbildung zeigt eine Grafik y =F'(X)- Ableitung einer Funktion F(X), definiert im Intervall (–11;3). Finden Sie die Intervalle der zunehmenden Funktion F(X). Geben Sie in Ihrer Antwort die Länge des größten davon an.

F Die Abbildung zeigt eine Grafik

Die Bedingungen des Problems sind die gleichen (die wir berücksichtigt haben). Finden Sie die Summe von drei Zahlen:

1. Die Summe der Quadrate der Extrema der Funktion f (x).

2. Die Differenz zwischen den Quadraten der Summe der Maximalpunkte und der Summe der Minimalpunkte der Funktion f (x).

3. Die Anzahl der Tangenten an f (x) parallel zur Geraden y = –3x + 5.

Der erste, der die richtige Antwort gibt, erhält einen Anreizpreis in Höhe von 150 Rubel. Schreiben Sie Ihre Antworten in die Kommentare. Wenn dies Ihr erster Kommentar im Blog ist, erscheint er nicht sofort, sondern etwas später (keine Sorge, der Zeitpunkt, zu dem der Kommentar geschrieben wurde, wird erfasst).

Viel Glück!

Herzliche Grüße, Alexander Krutitsikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall [–5; 6]. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte auf dem Graphen von f(x), an denen jeweils die an den Graphen der Funktion gezogene Tangente mit der x-Achse zusammenfällt oder parallel zu dieser verläuft

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der differenzierbaren Funktion y = f(x).

Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Funktionsgraphen, die zum Segment [–7; 7], bei dem die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zu der durch die Gleichung y = –3x angegebenen Geraden verläuft.

Der Materialpunkt M beginnt sich von Punkt A aus zu bewegen und bewegt sich 12 Sekunden lang in einer geraden Linie. Die Grafik zeigt, wie sich der Abstand von Punkt A zu Punkt M im Laufe der Zeit verändert hat. Die Abszissenachse zeigt die Zeit t in Sekunden und die Ordinatenachse zeigt die Entfernung s in Metern. Bestimmen Sie, wie oft während der Bewegung die Geschwindigkeit des Punktes M auf Null ging (berücksichtigen Sie dabei nicht den Anfang und das Ende der Bewegung).

Die Abbildung zeigt Abschnitte des Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x = 0. Es ist bekannt, dass diese Tangente parallel zur Geraden verläuft, die durch die Punkte des Graphen verläuft mit der Abszisse x = -2 und x = 3. Ermitteln Sie damit den Wert der Ableitung f"(o).

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y = f’(x) – die Ableitung der Funktion f(x), definiert auf dem Segment (−11; 2). Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Graphen der Funktion y = f(x) parallel zur Abszisse verläuft oder mit ihr zusammenfällt.

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern ist, t die Zeit in Sekunden ist, gemessen vom Beginn der Bewegung an. Zu welchem Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 2 m/s?

Ein materieller Punkt bewegt sich entlang einer geraden Linie von der Anfangs- zur Endposition. Die Abbildung zeigt ein Diagramm seiner Bewegung. Die Abszissenachse zeigt die Zeit in Sekunden und die Ordinatenachse zeigt die Entfernung von der Anfangsposition des Punktes (in Metern). Ermitteln Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Punktes. Geben Sie Ihre Antwort in Metern pro Sekunde an.

Die Funktion y = f (x) ist auf dem Intervall [-4; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte im Diagramm der Funktion y = f (x), deren Tangente einen Winkel von 45° mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Die Funktion y = f (x) ist auf dem Intervall [-2; 4]. Die Abbildung zeigt einen Graphen seiner Ableitung. Finden Sie die Abszisse des Punktes im Diagramm der Funktion y = f (x), an dem sie den kleinsten Wert auf dem Segment annimmt [-2; -0,001].

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Der Tangens ergibt sich aus der Gleichung y = -2x + 15. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = -(1/4)f(x) + 5 am Punkt x0.

Auf dem Graphen der differenzierbaren Funktion y = f (x) sind sieben Punkte markiert: x1,.., x7. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) größer als Null ist. Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl dieser Punkte an.

Die Abbildung zeigt einen Graphen y = f"(x) der Ableitung der Funktion f(x), definiert im Intervall (-10; 2). Ermitteln Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion f liegt (x) ist parallel zur Geraden y = -2x-11 oder fällt mit dieser zusammen.

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y=f"(x) - der Ableitung der Funktion f(x). Auf der Abszissenachse sind neun Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Wie viele dieser Punkte gehören zu den Intervallen der abnehmenden Funktion f(x)?

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y = f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Der Tangens ergibt sich aus der Gleichung y = 1,5x + 3,5. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y = 2f(x) - 1 am Punkt x0.

Die Abbildung zeigt den Graphen y=F(x) einer der Stammfunktionen der Funktion f (x). Im Diagramm sind sechs Punkte mit den Abszissen x1, x2, ..., x6 markiert. An wie vielen dieser Punkte nimmt die Funktion y=f(x) negative Werte an?

Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Bewegung des Autos entlang der Route. Die Abszisse zeigt die Zeit (in Stunden) und die Ordinate zeigt die zurückgelegte Strecke (in Kilometern). Finden Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos auf dieser Route. Geben Sie Ihre Antwort in km/h an

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt (in Metern) und t die Zeit ist der Bewegung (in Sekunden). Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t=6 s

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Stammfunktion y = F(x) einer Funktion y = f(x), definiert im Intervall (-6; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Nullstellen der Funktion f(x) in diesem Intervall.

Die Abbildung zeigt einen Graphen von y = F(x) einer der Stammfunktionen einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-7; 5). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x) = 0 im Intervall [- 5; 2].

Die Abbildung zeigt den Graphen der differenzierbaren Funktion y=f(x). Auf der x-Achse sind neun Punkte markiert: x1, x2, ... x9. Finden Sie alle markierten Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) negativ ist. Geben Sie in Ihrer Antwort die Anzahl dieser Punkte an.

Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig gemäß dem Gesetz x(t)=12t^3−3t^2+2t, wobei x der Abstand vom Referenzpunkt in Metern und t die Zeit in Sekunden ist, gemessen ab Beginn der Bewegung. Finden Sie seine Geschwindigkeit (in Metern pro Sekunde) zum Zeitpunkt t=6 s.

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und eine Tangente an diesen Graphen, gezeichnet am Punkt x0. Die Tangentengleichung ist in der Abbildung dargestellt. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion y=4*f(x)-3 am Punkt x0.

Stellen wir uns eine gerade Straße vor, die durch ein hügeliges Gebiet führt. Das heißt, es geht auf und ab, dreht sich aber nicht nach rechts oder links. Wenn die Achse horizontal und vertikal entlang der Straße ausgerichtet ist, ähnelt die Straßenlinie stark dem Diagramm einer kontinuierlichen Funktion:

Die Achse ist eine bestimmte Höhe von Null; im Leben verwenden wir den Meeresspiegel als diese.

Wenn wir auf einem solchen Weg vorankommen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn sich das Argument ändert (Bewegung entlang der Abszissenachse), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, wie wir die „Steilheit“ unserer Straße bestimmen können. Was für ein Wert könnte das sein? Es ist ganz einfach: Wie stark ändert sich die Höhe, wenn man sich eine bestimmte Strecke vorwärts bewegt? Tatsächlich steigen oder fallen wir auf verschiedenen Straßenabschnitten, wenn wir uns einen Kilometer vorwärts bewegen (entlang der x-Achse), relativ zum Meeresspiegel (entlang der y-Achse) um eine unterschiedliche Anzahl von Metern.

Bezeichnen wir den Fortschritt (lesen Sie „Delta x“).

Der griechische Buchstabe (Delta) wird in der Mathematik häufig als Präfix für „Veränderung“ verwendet. Das heißt – das ist eine Mengenänderung, – eine Veränderung; Was ist es dann? Das ist richtig, eine Größenänderung.

Wichtig: Ein Ausdruck ist ein einzelnes Ganzes, eine Variable. Trennen Sie niemals das „Delta“ vom „x“ oder einem anderen Buchstaben! Das ist zum Beispiel .

Wir sind also horizontal vorangekommen. Wenn wir die Straßenlinie mit dem Funktionsgraphen vergleichen, wie bezeichnen wir dann den Anstieg? Sicherlich, . Das heißt, je weiter wir voranschreiten, desto höher steigen wir.

Der Wert lässt sich leicht berechnen: Wenn wir am Anfang in einer Höhe waren und uns nach der Bewegung in einer Höhe befanden, dann. Wenn der Endpunkt niedriger als der Startpunkt ist, ist er negativ – das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern absteigen.

Kommen wir zurück zur „Steilheit“: Dies ist ein Wert, der angibt, um wie viel (steiler) die Höhe zunimmt, wenn man sich eine Distanzeinheit vorwärts bewegt:

Nehmen wir an, dass die Straße auf einem bestimmten Straßenabschnitt beim Vorwärtsfahren um einen Kilometer um einen Kilometer ansteigt. Dann ist die Steigung an dieser Stelle gleich. Und wenn die Straße, während sie sich um m vorwärts bewegt, um km abfällt? Dann ist die Steigung gleich.

Schauen wir uns nun die Spitze eines Hügels an. Nimmt man den Anfang des Abschnitts einen halben Kilometer vor dem Gipfel und das Ende einen halben Kilometer danach, erkennt man, dass die Höhenlage nahezu gleich ist.

Das heißt, nach unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steigung hier nahezu gleich Null ist, was eindeutig nicht stimmt. Schon auf einer Strecke von mehreren Kilometern kann sich viel ändern. Für eine angemessenere und genauere Beurteilung der Steilheit müssen kleinere Bereiche berücksichtigt werden. Wenn Sie beispielsweise die Höhenänderung bei einer Bewegung von einem Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Aber selbst diese Genauigkeit reicht uns möglicherweise nicht aus – denn wenn mitten auf der Straße ein Mast steht, können wir einfach daran vorbeifahren. Welchen Abstand sollten wir dann wählen? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

Im wirklichen Leben reicht es völlig aus, Entfernungen auf den Millimeter genau zu messen. Aber Mathematiker streben immer nach Perfektion. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich klein, das heißt, der absolute Wert ist kleiner als jede Zahl, die wir nennen können. Sie sagen zum Beispiel: ein Billionstel! Wie viel weniger? Und dividieren Sie diese Zahl durch – und es wird noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass eine Größe unendlich klein ist, schreiben wir so: (wir lesen „x tendiert gegen Null“). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Das bedeutet, dass man dadurch dividieren kann.

Das Gegenteil von Infinitesimal ist unendlich groß (). Sie sind wahrscheinlich schon darauf gestoßen, als Sie an Ungleichungen gearbeitet haben: Diese Zahl ist modulo größer als jede Zahl, die Sie sich vorstellen können. Wenn Sie die größtmögliche Zahl erhalten, multiplizieren Sie sie einfach mit zwei und Sie erhalten eine noch größere Zahl. Und die Unendlichkeit ist noch größer als das, was passiert. Tatsächlich sind das Unendlich Große und das Unendlich Kleine das Gegenteil voneinander, also at, und umgekehrt: at.

Kommen wir nun zurück zu unserem Weg. Die ideal berechnete Steigung ist die Steigung, die für einen unendlich kleinen Abschnitt des Pfades berechnet wurde, d. h.:

Ich stelle fest, dass bei einer unendlich kleinen Verschiebung auch die Höhenänderung verschwindend gering sein wird. Aber ich möchte Sie daran erinnern, dass unendlich klein nicht gleich Null bedeutet. Wenn man infinitesimale Zahlen durcheinander dividiert, erhält man eine ganz gewöhnliche Zahl, zum Beispiel . Das heißt, ein kleiner Wert kann genau um ein Vielfaches größer sein als ein anderer.

Wozu dient das alles? Die Straße, die Steilheit ... Wir nehmen nicht an einer Autorallye teil, sondern unterrichten Mathematik. Und in der Mathematik ist alles genau gleich, nur anders genannt.

Konzept der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments.

Inkrementell in der Mathematik nennt man Veränderung. Das Ausmaß, in dem sich das Argument () ändert, während es sich entlang der Achse bewegt, wird aufgerufen Argumentinkrement und wird bezeichnet. Es wird aufgerufen, um wie viel sich die Funktion (Höhe) bei einer Vorwärtsbewegung entlang der Achse um eine Strecke verändert hat Funktionsinkrement und ist bezeichnet.

Die Ableitung einer Funktion ist also das Verhältnis zu when. Wir bezeichnen die Ableitung mit demselben Buchstaben wie die Funktion, nur mit einem Primzahl oben rechts: oder einfach. Schreiben wir also die Ableitungsformel mit diesen Notationen:

Wie in der Analogie zur Straße ist auch hier die Ableitung positiv, wenn die Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ.

Kann die Ableitung gleich Null sein? Sicherlich. Wenn wir beispielsweise auf einer ebenen, horizontalen Straße fahren, ist die Steilheit Null. Und es stimmt, die Höhe ändert sich überhaupt nicht. So ist es auch mit der Ableitung: Die Ableitung einer konstanten Funktion (Konstante) ist gleich Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion für jede gleich Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel auf einem Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, die Enden des Segments auf gegenüberliegenden Seiten des Scheitelpunkts so anzuordnen, dass die Höhe an den Enden gleich ist, das heißt, das Segment ist parallel zur Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen für eine ungenaue Messung. Wir heben unser Segment parallel zu sich selbst an, dann verringert sich seine Länge.

Wenn wir uns schließlich unendlich nahe an der Spitze befinden, wird die Länge des Segments verschwindend klein. Aber gleichzeitig blieb es parallel zur Achse, das heißt, der Höhenunterschied an seinen Enden ist gleich Null (es tendiert nicht dazu, sondern ist gleich). Also die Ableitung

Das kann man so verstehen: Wenn wir ganz oben stehen, verändert eine kleine Verschiebung nach links oder rechts unsere Körpergröße vernachlässigbar.

Es gibt auch eine rein algebraische Erklärung: Links vom Scheitelpunkt nimmt die Funktion zu, rechts ab. Wie wir zuvor herausgefunden haben, ist die Ableitung positiv, wenn eine Funktion zunimmt, und wenn sie abnimmt, ist sie negativ. Aber es ändert sich sanft und ohne Sprünge (da die Straße ihre Neigung nirgends stark ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten liegen. Dort wird die Funktion weder zu- noch abfallen – am Scheitelpunkt.

Das Gleiche gilt für den Tiefpunkt (den Bereich, in dem die Funktion links abnimmt und rechts zunimmt):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument in Größe. Ab welchem Wert wechseln wir? Was ist daraus (das Argument) jetzt geworden? Wir können jeden Punkt wählen und jetzt werden wir von dort aus tanzen.

Betrachten Sie einen Punkt mit einer Koordinate. Der Wert der darin enthaltenen Funktion ist gleich. Dann machen wir das gleiche Inkrement: Wir erhöhen die Koordinate um. Was ist nun das Argument? Sehr leicht: . Welchen Wert hat die Funktion nun? Wo das Argument hingehört, gehört auch die Funktion dazu: . Was ist mit Funktionsinkrement? Nichts Neues: Dies ist immer noch der Betrag, um den sich die Funktion geändert hat:

Üben Sie das Finden von Inkrementen:

Finden Sie das Inkrement der Funktion an einem Punkt, an dem das Inkrement des Arguments gleich ist.
Dasselbe gilt für die Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten mit demselben Argumentinkrement ist das Funktionsinkrement unterschiedlich. Das bedeutet, dass die Ableitung an jedem Punkt unterschiedlich ist (wir haben das gleich zu Beginn besprochen – die Steilheit der Straße ist an verschiedenen Punkten unterschiedlich). Wenn wir eine Ableitung schreiben, müssen wir daher angeben, an welcher Stelle:

Power-Funktion.

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, bei der das Argument bis zu einem gewissen Grad (logisch, oder?) ist.

Darüber hinaus – in jedem Umfang: .

Der einfachste Fall ist, wenn der Exponent ist:

Finden wir seine Ableitung an einem Punkt. Erinnern wir uns an die Definition einer Ableitung:

Das Argument ändert sich also von zu. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist das. Aber eine Funktion ist an jedem Punkt gleich ihrem Argument. Deshalb:

Die Ableitung ist gleich:

Die Ableitung von ist gleich:

b) Betrachten Sie nun die quadratische Funktion (): .

Erinnern wir uns jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein und daher vor dem Hintergrund des anderen Termes unbedeutend ist:

Also haben wir uns eine weitere Regel ausgedacht:

c) Wir setzen die logische Reihe fort: .

Dieser Ausdruck kann auf unterschiedliche Weise vereinfacht werden: Öffnen Sie die erste Klammer mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation der Potenz der Summe oder faktorisieren Sie den gesamten Ausdruck mit der Formel für die Differenz der Würfel. Versuchen Sie es selbst mit einer der vorgeschlagenen Methoden.

Also, ich habe folgendes bekommen:

Und erinnern wir uns noch einmal daran. Das bedeutet, dass wir alle Begriffe vernachlässigen können, die Folgendes enthalten:

Wir bekommen: .

d) Ähnliche Regeln können für große Potenzen erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für eine Potenzfunktion mit einem beliebigen Exponenten, nicht einmal einer ganzen Zahl, verallgemeinert werden kann:

(2)

Die Regel lässt sich mit den Worten formulieren: „Der Grad wird als Koeffizient vorgezogen und dann um reduziert.“

Wir werden diese Regel später (fast ganz am Ende) beweisen. Schauen wir uns nun einige Beispiele an. Finden Sie die Ableitung der Funktionen:

(auf zwei Arten: durch Formel und unter Verwendung der Definition der Ableitung – durch Berechnung des Inkrements der Funktion);

Trigonometrische Funktionen.

Hier verwenden wir eine Tatsache aus der höheren Mathematik:

Mit Ausdruck.

Den Nachweis erlernen Sie im ersten Studienjahr (und um dorthin zu gelangen, müssen Sie das Einheitliche Staatsexamen gut bestehen). Jetzt zeige ich es einfach grafisch:

Wir sehen, dass der Punkt im Diagramm ausgeschnitten wird, wenn die Funktion nicht existiert. Aber je näher am Wert, desto näher ist die Funktion daran. Das ist es, was „strebt“.

Zusätzlich können Sie diese Regel mit einem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, keine Scheu, nehmen Sie einen Taschenrechner mit, wir sind noch nicht beim Einheitlichen Staatsexamen.

Lass es uns versuchen: ;

Vergessen Sie nicht, Ihren Rechner auf den Bogenmaßmodus umzustellen!

usw. Wir sehen, je kleiner, desto näher liegt der Wert des Verhältnisses.

a) Betrachten Sie die Funktion. Lassen Sie uns wie üblich das Inkrement ermitteln:

Lassen Sie uns die Sinusdifferenz in ein Produkt umwandeln. Dazu verwenden wir die Formel (denken Sie an das Thema „“): .

Nun die Ableitung:

Machen wir einen Ersatz: . Dann ist es für Infinitesimal auch Infinitesimal: . Der Ausdruck für hat die Form:

Und jetzt erinnern wir uns daran mit dem Ausdruck. Und was wäre, wenn eine unendlich kleine Größe in der Summe (also at) vernachlässigt werden könnte?

Wir erhalten also die folgende Regel: die Ableitung des Sinus ist gleich dem Kosinus:

Dabei handelt es sich um einfache („tabelläre“) Ableitungen. Hier sind sie in einer Liste:

Später werden wir noch einige hinzufügen, aber diese sind die wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Üben:

Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt;
Finden Sie die Ableitung der Funktion.

Lösungen:

Exponent und natürlicher Logarithmus.

In der Mathematik gibt es eine Funktion, deren Ableitung für einen beliebigen Wert gleichzeitig gleich dem Wert der Funktion selbst ist. Sie wird „Exponent“ genannt und ist eine Exponentialfunktion

Die Basis dieser Funktion – eine Konstante – ist ein unendlicher Dezimalbruch, also eine irrationale Zahl (wie z. B.). Sie wird „Euler-Zahl“ genannt, weshalb sie mit einem Buchstaben bezeichnet wird.

Also die Regel:

Sehr leicht zu merken.

Nun, gehen wir nicht zu weit, betrachten wir gleich die Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Der Exponential- und der natürliche Logarithmus sind aus abgeleiteter Sicht einzigartig einfache Funktionen. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn - eine konstante Zahl (Konstante), dann.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

an einem Punkt;
an einem Punkt;
an einem Punkt;
am Punkt.

Lösungen:

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen exponentieller und logarithmischer Funktionen werden im Einheitlichen Staatsexamen fast nie gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was ist eine „komplexe Funktion“? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für das erste Beispiel: .

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

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Für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für den Studieneintritt mit kleinem Budget und vor allem für das Leben.

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Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

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„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Finden Sie Probleme und lösen Sie sie!

(Abb.1)

Abbildung 1. Ableitungsdiagramm

Eigenschaften von Ableitungsgraphen

In zunehmenden Abständen ist die Ableitung positiv. Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.
In abnehmenden Abständen ist die Ableitung negativ (mit Minuszeichen). Wenn die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.
Die Ableitung am Punkt x ist gleich der Steigung der Tangente, die am selben Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.
An den Maximal- und Minimalpunkten der Funktion ist die Ableitung gleich Null. Die Tangente an den Funktionsgraphen verläuft an diesem Punkt parallel zur OX-Achse.

Beispiel 1

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 2) der Ableitung, an welchem Punkt des Segments [-3; 5] Funktion ist maximal.

Abbildung 2. Ableitungsdiagramm

Lösung: Auf diesem Segment ist die Ableitung negativ, was bedeutet, dass die Funktion von links nach rechts abnimmt und der größte Wert auf der linken Seite am Punkt -3 liegt.

Beispiel 2

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der maximalen Punkte auf dem Segment [-11; 3].

Abbildung 3. Ableitungsdiagramm

Lösung: Die maximalen Punkte entsprechen den Punkten, an denen das Vorzeichen der Ableitung von positiv nach negativ wechselt. In diesem Intervall ändert die Funktion zweimal das Vorzeichen von Plus nach Minus – am Punkt -10 und am Punkt -1. Dies bedeutet, dass die maximale Punktzahl zwei beträgt.

Beispiel 3

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der Mindestpunkte im Segment [-11; -1].

Lösung: Die Mindestpunkte entsprechen den Punkten, an denen das Vorzeichen der Ableitung von negativ nach positiv wechselt. Auf diesem Segment beträgt ein solcher Punkt nur -7. Dies bedeutet, dass die Anzahl der Mindestpunkte in einem bestimmten Segment eins beträgt.

Beispiel 4

Bestimmen Sie anhand des Diagramms (Abb. 3) der Ableitung die Anzahl der Extrempunkte.

Lösung: Die Extrempunkte sind sowohl die Minimal- als auch die Maximalpunkte. Lassen Sie uns die Anzahl der Punkte ermitteln, an denen die Ableitung das Vorzeichen ändert.