Hosila nazariyasi. Hosil grafigini o'qish

B8. Yagona davlat imtihoni

1. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va bu grafaga x0 abtsissa bilan nuqtada chizilgan teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping. Javob: 2

Javob: -5

Intervalda (–9;4).

Javob: 2

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping Javob: 0,5

5. y = 3x + 8 chiziqning teginish nuqtasi va y = x3+x2-5x-4 funksiya grafigini toping. Javobingizda ushbu nuqtaning abscissasini ko'rsating. Javob: -2

f(x) funksiyaning hosilasi manfiy bo'lgan argumentning butun qiymatlari sonini aniqlang. Javob: 4

Javob: 2

f(x) funksiya grafigining tangensi y=5–x to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki u bilan mos keladigan nuqtalar sonini toping. Javob: 3

Interval (-8; 3).

To'g'ri chiziq y = -20. Javob: 2

10.

Javob: -0,5

Javob: 1

12. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping. Javob: 0,5

13. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping. Javob: -0,25

14.

f(x) funksiya grafigining tangensi y = x+7 to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping. Javob: 4

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping. Javob: -2

16.

interval (-14;9).

f(x) funksiyaning [-12;7] segmentidagi maksimal nuqtalari sonini toping. Javob: 3

oraliqda (-10;8).

f(x) funksiyaning [-9;7] segmentidagi ekstremum nuqtalari sonini toping. Javob: 4

18. y = 5x-7 chiziq abtsissasi 0 dan kichik bo'lgan nuqtada y = 6x2 + bx-1 funksiya grafigiga tegadi. b toping. Javob: 17

Javob:-0,25

Javob: 6

21. y=5x+11 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan y=x2+6x-7 funksiya grafigining tegini toping. Javobingizda teginish nuqtasining abssissasini ko'rsating. Javob: -0,5

22.

Javob: 4

23. f "(x) oraliqda (-16;4).

[-11;0] segmentida funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping. Javob: 1

B8 Funksiyalarning grafiklari, funksiyalarning hosilalari. Funktsional tadqiqotlar . Yagona davlat imtihoni

1. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va bu grafaga x0 abtsissa bilan nuqtada chizilgan teginish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

2. Rasmda (-6; 5) oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi grafigi keltirilgan.

Segmentning qaysi nuqtasida [-5; -1] f(x) eng kichik qiymatni oladi?

3. Rasmda aniqlangan y = f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan

Intervalda (–9;4).

f(x) funksiya grafigiga tegish to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan nuqtalar sonini toping

y = 2x-17 yoki u bilan mos keladi.

4. Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping

5. y = 3x + 8 chiziqning teginish nuqtasi va y = x3+x2-5x-4 funksiya grafigini toping. Javobingizda ushbu nuqtaning abscissasini ko'rsating.

6. Rasmda (-7; 5) oraliqda aniqlangan y = f(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan.

f(x) funksiyaning hosilasi manfiy bo'lgan argumentning butun qiymatlari sonini aniqlang.

7. Rasmda (-8; 8) oraliqda aniqlangan y=f "(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan.

f(x) funksiyaning [-4” segmentiga tegishli ekstremum nuqtalari sonini toping; 6].

8. Rasmda (-8; 4) oraliqda aniqlangan y = f "(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan.

f(x) funksiya grafigining tangensi y=5–x to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki u bilan mos keladigan nuqtalar sonini toping.

9. Rasmda aniqlangan y = f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan

Interval (-8; 3).

Funktsiya grafigiga teginish parallel bo'lgan nuqtalar sonini toping

To'g'ri chiziq y = -20.

10. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

11 . Rasmda (-9;9) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi keltirilgan.

$f(x)$ funksiyasining [-6;8] oraliqdagi minimal nuqtalari sonini toping. 1

12. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

13. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va uning x0 abscissasi bo‘lgan nuqtadagi tegi ko‘rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

14. Rasmda (-6;8) oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi grafigi keltirilgan.

f(x) funksiya grafigining tangensi y = x+7 to‘g‘ri chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan nuqtalar sonini toping.

15 . Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va abtsissa x0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

16. Rasmda f(x) funksiyaning hosilasining grafigi ko'rsatilgan

interval (-14;9).

f(x) funksiyaning [-12;7] segmentidagi maksimal nuqtalari sonini toping.

17 . Rasmda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan

oraliqda (-10;8).

f(x) funksiyaning [-9;7] segmentidagi ekstremum nuqtalari sonini toping.

18. y = 5x-7 chiziq abtsissasi 0 dan kichik bo'lgan nuqtada y = 6x2 + bx-1 funksiya grafigiga tegadi. b toping.

19 . Rasmda f(x) funksiyaning hosilasi va unga x0 abtsissasi bo'lgan nuqtadagi teginish grafigi ko'rsatilgan.

f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

20 . Grafikda ko'rsatilgan y = f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng bo'lgan (-1;12) oraliqdagi nuqtalar sonini toping.

21. y=5x+11 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan y=x2+6x-7 funksiya grafigining tegini toping. Javobingizda teginish nuqtasining abssissasini ko'rsating.

22. Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi ko‘rsatilgan. f(x) funksiyaning hosilasi musbat bo‘lgan (-2;11) oraliqdagi butun nuqtalar sonini toping.

23. Rasmda y= funksiyaning grafigi ko'rsatilgan f "(x) oraliqda (-16;4).

[-11;0] segmentida funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping.

Salom! Kelgusi Yagona Davlat imtihoniga yuqori sifatli tizimli tayyorgarlik va ilm-fan granitini silliqlashda tirishqoqlik bilan erishaylik!!! INXabar oxirida tanlov topshirig'i bor, birinchi bo'ling! Ushbu bo'limdagi maqolalardan birida siz va men, unda funktsiyaning grafigi berilgan va ekstremallar, o'sish (kamayish) intervallari va boshqalarga oid turli xil savollar berilgan.

Ushbu maqolada biz matematikadan Yagona davlat imtihoniga kiritilgan muammolarni ko'rib chiqamiz, unda funktsiya hosilasining grafigi berilgan va quyidagi savollar beriladi:

1. Berilgan segmentning qaysi nuqtasida funksiya eng katta (yoki eng kichik) qiymatni oladi.
2. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning maksimal (yoki minimal) nuqtalari sonini toping.
3. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping.
4. Berilgan segmentga tegishli funksiyaning ekstremum nuqtasini toping.
5. Funksiyaning ortishi (yoki kamayishi) oraliqlarini toping va javobda shu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig‘indisini ko‘rsating.
6. Funksiyaning ortishi (yoki kamayishi) oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarning eng kattasining uzunligini ko'rsating.
7. Funksiya grafigining tangensi y = kx + b ko'rinishdagi chiziqqa parallel yoki to'g'ri keladigan nuqtalar sonini toping.
8. Funksiya grafigining tangensi abscissa o‘qiga parallel yoki unga to‘g‘ri keladigan nuqtaning abssissasini toping.

Boshqa savollar ham bo'lishi mumkin, ammo agar tushunsangiz va ular sizga hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi (havolalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlarni taqdim etadigan maqolalarga havolalar berilgan, ularni takrorlashni tavsiya etaman).

Asosiy ma'lumotlar (qisqacha):

1. Ortib boruvchi intervallardagi hosila ijobiy belgiga ega.

Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum nuqtadagi hosila ijobiy qiymatga ega bo'lsa, u holda bu oraliqdagi funktsiya grafigi ortadi.

2. Kamayuvchi intervallarda hosila manfiy belgiga ega.

Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum bir nuqtada hosila manfiy qiymatga ega bo'lsa, u holda funktsiya grafigi bu oraliqda kamayadi.

3. X nuqtadagi hosila shu nuqtadagi funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.

4. Funksiyaning ekstremum (maksimal-minimal) nuqtalarida hosila nolga teng. Bu nuqtada funksiya grafigining tangensi x o'qiga parallel bo'ladi.

Buni aniq tushunish va yodda tutish kerak !!!

Loyqa grafik ko'p odamlarni "chalkashtirib yuboradi". Ba'zi odamlar beixtiyor uni funktsiyaning o'zi grafigi deb xato qilishadi. Shuning uchun, bunday binolarda, grafik berilganligini ko'rsangiz, darhol e'tiboringizni berilgan shartga qarating: funktsiya grafigiga yoki funktsiya hosilasi grafigiga?

Agar bu funktsiya hosilasining grafigi bo'lsa, uni funktsiyaning o'zini "aks etishi" sifatida ko'rib chiqing, bu sizga ushbu funktsiya haqida ma'lumot beradi.

Vazifani ko'rib chiqing:

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–2;21) oraliqda aniqlanadi.

Biz quyidagi savollarga javob beramiz:

1. Funktsiya segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X) eng katta qiymatni oladi.

Berilgan oraliqda funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi, ya'ni bu oraliqdagi funktsiya kamayadi (u intervalning chap chegarasidan o'ngga kamayadi). Shunday qilib, funksiyaning eng katta qiymati segmentning chap chegarasida, ya'ni 7-bandda erishiladi.

Javob: 7

2. Funktsiya segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X)

Ushbu hosilaviy grafikdan biz quyidagilarni aytishimiz mumkin. Berilgan oraliqda funktsiyaning hosilasi musbat bo'ladi, ya'ni bu oraliqdagi funktsiya ortib boradi (u intervalning chap chegarasidan o'ngga ortadi). Shunday qilib, funksiyaning eng kichik qiymati segmentning chap chegarasida, ya'ni x = 3 nuqtasida erishiladi.

Javob: 3

3. Funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping f(X)

Maksimal nuqtalar hosila belgisi ijobiydan salbiyga o'zgargan nuqtalarga to'g'ri keladi. Keling, belgi qayerda shu tarzda o'zgarishini ko'rib chiqaylik.

(3;6) segmentida hosila ijobiy, (6;16) segmentida manfiy.

(16;18) segmentida hosila ijobiy, (18;20) segmentida manfiy.

Shunday qilib, berilgan segmentda funksiya ikkita maksimal nuqtaga ega x = 6 va x = 18.

Javob: 2

4. Funksiyaning minimal nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli.

Minimal nuqtalar lotin belgisi manfiydan musbatga o'tadigan nuqtalarga to'g'ri keladi. Bizning hosilamiz (0;3) oraliqda manfiy, (3;4) oraliqda esa musbat.

Shunday qilib, segmentda funksiya faqat bitta minimal x = 3 nuqtaga ega.

*Javobni yozishda ehtiyot bo'ling - x qiymati emas, ballar soni yoziladi, bunday xatolikka e'tiborsizlik tufayli yo'l qo'yilishi mumkin.

Javob: 1

5. Funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli.

Iltimos, nimani topishingiz kerakligini ko'rib chiqing miqdori ekstremum nuqtalar (bular maksimal va minimal nuqtalar).

Ekstremum nuqtalar hosila belgisi o'zgargan nuqtalarga to'g'ri keladi (musbatdan salbiyga yoki aksincha). Shartda berilgan grafikda bu funksiyaning nollari. Hosil 3, 6, 16, 18 nuqtalarda yo‘qoladi.

Shunday qilib, funksiya segmentda 4 ta ekstremum nuqtaga ega.

Javob: 4

6. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X)

Bu funktsiyani oshirish intervallari f(X) uning hosilasi musbat bo'lgan intervallarga, ya'ni (3;6) va (16;18) oraliqlarga mos keladi. E'tibor bering, intervalning chegaralari unga kiritilmagan (dumaloq qavslar - chegaralar intervalga kiritilmagan, kvadrat qavslar - kiritilgan). Bu intervallar 4, 5, 17 butun son nuqtalarini o'z ichiga oladi. Ularning yig'indisi: 4 + 5 + 17 = 26

Javob: 26

7. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X) berilgan oraliqda. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Funktsiyaning qisqarish intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan intervallarga mos keladi. Bu masalada bu intervallar (–2;3), (6;16), (18:21).

Bu intervallar quyidagi butun nuqtalarni o'z ichiga oladi: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ularning yig'indisi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Javob: 140

*Shartga e'tibor bering: chegaralar intervalga kiritilganmi yoki yo'qmi. Agar chegaralar kiritilgan bo'lsa, u holda hal qilish jarayonida ko'rib chiqilgan oraliqlarda bu chegaralar ham hisobga olinishi kerak.

8. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X)

Funktsiyaning ortishi intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi musbat bo'lgan intervallarga mos keladi. Biz ularni allaqachon ko'rsatdik: (3; 6) va (16: 18). Ulardan eng kattasi interval (3;6), uzunligi 3 ga teng.

Javob: 3

9. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X). Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.

Funktsiyaning qisqarish intervallari f(X) funktsiyaning hosilasi manfiy bo'lgan intervallarga mos keladi. Biz ularni allaqachon ko'rsatib o'tdik; bular (–2;3), (6;16), (18;21) oraliqlar, ularning uzunligi mos ravishda 5, 10, 3.

Eng kattasining uzunligi 10 ga teng.

Javob: 10

10. Funksiya grafigiga teginish nuqtalari sonini toping f(X) y = 2x + 3 to'g'ri chiziqqa parallel yoki unga to'g'ri keladi.

Hosilning tangens nuqtasidagi qiymati tangensning qiyaligiga teng. Tangens y = 2x + 3 to'g'ri chiziqqa parallel yoki unga to'g'ri kelganligi sababli, ularning burchak koeffitsientlari 2 ga teng. Demak, y'(x 0) = 2 bo'lgan nuqtalar sonini topish kerak. Geometrik jihatdan bu hosilaviy grafikning to'g'ri chiziq bilan kesishgan nuqtalari soniga to'g'ri keladi y = 2. Bu oraliqda 4 ta shunday nuqta mavjud.

Javob: 4

11. Funksiyaning ekstremum nuqtasini toping f(X), segmentga tegishli.

Funksiyaning ekstremum nuqtasi uning hosilasi nolga teng boʻlgan nuqta boʻlib, shu nuqtaga yaqin joyda hosila belgisi oʻzgaradi (musbatdan manfiyga yoki aksincha). Segmentda hosilaviy grafik x o'qini kesib o'tadi, lotin belgisi manfiydan musbatga o'zgaradi. Demak, x = 3 nuqta ekstremum nuqtadir.

Javob: 3

12. y = f (x) grafigining tangenslari abtsissa o'qiga parallel yoki u bilan mos keladigan nuqtalarning abssissalarini toping. Javobingizda ularning eng kattasini ko'rsating.

y = f (x) grafigining tangensi abscissa o'qiga parallel bo'lishi yoki unga to'g'ri kelishi mumkin, faqat hosila nolga teng bo'lgan nuqtalarda (bular ekstremum nuqtalar yoki hosila yaqin bo'lgan statsionar nuqtalar bo'lishi mumkin). belgisini o'zgartirmang). Bu grafik 3, 6, 16,18 nuqtalarda hosila nolga teng ekanligini ko‘rsatadi. Eng kattasi - 18.

Fikringizni quyidagicha tuzishingiz mumkin:

Hosilning tangens nuqtasidagi qiymati tangensning qiyaligiga teng. Tangens x o'qiga parallel yoki unga to'g'ri kelganligi sababli, uning qiyaligi 0 ga teng (haqiqatan ham, nol graduslik burchakning tangensi nolga teng). Shuning uchun biz qiyalik nolga teng bo'lgan nuqtani qidiramiz va shuning uchun hosila nolga teng. Hosila uning grafigi x o'qini kesishgan nuqtada nolga teng va bular 3, 6, 16,18 nuqtalardir.

Javob: 18

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–8;4) oraliqda aniqlanadi. Funktsiya [–7;–3] segmentning qaysi nuqtasida joylashgan f(X) eng kichik qiymatni oladi.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–7;14) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning maksimal nuqtalari sonini toping f(X), [–6;9] segmentiga tegishli.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–18;6) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning minimal nuqtalari sonini toping f(X), [–13;1] segmentiga tegishli.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–11; –11) oraliqda aniqlanadi. Funksiyaning ekstremum nuqtalari sonini toping f(X), segmentga tegishli [–10; -10].

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–7;4) oraliqda aniqlanadi. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–5;7) oraliqda aniqlanadi. Kamayuvchi funksiya oraliqlarini toping f(X). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Rasmda grafik ko'rsatilgan y =f'(X)- funksiyaning hosilasi f(X), (–11;3) oraliqda aniqlanadi. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(X). Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini ko'rsating.

F Rasmda grafik ko'rsatilgan

Muammoning shartlari bir xil (biz ko'rib chiqdik). Uch sonning yig'indisini toping:

1. f (x) funksiyaning ekstremal kvadratlari yig’indisi.

2. f (x) funktsiyasining maksimal nuqtalari yig'indisi va minimal nuqtalari yig'indisining kvadratlari orasidagi farq.

3. y = –3x + 5 to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan f (x) ga teglar soni.

Birinchi bo'lib to'g'ri javob bergan kishi 150 rubl miqdoridagi rag'batlantiruvchi mukofotga ega bo'ladi. Javoblaringizni izohlarda yozing. Agar bu sizning blogdagi birinchi sharhingiz bo'lsa, u darhol paydo bo'lmaydi, lekin birozdan keyin (xavotir olmang, sharh yozilgan vaqt qayd etiladi).

Sizga omad!

Hurmat bilan, Aleksandr Krutitsix.

P.S: Ijtimoiy tarmoqlardagi sayt haqida ma'lumot bersangiz, minnatdor bo'lardim.

Rasmda f(x) funksiyaning [–5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 6]. f(x) grafigidagi nuqtalar sonini toping, ularning har birida funksiya grafigiga chizilgan tangens x o‘qiga to‘g‘ri keladi yoki unga parallel bo‘ladi.

Rasmda y = f(x) differentsiallanuvchi funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan.

Funksiya grafigidagi segmentga tegishli nuqtalar sonini toping [–7; 7], bunda funksiya grafigining tangensi y = –3x tenglama bilan belgilangan to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘ladi.

M moddiy nuqta A nuqtadan harakatlana boshlaydi va 12 soniya davomida to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi. Grafikda vaqt o'tishi bilan A nuqtadan M nuqtagacha bo'lgan masofa qanday o'zgarganligi ko'rsatilgan. Abtsissa o'qi t vaqtni sekundlarda, ordinata o'qi esa s masofani metrlarda ko'rsatadi. Harakat davomida M nuqtaning tezligi necha marta nolga aylanganini aniqlang (harakatning boshi va oxirini hisobga olmang).

Rasmda y=f(x) funksiya grafigining kesmalari va abssissa x = 0 bo‘lgan nuqtada unga tegish ko‘rsatilgan.Ma’lumki, bu tangens grafik nuqtalaridan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘ladi. abscissa bilan x = -2 va x = 3. Bundan foydalanib, f"(o) hosilasining qiymatini toping.

Rasmda (−11; 2) segmentda aniqlangan f(x) funksiyaning hosilasi y = f’(x) ning grafigi ko‘rsatilgan. y = f(x) funksiya grafigiga tegish abssissaga parallel yoki mos keladigan nuqtaning abssissasini toping.

Moddiy nuqta x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3 qonuniga ko‘ra to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi, bu erda x - mos yozuvlar nuqtasidan metrlarda masofa, t - soniyalarda vaqt, harakatning boshidan o'lchanadi. Vaqtning qaysi nuqtasida (sekundlarda) uning tezligi 2 m/s ga teng edi?

Moddiy nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab boshlang'ich pozitsiyadan oxirgi holatga o'tadi. Rasmda uning harakatining grafigi ko'rsatilgan. Abscissa o'qi vaqtni soniyalarda, ordinata o'qi esa nuqtaning boshlang'ich holatidan masofani (metrda) ko'rsatadi. Nuqtaning o‘rtacha tezligini toping. Javobingizni soniyada metrda bering.

y = f (x) funksiya [-4 oraliqda aniqlanadi; 4]. Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan. y = f (x) funksiyaning grafigidagi nuqtalar sonini toping, bu teg Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan 45 ° burchak hosil qiladi.

y = f (x) funksiya [-2 oraliqda aniqlanadi; 4]. Rasmda uning hosilasining grafigi ko'rsatilgan. y = f (x) funksiya grafigidagi nuqtaning abssissasini toping, bunda u segmentdagi eng kichik qiymatni oladi [-2; -0,001].

Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va x0 nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko'rsatilgan. Tangens y = -2x + 15 tenglama bilan berilgan. y = -(1/4)f(x) + 5 funksiya hosilasining x0 nuqtadagi qiymatini toping.

Differensiallanuvchi funktsiya y = f (x) grafigida yetti nuqta belgilangan: x1,.., x7. f(x) funksiyaning hosilasi noldan katta bo'lgan barcha belgilangan nuqtalarni toping. Javobingizda ushbu nuqtalar sonini ko'rsating.

Rasmda (-10; 2) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining y = f"(x) grafigi ko'rsatilgan. f funksiya grafigiga teginish nuqtalari sonini toping. (x) y = -2x-11 to'g'ri chiziqqa parallel yoki unga to'g'ri keladi.

Rasmda y=f"(x) - f(x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. Abtsissalar o'qida to'qqizta nuqta belgilangan: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Bu nuqtalarning nechtasi f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlariga tegishli?

Rasmda y = f(x) funksiyaning grafigi va x0 nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko'rsatilgan. Tangens y = 1,5x + 3,5 tenglama bilan berilgan. y = 2f(x) - 1 funksiya hosilasining x0 nuqtadagi qiymatini toping.

Rasmda f (x) funksiyaning antihosillaridan birining y=F(x) grafigi ko‘rsatilgan. Grafikda x1, x2, ..., x6 abscissalar bilan belgilangan oltita nuqta bor. Ushbu nuqtalarning nechtasida y=f(x) funksiya manfiy qiymatlarni oladi?

Rasmda marshrut bo'ylab harakatlanadigan mashinaning grafigi ko'rsatilgan. Abtsissa o'qi vaqtni (soatlarda), ordinata o'qi esa bosib o'tgan masofani (kilometrlarda) ko'rsatadi. Ushbu marshrutdagi avtomobilning o'rtacha tezligini toping. Javobingizni km/soatda bering

Moddiy nuqta x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1 qonuniga ko'ra to'g'ri chiziqli harakat qiladi, bu erda x - mos yozuvlar nuqtasidan masofa (metrda), t - vaqt. harakat (sekundlarda). Uning t=6 s vaqtdagi tezligini (sekundiga metrda) toping

Rasmda (-6; 7) oraliqda aniqlangan ba'zi y = f(x) funksiyaning y = F(x) antiderivativining grafigi ko'rsatilgan. Rasmdan foydalanib, f(x) funksiyaning shu oraliqdagi nollar sonini aniqlang.

Rasmda (-7; 5) oraliqda aniqlangan ba'zi f(x) funksiyaning anti hosilalaridan birining y = F(x) grafigi ko'rsatilgan. Rasmdan foydalanib, [- 5 oraliqda f(x) = 0 tenglama yechimlari sonini aniqlang; 2].

Rasmda y=f(x) differentsiallanuvchi funksiyaning grafigi berilgan. X o'qida to'qqizta nuqta belgilangan: x1, x2, ... x9. f(x) funksiyaning hosilasi manfiy bo‘lgan barcha belgilangan nuqtalarni toping. Javobingizda ushbu nuqtalar sonini ko'rsating.

Moddiy nuqta x(t)=12t^3−3t^2+2t qonuniga ko‘ra to‘g‘ri chiziqli harakat qiladi, bu yerda x - mos yozuvlar nuqtasidan metrlarda masofa, t - harakat boshidan o‘lchangan soniyalarda vaqt. Uning t=6 s vaqtdagi tezligini (sekundiga metrda) toping.

Rasmda y=f(x) funksiyaning grafigi va x0 nuqtada chizilgan bu grafikning tangensi ko‘rsatilgan. Tangens tenglamasi rasmda ko'rsatilgan. y=4*f(x)-3 funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

Keling, tepalikdan o'tadigan tekis yo'lni tasavvur qilaylik. Ya'ni, u yuqoriga va pastga tushadi, lekin o'ngga yoki chapga burilmaydi. Agar o'q yo'l bo'ylab gorizontal va vertikal yo'naltirilgan bo'lsa, u holda yo'l chizig'i ba'zi uzluksiz funktsiyaning grafigiga juda o'xshash bo'ladi:

Eksa - bu nol balandlikning ma'lum bir darajasi, hayotda biz dengiz sathidan foydalanamiz.

Bunday yo'l bo'ylab oldinga siljish bilan biz ham yuqoriga yoki pastga harakat qilamiz. Bundan tashqari, aytishimiz mumkin: argument o'zgarganda (abtsissa o'qi bo'ylab harakatlanish), funktsiyaning qiymati o'zgaradi (ordinata o'qi bo'ylab harakat). Keling, yo'limizning "tikligini" qanday aniqlash haqida o'ylab ko'raylik? Bu qanday qiymat bo'lishi mumkin? Bu juda oddiy: ma'lum masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik o'zgaradi. Darhaqiqat, yo'lning turli qismlarida bir kilometr oldinga (x o'qi bo'ylab) harakatlanayotganda, biz dengiz sathiga nisbatan (y o'qi bo'ylab) boshqa metrga ko'tariladi yoki pasayamiz.

Keling, taraqqiyotni belgilaylik ("delta x" ni o'qing).

Matematikada yunoncha harf (delta) odatda "o'zgarish" ma'nosini bildiruvchi prefiks sifatida ishlatiladi. Ya'ni - bu miqdorning o'zgarishi, - o'zgarish; keyin bu nima? To'g'ri, kattalikning o'zgarishi.

Muhim: ifoda bitta butun, bitta o'zgaruvchidir. Hech qachon "delta" ni "x" yoki boshqa harflardan ajratmang! Ya'ni, masalan, .

Shunday qilib, biz oldinga, gorizontal, tomonidan harakat qildik. Agar funktsiya grafigi bilan yo'l chizig'ini solishtirsak, unda ko'tarilishni qanday belgilaymiz? Albatta, . Ya'ni, biz oldinga siljishimiz bilan yuqoriga ko'tarilamiz.

Qiymatni hisoblash oson: agar boshida biz balandlikda bo'lgan bo'lsak va harakatdan keyin o'zimizni balandlikda topsak, keyin. Agar oxirgi nuqta boshlang'ich nuqtadan pastroq bo'lsa, u salbiy bo'ladi - bu biz ko'tarilmayapmiz, lekin tushayotganimizni anglatadi.

Keling, "tiklik" ga qaytaylik: bu bir birlik masofani oldinga siljitishda balandlik qanchalik (tik) oshishini ko'rsatadigan qiymat:

Faraz qilaylik, yo'lning qaysidir qismida bir kilometr oldinga siljishda yo'l bir kilometrga ko'tariladi. Keyin bu joydagi qiyalik teng bo'ladi. Va agar yo'l m ga oldinga siljish paytida km ga tushib ketgan bo'lsa? Keyin qiyalik teng bo'ladi.

Endi tepalikning tepasiga qaraylik. Agar uchastkaning boshini cho‘qqiga yarim kilometr qolganda, oxirini esa undan yarim kilometr keyin olsak, balandligi deyarli bir xil ekanligini ko‘rish mumkin.

Ya'ni, bizning mantiqqa ko'ra, bu yerdagi nishab deyarli nolga teng bo'lib chiqadi, bu aniq emas. Bir necha kilometr masofada ko'p narsa o'zgarishi mumkin. Tiklikni yanada adekvat va aniq baholash uchun kichikroq maydonlarni hisobga olish kerak. Misol uchun, agar siz bir metr harakatlanayotganda balandlikning o'zgarishini o'lchasangiz, natija ancha aniq bo'ladi. Ammo bu aniqlik ham bizga yetarli bo‘lmasligi mumkin – axir, yo‘lning o‘rtasida ustun bo‘lsa, biz shunchaki o‘tib ketamiz. Keyin qaysi masofani tanlashimiz kerak? Santimetr? Millimetr? Kamroq - yaxshiroq!

Haqiqiy hayotda masofani eng yaqin millimetrgacha o'lchash juda etarli. Ammo matematiklar doimo mukammallikka intiladilar. Shuning uchun kontseptsiya ixtiro qilindi cheksiz kichik, ya'ni mutlaq qiymat biz nomlashimiz mumkin bo'lgan har qanday raqamdan kichikdir. Masalan, siz aytasiz: trilliondan biri! Qancha kamroq? Va siz bu raqamni - ga bo'lasiz va bundan ham kamroq bo'ladi. Va hokazo. Agar biz miqdorni cheksiz kichik deb yozmoqchi bo'lsak, biz shunday yozamiz: (biz "x nolga intiladi" o'qiymiz). Buni tushunish juda muhimdir bu raqam nolga teng emas! Ammo unga juda yaqin. Bu shuni anglatadiki, siz unga bo'linishingiz mumkin.

Cheksiz kichikga qarama-qarshi tushuncha cheksiz katta (). Ehtimol, siz tengsizliklar ustida ishlayotganingizda bunga duch kelgansiz: bu raqam siz o'ylagan har qanday raqamdan modul kattaroqdir. Agar siz eng katta raqamni topsangiz, uni ikkiga ko'paytirsangiz, undan ham kattaroq raqamga ega bo'lasiz. Va cheksizlik sodir bo'layotgan narsadan ham kattaroqdir. Aslida, cheksiz katta va cheksiz kichik bir-biriga teskari, ya'ni at va aksincha: at.

Endi yo'limizga qaytaylik. Ideal hisoblangan qiyalik yo'lning cheksiz kichik qismi uchun hisoblangan qiyalikdir, ya'ni:

Shuni ta'kidlaymanki, cheksiz kichik siljish bilan balandlikning o'zgarishi ham cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shuni eslatib o'tamanki, cheksiz kichiklik nolga teng degani emas. Agar siz cheksiz kichik sonlarni bir-biriga bo'lsangiz, siz butunlay oddiy sonni olishingiz mumkin, masalan, . Ya'ni, bitta kichik qiymat boshqasidan to'liq marta katta bo'lishi mumkin.

Bularning barchasi nima uchun? Yo'l, tik ... Biz avtoralliga bormaymiz, lekin biz matematikadan dars beramiz. Va matematikada hamma narsa bir xil, faqat boshqacha nomlanadi.

Hosila tushunchasi

Funktsiyaning hosilasi - bu funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati.

Bosqichma-bosqich matematikada ular o'zgarish deb ataladi. Argument () o'q bo'ylab harakatlanayotganda qanchalik o'zgarishi deyiladi argument ortishi va belgilanadi.O'q bo'ylab uzoqqa oldinga siljishda funksiya (balandlik) qancha o'zgarganligi deyiladi funktsiyaning o'sishi va belgilanadi.

Demak, funktsiyaning hosilasi qachonga nisbatdir. Biz hosilani funktsiya bilan bir xil harf bilan belgilaymiz, faqat yuqori o'ngdagi tub belgisi bilan: yoki oddiygina. Shunday qilib, keling, hosila formulasini quyidagi belgilar yordamida yozamiz:

Yo'l o'xshashligida bo'lgani kabi, bu erda funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi.

Hosila nolga teng bo'lishi mumkinmi? Albatta. Misol uchun, agar biz tekis gorizontal yo'lda harakatlanayotgan bo'lsak, tiklik nolga teng. Va bu haqiqat, balandlik umuman o'zgarmaydi. Hosilda ham shunday: doimiy funktsiyaning hosilasi (doimiy) nolga teng:

chunki bunday funktsiyaning o'sishi har qanday uchun nolga teng.

Keling, tepalikdagi misolni eslaylik. Ma'lum bo'lishicha, segmentning uchlarini tepaning qarama-qarshi tomonlarida shunday joylashtirish mumkin ediki, uchlaridagi balandlik bir xil bo'lib chiqadi, ya'ni segment o'qga parallel bo'ladi:

Ammo katta segmentlar noto'g'ri o'lchov belgisidir. Biz segmentimizni o'ziga parallel ravishda ko'taramiz, keyin uning uzunligi kamayadi.

Oxir-oqibat, biz tepaga cheksiz yaqin bo'lganimizda, segmentning uzunligi cheksiz kichik bo'ladi. Ammo shu bilan birga, u o'qga parallel bo'lib qoldi, ya'ni uning uchlaridagi balandliklar farqi nolga teng (u moyil emas, lekin teng). Shunday qilib, hosila

Buni shunday tushunish mumkin: biz eng tepada turganimizda, chapga yoki o'ngga ozgina siljish bo'yimizni sezilarli darajada o'zgartiradi.

Bundan tashqari, sof algebraik tushuntirish mavjud: tepalikning chap tomonida funktsiya ortadi, o'ngda esa u kamayadi. Yuqorida bilib olganimizdek, funktsiya ortganda hosila ijobiy, kamayganda esa manfiy bo'ladi. Ammo u silliq, sakrashsiz o'zgaradi (chunki yo'l hech qanday joyda keskin o'zgarmaydi). Shuning uchun salbiy va ijobiy qiymatlar o'rtasida bo'lishi kerak. Bu funktsiya o'smaydigan yoki kamaymaydigan joyda - cho'qqi nuqtasida bo'ladi.

Xuddi shu narsa truba uchun ham amal qiladi (chapdagi funktsiya pasayib, o'ngda o'sadigan maydon):

O'sishlar haqida bir oz ko'proq.

Shunday qilib, biz argumentni kattalikka o'zgartiramiz. Biz qaysi qiymatdan o'zgartiramiz? Endi bu (bahs) nimaga aylandi? Biz istalgan nuqtani tanlashimiz mumkin va endi biz undan raqsga tushamiz.

Koordinatali nuqtani ko'rib chiqing. Undagi funksiyaning qiymati teng. Keyin biz bir xil o'sishni qilamiz: biz koordinatani tomonidan oshiramiz. Endi qanday dalil bor? Juda oson: . Endi funktsiyaning qiymati qanday? Argument qayerga ketsa, funksiya ham shunday bo'ladi: . Funktsiyani oshirish haqida nima deyish mumkin? Hech qanday yangilik yo'q: bu hali ham funktsiya o'zgargan miqdor:

O'sishlarni topishni mashq qiling:

Argumentning o'sishi teng bo'lgan nuqtadagi funktsiyaning o'sishini toping.
Xuddi shu narsa bir nuqtadagi funktsiya uchun ham amal qiladi.

Yechimlar:

Bir xil argument o'sishi bilan turli nuqtalarda funktsiya o'sishi boshqacha bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, har bir nuqtada hosila har xil bo'ladi (biz buni boshida muhokama qildik - yo'lning tikligi turli nuqtalarda har xil). Shuning uchun, hosila yozganimizda, qaysi nuqtada ko'rsatishimiz kerak:

Quvvat funktsiyasi.

Quvvat funktsiyasi - bu argument ma'lum darajada bo'lgan funktsiya (mantiqiy, to'g'rimi?).

Bundan tashqari - har qanday darajada: .

Eksponent bo'lganda eng oddiy holat:

Bir nuqtada uning hosilasini topamiz. Keling, hosila ta'rifini eslaylik:

Shunday qilib, argument dan ga o'zgaradi. Funktsiyaning o'sishi nima?

O'sish - bu. Ammo funktsiya har qanday nuqtada uning argumentiga teng. Shunung uchun:

Hosil quyidagiga teng:

ning hosilasi quyidagilarga teng:

b) Endi kvadrat funktsiyani (): ni ko'rib chiqaylik.

Endi buni eslaylik. Bu shuni anglatadiki, o'sish qiymatini e'tiborsiz qoldirish mumkin, chunki u cheksiz kichik va shuning uchun boshqa atama fonida ahamiyatsiz:

Shunday qilib, biz boshqa qoidaga keldik:

v) mantiqiy qatorni davom ettiramiz: .

Bu ifodani turli yo'llar bilan soddalashtirish mumkin: yig'indining kubini qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib birinchi qavsni oching yoki kublar formulasidan foydalanib, butun ifodani faktorlarga ajrating. Tavsiya etilgan usullardan birini ishlatib, buni o'zingiz qilishga harakat qiling.

Shunday qilib, men quyidagilarni oldim:

Va yana bir bor eslaylik. Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilarni o'z ichiga olgan barcha shartlarni e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin:

Biz olamiz: .

d) Xuddi shunday qoidalarni katta kuchlar uchun ham olish mumkin:

e) Aniqlanishicha, bu qoidani butun son emas, ixtiyoriy darajali darajali funksiya uchun umumlashtirish mumkin:

(2)

Qoidani quyidagi so'zlar bilan shakllantirish mumkin: "daraja koeffitsient sifatida oldinga suriladi, keyin esa ga kamayadi."

Biz bu qoidani keyinroq isbotlaymiz (deyarli oxirida). Endi bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Funksiyalarning hosilasini toping:

(ikki usulda: formula bo'yicha va hosila ta'rifidan foydalangan holda - funktsiyaning o'sishini hisoblash orqali);

Trigonometrik funktsiyalar.

Bu erda biz oliy matematikadan bitta faktdan foydalanamiz:

Ifodasi bilan.

Siz dalilni institutning birinchi yilida o'rganasiz (va u erga borish uchun siz Yagona davlat imtihonini yaxshi topshirishingiz kerak). Endi men buni faqat grafik tarzda ko'rsataman:

Funktsiya mavjud bo'lmaganda - grafikdagi nuqta kesilganini ko'ramiz. Ammo qiymatga qanchalik yaqin boʻlsa, funksiya shunchalik yaqin boʻladi.“maqsad” aynan shu.

Bundan tashqari, siz kalkulyator yordamida ushbu qoidani tekshirishingiz mumkin. Ha, ha, uyalmang, kalkulyatorni oling, biz hali yagona davlat imtihonida emasmiz.

Shunday qilib, harakat qilaylik: ;

Kalkulyatorni Radians rejimiga o'tkazishni unutmang!

va hokazo. Ko'ramiz, qanchalik kichik bo'lsa, nisbat qiymati shunchalik yaqinroq bo'ladi.

a) funktsiyani ko'rib chiqing. Odatdagidek, uning o'sishini topamiz:

Keling, sinuslar farqini mahsulotga aylantiraylik. Buning uchun biz formuladan foydalanamiz ("" mavzusini eslang): .

Endi hosila:

Keling, almashtiramiz: . U holda cheksiz kichik uchun u ham cheksiz kichikdir: . uchun ifoda quyidagi shaklni oladi:

Va endi biz buni ifoda bilan eslaymiz. Shuningdek, yig'indida cheksiz kichik miqdorni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa-chi (ya'ni, at).

Shunday qilib, biz quyidagi qoidani olamiz: sinusning hosilasi kosinusga teng:

Bular asosiy (“jadval”) hosilalardir. Mana ular bitta ro'yxatda:

Keyinchalik biz ularga yana bir nechtasini qo'shamiz, lekin bular eng muhimi, chunki ular tez-tez ishlatiladi.

Amaliyot:

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping;
Funktsiyaning hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkich va natural logarifm.

Matematikada shunday funksiya borki, uning har qanday qiymat uchun hosilasi bir vaqtning o‘zida funksiyaning o‘zi qiymatiga teng bo‘ladi. U "eksponent" deb ataladi va eksponensial funktsiyadir

Bu funksiyaning asosi - doimiy - cheksiz o'nli kasr, ya'ni irratsional son (masalan,). U "Eyler raqami" deb ataladi, shuning uchun u harf bilan belgilanadi.

Shunday qilib, qoida:

Eslash juda oson.

Xo'sh, uzoqqa bormaylik, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqaylik. Qaysi funksiya ko‘rsatkichli funktsiyaga teskari funksiya hisoblanadi? Logarifm:

Bizning holatda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Bu nimaga teng? Albatta, .

Tabiiy logarifmning hosilasi ham juda oddiy:

Misollar:

Funktsiyaning hosilasini toping.
Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Eksponensial va natural logarifm hosila nuqtai nazaridan juda oddiy funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Nima qoidalari? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Ana xolos. Bu jarayonni bir so'z bilan yana nima deb atash mumkin? Hosil emas... Matematiklar differensialni funksiyaning bir xil o'sish qismi deb atashadi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Bo'lsin, yoki oddiyroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

bir nuqtada;
bir nuqtada;
bir nuqtada;
nuqtada.

Yechimlar:

Mahsulotning hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: keling, yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

va funksiyalarining hosilalarini toping;
Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichlarni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (bu nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, qandaydir raqam qaerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga qisqartirishga harakat qilaylik:

Buning uchun oddiy qoidadan foydalanamiz: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: u xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Bu erda ham xuddi shunday: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, boshqa asosli ixtiyoriy logarifmni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga qisqartirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir uning o'rniga yozamiz:

Maxraj oddiygina doimiy (o‘zgarmas son, o‘zgaruvchisiz). lotin juda oddiy olinadi:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari Yagona davlat imtihonida deyarli topilmaydi, ammo ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, arktangent emas. Ushbu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi siz logarifmni qiyin deb bilsangiz, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va siz yaxshi bo'lasiz), lekin matematik nuqtai nazardan, "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichkina konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Natijada kompozitsion ob'ekt paydo bo'ladi: shokolad bari o'ralgan va lenta bilan bog'langan. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari qadamlarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda biz sonning kosinusini topamiz, so'ngra olingan sonning kvadratini olamiz. Shunday qilib, bizga raqam (shokolad) beriladi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu murakkab funktsiyaga misol: uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni to'g'ridan-to'g'ri o'zgaruvchi bilan, so'ngra ikkinchi amalni birinchisidan kelib chiqqan holda bajaramiz.

Xuddi shu amallarni teskari tartibda bemalol bajarishimiz mumkin: avval siz uni kvadratga aylantirasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman: . Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Boshqa so'z bilan, murakkab funksiya - bu argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funksiya: .

Birinchi misol uchun, .

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Oxirgi qilgan amalimiz chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchilarni o'zgartirishga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

Biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokolad barimizni ajratib olamiz va hosilani qidiramiz. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misolga kelsak, u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, keling, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

HOSILA. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Funktsiyaning hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz kichik o'sishi uchun argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

Yig'indining hosilasi:

Mahsulot hosilasi:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz va uning hosilasini topamiz.
Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Xo'sh, mavzu tugadi. Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, demak siz juda zo'rsiz.

Chunki odamlarning atigi 5 foizi o‘z kuchi bilan biror narsani o‘zlashtira oladi. Va agar siz oxirigacha o'qisangiz, unda siz ushbu 5% ga kirasiz!

Endi eng muhimi.

Siz ushbu mavzu bo'yicha nazariyani tushundingiz. Va takror aytaman, bu... bu shunchaki ajoyib! Siz allaqachon tengdoshlaringizning aksariyatidan yaxshiroqsiz.

Muammo shundaki, bu etarli bo'lmasligi mumkin ...

Sabab?

Yagona davlat imtihonini muvaffaqiyatli topshirganlik uchun, kollejga byudjetga kirish uchun va ENG MUHIM, umrbod.

Men sizni hech narsaga ishontirmayman, faqat bitta narsani aytaman ...

Yaxshi ma'lumotga ega bo'lgan odamlar, olmaganlarga qaraganda ko'proq pul oladilar. Bu statistika.

Lekin bu asosiy narsa emas.

Asosiysi, ular BAXTLI (Bunday tadqiqotlar bor). Ehtimol, ularning oldida yana ko'p imkoniyatlar ochilib, hayot yanada yorqinroq bo'ladimi? Bilmayman...

Lekin o'zingiz o'ylab ko'ring...

Yagona davlat imtihonida boshqalardan yaxshiroq bo'lish va oxir-oqibat ... baxtli bo'lish uchun nima qilish kerak?

SHU MAVZU BO'YICHA MUAMMOLARNI YECHIB QOLING.

Imtihon paytida sizdan nazariya so'ralmaydi.

Sizga kerak bo'ladi vaqtga qarshi muammolarni hal qilish.

Va agar siz ularni hal qilmagan bo'lsangiz (KO'P!), Agar biror joyda ahmoqona xatoga yo'l qo'yasiz yoki shunchaki vaqtingiz bo'lmaydi.

Bu xuddi sportdagidek - aniq g'alaba qozonish uchun buni ko'p marta takrorlash kerak.

To'plamni xohlagan joyingizda toping, albatta yechimlar, batafsil tahlillar bilan va qaror qiling, qaror qiling, qaror qiling!

Siz bizning vazifalarimizdan foydalanishingiz mumkin (ixtiyoriy) va biz, albatta, ularni tavsiya qilamiz.

Vazifalarimizdan yaxshiroq foydalanish uchun siz hozir o'qiyotgan YouClever darsligining ishlash muddatini uzaytirishga yordam berishingiz kerak.

Qanaqasiga? Ikkita variant mavjud:

Ushbu maqoladagi barcha yashirin vazifalarni oching -
Darslikning barcha 99 ta maqolasidagi barcha yashirin vazifalarga kirishni oching - Darslik sotib oling - 499 rubl

Ha, bizning darsligimizda 99 ta shunday maqola bor va ulardagi barcha vazifalar va yashirin matnlarga kirish darhol ochilishi mumkin.

Barcha yashirin vazifalarga kirish saytning BUTUN muddati davomida taqdim etiladi.

Yakunida...

Bizning vazifalarimiz sizga yoqmasa, boshqalarni toping. Faqat nazariya bilan to'xtamang.

"Tushundim" va "Men hal qila olaman" - bu mutlaqo boshqa ko'nikmalar. Sizga ikkalasi ham kerak.

Muammolarni toping va ularni hal qiling!

(1-rasm)

1-rasm. Hosil grafigi

Hosilaviy grafik xossalari

Ortib borayotgan intervallarda hosila ijobiy bo'ladi. Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum nuqtadagi hosila ijobiy qiymatga ega bo'lsa, u holda bu oraliqdagi funktsiya grafigi ortadi.
Qisqartirilgan oraliqlarda hosila salbiy (minus belgisi bilan) bo'ladi. Agar ma'lum bir oraliqdan ma'lum bir nuqtada hosila manfiy qiymatga ega bo'lsa, u holda funktsiya grafigi bu oraliqda kamayadi.
X nuqtadagi hosila shu nuqtada funksiya grafigiga chizilgan tangensning qiyaligiga teng.
Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarida hosila nolga teng. Bu nuqtada funksiya grafigining tangensi OX o'qiga parallel.

1-misol

Hosilning grafigi (2-rasm) yordamida segmentning qaysi nuqtasida joylashganligini aniqlang [-3; 5] funksiya maksimal.

2-rasm. Hosil grafigi

Yechish: Ushbu segmentda hosila manfiy, ya'ni funksiya chapdan o'ngga kamayadi va eng katta qiymat chap tomonda -3 nuqtada bo'ladi.

2-misol

Hosilning grafigi (3-rasm) yordamida segmentdagi maksimal nuqtalar sonini aniqlang [-11; 3].

3-rasm. Hosil grafigi

Yechish: Maksimal nuqtalar hosila belgisi musbatdan manfiyga o‘zgargan nuqtalarga to‘g‘ri keladi. Ushbu oraliqda funktsiya belgisini ikki marta ortiqcha dan minusga o'zgartiradi - -10 nuqtada va -1 nuqtada. Bu maksimal ball soni ikkita ekanligini anglatadi.

3-misol

Hosilning grafigi (3-rasm) yordamida segmentdagi minimal nuqtalar sonini aniqlang [-11; -1].

Yechish: Minimal nuqtalar hosila belgisi manfiydan musbatga o‘zgargan nuqtalarga to‘g‘ri keladi. Ushbu segmentda bunday nuqta faqat -7 ga teng. Demak, berilgan segmentdagi minimal nuqtalar soni bitta.

4-misol

Hosilaning grafigi (3-rasm) yordamida ekstremum nuqtalar sonini aniqlang.

Yechish: Ekstremal nuqtalar ham minimal, ham maksimal nuqtalardir. Xosilma ishorasini o‘zgartiradigan nuqtalar sonini topamiz.