Tenglamalarni yechishda begona ildizlarning paydo bo'lish sabablari. “Trigonometrik tenglamalarni yechish” seminari. Tenglamalarning ekvivalent transformatsiyalari

Trigonometrik tenglamalar mavzusi maktab ma'ruzasidan boshlanadi, u evristik suhbat shaklida tuzilgan. Ma'ruzada nazariy materiallar va reja bo'yicha barcha tipik muammolarni hal qilish misollari muhokama qilinadi:

• Eng oddiy trigonometrik tenglamalar.
• Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
• Bir jinsli tenglamalar.

Keyingi darslarda o'qituvchi va o'quvchining birgalikdagi faoliyati tamoyilini qo'llash asosida mustaqil qobiliyatlarni rivojlantirish boshlanadi. Birinchidan, talabalar uchun maqsadlar qo'yiladi, ya'ni. kim davlat standartida ko‘rsatilganidan ortig‘ini bilishni istamasligi, kim ko‘proq qilishga tayyorligi aniqlanadi.

Yakuniy tashxis o'quvchilarga "3" bahosini olish uchun zarur bo'lgan minimal bilimlarni ongli ravishda aniqlash imkonini beradigan darajadagi farqni hisobga olgan holda tuziladi. Shunga asoslanib, o'quvchilar bilimini diagnostika qilish uchun ko'p bosqichli materiallar tanlanadi. Bunday ish o‘quvchilarga, shu jumladan, har bir kishiga ongli ta’lim faoliyatiga individual yondashish, o‘z-o‘zini tashkil etish va o‘z-o‘zini o‘rganish ko‘nikmalarini rivojlantirish, faol, mustaqil fikrlashga o‘tishni ta’minlash imkonini beradi.

Seminar trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy ko'nikmalarini mashq qilgandan so'ng o'tkaziladi. Seminar oldidan bir necha darslarda talabalarga seminar davomida muhokama qilinadigan savollar beriladi.

Seminar uch qismdan iborat.

1. Kirish qismi barcha nazariy materiallarni qamrab oladi, jumladan, murakkab tenglamalarni yechishda yuzaga keladigan masalalarga kirish.

2. Ikkinchi bo‘limda quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalar yechimi muhokama qilinadi:

• va cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• darajani kamaytirish orqali yechiladigan tenglamalar.

Bu tenglamalarda universal almashtirish, darajani kamaytirish formulalari va yordamchi argument usuli qo‘llaniladi.

3. Uchinchi qism ildizlarni yo'qotish va begona ildizlarni olish muammolariga bag'ishlangan. Ildizlarni qanday tanlashni ko'rsatadi.

Talabalar guruhlarda ishlaydi. Misollarni hal qilish uchun materialni ko'rsata oladigan va tushuntira oladigan yaxshi o'qitilgan bolalar chaqiriladi.

Seminar yaxshi tayyorlangan talaba uchun mo‘ljallangan, chunki... u dastur materiali doirasidan tashqaridagi masalalarni hal qiladi. U murakkabroq shakldagi tenglamalarni o'z ichiga oladi va ayniqsa, murakkab trigonometrik tenglamalarni yechishda duch keladigan muammolarni hal qiladi.

Seminar 10–11-sinf o‘quvchilari uchun o‘tkazildi. Har bir talaba ushbu mavzu bo‘yicha o‘z bilimini kengaytirish va chuqurlashtirish, o‘z bilim darajasini nafaqat maktab bitiruvchisiga qo‘yiladigan talablar, balki V.U.Z.ga kiruvchilarga qo‘yiladigan talablar bilan solishtirish imkoniyatiga ega bo‘ldi.

SEMINAR

Mavzu:"Trigonometrik tenglamalarni yechish"

Maqsadlar:

• Barcha turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish.
• Muammolarga e'tibor qarating: ildizlarning yo'qolishi; begona ildizlar; ildiz tanlash.

DARS VAQTIDA.

I. Kirish qismi

1. Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari

• Faktorizatsiya.
• Yangi o'zgaruvchini kiritish.
• Funktsional grafik usuli.

2. Trigonometrik tenglamalarning ayrim turlari.

• cos x = t, sin x = t ga nisbatan kvadrat tenglamalarga keltiruvchi tenglamalar.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Ular yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilinadi.

• Birinchi va ikkinchi darajali bir jinsli tenglamalar

Birinchi darajali tenglama: Asinx + Bcosx = 0 cos x ga bo'linadi, biz Atg x + B = 0 ni olamiz

Ikkinchi darajali tenglama: Asin 2 x + Bsinx cosx + Scos 2 x = 0 cos 2 x ga bo'linadi, biz Atg 2 x + Btgx + C = 0 ni olamiz

Ular faktorizatsiya va yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilinadi.

Barcha usullar qo'llaniladi.

• Pastga tushirish:

1). Acos2x + Vcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Faktorizatsiya usuli bilan yechilgan.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Shakl tenglamasi: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

t = sinx + cosx ga nisbatan kvadratga qisqartiriladi; sin2x = t 2 – 1.

3. Formulalar.

x + 2n; Tekshirish talab qilinadi!

• Quvvatni pasaytirish: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Yordamchi argument usuli.

Acosx + Bsinxni Csin (x + ) bilan almashtiramiz, bu erda sin = a/C; cos=v/c;

- yordamchi dalil.

4. Qoidalar.

• Agar kvadratni ko'rsangiz, darajani pasaytiring.
• Agar bir parcha ko'rsangiz, miqdorni belgilang.
• Agar siz miqdorni ko'rsangiz, ishni bajaring.

5. Ildizlarning yo'qolishi, qo'shimcha ildizlar.

• Ildizlarni yo'qotish: g (x) ga bo'linish; xavfli formulalar (universal almashtirish). Ushbu operatsiyalar yordamida biz ta'rif doirasini toraytiramiz.

• Haddan tashqari ildizlar: teng kuchga ko'tariladi; g (x) ga ko'paytiring (maxrajdan xalos bo'ling). Ushbu operatsiyalar yordamida biz ta'rif doirasini kengaytiramiz.

II. Trigonometrik tenglamalarga misollar

1. Asinx + Bcosx = C ko'rinishdagi tenglamalar

1) Universal almashtirish.O.D.Z. x - har qanday.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arktan (–1/3) + k, k Z.

Imtihon: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Tenglamaning ildizi.

Javob: x = arktan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funktsional grafik usuli. O.D.Z. x - har qanday.

Sinx - cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Funksiyalarning grafigini tuzamiz: y = sinx, y = cosx + 1.

Javob: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Yordamchi dalilning kiritilishi. O.D.Z.: x - har qanday.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, chunki (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, shunda gunoh = 8/17,

cos = 15/17, ya'ni sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Javob: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Tartibni qisqartirish: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). gunoh 2 3x + gunoh 2 4x + gunoh 2 6x + gunoh 2 7x = 2. O.D.Z.: x – har qanday.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Javob: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Da

k = 1 va m = 0 k = 4 va m = 1.

seriyalar bir xil.

3. Bir jinslilikka qisqarish. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – har qanday.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ni cos 2 x ga bo'lish mumkin emas, chunki biz ildizlarni yo'qotamiz.
cos 2 x = 0 tenglamani qanoatlantiradi.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Javob: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Shakl tenglamasi: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – har qanday.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = gunoh (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Javob: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizatsiya.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, ildiz yo'q.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Javob: x = arktan(1/2) + n, n Z.

III. Trigonometrik tenglamalarni yechishda yuzaga keladigan masalalar

1. Ildizlarning yo'qolishi: g (x) ga bo'linadi; Biz xavfli formulalardan foydalanamiz.

1) Xatoni toping.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formulasi.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* sosx/2* sinx/2 ni 2 sin 2 x/2 ga bo'lish,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Yo'qotilgan ildizlar sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

To'g'ri yechim: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

gunoh 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Chet ildizlar: maxrajdan qutulamiz; teng kuchga ko'taring.

1). (sin4x – sin2x – sos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). sos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 gunoh 2/3 = 3/2 qanoatlantirmang. O.D.Z. 2. n = 1 gunoh 2= 0 qanoatlantirmoq O.D.Z. 3. n = 2 gunoh 2/3 = –3/2 qanoatlantirmoq O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 gunoh 2/6 = 3/2 O.D.Z ni qanoatlantirmang. 2. k = 1 gunoh 2*5/6 = –3/2 qanoatlantirmoq O.D.Z.

Javob: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. TENGLAMALARNI YECHISHDA YO'QOTILGAN VA YO'QILGAN ILDIRLAR (MISALLAR BO'YICHA)

MA'LUMOT MATERIAL

1. VII bobning 3-bandidagi ikkita teoremada tenglamalardagi qanday harakatlar ularning ekvivalentligini buzmasligi haqida so'z yuritilgan.

2. Endi dastlabki tenglamaga teng bo'lmagan yangi tenglamaga olib kelishi mumkin bo'lgan tenglamalar ustida bunday amallarni ko'rib chiqamiz. Umumiy mulohazalar o'rniga, biz faqat aniq misollarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.

3. 1-misol. Tenglama berilgan bo’lsa, bu tenglamadagi qavslarni ochib, barcha hadlarni chap tomonga o’tkazamiz va kvadrat tenglamani yechamiz. Uning ildizlari

Agar siz tenglamaning ikkala tomonini umumiy koeffitsientga kamaytirsangiz, siz asl tenglamaga teng bo'lmagan tenglamani olasiz, chunki u faqat bitta ildizga ega.

Shunday qilib, tenglamaning ikkala tomonini noma'lumni o'z ichiga olgan koeffitsientga kamaytirish tenglamaning ildizlarini yo'qotishiga olib kelishi mumkin.

4. Misol 2. Bu tenglamaning bitta ildizi bor, bu tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga aylantiramiz va biz ikkita ildizni topamiz.

Ko'ramizki, yangi tenglama asl tenglamaga ekvivalent emas

5. Chetdan ildizlar tenglamaning har ikki tomoni noma’lum bo‘lgan koeffitsientga ko‘paytirilganda ham paydo bo‘lishi mumkin, agar bu omil x ning haqiqiy qiymatlari uchun yo‘qolsa.

3-misol. Agar tenglamaning har ikki tomonini ko‘paytirsak, yangi tenglamaga ega bo‘lamiz, u atamani o‘ng tomondan chapga o‘tkazib, ko‘paytirgichlarga ajratgandan so‘ng ikkalasidan ham tenglama hosil bo‘ladi.

Ildiz faqat bitta ildizga ega bo'lgan tenglamani qanoatlantirmaydi

Bu erdan xulosa qilamiz: tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirganda (umuman teng darajaga), shuningdek, noma'lumni o'z ichiga olgan koeffitsientga ko'paytirishda va noma'lumlarning haqiqiy qiymatlarida yo'q bo'lganda, begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin.

Tenglamaning begona ildizlarining yo'qolishi va paydo bo'lishi masalasi bo'yicha bu erda ifodalangan barcha mulohazalar har qanday tenglamalarga (algebraik, trigonometrik va boshqalar) teng qo'llaniladi.

6. Agar noma’lum ustida faqat algebraik amallar bajarilsa – qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va tabiiy ko‘rsatkich bilan ildiz chiqarish (va bunday amallar soni chekli bo‘lsa) tenglama algebraik deyiladi.

Masalan, tenglamalar

algebraik va tenglamalar

Tishlar. Umurtqali hayvonlarning tishlari tuzilishi va rivojlanishi jihatidan akula baliqlarining butun terisini qoplaydigan plakoid tarozilarga mutlaqo oʻxshaydi. Butun og'iz bo'shlig'i va qisman faringeal bo'shliq ektodermal epiteliy bilan qoplanganligi sababli, odatda plakoid ... ...

O'pka sili- O'pka TUBERKULYOZI. Mundarija: I. Patologik anatomiya............110 II. O'pka tuberkulyozining tasnifi.... 124 III. Klinika.......................128 IV. Diagnostika.......................160 V. Prognoz....................... ......... 190 VI. Davolash… Buyuk tibbiy ensiklopediya

Zaharlanish- ZAHARLASH. Zaharlanish "hayvonlarning funktsiyalarining buzilishi" degan ma'noni anglatadi. ekzogen yoki endogen, kimyoviy yoki fizik-kimyoviy faol moddalar natijasida kelib chiqqan organizmlar sifati, miqdori yoki kontsentratsiyasi jihatidan begona bo'lgan ... ... Buyuk tibbiy ensiklopediya

Dukkakli nodul bakteriyalari- Paleontologik ma'lumotlar shuni ko'rsatadiki, tugunlari bo'lgan eng qadimgi dukkaklilar Eucaesalpinioideae guruhiga mansub ba'zi o'simliklardir. Dukkakli o'simliklarning zamonaviy turlarida tugunlar topilgan ... Biologik entsiklopediya

"Luntik" animatsion seriyasining epizodlari ro'yxati- Ushbu maqolada ma'lumot manbalariga havolalar yo'q. Ma'lumotlar tekshirilishi kerak, aks holda ular shubha ostiga olinishi va o'chirilishi mumkin. Siz... Vikipediya

O'SIM VA MUHIT- o'simlik hayoti, boshqa tirik organizmlar kabi, o'zaro bog'liq jarayonlarning murakkab majmuidir; Ulardan eng muhimi, ma'lumki, atrof-muhit bilan moddalar almashinuvidir. Atrof-muhit - bu manba ... ... Biologik entsiklopediya

"Luntik" seriyasining epizodlari ro'yxati- Asosiy maqola: Luntik va uning do'stlarining sarguzashtlari Mundarija 1 Qismlar soni 2 Luntik va uning do'stlari animatsion seriyasining epizodlari ro'yxati ... Vikipediya

Meva daraxtlari kasalliklari- Meva daraxtlari, insonning doimiy g'amxo'rligi tufayli, madaniyatning ko'plab sharoitlarining, xususan, biz qo'ygan talablarning qarshi ta'siri bo'lmasa, o'stirilmagan qarindoshlariga qaraganda ancha kattaroq yoshga etishi kerak... ...

O'rmon kesish- Oʻrmon yigʻish yoki oʻrmondan daromadni yogʻoch va poʻstloq koʻrinishida olish ikki yoʻl bilan amalga oshirilishi mumkin: butun daraxtlarni, yaʼni poyalarini ildizlari bilan birga, alohida-alohida, birinchi kesilgan yoki olib tashlangan qismlarga boʻlib qazish yoki ildizi bilan sugʻorish yoʻli bilan. dan...... Entsiklopedik lug'at F.A. Brockhaus va I.A. Efron

Grosh- (polyak grosz, nemischa Groschen, lotincha grossus (dēnārius) "qalin denarius") turli mamlakatlar va davrlarning tangalari. Mundarija 1 Bir tiyinning ko'rinishi ... Vikipediya

AQSh tangalari- 20 Sent-Gaudens dollari AQShning eng chiroyli va qimmat tangalari AQSh zarbxonasida zarb qilingan tangalardir. 1792 yildan beri ishlab chiqarilgan... Vikipediya

Kitoblar

• Ayollarda soch to'kilishining asosiy sabablari, Aleksey Michman, o'nta ayoldan oltitasi hayotining bir nuqtasida soch to'kilishidan aziyat chekadi. Soch to‘kilishi bir qancha sabablarga ko‘ra yuzaga kelishi mumkin, masalan, irsiyat, gormonal o‘zgarishlar... Kategoriya:

O'tgan darsda biz tenglamalarni yechish uchun uchta bosqichdan foydalandik.

Birinchi bosqich - texnik. Dastlabki tenglamadan o'zgarishlar zanjiridan foydalanib, biz juda oddiy tenglamaga erishamiz, biz uni hal qilamiz va ildizlarini topamiz.

Ikkinchi bosqich - bu yechim tahlili. Biz amalga oshirgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz va ularning ekvivalentligini aniqlaymiz.

Uchinchi bosqich - tekshirish. Barcha topilgan ildizlarni ularni asl tenglamaga almashtirish orqali tekshirish xulosa tenglamaga olib kelishi mumkin bo'lgan o'zgarishlarni amalga oshirishda majburiydir.

Tenglamani yechishda har doim uch bosqichni ajratish kerakmi?

Albatta yo'q. Masalan, ushbu tenglamani echishda. Kundalik hayotda ular odatda ajralib turmaydi. Ammo bu bosqichlarning barchasini "esda tutish" va u yoki bu shaklda amalga oshirish kerak. Transformatsiyalarning ekvivalentligini tahlil qilish juda muhimdir. Va agar tahlil tekshiruvni o'tkazish kerakligini ko'rsatsa, unda bu majburiydir. Aks holda, tenglamani to'g'ri yechilgan deb hisoblash mumkin emas.

Har doim tenglamaning ildizlarini faqat almashtirish orqali tekshirish mumkinmi?

Agar tenglamani echishda ekvivalent o'zgarishlardan foydalanilgan bo'lsa, tekshirish talab qilinmaydi. Tenglamaning ildizlarini tekshirishda ODZ (ruxsat etilgan qiymat diapazoni) juda tez-tez ishlatiladi, agar ODZ yordamida tekshirish qiyin bo'lsa, uni dastlabki tenglamaga almashtirish orqali amalga oshiriladi.

1-mashq

Ikki x plyus uchta teng bir plyus x tenglamaning kvadrat ildizini yeching.

Yechim

Tenglamaning ODZ ikki tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi: ikkita x plyus uchta noldan katta yoki teng va bir ortiqcha x noldan katta yoki teng. Yechim x minus birdan katta yoki teng.

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz, hadlarni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tkazamiz, o‘xshash hadlarni qo‘shamiz va kvadrat tenglamani olamiz x kvadrat ikkiga teng. Uning ildizlari

x birinchi, ikkinchi ikkining kvadrat ildiziga plyus yoki minusga teng.

Imtihon

Birinchi x ning qiymati ikkining kvadrat ildiziga teng, tenglamaning ildizi hisoblanadi, chunki u ODZga kiritilgan.
X soniya qiymati minus kvadrat ildiz ikki tenglamaning ildizi emas, chunki u DZ ga kiritilmagan.
Keling, x ildizni ikkining kvadrat ildiziga tengligini tekshirib ko'ramiz, uni asl tenglikka almashtiramiz, biz olamiz

tenglik to'g'ri, ya'ni x ikkining kvadrat ildiziga teng, tenglamaning ildizi.

Javob: ikkining kvadrat ildizi.

Vazifa 2

Tenglamani yeching kvadrat ildiz x minus sakkizga teng besh minus x.

Yechim

Irratsional tenglamaning ODZi ikkita tengsizlik tizimi bilan aniqlanadi: x minus sakkiz noldan katta yoki teng va besh minus x noldan katta yoki teng. Uni hal qilib, biz ushbu tizimda hech qanday yechim yo'qligini aniqlaymiz. Tenglamaning ildizi x o'zgaruvchining qiymatlaridan birortasi bo'lishi mumkin emas.

Javob: ildiz yo'q.

Vazifa 3

X kubikning kvadrat ildizi plyus to‘rt x minus bir minus sakkiz kvadrat ildizning to‘rtinchi darajali tenglamasini yeching.

Yechim

Ushbu tenglamada ODZni topish juda qiyin.

Keling, o'zgartirishni amalga oshiramiz: bu tenglamaning ikkala tomonini kvadrat,

Keling, barcha hadlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazamiz va o'xshash hadlarni keltiramiz, ikkita ildizni bitta ostiga yozamiz, o'xshash radikallarni olamiz, o'xshashlarni keltiramiz, koeffitsient minus 12 ga bo'linib, radikal ifodani ko'paytiramiz, biz tenglamani olamiz nolga teng ikki omil ko'paytmasi shakli. Uni hal qilib, biz ildizlarni topamiz:

x birinchisi birga, x ikkinchisi nolga teng.

Biz tenglamaning ikkala tomonini teng kuchga ko'targanimiz sababli, ildizlarni tekshirish majburiydir.

Imtihon

Agar x birga teng bo'lsa, u holda

biz to'g'ri tenglikni olamiz, ya'ni x teng bitta tenglamaning ildizidir.

Agar x nolga teng bo'lsa, minus birning kvadrat ildizi aniqlanmagan.

Demak, nolga teng x begona ildizdir.

Javob: bitta.

Vazifa 4

X kvadrat plyus besh x plyus ikki asos ikki teng uchga teng ifodaning logarifm tenglamasini yeching.

Yechim

ODZ tenglamasini topamiz. Buning uchun x kvadrat plyus besh x plyus ikkita nolga tengsizlikni yechamiz.

Tengsizlikni interval usuli yordamida yechamiz. Buning uchun biz kvadrat tenglamani oldindan yechib, uning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tengsizlik belgisini hisobga olib, ODZni aniqlaymiz. ODZ ochiq nurlarning minus cheksizlikdan minus besh kasrga plyus o'n ettita kvadrat ildizning ikkiga bo'linishiga va minus besh kasrdan o'n ettita kvadrat ildizning ikkiga bo'linib, plyus cheksizgacha bo'lgan birlashuviga teng.

Endi tenglamaning ildizlarini topishni boshlaylik. Uchtasi sakkizta logarifmaning ikkiga teng ekanligini hisobga olib, tenglamani quyidagicha yozamiz: ifodaning logarifmi x kvadrat plyus besh x plyus ikkita asos ikkiga sakkizning logarifmiga teng. Tenglamani potensiyalashtiramiz, kvadrat tenglamani olamiz va yechamiz.

Diskriminant qirq to'qqizta.

Ildizlarni hisoblang:

X birinchi minus oltiga teng; x soniya birga teng.

Imtihon

Minus olti ODZga, biri ODZga tegishli, ya'ni ikkala raqam ham tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob: minus olti; bitta.

Oxirgi darsda biz begona ildizlarning paydo bo'lishi masalasini ko'rib chiqdik. Biz ularni tekshirish orqali aniqlashimiz mumkin. Tenglamani yechishda ildizlarni yo'qotish mumkinmi va buni qanday oldini olish mumkin?

Tenglama bo'yicha bunday harakatlarni bajarishda, masalan, birinchidan, tenglamaning har ikki tomonini x dan bir xil aks bilan bo'lish (x dan ax har qanday x uchun nolga teng emasligi aniq ma'lum bo'lgan holatlar bundan mustasno). tenglamani aniqlash sohasi);

ikkinchidan, yechish jarayonida tenglamaning OD ni toraytirish tenglama ildizlarini yo‘qotishiga olib kelishi mumkin.

Eslab qoling!

Tenglama quyidagicha yoziladi

ef dan x dan kulga ko'paytirilgan x dan zhe ga teng x dan kulga ko'paytirilgan x dan kul shu tarzda echiladi:

umumiy koʻrsatkichni qavs ichidan chiqarib, faktorlarga ajratish kerak;

keyin har bir omilni nolga tenglashtiring va shu bilan ikkita tenglamani oling.

Biz ularning ildizlarini hisoblaymiz.

1-mashq

x kub x ga teng tenglamani yeching.

Birinchi yo'l

Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini x ga bo'lamiz, biz x kvadrat teng bo'ladi, birinchi bo'lib x ildizlari birga teng,

x soniya minus birga teng.

Ikkinchi yo'l

X kubi X ga teng. Tenglamaning chap tomoniga x ni o'tkazamiz, qavs ichidan x ni chiqaramiz va biz quyidagilarga erishamiz: x ko'paytma x kvadrat minus bir nolga teng.

Keling, uning ildizlarini hisoblaymiz:

X birinchi nolga teng, x ikkinchi birga teng, x uchinchi minus birga teng.

Tenglama uchta ildizga ega.

Birinchi usulni yechishda biz bitta ildizni yo'qotdik - x nolga teng.

Javob: minus bir; nol; bitta.

Eslab qoling! Tenglamaning ikkala tomonini noma'lumni o'z ichiga olgan omil bilan kamaytirish ildizlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin.

Vazifa 2

Tenglamani yeching: x kvadratining o'nlik logarifmi ikkiga teng.

Yechim

Birinchi yo'l

Logarifmning ta'rifi bilan biz kvadrat tenglamani olamiz x kvadrat yuzga teng.

Uning ildizlari: x birinchi o'nga teng; X soniya minus o'nga teng.

Ikkinchi yo'l

Logarifmlarning xossasi bo'yicha bizda ikkita o'nlik logarifm bor x ikkitaga teng.

Uning ildizi - x o'nga teng

Ikkinchi usul bilan x ildizi minus o'nga teng bo'lib yo'qolgan. Buning sababi shundaki, ular noto'g'ri formulani qo'llashdi, tenglama doirasini toraytirdilar. X kvadratining o'nlik logarifmi uchun ifoda nolga teng xdan tashqari barcha x uchun aniqlanadi. X ning o'nlik logarifmi uchun ifoda noldan katta x uchundir. O'nlik logarifm x kvadrat uchun to'g'ri formula ikkita o'nlik logarifm moduli x ga teng.

Eslab qoling! Tenglamani yechishda mavjud formulalardan oqilona foydalaning.

Tenglamalarni yechishning asosiy usullari

Tenglamaning yechimi nima?

Bir xil transformatsiya. Asosiy

shaxsni o'zgartirish turlari.

Chet el ildizi. Ildiz yo'qolishi.

Tenglamani yechish asosan berilgan tenglamani unga ekvivalent boshqa tenglama bilan almashtirishdan iborat jarayon . Bu almashtirish deyiladibir xil transformatsiya . Identifikatsiyaning asosiy o'zgarishlari quyidagilardan iborat:

1.

Bir ifodani unga bir xil teng bo'lgan boshqa ifoda bilan almashtirish. Masalan, tenglama (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 quyidagi ekvivalent bilan almashtirilishi mumkin:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Tenglama a'zolarini bir tomondan ikkinchi tomonga teskari belgilar bilan o'tkazish. Shunday qilib, oldingi tenglamada biz uning barcha shartlarini o'ngdan chapga "-" belgisi bilan o'tkazishimiz mumkin: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, shundan keyin biz quyidagilarni olamiz:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Tenglamaning ikkala tomonini noldan boshqa bir xil ifodaga (songa) ko‘paytirish yoki bo‘lish. Bu juda muhim, chunkiagar biz ko'paytirayotgan yoki bo'layotgan ifoda nolga teng bo'lsa, yangi tenglama avvalgisiga teng bo'lmasligi mumkin.

MISOL Tenglamax - 1 = 0 bitta ildizga egax = 1.

Ikkala tomonni ko'paytirishx - 3 , tenglamani olamiz

( x - 1)( x - 3) = 0, uning ikkita ildizi bor:x = 1 vax = 3.

Oxirgi qiymat berilgan tenglamaning ildizi emas

x - 1 = 0. Bu shunday deyiladibegona ildiz .

Aksincha, bo'linish olib kelishi mumkinildiz yo'qotish . Shunday qilib

bizning holatlarimizda, agar (x - 1 )( x - 3 ) = 0 asl

tenglama, keyin ildizx = 3 bo'linishda yo'qoladi

tenglamaning ikkala tomoni yoniqx - 3 .

Oxirgi tenglamada (2-band) biz uning barcha shartlarini 3 ga bo'lishimiz mumkin (nol emas!) va nihoyat:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Bu tenglama asl tenglamaga teng:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

mumkintenglamaning ikkala tomonini toq darajaga ko'taring yokitenglamaning har ikki tomonidan toq ildizni ajratib oling . Shuni yodda tutish kerak:

a) qurilishhatto daraja sabab bo'lishi mumkinxorijiy ildizlarni olish uchun ;

b)noto'g'ri qazib olishhatto ildiz olib kelishi mumkinildizlarning yo'qolishi .

MISOLLAR. Tenglama 7x = 35 bitta ildizga egax = 5 .

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz hosil bo'lamiz

tenglama:

49 x 2 = 1225 .

ikkita ildizga ega:x = 5 Vax = – 5. Oxirgi qiymat

begona ildiz hisoblanadi.

Noto'g'ri ikkalasining kvadrat ildizini olish

49- tenglama qismlarix 2 = 1225 natija 7x = 35,

va biz ildizlarimizni yo'qotmoqdamizx = – 5.

To'g'ri kvadrat ildizni olish natijasida

tenglama: | 7x | = 35, A shuning uchun ikkita holatda:

1) 7 x = 35, Keyinx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Keyinx = – 5 .

Shuning uchun, qachonto'g'ri kvadratni chiqarib olish

ildizlar biz tenglamaning ildizlarini yo'qotmaymiz.

Nimani anglatadiTo'g'ri ildizni chiqarib oling? Bu biz uchrashadigan joy

juda muhim tushuncha bilanarifmetik ildiz

(sm. ).