Qaysi transformatsiya ildizlarning yo'qolishiga olib kelmaydi. Tenglamalarni o'zgartirish, ekvivalent o'zgartirishlar. DL shartlariga ko'ra

Trigonometrik tenglamalar mavzusi maktab ma'ruzasidan boshlanadi, u evristik suhbat shaklida tuzilgan. Ma'ruzada nazariy materiallar va reja bo'yicha barcha tipik muammolarni hal qilish misollari muhokama qilinadi:

• Eng oddiy trigonometrik tenglamalar.
• Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari.
• Bir jinsli tenglamalar.

Keyingi darslarda o'qituvchi va o'quvchining birgalikdagi faoliyati tamoyilini qo'llash asosida mustaqil qobiliyatlarni rivojlantirish boshlanadi. Birinchidan, talabalar uchun maqsadlar qo'yiladi, ya'ni. kim davlat standartida ko‘rsatilganidan ortig‘ini bilishni istamasligi, kim ko‘proq qilishga tayyorligi aniqlanadi.

Yakuniy tashxis o'quvchilarga "3" bahosini olish uchun zarur bo'lgan minimal bilimlarni ongli ravishda aniqlash imkonini beradigan darajadagi farqni hisobga olgan holda tuziladi. Shunga asoslanib, o'quvchilar bilimini diagnostika qilish uchun ko'p bosqichli materiallar tanlanadi. Bunday ish o‘quvchilarga, shu jumladan, har bir kishiga ongli ta’lim faoliyatiga individual yondashish, o‘z-o‘zini tashkil etish va o‘z-o‘zini o‘rganish ko‘nikmalarini rivojlantirish, faol, mustaqil fikrlashga o‘tishni ta’minlash imkonini beradi.

Seminar trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy ko'nikmalarini mashq qilgandan so'ng o'tkaziladi. Seminar oldidan bir necha darslarda talabalarga seminar davomida muhokama qilinadigan savollar beriladi.

Seminar uch qismdan iborat.

1. Kirish qismi barcha nazariy materiallarni qamrab oladi, jumladan, murakkab tenglamalarni yechishda yuzaga keladigan masalalarga kirish.

2. Ikkinchi bo‘limda quyidagi ko‘rinishdagi tenglamalar yechimi muhokama qilinadi:

• va cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• darajani kamaytirish orqali yechiladigan tenglamalar.

Bu tenglamalarda universal almashtirish, darajani kamaytirish formulalari va yordamchi argument usuli qo‘llaniladi.

3. Uchinchi qism ildizlarni yo'qotish va begona ildizlarni olish muammolariga bag'ishlangan. Ildizlarni qanday tanlashni ko'rsatadi.

Talabalar guruhlarda ishlaydi. Misollarni hal qilish uchun materialni ko'rsata oladigan va tushuntira oladigan yaxshi o'qitilgan bolalar chaqiriladi.

Seminar yaxshi tayyorlangan talaba uchun mo‘ljallangan, chunki... u dastur materiali doirasidan tashqaridagi masalalarni hal qiladi. U murakkabroq shakldagi tenglamalarni o'z ichiga oladi va ayniqsa, murakkab trigonometrik tenglamalarni yechishda duch keladigan muammolarni hal qiladi.

Seminar 10–11-sinf o‘quvchilari uchun o‘tkazildi. Har bir talaba ushbu mavzu bo‘yicha o‘z bilimini kengaytirish va chuqurlashtirish, o‘z bilim darajasini nafaqat maktab bitiruvchisiga qo‘yiladigan talablar, balki V.U.Z.ga kiruvchilarga qo‘yiladigan talablar bilan solishtirish imkoniyatiga ega bo‘ldi.

SEMINAR

Mavzu:"Trigonometrik tenglamalarni yechish"

Maqsadlar:

• Barcha turdagi trigonometrik tenglamalarni yechish bo'yicha bilimlarni umumlashtirish.
• Muammolarga e'tibor qarating: ildizlarning yo'qolishi; begona ildizlar; ildiz tanlash.

DARS VAQTIDA.

I. Kirish qismi

1. Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari

• Faktorizatsiya.
• Yangi o'zgaruvchini kiritish.
• Funktsional grafik usuli.

2. Trigonometrik tenglamalarning ayrim turlari.

• cos x = t, sin x = t ga nisbatan kvadrat tenglamalarga keltiruvchi tenglamalar.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Ular yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilinadi.

• Birinchi va ikkinchi darajali bir jinsli tenglamalar

Birinchi darajali tenglama: Asinx + Bcosx = 0 cos x ga bo'linadi, biz Atg x + B = 0 ni olamiz

Ikkinchi darajali tenglama: Asin 2 x + Bsinx cosx + Scos 2 x = 0 cos 2 x ga bo'linadi, biz Atg 2 x + Btgx + C = 0 ni olamiz

Ular faktorizatsiya va yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilinadi.

Barcha usullar qo'llaniladi.

• Pastga tushirish:

1). Acos2x + Vcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Faktorizatsiya usuli bilan yechilgan.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Shakl tenglamasi: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

t = sinx + cosx ga nisbatan kvadratga qisqartiriladi; sin2x = t 2 – 1.

3. Formulalar.

x + 2n; Tekshirish talab qilinadi!

• Quvvatni pasaytirish: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Yordamchi argument usuli.

Acosx + Bsinxni Csin (x + ) bilan almashtiramiz, bu erda sin = a/C; cos=v/c;

- yordamchi dalil.

4. Qoidalar.

• Agar kvadratni ko'rsangiz, darajani pasaytiring.
• Agar bir parcha ko'rsangiz, miqdorni belgilang.
• Agar siz miqdorni ko'rsangiz, ishni bajaring.

5. Ildizlarning yo'qolishi, qo'shimcha ildizlar.

• Ildizlarni yo'qotish: g (x) ga bo'linish; xavfli formulalar (universal almashtirish). Ushbu operatsiyalar yordamida biz ta'rif doirasini toraytiramiz.

• Haddan tashqari ildizlar: teng kuchga ko'tariladi; g (x) ga ko'paytiring (maxrajdan xalos bo'ling). Ushbu operatsiyalar yordamida biz ta'rif doirasini kengaytiramiz.

II. Trigonometrik tenglamalarga misollar

1. Asinx + Bcosx = C ko'rinishdagi tenglamalar

1) Universal almashtirish.O.D.Z. x - har qanday.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arktan (–1/3) + k, k Z.

Imtihon: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Tenglamaning ildizi.

Javob: x = arktan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funktsional grafik usuli. O.D.Z. x - har qanday.

Sinx - cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Funksiyalarning grafigini tuzamiz: y = sinx, y = cosx + 1.

Javob: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Yordamchi dalilning kiritilishi. O.D.Z.: x - har qanday.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, chunki (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, shunda gunoh = 8/17,

cos = 15/17, ya'ni sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Javob: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Tartibni qisqartirish: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). gunoh 2 3x + gunoh 2 4x + gunoh 2 6x + gunoh 2 7x = 2. O.D.Z.: x – har qanday.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Javob: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Da

k = 1 va m = 0 k = 4 va m = 1.

seriyalar bir xil.

3. Bir jinslilikka qisqarish. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – har qanday.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ni cos 2 x ga bo'lish mumkin emas, chunki biz ildizlarni yo'qotamiz.
cos 2 x = 0 tenglamani qanoatlantiradi.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Javob: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Shakl tenglamasi: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – har qanday.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = gunoh (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Javob: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorizatsiya.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, ildiz yo'q.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Javob: x = arktan(1/2) + n, n Z.

III. Trigonometrik tenglamalarni yechishda yuzaga keladigan masalalar

1. Ildizlarning yo'qolishi: g (x) ga bo'linadi; Biz xavfli formulalardan foydalanamiz.

1) Xatoni toping.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formulasi.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* sosx/2* sinx/2 ni 2 sin 2 x/2 ga bo'lish,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Yo'qotilgan ildizlar sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

To'g'ri yechim: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

gunoh 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Chet ildizlar: maxrajdan qutulamiz; teng kuchga ko'taring.

1). (sin4x – sin2x – sos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). sos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx - 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 gunoh 2/3 = 3/2 qanoatlantirmang. O.D.Z. 2. n = 1 gunoh 2= 0 qanoatlantirmoq O.D.Z. 3. n = 2 gunoh 2/3 = –3/2 qanoatlantirmoq O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 gunoh 2/6 = 3/2 O.D.Z ni qanoatlantirmang. 2. k = 1 gunoh 2*5/6 = –3/2 qanoatlantirmoq O.D.Z.

Javob: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Tenglamalarni yechishning asosiy usullari

Tenglamaning yechimi nima?

Bir xil transformatsiya. Asosiy

shaxsni o'zgartirish turlari.

Chet el ildizi. Ildiz yo'qolishi.

Tenglamani yechish asosan berilgan tenglamani unga ekvivalent boshqa tenglama bilan almashtirishdan iborat jarayon . Bu almashtirish deyiladibir xil transformatsiya . Identifikatsiyaning asosiy o'zgarishlari quyidagilardan iborat:

1.

Bir ifodani unga bir xil teng bo'lgan boshqa ifoda bilan almashtirish. Masalan, tenglama (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 quyidagi ekvivalent bilan almashtirilishi mumkin:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Tenglama a'zolarini bir tomondan ikkinchi tomonga teskari belgilar bilan o'tkazish. Shunday qilib, oldingi tenglamada biz uning barcha shartlarini o'ngdan chapga "-" belgisi bilan o'tkazishimiz mumkin: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, shundan keyin biz quyidagilarni olamiz:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Tenglamaning ikkala tomonini noldan boshqa bir xil ifodaga (songa) ko‘paytirish yoki bo‘lish. Bu juda muhim, chunkiagar biz ko'paytirayotgan yoki bo'layotgan ifoda nolga teng bo'lsa, yangi tenglama avvalgisiga teng bo'lmasligi mumkin.

MISOL Tenglamax - 1 = 0 bitta ildizga egax = 1.

Ikkala tomonni ko'paytirishx - 3 , tenglamani olamiz

( x - 1)( x - 3) = 0, uning ikkita ildizi bor:x = 1 vax = 3.

Oxirgi qiymat berilgan tenglamaning ildizi emas

x - 1 = 0. Bu shunday deyiladibegona ildiz .

Aksincha, bo'linish olib kelishi mumkinildiz yo'qotish . Shunday qilib

bizning holatlarimizda, agar (x - 1 )( x - 3 ) = 0 asl

tenglama, keyin ildizx = 3 bo'linishda yo'qoladi

tenglamaning ikkala tomoni yoniqx - 3 .

Oxirgi tenglamada (2-band) biz uning barcha shartlarini 3 ga bo'lishimiz mumkin (nol emas!) va nihoyat:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Bu tenglama asl tenglamaga teng:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

mumkintenglamaning ikkala tomonini toq darajaga ko'taring yokitenglamaning har ikki tomonidan toq ildizni ajratib oling . Shuni yodda tutish kerak:

a) qurilishhatto daraja sabab bo'lishi mumkinxorijiy ildizlarni olish uchun ;

b)noto'g'ri qazib olishhatto ildiz olib kelishi mumkinildizlarning yo'qolishi .

MISOLLAR. Tenglama 7x = 35 bitta ildizga egax = 5 .

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz hosil bo'lamiz

tenglama:

49 x 2 = 1225 .

ikkita ildizga ega:x = 5 Vax = – 5. Oxirgi qiymat

begona ildiz hisoblanadi.

Noto'g'ri ikkalasining kvadrat ildizini olish

49- tenglama qismlarix 2 = 1225 natija 7x = 35,

va biz ildizlarimizni yo'qotmoqdamizx = – 5.

To'g'ri kvadrat ildizni olish natijasida

tenglama: | 7x | = 35, A shuning uchun ikkita holatda:

1) 7 x = 35, Keyinx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Keyinx = – 5 .

Shuning uchun, qachonto'g'ri kvadratni chiqarib olish

ildizlar biz tenglamaning ildizlarini yo'qotmaymiz.

Nimani anglatadiTo'g'ri ildizni chiqarib oling? Bu biz uchrashadigan joy

juda muhim tushuncha bilanarifmetik ildiz

(sm. ).

Chetdan ildizlar deb ataladigan paydo bo'lishiga olib kelishi mumkin. Ushbu maqolada biz birinchi navbatda nima ekanligini batafsil tahlil qilamiz begona ildizlar. Ikkinchidan, ularning paydo bo'lish sabablari haqida gapiraylik. Uchinchidan, misollar yordamida biz begona ildizlarni filtrlashning asosiy usullarini ko'rib chiqamiz, ya'ni ularni javobdan chiqarib tashlash uchun ular orasida begona ildizlarning mavjudligini tekshirish.

Tenglamaning tashqi ildizlari, ta'rifi, misollar

Maktab algebra darsliklarida begona ildizning ta'rifi berilmagan. U erda begona ildiz haqidagi g'oya quyidagi vaziyatni tasvirlash orqali hosil bo'ladi: tenglamaning ba'zi o'zgarishlari yordamida dastlabki tenglamadan xulosa tenglamaga o'tish amalga oshiriladi, natijada hosil bo'lgan natijaviy tenglamaning ildizlari topiladi. , va topilgan ildizlar dastlabki tenglamaga almashtirish orqali tekshiriladi, bu topilganlarning ba'zi ildizlari asl tenglamaning ildizlari emasligini ko'rsatadi, bu ildizlar asl tenglama uchun begona ildizlar deb ataladi.

Ushbu asosdan boshlab, siz o'zingiz uchun begona ildizning quyidagi ta'rifini qabul qilishingiz mumkin:

Ta'rif

Tashqi ildizlar- bular o'zgartirishlar natijasida olingan xulosa tenglamaning ildizlari bo'lib, ular dastlabki tenglamaning ildizlari bo'lmaydi.

Keling, misol keltiraylik. Ifodani bir xil teng x·(x−1) ifoda bilan almashtirish orqali olingan bu tenglamaning x·(x−1)=0 tenglamasini va natijasini ko‘rib chiqamiz. Dastlabki tenglama bitta ildizga ega 1. Transformatsiya natijasida olingan tenglama 0 va 1 ikkita ildizga ega. Bu 0 asl tenglama uchun begona ildiz ekanligini anglatadi.

Chet el ildizlarining paydo bo'lishining sabablari

Agar natijaviy tenglamani olish uchun siz hech qanday "ekzotik" o'zgarishlardan foydalanmasangiz, faqat tenglamalarning asosiy o'zgarishlaridan foydalansangiz, unda begona ildizlar faqat ikkita sababga ko'ra paydo bo'lishi mumkin:

• ODZning kengayishi hisobiga va
• tenglamaning ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarish tufayli.

Shuni esda tutish kerakki, tenglamani o'zgartirish natijasida ODZning kengayishi asosan sodir bo'ladi.

• Fraksiyalarni kamaytirishda;
• Mahsulotni bir yoki bir nechta nol omillar bilan nolga almashtirishda;
• Kasrni nol hisoblagich bilan nol bilan almashtirganda;
• Darajalar, ildizlar, logarifmlarning ayrim xossalaridan foydalanilganda;
• Ayrim trigonometrik formulalardan foydalanilganda;
• Tenglamaning ikkala tomoni bir xil ifodaga ko'paytirilsa, u bu tenglama uchun ODZ ga yo'qoladi;
• Yechish jarayonida logarifm belgilaridan ozod qilinganda.

Maqolaning oldingi bandidagi misol, tenglamadan x·(x−1)=0 natijaviy tenglamaga o'tishda yuzaga keladigan ODZning kengayishi tufayli begona ildizning paydo bo'lishini ko'rsatadi. Dastlabki tenglama uchun ODZ barcha haqiqiy sonlar to'plamidir, noldan tashqari, hosil bo'lgan tenglama uchun ODZ R to'plamidir, ya'ni ODZ nol soniga kengaytiriladi. Bu raqam oxir-oqibat begona ildiz bo'lib chiqadi.

Shuningdek, biz tenglamaning ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarish tufayli begona ildizning paydo bo'lishiga misol keltiramiz. Irratsional tenglama bitta ildizga ega 4 va bu tenglamaning natijasi tenglamaning har ikki tomonini kvadratga solish orqali olingan, ya'ni tenglama. , ikkita ildizi bor 1 va 4. Bundan ko'rinib turibdiki, tenglamaning ikkala tomonini kvadratga solish dastlabki tenglama uchun begona ildizning paydo bo'lishiga olib keldi.

E'tibor bering, ODZni kengaytirish va tenglamaning ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarish har doim ham begona ildizlarning paydo bo'lishiga olib kelmaydi. Masalan, tenglamadan x=2 natijaviy tenglamaga o'tishda ODZ barcha manfiy bo'lmagan sonlar to'plamidan barcha haqiqiy sonlar to'plamiga kengayadi, lekin begona ildizlar paydo bo'lmaydi. 2 birinchi va ikkinchi tenglamalarning yagona ildizidir. Shuningdek, tenglamadan xulosa tenglamaga o'tishda begona ildizlar paydo bo'lmaydi. Birinchi va ikkinchi tenglamalarning yagona ildizi x=16 ga teng. Shuning uchun biz begona ildizlarning paydo bo'lishining sabablari haqida emas, balki begona ildizlarning paydo bo'lishining sabablari haqida gapiramiz.

Chetdan ildizlarni tekshirish nima?

"Tashqi ildizlarni elakdan o'tkazish" atamasini faqat o'rnatilgan deb atash mumkin; u barcha algebra darsliklarida uchramaydi, lekin u intuitivdir, shuning uchun u odatda ishlatiladi. Chet ildizlarni elakdan o‘tkazish deganda nima nazarda tutilgani quyidagi iboradan ma’lum bo‘ladi: “...tekshiruv tenglamani yechishning majburiy bosqichi bo‘lib, u begona ildizlarni, agar mavjud bo‘lsa, aniqlashga va ularni yo‘q qilishga yordam beradi (odatda “o‘tlarni olib tashlash” deyishadi. ”).”

Shunday qilib,

Ta'rif

Chetdan ildizlarni tozalash- bu begona ildizlarni aniqlash va yo'q qilish.

Endi siz begona ildizlarni skrining usullariga o'tishingiz mumkin.

Chetdan ildizlarni tekshirish usullari

O'zgartirishni tekshirish

Chetdan ildizlarni filtrlashning asosiy usuli - bu almashtirish testi. Bu sizga ODZ ning kengayishi va tenglamaning har ikki tomonini bir xil kuchga ko'tarilishi tufayli paydo bo'lishi mumkin bo'lgan begona ildizlarni yo'q qilishga imkon beradi.

Almashtirish testi quyidagicha: xulosa tenglamaning topilgan ildizlari navbatma-navbat asl tenglamaga yoki unga ekvivalent bo‘lgan har qanday tenglamaga almashtiriladi, to‘g‘ri sonli tenglikni beradiganlar esa asl tenglamaning ildizlari bo‘ladi. noto'g'ri sonli tenglik yoki ifoda dastlabki tenglamaning ildizlari ma'nosiz, asl tenglama uchun begona ildizlardir.

Keling, asl tenglamaga almashtirish orqali begona ildizlarni qanday filtrlashni misol bilan ko'rsatamiz.

Ba'zi hollarda, boshqa usullar yordamida begona ildizlarni filtrlash maqsadga muvofiqdir. Bu, asosan, almashtirish yo'li bilan tekshirish muhim hisoblash qiyinchiliklari bilan bog'liq bo'lgan yoki ma'lum bir turdagi tenglamalarni echishning standart usuli boshqa tekshirishni talab qiladigan holatlarga nisbatan qo'llaniladi (masalan, kasr ratsional tenglamalarni echishda tashqi ildizlarni skrining qilish quyidagi qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi). kasrning maxraji nolga teng bo'lmasligi sharti). Keling, begona ildizlarni olib tashlashning muqobil usullarini ko'rib chiqaylik.

DLga ko'ra

O'zgartirish orqali sinovdan farqli o'laroq, ODZ yordamida begona ildizlarni filtrlash har doim ham to'g'ri kelmaydi. Haqiqat shundaki, bu usul faqat ODZning kengayishi natijasida paydo bo'lgan begona ildizlarni filtrlash imkonini beradi va boshqa sabablarga ko'ra, masalan, ikkala tomonni ko'tarish tufayli paydo bo'lishi mumkin bo'lgan begona ildizlarni elakdan olib tashlashni kafolatlamaydi. tenglamaning bir xil juft kuchga. Bundan tashqari, echilayotgan tenglama uchun ODni topish har doim ham oson emas. Shunga qaramay, ODZ yordamida begona ildizlarni elakdan o'tkazish usuli xizmatda saqlashga arziydi, chunki uni ishlatish ko'pincha boshqa usullardan foydalanishga qaraganda kamroq hisoblash ishlarini talab qiladi.

ODZ bo'yicha begona ildizlarni olib tashlash quyidagicha amalga oshiriladi: natijaviy tenglamaning barcha topilgan ildizlari asl tenglama yoki unga ekvivalent har qanday tenglama uchun o'zgaruvchining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'iga tegishli yoki yo'qligini tekshirish uchun tekshiriladi; ODZga tegishli bo'lganlar dastlabki tenglamaning ildizlari, ODZga tegishli bo'lganlar esa dastlabki tenglamaning ildizlari, ODZga tegishli bo'lmaganlar esa dastlabki tenglama uchun begona ildizlardir.

Taqdim etilgan ma'lumotlarni tahlil qilish, agar bir vaqtning o'zida ODZ yordamida begona ildizlarni elakdan o'tkazish tavsiya etiladi degan xulosaga olib keladi:

• original tenglama uchun ODZ ni topish oson,
• begona ildizlar faqat ODZning kengayishi tufayli paydo bo'lishi mumkin,
• O'zgartirish testi muhim hisoblash qiyinchiliklari bilan bog'liq.

Biz amalda begona ildizlarni qanday olib tashlashni ko'rsatamiz.

DL shartlariga ko'ra

Oldingi xatboshida aytganimizdek, agar begona ildizlar faqat ODZning kengayishi tufayli paydo bo'lishi mumkin bo'lsa, ularni dastlabki tenglama uchun ODZ yordamida yo'q qilish mumkin. Ammo ODZni raqamli to'plam shaklida topish har doim ham oson emas. Bunday hollarda begona ildizlarni ODZga ko'ra emas, balki ODZni aniqlaydigan shartlarga ko'ra saralash mumkin. Keling, ODZ sharoitida begona ildizlarni qanday qilib olib tashlashni tushuntirib beraylik.

Topilgan ildizlar, o'z navbatida, dastlabki tenglama yoki unga ekvivalent har qanday tenglama uchun ODZni aniqlaydigan shartlarga almashtiriladi. Barcha shartlarni qondiradiganlar tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Va ulardan kamida bitta shartni qondirmaydigan yoki mantiqiy bo'lmagan ifodani beradiganlari asl tenglama uchun begona ildizlardir.

Keling, ODZ shartlariga ko'ra begona ildizlarni skriningga misol keltiraylik.

Tenglamaning ikkala tomonini teng kuchga ko'tarishdan kelib chiqadigan begona ildizlarni o'tlardan tozalash

Ko'rinib turibdiki, tenglamaning ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarish natijasida paydo bo'ladigan begona ildizlarni o'tlardan tozalash uni dastlabki tenglamaga yoki unga tenglamaga almashtirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Ammo bunday tekshirish muhim hisoblash qiyinchiliklarini o'z ichiga olishi mumkin. Bunday holda, biz hozir gaplashadigan begona ildizlarni saralashning muqobil usulini bilishga arziydi.

Shaklning irratsional tenglamalarining ikkala tomonini bir xil teng kuchga ko'tarishda paydo bo'lishi mumkin bo'lgan begona ildizlarni tekshirish , bu erda n - ba'zi bir juft son, g(x)≥0 shartiga muvofiq amalga oshirilishi mumkin. Bu juft darajali ildizning ta'rifidan kelib chiqadi: juft darajali ildiz n - manfiy bo'lmagan son bo'lib, uning n-darajasi radikal songa teng, bu erdan . Shunday qilib, aytilgan yondashuv tenglamaning ikkala tomonini bir xil kuchga ko'tarish usuli va irratsional tenglamalarni ildizni aniqlash orqali echish usulining o'ziga xos simbiozidir. Ya'ni, tenglama , bu yerda n juft son, tenglamaning har ikki tomonini bir xil juft darajaga koʻtarish yoʻli bilan yechiladi, begona ildizlarni yoʻq qilish esa irratsional tenglamalarni yechish usulidan olingan g(x)≥0 sharti boʻyicha amalga oshiriladi. ildizni aniqlash.

O'tgan darsda biz tenglamalarni yechish uchun uchta bosqichdan foydalandik.

Birinchi bosqich - texnik. Dastlabki tenglamadan o'zgarishlar zanjiridan foydalanib, biz juda oddiy tenglamaga erishamiz, biz uni hal qilamiz va ildizlarini topamiz.

Ikkinchi bosqich - bu yechim tahlili. Biz amalga oshirgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz va ularning ekvivalentligini aniqlaymiz.

Uchinchi bosqich - tekshirish. Barcha topilgan ildizlarni ularni asl tenglamaga almashtirish orqali tekshirish xulosa tenglamaga olib kelishi mumkin bo'lgan o'zgarishlarni amalga oshirishda majburiydir.

Tenglamani yechishda har doim uch bosqichni ajratish kerakmi?

Albatta yo'q. Masalan, ushbu tenglamani echishda. Kundalik hayotda ular odatda ajralib turmaydi. Ammo bu bosqichlarning barchasini "esda tutish" va u yoki bu shaklda amalga oshirish kerak. Transformatsiyalarning ekvivalentligini tahlil qilish juda muhimdir. Va agar tahlil tekshiruvni o'tkazish kerakligini ko'rsatsa, unda bu majburiydir. Aks holda, tenglamani to'g'ri yechilgan deb hisoblash mumkin emas.

Har doim tenglamaning ildizlarini faqat almashtirish orqali tekshirish mumkinmi?

Agar tenglamani echishda ekvivalent o'zgarishlardan foydalanilgan bo'lsa, tekshirish talab qilinmaydi. Tenglamaning ildizlarini tekshirishda ODZ (ruxsat etilgan qiymat diapazoni) juda tez-tez ishlatiladi, agar ODZ yordamida tekshirish qiyin bo'lsa, uni dastlabki tenglamaga almashtirish orqali amalga oshiriladi.

1-mashq

Ikki x plyus uchta teng bir plyus x tenglamaning kvadrat ildizini yeching.

Yechim

Tenglamaning ODZ ikki tengsizliklar tizimi bilan aniqlanadi: ikkita x plyus uchta noldan katta yoki teng va bir ortiqcha x noldan katta yoki teng. Yechim x minus birdan katta yoki teng.

Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantiramiz, hadlarni tenglamaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga o‘tkazamiz, o‘xshash hadlarni qo‘shamiz va kvadrat tenglamani olamiz x kvadrat ikkiga teng. Uning ildizlari

x birinchi, ikkinchi ikkining kvadrat ildiziga plyus yoki minusga teng.

Imtihon

Birinchi x ning qiymati ikkining kvadrat ildiziga teng, tenglamaning ildizi hisoblanadi, chunki u ODZga kiritilgan.
X soniya qiymati minus kvadrat ildiz ikki tenglamaning ildizi emas, chunki u DZ ga kiritilmagan.
Keling, x ildizni ikkining kvadrat ildiziga tengligini tekshirib ko'ramiz, uni asl tenglikka almashtiramiz, biz olamiz

tenglik to'g'ri, ya'ni x ikkining kvadrat ildiziga teng, tenglamaning ildizi.

Javob: ikkining kvadrat ildizi.

Vazifa 2

Tenglamani yeching kvadrat ildiz x minus sakkizga teng besh minus x.

Yechim

Irratsional tenglamaning ODZi ikkita tengsizlik tizimi bilan aniqlanadi: x minus sakkiz noldan katta yoki teng va besh minus x noldan katta yoki teng. Uni hal qilib, biz ushbu tizimda hech qanday yechim yo'qligini aniqlaymiz. Tenglamaning ildizi x o'zgaruvchining qiymatlaridan birortasi bo'lishi mumkin emas.

Javob: ildiz yo'q.

Vazifa 3

X kubikning kvadrat ildizi plyus to‘rt x minus bir minus sakkiz kvadrat ildizning to‘rtinchi darajali tenglamasini yeching.

Yechim

Ushbu tenglamada ODZni topish juda qiyin.

Keling, o'zgartirishni amalga oshiramiz: bu tenglamaning ikkala tomonini kvadrat,

Keling, barcha hadlarni tenglamaning chap tomoniga o'tkazamiz va o'xshash hadlarni keltiramiz, ikkita ildizni bitta ostiga yozamiz, o'xshash radikallarni olamiz, o'xshashlarni keltiramiz, koeffitsient minus 12 ga bo'linib, radikal ifodani ko'paytiramiz, biz tenglamani olamiz nolga teng ikki omil ko'paytmasi shakli. Uni hal qilib, biz ildizlarni topamiz:

x birinchisi birga, x ikkinchisi nolga teng.

Biz tenglamaning ikkala tomonini teng kuchga ko'targanimiz sababli, ildizlarni tekshirish majburiydir.

Imtihon

Agar x birga teng bo'lsa, u holda

biz to'g'ri tenglikni olamiz, ya'ni x teng bitta tenglamaning ildizidir.

Agar x nolga teng bo'lsa, minus birning kvadrat ildizi aniqlanmagan.

Demak, nolga teng x begona ildizdir.

Javob: bitta.

Vazifa 4

X kvadrat plyus besh x plyus ikki asos ikki teng uchga teng ifodaning logarifm tenglamasini yeching.

Yechim

ODZ tenglamasini topamiz. Buning uchun x kvadrat plyus besh x plyus ikkita nolga tengsizlikni yechamiz.

Tengsizlikni interval usuli yordamida yechamiz. Buning uchun biz kvadrat tenglamani oldindan yechib, uning chap tomonini faktorlarga ajratamiz va tengsizlik belgisini hisobga olib, ODZni aniqlaymiz. ODZ ochiq nurlarning minus cheksizlikdan minus besh kasrga plyus o'n ettita kvadrat ildizning ikkiga bo'linishiga va minus besh kasrdan o'n ettita kvadrat ildizning ikkiga bo'linib, plyus cheksizgacha bo'lgan birlashuviga teng.

Endi tenglamaning ildizlarini topishni boshlaylik. Uchtasi sakkizta logarifmaning ikkiga teng ekanligini hisobga olib, tenglamani quyidagicha yozamiz: ifodaning logarifmi x kvadrat plyus besh x plyus ikkita asos ikkiga sakkizning logarifmiga teng. Tenglamani potensiyalashtiramiz, kvadrat tenglamani olamiz va yechamiz.

Diskriminant qirq to'qqizta.

Ildizlarni hisoblang:

X birinchi minus oltiga teng; x soniya birga teng.

Imtihon

Minus olti ODZga, biri ODZga tegishli, ya'ni ikkala raqam ham tenglamaning ildizi hisoblanadi.

Javob: minus olti; bitta.

Oxirgi darsda biz begona ildizlarning paydo bo'lishi masalasini ko'rib chiqdik. Biz ularni tekshirish orqali aniqlashimiz mumkin. Tenglamani yechishda ildizlarni yo'qotish mumkinmi va buni qanday oldini olish mumkin?

Tenglama bo'yicha bunday harakatlarni bajarishda, masalan, birinchidan, tenglamaning har ikki tomonini x dan bir xil aks bilan bo'lish (x dan ax har qanday x uchun nolga teng emasligi aniq ma'lum bo'lgan holatlar bundan mustasno). tenglamani aniqlash sohasi);

ikkinchidan, yechish jarayonida tenglamaning OD ni toraytirish tenglama ildizlarini yo‘qotishiga olib kelishi mumkin.

Eslab qoling!

Tenglama quyidagicha yoziladi

ef dan x dan kulga ko'paytirilgan x dan zhe ga teng x dan kulga ko'paytirilgan x dan kul shu tarzda echiladi:

umumiy koʻrsatkichni qavs ichidan chiqarib, faktorlarga ajratish kerak;

keyin har bir omilni nolga tenglashtiring va shu bilan ikkita tenglamani oling.

Biz ularning ildizlarini hisoblaymiz.

1-mashq

x kub x ga teng tenglamani yeching.

Birinchi yo'l

Keling, bu tenglamaning ikkala tomonini x ga bo'lamiz, biz x kvadrat teng bo'ladi, birinchi bo'lib x ildizlari birga teng,

x soniya minus birga teng.

Ikkinchi yo'l

X kubi X ga teng. Tenglamaning chap tomoniga x ni o'tkazamiz, qavs ichidan x ni chiqaramiz va biz quyidagilarga erishamiz: x ko'paytma x kvadrat minus bir nolga teng.

Keling, uning ildizlarini hisoblaymiz:

X birinchi nolga teng, x ikkinchi birga teng, x uchinchi minus birga teng.

Tenglama uchta ildizga ega.

Birinchi usulni yechishda biz bitta ildizni yo'qotdik - x nolga teng.

Javob: minus bir; nol; bitta.

Eslab qoling! Tenglamaning ikkala tomonini noma'lumni o'z ichiga olgan omil bilan kamaytirish ildizlarning yo'qolishiga olib kelishi mumkin.

Vazifa 2

Tenglamani yeching: x kvadratining o'nlik logarifmi ikkiga teng.

Yechim

Birinchi yo'l

Logarifmning ta'rifi bilan biz kvadrat tenglamani olamiz x kvadrat yuzga teng.

Uning ildizlari: x birinchi o'nga teng; X soniya minus o'nga teng.

Ikkinchi yo'l

Logarifmlarning xossasi bo'yicha bizda ikkita o'nlik logarifm bor x ikkitaga teng.

Uning ildizi - x o'nga teng

Ikkinchi usul bilan x ildizi minus o'nga teng bo'lib yo'qolgan. Buning sababi shundaki, ular noto'g'ri formulani qo'llashdi, tenglama doirasini toraytirdilar. X kvadratining o'nlik logarifmi uchun ifoda nolga teng xdan tashqari barcha x uchun aniqlanadi. X ning o'nlik logarifmi uchun ifoda noldan katta x uchundir. O'nlik logarifm x kvadrat uchun to'g'ri formula ikkita o'nlik logarifm moduli x ga teng.

Eslab qoling! Tenglamani yechishda mavjud formulalardan oqilona foydalaning.

Tenglamalarni yechishda ildizlar va begona ildizlarning yo'qolishi

Vsevolojsk shahridagi "Alohida fanlarni chuqur o'rganadigan 2-sonli o'rta maktab" shahar ta'lim muassasasi. Tadqiqot ishini 11 B sinf o'quvchisi Vasilyev Vasiliy tayyorladi. Loyiha rahbari: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Tenglama Avval bu tenglamani yechishning turli usullarini ko'rib chiqamiz sinx+cosx =- 1

1-yechim sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Javob: + 2

2-yechim sinx+cosx =- 1 i Javob: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

3-yechim I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Javob:

sinx+cosx =-1 Yechim No 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Javob: - + 2 n

Yechimlarni solishtiramiz To‘g‘ri yechimlar Qanday hollarda begona ildizlar paydo bo‘lishi mumkinligini aniqlaymiz va nima uchun 2-son Javob: +2 № 3 Javob: No 4 Javob: + 2 n No 1 Javob: +2

Yechimni tekshirish Tekshirish kerakmi? Xavfsiz tomonda bo'lish uchun ildizlarni tekshirishim kerakmi? Bu, albatta, almashtirish oson bo'lganda foydalidir, lekin matematiklar oqilona odamlardir va keraksiz narsalarni qilmaydilar. Keling, turli holatlarni ko'rib chiqaylik va tekshirish haqiqatan ham qachon kerakligini eslaylik.

1. Eng oddiy tayyor formulalar c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Eng oddiy, tayyor formulalar yordamida ildizlar topilgan hollarda tekshirishni bajarish shart emas. Biroq, bunday formulalardan foydalanganda, ulardan foydalanish mumkin bo'lgan shartlarni eslab qolishingiz kerak. Masalan, = formulasi a 0, -4ac 0 shartida ishlatilishi mumkin va cosx =2 tenglama uchun x= arccos2+2 javobi qo'pol xato hisoblanadi, chunki x= arccos a +2 formulasi faqat bo'lishi mumkin. cosx =a tenglamaning ildizlari uchun ishlatiladi, bu erda | a | 1

2. Transformatsiyalar Ko'pincha, tenglamalarni echishda siz ko'plab o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak. Agar tenglama avvalgisining barcha ildizlariga ega bo'lgan yangisi bilan almashtirilsa va u ildizlarning yo'qolishi yoki olinishi sodir bo'lmaydigan tarzda o'zgartirilsa, bunday tenglamalar ekvivalent deb ataladi. 1. Tenglama komponentlarini bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazishda. 2. Ikkala tomonga bir xil raqam qo'shilganda. 3. Tenglamaning ikkala tomoni bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilganda. 4 . Barcha haqiqiy sonlar to'plamida haqiqiy bo'lgan identifikatsiyalarni qo'llashda. Biroq, tekshirish shart emas!

Biroq, har bir tenglamani ekvivalent transformatsiyalar bilan yechish mumkin emas. Ko'pincha teng bo'lmagan o'zgarishlarni qo'llash kerak. Ko'pincha bunday transformatsiyalar barcha haqiqiy qiymatlar uchun amal qilmaydigan formulalardan foydalanishga asoslangan. Bunday holda, xususan, tenglamani aniqlash sohasi o'zgaradi. Ushbu xato №4 yechimda topilgan. Keling, xatoni ko'rib chiqaylik, lekin avval biz 4-sonli yechimni qayta ko'rib chiqamiz. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Xato sin2x formulasida yotadi= Bu formuladan foydalanish mumkin, lekin qoʻshimcha tekshirish kerak. ildizlar + shaklidagi raqamlar bo'ladimi, ular uchun tg aniqlanmagan. Endi bu yechim ildizlarning yo'qolishi aniq. Keling, buni oxirigacha ko'rib chiqaylik.

4-yechim i y x 0 1 = + n sonlarni almashtirish orqali tekshiramiz: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Demak. x= +2 n tenglamaning ildizi Javob: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n.

Biz ildizlarni yo'qotish usullaridan birini ko'rib chiqdik, ular matematikada juda ko'p, shuning uchun siz barcha qoidalarni eslab, ehtiyotkorlik bilan hal qilishingiz kerak. Tenglamaning ildizlarini yo'qotishingiz mumkin bo'lganidek, uni yechish jarayonida qo'shimchalarini ham olishingiz mumkin. Keling, bunday xatolikka yo'l qo'yilgan 3-sonli yechimni ko'rib chiqaylik.

Yechim #3 I y x 0 1 2 2 va qo'shimcha ildizlar! Tenglamaning har ikki tomoni kvadratlanganda begona ildizlar paydo bo'lishi mumkin. Bunday holda, tekshirish kerak. n=2k uchun sin k+cos k=-1; cos k=-1 uchun k=2m-1 , Keyin n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Javob: +2 n=2k+1 uchun bizda sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 bilan k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Shunday qilib, biz bir nechta mumkin bo'lgan holatlarni ko'rib chiqdik, ularning ko'plari bor. Vaqtingizni behuda o'tkazmaslikka va ahmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslikka harakat qiling.