Pikat në grafikun e një funksioni të diferencueshëm. Diferencimi i funksioneve. Vazhdimësia e një funksioni që ka një derivat. Teorema

Përmbajtja e artikullit

DERIVATIV– derivat i funksionit y = f(x), dhënë në një interval të caktuar ( a, b) në pikë x i këtij intervali quhet kufiri në të cilin priret raporti i rritjes së funksionit f në këtë pikë tek rritja përkatëse e argumentit kur rritja e argumentit tenton në zero.

Derivati ​​zakonisht shënohet si më poshtë:

Emërtime të tjera përdoren gjithashtu gjerësisht:

Shpejtësia e menjëhershme.

Lëreni pikën M lëviz në vijë të drejtë. Largësia s pikë lëvizëse, e numëruar nga një pozicion fillestar M 0 , varet nga koha t, d.m.th. s ka një funksion të kohës t: s= f(t). Lëreni në një moment në kohë t pikë lëvizëse M ishte në distancë s nga pozicioni i fillimit M 0, dhe në një moment tjetër t+D t e gjeti veten në një pozicion M 1 - në distancë s+D s nga pozicioni fillestar ( shih foton.).

Kështu, gjatë një periudhe kohore D t distancë s ndryshuar me shumën D s. Në këtë rast ata thonë se gjatë intervalit kohor D t magnitudë s mori rritje D s.

Shpejtësia mesatare në të gjitha rastet nuk mund të karakterizojë me saktësi shpejtësinë e lëvizjes së një pike M në një moment në kohë t. Nëse, për shembull, trupi në fillim të intervalit D t lëvizi shumë shpejt, dhe në fund shumë ngadalë, atëherë shpejtësia mesatare nuk do të jetë në gjendje të pasqyrojë tiparet e treguara të lëvizjes së pikës dhe të japë një ide për shpejtësinë e vërtetë të lëvizjes së saj në këtë moment t. Për të shprehur më saktë shpejtësinë e vërtetë duke përdorur shpejtësinë mesatare, duhet të merrni një periudhë më të shkurtër kohore D t. Karakterizon më plotësisht shpejtësinë e lëvizjes së një pike në këtë moment t kufiri në të cilin shpejtësia mesatare priret në D t® 0. Ky kufi quhet shpejtësia aktuale:

Kështu, shpejtësia e lëvizjes në një moment të caktuar quhet kufiri i raportit të rritjes së rrugës D s në rritjen e kohës D t, kur rritja e kohës tenton në zero. Sepse

Kuptimi gjeometrik i derivatit. Tangjente me grafikun e një funksioni.

Ndërtimi i vijave tangjente është një nga ato probleme që çuan në lindjen e llogaritjes diferenciale. Puna e parë e botuar në lidhje me llogaritjen diferenciale, e shkruar nga Leibniz, kishte titullin Një metodë e re e maksimumeve dhe minimumeve, si dhe tangjentet, për të cilat nuk janë pengesë as sasitë fraksionale dhe as irracionale, dhe një lloj i veçantë llogaritjeje për këtë..

Le të jetë kurba grafiku i funksionit y =f(x) në një sistem koordinativ drejtkëndor ( cm. oriz.).

Në disa vlera x funksioni ka rëndësi y =f(x). Këto vlera x Dhe y pika në kurbë korrespondon M 0(x, y). Nëse argumenti x jap rritje D x, pastaj vlera e re e argumentit x+D x korrespondon me vlerën e funksionit të ri y+ D y = f(x + D x). Pika përkatëse e kurbës do të jetë pika M 1(x+D x,y+D y). Nëse vizatoni një sekant M 0M 1 dhe shënohet me j këndi i formuar nga një transversal me drejtimin pozitiv të boshtit kau, është menjëherë e qartë nga figura se .

Nëse tani D x priret në zero, pastaj pika M 1 lëviz përgjatë kurbës, duke iu afruar pikës M 0, dhe këndi j ndryshon me D x. Në Dx® 0 këndi j priret në një kufi të caktuar a dhe drejtëza që kalon nëpër pikë M 0 dhe komponenti me drejtim pozitiv të boshtit x, këndi a, do të jetë tangjenta e dëshiruar. Pjerrësia e saj është:

Prandaj, f´( x) = tga

ato. vlerë derivative f´( x) për një vlerë të caktuar argumenti x barazohet me tangjenten e këndit të formuar nga tangjentja me grafikun e funksionit f(x) në pikën përkatëse M 0(x,y) me drejtim të boshtit pozitiv kau.

Diferencimi i funksioneve.

Përkufizimi. Nëse funksioni y = f(x) ka një derivat në pikë x = x 0, atëherë funksioni është i diferencueshëm në këtë pikë.

Vazhdimësia e një funksioni që ka një derivat. Teorema.

Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në një moment x = x 0, atëherë është e vazhdueshme në këtë pikë.

Kështu, funksioni nuk mund të ketë një derivat në pikat e ndërprerjes. Përfundimi i kundërt është i pasaktë, d.m.th. nga fakti se në një moment x = x 0 funksion y = f(x) është i vazhdueshëm nuk do të thotë se është i diferencueshëm në këtë pikë. Për shembull, funksioni y = |x| të vazhdueshme për të gjithë x(–Ґ x x = 0 nuk ka derivat. Në këtë pikë nuk ka tangjente me grafikun. Ka një tangjente të djathtë dhe një të majtë, por ato nuk përkojnë.

Disa teorema mbi funksionet e diferencueshme. Teorema mbi rrënjët e derivatit (teorema e Rolles). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në segment [a,b], është i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti dhe në skajet x = a Dhe x = b shkon ne zero ( f(a) = f(b) = 0), pastaj brenda segmentit [ a,b] ka të paktën një pikë x= Me, a c b, në të cilën derivati fў( x) shkon në zero, d.m.th. fў( c) = 0.

Teorema e rritjes së fundme (teorema e Lagranzhit). Nëse funksioni f(x) është e vazhdueshme në intervalin [ a, b] dhe është i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ka të paktën një pikë Me, a c b atë

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorema mbi raportin e rritjeve të dy funksioneve (teorema e Cauchy-t). Nëse f(x) Dhe g(x) – dy funksione të vazhdueshme në segment [a, b] dhe i diferencueshëm në të gjitha pikat e brendshme të këtij segmenti, dhe gў( x) nuk zhduket askund brenda këtij segmenti, pastaj brenda segmentit [ a, b] ekziston një pikë e tillë x = Me, a c b atë

Derivatet e porosive të ndryshme.

Lëreni funksionin y =f(x) është i diferencueshëm në një interval [ a, b]. Vlerat derivative f ў( x), në përgjithësi, varen nga x, d.m.th. derivatore f ў( x) është gjithashtu një funksion i x. Kur diferencojmë këtë funksion, marrim të ashtuquajturin derivat të dytë të funksionit f(x), që shënohet f ўў ( x).

Derivat n- rendi i funksionit f(x) quhet derivati ​​(i rendit të parë) i derivatit n- 1- th dhe shënohet me simbolin y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferenciale të porosive të ndryshme.

Diferenciali i funksionit y = f(x), Ku x– ndryshore e pavarur, po dy = f ў( x)dx, disa funksione nga x, por nga x vetëm faktori i parë mund të varet f ў( x), faktori i dyte ( dx) është rritja e ndryshores së pavarur x dhe nuk varet nga vlera e kësaj variabli. Sepse dy ka një funksion nga x, atëherë mund të përcaktojmë diferencialin e këtij funksioni. Diferenciali i diferencialit të një funksioni quhet diferencial i dytë ose diferencial i rendit të dytë i këtij funksioni dhe shënohet d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferenciale n- i rendit të parë quhet diferencial i parë i diferencialit n- 1- rendi i th:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Derivat i pjesshëm.

Nëse një funksion nuk varet nga një, por nga disa argumente x i(i varion nga 1 në n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), pastaj në llogaritjen diferenciale futet koncepti i derivatit të pjesshëm, i cili karakterizon shkallën e ndryshimit të një funksioni të disa ndryshoreve kur ndryshon vetëm një argument, p.sh. x i. Derivat i pjesshëm i rendit të parë në lidhje me x i përkufizohet si një derivat i zakonshëm, dhe supozohet se të gjitha argumentet përveç x i, mbani vlera konstante. Për derivatet e pjesshme, futet shënimi

Derivatet e pjesshme të rendit të parë të përcaktuar në këtë mënyrë (si funksione të të njëjtave argumente) mund të kenë, nga ana tjetër, edhe derivate të pjesshëm, këto janë derivate të pjesshme të rendit të dytë, etj. Derivatet e tilla të marra nga argumente të ndryshme quhen të përziera. Derivatet e përziera të vazhdueshme të të njëjtit rend nuk varen nga rendi i diferencimit dhe janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Anna Chugainova

Derivat funksione në një pikë quhet kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit, me kusht që ai të priret në zero.

Rregullat themelore për gjetjen e derivatit

Nëse - dhe - janë funksione të diferencueshme në pikën , (d.m.th. funksione që kanë derivate në pikë), atëherë:

4) .

Tabela e derivateve të funksioneve bazë

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Rregulli për diferencimin e një funksioni kompleks. Nëse dhe , d.m.th. , ku dhe kanë derivate, atëherë

Diferencimi i një funksioni të specifikuar në mënyrë parametrike. Lëreni varësinë e një ndryshoreje nga një variabël të specifikohet parametrikisht me anë të parametrit:

Detyra 3. Gjeni derivatet e këtyre funksioneve.

1)

Zgjidhje. Duke zbatuar rregullin 2 për gjetjen e derivateve dhe formulave 1 dhe 2 të tabelës së derivateve, marrim:

Zgjidhje. Duke zbatuar rregullin 4 për gjetjen e derivateve dhe formulave 1 dhe 13 të tabelës së derivateve, marrim:

.

Zgjidhje. Duke zbatuar rregullin 3 për gjetjen e derivateve dhe formulave 5 dhe 11 të tabelës së derivateve, marrim:

Zgjidhje. Duke supozuar, ku, sipas formulës për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks, marrim:

Zgjidhje. Kemi: Pastaj, sipas formulës për gjetjen e derivatit të një funksioni të specifikuar parametrikisht, marrim:

4. Derivatet e rendit më të lartë. Rregulli i L'Hopital.

Derivat i rendit të dytë i funksionit quhet derivat i derivatit të tij, d.m.th. . Shënimet e mëposhtme përdoren për derivatin e dytë: ose , ose .

Derivati ​​i rendit të parë i funksionit quhet derivat i derivatit të tij të rendit të katërt. Për derivatin e rendit të th, përdoren shënimet e mëposhtme: ose , ose .

Rregulli i L'Hopital. Le të jenë funksionet dhe të diferencohen në një fqinjësi të pikës dhe derivati ​​nuk zhduket. Nëse funksionet dhe janë njëkohësisht ose pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha në , dhe ekziston një kufi i raportit në , atëherë ekziston edhe një kufi për raportin në . Për më tepër

.

Rregulli vlen edhe kur .

Vini re se në disa raste, zbulimi i pasigurive të llojit ose mund të kërkojë zbatimin e përsëritur të rregullit të L'Hopital.

Pasiguritë e llojit, etj. me ndihmën e shndërrimeve elementare ato lehtë mund të reduktohen në pasiguri të formës ose .

Detyra 4. Gjeni kufirin duke përdorur rregullin e L'Hopital.

Zgjidhje Këtu kemi pasiguri të formës, sepse në . Le të zbatojmë rregullin e L'Hopital:

.

Pas zbatimit të rregullit të L'Hopital, ne përsëri fituam pasiguri të formës, sepse në . Duke aplikuar përsëri rregullin e L'Hopital, marrim:

.

5. Studimi i funksionit

a) Funksionet rritëse dhe zvogëluese

Funksioni thirret në rritje në segment , nëse për ndonjë pikë dhe nga segmenti , ku , qëndron pabarazia. Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval dhe për , atëherë ai rritet në interval.

Funksioni thirret në rënie në segment , nëse për ndonjë pikë dhe nga segmenti , ku , qëndron pabarazia. Nëse një funksion është i vazhdueshëm në një interval dhe për , atëherë ai zvogëlohet në interval.

Nëse një funksion është vetëm në rritje ose vetëm në rënie në një interval të caktuar, atëherë ai thirret monotone në interval.

b) Ekstreme funksionesh

pikë minimale funksione .

Nëse ka një -lagje të pikës të tillë që për të gjitha pikat nga kjo fqinjësi të jetë pabarazia, atëherë thirret pika pikë maksimale funksione .

Pikat maksimale dhe minimale të një funksioni quhen të tij pika ekstreme.

Pika quhet pikë e palëvizshme, nëse ekziston ose nuk ekziston.

Nëse ka një fqinjësi të një pike stacionare të tillë që për dhe për , atëherë është pika maksimale e funksionit.

Nëse ka një fqinjësi të një pike stacionare të tillë që për dhe për , atëherë pika -minimale e funksionit .

a) Drejtimi konveks. Pikat e lakimit

konveks në interval , nëse ndodhet nën tangjenten e paraqitur në grafikun e funksionit në çdo pikë të këtij intervali.

Një kusht i mjaftueshëm për konveksitetin lart të grafikut të një funksioni në një interval është përmbushja e pabarazisë për cilindo nga intervalet e konsideruara.

Grafiku i një funksioni të diferencueshëm quhet konveks poshtë në interval , nëse ndodhet mbi tangjenten e paraqitur në grafikun e funksionit në çdo pikë të këtij intervali.

Një kusht i mjaftueshëm për konveksitetin në rënie të grafikut të një funksioni në një interval është plotësimi i pabarazisë për cilindo nga intervalet e konsideruara.

Pika në të cilën ndryshon drejtimi i konveksitetit të grafikut të një funksioni quhet pika e lakimit.

Një pikë ku ekziston ose nuk ekziston është abshisa e një pike lakimi nëse shenjat majtas dhe djathtas të saj janë të ndryshme.

d) Asimptota

Nëse distanca nga një pikë në grafikun e një funksioni në një drejtëz të caktuar priret në zero ndërsa pika largohet pafundësisht nga origjina, atëherë drejtëza quhet asimptota e grafikut të funksionit.

Nëse ka një numër të tillë që , atëherë rreshti është asimptotë vertikale.

Nëse ka kufij , atëherë vija është i zhdrejtë (horizontal në k=0) asimptotë.

e) Studim i përgjithshëm i funksionit

1. Funksioni i fushës

2. Pikat e prerjes së grafikut me boshtet koordinative

3. Studimi i një funksioni për vazhdimësinë, çift/tek dhe periodicitetin

4. Intervalet e monotonitetit të një funksioni

5. Pikat ekstreme të funksionit

6. Intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të një grafiku funksioni

7. Asimptotat e grafikut të një funksioni

8. Grafiku i funksionit.

Detyra 5. Eksploroni funksionin dhe ndërtoni grafikun e tij.

Zgjidhje. 1) Funksioni përcaktohet në të gjithë vijën numerike, përveç pikës ku emëruesi i thyesës shkon në zero. . Kemi: nuk i përket fushës së përkufizimit të këtij funksioni. Rrjedhimisht, pikat stacionare të këtij funksioni janë pikat me vlerën minimale (siç tregohet në figurë).

8) Duke përdorur të dhënat e marra, le të ndërtojmë një grafik të funksionit origjinal: