Išvestinė teorija. Išvestinio grafiko skaitymas

B8. Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 2

2.

Atsakymas: -5

3.

Ant intervalo (–9;4).

Atsakymas: 2

4.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0 Atsakymas: 0,5

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę. Atsakymas: -2

6.

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių. Atsakymas: 4

7.

Atsakymas: 2

8.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių. Atsakymas: 3

9.

Intervalas (-8; 3).

Tiesi linija y = -20. Atsakymas: 2

10.

Atsakymas: -0,5

11

Atsakymas: 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: 0,5

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -0,25

14.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių. Atsakymas: 4

15

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0. Atsakymas: -2

16.

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7]. Atsakymas: 3

17

ant intervalo (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7]. Atsakymas: 4

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b. Atsakymas: 17

19

Atsakymas:-0,25

20

Atsakymas: 6

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises. Atsakymas: -0,5

22.

Atsakymas: 4

23. f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių. Atsakymas: 1

B8 Funkcijų grafikai, funkcijų išvestinės. Funkcijų tyrimas . Vieningas valstybinis egzaminas

1. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške, kurio abscisė x0. Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

2. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6; 5) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Kuriame atkarpos taške [-5; -1] f(x) turi mažiausią reikšmę?

3. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x), apibrėžtos išvestinės grafikas

Ant intervalo (–9;4).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei, skaičių

y = 2x-17 arba sutampa su juo.

4. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0

5. Raskite tiesės y = 3x + 8 liestinės tašką ir funkcijos y = x3+x2-5x-4 grafiką. Atsakyme nurodykite šio taško abscisę.

6. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x), apibrėžtos intervale (-7; 5), grafikas.

Nustatykite argumento, kurio funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama, sveikųjų skaičių skaičių.

7. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y=f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 8), grafikas.

Raskite funkcijos f(x), priklausančių atkarpai [-4, ekstremumo taškų skaičių; 6].

8. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f "(x), apibrėžtos intervale (-8; 4), grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei y=5–x arba su ja sutampa, skaičių.

9. Paveikslėlyje parodytas funkcijos y = f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas

Intervalas (-8; 3).

Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti, skaičių

Tiesi linija y = -20.

10. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

11 . Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-9;9) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite funkcijos $f(x)$ minimalių taškų skaičių intervale [-6;8]. 1

12. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

13. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

14. Paveikslėlyje pavaizduotas intervale (-6;8) apibrėžtos funkcijos f(x) išvestinės grafikas.

Raskite taškų, kuriuose funkcijos f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su tiese y = x+7, skaičių.

15 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir jos liestinė taške su abscise x0.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

16. Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas on

intervalas (-14;9).

Raskite funkcijos f(x) didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-12;7].

17 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x), apibrėžtos išvestinės grafikas

ant intervalo (-10;8).

Raskite funkcijos f(x) ekstremalių taškų skaičių atkarpoje [-9;7].

18. Tiesė y = 5x-7 paliečia funkcijos y = 6x2 + bx-1 grafiką taške, kurio abscisė mažesnė už 0. Raskite b.

19 . Paveiksle pavaizduotas funkcijos f(x) išvestinės ir jos liestinės taške su abscise x0 grafikas.

Raskite funkcijos f(x) išvestinės reikšmę taške x0.

20 . Raskite intervalo (-1;12) taškų skaičių, kuriame grafike parodytos funkcijos y = f(x) išvestinė yra lygi 0.

21. Raskite funkcijos y=x2+6x-7 grafiko liestinę, lygiagrečią tiesei y=5x+11. Atsakyme nurodykite lietimo taško abscises.

22. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas. Raskite sveikųjų skaičių intervale (-2;11), kuriame funkcijos f(x) išvestinė yra teigiama.

23. Paveiksle pavaizduotas funkcijos y= grafikas f "(x) intervale (-16; 4).

Atkarpoje [-11;0] raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių.

Sveiki! Išlaikykime artėjantį Vieningą valstybinį egzaminą kokybišku sistemingu pasiruošimu ir užsispyrimu šlifuodami mokslo granitą!!! INĮrašo pabaigoje yra konkurso užduotis, būk pirmas! Viename iš šios skilties straipsnių tu ir aš, kuriame buvo pateiktas funkcijos grafikas ir iškelti įvairūs klausimai dėl ekstremalių, padidėjimo (sumažėjimo) intervalų ir kt.

Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, įtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kuriame pateikiamas funkcijos išvestinės grafikas ir pateikiami šie klausimai:

1. Kuriame duotosios atkarpos taške funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.

2. Raskite didžiausių (arba mažiausių) funkcijos taškų, priklausančių duotam atkarpai, skaičių.

3. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo taškų skaičių.

4. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo tašką.

5. Raskite didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos intervalus ir atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.

6. Raskite funkcijos didėjimo (arba mažėjimo) intervalus. Savo atsakyme nurodykite didžiausio iš šių intervalų ilgį.

7. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su y = kx + b formos tiese, skaičių.

8. Raskite taško, kuriame funkcijos grafiko liestinė lygiagreti abscisių ašiai arba sutampa su ja, abscisę.

Gali kilti ir kitų klausimų, bet jie nesukels jums sunkumų, jei suprasite ir (pateikiamos nuorodos į straipsnius, kuriuose pateikiama sprendimui reikalinga informacija, rekomenduoju pakartoti).

Pagrindinė informacija (trumpai):

1. Išvestinė didėjančiais intervalais turi teigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale didėja.

2. Mažėjančiais intervalais išvestinė turi neigiamą ženklą.

Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.

3. Išvestinė taške x lygi funkcijos grafiko tame pačiame taške nubrėžtos liestinės nuolydžiui.

4. Funkcijos ekstremumo (maksimalaus-minimalumo) taškuose išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti x ašiai.

Tai reikia aiškiai suprasti ir atsiminti!!!

Išvestinis grafikas „supainioja“ daugybę žmonių. Kai kurie žmonės netyčia jį supainioja su pačios funkcijos grafiku. Todėl tokiuose pastatuose, kur matote, kad pateiktas grafikas, iš karto sutelkite dėmesį į tai, kas duota: funkcijos grafiką ar funkcijos išvestinės grafiką?

Jei tai funkcijos išvestinės grafikas, traktuokite jį kaip pačios funkcijos „atspindį“, kuris tiesiog suteikia informacijos apie tą funkciją.

Apsvarstykite užduotį:

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–2;21).

Atsakysime į šiuos klausimus:

1. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X) užima didžiausią vertę.

Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale mažėja (ji mažėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, ty 7 taške.

Atsakymas: 7

2. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X)

Iš šio išvestinio grafiko galime pasakyti taip. Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale didėja (ji didėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, tai yra taške x = 3.

Atsakymas: 3

3. Raskite funkcijos didžiausių taškų skaičių f(X)

Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Pasvarstykime, kur taip pasikeičia ženklas.

Segmente (3;6) išvestinė yra teigiama, segmente (6;16) – neigiama.

Segmente (16;18) išvestinė yra teigiama, segmente (18;20) – neigiama.

Taigi tam tikroje atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 6 ir x = 18.

Atsakymas: 2

4. Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Mūsų išvestinė yra neigiama intervale (0;3), o teigiama intervale (3;4).

Taigi atkarpoje funkcija turi tik vieną minimalų tašką x = 3.

*Būkite atsargūs rašydami atsakymą – įrašomas taškų skaičius, o ne x reikšmė, tokia klaida gali būti padaryta dėl neatidumo.

Atsakymas: 1

5. Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.

Atkreipkite dėmesį, ką reikia rasti kiekis ekstremalūs taškai (tai yra ir didžiausi, ir mažiausi taškai).

Ekstremalūs taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės vertės ženklas (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Sąlygoje pateiktoje diagramoje tai yra funkcijos nuliai. Išvestinė dingsta 3, 6, 16, 18 taškuose.

Taigi funkcija atkarpoje turi 4 kraštutinius taškus.

Atsakymas: 4

6. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Šios funkcijos didinimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose jo išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (3;6) ir (16;18). Atkreipkite dėmesį, kad intervalo ribos į jį neįtrauktos (apvalūs skliaustai - ribos neįtraukiamos į intervalą, laužtiniai skliaustai - įtraukiami). Šiuose intervaluose yra sveikųjų skaičių taškai 4, 5, 17. Jų suma yra: 4 + 5 + 17 = 26

Atsakymas: 26

7. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X) tam tikru intervalu. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Šioje užduotyje tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18:21).

Šiuos intervalus sudaro šie sveikieji taškai: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jų suma yra tokia:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Atsakymas: 140

*Atkreipkite dėmesį į sąlygą: ar ribos įtraukiamos į intervalą, ar ne. Jei ribos įtraukiamos, tai intervaluose, kurie atsižvelgiama į sprendimo procesą, taip pat reikia atsižvelgti į šias ribas.

8. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)

Funkcijų didėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. Juos jau nurodėme: (3;6) ir (16:18). Didžiausias iš jų – intervalas (3;6), jo ilgis – 3.

Atsakymas: 3

9. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

Mažėjantys funkcijos intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Mes juos jau nurodėme, tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18;21), jų ilgiai yra atitinkamai 5, 10, 3.

Didžiausio ilgis 10.

Atsakymas: 10

10. Raskite taškų, kuriuose yra funkcijos grafiko liestinė, skaičių f(X) lygiagreti arba sutampa su tiese y = 2x + 3.

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė lygiagreti tiesei y = 2x + 3 arba su ja sutampa, jų kampiniai koeficientai lygūs 2. Tai reiškia, kad reikia rasti taškų, kuriuose y′(x 0) = 2, skaičių. Geometriškai tai atitinka išvestinės grafiko susikirtimo taškų skaičių su tiese y = 2. Šiame intervale yra 4 tokie taškai.

Atsakymas: 4

11. Raskite funkcijos ekstremumo tašką f(X), priklausantis segmentui.

Funkcijos ekstremumo taškas yra taškas, kuriame jos išvestinė yra lygi nuliui, o šalia šio taško išvestinė keičia ženklą (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Atkarpoje išvestinis grafikas kerta x ašį, išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą. Todėl taškas x = 3 yra ekstremumo taškas.

Atsakymas: 3

12. Raskite taškų, kuriuose grafiko y = f (x) liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscises. Atsakyme nurodykite didžiausią iš jų.

Grafo liestinė y = f (x) gali būti lygiagreti abscisių ašiai arba sutapti su ja tik taškuose, kur išvestinė lygi nuliui (tai gali būti ekstremalieji taškai arba stacionarūs taškai, šalia kurių išvestinė yra nekeisti savo ženklo). Šis grafikas rodo, kad taškuose 3, 6, 16, 18 išvestinė yra lygi nuliui. Didžiausias yra 18.

Savo samprotavimus galite struktūrizuoti taip:

Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti arba sutampa su x ašimi, jos nuolydis yra 0 (iš tikrųjų nulinio laipsnių kampo liestinė yra nulis). Todėl ieškome taško, kuriame nuolydis lygus nuliui, todėl išvestinė lygi nuliui. Išvestinė lygi nuliui taške, kuriame jos grafikas kerta x ašį, ir tai yra taškai 3, 6, 16, 18.

Atsakymas: 18

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–8;4). Kuriame atkarpos [–7;–3] taške yra funkcija f(X) užima mažiausią vertę.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; -10].

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.

Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.

F Paveikslėlyje parodytas grafikas

Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:

1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.

2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.

3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.

Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).

Sėkmės tau!

Pagarbiai, Aleksandras Krutitsikas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas, apibrėžtas intervale [–5; 6]. Raskite f(x) grafiko taškų skaičių, kurių kiekvienoje funkcijos grafiko liestinė sutampa su x ašimi arba yra lygiagreti jai

Paveiksle pavaizduotas diferencijuojamos funkcijos y = f(x) išvestinės grafikas.

Raskite funkcijų grafike taškų, priklausančių atkarpai [–7; 7], kurioje funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti tiesei, nurodytai lygtimi y = –3x.

Medžiagos taškas M pradeda judėti iš taško A ir juda tiesia linija 12 sekundžių. Grafike parodyta, kaip laikui bėgant keitėsi atstumas nuo taško A iki taško M. Abscisių ašyje laikas t rodomas sekundėmis, o ordinačių ašyje atstumas s metrais. Nustatykite, kiek kartų judėjimo metu taško M greitis pasisuko iki nulio (neatsižvelgiama į judėjimo pradžią ir pabaigą).

Paveiksle pavaizduotos funkcijos y=f(x) grafiko atkarpos ir jos liestinė taške, kurio abscisė x = 0. Yra žinoma, kad ši liestinė yra lygiagreti tiesei, einančia per grafiko taškus. su abscisėmis x = -2 ir x = 3. Tai naudodamiesi raskite išvestinės f"(o) reikšmę.

Paveikslėlyje parodytas y = f’(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė, apibrėžta atkarpoje (−11; 2). Raskite taško, kuriame funkcijos y = f(x) grafiko liestinė yra lygiagreti abscisei arba sutampa su ja, abscisę.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, kur x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judesio pradžios. Kuriuo laiko momentu (sekundėmis) jo greitis buvo lygus 2 m/s?

Materialus taškas juda tiesia linija nuo pradinės padėties iki galutinės. Paveikslėlyje parodytas jo judėjimo grafikas. Abscisių ašyje laikas rodomas sekundėmis, o ordinačių ašyje – atstumas nuo pradinės taško padėties (metrais). Raskite vidutinį taško greitį. Atsakymą pateikite metrais per sekundę.

Funkcija y = f (x) yra apibrėžta intervale [-4; 4]. Paveiksle parodytas jo išvestinės grafikas. Raskite funkcijos y = f (x) grafike taškų, kurių liestinė sudaro 45° kampą su teigiama Ox ašies kryptimi.

Funkcija y = f (x) yra apibrėžta intervale [-2; 4]. Paveiksle parodytas jo išvestinės grafikas. Funkcijos y = f (x) grafike raskite taško abscisę, kurioje jis įgyja mažiausią atkarpos reikšmę [-2; -0,001].

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Liestinė pateikiama lygtimi y = -2x + 15. Raskite funkcijos y = -(1/4)f(x) + 5 išvestinės reikšmę taške x0.

Diferencijuojamos funkcijos y = f (x) grafike pažymėti septyni taškai: x1,.., x7. Raskite visus pažymėtus taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra didesnė už nulį. Atsakyme nurodykite šių taškų skaičių.

Paveikslėlyje parodytas funkcijos f(x) išvestinės grafikas y = f"(x), apibrėžtas intervale (-10; 2). Raskite taškų skaičių, kuriame funkcijos f grafiko liestinė (x) yra lygiagreti tiesei y = -2x-11 arba sutampa su ja.

Paveiksle pavaizduotas y=f"(x) grafikas – funkcijos f(x) išvestinė. Abscisių ašyje pažymėti devyni taškai: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Kiek iš šių taškų priklauso mažėjančios funkcijos f(x) intervalams?

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y = f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Liestinė pateikiama pagal lygtį y = 1,5x + 3,5. Raskite funkcijos y = 2f(x) - 1 išvestinės reikšmę taške x0.

Paveiksle pavaizduotas vienos iš funkcijos f (x) antidarinių grafikas y=F(x). Grafike pažymėti šeši taškai abscisėmis x1, x2, ..., x6. Kiek iš šių taškų funkcija y=f(x) įgyja neigiamas reikšmes?

Paveikslėlyje parodytas automobilio, judančio maršrutu, grafikas. Abscisių ašyje rodomas laikas (valandomis), o ordinačių ašyje – nuvažiuotas atstumas (kilometrais). Raskite vidutinį automobilio greitį šiame maršrute. Atsakymą pateikite km/val

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, kur x yra atstumas nuo atskaitos taško (metrais), t yra laikas judėjimo (sekundėmis). Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t=6 s

Paveikslėlyje parodytas tam tikros funkcijos y = f(x) antidarinės y = F(x), apibrėžtos intervale (-6; 7), grafikas. Naudodamiesi paveikslu, nustatykite funkcijos f(x) nulių skaičių šiame intervale.

Paveikslėlyje parodytas y = F(x) kai kurios funkcijos f(x), apibrėžtos intervale (-7; 5), antidarinių grafikas. Naudodamiesi paveikslu, nustatykite lygties f(x) = 0 sprendinių skaičių intervale [- 5; 2].

Paveiksle pavaizduotas diferencijuojamos funkcijos y=f(x) grafikas. X ašyje pažymėti devyni taškai: x1, x2, ... x9. Raskite visus pažymėtus taškus, kuriuose funkcijos f(x) išvestinė yra neigiama. Atsakyme nurodykite šių taškų skaičių.

Materialus taškas juda tiesia linija pagal dėsnį x(t)=12t^3−3t^2+2t, kur x – atstumas nuo atskaitos taško metrais, t – laikas sekundėmis, matuojamas nuo judėjimo pradžios. Raskite jo greitį (metrais per sekundę) momentu t=6 s.

Paveiksle pavaizduotas funkcijos y=f(x) grafikas ir šio grafiko liestinė, nubrėžta taške x0. Tangento lygtis parodyta paveiksle. raskite funkcijos y=4*f(x)-3 išvestinės reikšmę taške x0.

Įsivaizduokime tiesų kelią, einantį per kalvotą vietovę. Tai yra, jis eina aukštyn ir žemyn, bet nesisuka nei į dešinę, nei į kairę. Jei ašis nukreipta horizontaliai išilgai kelio ir vertikaliai, tada kelio linija bus labai panaši į kokios nors ištisinės funkcijos grafiką:

Ašis yra tam tikras nulinio aukščio lygis; gyvenime mes naudojame jūros lygį.

Judėdami į priekį tokiu keliu, taip pat judame aukštyn arba žemyn. Taip pat galime pasakyti: pasikeitus argumentui (judėjimas išilgai abscisių ašies), pasikeičia funkcijos reikšmė (judėjimas išilgai ordinačių ašies). Dabar pagalvokime, kaip nustatyti mūsų kelio „statumą“? Kokia tai galėtų būti vertė? Tai labai paprasta: kiek pasikeis aukštis judant į priekį tam tikru atstumu. Iš tiesų, skirtingose ​​kelio atkarpose, judėdami į priekį (išilgai x ašies) vienu kilometru, kilsime arba nukrisime skirtingu metrų skaičiumi, palyginti su jūros lygiu (palei y ašį).

Pažymėkime pažangą (skaitykite „delta x“).

Graikiška raidė (delta) matematikoje dažniausiai naudojama kaip priešdėlis, reiškiantis „pokytį“. Tai yra - tai yra kiekio pokytis, - pokytis; tada kas tai? Tai tiesa, masto pokytis.

Svarbu: išraiška yra viena visuma, vienas kintamasis. Niekada neatskirkite „delta“ nuo „x“ ar bet kokios kitos raidės! Tai, pavyzdžiui,.

Taigi, mes pajudėjome į priekį, horizontaliai, per. Jei lyginsime kelio liniją su funkcijos grafiku, tai kaip žymėsime kilimą? Be abejo,. Tai yra, eidami į priekį, kylame aukščiau.

Reikšmę nesunku suskaičiuoti: jei pradžioje buvome aukštyje, o pajudėję atsidūrėme aukštyje, tada. Jei pabaigos taškas yra žemesnis nei pradžios taškas, jis bus neigiamas – tai reiškia, kad mes ne kylame, o leidžiamės žemyn.

Grįžkime prie „statumo“: tai reikšmė, rodanti, kiek (stačiai) padidėja aukštis judant į priekį vienu atstumo vienetu:

Tarkime, kad tam tikroje kelio atkarpoje pajudėjus kilometrą į priekį kelias kilometrą pakyla aukštyn. Tada nuolydis šioje vietoje yra lygus. O jei kelias, judant į priekį m, nukrito km? Tada nuolydis yra lygus.

Dabar pažiūrėkime į kalvos viršūnę. Paėmus atkarpos pradžią pusę kilometro iki viršūnės, o pabaigą – puskilometrį po jos, matyti, kad aukštis beveik toks pat.

Tai yra, pagal mūsų logiką paaiškėja, kad nuolydis čia yra beveik lygus nuliui, o tai akivaizdžiai nėra tiesa. Tik nuvažiavus kilometrus daug kas gali pasikeisti. Norint adekvačiau ir tiksliau įvertinti statumą, būtina atsižvelgti į mažesnius plotus. Pavyzdžiui, jei išmatuosite aukščio pokytį judant per metrą, rezultatas bus daug tikslesnis. Bet ir šio tikslumo mums gali nepakakti – juk jei viduryje kelio yra stulpas, galime jį tiesiog aplenkti. Kokį atstumą tuomet turėtume pasirinkti? Centimetras? Milimetras? Mažiau yra geriau!

Realiame gyvenime atstumų matavimo milimetro tikslumu yra daugiau nei pakankamai. Tačiau matematikai visada siekia tobulumo. Todėl koncepcija buvo išrasta be galo mažas, tai yra, absoliuti reikšmė yra mažesnė už bet kurį skaičių, kurį galime pavadinti. Pavyzdžiui, jūs sakote: vienas trilijonas! Kiek mažiau? Ir padalysite šį skaičių iš – ir bus dar mažiau. Ir taip toliau. Jei norime parašyti, kad dydis yra be galo mažas, rašome taip: (skaitome „x linkęs į nulį“). Labai svarbu suprasti kad šis skaičius nėra nulis! Bet labai arti to. Tai reiškia, kad galite iš jo padalinti.

Sąvoka, priešinga begaliniam mažumui, yra be galo didelė (). Jūs tikriausiai jau susidūrėte su tuo, kai dirbote su nelygybėmis: šis skaičius yra modulio didesnis nei bet kuris skaičius, kurį galite įsivaizduoti. Jei sugalvosite didžiausią įmanomą skaičių, tiesiog padauginkite jį iš dviejų ir gausite dar didesnį skaičių. Ir begalybė yra dar didesnė už tai, kas vyksta. Tiesą sakant, be galo didelis ir be galo mažas yra atvirkštiniai vienas kitam, tai yra, at, ir atvirkščiai: at.

Dabar grįžkime į savo kelią. Idealiai apskaičiuotas nuolydis yra nuolydis, apskaičiuotas be galo mažai kelio atkarpai, ty:

Pastebiu, kad esant be galo mažam poslinkiui, aukščio pokytis taip pat bus be galo mažas. Bet leiskite man priminti, kad be galo mažas nereiškia lygus nuliui. Jei be galo mažus skaičius padalysite vienas iš kito, galite gauti visiškai įprastą skaičių, pavyzdžiui, . Tai yra, viena maža reikšmė gali būti lygiai kartų didesnė už kitą.

Kam visa tai? Kelias, statumas... Mes nevažiuojame į automobilių ralį, bet mokome matematikos. O matematikoje viskas lygiai taip pat, tik kitaip vadinama.

Išvestinės samprata

Funkcijos išvestinė yra funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui.

Palaipsniui matematikoje jie vadina kaita. Tai, kiek argumentas () keičiasi judant išilgai ašies, vadinamas argumentų prieaugis ir yra žymimas Kiek pasikeitė funkcija (aukštis) judant į priekį išilgai ašies atstumu funkcijos padidėjimas ir yra paskirtas.

Taigi funkcijos išvestinė yra santykis su kada. Išvestinę žymime ta pačia raide kaip ir funkciją, tik su pirminiu pirminiu viršuje dešinėje: arba tiesiog. Taigi, parašykime išvestinę formulę naudodami šiuos žymėjimus:

Kaip ir analogijoje su keliu, čia kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama.

Ar išvestinė gali būti lygi nuliui? Žinoma. Pavyzdžiui, jei važiuojame lygiu horizontaliu keliu, statumas lygus nuliui. Ir tai tiesa, ūgis visai nesikeičia. Taip yra ir su išvestine: pastovios funkcijos (konstantos) išvestinė lygi nuliui:

kadangi tokios funkcijos prieaugis lygus nuliui bet kuriai.

Prisiminkime kalvos viršūnės pavyzdį. Paaiškėjo, kad segmento galus galima išdėstyti priešingose ​​viršūnės pusėse taip, kad aukštis galuose būtų vienodas, tai yra, segmentas būtų lygiagretus ašiai:

Tačiau dideli segmentai yra netikslaus matavimo ženklas. Mes pakelsime savo segmentą lygiagrečiai sau, tada jo ilgis sumažės.

Galų gale, kai būsime be galo arti viršaus, atkarpos ilgis taps be galo mažas. Tačiau tuo pat metu jis išliko lygiagretus ašiai, tai yra, aukščių skirtumas jo galuose yra lygus nuliui (jis nelinkęs, bet lygus). Taigi išvestinė

Tai galima suprasti taip: kai stovime pačiame viršuje, nedidelis poslinkis į kairę arba dešinę mūsų ūgį pakeičia nežymiai.

Taip pat yra grynai algebrinis paaiškinimas: viršūnės kairėje funkcija didėja, o dešinėje - mažėja. Kaip sužinojome anksčiau, kai funkcija didėja, išvestinė yra teigiama, o kai mažėja – neigiama. Bet keičiasi sklandžiai, be šuolių (nes kelias niekur smarkiai nekeičia savo nuolydžio). Todėl turi būti tarp neigiamų ir teigiamų verčių. Tai bus ten, kur funkcija nei didėja, nei mažėja – viršūnės taške.

Tas pats pasakytina apie lovelį (sritis, kurioje funkcija kairėje mažėja, o dešinėje didėja):

Šiek tiek daugiau apie priedus.

Taigi argumentą keičiame į dydį. Iš kokios vertės keičiame? Kuo tai (argumentas) tapo dabar? Galime pasirinkti bet kurį tašką, o dabar iš jo šoksime.

Apsvarstykite tašką su koordinate. Funkcijos reikšmė jame lygi. Tada darome tą patį žingsnį: padidiname koordinatę. Koks dabar argumentas? Labai lengva: . Kokia dabar funkcijos vertė? Kur yra argumentas, taip pat ir funkcija: . O kaip su funkcijos padidėjimu? Nieko naujo: tai vis dar yra suma, kuria pasikeitė funkcija:

Praktikuokite žingsnių paiešką:

1. Raskite funkcijos prieaugį taške, kai argumento prieaugis yra lygus.
2. Tas pats pasakytina ir apie funkciją taške.

Sprendimai:

Skirtinguose taškuose su tuo pačiu argumento prieaugiu funkcijos padidėjimas bus skirtingas. Tai reiškia, kad išvestinė kiekviename taške yra skirtinga (tai aptarėme pačioje pradžioje – skirtinguose taškuose kelio statumas yra skirtingas). Todėl, kai rašome išvestinę, turime nurodyti, kurioje vietoje:

Maitinimo funkcija.

Galios funkcija yra funkcija, kai argumentas tam tikru laipsniu yra (logiškas, tiesa?).

Be to – bet kokiu mastu: .

Paprasčiausias atvejis, kai eksponentas yra:

Raskime jo išvestinę taške. Prisiminkime darinio apibrėžimą:

Taigi argumentas keičiasi iš į. Koks yra funkcijos padidėjimas?

Prieaugis yra tai. Bet funkcija bet kuriame taške yra lygi jos argumentui. Štai kodėl:

Išvestinė yra lygi:

Išvestinė yra lygi:

b) Dabar apsvarstykite kvadratinę funkciją (): .

Dabar prisiminkime tai. Tai reiškia, kad prieaugio vertės gali būti nepaisoma, nes ji yra be galo maža ir todėl nereikšminga, atsižvelgiant į kitą terminą:

Taigi, mes sugalvojome kitą taisyklę:

c) Tęsiame loginę seką: .

Šią išraišką galima supaprastinti įvairiais būdais: atidarykite pirmąjį skliaustą naudodami sutrumpinto sumos kubo daugybos formulę arba koeficientuokite visą išraišką naudodami kubelių skirtumo formulę. Pabandykite tai padaryti patys naudodami bet kurį iš siūlomų metodų.

Taigi, aš gavau šiuos dalykus:

Ir vėl prisiminkime tai. Tai reiškia, kad galime nepaisyti visų terminų, kuriuose yra:

Mes gauname: .

d) Panašias taisykles galima gauti didelėms galioms:

e) Pasirodo, kad šią taisyklę galima apibendrinti laipsnio funkcijai su savavališku eksponentu, net ne sveikuoju skaičiumi:

(2)

Taisyklė gali būti suformuluota taip: „laipsnis pakeliamas į priekį kaip koeficientas, o po to sumažinamas .

Šią taisyklę įrodysime vėliau (beveik pačioje pabaigoje). Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių. Raskite funkcijų išvestinę:

1. (dviem būdais: pagal formulę ir naudojant išvestinės apibrėžimą – apskaičiuojant funkcijos prieaugį);

Trigonometrinės funkcijos.

Čia panaudosime vieną faktą iš aukštosios matematikos:

Su išraiška.

Įrodymą išmoksite pirmaisiais instituto metais (o norėdami ten patekti, turite gerai išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą). Dabar aš tiesiog parodysiu tai grafiškai:

Matome, kad kai funkcijos nėra – taškas grafike iškerpamas. Tačiau kuo arčiau vertės, tuo arčiau funkcija. Tai yra „tikslai“.

Be to, šią taisyklę galite patikrinti naudodami skaičiuotuvą. Taip, taip, nesidrovėkite, pasiimkite skaičiuotuvą, mes dar neateiname į vieningą valstybinį egzaminą.

Taigi, pabandykime: ;

Nepamirškite perjungti skaičiuotuvo į radianų režimą!

ir tt Matome, kad kuo mažesnis, tuo santykio reikšmė artimesnė.

a) Apsvarstykite funkciją. Kaip įprasta, suraskime jo prieaugį:

Sinusų skirtumą paverskime sandauga. Norėdami tai padaryti, naudojame formulę (prisiminkime temą „“): .

Dabar išvestinė:

Pakeiskime: . Tada be galo mažam jis taip pat yra begalinis: . Išraiška yra tokia:

Ir dabar mes tai prisimename su išraiška. Ir taip pat, ką daryti, jei sumoje (ty at) galima nepaisyti be galo mažo dydžio.

Taigi, gauname tokią taisyklę: sinuso išvestinė lygi kosinusui:

Tai yra pagrindiniai („lentelės“) dariniai. Štai jie yra viename sąraše:

Vėliau juos papildysime dar keletu, tačiau šie yra patys svarbiausi, nes naudojami dažniausiai.

Praktika:

1. Raskite funkcijos išvestinę taške;
2. Raskite funkcijos išvestinę.

Sprendimai:

Rodiklis ir natūralusis logaritmas.

Matematikoje yra funkcija, kurios bet kurios reikšmės išvestinė yra lygi ir pačios funkcijos reikšmei tuo pačiu metu. Ji vadinama „eksponentu“ ir yra eksponentinė funkcija

Šios funkcijos pagrindas – konstanta – yra begalinė dešimtainė trupmena, tai yra neracionalus skaičius (pvz.,). Jis vadinamas „Eulerio skaičiumi“, todėl jis žymimas raide.

Taigi, taisyklė:

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj to rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijos išvestinę.
2. Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

1. taške;
2. taške;
3. taške;
4. taške.

Sprendimai:

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

1. Raskite funkcijų ir išvestines;
2. Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime savo funkciją sumažinti iki naujos bazės:

Norėdami tai padaryti, naudosime paprastą taisyklę: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to parašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunku“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada aš ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Pirmuoju pavyzdžiu,.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

IŠVEDINĖ VEIKLA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

1. Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
2. Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
3. Pirmojo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, tai reiškia, kad esate labai šaunus.

Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate šiame 5%!

Dabar svarbiausia.

Jūs supratote šios temos teoriją. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių.

Problema ta, kad to gali nepakakti...

Kam?

Už sėkmingai išlaikiusį vieningą valstybinį egzaminą, už įstojimą į kolegiją neviršijant biudžeto ir, SVARBIAUSIA, visam gyvenimui.

Niekuo neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką...

Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika.

Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau...

Bet pagalvok pats...

Ko reikia, kad būtumėte tikri, kad vieningo valstybinio egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni?

ĮGYKITE SAVO RANKĄ SPRĘSDAMI ŠIOS TEmos problemas.

Egzamino metu jūsų neprašys teorijos.

Jums reikės spręsti problemas prieš laiką.

Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog neturėsite laiko.

Tai kaip sporte – reikia kartoti daug kartų, kad laimėtum užtikrintai.

Raskite kolekciją, kur tik norite, būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk!

Galite naudoti mūsų užduotis (neprivaloma) ir mes, žinoma, jas rekomenduojame.

Kad galėtumėte geriau atlikti užduotis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką.

Kaip? Yra dvi parinktys:

1. Atrakinkite visas paslėptas užduotis šiame straipsnyje -
2. Atrakinkite prieigą prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - Pirkite vadovėlį - 499 RUR

Taip, mūsų vadovėlyje yra 99 tokie straipsniai ir prieiga prie visų užduočių ir visų jose esančių paslėptų tekstų gali būti atidaryta iš karto.

Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama VISĄ svetainės gyvenimą.

Apibendrinant...

Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija.

„Supratau“ ir „aš galiu išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite problemas ir jas spręskite!

(1 pav.)

1 pav. Išvestinis grafikas

Išvestinių grafų savybės

1. Didėjančiais intervalais išvestinė yra teigiama. Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale didėja.
2. Mažėjančiais intervalais išvestinė yra neigiama (su minuso ženklu). Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.
3. Išvestinė taške x yra lygi liestinės nuolydžiui, nubrėžtam funkcijos grafike tame pačiame taške.
4. Funkcijos didžiausiame ir minimaliame taške išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti OX ašiai.

1 pavyzdys

Naudodami išvestinės grafiką (2 pav.), nustatykite, kuriame atkarpos taške [-3; 5] funkcija yra maksimali.

2 pav. Išvestinis grafikas

Sprendimas: Šiame segmente išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija mažėja iš kairės į dešinę, o didžiausia reikšmė yra kairėje pusėje taške -3.

2 pavyzdys

Naudodami išvestinės grafiką (3 pav.), nustatykite didžiausių taškų skaičių atkarpoje [-11; 3].

3 pav. Išvestinis grafikas

Sprendimas: Maksimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Šiame intervale funkcija keičia ženklą iš pliuso į minusą du kartus - taške -10 ir taške -1. Tai reiškia, kad maksimalus taškų skaičius yra du.

3 pavyzdys

Naudodami išvestinės grafiką (3 pav.), nustatykite minimalių taškų skaičių atkarpoje [-11; -1].

Sprendimas: Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinės ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Šiame segmente toks taškas yra tik -7. Tai reiškia, kad minimalus taškų skaičius tam tikroje atkarpoje yra vienas.

4 pavyzdys

Naudodami išvestinės grafiką (3 pav.), nustatykite ekstremumo taškų skaičių.

Sprendimas: Kraštutiniai taškai yra ir minimalūs, ir didžiausi taškai. Raskime taškų, kuriuose išvestinė keičia ženklą, skaičių.