파생 이론. 미분 그래프 읽기

B8. 통합 상태 시험

1. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에 그려진 이 그래프의 접선을 보여줍니다. x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다. 답: 2

답: -5

간격(–9;4)에서.

답:2

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다. 답: 0.5

5. 선 y = 3x + 8의 접선점과 함수 y = x3+x2-5x-4의 그래프를 찾습니다. 답에 이 점의 가로좌표를 표시하십시오. 답: -2

함수 f(x)의 도함수가 음수인 인수의 정수 값 수를 결정합니다. 답: 4

답: 2

함수 f(x)의 그래프에 대한 접선이 직선 y=5–x와 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾으십시오. 답: 3

간격(-8, 3).

직선 y = -20. 답: 2

10.

답: -0.5

답: 1

12. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다. 답: 0.5

13. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다. 답: -0.25

14.

함수 f(x)의 그래프에 대한 접선이 직선 y = x+7과 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾습니다. 답: 4

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다. 답: -2

16.

간격(-14;9).

세그먼트 [-12;7]에서 함수 f(x)의 최대 포인트 수를 찾습니다. 답: 3

간격(-10;8)에서.

세그먼트 [-9;7]에서 함수 f(x)의 극점 개수를 찾습니다. 답변: 4

18. y = 5x-7 선은 가로좌표가 0보다 작은 점에서 y = 6x2 + bx-1 함수의 그래프와 접촉합니다. b를 찾습니다. 답변: 17

답변:-0,25

답변: 6

21. 직선 y=5x+11에 평행한 함수 y=x2+6x-7의 그래프에 대한 접선을 구합니다. 답에 접선점의 가로좌표를 표시하십시오. 답변: -0,5

22.

답변: 4

23. 에프 "(x) 간격(-16;4)에서.

세그먼트 [-11;0]에서 함수의 최대 포인트 수를 찾습니다. 답변: 1

B8 함수 그래프, 함수 파생물. 기능 연구 . 통합 상태 시험

1. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에 그려진 이 그래프의 접선을 보여줍니다. x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

2. 그림은 구간 (-6; 5)에 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

세그먼트의 어느 지점에서 [-5; -1] f(x)는 가장 작은 값을 취하는가?

3. 그림은 다음과 같이 정의된 함수 y = f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

간격(–9;4)에서.

함수 f(x)의 그래프에 대한 접선이 직선과 평행한 점의 수를 찾습니다.

y = 2x-17 또는 이와 일치합니다.

4. 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

5. 선 y = 3x + 8의 접선점과 함수 y = x3+x2-5x-4의 그래프를 찾습니다. 답에 이 점의 가로좌표를 표시하십시오.

6. 그림은 구간 (-7; 5)에 정의된 함수 y = f(x)의 그래프를 보여줍니다.

함수 f(x)의 도함수가 음수인 인수의 정수 값 수를 결정합니다.

7. 그림은 구간 (-8; 8)에 정의된 함수 y=f "(x)의 그래프를 보여줍니다.

세그먼트 [-4; 6].

8. 그림은 구간 (-8; 4)에 정의된 함수 y = f "(x)의 그래프를 보여줍니다.

함수 f(x)의 그래프에 대한 접선이 직선 y=5–x와 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾으십시오.

9. 그림은 다음에 정의된 함수 y = f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

간격(-8, 3).

함수 그래프의 접선이 평행한 점의 수를 구합니다.

직선 y = -20.

10. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

11 . 그림은 구간 (-9;9)에 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

구간 [-6;8]에서 $f(x)$ 함수의 최소 포인트 수를 찾습니다. 1

12. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

13. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

14. 그림은 구간 (-6;8)에 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

함수 f(x)의 그래프에 대한 접선이 직선 y = x+7과 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾습니다.

15 . 그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 가로좌표 x0이 있는 점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

16. 그림은 다음에 정의된 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

간격(-14;9).

세그먼트 [-12;7]에서 함수 f(x)의 최대 포인트 수를 찾습니다.

17 . 그림은 함수 f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

간격(-10;8)에서.

세그먼트 [-9;7]에서 함수 f(x)의 극점 개수를 찾습니다.

18. y = 5x-7 선은 가로좌표가 0보다 작은 점에서 y = 6x2 + bx-1 함수의 그래프와 접촉합니다. b를 찾습니다.

19 . 그림은 함수 f(x)의 도함수 그래프와 가로좌표 x0이 있는 지점에서의 접선을 보여줍니다.

x0 지점에서 함수 f(x)의 도함수 값을 찾습니다.

20 . 그래프에 표시된 함수 y = f(x)의 도함수가 0과 같은 구간(-1;12)에서 점의 개수를 찾습니다.

21. 직선 y=5x+11에 평행한 함수 y=x2+6x-7의 그래프에 대한 접선을 구합니다. 답에 접선점의 가로좌표를 표시하십시오.

22. 그림은 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. 함수 f(x)의 도함수가 양수인 구간 (-2;11)에서 정수 점의 개수를 찾습니다.

23. 그림은 함수 y=의 그래프를 보여줍니다.에프 "(x) 간격(-16;4)에서.

세그먼트 [-11;0]에서 함수의 최대 포인트 수를 찾습니다.

안녕하세요! 과학의 화강암을 갈고 닦는 고품질의 체계적인 준비와 끈기로 다가오는 통합 국가 시험을 치르자!!! 안에게시물 끝에 경쟁 과제가 있습니다. 가장 먼저 참여하세요! 이 섹션의 기사 중 하나에서 함수 그래프가 제공되고 극값, 증가(감소) 간격 등에 관한 다양한 질문이 제기된 기사입니다.

이 기사에서는 함수의 도함수 그래프가 제공되고 다음 질문이 제기되는 수학 통합 상태 시험에 포함된 문제를 고려할 것입니다.

1. 주어진 세그먼트의 어느 지점에서 함수가 가장 큰(또는 가장 작은) 값을 취합니까?
2. 주어진 세그먼트에 속하는 기능의 최대(또는 최소) 포인트 수를 찾습니다.
3. 주어진 세그먼트에 속하는 함수의 극점 수를 찾습니다.
4. 해당 세그먼트에 속하는 함수의 극점을 찾습니다.
5. 증가(또는 감소) 함수의 간격을 찾고 답에 이 간격에 포함된 정수점의 합을 표시합니다.
6. 함수의 증가(또는 감소) 간격을 찾습니다. 답에 이 구간 중 가장 큰 구간의 길이를 표시하십시오.
7. 함수 그래프의 접선이 y = kx + b 형식의 선과 평행하거나 일치하는 점의 수를 찾습니다.
8. 함수 그래프의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로좌표를 찾습니다.

다른 질문이 있을 수 있지만 이해하시면 문제가 발생하지 않습니다. (해결 방법에 필요한 정보를 제공하는 기사에 대한 링크가 제공되므로 반복하는 것이 좋습니다.)

기본 정보(간단히):

1. 증가하는 간격의 도함수는 양의 부호를 갖습니다.

특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 양수 값을 가지면 해당 구간의 함수 그래프가 증가합니다.

2. 감소하는 간격에서 도함수는 음의 부호를 갖습니다.

특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 음수 값을 가지면 해당 구간에서 함수 그래프가 감소합니다.

3. 점 x에서의 도함수는 같은 점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같습니다.

4. 함수의 극한점(최대-최소)에서 도함수는 0과 같습니다. 이 지점에서 함수 그래프의 접선은 x축과 평행합니다.

이것을 분명히 이해하고 기억해야 합니다!!!

파생 그래프는 많은 사람들을 "혼란"시킵니다. 어떤 사람들은 이를 함수 자체의 그래프로 착각하기도 합니다. 따라서 그래프가 제공되는 건물에서는 즉시 주어진 조건, 즉 함수 그래프 또는 함수 파생 그래프에주의를 집중하십시오.

함수의 도함수 그래프인 경우 함수 자체의 "반사"로 처리하여 해당 함수에 대한 정보만 제공합니다.

작업을 고려하십시오.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–2;21)에 정의됩니다.

우리는 다음 질문에 대답할 것입니다:

1. 세그먼트의 어느 지점에 기능이 있습니까? 에프(엑스)가장 큰 가치를 취합니다.

주어진 구간에서 함수의 도함수는 음수입니다. 즉, 이 구간의 함수는 감소합니다(구간의 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 감소함). 따라서 함수의 가장 큰 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 지점 7에서 달성됩니다.

답: 7

2. 세그먼트의 어느 지점에 기능이 있습니까? 에프(엑스)

이 파생 그래프에서 우리는 다음과 같이 말할 수 있습니다. 주어진 구간에서 함수의 도함수는 양수입니다. 즉, 이 구간의 함수가 증가한다는 의미입니다(구간의 왼쪽 경계에서 오른쪽으로 증가함). 따라서 함수의 가장 작은 값은 세그먼트의 왼쪽 경계, 즉 x = 3 지점에서 달성됩니다.

답: 3

3. 함수의 최대 포인트 수를 찾으십시오. 에프(엑스)

최대점은 도함수 기호가 양수에서 음수로 변경되는 점에 해당합니다. 이런 식으로 부호가 바뀌는 곳을 생각해 봅시다.

세그먼트(3;6)에서 도함수는 양수이고, 세그먼트(6;16)에서는 음수입니다.

세그먼트(16;18)에서 도함수는 양수이고, 세그먼트(18;20)에서는 음수입니다.

따라서 주어진 세그먼트에서 함수는 두 개의 최대 지점 x = 6과 x = 18을 갖습니다.

답: 2

4. 함수의 최소 포인트 수를 찾으십시오. 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

최소점은 미분 기호가 음수에서 양수로 변경되는 점에 해당합니다. 도함수는 구간 (0;3)에서는 음수이고 구간 (3;4)에서는 양수입니다.

따라서 세그먼트에서 함수는 단 하나의 최소 점 x = 3을 갖습니다.

*답안 작성 시 주의사항 - x값이 아닌 점수가 기록되므로 부주의로 인해 이런 실수가 발생할 수 있습니다.

답: 1

5. 함수의 극점 개수 찾기 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

찾아야 할 사항을 참고하세요. 수량극한점(최대점과 최소점 모두)

극점은 도함수의 부호가 변경되는 지점(양수에서 음수로 또는 그 반대로)에 해당합니다. 조건에 제공된 그래프에서 이는 함수의 0입니다. 도함수는 3, 6, 16, 18 지점에서 사라집니다.

따라서 이 함수는 세그먼트에 4개의 극점을 갖습니다.

답: 4

6. 증가하는 함수의 구간을 찾아보세요 에프(엑스)

이 기능의 증가 간격 에프(엑스)도함수가 양수인 구간, 즉 구간 (3;6)과 (16;18)에 해당합니다. 간격의 경계는 포함되지 않습니다(둥근 괄호 - 경계는 간격에 포함되지 않음, 대괄호 - 포함). 이 간격에는 정수 포인트 4, 5, 17이 포함됩니다. 그 합은 4 + 5 + 17 = 26입니다.

답: 26

7. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스)주어진 간격으로. 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하세요.

함수의 간격 감소 에프(엑스)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 이 문제에서는 간격 (–2;3), (6;16), (18:21)이 있습니다.

이러한 간격에는 –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20과 같은 정수 포인트가 포함됩니다. 해당 합계는 다음과 같습니다.

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

답: 140

*조건에 주의하세요: 경계가 간격에 포함되는지 여부. 경계가 포함된 경우 솔루션 프로세스에서 고려되는 간격에서 이러한 경계도 고려해야 합니다.

8. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스)

함수 증가 간격 에프(엑스)함수의 도함수가 양수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 (3;6)과 (16:18)을 표시했습니다. 그 중 가장 큰 것은 간격(3;6)이고 길이는 3입니다.

답: 3

9. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

함수의 간격 감소 에프(엑스)함수의 도함수가 음수인 구간에 해당합니다. 우리는 이미 그것들을 표시했는데 이것은 간격 (–2;3), (6;16), (18;21)이고 길이는 각각 5, 10, 3입니다.

가장 큰 것의 길이는 10이다.

답: 10

10. 함수 그래프에 접하는 점의 수를 찾으십시오. 에프(엑스)직선 y = 2x + 3과 평행하거나 일치합니다.

접선점에서의 도함수 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선은 직선 y = 2x + 3과 평행하거나 일치하므로 각도 계수는 2와 같습니다. 이는 y′(x 0) = 2가 되는 점의 수를 찾아야 함을 의미합니다. 기하학적으로 이는 도함수 그래프와 직선 y = 2의 교차점 수에 해당합니다. 이 구간에는 이러한 점이 4개 있습니다.

답: 4

11. 함수의 극점 찾기 에프(엑스), 세그먼트에 속합니다.

함수의 극점은 함수의 도함수가 0과 같은 지점이며, 이 지점 근처에서 도함수의 부호가 변경됩니다(양수에서 음수로 또는 그 반대로). 세그먼트에서 도함수 그래프는 x축과 교차하고 도함수는 부호를 음수에서 양수로 변경합니다. 따라서 점 x = 3은 극점입니다.

답: 3

12. 그래프 y = f (x)의 접선이 가로축과 평행하거나 일치하는 점의 가로좌표를 찾습니다. 귀하의 답변에 그 중 가장 큰 것을 표시하십시오.

그래프 y = f (x)의 접선은 도함수가 0인 지점에서만 가로축과 평행하거나 일치할 수 있습니다. 기호를 변경하지 마십시오). 이 그래프는 3, 6, 16,18 지점에서 도함수가 0임을 보여줍니다. 가장 큰 것은 18입니다.

추론을 다음과 같이 구성할 수 있습니다.

접선점에서의 도함수 값은 접선의 기울기와 같습니다. 접선은 x축과 평행하거나 일치하므로 기울기는 0입니다(실제로 각도 0도의 접선은 0입니다). 따라서 우리는 기울기가 0과 같고 도함수가 0인 점을 찾고 있습니다. 도함수는 그래프가 x축과 교차하는 지점에서 0과 같으며 이러한 지점은 3, 6, 16,18입니다.

답: 18

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–8;4)에 정의됩니다. 세그먼트 [–7;–3]의 어느 지점에 함수가 있습니까? 에프(엑스)가장 작은 값을 취합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–7;14)에 정의됩니다. 함수의 최대 포인트 수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-6;9]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–18;6)에 정의됩니다. 함수의 최소 포인트 수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-13;1]에 속합니다.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–11; –11)에 정의됩니다. 함수의 극점 개수 찾기 에프(엑스), 세그먼트 [-10; -10].

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–7;4)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하세요.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–5;7)에 정의됩니다. 감소하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 이 구간에 포함된 정수점의 합을 표시하세요.

그림은 그래프를 보여줍니다 와이 =에프'(엑스)- 함수의 파생물 에프(엑스), 간격(–11;3)에 정의됩니다. 증가하는 함수의 구간 찾기 에프(엑스). 답에 가장 큰 것의 길이를 표시하십시오.

F 그림은 그래프를 보여줍니다.

문제의 조건은 동일합니다(우리가 고려한). 세 숫자의 합을 구합니다:

1. 함수 f(x)의 극값의 제곱의 합.

2. 함수 f(x)의 최대점 합계와 최소점 합계의 제곱 간의 차이입니다.

3. 직선 y = –3x + 5에 평행한 f(x)에 대한 접선의 수.

먼저 정답을 맞춘 사람에게는 150루블의 인센티브 상금이 지급됩니다. 댓글에 답을 적어주세요. 이 댓글이 블로그의 첫 번째 댓글이라면 즉시 표시되지 않고 조금 후에 표시됩니다(댓글이 작성된 시간이 기록되므로 걱정하지 마세요).

행운을 빕니다!

감사합니다, Alexander Krutitsikh.

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.

그림은 구간 [-5; 6]. f(x) 그래프에서 함수 그래프에 그려진 접선이 x축과 일치하거나 평행한 점의 수를 구합니다.

그림은 미분 가능 함수 y = f(x)의 도함수 그래프를 보여줍니다.

세그먼트 [-7; 7], 여기서 함수 그래프의 접선은 방정식 y = –3x로 지정된 직선과 평행합니다.

재료점 M은 A점에서 이동을 시작하여 12초 동안 직선으로 이동합니다. 그래프는 A 지점에서 M 지점까지의 거리가 시간에 따라 어떻게 변했는지 보여줍니다. 가로축은 시간 t를 초 단위로 표시하고, 세로 축은 거리 s를 미터 단위로 표시합니다. 이동 중에 점 M의 속도가 0으로 변한 횟수를 결정합니다(이동의 시작과 끝은 고려하지 않음).

그림은 함수 y=f(x)의 그래프 섹션과 가로좌표 x = 0인 점에서의 접선을 보여줍니다. 이 접선은 그래프의 점을 통과하는 직선과 평행한 것으로 알려져 있습니다. 가로좌표 x = -2 및 x = 3. 이를 사용하여 도함수 f"(o)의 값을 찾습니다.

그림은 y = f'(x)의 그래프를 보여줍니다. 이는 세그먼트(−11; 2)에 정의된 함수 f(x)의 도함수입니다. 함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선이 가로좌표와 평행하거나 일치하는 점의 가로좌표를 찾습니다.

재료 점은 x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3 법칙에 따라 직선으로 이동합니다. 여기서 x는 기준점으로부터의 거리(미터)이고, t는 시간(초)입니다. 움직임의 시작부터 측정됩니다. 어느 시점(초)에 속도가 2m/s와 같았습니까?

재료점은 초기 위치에서 최종 위치까지 직선을 따라 이동합니다. 그림은 움직임의 그래프를 보여줍니다. 가로축은 시간(초)을 나타내고, 세로축은 지점의 초기 위치로부터의 거리(미터)를 나타냅니다. 해당 지점의 평균 속도를 구합니다. 답을 초당 미터 단위로 입력하세요.

함수 y = f (x)는 구간 [-4; 4]. 그림은 파생 그래프를 보여줍니다. 함수 y = f (x)의 그래프에서 점의 수를 구합니다. 이 접선은 Ox 축의 양의 방향과 45°의 각도를 형성합니다.

함수 y = f (x)는 구간 [-2; 4]. 그림은 파생 그래프를 보여줍니다. 함수 y = f (x)의 그래프에서 세그먼트 [-2; -0.001].

그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 x0 지점에 그려진 이 그래프의 접선을 보여줍니다. 탄젠트는 방정식 y = -2x + 15로 제공됩니다. 점 x0에서 함수 y = -(1/4)f(x) + 5의 도함수 값을 구합니다.

미분 가능 함수 y = f (x)의 그래프에는 7개의 점이 표시됩니다: x1,.., x7. 함수 f(x)의 도함수가 0보다 큰 표시된 점을 모두 찾습니다. 답변에 이러한 포인트 수를 표시하십시오.

그림은 구간 (-10; 2)에 정의된 함수 f(x)의 도함수의 그래프 y = f"(x)를 보여줍니다. 함수 f의 그래프에 대한 접선이 되는 점의 수를 찾습니다. (x)는 직선 y = -2x-11과 평행하거나 일치합니다.

그림은 y=f"(x) - 함수 f(x)의 미분 그래프를 보여줍니다. 가로축에는 9개의 점이 표시되어 있습니다: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
이 점 중 몇 개가 감소 함수 f(x)의 구간에 속합니까?

그림은 함수 y = f(x)의 그래프와 x0 지점에 그려진 이 그래프의 접선을 보여줍니다. 탄젠트는 방정식 y = 1.5x + 3.5로 제공됩니다. x0 지점에서 함수 y = 2f(x) - 1의 도함수 값을 구합니다.

그림은 함수 f(x)의 역도함수 중 하나의 그래프 y=F(x)를 보여줍니다. 그래프에는 가로축 x1, x2, ..., x6으로 표시된 6개의 점이 있습니다. 함수 y=f(x)는 이들 점 중 몇 개에서 음수 값을 취합니까?

그림은 경로를 따라 이동하는 자동차의 그래프를 보여줍니다. 가로축은 시간(시간)을 나타내고, 세로축은 이동 거리(킬로미터)를 나타냅니다. 이 경로에서 자동차의 평균 속도를 구하세요. 답을 km/h 단위로 입력하세요.

재료 점은 x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1 법칙에 따라 직선으로 이동합니다. 여기서 x는 기준점으로부터의 거리(미터 단위)이고 t는 시간입니다. 움직임(초 단위). 시간 t=6초에서의 속도(초당 미터 단위)를 구합니다.

그림은 구간 (-6; 7)에 정의된 일부 함수 y = f(x)의 역도함수 y = F(x) 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 이 구간에서 함수 f(x)의 0 개수를 결정합니다.

그림은 구간 (-7; 5)에 정의된 일부 함수 f(x)의 역도함수 중 하나의 y = F(x) 그래프를 보여줍니다. 그림을 사용하여 구간 [- 5; 2].

그림은 미분 가능 함수 y=f(x)의 그래프를 보여줍니다. x축에는 x1, x2, ... x9 등 9개의 점이 표시되어 있습니다. 함수 f(x)의 도함수가 음수인 표시된 점을 모두 찾습니다. 답변에 이러한 포인트 수를 표시하십시오.

재료 점은 x(t)=12t^3−3t^2+2t 법칙에 따라 직선으로 이동합니다. 여기서 x는 기준점으로부터의 거리(미터)이고, t는 이동 시작부터 측정된 시간(초)입니다. 시간 t=6초에서의 속도(초당 미터 단위)를 구합니다.

그림은 함수 y=f(x)의 그래프와 x0 지점에 그려진 이 그래프의 접선을 보여줍니다. 탄젠트 방정식이 그림에 나와 있습니다. x0 지점에서 함수 y=4*f(x)-3의 도함수 값을 구합니다.

언덕이 많은 지역을 통과하는 직선 도로를 상상해 봅시다. 즉, 위아래로 움직이지만 오른쪽이나 왼쪽으로 돌아가지는 않습니다. 축이 도로를 따라 수평으로 그리고 수직으로 향하면 도로 선은 일부 연속 함수의 그래프와 매우 유사합니다.

축은 고도가 0인 특정 수준이며, 생활에서는 해수면을 그대로 사용합니다.

우리는 그러한 길을 따라 앞으로 나아가면서 위아래로 움직이기도 합니다. 인수가 변경되면(가로 축을 따라 이동) 함수 값도 변경됩니다(세로 축을 따라 이동)라고 말할 수도 있습니다. 이제 우리 도로의 "가파름"을 결정하는 방법에 대해 생각해 봅시다. 이것은 어떤 종류의 가치가 될 수 있습니까? 매우 간단합니다. 특정 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 변경되는지입니다. 실제로 도로의 다양한 구간에서 (x축을 따라) 1km 앞으로 이동하면 해수면(y축을 따라)을 기준으로 서로 다른 미터 수만큼 오르거나 내릴 것입니다.

진행 상황을 표시해 보겠습니다(“델타 x” 읽기).

그리스 문자(델타)는 수학에서 "변화"를 의미하는 접두사로 흔히 사용됩니다. 즉, 이것은 수량의 변화입니다. - 변화입니다. 그럼 뭔데요? 맞습니다, 규모의 변화입니다.

중요: 표현식은 하나의 전체, 하나의 변수입니다. “델타”를 “x” 또는 다른 문자와 분리하지 마십시오! 즉, 예를 들어 .

그래서 우리는 수평적으로 앞으로 나아갔습니다. 도로의 선을 함수 그래프와 비교하면 상승을 어떻게 표시합니까? 틀림없이, . 즉, 앞으로 나아갈수록 우리는 더 높이 올라갑니다.

값은 계산하기 쉽습니다. 처음에 우리가 높은 곳에 있었다면 이동한 후에 우리 자신이 높은 곳에 있다는 것을 알게 되었습니다. 끝점이 시작점보다 낮으면 음수가 됩니다. 이는 오름차순이 아니라 내림차순임을 의미합니다.

"가파름"으로 돌아가 보겠습니다. 이는 한 단위 거리를 앞으로 이동할 때 높이가 얼마나 (가파르게) 증가하는지를 나타내는 값입니다.

도로의 어떤 구간에서 1km 앞으로 나아갈 때 도로가 1km 올라간다고 가정해 보겠습니다. 그러면 이 곳의 경사는 같습니다. 그리고 도로가 m 단위로 전진하다가 km 단위로 떨어진다면? 그러면 기울기가 동일해집니다.

이제 언덕 꼭대기를 살펴보겠습니다. 정상 0.5km 전 구간의 시작점과 정상 후 0.5km 구간의 끝부분을 보면 높이가 거의 같다는 것을 알 수 있습니다.

즉, 우리 논리에 따르면 여기의 기울기는 거의 0과 같으며 이는 분명히 사실이 아닙니다. 킬로미터만 지나면 많은 것이 바뀔 수 있습니다. 경사도를 보다 적절하고 정확하게 평가하려면 더 작은 영역을 고려해야 합니다. 예를 들어, 1미터를 이동할 때 높이의 변화를 측정하면 결과가 훨씬 더 정확해집니다. 그러나 이 정확도조차도 우리에게는 충분하지 않을 수 있습니다. 결국 도로 중앙에 기둥이 있으면 간단히 지나갈 수 있습니다. 그렇다면 우리는 어떤 거리를 선택해야 할까요? 센티미터? 밀리미터? 적을수록 좋습니다!

실제 생활에서는 밀리미터 단위까지 거리를 측정하는 것만으로도 충분합니다. 하지만 수학자들은 언제나 완벽함을 추구합니다. 그래서 컨셉이 탄생한거임 극소의즉, 절대값은 우리가 명명할 수 있는 어떤 숫자보다 작습니다. 예를 들어, 1조분의 1이라고 말합니다. 얼마나 적습니까? 그리고 이 숫자를 -로 나누면 훨씬 작아집니다. 등등. 양이 무한하다고 쓰고 싶다면 다음과 같이 씁니다: (“x는 0이 되는 경향이 있습니다”라고 읽습니다). 이해하는 것이 매우 중요합니다. 이 숫자는 0이 아닙니다!하지만 아주 가깝습니다. 즉, 나누어서 쓸 수 있다는 뜻입니다.

무한소의 반대 개념은 무한히 크다(). 부등식을 연구할 때 이미 이 숫자를 접했을 것입니다. 이 숫자는 당신이 생각할 수 있는 어떤 숫자보다 모듈로 더 큽니다. 가능한 가장 큰 숫자가 생각나면 그 숫자에 2를 곱하면 더 큰 숫자가 나옵니다. 그리고 무한대는 일어나는 일보다 훨씬 더 큽니다. 사실, 무한히 큰 것과 무한히 작은 것은 서로 반대입니다. 즉, at이고 그 반대도 마찬가지입니다.

이제 우리의 길로 돌아가자. 이상적으로 계산된 경사는 경로의 극소 세그먼트에 대해 계산된 경사입니다. 즉,

변위가 무한하면 높이 변화도 극소화됩니다. 그러나 무한소가 0과 같다는 의미는 아니라는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 극소수를 서로 나누면, 예를 들어 와 같이 완전히 평범한 숫자를 얻을 수 있습니다. 즉, 하나의 작은 값은 다른 값보다 정확히 몇 배 더 클 수 있습니다.

이게 다 뭐죠? 길, 가파른... 우리는 자동차 랠리를 가는 것이 아니라 수학을 가르치고 있습니다. 그리고 수학에서는 모든 것이 정확히 동일하며 다르게 호출됩니다.

파생상품의 개념

함수의 도함수는 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율입니다.

증분적으로수학에서는 변화라고 부릅니다. 인수()가 축을 따라 이동하면서 변경되는 정도를 이라고 합니다. 인수 증가축을 따라 거리만큼 전진할 때 함수(높이)가 얼마나 변했는지를 말합니다. 기능 증가그리고 지정됩니다.

따라서 함수의 미분은 언제에 대한 비율입니다. 함수와 동일한 문자로 도함수를 표시하고 오른쪽 상단에 소수만 표시합니다. 따라서 다음 표기법을 사용하여 미분 공식을 작성해 보겠습니다.

도로에 비유하듯이 여기서 함수가 증가하면 미분은 양수이고, 감소하면 음수입니다.

도함수가 0이 될 수 있나요? 틀림없이. 예를 들어 평평한 수평 도로를 운전하는 경우 경사도는 0입니다. 그리고 높이는 전혀 변하지 않는 것이 사실입니다. 도함수도 마찬가지입니다. 상수 함수(상수)의 도함수는 0과 같습니다.

그러한 함수의 증가는 어떤 경우에도 0과 같기 때문입니다.

언덕 위의 예를 기억해 봅시다. 끝의 높이가 동일해지는 방식, 즉 세그먼트가 축과 평행하도록 정점의 반대쪽에 세그먼트의 끝을 배열하는 것이 가능하다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 큰 부분은 측정이 부정확하다는 신호입니다. 세그먼트를 자체 평행하게 올리면 길이가 줄어듭니다.

결국 우리가 꼭대기에 무한히 가까워지면 세그먼트의 길이는 극소화됩니다. 그러나 동시에 축과 평행을 유지했습니다. 즉, 끝 부분의 높이 차이는 0과 같습니다 (경향은 없지만 같음). 그래서 파생어는

이것은 다음과 같이 이해될 수 있습니다. 우리가 맨 꼭대기에 서 있을 때 왼쪽이나 오른쪽으로 조금만 이동해도 높이가 무시할 만큼 변경됩니다.

순전히 대수적인 설명도 있습니다. 정점의 왼쪽에서는 함수가 증가하고 오른쪽에서는 감소합니다. 앞서 알아봤듯이, 함수가 증가하면 도함수는 양수이고, 감소하면 음수입니다. 그러나 점프없이 부드럽게 변합니다 (도로의 경사가 어디에서나 급격하게 변하지 않기 때문입니다). 따라서 음수 값과 양수 값 사이에 있어야 합니다. 정점에서 함수가 증가하지도 감소하지도 않는 곳이 됩니다.

최저점(왼쪽의 함수가 감소하고 오른쪽의 함수가 증가하는 영역)의 경우에도 마찬가지입니다.

증분에 대해 조금 더 자세히 설명합니다.

그래서 우리는 인수를 크기로 변경합니다. 우리는 어떤 가치로부터 변화하는가? 이제 그것(논쟁)은 어떻게 되었는가? 우리는 어느 지점이든 선택할 수 있으며 이제 그 지점에서 춤을 추겠습니다.

좌표가 있는 점을 생각해 보세요. 그 안에 있는 함수의 값은 동일합니다. 그런 다음 동일한 증분을 수행합니다. 좌표를 증가시킵니다. 지금 논쟁은 무엇입니까? 아주 쉽게: . 지금 함수의 가치는 얼마인가? 인수가 가는 곳에 함수도 있습니다: . 기능 증가는 어떻습니까? 새로운 것은 없습니다. 이는 여전히 함수가 변경된 양입니다.

증분 찾기를 연습하세요.

인수의 증분이 다음과 같은 지점에서 함수의 증분을 구합니다.
한 지점의 기능도 마찬가지입니다.

솔루션:

동일한 인수 증분이 있는 서로 다른 지점에서 함수 증분은 달라집니다. 이는 각 지점의 도함수가 다르다는 것을 의미합니다(우리는 맨 처음에 이에 대해 논의했습니다. 도로의 가파른 정도는 지점마다 다릅니다). 따라서 도함수를 작성할 때 다음과 같은 지점을 표시해야 합니다.

전원 기능.

거듭제곱 함수는 인수가 어느 정도(논리적이죠?)인 함수입니다.

게다가 - 어느 정도까지: .

가장 간단한 경우는 지수가 다음과 같은 경우입니다.

한 지점에서 그 파생물을 찾아봅시다. 파생상품의 정의를 떠올려보겠습니다.

따라서 인수는 에서 로 변경됩니다. 함수의 증가는 무엇입니까?

증분은 이렇습니다. 그러나 어떤 지점에서든 함수는 인수와 동일합니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

파생 상품은 다음과 같습니다.

의 미분은 다음과 같습니다:

b) 이제 이차 함수()를 고려하십시오.

이제 그것을 기억해 봅시다. 이는 증가분의 값이 무시될 수 있음을 의미합니다. 왜냐하면 이는 무한소이고 따라서 다른 용어의 배경에 비해 중요하지 않기 때문입니다.

그래서 우리는 또 다른 규칙을 생각해냈습니다.

c) 우리는 논리 시리즈를 계속합니다: .

이 표현식은 다양한 방법으로 단순화될 수 있습니다. 합의 세제곱의 약식 곱셈 공식을 사용하여 첫 번째 괄호를 열거나 세제곱의 차이 공식을 사용하여 전체 표현식을 인수분해합니다. 제안된 방법 중 하나를 사용하여 직접 시도해 보세요.

그래서 나는 다음을 얻었습니다.

그리고 다시 한번 기억해 봅시다. 이는 다음을 포함하는 모든 용어를 무시할 수 있음을 의미합니다.

우리는 다음을 얻습니다: .

d) 큰 권력에 대해서도 비슷한 규칙을 얻을 수 있습니다.

e) 이 규칙은 정수가 아닌 임의의 지수를 갖는 거듭제곱 함수에 대해 일반화될 수 있는 것으로 나타났습니다.

(2)

규칙은 다음과 같이 공식화할 수 있습니다. "차수는 계수로 제시된 다음 로 감소됩니다."

우리는 이 규칙을 나중에 (거의 마지막에) 증명할 것입니다. 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 함수의 미분을 찾으세요.

(두 가지 방법: 공식을 사용하고 미분 정의를 사용 - 함수의 증분을 계산하여)

삼각 함수.

여기서 우리는 고등 수학에서 얻은 한 가지 사실을 사용할 것입니다.

표현력으로.

교육 기관의 첫 해에 증명을 배우게 됩니다(그리고 거기에 도달하려면 통합 상태 시험에 잘 통과해야 합니다). 이제 그래픽으로 보여드리겠습니다.

함수가 존재하지 않으면 그래프의 점이 잘려지는 것을 볼 수 있습니다. 하지만 값에 가까울수록 기능도 가까워지는 것이 바로 '목표'입니다.

또한 계산기를 사용하여 이 규칙을 확인할 수도 있습니다. 예, 예, 부끄러워하지 말고 계산기를 사용하세요. 아직 통합 상태 시험이 아닙니다.

자, 시도해 봅시다: ;

계산기를 라디안 모드로 전환하는 것을 잊지 마세요!

등. 비율이 작을수록 비율 값이 더 가까워지는 것을 알 수 있습니다.

a) 기능을 고려하십시오. 평소처럼 증가분을 찾아보겠습니다.

사인의 차이를 곱으로 바꿔보겠습니다. 이를 위해 우리는 공식을 사용합니다 (주제 ""를 기억하십시오): .

이제 파생물은 다음과 같습니다.

교체를 해보자: . 그런 다음 무한소의 경우에도 무한소입니다. 에 대한 표현식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

이제 우리는 그 표현을 통해 그것을 기억합니다. 그리고 또한 합(즉, at)에서 극미량의 양을 무시할 수 있다면 어떨까요?

따라서 우리는 다음과 같은 규칙을 얻습니다. 사인의 미분은 코사인과 같습니다:

이는 기본(“표 형식”) 파생 상품입니다. 여기 하나의 목록에 있습니다:

나중에 몇 가지를 더 추가할 예정이지만 가장 자주 사용되기 때문에 이것이 가장 중요합니다.

관행:

한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.
함수의 미분을 찾아보세요.

솔루션:

지수와 자연로그.

수학에는 임의의 값에 대한 도함수가 동시에 함수 자체의 값과 동일한 함수가 있습니다. 지수(exponential)라고 하며 지수함수이다.

이 함수의 기본(상수)은 무한 소수, 즉 무리수(예:)입니다. 이를 "오일러 수"라고 부르므로 문자로 표시합니다.

따라서 규칙은 다음과 같습니다.

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 멀리 가지 말고 즉시 역함수를 고려해 봅시다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

함수의 미분을 찾아보세요.
함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석하겠습니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

어느 시점에서;
어느 시점에서;
어느 시점에서;
그 시점에.

솔루션:

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

함수의 파생물을 찾아보세요.
한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 여러분의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 잊어버렸나요?).

그렇다면 어떤 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어려움"을 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

첫 번째 예에서는 .

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

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결론적으로...

우리 작업이 마음에 들지 않으면 다른 작업을 찾으십시오. 이론에만 머물지 마세요.

'이해한다'와 '해결할 수 있다'는 완전히 다른 능력이다. 둘 다 필요합니다.

문제를 찾아 해결해보세요!

(그림 1)

그림 1. 미분 그래프

미분 그래프 속성

간격이 증가할수록 도함수는 양수입니다. 특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 양수 값을 가지면 해당 구간의 함수 그래프가 증가합니다.
감소하는 간격에서 도함수는 음수입니다(빼기 기호 포함). 특정 구간의 특정 지점에서 도함수가 음수 값을 가지면 해당 구간에서 함수 그래프가 감소합니다.
점 x에서의 도함수는 같은 점에서 함수 그래프에 그려진 접선의 기울기와 같습니다.
함수의 최대 및 최소 지점에서 미분은 0과 같습니다. 이 지점에서 함수 그래프의 접선은 OX 축과 평행합니다.

실시예 1

도함수 그래프(그림 2)를 사용하여 세그먼트 [-3; 5] 기능은 최대입니다.