Τράπεζα δεδομένων πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων. Ενέργειες με κλάσματα. Περίληψη: γενικό σχήμα υπολογισμού

Ενέργειες με κλάσματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)

Λοιπόν, τι είναι τα κλάσματα, τα είδη των κλασμάτων, οι μετασχηματισμοί - θυμηθήκαμε. Πάμε στο κύριο θέμα.

Τι μπορείτε να κάνετε με τα κλάσματα;Ναι, όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς. Προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.

Όλες αυτές οι ενέργειες με δεκαδικόςΗ εργασία με κλάσματα δεν διαφέρει από την εργασία με ακέραιους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το καλό με αυτά, δεκαδικά. Το μόνο πράγμα είναι ότι πρέπει να βάλετε σωστά το κόμμα.

Μικτά νούμερα, όπως είπα ήδη, είναι ελάχιστα χρήσιμα για τις περισσότερες ενέργειες. Πρέπει ακόμα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Αλλά οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματαθα είναι πιο πονηροί. Και πολύ πιο σημαντικό! Να σας θυμίσω: όλες οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις με γράμματα, ημίτονο, άγνωστα και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα! Οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα είναι η βάση για όλη την άλγεβρα. Για αυτόν τον λόγο θα αναλύσουμε όλη αυτή την αριθμητική με μεγάλη λεπτομέρεια εδώ.

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.

Ο καθένας μπορεί να προσθέσει (αφαιρέσει) κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές (ελπίζω πραγματικά!). Λοιπόν, επιτρέψτε μου να υπενθυμίσω σε όσους είναι εντελώς ξεχασιάρηδες: κατά την πρόσθεση (αφαίρεση), ο παρονομαστής δεν αλλάζει. Οι αριθμητές προστίθενται (αφαιρούνται) για να δώσουν τον αριθμητή του αποτελέσματος. Τύπος:

Εν ολίγοις, σε γενικές γραμμές:

Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί; Έπειτα, χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος (εδώ πάλι μας βολεύει!), κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους! Για παράδειγμα:

Εδώ έπρεπε να κάνουμε το κλάσμα 4/10 από το κλάσμα 2/5. Με αποκλειστικό σκοπό να γίνουν οι παρονομαστές ίδιοι. Επιτρέψτε μου να σημειώσω, για κάθε ενδεχόμενο, ότι τα 2/5 και τα 4/10 είναι το ίδιο κλάσμα! Μόνο τα 2/5 είναι άβολα για εμάς και τα 4/10 είναι πραγματικά εντάξει.

Παρεμπιπτόντως, αυτή είναι η ουσία της επίλυσης οποιωνδήποτε μαθηματικών προβλημάτων. Όταν εμείς από άβολοςκάνουμε εκφράσεις το ίδιο πράγμα, αλλά πιο βολικό για επίλυση.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Η κατάσταση είναι παρόμοια. Εδώ κάνουμε 48 από 16. Με απλό πολλαπλασιασμό με το 3. Όλα αυτά είναι ξεκάθαρα. Όμως συναντήσαμε κάτι σαν:

Πώς να είσαι;! Είναι δύσκολο να βγάλεις εννιά στα επτά! Αλλά είμαστε έξυπνοι, ξέρουμε τους κανόνες! Ας μεταμορφωθούμε κάθεκλάσμα έτσι ώστε οι παρονομαστές να είναι ίδιοι. Αυτό ονομάζεται "αναγωγή σε κοινό παρονομαστή":

Ουάου! Πώς ήξερα για το 63; Πολύ απλό! Το 63 είναι ένας αριθμός που διαιρείται με το 7 και το 9 ταυτόχρονα. Ένας τέτοιος αριθμός μπορεί πάντα να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τους παρονομαστές. Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 7, για παράδειγμα, τότε το αποτέλεσμα σίγουρα θα διαιρείται με το 7!

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε (αφαιρέσετε) πολλά κλάσματα, δεν χρειάζεται να το κάνετε σε ζευγάρια, βήμα προς βήμα. Απλά πρέπει να βρείτε τον κοινό παρονομαστή σε όλα τα κλάσματα και να μειώσετε κάθε κλάσμα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Και ποιος θα είναι ο κοινός παρονομαστής; Μπορείτε, φυσικά, να πολλαπλασιάσετε το 2, το 4, το 8 και το 16. Παίρνουμε 1024. Εφιάλτης. Είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε ότι ο αριθμός 16 διαιρείται απόλυτα με το 2, το 4 και το 8. Επομένως, από αυτούς τους αριθμούς είναι εύκολο να ληφθεί το 16. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ας μετατρέψουμε το 1/2 σε 8/16, το 3/4 σε 16/12 και ούτω καθεξής.

Παρεμπιπτόντως, αν πάρετε το 1024 ως κοινό παρονομαστή, όλα θα πάνε καλά, στο τέλος όλα θα μειωθούν. Αλλά δεν θα φτάσουν όλοι σε αυτό το τέλος, λόγω των υπολογισμών...

Συμπληρώστε το παράδειγμα μόνοι σας. Όχι κάποιου είδους λογάριθμος... Θα έπρεπε να είναι 16/29.

Λοιπόν, η πρόσθεση (αφαίρεση) των κλασμάτων είναι σαφής, ελπίζω; Φυσικά, είναι πιο εύκολο να δουλέψετε σε συντομευμένη έκδοση, με επιπλέον πολλαπλασιαστές. Αλλά αυτή την ευχαρίστηση έχουν όσοι εργάστηκαν τίμια στις κατώτερες τάξεις... Και δεν ξέχασαν τίποτα.

Και τώρα θα κάνουμε τις ίδιες ενέργειες, αλλά όχι με κλάσματα, αλλά με κλασματικές εκφράσεις. Νέα γκανιότα θα αποκαλυφθεί εδώ, ναι...

Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε δύο κλασματικές εκφράσεις:

Πρέπει να κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους. Και μόνο με τη βοήθεια πολλαπλασιασμός! Αυτό υπαγορεύει η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος. Επομένως, δεν μπορώ να προσθέσω ένα στο Χ στο πρώτο κλάσμα στον παρονομαστή. (αυτό θα ήταν ωραίο!). Αλλά αν πολλαπλασιάσετε τους παρονομαστές, βλέπετε, όλα μεγαλώνουν μαζί! Γράφουμε λοιπόν τη γραμμή του κλάσματος, αφήνουμε κενό κενό στην κορυφή, το προσθέτουμε και γράφουμε το γινόμενο των παρονομαστών παρακάτω, για να μην ξεχάσουμε:

Και, φυσικά, δεν πολλαπλασιάζουμε τίποτα στη δεξιά πλευρά, δεν ανοίγουμε την παρένθεση! Και τώρα, κοιτάζοντας τον κοινό παρονομαστή στη δεξιά πλευρά, συνειδητοποιούμε: για να λάβετε τον παρονομαστή x(x+1) στο πρώτο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με (x+1) . Και στο δεύτερο κλάσμα - στο x. Αυτό είναι αυτό που παίρνετε:

Σημείωση! Ορίστε οι παρενθέσεις! Αυτή είναι η τσουγκράνα που πατάνε πολλοί. Όχι βέβαια παρενθέσεις, αλλά η απουσία τους. Οι παρενθέσεις εμφανίζονται γιατί πολλαπλασιαζόμαστε όλααριθμητής και όλαπαρονομαστής! Και όχι τα μεμονωμένα κομμάτια τους...

Στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς γράφουμε το άθροισμα των αριθμητών, όλα είναι όπως στα αριθμητικά κλάσματα, μετά ανοίγουμε τις αγκύλες στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς, δηλ. Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα και δίνουμε παρόμοια. Δεν χρειάζεται να ανοίξετε τις παρενθέσεις στους παρονομαστές ή να πολλαπλασιάσετε οτιδήποτε! Γενικά, σε παρονομαστές (οποιονδήποτε) το προϊόν είναι πάντα πιο ευχάριστο! Παίρνουμε:

Λοιπόν πήραμε την απάντηση. Η διαδικασία φαίνεται μακρά και δύσκολη, αλλά εξαρτάται από την πρακτική. Μόλις λύσετε τα παραδείγματα, συνηθίσετε, όλα θα γίνουν απλά. Όσοι έχουν κατακτήσει τα κλάσματα σε εύθετο χρόνο κάνουν όλες αυτές τις πράξεις με το ένα αριστερό χέρι, αυτόματα!

Και μια ακόμη σημείωση. Πολλοί αντιμετωπίζουν έξυπνα τα κλάσματα, αλλά κολλάνε σε παραδείγματα ολόκληροςαριθμοί. Μου αρέσει: 2 + 1/2 + 3/4= ? Πού να στερεώσω το δικομμένο; Δεν χρειάζεται να το στερεώσετε πουθενά, πρέπει να κάνετε ένα κλάσμα από τα δύο. Δεν είναι εύκολο, αλλά πολύ απλό! 2=2/1. Σαν αυτό. Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Ο αριθμητής είναι ο ίδιος ο αριθμός, ο παρονομαστής είναι ένας. Το 7 είναι 7/1, το 3 είναι 3/1 και ούτω καθεξής. Το ίδιο συμβαίνει και με τα γράμματα. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, κ.λπ. Και μετά δουλεύουμε με αυτά τα κλάσματα σύμφωνα με όλους τους κανόνες.

Λοιπόν, οι γνώσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης των κλασμάτων ανανεώθηκαν. Η μετατροπή κλασμάτων από έναν τύπο σε άλλο επαναλήφθηκε. Μπορείτε επίσης να κάνετε έλεγχο. Να το τακτοποιήσουμε λίγο;)

Υπολογίζω:

Απαντήσεις (σε αταξία):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Πολλαπλασιασμός/διαίρεση κλασμάτων - στο επόμενο μάθημα. Υπάρχουν επίσης εργασίες για όλες τις πράξεις με κλάσματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Τάξη: 5

Παρουσίαση για το μάθημα

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικός:

συστηματοποίηση της γνώσης για τα συνηθισμένα κλάσματα.
επαναλάβετε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.
επαναλάβετε τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Εκπαιδευτικός:

αναπτύξουν προσοχή, ομιλία, μνήμη, λογική σκέψη, ανεξαρτησία.

Εκπαιδευτικός:

καλλιεργήστε την επιθυμία για την επίτευξη του στόχου. αυτοπεποίθηση, ικανότητα εργασίας σε ομάδα.

Ξέρω:κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων με όμοιους και μη παρονομαστές.

Τύπος μαθήματος:μάθημα γενίκευσης και συστηματοποίησης της γνώσης.

Εξοπλισμός:οθόνη, πολυμέσα, παρουσίαση «Προσθήκη και αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων» (Παράρτημα 1), μοντέλο συνηθισμένου κλάσματος (Εικόνα 1). μια φόρμα με τεστ, πίνακας απαντήσεων (Εικόνα 2), emoticons για προβληματισμό (Εικόνα 3), ένα ζωγραφισμένο χριστουγεννιάτικο δέντρο (Εικόνα 4).

Οχι.	Στάδιο μαθήματος	χρόνος	Εργασίες σκηνής
1.	Οργάνωση χρόνου.	3 λεπτά.	Ετοιμάστε τους μαθητές για το μάθημα.
2.	Ενημέρωση γνώσεων. Επανάληψη καλυμμένου υλικού.	10 λεπτά.	Εξετάστε σωστά και ακατάλληλα κλάσματα, μειώνοντας τα κλάσματα, φέρνοντας τα κλάσματα σε νέο παρονομαστή, τονίζοντας ολόκληρο το μέρος.
3.	Εφαρμόστε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές.	10 λεπτά.	Ελέγξτε την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με παρονομαστές.
4.	Λεπτό φυσικής αγωγής.	3 λεπτά.	Ανακουφίστε την κούραση του παιδιού, παρέχετε ενεργητική ανάπαυση και αυξήστε τη νοητική απόδοση των μαθητών.
5.	Εφαρμογή των κανόνων για την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.	13 λεπτά.	Ελέγξτε την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.
6.	Εργασία για το σπίτι.	2 λεπτά.	Οδηγία εργασίας για το σπίτι.
7.	Περίληψη μαθήματος.	4 λεπτά.	Ανακεφαλαίωση. Βαθμολόγηση. Αντανάκλαση.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1). Οργάνωση χρόνου.

- "Προσθήκη και αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων."

Προτείνεται να διατυπωθούν οι στόχοι και οι στόχοι του μαθήματος· κατά τη διάρκεια της συζήτησης διατυπώνονται (ο δάσκαλος μπορεί να τους γράψει στον πίνακα).

2). Ενημέρωση γνώσεων. Επανάληψη καλυμμένου υλικού. (Διαφάνεια Νο. 1).

α) Σήμερα θα ξεκινήσουμε το μάθημα με δημοπρασία. Υπάρχει μόνο μία διαθέσιμη παρτίδα: "κοινό κλάσμα" (εικόνα 1). Ας θυμηθούμε τι γνωρίζουμε για τα συνηθισμένα κλάσματα:

Αριθμητής;

Παρονομαστής;

Κλασματική ράβδος - διαίρεση;

Επί σιχωρίζουμε μέρη, παίρνουμε ΕΝΑτέτοια μέρη?

Σωστός;

Ανακριβής;

Επιλέξτε ολόκληρο μέρος.

Περιορίζω;

Μείωση σε νέο παρονομαστή.

Παραδείγματα.

Όποιος μίλησε τελευταίος για ένα κοινό κλάσμα παίρνει ένα μοντέλο κοινού κλάσματος.

σι) Ας εμπεδώσουμε τις γνώσεις μας κάνοντας το τεστ(φόρμα απάντησης, εργασία Νο. 1, διαφάνεια Νο. 2).

ΔΟΚΙΜΗ

1. Βρείτε το σωστό κλάσμα:

ΕΝΑ); Β) ; ΣΕ) .

2. Βρείτε το ακατάλληλο κλάσμα:

ΕΝΑ); Β) ; ΣΕ) .

3. Μείωσε το κλάσμα:

ΕΝΑ); Β) ; ΣΕ) .

4. Μειώστε το κλάσμα στον παρονομαστή 28:

ΕΝΑ); Β) ; ΣΕ) .

5. Επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα:

ΕΝΑ); Β) ; ΣΕ) .

Οι απαντήσεις καταχωρούνται στον πίνακα.

1 2 3 4 5

Συνοψίζω:

5 "+" σημάδι 5,
4 "+" σημάδι 4,
3 "+" σημάδι 3.

3).Εφαρμογή των κανόνων για την πρόσθεση και την αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές.

Ποια συνηθισμένα κλάσματα μπορούμε να προσθέσουμε;

Κλάσματα με όμοιους και διαφορετικούς παρονομαστές (αριθμός διαφάνειας 3).

Ας επαναλάβουμε προσθέτοντας κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές.

Για να προσθέσετε δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή.

Για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, θα πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του minuend από τον αριθμητή του minuend και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Ας εμπεδώσουμε τη γνώση στην πράξη.

Οι μαθητές καλούνται να υπολογίσουν τα παραδείγματα προφορικά και να γράψουν τις απαντήσεις στο φύλλο απαντήσεων για την εργασία Νο. 2.

Ανταλλάξτε σημειωματάρια και πραγματοποιήστε αμοιβαίους ελέγχους.

Συνοψίζω:

9-8 "+" σημάδι 5,
7-6 "+" σημάδι 4,
5 "+" σημάδι 3.

4). Λεπτό φυσικής αγωγής.

5). Εφαρμογή των κανόνων για την πρόσθεση και την αφαίρεση κοινών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Προσθέσαμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Τι πρέπει να γίνει για να προσθέσουμε συνηθισμένα κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές;(διαφάνεια αριθμός 4).

Για να προσθέσετε και να αφαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει να ανάγετε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή βρίσκοντας πρόσθετους παράγοντες. Εκτελέστε πρόσθεση και αφαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές.

Περιεχόμενο μαθήματος

Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι προσθήκης κλασμάτων:

Προσθήκη κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε την πρόσθεση κλασμάτων με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:

Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα και .

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Όταν έρθει το τέλος της εργασίας, είναι συνηθισμένο να απαλλαγούμε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του. Στην περίπτωσή μας, ολόκληρο το μέρος απομονώνεται εύκολα - δύο διαιρούνται με δύο ίσον ένα:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .

Και πάλι, αθροίζουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερη πίτσα στην πίτσα, θα πάρετε πίτσα:

Παράδειγμα 4.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα ας μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν αμέσως, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο μία από αυτές, αφού οι άλλες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι πρώτα γίνεται αναζήτηση του LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος για να ληφθεί ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.

Στη συνέχεια, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Ας προσθέσουμε τα κλάσματα και

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6

LCM (2 και 3) = 6

Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και λάβετε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.

Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να το κάνετε αυτό, κάντε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώστε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.

Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος επιπλέον πολλαπλασιαστής. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρίσκεται πάνω από αυτό:

Τώρα τα έχουμε όλα έτοιμα για προσθήκη. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Αυτό συμπληρώνει το παράδειγμα. Αποδεικνύεται να προσθέσετε .

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Εάν προσθέσετε πίτσα σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο μιας πίτσας:

Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τα ίδια κομμάτια πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).

Το πρώτο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι), και το δεύτερο σχέδιο αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Προσθέτοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι ακατάλληλο, οπότε τονίσαμε ολόκληρο το μέρος του. Ως αποτέλεσμα, πήραμε (μία ολόκληρη πίτσα και μια άλλη έκτη πίτσα).

Λάβετε υπόψη ότι έχουμε περιγράψει αυτό το παράδειγμα με υπερβολική λεπτομέρεια. Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα δεν συνηθίζεται να γράφουμε τόσο λεπτομερώς. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν με τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:

Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν κρατάτε λεπτομερείς σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε αρχίζουν να εμφανίζονται ερωτήσεις αυτού του είδους. «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:

Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν πρόσθετο παράγοντα για κάθε κλάσμα.
Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα του.

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε τις οδηγίες που δίνονται παραπάνω.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων

Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον παράγοντα για κάθε κλάσμα

Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Τον γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Το μόνο που μένει είναι να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέστε το:

Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν χωράει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή της νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα της

Η απάντησή μας αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να αναδείξουμε ένα ολόκληρο κομμάτι του. Τονίζουμε:

Λάβαμε απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

Αφαίρεση κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με παρονομαστές όμοιους. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αλλά να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα γίνεται εύκολα κατανοητό αν θυμηθούμε την πίτσα, η οποία χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος της.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα επειδή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά δεν μπορείτε να αφαιρέσετε ένα κλάσμα από ένα κλάσμα, καθώς αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται χρησιμοποιώντας την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω από το δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1.Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Πρώτα βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12

LCM (3 και 4) = 12

Τώρα ας επιστρέψουμε στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράψτε ένα τέσσερα πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τρία στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα είμαστε έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας πάρουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Λάβαμε απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας ένα σχέδιο. Αν κόψεις πίτσα από πίτσα, παίρνεις πίτσα

Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Αν ήμασταν στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα πιο σύντομα. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:

Η αναγωγή των κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Μειώνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, πήραμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν σε ίσα μερίδια (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):

Η πρώτη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα), και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα μειώσετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ας βρούμε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω από το πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω από το δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω από το τρίτο κλάσμα:

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ένα κανονικό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο απλό. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να συντομεύσετε αυτό το κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (GCD) των αριθμών 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το gcd των αριθμών 20 και 30:

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το gcd που βρέθηκε, δηλαδή με το 10

Λάβαμε απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε ένα κλάσμα με τον αριθμό 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1

Η ηχογράφηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως η λήψη μισού χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα μια φορά, θα πάρετε πίτσα

Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο παράγοντας ανταλλάσσονται, το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτός ο συμβολισμός μπορεί να γίνει κατανοητός ως λήψη του μισού του ενός. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4

Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε 4 πίτσες, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες

Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή, παίρνουμε την έκφραση . Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Ο αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το κλάσμα και ο παρονομαστής του κλάσματος επιλύονται εάν έχουν κοινό παράγοντα μεγαλύτερο του ενός.

Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.

Πρώτος τρόπος. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή του κλάσματος αμετάβλητος:

Δεύτερος τρόπος. Τα τέσσερα πολλαπλασιάζονται και τα τέσσερα στον παρονομαστή του κλάσματος μπορούν να μειωθούν. Αυτά τα τέσσερα μπορούν να μειωθούν κατά 4, αφού ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για δύο τέσσερα είναι το ίδιο το τέσσερα:

Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, στη θέση τους σχηματίζονται νέοι αριθμοί: δύο ένας. Αλλά πολλαπλασιάζοντας το ένα με τρία και μετά διαιρώντας με ένα δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί εν συντομία:

Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο του πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3 αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:

Αλλά για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε το 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του ενός και συνεπώς δεν ακυρώνουν.

Μερικοί μαθητές συντομεύουν κατά λάθος τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται και τον αριθμητή του κλάσματος. Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Για παράδειγμα, η ακόλουθη καταχώριση δεν είναι σωστή:

Η μείωση ενός κλάσματος σημαίνει ότι και αριθμητής και παρονομαστήςθα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Στην κατάσταση με την έκφραση, η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή, αφού η γραφή αυτού είναι ίδια με τη σύνταξη . Βλέπουμε ότι η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή και δεν υπάρχει διαίρεση στον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση αποδειχθεί ότι είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επισημάνετε ολόκληρο το τμήμα της.

Παράδειγμα 1.Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Λάβαμε απάντηση. Συνιστάται να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα φτιάξουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει η πίτσα όταν χωρίζεται σε τρία μέρη:

Ένα κομμάτι αυτής της πίτσας και τα δύο κομμάτια που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Με άλλα λόγια, μιλάμε για πίτσα ίδιου μεγέθους. Επομένως η αξία της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση ήταν ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας τονίσουμε ολόκληρο το μέρος του:

Παράδειγμα 3.Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Η απάντηση αποδείχθηκε κανονικό κλάσμα, αλλά καλό θα ήταν να συντομευόταν. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.

Λοιπόν, ας βρούμε το gcd των αριθμών 105 και 450:

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας με το gcd που βρήκαμε τώρα, δηλαδή με το 15

Αναπαράσταση ακέραιου αριθμού ως κλάσμα

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Αυτό δεν θα αλλάξει την έννοια του πέντε, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα" και αυτό, όπως γνωρίζουμε, είναι ίσο με πέντε:

Αμοιβαίοι αριθμοί

Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».

Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει ένα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για τη μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ένας αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει ένα.

Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό. Ας φανταστούμε το πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανάποδα:

Τι θα συμβεί ως αποτέλεσμα αυτού; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν πολλαπλασιάσετε το 5 με το παίρνετε ένα.

Το αντίστροφο ενός αριθμού μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο οποιουδήποτε άλλου κλάσματος. Για να το κάνετε αυτό, απλώς αναποδογυρίστε το.

Διαιρώντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόση πίτσα θα πάρει κάθε άτομο;

Φαίνεται ότι μετά τη διαίρεση της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.

Αυτό το μάθημα θα καλύπτει την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με παρονομαστές. Γνωρίζουμε ήδη πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κοινά κλάσματα με όμοιους παρονομαστές. Αποδεικνύεται ότι τα αλγεβρικά κλάσματα ακολουθούν τους ίδιους κανόνες. Η εκμάθηση της εργασίας με κλάσματα με παρονομαστές είναι ένας από τους ακρογωνιαίους λίθους της εκμάθησης πώς να εργάζεστε με αλγεβρικά κλάσματα. Ειδικότερα, η κατανόηση αυτού του θέματος θα διευκολύνει τον έλεγχο ενός πιο σύνθετου θέματος - την προσθήκη και την αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές. Ως μέρος του μαθήματος, θα μελετήσουμε τους κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με παρονομαστές και θα αναλύσουμε επίσης ορισμένα τυπικά παραδείγματα

Κανόνας πρόσθεσης και αφαίρεσης αλγεβρικών κλασμάτων με όμοιους παρονομαστές

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih κλάσματα από ένα-σε-σου -mi know-me-na-te-la-mi (συμπίπτει με τον ανάλογο κανόνα για τα συνηθισμένα shot-beats): Δηλαδή για πρόσθεση ή υπολογισμό κλασμάτων al-geb-ra-i-che-skih με ένα-προς-εσένα know-me-on-te-la-mi απαραίτητο -ho-di-mo-compile ένα αντίστοιχο al-geb-ra-i-che-sum αριθμών, και το σύμβολο-me-na-tel φύγει χωρίς κανένα.

Κατανοούμε αυτόν τον κανόνα τόσο για το παράδειγμα των συνηθισμένων ven-draws όσο και για το παράδειγμα του al-geb-ra-i-che-draws. hit.

Παραδείγματα εφαρμογής του κανόνα για συνηθισμένα κλάσματα

Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση

Ας προσθέσουμε τον αριθμό των κλασμάτων και αφήνουμε το πρόσημο ίδιο. Μετά από αυτό, αποσυνθέτουμε τον αριθμό και υπογράφουμε σε απλούς πολλαπλασιαστές και συνδυασμούς. Ας το πάρουμε: .

Σημείωση: ένα τυπικό σφάλμα που επιτρέπεται κατά την επίλυση παρόμοιων τύπων παραδειγμάτων, για -klu-cha-et-sya στην ακόλουθη πιθανή λύση: . Αυτό είναι ένα χονδροειδές λάθος, αφού το πρόσημο παραμένει το ίδιο όπως ήταν στα αρχικά κλάσματα.

Παράδειγμα 2. Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση

Αυτό δεν διαφέρει σε καμία περίπτωση από το προηγούμενο: .

Παραδείγματα εφαρμογής του κανόνα για αλγεβρικά κλάσματα

Από τα συνηθισμένα dro-beats, περνάμε στο al-geb-ra-i-che-skim.

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση: όπως ήδη αναφέρθηκε παραπάνω, η σύνθεση των κλασμάτων al-geb-ra-i-che δεν διαφέρει σε καμία περίπτωση από τη λέξη ίδια με τις συνηθισμένες βολές. Επομένως, η μέθοδος λύσης είναι η ίδια: .

Παράδειγμα 4. Είστε το κλάσμα: .

Λύση

You-chi-ta-nie των κλασμάτων al-geb-ra-i-che-skih από πρόσθεση μόνο από το γεγονός ότι στον αριθμό pi-sy-va-et-sya διαφορά στον αριθμό των χρησιμοποιούμενων κλασμάτων. Να γιατί .

Παράδειγμα 5. Είσαι το κλάσμα: .

Λύση: .

Παράδειγμα 6. Απλοποιήστε: .

Λύση: .

Παραδείγματα εφαρμογής του κανόνα που ακολουθείται από μείωση

Σε ένα κλάσμα που έχει την ίδια σημασία στο αποτέλεσμα της σύνθεσης ή του υπολογισμού, οι συνδυασμοί είναι δυνατοί nia. Επιπλέον, δεν πρέπει να ξεχνάτε το ODZ των κλασμάτων al-geb-ra-i-che-skih.

Παράδειγμα 7. Απλοποιήστε: .

Λύση: .

Όπου . Γενικά, αν το ODZ των αρχικών κλασμάτων συμπίπτει με το ODZ του συνόλου, τότε μπορεί να παραλειφθεί (άλλωστε, το κλάσμα βρίσκεται στην απάντηση, επίσης δεν θα υπάρχει με τις αντίστοιχες σημαντικές αλλαγές). Αλλά εάν το ODZ των χρησιμοποιούμενων κλασμάτων και η απάντηση δεν ταιριάζουν, τότε το ODZ πρέπει να υποδειχθεί.

Παράδειγμα 8. Απλοποιήστε: .

Λύση: . Ταυτόχρονα, y (το ODZ των αρχικών κλασμάτων δεν συμπίπτει με το ODZ του αποτελέσματος).

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για να προσθέσουμε και να διαβάσουμε κλάσματα al-geb-ra-i-che-με διαφορετικά know-me-on-the-la-mi, κάνουμε ana-lo -giyu με συνηθισμένα κλάσματα-ven-ny και το μεταφέρουμε στο al-geb -ra-i-che-κλάσματα.

Ας δούμε το απλούστερο παράδειγμα για συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα 1.Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση:

Ας θυμηθούμε τους κανόνες για την πρόσθεση κλασμάτων. Για να ξεκινήσετε με ένα κλάσμα, είναι απαραίτητο να το φέρετε σε ένα κοινό σημάδι. Σε ρόλο γενικού ζωδίου για συνηθισμένα κλάσματα, ενεργείτε ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο(NOK) αρχικά σημάδια.

Ορισμός

Ο μικρότερος αριθμός, ο οποίος χωρίζεται ταυτόχρονα σε αριθμούς και.

Για να βρείτε το NOC, πρέπει να αναλύσετε τη γνώση σε απλά σύνολα και, στη συνέχεια, να επιλέξετε όλα όσα είναι πολλά, τα οποία περιλαμβάνονται στη διαίρεση και των δύο ζωδίων.

; . Τότε το LCM των αριθμών πρέπει να περιλαμβάνει δύο δύο και δύο τρία: .

Μετά την εύρεση της γενικής γνώσης, είναι απαραίτητο για κάθε ένα από τα κλάσματα να βρει έναν πλήρη κάτοικο πολλαπλότητας (στην πραγματικότητα, να χύσει το κοινό πρόσημο στο πρόσημο του αντίστοιχου κλάσματος).

Στη συνέχεια, κάθε κλάσμα πολλαπλασιάζεται με έναν μισό-γεμάτο παράγοντα. Ας πάρουμε μερικά κλάσματα από τα ίδια που γνωρίζετε, ας τα αθροίσουμε και ας τα διαβάσουμε. -Μελέτη σε προηγούμενα μαθήματα.

Ας φάμε: .

Απάντηση:.

Ας δούμε τώρα τη σύνθεση των κλασμάτων al-geb-ra-i-che με διαφορετικά πρόσημα. Τώρα ας δούμε τα κλάσματα και ας δούμε αν υπάρχουν αριθμοί.

Πρόσθεση και αφαίρεση αλγεβρικών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Παράδειγμα 2.Προσθέστε κλάσματα: .

Λύση:

Al-go-rhythm της απόφασης ab-so-lyut-but ana-lo-gi-chen στο προηγούμενο παράδειγμα. Είναι εύκολο να πάρετε το κοινό πρόσημο των δεδομένων κλασμάτων: και πρόσθετους πολλαπλασιαστές για καθένα από αυτά.

Απάντηση:.

Λοιπόν, ας σχηματίσουμε al-go-rhythm σύνθεσης και υπολογισμός κλασμάτων al-geb-ra-i-che-skih με διαφορετικά πρόσημα:

1. Να βρείτε το μικρότερο κοινό πρόσημο του κλάσματος.

2. Βρείτε πρόσθετους πολλαπλασιαστές για καθένα από τα κλάσματα (πράγματι, το κοινό πρόσημο του πρόσημου δίνεται -ο κλάσμα).

3. Έως και πολλοί αριθμοί στους αντίστοιχους έως και πλήρεις πολλαπλασιαστές.

4. Προσθέστε ή υπολογίστε κλάσματα, χρησιμοποιώντας τους κανόνες σύνθεσης και υπολογισμού κλασμάτων με τις ίδιες γνώσεις -με-να-τε-λα-μι.

Ας δούμε τώρα ένα παράδειγμα με κλάσματα, στο πρόσημο του οποίου υπάρχουν γράμματα you -nia.