Teorija derivata. Čitanje izvedenog grafa

B8. Jedinstveni državni ispit

1. Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački sa apscisom x0. Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0. Odgovor: 2

Odgovor: -5

Na intervalu (–9;4).

Odgovor:2

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0 Odgovor: 0,5

5. Pronađite tačku dodira prave y = 3x + 8 i grafika funkcije y = x3+x2-5x-4. U svom odgovoru navedite apscisu ove tačke. Odgovor: -2

Odredite broj cjelobrojnih vrijednosti argumenta za koje je derivacija funkcije f(x) negativna. Odgovor: 4

Odgovor: 2

Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna pravoj liniji y=5–x ili se poklapa s njom. Odgovor: 3

Interval (-8; 3).

Prava linija y = -20. Odgovor: 2

10.

Odgovor: -0,5

Odgovor: 1

12. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0. Odgovor: 0,5

13. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0. Odgovor: -0,25

14.

Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna ili se poklapa sa pravom linijom y = x+7. Odgovor: 4

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0. Odgovor: -2

16.

interval (-14;9).

Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu [-12;7]. Odgovor: 3

na intervalu (-10;8).

Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu [-9;7]. odgovor: 4

18. Prava y = 5x-7 dodiruje grafik funkcije y = 6x2 + bx-1 u tački sa apscisom manjom od 0. Pronađite b. odgovor: 17

odgovor:-0,25

odgovor: 6

21. Naći tangentu na graf funkcije y=x2+6x-7, paralelnu pravoj liniji y=5x+11. U svom odgovoru navedite apscisu tačke dodira. odgovor: -0,5

22.

odgovor: 4

23. f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije. odgovor: 1

B8 Grafovi funkcija, derivati funkcija. Function Research . Jedinstveni državni ispit

1. Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački sa apscisom x0. Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

2. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-6; 5).

U kojoj tački segmenta [-5; -1] f(x) uzima najmanju vrijednost?

3. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f(x), definirane

Na intervalu (–9;4).

Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna s pravom linijom

y = 2x-17 ili se poklapa s njim.

4. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0

5. Pronađite tačku dodira prave y = 3x + 8 i grafika funkcije y = x3+x2-5x-4. U svom odgovoru navedite apscisu ove tačke.

6. Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-7; 5).

Odredite broj cjelobrojnih vrijednosti argumenta za koje je derivacija funkcije f(x) negativna.

7. Na slici je prikazan graf funkcije y=f "(x), definirane na intervalu (-8; 8).

Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [-4; 6].

8. Na slici je prikazan graf funkcije y = f "(x), definirane na intervalu (-8; 4).

Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna pravoj liniji y=5–x ili se poklapa s njom.

9. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f(x), definirane na

Interval (-8; 3).

Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna

Prava linija y = -20.

10. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

11 . Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-9;9).

Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije $f(x)$ na intervalu [-6;8]. 1

12. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

13. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

14. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-6;8).

Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna ili se poklapa sa pravom linijom y = x+7.

15 . Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

16. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na

interval (-14;9).

Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu [-12;7].

17 . Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane

na intervalu (-10;8).

Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu [-9;7].

18. Prava y = 5x-7 dodiruje grafik funkcije y = 6x2 + bx-1 u tački sa apscisom manjom od 0. Pronađite b.

19 . Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom x0.

Odrediti vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.

20 . Pronađite broj tačaka na intervalu (-1;12) u kojem je izvod funkcije y = f(x) prikazane na grafu jednak 0.

21. Naći tangentu na graf funkcije y=x2+6x-7, paralelnu pravoj liniji y=5x+11. U svom odgovoru navedite apscisu tačke dodira.

22. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Odrediti broj cjelobrojnih tačaka u intervalu (-2;11) u kojem je derivacija funkcije f(x) pozitivna.

23. Na slici je prikazan graf funkcije y= f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije.

Zdravo! Udarimo na predstojeći Jedinstveni državni ispit kvalitetnom sistematskom pripremom i upornošću u brušenju granita nauke!!! INNa kraju posta je takmičarski zadatak, budi prvi! U jednom od članaka u ovoj sekciji, ti i ja, u kojem je dat graf funkcije i postavljena su razna pitanja u vezi s ekstremima, intervalima porasta (opadanja) i drugim.

U ovom članku ćemo razmotriti probleme uključene u Jedinstveni državni ispit iz matematike, u kojem je dat graf derivacije funkcije i postavljena sljedeća pitanja:

1. U kojoj tački datog segmenta funkcija poprima najveću (ili najmanju) vrijednost.
2. Pronađite broj maksimalnih (ili minimalnih) tačaka funkcije koje pripadaju datom segmentu.
3. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije koje pripadaju datom segmentu.
4. Odrediti tačku ekstrema funkcije koja pripada datom segmentu.
5. Pronađite intervale rastuće (ili opadajuće) funkcije i u odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.
6. Pronađite intervale povećanja (ili smanjenja) funkcije. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od ovih intervala.
7. Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili se poklapa s pravom oblika y = kx + b.
8. Naći apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna sa osom apscise ili se poklapa s njom.

Mogu postojati i druga pitanja, ali vam neće stvarati poteškoće ako razumijete i (linkovi su dati do članaka koji pružaju informacije potrebne za rješenje, preporučujem da ih ponovite).

Osnovne informacije (ukratko):

1. Izvod u rastućim intervalima ima pozitivan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada se graf funkcije na tom intervalu povećava.

2. U opadajućim intervalima, izvod ima negativan predznak.

Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.

3. Derivat u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački.

4. U tačkama ekstrema (maksimum-minimum) funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa x osom.

Ovo se mora jasno shvatiti i zapamtiti!!!

Izvedeni graf "zbunjuje" mnoge ljude. Neki ljudi ga nehotice pomiješaju sa grafikom same funkcije. Stoga, u takvim zgradama, gdje vidite da je dat graf, odmah usmjerite pažnju u uvjetu na ono što je dato: graf funkcije ili graf derivacije funkcije?

Ako je to graf derivacije funkcije, onda ga tretirajte kao "odraz" same funkcije, što vam jednostavno daje informacije o toj funkciji.

Razmotrite zadatak:

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–2;21).

Odgovorit ćemo na sljedeća pitanja:

1. U kojoj tački na segmentu je funkcija f(X) uzima najveću vrijednost.

Na datom intervalu derivacija funkcije je negativna, što znači da funkcija na ovom intervalu opada (smanjuje se od lijeve granice intervala na desno). Tako se najveća vrijednost funkcije postiže na lijevoj ivici segmenta, odnosno u tački 7.

Odgovor: 7

2. U kojoj tački na segmentu je funkcija f(X)

Iz ovog izvedenog grafa možemo reći sljedeće. Na datom intervalu derivacija funkcije je pozitivna, što znači da se funkcija na tom intervalu povećava (rast od lijeve granice intervala prema desnoj). Tako se najmanja vrijednost funkcije postiže na lijevoj ivici segmenta, odnosno u tački x = 3.

Odgovor: 3

3. Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X)

Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Razmotrimo gdje se znak mijenja na ovaj način.

Na segmentu (3;6) izvod je pozitivan, na segmentu (6;16) negativan.

Na segmentu (16;18) izvod je pozitivan, na segmentu (18;20) negativan.

Dakle, na datom segmentu funkcija ima dvije maksimalne tačke x = 6 i x = 18.

Odgovor: 2

4. Odrediti broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Minimum bodova odgovara tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz negativnog u pozitivan. Naš izvod je negativan na intervalu (0;3), a pozitivan na intervalu (3;4).

Dakle, na segmentu funkcija ima samo jednu minimalnu tačku x = 3.

*Budite oprezni pri zapisivanju odgovora - upisuje se broj bodova, a ne x vrijednost; takva greška može nastati zbog nepažnje.

Odgovor: 1

5. Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Zabilježite šta trebate pronaći količina ekstremne tačke (ovo su i maksimalne i minimalne tačke).

Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak derivacije (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). U grafu datom u uslovu, to su nule funkcije. Izvod nestaje u tačkama 3, 6, 16, 18.

Dakle, funkcija ima 4 ekstremne tačke na segmentu.

Odgovor: 4

6. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali povećanja ove funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je njegova derivacija pozitivna, odnosno intervalima (3;6) i (16;18). Imajte na umu da granice intervala nisu uključene u njega (okrugle zagrade - granice nisu uključene u interval, uglaste zagrade - uključene). Ovi intervali sadrže čitave tačke 4, 5, 17. Njihov zbir je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Naći intervale opadajuće funkcije f(X) u datom intervalu. U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. U ovom zadatku to su intervali (–2;3), (6;16), (18:21).

Ovi intervali sadrže sljedeće cjelobrojne tačke: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihov zbir je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Obratite pažnju na uslov: da li su granice uključene u interval ili ne. Ako su granice uključene, tada se u intervalima koji se razmatraju u procesu rješavanja ove granice također moraju uzeti u obzir.

8. Naći intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali rastuće funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna. Već smo ih naznačili: (3;6) i (16:18). Najveći od njih je interval (3;6), njegova dužina je 3.

Odgovor: 3

9. Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

Smanjenje intervala funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. Već smo ih naznačili; to su intervali (–2;3), (6;16), (18;21), njihove dužine su 5, 10, 3.

Dužina najvećeg je 10.

Odgovor: 10

10. Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(X) paralelno ili poklapa se sa pravom linijom y = 2x + 3.

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Kako je tangenta paralelna pravoj liniji y = 2x + 3 ili se poklapa sa njom, njihovi ugaoni koeficijenti su jednaki 2. To znači da je potrebno pronaći broj tačaka u kojima je y′(x 0) = 2. Geometrijski, ovo odgovara broju tačaka preseka grafika derivacije sa pravom linijom y = 2. Na ovom intervalu postoje 4 takve tačke.

Odgovor: 4

11. Pronađite točku ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Ekstremna tačka funkcije je tačka u kojoj je njen izvod jednak nuli, a u blizini te tačke derivacija menja predznak (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na segmentu, grafik derivacije siječe x-osu, derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan. Prema tome, tačka x = 3 je tačka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Naći apscisu tačaka u kojima su tangente na graf y = f (x) paralelne sa osom apscise ili se poklapaju s njom. U svom odgovoru navedite najveći od njih.

Tangenta na graf y = f (x) može biti paralelna sa apscisnom osi ili se poklapati s njom, samo u tačkama gde je derivacija jednaka nuli (to mogu biti tačke ekstrema ili stacionarne tačke u čijoj blizini se izvodi izvod ne mijenja svoj predznak). Ovaj grafikon pokazuje da je izvod nula u tačkama 3, 6, 16,18. Najveći je 18.

Svoje razmišljanje možete strukturirati na sljedeći način:

Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente. Pošto je tangenta paralelna ili se poklapa sa x-osom, njen nagib je 0 (zaista, tangenta ugla od nula stepeni je nula). Stoga tražimo tačku u kojoj je nagib jednak nuli, pa je stoga i derivacija jednaka nuli. Izvod je jednak nuli u tački u kojoj njen graf seče x-osu, a to su tačke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–8;4). U kojoj tački segmenta [–7;–3] je funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–18;6). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11; –11). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -10].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–7;4). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–5;7). Naći intervale opadajuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- derivat funkcije f(X), definisan na intervalu (–11;3). Naći intervale rastuće funkcije f(X). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uslovi problema su isti (koje smo razmatrali). Pronađite zbir tri broja:

1. Zbir kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika između kvadrata zbira maksimalnih tačaka i zbira minimalnih tačaka funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelnih pravoj liniji y = –3x + 5.

Onaj koji prvi da tačan odgovor će dobiti stimulativnu nagradu od 150 rubalja. Napišite svoje odgovore u komentarima. Ako je ovo vaš prvi komentar na blogu, neće se pojaviti odmah, već malo kasnije (ne brinite, bilježi se vrijeme kada je komentar napisan).

Sretno ti!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako mi kažete nešto o stranici na društvenim mrežama.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu [–5; 6]. Pronađite broj tačaka na grafu funkcije f(x), u svakoj od kojih se tangenta povučena na graf funkcije poklapa sa ili je paralelna sa x-osom

Na slici je prikazan graf derivacije diferencijabilne funkcije y = f(x).

Pronađite broj tačaka na grafu funkcije koje pripadaju segmentu [–7; 7], u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji specificiranom jednadžbom y = –3x.

Materijalna tačka M počinje da se kreće od tačke A i kreće se pravolinijski 12 sekundi. Grafikon pokazuje kako se rastojanje od tačke A do tačke M menjalo tokom vremena. Osa apscisa prikazuje vrijeme t u sekundama, a osa ordinata prikazuje udaljenost s u metrima. Odredite koliko puta se tokom kretanja brzina tačke M okrenula na nulu (ne uzimajte u obzir početak i kraj kretanja).

Na slici su prikazani dijelovi grafa funkcije y=f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x = 0. Poznato je da je ova tangenta paralelna pravoj liniji koja prolazi kroz tačke grafa. sa apscisom x = -2 i x = 3. Koristeći ovo, pronađite vrijednost izvoda f"(o).

Na slici je prikazan grafik y = f’(x) - derivacije funkcije f(x), definisane na segmentu (−11; 2). Naći apscisu tačke u kojoj je tangenta na graf funkcije y = f(x) paralelna ili se poklapa sa apscisom.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, gdje je x udaljenost od referentne tačke u metrima, t vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Materijalna tačka se kreće duž prave linije od početne do krajnje pozicije. Na slici je prikazan graf njegovog kretanja. Osa apscise prikazuje vrijeme u sekundama, a osa ordinata prikazuje udaljenost od početne pozicije točke (u metrima). Pronađite prosječnu brzinu tačke. Odgovor dajte u metrima u sekundi.

Funkcija y = f (x) je definirana na intervalu [-4; 4]. Na slici je prikazan graf njegove derivacije. Nađite broj tačaka na grafu funkcije y = f (x), tangenta na kojoj formira ugao od 45° sa pozitivnim smerom ose Ox.

Funkcija y = f (x) je definirana na intervalu [-2; 4]. Na slici je prikazan graf njegove derivacije. Odrediti apscisu tačke na grafu funkcije y = f (x), u kojoj ona zauzima najmanju vrijednost na segmentu [-2; -0,001].

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački x0. Tangenta je data jednačinom y = -2x + 15. Pronađite vrijednost derivacije funkcije y = -(1/4)f(x) + 5 u tački x0.

Na grafu diferencijabilne funkcije y = f (x) označeno je sedam tačaka: x1,.., x7. Pronađite sve označene tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) veća od nule. U svom odgovoru navedite broj ovih tačaka.

Na slici je prikazan grafik y = f"(x) derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (-10; 2). Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f (x) je paralelna pravoj liniji y = -2x-11 ili se poklapa s njom.

Na slici je prikazan grafik y=f"(x) - derivacije funkcije f(x). Na osi apscise je označeno devet tačaka: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Koliko ovih tačaka pripada intervalima opadajuće funkcije f(x)?

Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf nacrtana u tački x0. Tangenta je data jednačinom y = 1,5x + 3,5. Odrediti vrijednost izvoda funkcije y = 2f(x) - 1 u tački x0.

Na slici je prikazan grafik y=F(x) jednog od antiderivata funkcije f (x). Na grafikonu je šest tačaka označenih apscisama x1, x2, ..., x6. U koliko od ovih tačaka funkcija y=f(x) poprima negativne vrijednosti?

Na slici je prikazan graf automobila koji se kreće duž rute. Osa apscisa prikazuje vrijeme (u satima), a osa ordinata prikazuje prijeđeni put (u kilometrima). Pronađite prosječnu brzinu automobila na ovoj ruti. Odgovor dajte u km/h

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, gdje je x udaljenost od referentne tačke (u metrima), t je vrijeme kretanja (u sekundama). Odrediti njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t=6 s

Na slici je prikazan grafik antiderivata y = F(x) neke funkcije y = f(x), definisane na intervalu (-6; 7). Pomoću slike odredite broj nula funkcije f(x) na ovom intervalu.

Na slici je prikazan grafik y = F(x) jednog od antiderivata neke funkcije f(x), definisane na intervalu (-7; 5). Pomoću slike odredite broj rješenja jednačine f(x) = 0 na intervalu [- 5; 2].

Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y=f(x). Na x-osi je označeno devet tačaka: x1, x2, ... x9. Pronađite sve označene tačke u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna. U svom odgovoru navedite broj ovih tačaka.

Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x(t)=12t^3−3t^2+2t, gdje je x udaljenost od referentne tačke u metrima, t je vrijeme u sekundama mjereno od početka kretanja. Odrediti njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u vremenu t=6 s.

Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i tangenta na ovaj graf nacrtan u tački x0. Jednačina tangente je prikazana na slici. naći vrijednost derivacije funkcije y=4*f(x)-3 u tački x0.

Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Osa je određeni nivo nulte nadmorske visine; u životu kao nju koristimo nivo mora.

Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Možemo reći i: kada se promijeni argument (kretanje duž apscisne ose), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se podizati ili spuštati za različit broj metara u odnosu na nivo mora (duž y-ose).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.

Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo! To je, na primjer, .

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se kreće naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.

Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je čak i veća od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:

Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.

čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Koncept derivata

Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.

Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označen je. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i određen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:

Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.

Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.

Sjetimo se primjera na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat

Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u tački vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.

Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje inkremenata:

Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.

rješenja:

U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački drugačija (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:

Funkcija napajanja.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).

Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?

Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. Zbog toga:

Izvod je jednak:

Derivat od je jednak:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:

Dakle, došli smo do još jednog pravila:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sledeće:

I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobijamo: .

d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."

Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:

(na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:

Sa izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliže vrijednosti, to je funkcija bliža. To je ono što „cilj“.

Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!

itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.

a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .

Sada derivat:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).

Dakle, dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:

Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.

vježbajte:

Pronađite derivaciju funkcije u tački;
Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalni broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.

To je sve. Kako još jednom riječju nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite derivate funkcija:

u jednom trenutku;
u jednom trenutku;
u jednom trenutku;
u tački.

rješenja:

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

Naći izvode funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer, .

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge tačke.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

(Sl.1)

Slika 1. Derivativni graf

Svojstva derivativnog grafa

U rastućim intervalima, izvod je pozitivan. Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada se graf funkcije na tom intervalu povećava.
U opadajućim intervalima, izvod je negativan (sa predznakom minus). Ako derivacija u određenoj tački iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada se graf funkcije smanjuje na ovom intervalu.
Izvod u tački x jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj tački.
U tački maksimuma i minimuma funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj tački je paralelna sa OX osom.

Primjer 1

Koristeći graf (slika 2) derivacije, odredite u kojoj tački na segmentu [-3; 5] funkcija je maksimalna.

Slika 2. Derivativni graf

Rješenje: Na ovom segmentu derivacija je negativna, što znači da funkcija opada s lijeva na desno, a najveća vrijednost je na lijevoj strani u tački -3.

Primjer 2

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj maksimalnih tačaka na segmentu [-11; 3].

Slika 3. Derivativni graf

Rješenje: Maksimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz pozitivnog u negativan. Na ovom intervalu funkcija mijenja predznak sa plus na minus dva puta - u tački -10 i u tački -1. To znači da je maksimalni broj bodova dva.

Primjer 3

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj minimalnih tačaka u segmentu [-11; -1].

Rješenje: Minimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak izvoda mijenja iz negativnog u pozitivan. Na ovom segmentu takva tačka je samo -7. To znači da je broj minimalnih tačaka na datom segmentu jedan.

Primjer 4

Koristeći graf (slika 3) derivacije, odredite broj tačaka ekstrema.

Rešenje: Ekstremne tačke su i minimalne i maksimalne tačke. Nađimo broj tačaka u kojima derivacija mijenja predznak.