Теорія з похідної. Читаємо графік похідної

B8. ЄДІ

1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0. Відповідь: 2

2.

Відповідь:-5

3.

На інтервалі (-9; 4).

Відповідь:2

4.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0 Відповідь: 0,5

5. Знайдіть точку торкання прямої y = 3x + 8 та графіка функції y = x3+x2-5x-4. У відповіді вкажіть абсцис цієї точки. Відповідь: -2

6.

Визначте кількість цілісних значень аргументу, у яких похідна функції f(x) негативна. Відповідь: 4

7.

Відповідь: 2

8.

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої y=5–x або збігається з нею. Відповідь: 3

9.

Інтервалі (-8; 3).

Прямий y = -20. Відповідь: 2

10.

Відповідь: -0,5

11

Відповідь: 1

12. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0. Відповідь: 0,5

13. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0. Відповідь: -0,25

14.

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої y = x+7 або збігається з нею. Відповідь: 4

15

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0. Відповідь: -2

16.

інтервалі (-14; 9).

Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x) на відрізку [-12;7]. Відповідь: 3

17

на інтервалі (-10; 8).

Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x) на відрізку [-9;7]. Відповідь: 4

18. Пряма y = 5x-7 стосується графіка функції y = 6x2 + bx-1 у точці з абсцисою менше 0. Знайдіть b. Відповідь: 17

19

Відповідь:-0,25

20

Відповідь: 6

21. Знайдіть дотичну до графіка функції y=x2+6x-7, паралельну до прямої y=5x+11. У відповіді вкажіть абсцис точки торкання. Відповідь: -0,5

22.

Відповідь: 4

23. f "(x) на інтервалі (-16; 4).

На відрізку [-11;0] знайдіть кількість точок максимуму функції. Відповідь: 1

B8 Графік функції, похідні функції. Дослідження функцій . ЄДІ

1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

2. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-6; 5).

У якій точці відрізка [-5; -1] f(x) набуває найменшого значення?

3. На малюнку зображено графік похідної функції y = f(x), визначеної

На інтервалі (-9; 4).

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої

y = 2x-17 або збігається з нею.

4. На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0

5. Знайдіть точку торкання прямої y = 3x + 8 та графіка функції y = x3+x2-5x-4. У відповіді вкажіть абсцис цієї точки.

6. На малюнку зображено графік функції y = f(x), визначеної на інтервалі (-7; 5).

Визначте кількість цілісних значень аргументу, у яких похідна функції f(x) негативна.

7. На малюнку зображено графік функції y = f "(x), визначеної на інтервалі (-8; 8).

Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x), що належать відрізку [-4; 6].

8. На малюнку зображено графік функції y = f "(x), визначеної на інтервалі (-8; 4).

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої y=5–x або збігається з нею.

9. На малюнку зображено графік похідної функції y = f(x), визначеної на

Інтервалі (-8; 3).

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна

Прямий y = -20.

10. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

11 . На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-9;9).

Знайдіть кількість точок мінімуму функції $f(x)$ на відрізку [-6;8]. 1

12. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

13. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

14. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної інтервалі (-6;8).

Знайдіть кількість точок, у яких дотична до графіка функції f(x) паралельна до прямої y = x+7 або збігається з нею.

15 . На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотична щодо нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

16. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на

інтервалі (-14; 9).

Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x) на відрізку [-12;7].

17 . На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної

на інтервалі (-10; 8).

Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(x) на відрізку [-9;7].

18. Пряма y = 5x-7 стосується графіка функції y = 6x2 + bx-1 у точці з абсцисою менше 0. Знайдіть b.

19 . На малюнку зображено графік похідної функції f(x) та дотична до нього у точці з абсцисою x0.

Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

20 . Знайдіть кількість точок на інтервалі (-1;12), у яких похідна зображеної на графіку функції y = f(x), дорівнює 0.

21. Знайдіть дотичну до графіка функції y=x2+6x-7, паралельну до прямої y=5x+11. У відповіді вкажіть абсцис точки торкання.

22. На малюнку зображено графік функції y = f (x). Знайдіть кількість цілих точок інтервалу (-2;11), у яких похідна функції f(x) позитивна.

23. На малюнку зображено графік функції y= f "(x) на інтервалі (-16; 4).

На відрізку [-11;0] знайдіть кількість точок максимуму функції.

Вітаю! Вдаримо по ЄДІ, що наближається, якісною систематичною підготовкою, і завзятістю в подрібненні граніту науки! УНаприкінці посту є конкурсне завдання, будьте першим! В одній із статей даної рубрики ми з вами, в яких був дано графік функції, і ставилися різні питання, що стосуються екстремумів, проміжків зростання (зменшення) та інші.

У цій статті розглянемо завдання, що входять до ЄДІ з математики, в яких дано графік похідної функції, і ставляться такі питання:

1. У якій точці заданого відрізка функція набуває найбільшого (або найменшого) значення.

2. Знайти кількість точок максимуму (або мінімуму) функції, що належать заданому відрізку.

3. Знайти кількість точок екстремуму функції, що належать заданому відрізку.

4. Знайти точку екстремуму функції, що належить заданому відрізку.

5. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції й у відповіді вказати суму цілих точок, які входять у ці проміжки.

6. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції. У відповіді вказати довжину найбільшого із цих проміжків.

7. Знайти кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямого виду у = kx + b або збігається з нею.

8. Знайти абсцис точки, в якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Можуть стояти й інші питання, але вони не викликають у вас труднощів, якщо ви зрозуміли і (посилання вказані на статті, в яких представлена ​​необхідна для вирішення інформація, рекомендую повторити).

Основна інформація (коротко):

1. Похідна на інтервалах зростання має позитивний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції цьому інтервалі зростає.

2. На інтервалах спадання похідна має негативний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має негативне значення, то графік функції цьому інтервалі зменшується.

3. Похідна в точці х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у цій точці.

4. У точках екстремуму (максимуму-мінімуму) функції похідна дорівнює нулю. Стосовна графіку функції у цій точці паралельна осі ох.

Це потрібно чітко усвідомити та пам'ятати!!!

Багатьох графік похідної «бентежить». Дехто з неуважності приймає його за графік самої функції. Тому в таких будинках, де бачите, що дано графік, відразу ж акцентуйте свою увагу в умові того, що дано: графік функції або графік похідної функції?

Якщо це графік похідної функції, то ставтеся до нього як би до «віддзеркалення» самої функції, яке дає вам інформацію про цю функцію.

Розглянемо завдання:

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-2; 21).

Відповімо на такі питання:

1. У якій точці відрізка функція f(х)набуває найбільшого значення.

На заданому відрізку похідна функції негативна, отже функція цьому відрізку зменшується (вона зменшується від лівої межі інтервалу до правої). Отже, найбільше значення функції досягається лівій межі відрізка, т. е. у точці 7.

Відповідь: 7

2. У якій точці відрізка функція f(х)

За цим графіком похідної можемо сказати таке. На заданому відрізку похідна функції позитивна, отже функція цьому відрізку зростає (вона зростає від лівої межі інтервалу до правої). Таким чином, найменше значення функції досягається на лівій межі відрізка, тобто у точці х = 3.

Відповідь: 3

3. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х)

Точки максимуму відповідають точкам зміни похідної знака з позитивного на негативний. Розглянемо, де в такий спосіб змінюється знак.

На відрізку (3; 6) похідна позитивна, на відрізку (6; 16) негативна.

На відрізку (16; 18) похідна позитивна, на відрізку (18; 20) негативна.

Таким чином, на заданому відрізку функція має дві точки максимуму х = 6 та х = 18.

Відповідь: 2

4. Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), що належать до відрізку .

Крапки мінімуму відповідають точкам зміни похідної знака з негативного на позитивний. У нас на інтервалі (0; 3) похідна негативна, на інтервалі (3; 4) позитивна.

Таким чином, на відрізку функція має одну точку мінімуму х = 3.

*Будьте уважні при записі відповіді – записується кількість точок, а не значення х, таку помилку можна припустити через неуважність.

Відповідь: 1

5. Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), що належать до відрізку .

Зверніть увагу, що необхідно знайти кількістьточок екстремуму (це і точки максимуму та точки мінімуму).

Крапки екстремуму відповідають точкам зміни знака похідної (з позитивного на негативний чи навпаки). На цьому за умови графіку це нулі функції. Похідна перетворюється на нуль у точках 3, 6, 16, 18.

Таким чином, на відрізку функція має 4 точки екстремуму.

Відповідь: 4

6. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання цієї функції f(х)відповідають проміжкам, на яких її похідна позитивна, тобто інтервалам (3; 6) та (16; 18). Зверніть увагу, що межі інтервалу не входять до нього (круглі дужки – межі не включені до інтервалу, квадратні – включені). Дані інтервали містять цілі точки 4, 5, 17. Їхня сума дорівнює: 4 + 5 + 17 = 26

Відповідь: 26

7. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х)на заданому інтервалі. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. У цьому завдання це інтервали (–2;3), (6;16), (18;21).

Дані інтервали містять такі цілі точки: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Їх сума дорівнює:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Відповідь: 140

*Звертайте увагу в умови: чи включені межі в інтервал чи ні. Якщо кордони будуть включені, то і в інтервалах, що розглядаються в процесі вирішення, ці кордони також необхідно враховувати.

8. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції позитивна. Ми вже вказували їх: (3; 6) та (16; 18). Найбільшим є інтервал (3;6), його довжина дорівнює 3.

Відповідь: 3

9. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. Ми вже вказували їх, це інтервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21), їх довжини відповідно дорівнюють 5, 10, 3.

Довжина найбільшого дорівнює 10.

Відповідь: 10

10. Знайдіть кількість точок, у яких стосується графіка функції f(х)паралельна прямий у = 2х + 3 чи збігається з нею.

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Так як дотична паралельна прямий у = 2х + 3 або збігається з нею, то їх кутові коефіцієнти дорівнюють 2. Значить, необхідно знайти кількість точок, в яких у х (х 0) = 2. Геометрично це відповідає кількості точок перетину графіка похідної з прямою у = 2. На цьому інтервалі таких точок 4.

Відповідь: 4

11. Знайдіть точку екстремуму функції f(х), що належить відрізку.

Точка екстремуму функції це така точка, в якій її похідна дорівнює нулю, причому в околиці цієї точки похідна змінює знак (з позитивного на негативний або навпаки). На відрізку графік похідної перетинає вісь абсцис, похідна змінює знак із негативного на позитивний. Отже, точка х = 3 є точкою екстремуму.

Відповідь: 3

12. Знайдіть абсциси точок, у яких дотичні до графіка у = f(x) паралельні осі абсцис або збігаються з нею. У відповіді наведіть найбільшу з них.

Дотична до графіка у = f(x) може бути паралельна осі абсцис або збігатися з нею, тільки в точках, де похідна дорівнює нулю (це можуть бути точки екстремуму або стаціонарні точки, в околицях яких похідна свій знак не змінює). За цим графіком видно, що похідна дорівнює нулю в точках 3, 6, 16,18. Найбільша дорівнює 18.

Можна побудувати міркування таким чином:

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Оскільки дотична паралельна осі абсцис або збігається з нею, її кутовий коефіцієнт дорівнює 0 (дійсно тангенс кута в нуль градусів дорівнює нулю). Отже, ми шукаємо точку, в якій кутовий коефіцієнт дорівнює нулю, а значить, і похідна дорівнює нулю. Похідна дорівнює нулю у тій точці, у якій її графік перетинає вісь абсцис, але це точки 3, 6, 16,18.

Відповідь: 18

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-8; 4). У якій точці відрізка [-7; -3] функція f(х)набуває найменшого значення.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 14). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х), Що належать відрізку [-6; 9].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-18; 6). Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), Що належать відрізку [-13; 1].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; -11). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), Що належать відрізку [-10; -10].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 4). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-5; 7). Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; 3). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

F На малюнку зображено графік

Умова завдання те саме (яку ми розглядали). Знайдіть суму трьох чисел:

1. Сума квадратів екстремумів функції f(х).

2. Різниця квадратів суми точок максимуму та суми точок мінімуму функції f(х).

3. Кількість дотичних до f(х), паралельних до прямої у = –3х + 5.

Перший, хто дасть правильну відповідь, отримає заохочувальний приз – 150 рублів. Відповіді пишіть у коментарях. Якщо це ваш перший коментар на блозі, то відразу він не з'явиться трохи пізніше (не турбуйтеся, час написання коментаря реєструється).

Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицих.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на проміжку [-5; 6]. Знайдіть кількість точок графіка f(x), у кожній з яких дотична, проведена до графіка функції, збігається або паралельна осі абсцис

На малюнку зображено графік похідної функції, що диференціюється y = f(х).

Знайдіть кількість точок графіка функції, що належать відрізку [–7; 7], у яких дотична до графіка функції паралельна до прямої, заданої рівнянням у = –3х.

Матеріальна точка М починає рух із точки А та рухається по прямій протягом 12 секунд. Графік показує, як змінювалася відстань від точки А до точки М з часом. На осі абсцис відкладається час t на секундах, на осі ординат - відстань s у метрах. Визначте, скільки разів за час руху швидкість точки М перетворювалася на нуль (початок і кінець руху не враховуйте).

На малюнку зображені ділянки графіка функції y = f (х) і дотичної до нього в точці з абсцисою х = 0. Відомо, що дана паралельна пряма, що проходить через точки графіка з абсцисами х = -2 і х = 3. Використовуючи це, знайдіть значення похідної f"(о).

На малюнку зображено графік y = f'(x) - похідної функції f(x), визначеної на відрізку (−11; 2). Знайдіть абсцис точки, в якій дотична до графіка функції y = f(x) паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. У який момент часу (у секундах) її швидкість дорівнювала 2 м/с?

Матеріальна точка рухається вздовж прямої від початкового до кінцевого положення. На малюнку зображено графік її руху. На осі абсцис відкладається час у секундах, на осі ординат - відстань від початкового положення точки (в метрах). Знайдіть середню швидкість руху точки. Відповідь дайте за метри за секунду.

Функція у = f(x) визначена на проміжку [-4; 4]. На малюнку наведено графік її похідної. Знайдіть кількість точок графіка функції у = f(x), дотична в яких утворює з позитивним напрямком осі Ох кут 45°.

Функція у = f(x) визначена на відрізку [-2; 4]. На малюнку дано графік її похідної. Знайдіть абсцис точки графіка функції у = f (x), в якій вона приймає найменше значення на відрізку [-2; -0,001].

На малюнку зображено графік функції у = f(x) і дотичну до цього графіку, проведену в точці x0. Відносна задана рівнянням y = -2x + 15. Знайдіть значення похідної функції у = -(1/4)f(x) + 5 у точці x0.

На графіку диференційованої функції у = f(x) відзначено сім точок: х1,..,х7. Знайдіть усі зазначені точки, в яких похідна функції f (x) більша за нуль. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

На малюнку зображено графік y = f"(х) похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-10; 2). або збігається з нею.

На малюнку зображено графік y=f"(x)- похідної функції f(x). На осі абсцис зазначено дев'ять точок: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Скільки з цих точок належить проміжкам зменшення функції f(x) ?

На малюнку зображено графік функції у = f(x) і дотичну до цього графіка, проведену в точці х0. Дотична задана рівнянням у = 1,5 x + 3,5. Знайдіть значення похідної функції у = 2f(x) - 1 у точці x0.

На малюнку наведено графік y=F(x) однією з первісних функцій f(x). На графіці відзначено шість точок з абсцисами x1, x2, ..., x6. У скільки з цих точок функція y=f(x) набуває негативних значень?

На малюнку показано графік руху автомобіля за маршрутом. На осі абсцис відкладається час (у годинах), на осі ординат - пройдений шлях (за кілометри). Знайдіть середню швидкість руху автомобіля на цьому маршруті. Відповідь дайте у км/год

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, де x - відстань від точки відліку (в метрах), t - час руху (у секундах). Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) в момент часу t=6 с

На малюнку зображено графік первісної у = F(x) деякої функції у = f(x), визначеної на інтервалі (-6; 7). Використовуючи малюнок, визначте кількість нулів функції f(x) на даному інтервалі.

На малюнку зображено графік y = F(x) однією з першорядних деякої функції f(x), визначеної на інтервалі (-7; 5). Користуючись малюнком, визначте кількість розв'язків рівняння f(x) = 0 на відрізку [-5; 2].

На малюнку зображено графік функції, що диференціюється y=f(x). На осі абсцис відзначено дев'ять точок: x1, x2, ... x9. Знайдіть усі зазначені точки, у яких похідна функції f(x) є негативною. У відповіді вкажіть кількість цих точок.

Матеріальна точка рухається прямолінійно згідно із законом x(t)=12t^3−3t^2+2t, де x - відстань від точки відліку в метрах, t - час у секундах, виміряний з початку руху. Знайдіть її швидкість (в метрах за секунду) у час t=6 з.

На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотичну до цього графіку, проведену у точці x0. Рівняння дотичної показано малюнку. знайдіть значення похідної функції y=4*f(x)-3 у точці x0.

Уявімо пряму дорогу, що проходить по горбистій місцевості. Тобто вона йде то вгору, то вниз, але праворуч чи ліворуч не повертає. Якщо вісь направити вздовж дороги горизонтально, а вертикально, то лінія дороги буде дуже схожа на графік якоїсь безперервної функції:

Вісь - це певний рівень нульової висоти, в житті ми використовуємо як рівень моря.

Рухаючись вперед такою дорогою, ми також рухаємося вгору або вниз. Також можемо сказати: при зміні аргументу (просування вздовж осі абсцис) змінюється значення функції (рух вздовж осі ординат). А тепер давай подумаємо, як визначити «крутість» нашої дороги? Що може бути за величина? Дуже просто: на скільки зміниться висота під час просування вперед на певну відстань. Адже на різних ділянках дороги, просуваючись вперед (вздовж осі абсцис) на один кілометр, ми піднімемося або опустимося на різну кількість метрів щодо рівня моря (вздовж осі ординат).

Просування вперед позначимо (читається "дельта ікс").

Грецьку букву (дельта) в математиці зазвичай використовують як приставку, що означає зміну. Тобто – це зміна величини, – зміна; тоді що таке? Правильно, зміна величини.

Важливо: вираз – це єдине ціле, одна змінна. Ніколи не можна відривати «дельту» від «ікса» чи будь-якої іншої літери! Тобто, наприклад, .

Отже, ми просунулися вперед, по горизонталі, на. Якщо лінію дороги ми порівнюємо з графіком функції, як ми позначимо підйом? Звичайно, . Тобто, при просуванні вперед на ми піднімаємось вище.

Величину порахувати легко: якщо спочатку ми знаходилися на висоті, а після переміщення опинилися на висоті, то. Якщо кінцева точка виявилася нижчою за початкову, буде негативною - це означає, що ми не піднімаємося, а спускаємося.

Повернемося до «крутості»: це величина, яка показує, наскільки сильно (круто) збільшується висота при переміщенні вперед на одиницю відстані:

Припустимо, що на якійсь ділянці шляху під час просування на км дорога піднімається нагору на км. Тоді крутість у цьому місці дорівнює. А якщо дорога при просуванні на м опустилася на кілометр? Тоді крутість дорівнює.

А тепер розглянемо вершину якогось пагорба. Якщо взяти початок ділянки за півкілометра до вершини, а кінець через півкілометра після нього, видно, що висота практично однакова.

Тобто за нашою логікою виходить, що крутість тут майже дорівнює нулю, що явно не відповідає дійсності. Просто на відстані в кілометрах може багато чого змінитися. Потрібно розглядати більш маленькі ділянки для більш адекватної та точної оцінки крутості. Наприклад, якщо вимірювати зміну висоти при переміщенні на один метр, результат буде набагато точнішим. Але й цієї точності нам може бути недостатньо - адже якщо посеред дороги стоїть стовп, ми можемо просто проскочити. Яку відстань тоді виберемо? Сантиметр? Міліметр? Чим менше тим краще!

У реальному житті вимірювати відстань з точністю до міліметра - більш ніж достатньо. Але математики завжди прагнуть досконалості. Тому було вигадано поняття нескінченно малого, тобто величина по модулю менше за будь-яке число, яке тільки можемо назвати. Наприклад, ти скажеш: одна трильйонна! Куди менше? А ти поділи це число на - і буде ще менше. І так далі. Якщо хочемо написати, що величина нескінченно мала, пишемо так: (читаємо «ікс прагне нуля»). Дуже важливо розуміти, що це число не дорівнює нулю!Але дуже близько до нього. Це означає, що на нього можна ділити.

Поняття, протилежне нескінченно малому – нескінченно велике (). Ти вже напевно стикався з ним, коли займався нерівностями: це число за модулем більше за будь-яке число, яке тільки можеш придумати. Якщо ти придумав найбільше з можливих чисел, просто помнож його на два, і вийде ще більше. А нескінченність ще більша за те, що вийде. Фактично нескінченно велике і нескінченно мале обернені один одному, тобто при, і навпаки: при.

Тепер повернемось до нашої дороги. Ідеально порахована крутість - це куртизна, обчислена для нескінченно малого відрізка шляху, тобто:

Зауважу, що при нескінченно малому переміщенні зміна висоти теж буде нескінченно малою. Але нагадаю, нескінченно мале – не означає рівне нулю. Якщо поділити один на одного нескінченно малі числа, може вийти цілком звичайне число, наприклад . Тобто одна мала величина може бути рівно в рази більша за іншу.

Навіщо все це? Дорога, крутість… Адже ми не в автопробіг вирушаємо, а математику вчимо. А в математиці все так само, тільки називається по-іншому.

Поняття похідної

Похідна функції це відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу.

Збільшенняму математиці називають зміну. Те, наскільки змінився аргумент () при просуванні вздовж осі, називається збільшенням аргументуі позначається Те, наскільки змінилася функція (висота) при просуванні вперед уздовж осі на відстань, називається збільшенням функціїта позначається.

Отже, похідна функції – це відношення до при. Позначаємо похідну тією ж літерою, що й функцію, тільки зі штрихом зверху праворуч: або просто. Отже, запишемо формулу похідної, використовуючи ці позначення:

Як і в аналогії з дорогою тут при зростанні функції похідна позитивна, а при зменшенні негативна.

А чи похідна буває дорівнює нулю? Звичайно. Наприклад, якщо ми їдемо рівною горизонтальною дорогою, крутість дорівнює нулю. І справді, висота ж не зовсім змінюється. Так і з похідною: похідна постійної функції (константи) дорівнює нулю:

оскільки збільшення такої функції дорівнює нулю за будь-якого.

Давай згадаємо приклад із вершиною пагорба. Там виходило, що можна так розташувати кінці відрізка по різні боки від вершини, що висота на кінцях виявляється однаковою, тобто відрізок розташовується паралельно до осі:

Але великі відрізки – ознака неточного виміру. Підніматимемо наш відрізок вгору паралельно самому собі, тоді його довжина буде зменшуватися.

Зрештою, коли ми будемо нескінченно близькі до вершини, довжина відрізка стане нескінченно малою. Але при цьому він залишився паралельний осі, тобто різниця висот на його кінцях дорівнює нулю (не прагне, а саме дорівнює). Значить, похідна

Зрозуміти це можна так: коли ми стоїмо на самій вершині, дрібне зміщення вліво чи вправо змінює нашу висоту мізерно мало.

Є й суто алгебраїчне пояснення: лівіше вершини функція зростає, а правіше - зменшується. Як ми вже з'ясували раніше, у разі зростання функції похідна позитивна, а при зменшенні - негативна. Але змінюється вона плавно, без стрибків (бо дорога ніде не змінює нахил різко). Тому між негативними та позитивними значеннями обов'язково має бути. Він і буде там, де функція не збільшується, не зменшується - у точці вершини.

Те саме справедливо і для западини (область, де функція зліва зменшується, а праворуч - зростає):

Трохи докладніше про збільшення.

Отже, ми змінюємо аргумент на величину. Змінюємо від якого значення? Яким він (аргумент) тепер став? Можемо вибрати будь-яку точку, і зараз від неї танцюватимемо.

Розглянемо точку з координатою. Значення функції у ній одно. Потім робимо те саме збільшення: збільшуємо координату на. Чому тепер рівний аргумент? Дуже легко: . А чому тепер дорівнює значення функції? Куди аргумент, туди та функція: . А що із збільшенням функції? Нічого нового: це, як і раніше, величина, на яку змінилася функція:

Потренуйся знаходити збільшення:

1. Знайди збільшення функції в точці при збільшенні аргументу, що дорівнює.
2. Те саме для функції в точці.

Рішення:

У різних точках при тому самому збільшенні аргументу збільшення функції буде різним. Значить, і похідна у кожній точці своя (це ми обговорювали на самому початку - крутість дороги у різних точках різна). Тому коли пишемо похідну, треба зазначати, в якій точці:

Ступінна функція.

Ступіньною називають функцію, де аргумент певною мірою (логічно, так?).

Причому - будь-якою мірою: .

Найпростіший випадок – це коли показник ступеня:

Знайдемо її похідну у точці. Згадуємо визначення похідної:

Отже, аргумент змінюється з до. Яке збільшення функції?

Приріст – це. Але функція у будь-якій точці дорівнює своєму аргументу. Тому:

Похідна дорівнює:

Похідна від рівна:

b) Тепер розглянемо квадратичну функцію (): .

А тепер згадаємо, що. Це означає, що значення приросту можна знехтувати, оскільки воно нескінченно мало, і тому незначно на тлі іншого доданку:

Отже, у нас народилося чергове правило:

c) Продовжуємо логічний ряд: .

Цей вираз можна спростити по-різному: розкрити першу дужку за формулою скороченого множення куб суми, або розкласти весь вираз на множники за формулою різниці кубів. Спробуй зробити це сам будь-яким із запропонованих способів.

Отже, у мене вийшло таке:

І знову пригадаємо, що. Це означає, що можна знехтувати всіма складовими, що містять:

Отримуємо: .

d) Аналогічні правила можна отримати і для більших ступенів:

e) Виявляється, це правило можна узагальнити для статечної функції з довільним показником, навіть не цілим:

(2)

Можна сформулювати правило словами: "ступінь виноситься вперед як коефіцієнт, а потім зменшується на".

Доведемо це правило пізніше (майже наприкінці). А зараз розглянемо кілька прикладів. Знайди похідну функцій:

1. (двома способами: за формулою та використовуючи визначення похідної - порахувавши збільшення функції);

Тригонометричні функції.

Тут будемо використовувати один факт із вищої математики:

При виразі.

Доказ ти дізнаєшся на першому курсі інституту (а щоб там опинитися, треба добре здати ЄДІ). Зараз лише покажу це графічно:

Бачимо, що при функції не існує - точка на графіку виколота. Але що ближче до значення, то ближче функція до. Це і є те саме «прагне».

Додатково можна перевірити це правило за допомогою калькулятора. Так-так, не соромся, бери калькулятор, адже ми не на ЄДІ ще.

Отже, пробуємо: ;

Не забудь перевести калькулятор у режим Радіани!

і т.д. Бачимо, що менше, тим ближче значення ставлення до.

a) Розглянемо функцію. Як завжди, знайдемо її збільшення:

Перетворимо різницю синусів на твір. І тому використовуємо формулу (згадуємо тему « »): .

Тепер похідна:

Зробимо заміну: . Тоді при нескінченно малому і нескінченно мало: . Вираз для набуває вигляду:

А тепер згадуємо, що при виразі. А також, що якщо нескінченно малою величиною можна знехтувати суму (тобто при).

Отже, отримуємо таке правило: похідна синуса дорівнює косінусу:

Це базові («табличні») похідні. Ось вони одним списком:

Пізніше ми до них додамо ще кілька, але ці найважливіші, оскільки використовуються найчастіше.

Потренуйся:

1. Знайди похідну функції у точці;
2. Знайди похідну функцію.

Рішення:

Експонента та натуральний логарифм.

Є в математиці така функція, похідна якої за будь-якого дорівнює значенню самої функції при цьому. Називається вона «експонента» і є показовою функцією

Основа цієї функції - константа - це нескінченний десятковий дріб, тобто число ірраціональне (таке як). Його називають число Ейлера, тому і позначають буквою.

Отже, правило:

Запам'ятати дуже просто.

Ну і не будемо далеко ходити, одразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? Логарифм:

У нашому випадку основою є число:

Такий логарифм (тобто логарифм із основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливе позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифму теж дуже проста:

Приклади:

1. Знайди похідну функцію.
2. Чому дорівнює похідна функції?

Відповіді: Експонента та натуральний логарифм – функції унікально прості з погляду похідної. Показові та логарифмічні функції з будь-якою іншою основою будуть мати іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того, як ми пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?!

Диференціювання- Це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Не производнование ж... Диференціалом математики називають те саме збільшення функції при. Походить цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил використовуватимемо дві функції, наприклад, в. Нам знадобляться також формули їх прирощень:

Усього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо – якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці: .

Доведемо. Нехай, чи простіше.

приклади.

Знайдіть похідні функції:

1. у точці;
2. у точці;
3. у точці;
4. у точці.

Рішення:

Похідна робота

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її збільшення:

Похідна:

Приклади:

1. Знайдіть похідні функцій та;
2. Знайдіть похідну функцію в точці.

Рішення:

Похідна показової функції

Тепер твоїх знань достатньо, щоб навчитися знаходити похідну будь-якої показової функції, а не лише експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де – це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функцію, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нової основи:

І тому скористаємося простим правилом: . Тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція – складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився лише множник, який є просто числом, але не змінною.

Приклади:
Знайди похідні функції:

Відповіді:

Похідна логарифмічна функція

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифму:

Тому, щоб знайти довільну від логарифму з іншою основою, наприклад:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як змінити основу логарифму? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показової та логарифмічної функцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складна функція.

Що таке "складна функція"? Ні, це не логарифм і не арктангенс. Дані функції може бути складними для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять дві людини і роблять якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складовий об'єкт: шоколадка, обгорнена та обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно зробити зворотні дії у зворотному порядку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спочатку знаходитимемо косинус числа, а потім отримане число зводитимемо в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що в мене вийшло, у квадрат (обв'язуєш стрічкою). Що вийшло? функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми робимо першу дію безпосередньо зі змінною, а потім ще другу дію з тим, що вийшло в результаті першого.

Ми цілком можемо робити ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш у квадрат, а потім шукаю косинус отриманого числа: . Нескладно здогадатися, що результат майже завжди буде різним. Важлива особливість складних функцій: зміна порядку дій функція змінюється.

Іншими словами, складна функція – це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для першого прикладу .

Другий приклад: (те саме). .

Дію, яку робимо останнім, називатимемо "зовнішньої" функцією, а дія, що чиниться першим - відповідно «внутрішньою» функцією(це неформальні назви, я їх вживаю лише для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньою:

Відповіді:Поділ внутрішньої та зовнішньої функцій дуже схожий заміну змінних: наприклад, у функції

виконуємо заміну змінних та отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер витягуватимемо нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного прикладу це так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

ВИРОБНИЧА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції- Відношення збільшення функції до збільшення аргументу при нескінченно малому збільшення аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна сума:

Похідна робота:

Похідна приватна:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо "внутрішню" функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо "зовнішню" функцію, знаходимо її похідну.
3. Помножуємо результати першого та другого пунктів.

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник - 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

(Рис.1)

Малюнок 1. Графік похідної

Властивості графіка похідної

1. На інтервалах зростання похідна позитивна. Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції цьому інтервалі зростає.
2. На інтервалах зменшення похідна негативна (зі знаком мінус). Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має негативне значення, то графік функції цьому інтервалі зменшується.
3. Похідна в точці х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції цієї ж точці.
4. У точках максимуму-мінімуму функції похідна дорівнює нулю. Стосовна графіку функції у цій точці паралельна осі ОХ.

Приклад 1

За графіком (рис.2) похідною визначити, у якій точці на відрізку [-3; 5] функція максимальна.

Малюнок 2. Графік похідної

Рішення: На даному відрізку похідна - негативна, а значить, функція зменшується зліва направо, і найбільше значення знаходиться з лівого боку в точці -3.

Приклад 2

За графіком (рис.3) похідною визначити кількість точок максимуму на відрізку [-11; 3].

Малюнок 3. Графік похідної

Рішення: Точки максимуму відповідають точкам зміни знака похідної з позитивного на негативний. На даному проміжку функція двічі змінює знак із плюса на мінус - у точці -10 і в точці -1. Значить кількість точок максимуму – дві.

Приклад 3

За графіком (рис.3) похідною визначити кількість точок мінімуму в відрізку [-11; -1].

Рішення: Точки мінімуму відповідають точкам зміни знака похідної з негативного на позитивний. На даному відрізку такою точкою є лише -7. Значить, кількість точок мінімуму на заданому відрізку одна.

Приклад 4

За графіком (рис.3) похідною визначити кількість точок екстремуму.

Рішення: Екстремумом є точки як мінімуму, і максимуму. Знайдемо кількість точок, у яких похідна змінює знак.