Teoria e derivateve. Leximi i grafikut derivat

B8. Provimi i Unifikuar i Shtetit

1. Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën me abshisën x0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0. Përgjigje: 2

Përgjigje: -5

Në intervalin (–9;4).

Përgjigje: 2

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0 Përgjigje: 0.5

5. Gjeni pikën e tangencës së drejtëzës y = 3x + 8 dhe grafikun e funksionit y = x3+x2-5x-4. Në përgjigjen tuaj, tregoni abscissa të kësaj pike. Përgjigje: -2

Përcaktoni numrin e vlerave të plota të argumentit për të cilin derivati i funksionit f(x) është negativ. Përgjigje: 4

Përgjigje: 2

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja e grafikut të funksionit f(x) është paralele me drejtëzën y=5–x ose përkon me të. Përgjigje: 3

Intervali (-8; 3).

Drejtëza y = -20. Përgjigje: 2

10.

Përgjigje: -0.5

Përgjigje: 1

12. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0. Përgjigje: 0.5

13. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0. Përgjigje: -0.25

14.

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja në grafikun e funksionit f(x) është paralele ose përkon me drejtëzën y = x+7. Përgjigje: 4

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0. Përgjigje: -2

16.

intervali (-14;9).

Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) në segmentin [-12;7]. Përgjigje: 3

në intervalin (-10;8).

Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit f(x) në segmentin [-9;7]. Përgjigje: 4

18. Drejtëza y = 5x-7 prek grafikun e funksionit y = 6x2 + bx-1 në një pikë me abshisë më të vogël se 0. Gjeni b. Përgjigje: 17

Përgjigje:-0,25

Përgjigje: 6

21. Gjeni tangjenten në grafikun e funksionit y=x2+6x-7, paralel me drejtëzën y=5x+11. Në përgjigjen tuaj, tregoni abshisën e pikës së tangjencës. Përgjigje: -0,5

22.

Përgjigje: 4

23. f "(x) në intervalin (-16;4).

Në segmentin [-11;0] gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit. Përgjigje: 1

B8 Grafikët e funksioneve, derivatet e funksioneve. Hulumtimi i Funksionit . Provimi i Unifikuar i Shtetit

1. Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën me abshisën x0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

2. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin (-6; 5).

Në cilën pikë të segmentit [-5; -1] f(x) merr vlerën më të vogël?

3. Figura tregon një grafik të derivatit të funksionit y = f(x), të përcaktuar

Në intervalin (–9;4).

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit f(x) është paralele me drejtëzën

y = 2x-17 ose përkon me të.

4. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0

5. Gjeni pikën e tangencës së drejtëzës y = 3x + 8 dhe grafikun e funksionit y = x3+x2-5x-4. Në përgjigjen tuaj, tregoni abscissa të kësaj pike.

6. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x), të përcaktuar në intervalin (-7; 5).

Përcaktoni numrin e vlerave të plota të argumentit për të cilin derivati i funksionit f(x) është negativ.

7. Figura tregon një grafik të funksionit y=f "(x), të përcaktuar në intervalin (-8; 8).

Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit f(x) që i përkasin segmentit [-4; 6].

8. Figura tregon një grafik të funksionit y = f "(x), të përcaktuar në intervalin (-8; 4).

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja e grafikut të funksionit f(x) është paralele me drejtëzën y=5–x ose përkon me të.

9. Figura tregon një grafik të derivatit të funksionit y = f(x), të përcaktuar në

Intervali (-8; 3).

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralele

Drejtëza y = -20.

10. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

11 . Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin (-9;9).

Gjeni numrin e pikave minimale të funksionit $f(x)$ në intervalin [-6;8]. 1

12. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

13. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y=f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

14. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin (-6;8).

Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja në grafikun e funksionit f(x) është paralele ose përkon me drejtëzën y = x+7.

15 . Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y = f(x) dhe tangjentja me të në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

16. Figura tregon një grafik të derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në

intervali (-14;9).

Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) në segmentin [-12;7].

17 . Figura tregon një grafik të derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar

në intervalin (-10;8).

Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit f(x) në segmentin [-9;7].

18. Drejtëza y = 5x-7 prek grafikun e funksionit y = 6x2 + bx-1 në një pikë me abshisë më të vogël se 0. Gjeni b.

19 . Në figurë është paraqitur grafiku i derivatit të funksionit f(x) dhe tangjentes së tij në pikën me abshisën x0.

Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x0.

20 . Gjeni numrin e pikave në intervalin (-1;12) në të cilin derivati i funksionit y = f(x) i paraqitur në grafik është i barabartë me 0.

21. Gjeni tangjenten në grafikun e funksionit y=x2+6x-7, paralel me drejtëzën y=5x+11. Në përgjigjen tuaj, tregoni abshisën e pikës së tangjencës.

22. Në figurë është paraqitur grafiku i funksionit y=f(x). Gjeni numrin e pikave të plota në intervalin (-2;11) në të cilin derivati i funksionit f(x) është pozitiv.

23. Në figurë paraqitet grafiku i funksionit y= f "(x) në intervalin (-16;4).

Në segmentin [-11;0] gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit.

Përshëndetje! Le të godasim Provimin e ardhshëm të Unifikuar të Shtetit me përgatitje sistematike cilësore dhe këmbëngulje në bluarjen e granitit të shkencës!!! NËKa një detyrë konkurrimi në fund të postimit, bëhu i pari! Në një nga artikujt në këtë seksion, ju dhe unë, në të cilin është dhënë një grafik i funksionit dhe janë ngritur pyetje të ndryshme në lidhje me ekstremet, intervalet e rritjes (uljes) dhe të tjera.

Në këtë artikull, ne do të shqyrtojmë problemet e përfshira në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, në të cilin jepet një grafik i derivatit të një funksioni dhe parashtrohen pyetjet e mëposhtme:

1. Në cilën pikë të një segmenti të caktuar funksioni merr vlerën më të madhe (ose më të vogël).
2. Gjeni numrin e pikave maksimale (ose minimale) të funksionit që i përkasin një segmenti të caktuar.
3. Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit që i përkasin një segmenti të caktuar.
4. Gjeni pikën ekstreme të funksionit që i përket segmentit të dhënë.
5. Gjeni intervalet e funksionit rritës (ose zvogëlues) dhe në përgjigje tregoni shumën e pikave të plota të përfshira në këto intervale.
6. Gjeni intervalet e rritjes (ose zvogëlimit) të funksionit. Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej këtyre intervaleve.
7. Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja e grafikut të funksionit është paralel ose përkon me një drejtëz të formës y = kx + b.
8. Gjeni abshisën e pikës në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin e abshisës ose përkon me të.

Mund të ketë pyetje të tjera, por ato nuk do t'ju shkaktojnë ndonjë vështirësi nëse kuptoni dhe (lidhjet janë dhënë me artikujt që ofrojnë informacionin e nevojshëm për zgjidhjen, unë rekomandoj t'i përsërisni ato).

Informacioni bazë (shkurtimisht):

1. Derivati në intervale në rritje ka një shenjë pozitive.

Nëse derivati në një pikë të caktuar nga një interval i caktuar ka një vlerë pozitive, atëherë grafiku i funksionit në këtë interval rritet.

2. Në intervale zvogëluese derivati ka shenjë negative.

Nëse derivati në një pikë të caktuar nga një interval i caktuar ka një vlerë negative, atëherë grafiku i funksionit zvogëlohet në këtë interval.

3. Derivati në pikën x është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në të njëjtën pikë.

4. Në pikat e ekstremit (maksimum-minimum) të funksionit, derivati është i barabartë me zero. Tangjentja e grafikut të funksionit në këtë pikë është paralele me boshtin x.

Kjo duhet kuptuar dhe mbajtur mend qartë!!!

Grafiku derivat "ngatërron" shumë njerëz. Disa njerëz e gabojnë pa dashje me grafikun e vetë funksionit. Prandaj, në ndërtesa të tilla, ku shihni se jepet një grafik, përqendroni menjëherë vëmendjen tuaj në kusht në atë që jepet: grafiku i funksionit apo grafiku i derivatit të funksionit?

Nëse është një grafik i derivatit të një funksioni, atëherë trajtojeni atë si një "reflektim" të vetë funksionit, i cili thjesht ju jep informacion për atë funksion.

Konsideroni detyrën:

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–2;21).

Ne do t'u përgjigjemi pyetjeve të mëposhtme:

1. Në cilën pikë të segmentit është funksioni f(X) merr vlerën më të madhe.

Në një interval të caktuar, derivati i një funksioni është negativ, që do të thotë se funksioni në këtë interval zvogëlohet (zvogëlohet nga kufiri i majtë i intervalit në të djathtë). Kështu, vlera më e madhe e funksionit arrihet në kufirin e majtë të segmentit, pra në pikën 7.

Përgjigje: 7

2. Në cilën pikë të segmentit është funksioni f(X)

Nga ky grafik derivat mund të themi sa vijon. Në një interval të caktuar, derivati i funksionit është pozitiv, që do të thotë se funksioni në këtë interval rritet (ai rritet nga kufiri i majtë i intervalit në të djathtë). Kështu, vlera më e vogël e funksionit arrihet në kufirin e majtë të segmentit, domethënë në pikën x = 3.

Përgjigje: 3

3. Gjeni numrin e pikëve maksimale të funksionit f(X)

Pikat maksimale korrespondojnë me pikat ku shenja e derivatit ndryshon nga pozitive në negative. Le të shqyrtojmë se ku ndryshon shenja në këtë mënyrë.

Në segmentin (3;6) derivati është pozitiv, në segmentin (6;16) është negativ.

Në segmentin (16;18) derivati është pozitiv, në segmentin (18;20) është negativ.

Kështu, në një segment të caktuar funksioni ka dy pika maksimale x = 6 dhe x = 18.

Përgjigje: 2

4. Gjeni numrin e pikave minimale të funksionit f(X), që i përket segmentit.

Pikat minimale korrespondojnë me pikat ku shenja e derivatit ndryshon nga negative në pozitive. Derivati ynë është negativ në intervalin (0;3), dhe pozitiv në intervalin (3;4).

Kështu, në segment funksioni ka vetëm një pikë minimale x = 3.

*Kini kujdes kur shkruani përgjigjen - regjistrohet numri i pikëve, jo vlera x; një gabim i tillë mund të bëhet për shkak të pavëmendjes.

Përgjigje: 1

5. Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit f(X), që i përket segmentit.

Ju lutemi vini re se çfarë duhet të gjeni sasi pikat ekstreme (këto janë pikë maksimale dhe minimale).

Pikat ekstreme korrespondojnë me pikat ku ndryshon shenja e derivatit (nga pozitive në negative ose anasjelltas). Në grafikun e dhënë në kusht, këto janë zero të funksionit. Derivati zhduket në pikat 3, 6, 16, 18.

Kështu, funksioni ka 4 pika ekstreme në segment.

Përgjigje: 4

6. Gjeni intervalet e funksionit në rritje f(X)

Intervalet e rritjes së këtij funksioni f(X) korrespondojnë me intervalet në të cilat derivati i tij është pozitiv, pra intervalet (3;6) dhe (16;18). Ju lutemi vini re se kufijtë e intervalit nuk përfshihen në të (kllapat e rrumbullakëta - kufijtë nuk përfshihen në interval, kllapat katrore - të përfshira). Këto intervale përmbajnë pika të plota 4, 5, 17. Shuma e tyre është: 4 + 5 + 17 = 26

Përgjigje: 26

7. Gjeni intervalet e funksionit zbritës f(X) në një interval të caktuar. Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e pikave të plota të përfshira në këto intervale.

Zvogëlimi i intervaleve të një funksioni f(X) korrespondojnë me intervalet në të cilat derivati i funksionit është negativ. Në këtë problem këto janë intervalet (–2;3), (6;16), (18:21).

Këto intervale përmbajnë këto pika të plota: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Shuma e tyre është:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Përgjigje: 140

*Kini kujdes kushtit: nëse janë përfshirë kufijtë në interval apo jo. Nëse janë përfshirë kufijtë, atëherë në intervalet e konsideruara në procesin e zgjidhjes duhet të merren parasysh edhe këta kufij.

8. Gjeni intervalet e funksionit në rritje f(X)

Intervalet e funksionit në rritje f(X) korrespondojnë me intervalet në të cilat derivati i funksionit është pozitiv. Ne i kemi treguar tashmë ato: (3;6) dhe (16:18). Më i madhi prej tyre është intervali (3; 6), gjatësia e tij është 3.

Përgjigje: 3

9. Gjeni intervalet e funksionit zbritës f(X). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.

Zvogëlimi i intervaleve të një funksioni f(X) korrespondojnë me intervalet në të cilat derivati i funksionit është negativ. Ne i kemi treguar tashmë ato; këto janë intervalet (–2;3), (6;16), (18;21), gjatësitë e tyre janë përkatësisht 5, 10, 3.

Gjatësia e më të madhit është 10.

Përgjigje: 10

10. Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit f(X) paralel ose përkon me drejtëzën y = 2x + 3.

Vlera e derivatit në pikën e tangjences është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes. Meqenëse tangjentja është paralele me drejtëzën y = 2x + 3 ose përkon me të, koeficientët e tyre këndorë janë të barabartë me 2. Kjo do të thotë se është e nevojshme të gjendet numri i pikave në të cilat y′(x 0) = 2. Gjeometrikisht kjo korrespondon me numrin e pikave të prerjes së grafikut derivat me drejtëzën y = 2. Në këtë interval ka 4 pika të tilla.

Përgjigje: 4

11. Gjeni pikën ekstreme të funksionit f(X), që i përket segmentit.

Pika ekstreme e një funksioni është pika në të cilën derivati i tij është i barabartë me zero, dhe në afërsi të kësaj pike derivati ndryshon shenjën (nga pozitive në negative ose anasjelltas). Në segment, grafiku i derivatit pret boshtin x, derivati ndryshon shenjën nga negative në pozitive. Prandaj, pika x = 3 është një pikë ekstreme.

Përgjigje: 3

12. Gjeni abshisën e pikave në të cilat tangjentet e grafikut y = f (x) janë paralele me boshtin e abshisave ose përkojnë me të. Në përgjigjen tuaj, tregoni më të madhin prej tyre.

Tangjentja e grafikut y = f (x) mund të jetë paralele me boshtin e abshisave ose të përkojë me të, vetëm në pikat ku derivati është i barabartë me zero (këto mund të jenë pika ekstreme ose pika të palëvizshme në afërsi të të cilave derivati bën të mos ndryshojë shenjën e saj). Ky grafik tregon se derivati është zero në pikat 3, 6, 16,18. Më i madhi është 18.

Ju mund ta strukturoni arsyetimin tuaj në këtë mënyrë:

Vlera e derivatit në pikën e tangjences është e barabartë me pjerrësinë e tangjentes. Meqenëse tangjentja është paralele ose përkon me boshtin x, pjerrësia e saj është 0 (në të vërtetë, tangjentja e një këndi zero gradë është zero). Prandaj, ne po kërkojmë pikën në të cilën pjerrësia është e barabartë me zero, dhe për këtë arsye derivati është i barabartë me zero. Derivati është i barabartë me zero në pikën në të cilën grafiku i tij pret boshtin x, dhe këto janë pikat 3, 6, 16,18.

Përgjigje: 18

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–8;4). Në cilën pikë të segmentit [–7;–3] ndodhet funksioni f(X) merr vlerën më të vogël.

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–7;14). Gjeni numrin e pikëve maksimale të funksionit f(X), që i përket segmentit [–6;9].

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–18;6). Gjeni numrin e pikave minimale të funksionit f(X), që i përket segmentit [–13;1].

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–11; –11). Gjeni numrin e pikave ekstreme të funksionit f(X), që i përket segmentit [–10; -10].

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–7;4). Gjeni intervalet e funksionit të rritjes f(X). Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e pikave të plota të përfshira në këto intervale.

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–5;7). Gjeni intervalet e funksionit në rënie f(X). Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e pikave të plota të përfshira në këto intervale.

Figura tregon një grafik y =f'(X)- derivat i një funksioni f(X), e përcaktuar në intervalin (–11;3). Gjeni intervalet e funksionit të rritjes f(X). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.

F Figura tregon një grafik

Kushtet e problemit janë të njëjta (të cilat i kemi shqyrtuar). Gjeni shumën e tre numrave:

1. Shuma e katrorëve të ekstremiteteve të funksionit f (x).

2. Ndryshimi ndërmjet katrorëve të shumës së pikëve maksimale dhe shumës së pikave minimale të funksionit f (x).

3. Numri i tangjentave në f (x) paralel me drejtëzën y = –3x + 5.

I pari që do të japë përgjigjen e saktë do të marrë një çmim stimulues prej 150 rubla. Shkruani përgjigjet tuaja në komente. Nëse ky është komenti juaj i parë në blog, ai nuk do të shfaqet menjëherë, por pak më vonë (mos u shqetësoni, koha kur është shkruar komenti është regjistruar).

Paç fat!

Përshëndetje, Alexander Krutitsikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [–5; 6]. Gjeni numrin e pikave në grafikun e f(x), në secilën prej të cilave tangjentja e tërhequr në grafikun e funksionit përkon ose është paralele me boshtin x.

Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit të diferencueshëm y = f(x).

Gjeni numrin e pikave në grafikun e funksionit që i përkasin segmentit [–7; 7], në të cilin tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me drejtëzën e specifikuar nga ekuacioni y = –3x.

Pika materiale M fillon të lëvizë nga pika A dhe lëviz në vijë të drejtë për 12 sekonda. Grafiku tregon se si distanca nga pika A në pikën M ka ndryshuar me kalimin e kohës. Boshti i abshisave tregon kohën t në sekonda, dhe boshti i ordinatave tregon distancën s në metra. Përcaktoni sa herë gjatë lëvizjes shpejtësia e pikës M u kthye në zero (mos merrni parasysh fillimin dhe fundin e lëvizjes).

Figura tregon seksione të grafikut të funksionit y=f(x) dhe tangjenten me të në pikën me abshisë x = 0. Dihet se kjo tangjente është paralele me drejtëzën që kalon nëpër pikat e grafikut. me abshisën x = -2 dhe x = 3. Duke përdorur këtë, gjeni vlerën e derivatit f"(o).

Figura tregon një grafik y = f’(x) - derivati i funksionit f(x), i përcaktuar në segmentin (−11; 2). Gjeni abshisën e pikës në të cilën tangjentja me grafikun e funksionit y = f(x) është paralele ose përkon me abshisën.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda, matet që nga fillimi i lëvizjes. Në cilën pikë kohore (në sekonda) ishte shpejtësia e tij e barabartë me 2 m/s?

Një pikë materiale lëviz përgjatë një linje të drejtë nga pozicioni fillestar në atë përfundimtar. Figura tregon një grafik të lëvizjes së tij. Boshti i abshisës tregon kohën në sekonda, dhe boshti i ordinatave tregon distancën nga pozicioni fillestar i pikës (në metra). Gjeni shpejtësinë mesatare të pikës. Jepni përgjigjen tuaj në metra në sekondë.

Funksioni y = f (x) është përcaktuar në intervalin [-4; 4]. Figura tregon një grafik të derivatit të tij. Gjeni numrin e pikave në grafikun e funksionit y = f (x), tangjenten në të cilën formon një kënd prej 45° me drejtimin pozitiv të boshtit Ox.

Funksioni y = f (x) është përcaktuar në intervalin [-2; 4]. Figura tregon një grafik të derivatit të tij. Gjeni abshisën e pikës në grafikun e funksionit y = f (x), në të cilën merr vlerën më të vogël në segmentin [-2; -0,001].

Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën x0. Tangjentja jepet me barazimin y = -2x + 15. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = -(1/4)f(x) + 5 në pikën x0.

Në grafikun e funksionit të diferencueshëm y = f (x) janë shënuar shtatë pika: x1,.., x7. Gjeni të gjitha pikat e shënuara në të cilat derivati i funksionit f(x) është më i madh se zero. Në përgjigjen tuaj, tregoni numrin e këtyre pikave.

Figura tregon një grafik y = f"(x) të derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin (-10; 2). Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit f (x) është paralel me drejtëzën y = -2x-11 ose përkon me të.

Në figurë është paraqitur grafiku i y=f"(x) - derivati i funksionit f(x) Janë nëntë pika të shënuara në boshtin e abshisës: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Sa prej këtyre pikave i përkasin intervaleve të funksionit zvogëlues f(x)?

Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën x0. Tangjentja jepet me barazimin y = 1,5x + 3,5. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit y = 2f(x) - 1 në pikën x0.

Figura tregon grafikun y=F(x) të njërit prej antiderivativëve të funksionit f (x). Janë gjashtë pika të shënuara në grafik me abshisa x1, x2, ..., x6. Në sa nga këto pika funksioni y=f(x) merr vlera negative?

Figura tregon një grafik të makinës që lëviz përgjatë rrugës. Boshti i abshisave tregon kohën (në orë), dhe boshti i ordinatave tregon distancën e përshkuar (në kilometra). Gjeni shpejtësinë mesatare të makinës në këtë rrugë. Jepni përgjigjen tuaj në km/h

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, ku x është distanca nga pika e referencës (në metra), t është koha e lëvizjes (në sekonda). Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t=6 s

Figura tregon një grafik të antiderivativit y = F(x) të një funksioni y = f(x), të përcaktuar në intervalin (-6; 7). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zerove të funksionit f(x) në këtë interval.

Figura tregon një grafik y = F(x) të njërit prej antiderivativëve të një funksioni f(x), të përcaktuar në intervalin (-7; 5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x) = 0 në intervalin [- 5; 2].

Në figurë paraqitet grafiku i funksionit të diferencueshëm y=f(x). Janë nëntë pika të shënuara në boshtin x: x1, x2, ... x9. Gjeni të gjitha pikat e shënuara në të cilat derivati i funksionit f(x) është negativ. Në përgjigjen tuaj, tregoni numrin e këtyre pikave.

Një pikë materiale lëviz drejtvizore sipas ligjit x(t)=12t^3−3t^2+2t, ku x është distanca nga pika e referencës në metra, t është koha në sekonda e matur nga fillimi i lëvizjes. Gjeni shpejtësinë e tij (në metra për sekondë) në kohën t=6 s.

Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) dhe një tangjente me këtë grafik të vizatuar në pikën x0. Ekuacioni tangjent është paraqitur në figurë. gjeni vlerën e derivatit të funksionit y=4*f(x)-3 në pikën x0.

Le të imagjinojmë një rrugë të drejtë që kalon nëpër një zonë kodrinore. Kjo do të thotë, shkon lart e poshtë, por nuk kthehet djathtas ose majtas. Nëse aksi drejtohet horizontalisht përgjatë rrugës dhe vertikalisht, atëherë vija e rrugës do të jetë shumë e ngjashme me grafikun e ndonjë funksioni të vazhdueshëm:

Aksi është një nivel i caktuar i lartësisë zero; në jetë ne përdorim nivelin e detit si ai.

Ndërsa ecim përpara përgjatë një rruge të tillë, ne gjithashtu lëvizim lart ose poshtë. Mund të themi gjithashtu: kur ndryshon argumenti (lëvizja përgjatë boshtit të abshisës), vlera e funksionit ndryshon (lëvizja përgjatë boshtit të ordinatave). Tani le të mendojmë se si të përcaktojmë "pjerrësinë" e rrugës sonë? Çfarë lloj vlere mund të jetë kjo? Është shumë e thjeshtë: sa do të ndryshojë lartësia kur lëvizni përpara një distancë të caktuar. Në të vërtetë, në seksione të ndryshme të rrugës, duke lëvizur përpara (përgjatë boshtit x) me një kilometër, ne do të ngrihemi ose do të zbresim me një numër të ndryshëm metrash në krahasim me nivelin e detit (përgjatë boshtit y).

Le të shënojmë përparimin (lexoni "delta x").

Shkronja greke (delta) përdoret zakonisht në matematikë si parashtesë që do të thotë "ndryshim". Kjo është - ky është një ndryshim në sasi, - një ndryshim; atëherë çfarë është ajo? Kjo është e drejtë, një ndryshim në madhësi.

E rëndësishme: një shprehje është një tërësi e vetme, një ndryshore. Asnjëherë mos e ndani "deltën" nga "x" ose ndonjë shkronjë tjetër! Kjo është, për shembull,.

Pra, ne kemi ecur përpara, horizontalisht, nga. Nëse krahasojmë vijën e rrugës me grafikun e funksionit, atëherë si e shënojmë ngritjen? Sigurisht,. Domethënë, ndërsa ecim përpara, ngrihemi më lart.

Vlera është e lehtë për t'u llogaritur: nëse në fillim ishim në një lartësi, dhe pas lëvizjes e gjetëm veten në një lartësi, atëherë. Nëse pika e fundit është më e ulët se pika e fillimit, ajo do të jetë negative - kjo do të thotë që ne nuk jemi duke u ngjitur, por duke zbritur.

Le të kthehemi te "pjerrësia": kjo është një vlerë që tregon se sa (pjerrët) rritet lartësia kur lëvizni përpara një njësi distancë:

Le të supozojmë se në një pjesë të rrugës, kur ecim përpara me një kilometër, rruga ngrihet për një kilometër. Atëherë pjerrësia në këtë vend është e barabartë. Dhe nëse rruga, duke ecur përpara me m, ka rënë me km? Atëherë pjerrësia është e barabartë.

Tani le të shohim majën e një kodre. Nëse e merrni fillimin e seksionit gjysmë kilometër përpara majës, dhe fundin gjysmë kilometër pas tij, mund të shihni se lartësia është pothuajse e njëjtë.

Kjo do të thotë, sipas logjikës sonë, rezulton se pjerrësia këtu është pothuajse e barabartë me zero, gjë që nuk është qartë e vërtetë. Pak më shumë se një distancë prej kilometrash shumë mund të ndryshojnë. Është e nevojshme të merren parasysh zona më të vogla për një vlerësim më adekuat dhe më të saktë të pjerrësisë. Për shembull, nëse matni ndryshimin në lartësi ndërsa lëvizni një metër, rezultati do të jetë shumë më i saktë. Por edhe kjo saktësi mund të mos jetë e mjaftueshme për ne - në fund të fundit, nëse ka një shtyllë në mes të rrugës, ne thjesht mund ta kalojmë atë. Çfarë distancë duhet të zgjedhim atëherë? Centimetri? Milimetri? Më pak është më mirë!

Në jetën reale, matja e distancave në milimetrin më të afërt është më se e mjaftueshme. Por matematikanët gjithmonë përpiqen për përsosmëri. Prandaj, koncepti u shpik pafundësisht i vogël, domethënë, vlera absolute është më e vogël se çdo numër që mund të emërtojmë. Për shembull, ju thoni: një triliontë! Sa më pak? Dhe ju e ndani këtë numër me - dhe do të jetë edhe më pak. Dhe kështu me radhë. Nëse duam të shkruajmë se një sasi është e pafundme, shkruajmë kështu: (lexojmë “x tenton në zero”). Është shumë e rëndësishme të kuptohet se ky numër nuk është zero! Por shumë afër saj. Kjo do të thotë që ju mund të ndani me të.

Koncepti i kundërt me infinitimalin është pafundësisht i madh (). Me siguri e keni hasur tashmë kur po punonit për pabarazitë: ky numër është modulo më i madh se çdo numër që mund të mendoni. Nëse arrini numrin më të madh të mundshëm, thjesht shumëzojeni atë me dy dhe do të merrni një numër edhe më të madh. Dhe pafundësia është edhe më e madhe se ajo që ndodh. Në fakt, pafundësisht i madhi dhe pafundësisht i vogël janë anasjellta e njëra-tjetrës, pra në, dhe anasjelltas: në.

Tani le të kthehemi në rrugën tonë. Pjerrësia e llogaritur në mënyrë ideale është pjerrësia e llogaritur për një segment pafundësisht të vogël të shtegut, domethënë:

Vërej se me një zhvendosje pafundësisht, ndryshimi në lartësi do të jetë gjithashtu pafundësisht i vogël. Por më lejoni t'ju kujtoj se infinite vogël nuk do të thotë e barabartë me zero. Nëse ndani numra pafundësisht të vegjël me njëri-tjetrin, mund të merrni një numër krejtësisht të zakonshëm, për shembull, . Kjo do të thotë, një vlerë e vogël mund të jetë saktësisht herë më e madhe se një tjetër.

Për çfarë është e gjithë kjo? Rruga, pjerrësia... Ne nuk do të shkojmë në një miting makinash, por po mësojmë matematikë. Dhe në matematikë gjithçka është saktësisht e njëjtë, vetëm quhet ndryshe.

Koncepti i derivatit

Derivati i një funksioni është raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infiniteminale të argumentit.

Në mënyrë incrementale në matematikë e quajnë ndryshim. Shkalla në të cilën argumenti () ndryshon ndërsa lëviz përgjatë boshtit quhet rritje argumenti dhe është caktuar.Sa ka ndryshuar funksioni (lartësia) kur lëvizim përpara përgjatë boshtit me një distancë quhet rritja e funksionit dhe është caktuar.

Pra, derivati i një funksioni është raporti me kur. Derivatin e shënojmë me të njëjtën shkronjë si funksioni, vetëm me një kryeministër lart djathtas: ose thjesht. Pra, le të shkruajmë formulën e derivatit duke përdorur këto shënime:

Ashtu si në analogjinë me rrugën, edhe këtu kur funksioni rritet, derivati është pozitiv dhe kur zvogëlohet është negativ.

A mund të jetë derivati i barabartë me zero? Sigurisht. Për shembull, nëse jemi duke vozitur në një rrugë të sheshtë horizontale, pjerrësia është zero. Dhe është e vërtetë, lartësia nuk ndryshon fare. Kështu është me derivatin: derivati i një funksioni konstant (konstante) është i barabartë me zero:

pasi rritja e një funksioni të tillë është e barabartë me zero për çdo.

Le të kujtojmë shembullin në majë të kodrës. Doli se ishte e mundur të rregulloheshin skajet e segmentit në anët e kundërta të kulmit në atë mënyrë që lartësia në skajet të rezultojë e njëjtë, domethënë segmenti të jetë paralel me boshtin:

Por segmentet e mëdha janë një shenjë e matjes së pasaktë. Ne do ta ngremë segmentin tonë paralelisht me vetveten, atëherë gjatësia e tij do të ulet.

Përfundimisht, kur jemi pafundësisht afër majës, gjatësia e segmentit do të bëhet pafundësisht e vogël. Por në të njëjtën kohë, ai mbeti paralel me boshtin, domethënë, ndryshimi në lartësi në skajet e tij është i barabartë me zero (nuk ka tendencë, por është i barabartë me). Pra derivati

Kjo mund të kuptohet në këtë mënyrë: kur qëndrojmë në majë, një zhvendosje e vogël majtas ose djathtas ndryshon lartësinë tonë në mënyrë të papërfillshme.

Ekziston gjithashtu një shpjegim thjesht algjebrik: në të majtë të kulmit funksioni rritet, dhe në të djathtë zvogëlohet. Siç kuptuam më herët, kur një funksion rritet, derivati është pozitiv, dhe kur zvogëlohet, është negativ. Por ndryshon pa probleme, pa kërcime (pasi rruga nuk e ndryshon ndjeshëm pjerrësinë askund). Prandaj, duhet të ketë midis vlerave negative dhe pozitive. Do të jetë aty ku funksioni as nuk rritet e as nuk zvogëlohet - në pikën e kulmit.

E njëjta gjë vlen edhe për luginën (zona ku funksioni në të majtë zvogëlohet dhe në të djathtë rritet):

Pak më shumë rreth rritjeve.

Pra, ne e ndryshojmë argumentin në madhësi. Nga çfarë vlere ndryshojmë? Çfarë është bërë (argumenti) tani? Ne mund të zgjedhim çdo pikë, dhe tani do të kërcejmë prej saj.

Konsideroni një pikë me një koordinatë. Vlera e funksionit në të është e barabartë. Pastaj bëjmë të njëjtën rritje: e rrisim koordinatën me. Cili është argumenti tani? Shumë e lehtë: . Cila është vlera e funksionit tani? Aty ku shkon argumenti, shkon edhe funksioni: . Po në lidhje me rritjen e funksionit? Asgjë e re: kjo është ende shuma me të cilën funksioni ka ndryshuar:

Praktikoni gjetjen e rritjeve:

Gjeni rritjen e funksionit në një pikë kur rritja e argumentit është e barabartë me.
E njëjta gjë vlen edhe për funksionin në një pikë.

Zgjidhjet:

Në pika të ndryshme me të njëjtin rritje argumenti, rritja e funksionit do të jetë e ndryshme. Kjo do të thotë që derivati në secilën pikë është i ndryshëm (e diskutuam që në fillim - pjerrësia e rrugës është e ndryshme në pika të ndryshme). Prandaj, kur shkruajmë një derivat, duhet të tregojmë se në cilën pikë:

Funksioni i fuqisë.

Një funksion fuqie është një funksion ku argumenti është në një farë mase (logjik, apo jo?).

Për më tepër - në çdo masë: .

Rasti më i thjeshtë është kur eksponenti është:

Le të gjejmë derivatin e tij në një pikë. Le të kujtojmë përkufizimin e një derivati:

Pra, argumenti ndryshon nga në. Sa është rritja e funksionit?

Rritja është kjo. Por një funksion në çdo pikë është i barabartë me argumentin e tij. Kjo është arsyeja pse:

Derivati është i barabartë me:

Derivati i është i barabartë me:

b) Tani merrni parasysh funksionin kuadratik (): .

Tani le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që vlera e rritjes mund të neglizhohet, pasi ajo është infinite e vogël, dhe për këtë arsye e parëndësishme në sfondin e termit tjetër:

Pra, ne dolëm me një rregull tjetër:

c) Vazhdojmë serinë logjike: .

Kjo shprehje mund të thjeshtohet në mënyra të ndryshme: hapni kllapin e parë duke përdorur formulën për shumëzimin e shkurtuar të kubit të shumës, ose faktorizoni të gjithë shprehjen duke përdorur formulën e diferencës së kubeve. Mundohuni ta bëni vetë duke përdorur ndonjë nga metodat e sugjeruara.

Pra, mora sa vijon:

Dhe përsëri le ta kujtojmë atë. Kjo do të thotë që ne mund të neglizhojmë të gjitha termat që përmbajnë:

Ne marrim:.

d) Rregulla të ngjashme mund të merren për fuqitë e mëdha:

e) Rezulton se ky rregull mund të përgjithësohet për një funksion fuqie me një eksponent arbitrar, madje as një numër të plotë:

(2)

Rregulli mund të formulohet me fjalët: "shkalla paraqitet si koeficient, dhe më pas zvogëlohet me ."

Këtë rregull do ta vërtetojmë më vonë (pothuajse në fund). Tani le të shohim disa shembuj. Gjeni derivatin e funksioneve:

(në dy mënyra: me formulë dhe duke përdorur përkufizimin e derivatit - duke llogaritur rritjen e funksionit);

Funksionet trigonometrike.

Këtu do të përdorim një fakt nga matematika e lartë:

Me shprehje.

Provën do ta mësoni në vitin e parë të institutit (dhe për të arritur atje, duhet të kaloni mirë Provimin e Shtetit të Unifikuar). Tani do ta tregoj vetëm grafikisht:

Ne shohim se kur funksioni nuk ekziston - pika në grafik është prerë. Por sa më afër vlerës, aq më afër është funksioni. Kjo është ajo që "synon".

Për më tepër, mund ta kontrolloni këtë rregull duke përdorur një kalkulator. Po, po, mos ki turp, merr një kalkulator, nuk jemi ende në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Pra, le të provojmë: ;

Mos harroni të kaloni kalkulatorin tuaj në modalitetin Radians!

etj. Shohim se sa më i vogël, aq më afër është vlera e raportit.

a) Merrni parasysh funksionin. Si zakonisht, le të gjejmë rritjen e tij:

Le ta kthejmë diferencën e sinuseve në produkt. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën (kujtoni temën ""): .

Tani derivati:

Le të bëjmë një zëvendësim: . Atëherë për infinitevogël është edhe infinite vogël: . Shprehja për merr formën:

Dhe tani e kujtojmë këtë me shprehjen. Dhe gjithashtu, çka nëse një sasi infinitimale mund të neglizhohet në shumë (që është, në).

Pra, marrim rregullin e mëposhtëm: derivati i sinusit është i barabartë me kosinusin:

Këto janë derivate bazë ("tabelore"). Këtu ato janë në një listë:

Më vonë do t'u shtojmë disa të tjera, por këto janë më të rëndësishmet, pasi ato përdoren më shpesh.

Praktikoni:

Gjeni derivatin e funksionit në një pikë;
Gjeni derivatin e funksionit.

Zgjidhjet:

Logaritmi eksponent dhe natyror.

Ekziston një funksion në matematikë, derivati i të cilit për çdo vlerë është i barabartë me vlerën e vetë funksionit në të njëjtën kohë. Ai quhet "eksponent" dhe është një funksion eksponencial

Baza e këtij funksioni - një konstante - është një thyesë dhjetore e pafundme, domethënë një numër irracional (si p.sh.). Quhet "numri Euler", prandaj shënohet me një shkronjë.

Pra, rregulli:

Shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, le të mos shkojmë larg, le të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cili funksion është inversi i funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është numri:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Me çfarë është e barabartë? Sigurisht, .

Derivati i logaritmit natyror është gjithashtu shumë i thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Logaritmi eksponencial dhe natyror janë funksione unike të thjeshta nga një këndvështrim derivat. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Rregullat e çfarë? Sërish një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Kjo eshte e gjitha. Çfarë tjetër mund ta quani këtë proces me një fjalë? Jo derivat... Matematikanët e quajnë diferencialin të njëjtën rritje të një funksioni në. Ky term vjen nga latinishtja diferencia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Gjithsej janë 5 rregulla.

Konstanta hiqet nga shenja derivatore.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Le të jetë, ose më e thjeshtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në një pikë;
në një pikë;
në një pikë;
në pikën.

Zgjidhjet:

Derivat i produktit

Gjithçka është e ngjashme këtu: le të prezantojmë një funksion të ri dhe të gjejmë rritjen e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e funksionit në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i një funksioni eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentë (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne tashmë e dimë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta reduktojmë funksionin tonë në një bazë të re:

Për ta bërë këtë, ne do të përdorim një rregull të thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e një eksponenti: siç ishte, ajo mbetet e njëjtë, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Derivat i një funksioni logaritmik

Është e ngjashme këtu: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një logaritëm arbitrar me një bazë të ndryshme, për shembull:

Duhet ta zvogëlojmë këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani do të shkruajmë në vend të kësaj:

Emëruesi është thjesht një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati merret shumë thjesht:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike nuk gjenden pothuajse kurrë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një arktangjent. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe do të jeni mirë), por nga pikëpamja matematikore, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një rrip të vogël transportues: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, i pari mbështjell një çokollatë me një mbështjellës dhe i dyti e lidh me një fjongo. Rezultati është një objekt i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri, dhe më pas do të vendosim në katror numrin që rezulton. Pra, na jepet një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që kam marrë (lidheni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne kryejmë veprimin e parë drejtpërdrejt me variablin, dhe më pas një veprim të dytë me atë që rezultoi nga i pari.

Ne mund t'i bëjmë lehtësisht të njëjtat hapa në rend të kundërt: fillimisht ju e vendosni në katror dhe unë më pas kërkoj kosinusin e numrit që rezulton: . Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Me fjale te tjera, një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin e parë,.

Shembulli i dytë: (e njëjta gjë). .

Veprimi që bëjmë i fundit do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer së pari - në përputhje me rrethanat funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në një funksion

Ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim shiritin tonë të çokollatës dhe do të kërkojmë derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Në lidhje me shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Derivat i një funksioni- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit për një rritje infinite të vogël të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja derivatore:

Derivati i shumës:

Derivati i produktit:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Përcaktojmë funksionin "të brendshëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Përcaktojmë funksionin "të jashtëm" dhe gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Per cfare?

Për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit, për hyrjen në kolegj me buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teoria gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUME!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të hollësishme dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull -
Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - Bleni një libër shkollor - 499 RUR

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Qasja në të gjitha detyrat e fshehura ofrohet për TË GJITHË jetën e faqes.

Në përfundim...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

(Fig. 1)

Figura 1. Grafiku derivat

Vetitë e grafikut derivat

Në intervale në rritje, derivati është pozitiv. Nëse derivati në një pikë të caktuar nga një interval i caktuar ka një vlerë pozitive, atëherë grafiku i funksionit në këtë interval rritet.
Në intervale zvogëluese, derivati është negativ (me një shenjë minus). Nëse derivati në një pikë të caktuar nga një interval i caktuar ka një vlerë negative, atëherë grafiku i funksionit zvogëlohet në këtë interval.
Derivati në pikën x është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në të njëjtën pikë.
Në pikat maksimale dhe minimale të funksionit, derivati është i barabartë me zero. Tangjentja e grafikut të funksionit në këtë pikë është paralele me boshtin OX.

Shembulli 1

Duke përdorur grafikun (Fig. 2) të derivatit, përcaktoni se në cilën pikë të segmentit [-3; 5] funksioni është maksimal.

Figura 2. Grafiku derivat

Zgjidhje: Në këtë segment, derivati është negativ, që do të thotë se funksioni zvogëlohet nga e majta në të djathtë, dhe vlera më e madhe është në anën e majtë në pikën -3.

Shembulli 2

Duke përdorur grafikun (Fig. 3) të derivatit, përcaktoni numrin e pikave maksimale në segmentin [-11; 3].

Figura 3. Grafiku derivat

Zgjidhje: Pikat maksimale korrespondojnë me pikat ku shenja e derivatit ndryshon nga pozitive në negative. Në këtë interval, funksioni ndryshon shenjën nga plus në minus dy herë - në pikën -10 dhe në pikën -1. Kjo do të thotë se numri maksimal i pikëve është dy.

Shembulli 3

Duke përdorur grafikun (Fig. 3) të derivatit, përcaktoni numrin e pikave minimale në segmentin [-11; -1].

Zgjidhje: Pikat minimale korrespondojnë me pikat ku shenja e derivatit ndryshon nga negative në pozitive. Në këtë segment, një pikë e tillë është vetëm -7. Kjo do të thotë se numri i pikëve minimale në një segment të caktuar është një.

Shembulli 4

Duke përdorur grafikun (Fig. 3) të derivatit, përcaktoni numrin e pikave ekstreme.

Zgjidhja: Pikat ekstreme janë pikat minimale dhe maksimale. Le të gjejmë numrin e pikave në të cilat derivati ndryshon shenjën.