Dodawanie i odejmowanie banku danych ułamków. Działania z ułamkami. Podsumowanie: ogólny schemat obliczeń

Działania z ułamkami.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Czym więc są ułamki, rodzaje ułamków, przekształcenia - przypomnieliśmy. Przejdźmy do głównego problemu.

Co można zrobić z ułamków zwykłych? Tak, wszystko jest takie samo jak w przypadku zwykłych liczb. Dodawaj, odejmij, mnóż, dziel.

Wszystkie te działania z dziesiętny praca z ułamkami nie różni się od pracy z liczbami całkowitymi. Właściwie to właśnie jest w nich dobre, dziesiętne. Jedyną rzeczą jest to, że musisz poprawnie postawić przecinek.

Liczby mieszane, jak już powiedziałem, są mało przydatne w większości działań. Nadal należy je przekonwertować na zwykłe ułamki zwykłe.

Ale działania z zwykłe ułamki będą bardziej przebiegli. I o wiele ważniejsze! Pozwól, że ci przypomnę: wszystkie działania z wyrażeniami ułamkowymi z literami, sinusami, niewiadomymi itd. i tak dalej nie różnią się od działań z ułamkami zwykłymi! Działania na ułamkach zwyczajnych są podstawą wszelkiej algebry. Z tego powodu przeanalizujemy tutaj szczegółowo całą tę arytmetykę.

Dodawanie i odejmowanie ułamków.

Każdy potrafi dodawać (odejmować) ułamki zwykłe o tych samych mianownikach (mam taką nadzieję!). Cóż, przypomnę tym, którzy są całkowicie zapominalscy: podczas dodawania (odejmowania) mianownik się nie zmienia. Liczniki dodaje się (odejmuje), aby otrzymać licznik wyniku. Typ:

Krótko mówiąc ogólnie:

A co jeśli mianowniki są różne? Następnie, korzystając z podstawowej własności ułamka zwykłego (tutaj znowu się przydaje!), sprawiamy, że mianowniki są takie same! Na przykład:

Tutaj musieliśmy zrobić ułamek 4/10 z ułamka 2/5. Tylko po to, żeby mianowniki były takie same. Na wszelki wypadek zauważę, że są to 2/5 i 4/10 ten sam ułamek! Tylko 2/5 jest dla nas niewygodnych, a 4/10 jest naprawdę w porządku.

Nawiasem mówiąc, jest to istota rozwiązywania wszelkich problemów matematycznych. Kiedy my od niewygodny robimy wyrażenia to samo, ale wygodniejsze do rozwiązania.

Inny przykład:

Sytuacja jest podobna. Tutaj tworzymy 48 z 16. Przez proste pomnożenie przez 3. Wszystko jest jasne. Ale trafiliśmy na coś takiego:

Jak być?! Trudno jest uzyskać dziewięć z siedmiu! Ale jesteśmy mądrzy, znamy zasady! Przekształćmy się każdy ułamek tak, aby mianowniki były takie same. Nazywa się to „sprowadzeniem do wspólnego mianownika”:

Wow! Skąd wiedziałem o 63? Bardzo prosta! 63 to liczba, która dzieli się jednocześnie przez 7 i 9. Liczbę taką zawsze można otrzymać mnożąc mianowniki. Jeśli na przykład pomnożymy liczbę przez 7, wynik z pewnością będzie podzielny przez 7!

Jeśli chcesz dodać (odjąć) kilka ułamków, nie ma potrzeby robienia tego parami, krok po kroku. Wystarczy znaleźć mianownik wspólny dla wszystkich ułamków i zredukować każdy ułamek do tego samego mianownika. Na przykład:

A jaki będzie wspólny mianownik? Można oczywiście pomnożyć 2, 4, 8 i 16. Otrzymujemy 1024. Koszmar. Łatwiej oszacować, że liczba 16 jest doskonale podzielna przez 2, 4 i 8. Dlatego z tych liczb łatwo jest uzyskać 16. Liczba ta będzie wspólnym mianownikiem. Zamieńmy 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 i tak dalej.

Nawiasem mówiąc, jeśli weźmiesz 1024 za wspólny mianownik, wszystko się ułoży, ostatecznie wszystko zostanie zmniejszone. Ale nie każdemu do tego dojdzie, bo kalkulacje...

Uzupełnij przykład samodzielnie. Nie jakiś logarytm... Powinno być 29/16.

Mam więc nadzieję, że dodawanie (odejmowanie) ułamków jest jasne? Oczywiście łatwiej jest pracować w wersji skróconej, z dodatkowymi mnożnikami. Ale ta przyjemność jest dostępna dla tych, którzy uczciwie pracowali w niższych klasach... I niczego nie zapomnieli.

A teraz zrobimy te same czynności, ale nie z ułamkami, ale z wyrażenia ułamkowe. Nowy rake zostanie tutaj ujawniony, tak…

Musimy więc dodać dwa wyrażenia ułamkowe:

Musimy sprawić, żeby mianowniki były takie same. I tylko z pomocą mnożenie! To właśnie dyktuje główna właściwość ułamka. Dlatego nie mogę dodać jedynki do X w pierwszym ułamku mianownika. (to byłoby miłe!). Ale jeśli pomnożysz mianowniki, zobaczysz, wszystko rośnie razem! Zapisujemy więc linię ułamka, zostawiamy puste miejsce u góry, następnie dodajemy, a poniżej zapisujemy iloczyn mianowników, żeby nie zapomnieć:

I oczywiście nie mnożymy niczego po prawej stronie, nie otwieramy nawiasów! A teraz, patrząc na wspólny mianownik po prawej stronie, zdajemy sobie sprawę: aby otrzymać mianownik x(x+1) w pierwszym ułamku, należy pomnożyć licznik i mianownik tego ułamka przez (x+1) . A w drugim ułamku - do x. Oto co otrzymujesz:

Notatka! Oto nawiasy! To są grabie, na które nadepnie wiele osób. Oczywiście nie nawiasy, ale ich brak. Nawiasy pojawiają się, ponieważ mnożymy Wszystko licznik i Wszystko mianownik! A nie ich pojedyncze kawałki...

W liczniku prawej strony zapisujemy sumę liczników, wszystko jest jak w ułamkach liczbowych, następnie w liczniku prawej strony otwieramy nawiasy, tj. Wszystko mnożymy i dajemy podobne. Nie ma potrzeby otwierania nawiasów w mianownikach ani niczego mnożyć! Ogólnie rzecz biorąc, w mianownikach (dowolnych) produkt jest zawsze przyjemniejszy! Otrzymujemy:

Więc otrzymaliśmy odpowiedź. Proces wydaje się długi i trudny, ale zależy od praktyki. Kiedy już rozwiążesz przykłady, przyzwyczaisz się do tego, wszystko stanie się proste. Ci, którzy w odpowiednim czasie opanowali ułamki zwykłe, wykonują wszystkie te operacje jedną lewą ręką, automatycznie!

I jeszcze jedna uwaga. Wielu mądrze radzi sobie z ułamkami, ale utknie na przykładach cały liczby. Na przykład: 2 + 1/2 + 3/4 = ? Gdzie zapiąć dwuczęściówkę? Nie musisz go nigdzie mocować, musisz zrobić ułamek z dwóch. To nie jest łatwe, ale bardzo proste! 2=2/1. Lubię to. Każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Licznik to sama liczba, mianownik to jeden. 7 to 7/1, 3 to 3/1 i tak dalej. Podobnie jest z literami. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 itd. A potem pracujemy z tymi ułamkami według wszystkich zasad.

Otóż odświeżono wiedzę o dodawaniu i odejmowaniu ułamków zwykłych. Powtórzono konwersję ułamków z jednego typu na drugi. Możesz też się sprawdzić. Ustalimy to trochę?)

Oblicz:

Odpowiedzi (w nieładzie):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Mnożenie/dzielenie ułamków - na następnej lekcji. Istnieją również zadania dla wszystkich operacji na ułamkach.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Klasa: 5

Prezentacja na lekcję

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji:

Edukacyjny:

usystematyzować wiedzę o ułamkach zwykłych;
powtórz zasady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach;
powtórz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Edukacyjny:

rozwijać uwagę, mowę, pamięć, logiczne myślenie, niezależność.

Edukacyjny:

kultywuj chęć osiągnięcia celu; pewność siebie, umiejętność pracy w zespole.

Wiedzieć: zasady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o takich samych i różnych mianownikach.

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy.

Sprzęt: ekran, multimedia, prezentacja „Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych” (Załącznik nr 1), model ułamka zwykłego (rysunek 1); formularz z testem, tabela odpowiedzi (rysunek 2), emotikony do refleksji (rysunek 3), narysowana choinka (rysunek 4).

NIE.	Etap lekcji	Czas	Zadania sceniczne
1.	Organizowanie czasu.	3 minuty	Przygotuj uczniów do lekcji.
2.	Aktualizowanie wiedzy. Powtórzenie przerabianego materiału.	10 minut.	Przeglądanie ułamków właściwych i niewłaściwych, redukowanie ułamków, sprowadzanie ułamków do nowego mianownika, podkreślanie całej części.
3.	Zastosuj zasady dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.	10 minut.	Zapoznaj się z dodawaniem i odejmowaniem ułamków zwykłych o podobnych mianownikach.
4.	Minuta wychowania fizycznego.	3 minuty	Złagodź zmęczenie dziecka, zapewnij aktywny wypoczynek i zwiększ wydajność umysłową uczniów.
5.	Stosowanie zasad dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach.	13 minut	Zapoznaj się z dodawaniem i odejmowaniem ułamków zwykłych o różnych mianownikach.
6.	Praca domowa.	2 minuty.	Instrukcja pracy domowej.
7.	Podsumowanie lekcji.	4 minuty	Podsumowując. Cieniowanie. Odbicie.

Podczas zajęć

1). Organizowanie czasu.

- „Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych”.

Proponuje się sformułowanie celów i zadań lekcji, które są formułowane w trakcie dyskusji (nauczyciel może je zapisać na tablicy).

2). Aktualizowanie wiedzy. Powtórzenie przerabianego materiału. (Slajd nr 1).

a) Dziś lekcję rozpoczniemy aukcją. Dostępna jest tylko jedna partia: „ułamek zwykły” (obrazek 1). Przypomnijmy, co wiemy o ułamkach zwykłych:

Licznik ułamka;

Mianownik;

Pasek ułamkowy - dzielenie;

NA B dzielimy części, bierzemy A takie części;

Prawidłowy;

Błędny;

Wybierz całą część;

Zmniejszyć;

Zmniejsz do nowego mianownika;

Przykłady.

Kto ostatni mówił o ułamku zwykłym, otrzymuje model ułamka zwykłego.

B) Ugruntujmy swoją wiedzę rozwiązując test(formularz odpowiedzi, zadanie nr 1, slajd nr 2).

TEST

1. Znajdź właściwy ułamek:

A); B) ; W) .

2. Znajdź ułamek niewłaściwy:

A); B) ; W) .

3. Zmniejsz ułamek:

A); B) ; W) .

4. Zmniejsz ułamek do mianownika 28:

A); B) ; W) .

5. Wybierz całą część:

A); B) ; W) .

Odpowiedzi wpisuje się do tabeli.

1 2 3 4 5

Podsumować:

5 „+” znak 5,
4 znak „+” 4,
3 znak „+” 3.

3).Stosowanie zasad dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o jednakowych mianownikach.

Jakie ułamki zwykłe możemy dodać?

Ułamki o podobnych i różnych mianownikach (slajd nr 3).

Powtórzmy dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.

Aby dodać dwa ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik odjemnej strony od licznika odjemnej i pozostawić mianownik bez zmian.

Ugruntujmy wiedzę w praktyce.

Uczniowie proszeni są o ustne obliczenie przykładów i zapisanie odpowiedzi na karcie odpowiedzi do zadania nr 2.

Wymieniaj się notesami i przeprowadzaj wzajemne kontrole.

Podsumować:

9-8 „+” znak 5,
7-6 „+” znak 4,
5 znak „+” 3.

4). Minuta wychowania fizycznego.

5). Stosowanie zasad dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach.

Dodaliśmy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach. Co należy zrobić, aby dodać ułamki zwykłe o różnych mianownikach?(slajd nr 4).

Aby dodawać i odejmować ułamki o różnych mianownikach, musisz sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, znajdując dodatkowe czynniki. Wykonuj dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach.

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje dodawania ułamków:

Dodawanie ułamków o podobnych mianownikach
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się dodawania ułamków zwykłych o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodaj liczniki, a mianownik pozostaw bez zmian:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2. Dodaj ułamki i .

Odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Kiedy nadchodzi koniec zadania, zwyczajowo pozbywamy się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać całą jego część. W naszym przypadku całą część można łatwo wyizolować – dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę podzieloną na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizzy do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 4. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy i dodasz więcej pizzy, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizzy.

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w dodawaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, należy dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczmy się dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można od razu dodać, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów redukcji ułamków zwykłych do tego samego mianownika. Dzisiaj przyjrzymy się tylko jednemu z nich, ponieważ inne metody mogą wydawać się początkującemu skomplikowane.

Istota tej metody polega na tym, że w pierwszej kolejności przeszukiwane jest LCM mianowników obu ułamków. LCM jest następnie dzielona przez mianownik pierwszego ułamka, aby uzyskać pierwszy dodatkowy współczynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik.

Liczniki i mianowniki ułamków są następnie mnożone przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodajmy ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i . Najpierw podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskaj pierwszy dodatkowy współczynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 6 przez 3, otrzymujemy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, narysuj małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisz znajdujący się nad nią dodatkowy współczynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 6 przez 2, otrzymujemy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym mnożnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie robimy małą ukośną linię nad drugim ułamkiem i zapisujemy dodatkowy czynnik znajdujący się nad nim:

Teraz mamy wszystko gotowe do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy jak dodawać takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

To kończy przykład. Okazuje się, że należy dodać.

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Redukując ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery części z sześciu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy części z sześciu). Dodając te kawałki otrzymamy (siedem kawałków z sześciu). Ten ułamek jest niewłaściwy, więc podkreśliliśmy całą jego część. W rezultacie otrzymaliśmy (całą pizzę i kolejną szóstą pizzę).

Należy pamiętać, że opisaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie jest zwyczajowo pisać tak szczegółowo. Musisz umieć szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych czynników do nich, a także szybko pomnożyć znalezione dodatkowe czynniki przez swoje liczniki i mianowniki. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy zapisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeżeli na pierwszych etapach nauki matematyki nie będziemy robić szczegółowych notatek, wówczas zaczną pojawiać się tego typu pytania. „Skąd taka liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z poniższych instrukcji krok po kroku:

Znajdź LCM mianowników ułamków;
Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka;
Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki;
Dodaj ułamki o tych samych mianownikach;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jej część;

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji podanych powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzieląc 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy to nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe współczynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez ich dodatkowe współczynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje tylko dodać te frakcje. Dodaj go:

Dodatek nie zmieścił się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. Jest to dozwolone w matematyce. Jeżeli wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest ono przenoszone do następnego wiersza, przy czym należy postawić znak równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugiej linii oznacza, że jest to kontynuacja wyrażenia z pierwszej linii.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, zaznacz całą jej część

Nasza odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym. Musimy podkreślić całą jego część. Wyróżniamy:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków zwykłych:

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka, ale mianownik pozostawić bez zmian.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian. Zróbmy to:

Przykład ten można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na cztery części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia.

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli przypomnimy sobie pizzę, która jest podzielona na trzy części. Jeśli wytniesz pizzę z pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

Aby odjąć inny od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian;
Jeśli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, musisz zaznaczyć całą jej część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład możesz odjąć ułamek od ułamka, ponieważ ułamki mają te same mianowniki. Ale nie można odjąć ułamka od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajdujemy przy użyciu tej samej zasady, której używaliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad pierwszym ułamkiem. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy współczynnik, który zapisuje się nad drugim ułamkiem.

Następnie ułamki mnoży się przez ich dodatkowe współczynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniane są na ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Ułamki te mają różne mianowniki, dlatego należy je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków zwykłych i

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 12 przez 3, otrzymamy 4. Napisz cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz trójkę nad drugim ułamkiem:

Teraz jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Przejdźmy do końca ten przykład:

Otrzymaliśmy odpowiedź

Spróbujmy zobrazować nasze rozwiązanie za pomocą rysunku. Jeśli odetniesz pizzę od pizzy, otrzymasz pizzę

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Gdybyśmy byli w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład krócej. Takie rozwiązanie wyglądałoby następująco:

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymaliśmy ułamki i . Ułamki te będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwsze zdjęcie przedstawia ułamek (osiem części z dwunastu), a drugie zdjęcie przedstawia ułamek (trzy części z dwunastu). Przecinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć części.

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Ułamki te mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdźmy LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb to 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe współczynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, podziel LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy współczynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy współczynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy współczynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy współczynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy współczynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe współczynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I już wiemy, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc kontynuację przenosimy do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest zbyt kłopotliwe i brzydkie. Powinniśmy to uprościć. Co można zrobić? Możesz skrócić ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, należy podzielić jego licznik i mianownik przez (NWD) liczby 20 i 30.

Znajdujemy więc gcd liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony gcd, czyli przez 10

Otrzymaliśmy odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, należy pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Nagranie można rozumieć jako trwające połowę czasu. Na przykład, jeśli raz zjesz pizzę, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie zostanie zapisane jako , wówczas iloczyn będzie nadal równy . Ponownie zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka działa:

Zapis ten można rozumieć jako branie połowy jednego. Przykładowo, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako branie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz 4 pizze, otrzymasz dwie całe pizze

A jeśli zamienimy mnożną i mnożnikiem, otrzymamy wyrażenie . Będzie ono również równe 2. Wyrażenie to można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Liczbę mnożoną przez ułamek i mianownik ułamka rozwiązuje się, jeśli mają wspólny czynnik większy niż jeden.

Na przykład wyrażenie można ocenić na dwa sposoby.

Pierwszy sposób. Pomnóż liczbę 4 przez licznik ułamka, a mianownik ułamka pozostaw bez zmian:

Drugi sposób. Czwórkę mnożoną i czwórkę w mianowniku ułamka można zmniejszyć. Te czwórki można zmniejszyć o 4, ponieważ największym wspólnym dzielnikiem dwóch czwórek jest sama czwórka:

Otrzymaliśmy ten sam wynik 3. Po zredukowaniu czwórek w ich miejsce powstają nowe liczby: dwie jedyneki. Ale pomnożenie jednego przez trzy, a następnie podzielenie przez jeden niczego nie zmienia. Dlatego rozwiązanie można zapisać krótko:

Redukcję można przeprowadzić nawet wtedy, gdy zdecydowaliśmy się na pierwszą metodę, ale na etapie mnożenia liczby 4 i licznika 3 zdecydowaliśmy się na redukcję:

Ale na przykład wyrażenie można obliczyć tylko w pierwszy sposób - pomnóż 7 przez mianownik ułamka i pozostaw mianownik bez zmian:

Wynika to z faktu, że liczba 7 i mianownik ułamka nie mają wspólnego dzielnika większego niż jeden i odpowiednio nie znoszą się.

Niektórzy uczniowie błędnie skracają mnożoną liczbę i licznik ułamka. Nie możesz tego zrobić. Na przykład następujący wpis jest nieprawidłowy:

Zmniejszenie ułamka oznacza to zarówno licznik, jak i mianownik zostanie podzielony przez tę samą liczbę. W sytuacji z wyrażeniem dzielenie odbywa się tylko w liczniku, gdyż zapisanie tego jest równoznaczne z zapisaniem . Widzimy, że dzielenie odbywa się tylko w liczniku, a dzielenie nie następuje w mianowniku.

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeżeli odpowiedź okaże się ułamkiem niewłaściwym, należy zaznaczyć całą jej część.

Przykład 1. Znajdź wartość wyrażenia.

Otrzymaliśmy odpowiedź. Wskazane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie będzie miało następującą postać:

Wyrażenie to można rozumieć jako oddzielenie pizzy od połowy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wyciągnąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Zrobimy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o pizzy tej samej wielkości. Zatem wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią był ułamek niewłaściwy. Podkreślmy całą jego część:

Przykład 3. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się ułamkiem zwykłym, ale dobrze by było, gdyby została skrócona. Aby skrócić ten ułamek, należy podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc gcd liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi przez znaleziony teraz gcd, czyli przez 15

Przedstawianie liczby całkowitej w postaci ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Nie zmieni to znaczenia pięciu, ponieważ wyrażenie to oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiemy, równa się pięć:

Liczby wzajemne

Teraz zapoznamy się z bardzo interesującym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwrotnymi”.

Definicja. Odwróć numerA to liczba, która po pomnożeniu przezA daje jeden.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć numer 5 to liczba, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden.

Czy można znaleźć liczbę, która pomnożona przez 5 daje jeden? Okazuje się, że jest to możliwe. Wyobraźmy sobie pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik z mianownikiem. Inaczej mówiąc, pomnóżmy ułamek sam, tylko do góry nogami:

Co się stanie w rezultacie tego? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotnością liczby 5 jest liczba , ponieważ gdy pomnożysz 5 przez, otrzymasz jeden.

Odwrotność liczby można znaleźć także dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, po prostu odwróć go.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo pomiędzy dwa. Ile pizzy dostanie każda osoba?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwie równe części, z których każda stanowi pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

W tej lekcji omówimy dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe o podobnych mianownikach. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Nauka pracy z ułamkami zwykłymi o podobnych mianownikach jest jednym z kamieni węgielnych nauki pracy z ułamkami algebraicznymi. W szczególności zrozumienie tego tematu ułatwi opanowanie bardziej złożonego tematu - dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o podobnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów

Zasada dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o takich samych mianownikach

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ułamki od jeden na ciebie -mi know-me-na-te-la-mi (zbiega się to z analogiczną zasadą dla zwykłych uderzeń strzałowych): czyli do dodawania lub obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih z jeden do ciebie know-me-on-the-la-mi konieczne -ho-di-mo-kompiluj odpowiednią al-geb-ra-i-che-sumę liczb, a znak-me-na-tel wyjdź bez żadnych.

Rozumiemy tę zasadę zarówno na przykładzie zwykłych losowań ven, jak i na przykładzie losowań al-geb-ra-i-che.hit.

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków zwykłych

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Dodajmy liczbę ułamków i zostawmy znak bez zmian. Następnie rozkładamy liczbę i podpisujemy na proste wielokrotności i kombinacje. Chodźmy po to: .

Uwaga: standardowy błąd dozwolony przy rozwiązywaniu podobnych typów przykładów dla -klu-cha-et-sya w następującym możliwym rozwiązaniu: . Jest to rażący błąd, ponieważ znak pozostaje taki sam, jak w pierwotnych ułamkach.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie

Ten nie różni się niczym od poprzedniego: .

Przykłady zastosowania reguły dla ułamków algebraicznych

Od zwykłych dro-beatów przechodzimy do al-geb-ra-i-che-skim.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie: jak już wspomniano powyżej, skład frakcji al-geb-ra-i-che w niczym nie różni się od słowa to samo, co zwykłe strzelaniny. Dlatego metoda rozwiązania jest taka sama: .

Przykład 4. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie

You-chi-ta-nie frakcji al-geb-ra-i-che-skih z dodawania tylko przez fakt, że w liczbie pi-sy-va-et-sya różnica w liczbie użytych frakcji. Dlatego .

Przykład 5. Jesteś ułamkiem: .

Rozwiązanie: .

Przykład 6. Uprość: .

Rozwiązanie: .

Przykłady zastosowania reguły, po której następuje redukcja

W ułamku, który w wyniku składania lub obliczania ma to samo znaczenie, możliwe są kombinacje nia. Ponadto nie należy zapominać o ODZ frakcji al-geb-ra-i-che-skih.

Przykład 7. Uprość: .

Rozwiązanie: .

W której . Ogólnie rzecz biorąc, jeśli ODZ początkowych ułamków pokrywa się z ODZ całości, to można go pominąć (w końcu ułamek będący w odpowiedzi również nie będzie istniał z odpowiednimi znaczącymi zmianami). Jeśli jednak ODZ użytych frakcji i odpowiedź nie są zgodne, należy wskazać ODZ.

Przykład 8. Uprość: .

Rozwiązanie: . Jednocześnie y (ODZ frakcji początkowych nie pokrywa się z ODZ wyniku).

Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Aby dodać i odczytać ułamki al-geb-ra-i-che z różnymi know-me-on-la-mi, wykonujemy ana-lo -giyu z ułamkami zwykłymi-ven-ny i przenosimy je do al-geb -ra-i-che-ułamki.

Spójrzmy na najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadach dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamek należy doprowadzić go do wspólnego znaku. W roli znaku ogólnego dla ułamków zwykłych działasz najmniejsza wspólna wielokrotność(NOK) znaki początkowe.

Definicja

Najmniejsza liczba, która jest jednocześnie podzielona na liczby i.

Aby znaleźć NOC, należy rozbić wiedzę na proste zbiory, a następnie wybrać wszystko, czego jest wiele, co wchodzi w zakres podziału obu znaków.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wiedzy ogólnej konieczne jest, aby każdy z ułamków znalazł pełnego rezydenta krotności (w rzeczywistości wylał wspólny znak na znak odpowiedniego ułamka).

Następnie każdy ułamek jest mnożony przez półpełny współczynnik. Znajdźmy ułamki zwykłe od tych samych, które znasz, dodaj je i odczytaj.-uczyliśmy się na poprzednich lekcjach.

Jedzmy: .

Odpowiedź:.

Przyjrzyjmy się teraz składowi ułamków al-geb-ra-i-che o różnych znakach. Teraz spójrzmy na ułamki i zobaczmy, czy są jakieś liczby.

Dodawanie i odejmowanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Al-go-rytm decyzji abs-so-lyut-ale ana-lo-gi-chen do poprzedniego przykładu. Łatwo jest wziąć wspólny znak danych ułamków: i dodatkowe mnożniki dla każdego z nich.

Odpowiedź:.

A więc formujmy al-go-rytm dodawania i obliczania ułamków al-geb-ra-i-che-skih o różnych znakach:

1. Znajdź najmniejszy wspólny znak ułamka.

2. Znajdź dodatkowe mnożniki dla każdego z ułamków (w rzeczywistości podany jest wspólny znak znaku -ty ułamek).

3. Liczby do wielu na odpowiadających im wielokrotnościach do pełnych.

4. Dodawaj lub obliczaj ułamki, korzystając z zasad łączenia i obliczania ułamków, mając tę samą wiedzę -me-na-te-la-mi.

Spójrzmy teraz na przykład z ułamkami zwykłymi, w znaku których znajdują się litery ty -nia.