Diferencijuojamos funkcijos grafiko taškai. Funkcijų diferencijavimas. Funkcijos, turinčios išvestinę, tęstinumas. Teorema

Straipsnio turinys

IŠVEDINĖ VEIKLA– funkcijos išvestinė y = f(x), duota tam tikru intervalu ( a, b) taške xŠis intervalas vadinamas riba, iki kurios linksta funkcijos prieaugio santykis fšiuo metu į atitinkamą argumento prieaugį, kai argumento padidėjimas linkęs į nulį.

Išvestinė paprastai žymima taip:

Kiti pavadinimai taip pat plačiai naudojami:

Momentinis greitis.

Tegul taškas M juda tiesia linija. Atstumas s judantis taškas, skaičiuojamas nuo tam tikros pradinės padėties M 0 , priklauso nuo laiko t, t.y. s yra laiko funkcija t: s= f(t). Leiskite tam tikru momentu t judantis taškas M buvo per atstumą s nuo pradinės padėties M 0, o kitą akimirką t+D t atsidūrė tokioje padėtyje M 1 - per atstumą s+D s iš pradinės padėties ( žr. pav.).

Taigi per tam tikrą laiką D t atstumas s pakeista suma D s. Šiuo atveju jie sako, kad per laiko intervalą D t dydžio s gavo priedą D s.

Vidutinis greitis negali visais atvejais tiksliai apibūdinti taško judėjimo greičio M tam tikru momentu t. Jei, pavyzdžiui, kūnas intervalo D pradžioje t judėjo labai greitai, o pabaigoje labai lėtai, tada vidutinis greitis negalės atspindėti nurodytų taško judėjimo ypatybių ir pateikti supratimo apie tikrąjį jo judėjimo greitį šiuo metu t. Norint tiksliau išreikšti tikrąjį greitį naudojant vidutinį greitį, reikia skirti trumpesnį laiko tarpą D t. Labiausiai apibūdina taško judėjimo greitį šiuo metu t riba, iki kurios vidutinis greitis linkęs ties D t® 0. Ši riba vadinama dabartiniu greičiu:

Taigi judėjimo greitis tam tikru momentu vadinamas kelio prieaugio santykio D riba s prie laiko padidėjimo D t, kai laiko padidėjimas linkęs nulį. Nes

Geometrinė išvestinės reikšmė. Funkcijos grafiko liestinė.

Liečiamųjų linijų konstravimas yra viena iš tų problemų, dėl kurių atsirado diferencialinis skaičiavimas. Pirmasis publikuotas darbas, susijęs su diferencialiniu skaičiavimu, kurį parašė Leibnicas, buvo pavadintas Naujas maksimumų ir minimumų, taip pat liestinių, kuriems nei trupmeniniai, nei neracionalūs dydžiai nėra kliūtis, metodas ir specialus skaičiavimo tipas..

Tegul kreivė yra funkcijos grafikas y =f(x) stačiakampėje koordinačių sistemoje ( cm. ryžiai.).

Tam tikra verte x svarbu funkcija y =f(x). Šios vertybės x Ir y kreivės taškas atitinka M 0(x, y). Jei argumentas x duoti padidėjimas D x, tada nauja argumento reikšmė x+D x atitinka naują funkcijos reikšmę y+ D y = f(x + D x). Atitinkamas kreivės taškas bus taškas M 1(x+D x,y+D y). Jei nupiešite sekantą M 0M 1 ir žymimas j kampas, sudarytas skersinio su teigiama ašies kryptimi Jautis, iš paveikslo iš karto matyti, kad .

Jei dabar D x linkęs į nulį, tada taškas M 1 juda išilgai kreivės, artėdamas prie taško M 0 ir kampas j keičiasi su D x. At Dx® 0 kampas j linkęs į tam tikrą ribą a ir tiesė, einanti per tašką M 0, o dedamoji su teigiama x ašies kryptimi, kampas a, bus norima liestinė. Jo nuolydis yra:

Vadinasi, f´( x) = tga

tie. išvestinė vertė f´( x) nurodytai argumento vertei x lygus funkcijos grafiko liestinės suformuoto kampo tangentei f(x) atitinkamame taške M 0(x,y) su teigiama ašies kryptimi Jautis.

Funkcijų diferencijavimas.

Apibrėžimas. Jei funkcija y = f(x) turi išvestinę taške x = x 0, tada funkcija šiuo metu yra diferencijuojama.

Funkcijos, turinčios išvestinę, tęstinumas. Teorema.

Jei funkcija y = f(x) tam tikru momentu skiriasi x = x 0, tada šiame taške jis yra tęstinis.

Taigi funkcija negali turėti išvestinės nutrūkimo taškuose. Priešinga išvada yra neteisinga, t.y. nuo to, kad tam tikru momentu x = x 0 funkcija y = f(x) yra tęstinis, nereiškia, kad šiuo metu jis skiriasi. Pavyzdžiui, funkcija y = |x| nuolatinis visiems x(–Ґ x x = 0 neturi išvestinės. Šiuo metu grafiko liestinės nėra. Yra dešinioji ir kairioji, bet jos nesutampa.

Kai kurios diferencijuojamųjų funkcijų teoremos. Teorema apie išvestinės šaknis (Rolle teorema). Jei funkcija f(x) yra ištisinis segmente [a,b], skiriasi visuose šio segmento vidaus taškuose ir galuose x = a Ir x = b eina į nulį ( f(a) = f(b) = 0), tada segmento [ a,b] yra bent vienas taškas x= Su, a c b, kuriame išvestinė fў( x) eina į nulį, t.y. fў( c) = 0.

Baigtinio prieaugio teorema (Lagranžo teorema). Jei funkcija f(x) yra tęstinis intervale [ a, b] ir skiriasi visuose vidiniuose šio segmento taškuose, tada segmento viduje [ a, b] yra bent vienas taškas Su, a c b tai

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Dviejų funkcijų prieaugių santykio teorema (Koši teorema). Jeigu f(x) Ir g(x) – segmente ištisinės dvi funkcijos [a, b] ir skiriasi visuose šio segmento vidaus taškuose, ir gў( x) niekur neišnyksta šiame segmente, tada segmento viduje [ a, b] yra toks punktas x = Su, a c b tai

Įvairių užsakymų dariniai.

Tegul funkcija y =f(x) yra diferencijuojamas tam tikru intervalu [ a, b]. Išvestinės vertės f ў( x), paprastai kalbant, priklauso nuo x, t.y. išvestinė f ў( x) taip pat yra funkcija x. Diferencijuodami šią funkciją gauname vadinamąją antrąją funkcijos išvestinę f(x), kuris yra pažymėtas f ўў ( x).

Darinys n- funkcijų tvarka f(x) vadinamas (pirmosios eilės) išvestiniu n- 1- ir žymimas simboliu y(n) = (y(n– 1))ў.

Įvairių užsakymų skirtumai.

Funkcinis diferencialas y = f(x), kur x– nepriklausomas kintamasis, taip dy = f ў( x)dx, kai kurios funkcijos iš x, bet nuo x gali priklausyti tik pirmasis veiksnys f ў( x), antrasis veiksnys ( dx) yra nepriklausomo kintamojo prieaugis x ir nepriklauso nuo šio kintamojo reikšmės. Nes dy yra funkcija nuo x, tada galime nustatyti šios funkcijos skirtumą. Funkcijos diferencialo diferencialas vadinamas antruoju šios funkcijos diferencialu arba antros eilės diferencialu ir žymimas d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencialinis n- pirmos eilės yra vadinamas pirmuoju diferencialo diferencialu n- 1- užsakymas:

d n m = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Dalinė išvestinė.

Jei funkcija priklauso ne nuo vieno, o nuo kelių argumentų x i(i svyruoja nuo 1 iki n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada diferencialiniame skaičiavime įvedama dalinės išvestinės sąvoka, apibūdinanti kelių kintamųjų funkcijos kitimo greitį, kai keičiasi tik vienas argumentas, pvz. x i. 1 eilės dalinė išvestinė atžvilgiu x i apibrėžiamas kaip įprasta išvestinė, ir daroma prielaida, kad visi argumentai, išskyrus x i, išlaikyti pastovias vertes. Daliniams išvestiniams įvedamas žymėjimas

Taip apibrėžtos 1-osios eilės dalinės išvestinės (kaip tų pačių argumentų funkcijos) savo ruožtu gali turėti ir dalines išvestines, tai yra antros eilės dalinės išvestinės ir pan. Tokios išvestinės, paimtos iš skirtingų argumentų, vadinamos mišriomis. Tos pačios eilės ištisiniai mišrūs dariniai nepriklauso nuo diferenciacijos eilės ir yra lygūs vienas kitam.

Anna Chugainova

Darinys funkcijas taške vadinama funkcijos prieaugio santykio su argumento prieaugio riba, su sąlyga, kad jis linkęs į nulį.

Pagrindinės darinio radimo taisyklės

Jei - ir - yra diferencijuojamos funkcijos taške , (t. y. funkcijos, kurios taške turi išvestines), tada:

4) .

Pagrindinių funkcijų išvestinių lentelė

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Sudėtingos funkcijos atskyrimo taisyklė. Jei ir , t.y. , kur ir turi išvestines, tada

Funkcijos, nurodytos parametriškai, diferenciacija. Tegul kintamojo priklausomybė nuo kintamojo parametriškai nurodoma naudojant parametrą:

3 užduotis. Raskite šių funkcijų išvestinius.

1)

Sprendimas. Taikant 2 taisyklę išvestinėms rasti ir išvestinių lentelės 1 ir 2 formulėms, gauname:

Sprendimas. Taikydami 4 taisyklę išvestinėms rasti ir išvestinių lentelės 1 ir 13 formules, gauname:

.

Sprendimas. Taikydami 3 išvestinių išvestinių radimo taisyklę ir išvestinių lentelės 5 ir 11 formules, gauname:

Sprendimas. Darant prielaidą , kur , pagal formulę sudėtingos funkcijos išvestinei rasti, gauname:

Sprendimas. Turime: Tada pagal parametriškai nurodytos funkcijos išvestinės radimo formulę gauname:

4. Aukštesnės eilės išvestinės priemonės. L'Hopital taisyklė.

Antros eilės funkcijos išvestinė vadinamas jo vedinio vediniu, t.y. . Antrajai išvestinei naudojami šie žymėjimai: arba , arba .

Funkcijos 1 eilės išvestinė vadinamas jo trečiosios eilės vediniu. Tosios eilės išvestinei naudojami šie žymėjimai: arba , arba .

L'Hopital taisyklė. Tegul funkcijos ir yra diferencijuojamos taško kaimynystėje ir išvestinė neišnyksta. Jei funkcijos ir tuo pačiu metu yra be galo mažos arba be galo didelės ir yra santykio riba, tada yra ir santykio riba. Be to

.

Taisyklė galioja ir tada, kai.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais, atskleidus neapibrėžtumus, tipo arba gali tekti pakartotinai taikyti L'Hopital taisyklę.

Tipo neapibrėžtumas ir kt. elementariųjų transformacijų pagalba jas nesunkiai galima redukuoti iki formos ar .

4 užduotis. Raskite ribą naudodami L'Hopital taisyklę.

SprendimasČia mes turime formos neapibrėžtumą, nes adresu . Taikykime L'Hopital taisyklę:

.

Pritaikę L'Hopital taisyklę vėl gavome formos neapibrėžtumą, nes adresu . Dar kartą pritaikę L'Hopital taisyklę, gauname:

.

5. Funkcijų tyrimas

a) Didėjančios ir mažėjančios funkcijos

Funkcija vadinama didėja segmente , Jei bet kokių taškų ir iš segmento , Kur , Nelygybė turi. Jei funkcija yra nuolatinė intervale ir , tada ji didėja intervale.

Funkcija vadinama mažėja segmente , Jei bet kokių taškų ir iš segmento , Kur , Nelygybė turi. Jei funkcija yra nuolatinė intervale ir , tada ji mažėja intervale.

Jei funkcija tik didėja arba tik mažėja tam tikru intervalu, tada ji vadinama monotoniškas ant intervalo.

b) Funkcijų ekstremumai

minimalus taškas funkcijas .

Jei yra taško kaimynystė taip, kad visuose taškuose iš šios apylinkės galiotų nelygybė, tada taškas vadinamas maksimalus taškas funkcijas .

Funkcijos maksimalus ir minimalus taškai vadinami jos ekstremalūs taškai.

Taškas vadinamas stacionarus taškas, jei neegzistuoja.

Jei yra nejudančio taško kaimynystė, kad ir už , Tada yra didžiausias funkcijos taškas.

Jei yra nejudančio taško kaimynystė, kad už ir už , Tada funkcijos mažiausias taškas .

a) Išgaubta kryptis. Posūkio taškai

išgaubtas aukštyn ant intervalo , jei jis yra žemiau funkcijos grafiko liestinės bet kuriame šio intervalo taške.

Pakankama intervalo funkcijos grafiko išgaubimo į viršų sąlyga yra bet kurio nagrinėjamo intervalo nelygybės išsipildymas.

Diferencijuojamos funkcijos grafikas vadinamas išgaubtas žemyn ant intervalo , jei jis yra virš funkcijos grafiko liestinės bet kuriame šio intervalo taške.

Pakankama intervalo funkcijos grafiko išgaubimo žemyn sąlyga yra bet kurio nagrinėjamo intervalo nelygybės išsipildymas.

Taškas, kuriame keičiasi funkcijos grafiko išgaubimo kryptis, vadinamas Vingio taškas.

Taškas, kuriame arba neegzistuoja, yra vingio taško abscisė, jei ženklai kairėje ir dešinėje nuo jo skiriasi.

d) Asimptotės

Jei atstumas nuo funkcijos grafiko taško iki tam tikros tiesės linkęs į nulį, kai taškas be galo tolsta nuo pradžios, tai tiesė vadinama funkcijos grafiko asimptote.

Jei yra toks skaičius, kad , tada eilutė yra vertikali asimptota.

Jei yra ribos , tada linija yra įstrižinė (horizontali ties k=0) asimptotė.

e) Bendras funkcijos tyrimas

1. Funkcijų sritis

2. Grafiko susikirtimo su koordinačių ašimis taškai

3. Tęstinumo, lyginio/nelyginio ir periodiškumo funkcijos tyrimas

4. Funkcijos monotoniškumo intervalai

5. Funkcijos ekstremalieji taškai

6. Funkcijos grafiko išgaubtumo intervalai ir vingio taškai

7. Funkcijos grafiko asimptotės

8. Funkcijų grafikas.

5 užduotis. Ištirkite funkciją ir sukurkite jos grafiką.

Sprendimas. 1) Funkcija apibrėžta visoje skaičių eilutėje, išskyrus tašką, kuriame trupmenos vardiklis eina į nulį. . Mes turime: nepriklauso šios funkcijos apibrėžimo sričiai. Vadinasi, stacionarūs šios funkcijos taškai yra taškai, kurių vertė yra mažiausia (kaip parodyta paveikslėlyje).

8) Naudodamiesi gautais duomenimis, sukurkime pradinės funkcijos grafiką: