ქულები დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკზე. ფუნქციების დიფერენცირება. წარმოებულის მქონე ფუნქციის უწყვეტობა. თეორემა

სტატიის შინაარსი

წარმოებული– ფუნქციის წარმოებული წ = ვ(x), მოცემული გარკვეული ინტერვალით ( ა, ბ) წერტილში xამ ინტერვალის ეწოდება ზღვარი, რომლისკენაც მიდრეკილია ფუნქციის ზრდის შეფარდება ვამ ეტაპზე არგუმენტის შესაბამის ზრდამდე, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის.

წარმოებული ჩვეულებრივ აღინიშნება შემდეგნაირად:

სხვა აღნიშვნები ასევე ფართოდ გამოიყენება:

მყისიერი სიჩქარე.

დაუშვით წერტილი მმოძრაობს სწორი ხაზით. მანძილი სმოძრავი წერტილი, დათვლილი საწყისი პოზიციიდან მ 0 , დროზეა დამოკიდებული ტ, ე.ი. სარის დროის ფუნქცია ტ: ს= ვ(ტ). მოდით რაღაც მომენტში ტმოძრავი წერტილი მდისტანციაზე იყო სსაწყისი პოზიციიდან მ 0 და შემდეგ მომენტში ტ+D ტპოზიციაში აღმოჩნდა მ 1 - დისტანციაზე ს+D სსაწყისი პოზიციიდან ( იხილეთ სურათი.).

ამრიგად, გარკვეული პერიოდის განმავლობაში დ ტმანძილი სშეიცვალა ოდენობით D ს. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ დროის ინტერვალის დროს დ ტსიდიდე სმიიღო დანამატი D ს.

საშუალო სიჩქარე ყველა შემთხვევაში ზუსტად ვერ ახასიათებს წერტილის მოძრაობის სიჩქარეს მდროის მომენტში ტ. თუ, მაგალითად, სხეული D ინტერვალის დასაწყისში ტმოძრაობს ძალიან სწრაფად და ბოლოს ძალიან ნელა, მაშინ საშუალო სიჩქარე ვერ ასახავს წერტილის მოძრაობის მითითებულ მახასიათებლებს და წარმოდგენას მისცეს მისი მოძრაობის ნამდვილ სიჩქარეზე იმ მომენტში. ტ. საშუალო სიჩქარის გამოყენებით ნამდვილი სიჩქარის უფრო ზუსტად გამოსახატავად, საჭიროა უფრო მოკლე დრო D ტ. ყველაზე სრულად ახასიათებს წერტილის მოძრაობის სიჩქარე მომენტში ტზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის საშუალო სიჩქარე D ტ® 0. ამ ზღვარს ეწოდება მიმდინარე სიჩქარე:

ამრიგად, მოძრაობის სიჩქარეს მოცემულ მომენტში ეწოდება ბილიკის ზრდის კოეფიციენტის ზღვარი D სდროში მატება D ტ, როდესაც დროის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის. იმიტომ რომ

წარმოებულის გეომეტრიული მნიშვნელობა. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტი.

ტანგენტური ხაზების აგება ერთ-ერთი იმ პრობლემათაგანია, რამაც გამოიწვია დიფერენციალური გამოთვლების დაბადება. პირველი გამოქვეყნებული ნაშრომი, რომელიც დაკავშირებულია დიფერენციალურ გამოთვლებთან, ლაიბნიცის მიერ დაწერილი იყო მაქსიმალური და მინიმუმების, ასევე ტანგენტების ახალი მეთოდი, რომლისთვისაც არც წილადი და არც ირაციონალური სიდიდეები არ არის დაბრკოლება და ამისათვის სპეციალური ტიპის გამოთვლაა..

მრუდი იყოს ფუნქციის გრაფიკი წ =ვ(xმართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში ( სმ. ბრინჯი.).

რაღაც ღირებულებით xფუნქციას აქვს მნიშვნელობა წ =ვ(x). ეს ღირებულებები xდა წმრუდის წერტილი შეესაბამება მ 0(x, წ). თუ არგუმენტი xმისცეს მატება D x, შემდეგ არგუმენტის ახალი მნიშვნელობა x+D xშეესაბამება ახალ ფუნქციის მნიშვნელობას y+დ წ = ვ(x + დ x). მრუდის შესაბამისი წერტილი იქნება წერტილი მ 1(x+D x,წ+D წ). თუ დახატავ სეკანტს მ 0მ 1 და აღინიშნება j-ით ღერძის დადებითი მიმართულების განივი კუთხის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ოქსი, ნახაზიდან მაშინვე ირკვევა, რომ .

თუ ახლა დ xმიდრეკილია ნულისკენ, შემდეგ წერტილისკენ მ 1 მოძრაობს მრუდის გასწვრივ, უახლოვდება წერტილს მ 0 და კუთხე ჯ იცვლება დ x. ზე Dx® 0 კუთხე j მიდრეკილია გარკვეულ ზღვარზე a და სწორი ხაზისკენ, რომელიც გადის წერტილში მ 0 და x ღერძის დადებითი მიმართულების კომპონენტი, a კუთხე იქნება სასურველი ტანგენსი. მისი ფერდობია:

აქედან გამომდინარე, ვ´( x) = ტგა

იმათ. წარმოებული ღირებულება ვ´( x) მოცემული არგუმენტის მნიშვნელობისთვის xუდრის ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენტის მიერ წარმოქმნილი კუთხის ტანგენტს ვ(x) შესაბამის წერტილში მ 0(x,წ) დადებითი ღერძის მიმართულებით ოქსი.

ფუნქციების დიფერენციალურობა.

განმარტება. თუ ფუნქცია წ = ვ(x) აქვს წარმოებული წერტილში x = x 0, მაშინ ფუნქცია ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია.

წარმოებულის მქონე ფუნქციის უწყვეტობა. თეორემა.

თუ ფუნქცია წ = ვ(x) რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია x = x 0, მაშინ ის უწყვეტია ამ ეტაპზე.

ამრიგად, ფუნქციას არ შეიძლება ჰქონდეს წარმოებული უწყვეტობის წერტილებში. საპირისპირო დასკვნა არასწორია, ე.ი. იქიდან, რომ რაღაც მომენტში x = x 0 ფუნქცია წ = ვ(x) არის უწყვეტი, ეს არ ნიშნავს რომ ის ამ ეტაპზე დიფერენცირებადია. მაგალითად, ფუნქცია წ = |x| უწყვეტი ყველასთვის x(–Ґ x x = 0-ს არ აქვს წარმოებული. ამ ეტაპზე არ არის ტანგენსი გრაფიკზე. არის მარჯვენა და მარცხენა ტანგენსი, მაგრამ ისინი არ ემთხვევა ერთმანეთს.

ზოგიერთი თეორემა დიფერენცირებადი ფუნქციების შესახებ. თეორემა წარმოებულის ფესვებზე (როლის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) უწყვეტია სეგმენტზე [ა,ბ], დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და ბოლოებში x = ადა x = ბმიდის ნულზე ( ვ(ა) = ვ(ბ) = 0), შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა,ბ] არის ერთი წერტილი მაინც x= თან, ა c b, რომელშიც წარმოებული ვў( x) მიდის ნულამდე, ე.ი. ვў( გ) = 0.

სასრული ზრდის თეორემა (ლაგრანჟის თეორემა).თუ ფუნქცია ვ(x) არის უწყვეტი ინტერვალზე [ ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ერთი წერტილი მაინც თან, აგ ბ რომ

ვ(ბ) – ვ(ა) = ვў( გ)(ბ– ა).

თეორემა ორი ფუნქციის ნამატების შეფარდების შესახებ (კოშის თეორემა).თუ ვ(x) და გ(x) – ორი უწყვეტი ფუნქცია სეგმენტზე [ა, ბ] და დიფერენცირებადია ამ სეგმენტის ყველა შიდა წერტილში და გў( x) არ ქრება არსად ამ სეგმენტის შიგნით, შემდეგ სეგმენტის შიგნით [ ა, ბ] არის ასეთი წერტილი x = თან, აგ ბ რომ

სხვადასხვა შეკვეთის წარმოებულები.

დაუშვით ფუნქცია წ =ვ(x) დიფერენცირებადია გარკვეული ინტერვალით [ ა, ბ]. წარმოებული მნიშვნელობები ვ ў( x), ზოგადად რომ ვთქვათ, დამოკიდებულია x, ე.ი. წარმოებული ვ ў( x) ასევე ფუნქციაა x. ამ ფუნქციის დიფერენცირებისას ვიღებთ ფუნქციის ე.წ. მეორე წარმოებულს ვ(x), რომელიც აღინიშნება ვ ўў ( x).

წარმოებული n-ფუნქციის ე რიგი ვ(x) ეწოდება წარმოებულის (პირველი რიგის) წარმოებულს n- 1- th და აღინიშნება სიმბოლოთი წ(ნ) = (წ(ნ– 1)) •.

სხვადასხვა შეკვეთის დიფერენციალი.

ფუნქციის დიფერენციალი წ = ვ(x), სად x– დამოუკიდებელი ცვლადი, დიახ დი = ვ ў( x)dx, ზოგიერთი ფუნქცია x, მაგრამ დან xმხოლოდ პირველი ფაქტორი შეიძლება იყოს დამოკიდებული ვ ў( x), მეორე ფაქტორი ( dx) არის დამოუკიდებელი ცვლადის ზრდა xდა არ არის დამოკიდებული ამ ცვლადის მნიშვნელობაზე. იმიტომ რომ დიარის ფუნქცია x, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ამ ფუნქციის დიფერენციალი. ფუნქციის დიფერენციალურ დიფერენციალს ეწოდება ამ ფუნქციის მეორე დიფერენციალური ან მეორე რიგის დიფერენციალი და აღინიშნება დ 2წ:

დ(dx) = დ 2წ = ვ ўў( x)(dx) 2 .

დიფერენციალური n-პირველი რიგის დიფერენციალის პირველ დიფერენციალს უწოდებენ n- 1- რიგი:

d n y = დ(d n–1წ) = ვ(ნ)(x)dx(ნ).

ნაწილობრივი წარმოებული.

თუ ფუნქცია დამოკიდებულია არა ერთზე, არამედ რამდენიმე არგუმენტზე x i(მემერყეობს 1-დან ნ,მე= 1, 2,… ნ),ვ(x 1,x 2,… x n), შემდეგ დიფერენციალურ კალკულუსში შემოდის ნაწილობრივი წარმოებულის ცნება, რომელიც ახასიათებს რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს, როდესაც იცვლება მხოლოდ ერთი არგუმენტი, მაგალითად, x i. 1 რიგის ნაწილობრივი წარმოებულის მიმართ x iგანისაზღვრება, როგორც ჩვეულებრივი წარმოებული და ვარაუდობენ, რომ ყველა არგუმენტი გარდა x i, შეინარჩუნეთ მუდმივი მნიშვნელობები. ნაწილობრივი წარმოებულებისთვის შემოღებულია აღნიშვნა

ამ გზით განსაზღვრულ 1-ლი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებს (როგორც იგივე არგუმენტების ფუნქციები) შეიძლება, თავის მხრივ, ჰქონდეს ნაწილობრივი წარმოებულებიც, ეს არის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები და ა.შ. სხვადასხვა არგუმენტებიდან აღებულ ასეთ წარმოებულებს შერეული ეწოდება. ერთი და იმავე რიგის უწყვეტი შერეული წარმოებულები არ არიან დამოკიდებული დიფერენციაციის რიგზე და ერთმანეთის ტოლია.

ანა ჩუგაინოვა

წარმოებული ფუნქციებიწერტილს ეწოდება ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, იმ პირობით, რომ ის ნულისკენ მიისწრაფვის.

წარმოებულის პოვნის ძირითადი წესები

თუ - და - არის დიფერენცირებადი ფუნქციები წერტილში, (ანუ ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ წარმოებულები წერტილში), მაშინ:

4) .

ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი.თუ და, ე.ი. , სად და აქვს წარმოებულები, მაშინ

პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის დიფერენციაცია. მოდით ცვლადის დამოკიდებულება ცვლადზე პარამეტრულად მითითებული იყოს პარამეტრის საშუალებით:

დავალება 3. იპოვეთ ამ ფუნქციების წარმოებულები.

1)

გამოსავალი. მე-2 წესის გამოყენებით წარმოებულების და წარმოებული ცხრილის 1 და 2 ფორმულების საპოვნელად, მივიღებთ:

გამოსავალი.მე-4 წესის გამოყენებით წარმოებულების ცხრილის წარმოებულები და ფორმულები 1 და 13, მივიღებთ:

.

გამოსავალი.მე-3 წესის გამოყენებით წარმოებულების და წარმოებული ცხრილის 5 და 11 ფორმულების საპოვნელად, მივიღებთ:

გამოსავალი.ვივარაუდოთ, სადაც, რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულის მიხედვით, მივიღებთ:

გამოსავალი. გვაქვს: შემდეგ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

4. უმაღლესი რიგის წარმოებულები. L'Hopital-ის წესი.

ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებულიმისი წარმოებულის წარმოებულს უწოდებენ, ე.ი. . მეორე წარმოებულისთვის გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნები: ან , ან .

ფუნქციის პირველი რიგის წარმოებულიეწოდება მისი მე-4 რიგის წარმოებულის წარმოებული. მეათე რიგის წარმოებულისთვის გამოიყენება შემდეგი აღნიშვნები: ან , ან .

L'Hopital-ის წესი.დაე, ფუნქციები და იყოს დიფერენცირებადი წერტილის სამეზობლოში და წარმოებული არ ქრება. თუ ფუნქციები და ერთდროულად არიან ან უსასრულოდ მცირე ან უსასრულოდ დიდი at , და არსებობს თანაფარდობის ზღვარი at , მაშინ ასევე არსებობს შეფარდება ზე . მეტიც

.

წესი ასევე მოქმედებს, როდესაც.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში, გაურკვევლობის გამჟღავნებამ შეიძლება მოითხოვოს L'Hopital-ის წესის განმეორებითი გამოყენება.

ტიპის გაურკვევლობა და ა.შ. ელემენტარული გარდაქმნების დახმარებით ისინი ადვილად შეიძლება დაიყვანონ ფორმის გაურკვევლობამდე ან .

დავალება 4. იპოვეთ ლიმიტი L'Hopital-ის წესის გამოყენებით.

გამოსავალიაქ გვაქვს ფორმის გაურკვევლობა, რადგან ზე. მოდით გამოვიყენოთ L'Hopital-ის წესი:

.

L'Hopital-ის წესის გამოყენების შემდეგ ჩვენ კვლავ მივიღეთ ფორმის გაურკვევლობა, რადგან ზე. L'Hopital-ის წესის ხელახლა გამოყენებისას მივიღებთ:

.

5. ფუნქციის შესწავლა

ა) მზარდი და კლების ფუნქციები

ფუნქციას ეძახიან იზრდებასეგმენტზე , თუ რომელიმე წერტილისთვის და სეგმენტიდან , სადაც , უტოლობა მოქმედებს. თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე და , მაშინ ის იზრდება ინტერვალზე.

ფუნქციას ეძახიან მცირდებასეგმენტზე , თუ რომელიმე წერტილისთვის და სეგმენტიდან , სადაც , უტოლობა მოქმედებს. თუ ფუნქცია უწყვეტია ინტერვალზე და სთვის, მაშინ ის მცირდება ინტერვალზე.

თუ ფუნქცია მხოლოდ იზრდება ან მხოლოდ მცირდება მოცემულ ინტერვალზე, მაშინ მას უწოდებენ ერთფეროვანიინტერვალზე.

ბ) ფუნქციების ექსტრემა

მინიმალური ქულაფუნქციები .

თუ არსებობს წერტილის -მეზობლობა ისე, რომ ამ სამეზობლოდან ყველა წერტილისთვის არის უტოლობა, მაშინ წერტილი ეწოდება მაქსიმალური ქულაფუნქციები .

ფუნქციის მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილებს მისი ეწოდება ექსტრემალური წერტილები.

წერტილი ე.წ სტაციონარული წერტილი,თუ არსებობს ან არ არსებობს.

თუ არსებობს სტაციონარული წერტილის -მეზობლობა ისეთი, რომ for და for , მაშინ არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

თუ არსებობს სტაციონარული წერტილის -მეზობლობა ისეთი, რომ for და for , მაშინ ფუნქციის -მინიმალური წერტილი.

ა) ამოზნექილი მიმართულება. გადახრის წერტილები

ამოზნექილიინტერვალზე , თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე გამოსახული ტანგენტის ქვემოთ.

ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ ამოზნექილობის საკმარისი პირობა არის უტოლობის შესრულება რომელიმე განხილული ინტერვალისთვის.

დიფერენცირებადი ფუნქციის გრაფიკი ეწოდება ამოზნექილი ქვემოთინტერვალზე , თუ იგი მდებარეობს ამ ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში ფუნქციის გრაფიკზე გამოსახული ტანგენტის ზემოთ.

ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკის დაღმავალ ამოზნექილობის საკმარისი პირობა არის უტოლობის შესრულება რომელიმე განხილული ინტერვალისთვის.

წერტილი, რომელზეც იცვლება ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილი მიმართულება, ეწოდება დახრის წერტილი.

წერტილი, სადაც ან არ არსებობს, არის დახრის წერტილის აბსცისა, თუ ნიშნები მარცხნივ და მარჯვნივ განსხვავებულია.

დ) ასიმპტოტები

თუ მანძილი ფუნქციის გრაფიკის წერტილიდან გარკვეულ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის, რადგან წერტილი უსასრულოდ შორდება საწყისს, მაშინ სწორი ხაზი ე.წ. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტი.

თუ არის ისეთი რიცხვი, რომ , მაშინ წრფე არის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

თუ არსებობს საზღვრები , მაშინ ხაზი არის ირიბი (ჰორიზონტალური k=0-ზე) ასიმპტოტი.

ე) ფუნქციის ზოგადი შესწავლა

1. ფუნქციის დომენი

2. გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან

3. უწყვეტობის, ლუწი/კენტი და პერიოდულობის ფუნქციის შესწავლა

4. ფუნქციის ერთფეროვნების ინტერვალები

5. ფუნქციის ექსტრემალური წერტილები

6. ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის ინტერვალები და დახრის წერტილები

7. ფუნქციის გრაფიკის ასიმპტოტები

8. ფუნქციის გრაფიკი.

დავალება 5. შეისწავლეთ ფუნქცია და შექმენით მისი გრაფიკი.

გამოსავალი. 1) ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვით წრფეზე, გარდა იმ წერტილისა, სადაც წილადის მნიშვნელი ნულამდე მიდის. . ჩვენ გვაქვს: არ ეკუთვნის ამ ფუნქციის განსაზღვრის დომენს. შესაბამისად, ამ ფუნქციის სტაციონარული წერტილები არის მინიმალური მნიშვნელობის მქონე წერტილები (როგორც ნაჩვენებია სურათზე).

8) მიღებული მონაცემების გამოყენებით, ავაშენოთ ორიგინალური ფუნქციის გრაფიკი: