Titik-titik pada grafik fungsi terdiferensiasi. Diferensiasi fungsi. Kontinuitas suatu fungsi yang mempunyai turunan. Dalil

Isi artikel

TURUNAN– turunan dari fungsi tersebut kamu = F(X), diberikan pada selang waktu tertentu ( A, B) pada titik X interval ini disebut batas di mana rasio kenaikan fungsi cenderung F pada titik ini ke kenaikan argumen yang sesuai ketika kenaikan argumen cenderung nol.

Turunannya biasanya dilambangkan sebagai berikut:

Sebutan lain juga banyak digunakan:

Kecepatan instan.

Biarkan intinya M bergerak dalam garis lurus. Jarak S titik bergerak, dihitung dari suatu posisi awal M 0 , tergantung waktu T, yaitu. S ada fungsi waktu T: S= F(T). Biarkan suatu saat nanti T titik bergerak M berada di kejauhan S dari posisi awal M 0, dan pada saat berikutnya T+D T menemukan dirinya dalam posisi M 1 - pada jarak S+D S dari posisi awal ( lihat gambar.).

Jadi, dalam kurun waktu tertentu D T jarak S diubah sebesar D S. Dalam hal ini mereka mengatakan bahwa selama selang waktu D T besarnya S menerima kenaikan D S.

Kecepatan rata-rata dalam semua kasus tidak dapat secara akurat mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik M pada suatu saat T. Jika, misalnya, benda berada di awal interval D T bergerak sangat cepat, dan pada akhirnya sangat lambat, maka kecepatan rata-rata tidak akan mampu mencerminkan ciri-ciri pergerakan suatu titik dan memberikan gambaran tentang kecepatan sebenarnya dari pergerakannya saat ini. T. Untuk menyatakan kecepatan sebenarnya dengan lebih akurat menggunakan kecepatan rata-rata, Anda perlu mengambil periode waktu yang lebih singkat D T. Paling lengkap mencirikan kecepatan pergerakan suatu titik saat ini T batas kecenderungan kecepatan rata-rata pada D T® 0. Batasan ini disebut kecepatan arus:

Jadi, kecepatan gerak pada suatu momen tertentu disebut batas rasio pertambahan lintasan D S untuk menambah waktu D T, ketika pertambahan waktu cenderung nol. Karena

Arti geometris dari turunan. Bersinggungan dengan grafik suatu fungsi.

Konstruksi garis singgung merupakan salah satu permasalahan yang menyebabkan lahirnya kalkulus diferensial. Karya terbitan pertama terkait kalkulus diferensial, yang ditulis oleh Leibniz, diberi judul Metode baru tentang maxima dan minima, serta garis singgung, yang tidak menjadi hambatan bagi besaran pecahan maupun irasional, dan jenis kalkulus khusus untuk ini.

Biarkan kurva menjadi grafik fungsi kamu =F(X) dalam sistem koordinat persegi panjang ( cm. beras.).

Pada nilai tertentu X fungsi penting kamu =F(X). Nilai-nilai ini X Dan kamu titik pada kurva tersebut bersesuaian M 0(X, kamu). Jika argumennya X memberi peningkatan D X, maka nilai argumen yang baru X+D X sesuai dengan nilai fungsi baru kamu+ D kamu = F(X + D X). Titik yang sesuai pada kurva akan menjadi titiknya M 1(X+D X,kamu+D kamu). Jika Anda menggambar garis potong M 0M 1 dan dilambangkan dengan j sudut yang dibentuk oleh garis transversal dengan arah sumbu positif Sapi, langsung terlihat jelas dari gambar itu.

Kalau sekarang D X cenderung nol, maka intinya M 1 bergerak sepanjang kurva, mendekati suatu titik M 0, dan sudut J berubah dengan D X. Pada Dx® 0 sudut j cenderung pada batas tertentu a dan garis lurus melalui titik tersebut M 0 dan komponen dengan arah sumbu x positif, sudut a, akan menjadi garis singgung yang diinginkan. Kemiringannya adalah:

Karena itu, F´( X) = tidak

itu. nilai turunan F´( X) untuk nilai argumen tertentu X sama dengan garis singgung sudut yang dibentuk oleh garis singgung grafik fungsi tersebut F(X) pada titik yang sesuai M 0(X,kamu) dengan arah sumbu positif Sapi.

Diferensiabilitas fungsi.

Definisi. Jika fungsinya kamu = F(X) mempunyai turunan pada titik tersebut X = X 0, maka fungsinya terdiferensiasi pada titik ini.

Kontinuitas suatu fungsi yang mempunyai turunan. Dalil.

Jika fungsinya kamu = F(X) dapat terdiferensiasi pada titik tertentu X = X 0, maka kontinu pada titik ini.

Jadi, fungsi tersebut tidak dapat mempunyai turunan pada titik diskontinuitas. Kesimpulan sebaliknya salah, yaitu. dari kenyataan bahwa pada suatu saat X = X 0 fungsi kamu = F(X) kontinu bukan berarti dapat terdiferensiasi pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu = |X| berkelanjutan untuk semua orang X(–Ґ x x = 0 tidak mempunyai turunan. Pada titik ini tidak ada garis singgung pada grafik. Ada garis singgung kanan dan kiri, tetapi tidak berhimpitan.

Beberapa teorema tentang fungsi terdiferensiasi. Teorema akar-akar turunan (teorema Rolle). Jika fungsinya F(X) kontinu pada segmen tersebut [A,B], terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini dan di ujungnya X = A Dan X = B menjadi nol ( F(A) = F(B) = 0), lalu di dalam segmen [ A,B] setidaknya ada satu poin X= Dengan, A c b, yang merupakan turunannya Fў( X) menjadi nol, mis. Fў( C) = 0.

Teorema pertambahan hingga (teorema Lagrange). Jika fungsinya F(X) kontinu pada interval [ A, B] dan terdiferensiasi di semua titik dalam segmen ini, kemudian di dalam segmen [ A, B] setidaknya ada satu poin Dengan, A cb itu

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Teorema perbandingan pertambahan dua fungsi (teorema Cauchy). Jika F(X) Dan G(X) – dua fungsi kontinu pada segmen tersebut [A, B] dan terdiferensiasi di semua titik interior segmen ini, dan Gў( X) tidak hilang dimanapun di dalam segmen ini, lalu di dalam segmen [ A, B] ada benarnya X = Dengan, A cb itu

Turunan dari berbagai ordo.

Biarkan fungsinya kamu =F(X) terdiferensiasi pada interval tertentu [ A, B]. Nilai turunan F ў( X), secara umum, bergantung pada X, yaitu. turunan F ў( X) juga merupakan fungsi dari X. Saat mendiferensiasikan fungsi ini, kita memperoleh apa yang disebut turunan kedua dari fungsi tersebut F(X), yang dilambangkan F ўў ( X).

Turunan N- urutan fungsi F(X) disebut turunan (orde pertama) dari turunan tersebut N- 1- th dan dilambangkan dengan simbol kamu(N) = (kamu(N– 1))ў.

Diferensiasi berbagai ordo.

Diferensial fungsi kamu = F(X), Di mana X– variabel independen, ya mati = F ў( X)dx, beberapa fungsi dari X, tapi dari X hanya faktor pertama yang dapat bergantung F ў( X), faktor kedua ( dx) adalah pertambahan variabel bebas X dan tidak bergantung pada nilai variabel ini. Karena mati ada fungsi dari X, maka kita dapat menentukan diferensial dari fungsi tersebut. Diferensial dari diferensial suatu fungsi disebut diferensial kedua atau diferensial orde kedua dari fungsi ini dan dilambangkan D 2kamu:

D(dx) = D 2kamu = F ўў( X)(dx) 2 .

Diferensial N- orde pertama disebut diferensial pertama dari diferensial tersebut N- 1- urutan ke-:

d n y = D(d n–1kamu) = F(N)(X)dx(N).

Turunan parsial.

Jika suatu fungsi tidak bergantung pada satu, tetapi pada beberapa argumen x saya(Saya bervariasi dari 1 hingga N,Saya= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… xn), kemudian dalam kalkulus diferensial diperkenalkan konsep turunan parsial, yang mencirikan laju perubahan suatu fungsi beberapa variabel ketika hanya satu argumen yang berubah, misalnya, x saya. Turunan parsial orde pertama terhadap x saya didefinisikan sebagai turunan biasa, dan diasumsikan bahwa semua argumen kecuali x saya, pertahankan nilai konstan. Untuk turunan parsial, notasi diperkenalkan

Turunan parsial orde pertama yang didefinisikan dengan cara ini (sebagai fungsi dari argumen yang sama), pada gilirannya, juga dapat memiliki turunan parsial, yaitu turunan parsial orde kedua, dan seterusnya. Turunan yang diambil dari argumen berbeda disebut campuran. Turunan campuran kontinu berorde sama tidak bergantung pada orde diferensiasi dan setara satu sama lain.

Anna Chugainova

Turunan fungsi pada suatu titik disebut limit perbandingan kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, asalkan cenderung nol.

Aturan dasar untuk mencari turunannya

Jika - dan - merupakan fungsi terdiferensiasi di titik , (yaitu fungsi yang mempunyai turunan di titik tersebut), maka:

4) .

Tabel turunan fungsi dasar

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Aturan untuk mendiferensiasikan fungsi kompleks. Jika dan , mis. , di mana dan mempunyai turunannya, lalu

Diferensiasi suatu fungsi ditentukan secara parametrik. Biarkan ketergantungan suatu variabel pada suatu variabel ditentukan secara parametrik melalui parameter:

Tugas 3. Temukan turunan dari fungsi-fungsi ini.

1)

Larutan. Menerapkan aturan 2 untuk mencari turunan dan rumus 1 dan 2 dari tabel turunan, kita memperoleh:

Larutan. Menerapkan aturan 4 untuk mencari turunan dan rumus 1 dan 13 dari tabel turunan, kita memperoleh:

.

Larutan. Menerapkan aturan 3 untuk mencari turunan dan rumus 5 dan 11 dari tabel turunan, kita memperoleh:

Larutan. Dengan asumsi , di mana , menurut rumus mencari turunan fungsi kompleks, kita memperoleh:

Larutan. Kita mendapatkan: Kemudian, berdasarkan rumus untuk mencari turunan suatu fungsi yang ditentukan secara parametrik, kita memperoleh:

4. Derivatif orde tinggi. aturan L'Hopital.

Turunan fungsi orde kedua disebut turunan dari turunannya, yaitu. . Notasi berikut digunakan untuk turunan kedua: atau , atau .

Turunan orde pertama dari fungsi tersebut disebut turunan dari turunan orde ke-th-nya. Untuk turunan orde ke-th digunakan notasi sebagai berikut: atau , atau .

aturan L'Hopital. Biarkan fungsi dan terdiferensiasi di lingkungan suatu titik dan turunannya tidak hilang. Jika fungsi-fungsi dan sekaligus keduanya sangat kecil atau sangat besar di , dan terdapat limit untuk rasio di , maka terdapat juga batasan untuk rasio di . Lebih-lebih lagi

.

Aturan ini juga berlaku ketika .

Perhatikan bahwa dalam beberapa kasus, pengungkapan ketidakpastian jenis atau mungkin memerlukan penerapan aturan L'Hopital berulang kali.

Ketik ketidakpastian, dll. dengan bantuan transformasi dasar, mereka dapat dengan mudah direduksi menjadi ketidakpastian bentuk atau .

Tugas 4. Temukan limitnya menggunakan aturan L'Hopital.

Larutan Di sini kita mempunyai ketidakpastian bentuk, karena pada . Mari kita terapkan aturan L'Hopital:

.

Setelah menerapkan aturan L'Hopital, kita kembali memperoleh ketidakpastian bentuk, karena pada . Menerapkan aturan L'Hopital lagi, kita mendapatkan:

.

5. Fungsi studi

a) Menaikkan dan menurunkan fungsi

Fungsinya disebut meningkat pada segmen tersebut , jika untuk sembarang titik dan dari segmen , dimana , pertidaksamaan berlaku. Jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval dan untuk , maka fungsi tersebut bertambah pada interval tersebut.

Fungsinya disebut menurun pada segmen tersebut , jika untuk sembarang titik dan dari segmen , dimana , pertidaksamaan berlaku. Jika suatu fungsi kontinu pada suatu interval dan untuk , maka fungsi tersebut berkurang pada interval tersebut.

Jika suatu fungsi hanya naik atau turun pada interval tertentu, maka disebut membosankan pada interval.

b) Ekstrem fungsi

poin minimum fungsi .

Jika ada -lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk semua titik dari lingkungan ini pertidaksamaannya berlaku, maka titik tersebut disebut titik maksimal fungsi .

Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut nya titik ekstrem.

Intinya disebut titik stasioner, jika atau tidak ada.

Jika terdapat lingkungan - dari suatu titik stasioner sedemikian rupa sehingga untuk dan untuk , maka adalah titik maksimum dari fungsi tersebut.

Jika terdapat -lingkungan suatu titik stasioner sedemikian rupa sehingga untuk dan untuk , maka titik -minimum dari fungsi tersebut.

A) Arah cembung. Titik belok

cembung pada interval , jika terletak di bawah garis singgung yang diplot ke grafik fungsi di titik mana pun dalam interval ini.

Kondisi yang cukup untuk konveksitas grafik suatu fungsi pada suatu interval adalah terpenuhinya pertidaksamaan untuk setiap interval yang dipertimbangkan.

Grafik fungsi terdiferensiasi disebut cembung ke bawah pada interval , jika terletak di atas garis singgung yang diplot ke grafik fungsi di sembarang titik dalam interval ini.

Kondisi yang cukup untuk konveksitas grafik suatu fungsi pada suatu interval adalah terpenuhinya pertidaksamaan untuk setiap interval yang dipertimbangkan.

Titik dimana arah konveksitas grafik suatu fungsi berubah disebut titik belok.

Suatu titik yang ada atau tidak ada merupakan absis suatu titik belok jika tanda di kiri dan kanannya berbeda.

d) Asimtot

Jika jarak suatu titik pada grafik suatu fungsi ke suatu garis lurus tertentu cenderung nol ketika titik tersebut menjauhi titik asal tak terhingga, maka garis lurus tersebut disebut asimtot grafik fungsi.

Jika terdapat suatu bilangan sedemikian rupa maka garisnya adalah asimtot vertikal.

Jika ada batasan , maka garisnya adalah miring (horizontal pada k=0) asimtot.

e) Studi umum tentang fungsi

1. Domain fungsi

2. Titik potong grafik dengan sumbu koordinat

3. Mempelajari fungsi kontinuitas, genap/ganjil dan periodisitas

4. Interval monotonisitas suatu fungsi

5. Titik ekstrem dari fungsi tersebut

6. Interval konveksitas dan titik belok suatu grafik fungsi

7. Asimtot grafik suatu fungsi

8. Grafik fungsi.

Tugas 5. Jelajahi fungsi dan buat grafiknya.

Larutan. 1) Fungsi tersebut terdefinisi pada seluruh garis bilangan kecuali titik yang penyebut pecahannya menjadi nol. . Kita punya: tidak termasuk dalam domain definisi fungsi ini. Oleh karena itu, titik stasioner dari fungsi ini adalah titik-titik dengan nilai minimum (seperti terlihat pada gambar).

8) Dengan menggunakan data yang diperoleh, mari kita buat grafik fungsi aslinya: