Teori turunan. Membaca grafik turunan

B8. Ujian Negara Bersatu

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 2

Jawaban: -5

Pada interval (–9;4).

Jawaban:2

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0 Jawaban: 0,5

5. Tentukan titik singgung garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik ini. Jawaban: -2

Tentukan banyaknya nilai bilangan bulat dari argumen yang turunan fungsi f(x) negatif. Jawaban: 4

Jawaban: 2

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis lurus y=5–x atau berimpit dengannya. Jawaban: 3

Intervalnya (-8; 3).

Garis lurus y = -20. Jawaban: 2

10.

Jawaban: -0,5

Jawaban 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: 0,5

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -0,25

14.

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = x+7. Jawaban: 4

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0. Jawaban: -2

16.

interval (-14;9).

Tentukan banyaknya titik maksimum fungsi f(x) pada ruas [-12;7]. Jawaban: 3

pada interval (-10;8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) pada ruas [-9;7]. Menjawab: 4

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di titik yang absisnya kurang dari 0. Tentukan b. Menjawab: 17

Menjawab:-0,25

Menjawab: 6

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7 yang sejajar dengan garis lurus y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan titik singgung absisnya. Menjawab: -0,5

22.

Menjawab: 4

23. F "(x) pada interval (-16;4).

Pada ruas [-11;0] tentukan jumlah titik maksimum fungsi tersebut. Menjawab: 1

B8 Grafik fungsi, turunan fungsi. Penelitian Fungsi . Ujian Negara Bersatu

1. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

2. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-6; 5).

Pada titik manakah segmen [-5; -1] f(x) mengambil nilai terkecil?

3. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi y = f(x), terdefinisi

Pada interval (–9;4).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis lurus

y = 2x-17 atau bertepatan dengan itu.

4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0

5. Tentukan titik singgung garis y = 3x + 8 dan grafik fungsi y = x3+x2-5x-4. Dalam jawaban Anda, tunjukkan absis titik ini.

6. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada interval (-7; 5).

Tentukan banyaknya nilai bilangan bulat dari argumen yang turunan fungsi f(x) negatif.

7. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f"(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) yang termasuk dalam ruas [-4; 6].

8. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f"(x), yang didefinisikan pada interval (-8; 4).

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar dengan garis lurus y=5–x atau berimpit dengannya.

9. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada

Intervalnya (-8; 3).

Tentukan banyaknya titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar

Garis lurus y = -20.

10. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

11 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-9;9).

Tentukan jumlah titik minimum fungsi $f(x)$ pada interval [-6;8]. 1

12. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

13. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung fungsi tersebut di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

14. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-6;8).

Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi f(x) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = x+7.

15 . Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

16. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada

interval (-14;9).

Tentukan banyaknya titik maksimum fungsi f(x) pada ruas [-12;7].

17 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), terdefinisi

pada interval (-10;8).

Tentukan banyaknya titik ekstrem fungsi f(x) pada ruas [-9;7].

18. Garis y = 5x-7 menyentuh grafik fungsi y = 6x2 + bx-1 di titik yang absisnya kurang dari 0. Tentukan b.

19 . Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) dan garis singgungnya di titik absis x0.

Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.

20 . Tentukan banyak titik pada interval (-1;12) yang turunan fungsi y = f(x) pada grafik sama dengan 0.

21. Tentukan garis singgung grafik fungsi y=x2+6x-7 yang sejajar dengan garis lurus y=5x+11. Dalam jawaban Anda, tunjukkan titik singgung absisnya.

22. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x). Tentukan banyaknya titik bilangan bulat pada interval (-2;11) yang turunan fungsi f(x) positif.

23. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y= F "(x) pada interval (-16;4).

Pada ruas [-11;0] tentukan jumlah titik maksimum fungsi tersebut.

Halo! Mari kita ikuti Ujian Negara Terpadu yang akan datang dengan persiapan sistematis berkualitas tinggi dan ketekunan dalam mengasah granit ilmu pengetahuan!!! DI DALAMAda tugas kompetisi di akhir postingan, jadilah yang pertama! Dalam salah satu artikel di bagian ini, Anda dan saya, di mana diberikan grafik fungsi dan berbagai pertanyaan diajukan mengenai ekstrem, interval kenaikan (penurunan) dan lain-lain.

Pada artikel ini kita akan membahas soal-soal yang termasuk dalam Unified State Examination matematika, yang di dalamnya diberikan grafik turunan suatu fungsi dan diajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Pada titik manakah pada segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai nilai terbesar (atau terkecil).
2. Temukan jumlah titik maksimum (atau minimum) dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
3. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
4. Temukan titik ekstrem dari fungsi yang termasuk dalam segmen tertentu.
5. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi dan dalam jawabannya tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.
6. Temukan interval kenaikan (atau penurunan) fungsi tersebut. Dalam jawaban Anda, tunjukkan panjang interval terbesarnya.
7. Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis berbentuk y = kx + b.
8. Tentukan absis titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan sumbu absis.

Mungkin ada pertanyaan lain, tetapi pertanyaan tersebut tidak akan menyulitkan Anda jika Anda memahami dan (tautan disediakan ke artikel yang memberikan informasi yang diperlukan untuk solusinya, saya sarankan untuk mengulanginya).

Informasi dasar (secara singkat):

1. Turunan pada interval kenaikan mempunyai tanda positif.

Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.

2. Pada interval menurun, turunannya bertanda negatif.

Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.

3. Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi di titik yang sama.

4. Pada titik ekstrem (maksimum-minimum) suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu x.

Ini harus dipahami dan diingat dengan jelas!!!

Grafik turunannya “membingungkan” banyak orang. Beberapa orang secara tidak sengaja salah mengartikannya sebagai grafik fungsi itu sendiri. Oleh karena itu, pada bangunan seperti itu, di mana Anda melihat diberikan grafik, segera fokuskan perhatian Anda pada kondisi yang diberikan: grafik fungsi atau grafik turunan fungsi?

Jika grafik tersebut merupakan turunan suatu fungsi, perlakukan grafik tersebut sebagai "refleksi" dari fungsi itu sendiri, yang akan memberi Anda informasi tentang fungsi tersebut.

Pertimbangkan tugasnya:

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–2;21).

Kami akan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:

1. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X) mengambil nilai terbesar.

Pada suatu interval tertentu, turunan suatu fungsi bernilai negatif, artinya fungsi pada interval tersebut berkurang (menurun dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terbesar dicapai pada batas kiri segmen, yaitu di titik 7.

Jawaban: 7

2. Pada titik manakah pada segmen tersebut terdapat fungsi F(X)

Dari grafik turunan ini kita dapat mengatakan sebagai berikut. Pada suatu interval tertentu, turunan fungsinya adalah positif, artinya fungsi pada interval tersebut bertambah (bertambah dari batas kiri interval ke kanan). Dengan demikian, nilai fungsi terkecil dicapai pada batas kiri ruas, yaitu pada titik x = 3.

Jawaban: 3

3. Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X)

Titik maksimum adalah titik dimana tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Mari kita pertimbangkan di mana tandanya berubah dengan cara ini.

Pada ruas (3;6) turunannya positif, pada ruas (6;16) turunannya negatif.

Pada segmen (16;18) turunannya positif, pada segmen (18;20) negatif.

Jadi, pada suatu segmen tertentu fungsi tersebut mempunyai dua titik maksimum x = 6 dan x = 18.

Jawaban: 2

4. Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Poin minimum sesuai dengan titik di mana tanda turunannya berubah dari negatif ke positif. Turunan kita negatif pada interval (0;3), dan positif pada interval (3;4).

Jadi, pada segmen tersebut fungsi tersebut hanya memiliki satu titik minimum x = 3.

*Hati-hati saat menuliskan jawabannya - yang dicatat adalah jumlah poin, bukan nilai x; kesalahan seperti itu bisa terjadi karena kurangnya perhatian.

Jawaban 1

5. Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Harap perhatikan apa yang perlu Anda temukan kuantitas titik ekstrem (ini adalah titik maksimum dan minimum).

Titik ekstrem merupakan titik yang tanda turunannya berubah (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada grafik yang diberikan dalam kondisi, ini adalah fungsi nol. Turunannya hilang di titik 3, 6, 16, 18.

Jadi, fungsi tersebut memiliki 4 titik ekstrem pada segmen tersebut.

Jawaban: 4

6. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval kenaikan fungsi ini F(X) sesuai dengan interval di mana turunannya positif, yaitu interval (3;6) dan (16;18). Harap dicatat bahwa batas interval tidak termasuk di dalamnya (tanda kurung bulat - batas tidak termasuk dalam interval, tanda kurung siku - termasuk). Interval ini berisi bilangan bulat poin 4, 5, 17. Jumlahnya adalah: 4 + 5 + 17 = 26

Jawaban: 26

7. Temukan interval penurunan fungsi F(X) pada interval tertentu. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Dalam soal ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18:21).

Interval ini berisi titik bilangan bulat berikut: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jumlahnya adalah:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Jawaban: 140

*Perhatikan syarat: apakah batas-batas tersebut termasuk dalam interval atau tidak. Jika batas-batas dimasukkan, maka dalam interval yang dipertimbangkan dalam proses penyelesaian, batas-batas ini juga harus diperhitungkan.

8. Temukan interval kenaikan fungsi F(X)

Interval peningkatan fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya positif. Kami telah menunjukkannya: (3;6) dan (16:18). Yang terbesar adalah interval (3;6), panjangnya 3.

Jawaban: 3

9. Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

Mengurangi interval suatu fungsi F(X) sesuai dengan interval di mana turunan fungsinya negatif. Kami telah menunjukkannya; ini adalah interval (–2;3), (6;16), (18;21), panjangnya masing-masing 5, 10, 3.

Panjang yang terbesar adalah 10.

Jawaban: 10

10. Tentukan banyak titik yang bersinggungan dengan grafik fungsi tersebut F(X) sejajar atau berimpit dengan garis lurus y = 2x + 3.

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis lurus y = 2x + 3 atau berimpit dengannya, maka koefisien sudutnya sama dengan 2. Artinya, perlu dicari banyak titik di mana y′(x 0) = 2. Secara geometris, ini sesuai dengan jumlah titik potong grafik turunan dengan garis lurus y = 2. Ada 4 titik pada interval ini.

Jawaban: 4

11. Temukan titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), milik segmen tersebut.

Titik ekstrem suatu fungsi adalah titik di mana turunannya sama dengan nol, dan di sekitar titik tersebut turunannya berubah tanda (dari positif ke negatif atau sebaliknya). Pada ruas tersebut grafik turunannya memotong sumbu x, turunannya berubah tanda dari negatif menjadi positif. Oleh karena itu, titik x = 3 merupakan titik ekstrem.

Jawaban: 3

12. Tentukan absis titik-titik yang garis singgung grafik y = f (x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis. Dalam jawaban Anda, sebutkan yang terbesar.

Garis singgung grafik y = f (x) dapat sejajar dengan sumbu absis atau berimpit dengannya, hanya pada titik-titik yang turunannya sama dengan nol (dapat berupa titik ekstrem atau titik diam di sekitar turunannya). tidak mengubah tandanya). Grafik ini menunjukkan turunannya nol di titik 3, 6, 16,18. Yang terbesar adalah 18.

Anda dapat menyusun alasan Anda seperti ini:

Nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung tersebut. Karena garis singgungnya sejajar atau berimpit dengan sumbu x, kemiringannya adalah 0 (memang, garis singgung sudut nol derajat adalah nol). Oleh karena itu, kita mencari titik yang kemiringannya sama dengan nol, sehingga turunannya sama dengan nol. Turunannya sama dengan nol pada titik perpotongan grafiknya dengan sumbu x, yaitu titik 3, 6, 16,18.

Jawaban: 18

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–8;4). Pada titik manakah pada segmen [–7;–3] fungsi tersebut berada F(X) mengambil nilai terkecil.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;14). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi tersebut F(X), milik segmen [–6;9].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–18;6). Temukan jumlah titik minimum dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–13;1].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11; –11). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi tersebut F(X), termasuk dalam segmen [–10; -10].

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–7;4). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–5;7). Temukan interval penurunan fungsi F(X). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik kamu =F'(X)- turunan dari suatu fungsi F(X), ditentukan pada interval (–11;3). Temukan interval kenaikan fungsi F(X). Dalam jawabanmu, sebutkan panjang yang terbesar.

F Gambar tersebut menunjukkan grafik

Kondisi masalahnya sama (yang kami pertimbangkan). Temukan jumlah tiga angka:

1. Jumlah kuadrat ekstrem fungsi f(x).

2. Selisih kuadrat jumlah titik maksimum dan jumlah titik minimum fungsi f (x).

3. Banyaknya garis singgung f (x) yang sejajar garis lurus y = –3x + 5.

Orang pertama yang memberikan jawaban benar akan menerima hadiah insentif sebesar 150 rubel. Tulis jawaban Anda di komentar. Jika ini adalah komentar pertama Anda di blog, maka komentar tersebut tidak akan langsung muncul, melainkan beberapa saat kemudian (jangan khawatir, waktu penulisan komentar tersebut dicatat).

Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander Krutitsikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu saya tentang situs ini di jejaring sosial.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval [–5; 6]. Tentukan banyak titik pada grafik f(x) yang garis singgungnya pada grafik fungsi tersebut berimpit atau sejajar dengan sumbu x.

Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi terdiferensiasi y = f(x).

Temukan banyak titik pada grafik fungsi yang termasuk dalam segmen [–7; 7], yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus yang ditentukan oleh persamaan y = –3x.

Titik material M mulai bergerak dari titik A dan bergerak lurus selama 12 sekon. Grafik menunjukkan bagaimana jarak dari titik A ke titik M berubah seiring waktu. Sumbu absis menunjukkan waktu t dalam detik, dan sumbu ordinat menunjukkan jarak s dalam meter. Tentukan berapa kali selama gerak kecepatan titik M berubah menjadi nol (tidak memperhitungkan awal dan akhir gerak).

Gambar tersebut menunjukkan bagian-bagian grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik yang absis x = 0. Diketahui garis singgung tersebut sejajar dengan garis lurus yang melalui titik-titik grafik tersebut. dengan absis x = -2 dan x = 3. Dengan menggunakan ini, carilah nilai turunan f"(o).

Gambar tersebut menunjukkan grafik y = f’(x) - turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada segmen (−11; 2). Tentukan absis titik yang garis singgung grafik fungsi y = f(x) sejajar atau berimpit dengan sumbu absis.

Sebuah titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, dengan x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik, diukur dari awal gerakan. Pada titik waktu berapa (dalam detik) kecepatannya sama dengan 2 m/s?

Suatu titik material bergerak sepanjang garis lurus dari posisi awal ke posisi akhir. Gambar tersebut menunjukkan grafik pergerakannya. Sumbu absis menunjukkan waktu dalam detik, dan sumbu ordinat menunjukkan jarak dari posisi awal suatu titik (dalam meter). Temukan kecepatan rata-rata titik tersebut. Berikan jawaban Anda dalam meter per detik.

Fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval [-4; 4]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan banyak titik pada grafik fungsi y = f (x) yang garis singgungnya membentuk sudut 45° terhadap arah positif sumbu Ox.

Fungsi y = f(x) terdefinisi pada interval [-2; 4]. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunannya. Tentukan absis suatu titik pada grafik fungsi y = f (x) yang mempunyai nilai terkecil pada ruas [-2; -0,001].

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik x0. Garis singgungnya diberikan oleh persamaan y = -2x + 15. Tentukan nilai turunan fungsi y = -(1/4)f(x) + 5 di titik x0.

Pada grafik fungsi terdiferensiasi y = f (x) ditandai tujuh titik: x1,.., x7. Temukan semua titik yang ditandai di mana turunan fungsi f(x) lebih besar dari nol. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y = f"(x) dari turunan fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-10; 2). Tentukan banyak titik yang bersinggungan dengan grafik fungsi f (x) sejajar dengan garis lurus y = -2x-11 atau berimpit dengannya.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=f"(x) - turunan dari fungsi f(x). Ada sembilan titik yang ditandai pada sumbu absis: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Berapa banyak titik-titik tersebut yang termasuk dalam interval penurunan fungsi f(x)?

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgung grafik tersebut yang digambar di titik x0. Garis singgung diberikan oleh persamaan y = 1,5x + 3,5. Tentukan nilai turunan fungsi y = 2f(x) - 1 di titik x0.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y=F(x) dari salah satu antiturunan fungsi f (x). Ada enam titik yang ditandai pada grafik dengan absis x1, x2, ..., x6. Pada berapa titik-titik tersebut fungsi y=f(x) bernilai negatif?

Gambar tersebut menunjukkan grafik mobil yang bergerak sepanjang rute. Sumbu absis menunjukkan waktu (dalam jam), dan sumbu ordinat menunjukkan jarak yang ditempuh (dalam kilometer). Temukan kecepatan rata-rata mobil pada rute ini. Berikan jawaban Anda dalam km/jam

Sebuah titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, dengan x adalah jarak dari titik acuan (dalam meter), t adalah waktu gerakan (dalam hitungan detik). Tentukan kecepatannya (dalam meter per detik) pada waktu t=6 s

Gambar tersebut menunjukkan grafik antiturunan y = F(x) dari beberapa fungsi y = f(x), yang didefinisikan pada interval (-6; 7). Dengan menggunakan gambar, tentukan banyaknya angka nol dari fungsi f(x) pada interval ini.

Gambar tersebut menunjukkan grafik y = F(x) dari salah satu antiturunan dari beberapa fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-7; 5). Dengan menggunakan gambar, tentukan banyaknya penyelesaian persamaan f(x) = 0 pada interval [- 5; 2].

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi terdiferensiasi y=f(x). Ada sembilan titik yang ditandai pada sumbu x: x1, x2,…x9. Temukan semua titik yang ditandai di mana turunan fungsi f(x) negatif. Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin ini.

Sebuah titik material bergerak lurus menurut hukum x(t)=12t^3−3t^2+2t, dengan x adalah jarak dari titik acuan dalam meter, t adalah waktu dalam detik yang diukur dari awal pergerakan. Tentukan kecepatannya (dalam meter per detik) pada waktu t=6 s.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgung grafik ini yang digambar di titik x0. Persamaan tangen ditunjukkan pada gambar. tentukan nilai turunan fungsi y=4*f(x)-3 di titik x0.

Bayangkan sebuah jalan lurus melewati daerah perbukitan. Artinya, naik turun, tetapi tidak berbelok ke kanan atau ke kiri. Jika sumbu diarahkan secara horizontal sepanjang jalan dan vertikal, maka garis jalan akan sangat mirip dengan grafik beberapa fungsi kontinu:

Sumbunya adalah tingkat ketinggian nol tertentu, dalam kehidupan kita menggunakan permukaan laut sebagai itu.

Saat kita bergerak maju di sepanjang jalan tersebut, kita juga bergerak ke atas atau ke bawah. Kita juga dapat mengatakan: ketika argumen berubah (pergerakan sepanjang sumbu absis), nilai fungsi berubah (pergerakan sepanjang sumbu ordinat). Sekarang mari kita pikirkan bagaimana cara menentukan “kecuraman” jalan kita? Nilai macam apa ini? Sederhana saja: seberapa besar perubahan ketinggian ketika bergerak maju dalam jarak tertentu. Memang, di bagian jalan yang berbeda, bergerak maju (sepanjang sumbu x) sejauh satu kilometer, kita akan naik atau turun dengan jumlah meter yang berbeda relatif terhadap permukaan laut (sepanjang sumbu y).

Mari kita nyatakan kemajuan (baca “delta x”).

Huruf Yunani (delta) umumnya digunakan dalam matematika sebagai awalan yang berarti "perubahan". Yaitu - ini adalah perubahan kuantitas, - perubahan; lalu apa itu? Itu benar, perubahan besarnya.

Penting: suatu ekspresi adalah satu kesatuan, satu variabel. Jangan pernah memisahkan “delta” dari “x” atau huruf lainnya! Misalnya, .

Jadi, kita telah bergerak maju, secara horizontal. Jika kita bandingkan garis jalan dengan grafik fungsinya, lalu bagaimana kita menyatakan tanjakannya? Tentu, . Artinya, saat kita bergerak maju, kita naik lebih tinggi.

Nilainya mudah dihitung: jika pada awalnya kita berada di ketinggian, dan setelah bergerak kita menemukan diri kita berada di ketinggian, maka. Jika titik akhir lebih rendah dari titik awal, maka akan negatif - artinya kita tidak naik, tetapi turun.

Mari kita kembali ke "kecuraman": ini adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar (curam) ketinggian bertambah ketika bergerak maju satu satuan jarak:

Mari kita asumsikan bahwa di beberapa bagian jalan, ketika bergerak maju satu kilometer, jalan tersebut naik satu kilometer. Maka kemiringan di tempat ini adalah sama. Dan bagaimana jika jalan tersebut, ketika bergerak maju sejauh m, turun sejauh km? Maka kemiringannya sama.

Sekarang mari kita lihat puncak sebuah bukit. Jika kita mengambil bagian awal setengah kilometer sebelum puncak, dan akhir setengah kilometer setelahnya, terlihat bahwa tingginya hampir sama.

Artinya, menurut logika kita, ternyata kemiringan di sini hampir sama dengan nol, yang jelas tidak benar. Hanya dalam jarak beberapa kilometer, banyak hal bisa berubah. Penting untuk mempertimbangkan area yang lebih kecil agar penilaian kecuraman lebih memadai dan akurat. Misalnya, jika Anda mengukur perubahan ketinggian saat Anda bergerak satu meter, hasilnya akan jauh lebih akurat. Namun keakuratan ini pun mungkin belum cukup bagi kita - lagipula, jika ada tiang di tengah jalan, kita bisa melewatinya begitu saja. Jarak apa yang harus kita pilih? Sentimeter? Milimeter? Lebih sedikit lebih baik!

Dalam kehidupan nyata, mengukur jarak hingga milimeter terdekat sudah lebih dari cukup. Namun matematikawan selalu berusaha mencapai kesempurnaan. Oleh karena itu, konsep tersebut diciptakan kecil sekali, yaitu nilai mutlaknya lebih kecil dari bilangan apa pun yang dapat kita sebutkan. Misalnya, Anda berkata: sepertriliun! Berapa banyak lagi? Dan Anda membagi angka ini dengan - dan jumlahnya akan lebih sedikit. Dan seterusnya. Jika kita ingin menuliskan suatu besaran yang sangat kecil, kita menulis seperti ini: (kita membaca “x cenderung nol”). Sangat penting untuk dipahami bahwa angka ini bukan nol! Tapi sangat dekat dengannya. Artinya, Anda dapat membaginya.

Konsep kebalikan dari sangat kecil adalah sangat besar (). Anda mungkin pernah menemukannya saat mengerjakan pertidaksamaan: bilangan ini modulo lebih besar dari bilangan mana pun yang dapat Anda pikirkan. Jika kamu berhasil mendapatkan angka terbesar, kalikan saja dengan dua dan kamu akan mendapatkan angka yang lebih besar lagi. Dan ketidakterbatasan bahkan lebih besar dari apa yang terjadi. Faktanya, besar tak terhingga dan kecil tak terhingga merupakan kebalikan satu sama lain, yaitu pada, dan sebaliknya: pada.

Sekarang mari kita kembali ke jalan kita. Kemiringan yang dihitung secara ideal adalah kemiringan yang dihitung untuk suatu ruas jalan yang sangat kecil, yaitu:

Saya perhatikan bahwa dengan perpindahan yang sangat kecil, perubahan ketinggian juga akan sangat kecil. Namun izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sangat kecil tidak berarti sama dengan nol. Jika Anda membagi bilangan yang sangat kecil satu sama lain, Anda bisa mendapatkan bilangan biasa, misalnya, . Artinya, satu nilai kecil bisa saja berukuran beberapa kali lebih besar dari nilai lainnya.

Untuk apa semua ini? Jalannya, kecuramannya... Kami tidak ikut reli mobil, tapi kami mengajar matematika. Dan dalam matematika semuanya persis sama, hanya disebut berbeda.

Konsep turunan

Turunan suatu fungsi adalah rasio pertambahan fungsi terhadap pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil.

Secara bertahap dalam matematika mereka menyebutnya perubahan. Sejauh mana argumen () berubah seiring pergerakannya sepanjang sumbu disebut peningkatan argumen dan dilambangkan Berapa banyak perubahan fungsi (ketinggian) ketika bergerak maju sepanjang sumbu dengan suatu jarak disebut peningkatan fungsi dan ditunjuk.

Jadi, turunan suatu fungsi adalah perbandingan terhadap kapan. Kami menyatakan turunannya dengan huruf yang sama dengan fungsinya, hanya dengan bilangan prima di kanan atas: atau sederhananya. Jadi, mari kita tulis rumus turunannya menggunakan notasi berikut:

Seperti analogi jalan, di sini jika fungsinya naik, turunannya bernilai positif, dan jika turun, turunannya negatif.

Bisakah turunannya sama dengan nol? Tentu. Misalnya kita berkendara di jalan datar mendatar maka kecuramannya nol. Dan memang benar, tingginya tidak berubah sama sekali. Begitu pula dengan turunannya: turunan suatu fungsi konstanta (konstanta) sama dengan nol:

karena kenaikan fungsi tersebut sama dengan nol untuk sembarang.

Mari kita ingat contoh di puncak bukit. Ternyata ujung-ujung ruas dapat disusun pada sisi-sisi yang berlawanan dari titik sudut sedemikian rupa sehingga tinggi ujung-ujungnya menjadi sama, yaitu ruas tersebut sejajar dengan sumbu:

Namun segmen yang besar merupakan tanda pengukuran yang tidak akurat. Kita angkat ruas kita sejajar dengan dirinya, lalu panjangnya akan berkurang.

Akhirnya, ketika kita sudah sangat dekat dengan puncak, panjang segmen tersebut akan menjadi sangat kecil. Tetapi pada saat yang sama, ia tetap sejajar dengan sumbu, yaitu perbedaan ketinggian di ujung-ujungnya sama dengan nol (tidak cenderung, tetapi sama dengan). Jadi turunannya

Hal ini dapat dipahami sebagai berikut: ketika kita berdiri di puncak, pergeseran kecil ke kiri atau ke kanan akan mengubah tinggi badan kita secara signifikan.

Ada juga penjelasan aljabar murni: di sebelah kiri titik, fungsinya bertambah, dan di sebelah kanan turun. Seperti yang telah kita ketahui sebelumnya, jika suatu fungsi meningkat, turunannya bernilai positif, dan jika turun, maka turunannya negatif. Tapi perubahannya mulus, tanpa lompatan (karena kemiringan jalan tidak berubah tajam di mana pun). Oleh karena itu, harus ada antara nilai negatif dan positif. Di sinilah fungsinya tidak bertambah atau berkurang - di titik puncak.

Hal yang sama berlaku untuk palung (area dimana fungsi di sebelah kiri berkurang dan di sebelah kanan bertambah):

Sedikit lagi tentang peningkatan.

Jadi kita ubah argumennya menjadi besaran. Kita berubah dari nilai apa? Apa jadinya (argumennya) sekarang? Kita dapat memilih titik mana saja, dan sekarang kita akan menari dari titik tersebut.

Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat. Nilai fungsi di dalamnya adalah sama. Kemudian kita melakukan kenaikan yang sama: kita menambah koordinat sebesar. Apa argumennya sekarang? Sangat mudah: . Berapa nilai fungsinya sekarang? Ke mana argumennya pergi, begitu pula fungsinya: . Bagaimana dengan peningkatan fungsi? Bukan hal baru: ini masih merupakan jumlah perubahan fungsi:

Berlatihlah menemukan peningkatan:

Temukan pertambahan fungsi pada titik ketika pertambahan argumen sama dengan.
Hal yang sama berlaku untuk fungsi pada suatu titik.

Solusi:

Pada titik berbeda dengan kenaikan argumen yang sama, kenaikan fungsi akan berbeda. Artinya turunan di setiap titik berbeda (kita sudah membahasnya di awal - kecuraman jalan berbeda di titik yang berbeda). Oleh karena itu, ketika kita menulis turunan, kita harus menunjukkan pada titik mana:

Fungsi daya.

Fungsi pangkat adalah fungsi yang argumennya sampai taraf tertentu (logis, bukan?).

Selain itu - sampai batas tertentu: .

Kasus paling sederhana adalah ketika eksponennya adalah:

Mari kita cari turunannya di suatu titik. Mari kita ingat kembali definisi turunan:

Jadi argumennya berubah dari menjadi. Berapa kenaikan fungsinya?

Peningkatannya adalah ini. Namun suatu fungsi di titik mana pun sama dengan argumennya. Itu sebabnya:

Turunannya sama dengan:

Turunan dari sama dengan:

b) Sekarang perhatikan fungsi kuadrat (): .

Sekarang mari kita ingat itu. Artinya, nilai kenaikan dapat diabaikan, karena sangat kecil, dan oleh karena itu tidak signifikan dibandingkan dengan suku lainnya:

Jadi, kami membuat aturan lain:

c) Kami melanjutkan rangkaian logika: .

Ekspresi ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara: buka tanda kurung pertama menggunakan rumus perkalian pangkat tiga yang disingkat, atau faktorkan seluruh ekspresi menggunakan rumus selisih pangkat tiga. Cobalah melakukannya sendiri menggunakan salah satu metode yang disarankan.

Jadi, saya mendapatkan yang berikut ini:

Dan sekali lagi mari kita ingat itu. Artinya kita bisa mengabaikan semua istilah yang mengandung:

Kita mendapatkan: .

d) Aturan serupa dapat diperoleh untuk kekuatan besar:

e) Ternyata aturan ini dapat digeneralisasikan untuk fungsi pangkat dengan eksponen sembarang, bahkan bukan bilangan bulat:

(2)

Aturannya dapat dirumuskan dengan kata-kata: “derajat dimajukan sebagai koefisien, dan kemudian dikurangi sebesar .”

Kami akan membuktikan aturan ini nanti (hampir di bagian paling akhir). Sekarang mari kita lihat beberapa contoh. Temukan turunan dari fungsi:

(dalam dua cara: dengan rumus dan menggunakan definisi turunan - dengan menghitung kenaikan fungsi);

Fungsi trigonometri.

Di sini kita akan menggunakan satu fakta dari matematika tingkat tinggi:

Dengan ekspresi.

Anda akan mempelajari buktinya di tahun pertama institut (dan untuk mencapainya, Anda harus lulus Ujian Negara Bersatu dengan baik). Sekarang saya akan menunjukkannya secara grafis:

Kita melihat bahwa ketika fungsinya tidak ada, titik pada grafik terpotong. Namun semakin dekat nilainya, semakin dekat fungsinya. Inilah yang “dituju”.

Selain itu, Anda dapat memeriksa aturan ini menggunakan kalkulator. Iya iya jangan malu-malu ambil kalkulator, kita belum ada di Unified State Examination.

Jadi, mari kita coba: ;

Jangan lupa untuk mengalihkan kalkulator Anda ke mode Radian!

dll. Kita melihat bahwa semakin kecil, semakin dekat nilai rasionya.

a) Perhatikan fungsinya. Seperti biasa, mari kita cari kenaikannya:

Mari kita ubah perbedaan sinus menjadi sebuah hasil kali. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus (ingat topik “”): .

Sekarang turunannya:

Mari kita buat penggantinya: . Lalu untuk yang sangat kecil juga sangat kecil: . Ekspresi untuk berbentuk:

Dan sekarang kita mengingatnya dengan ungkapan. Dan juga, bagaimana jika suatu kuantitas yang sangat kecil dapat diabaikan dalam jumlah tersebut (yaitu, di).

Jadi, kita mendapatkan aturan berikut: turunan sinus sama dengan kosinus:

Ini adalah turunan dasar (“tabel”). Ini dia dalam satu daftar:

Nanti kita akan menambahkan beberapa lagi, tapi ini yang paling penting, karena paling sering digunakan.

Praktik:

Temukan turunan fungsi di suatu titik;
Temukan turunan dari fungsi tersebut.

Solusi:

Logaritma eksponen dan natural.

Ada suatu fungsi dalam matematika yang turunannya untuk suatu nilai sama dengan nilai fungsi itu sendiri pada waktu yang sama. Ini disebut “eksponen”, dan merupakan fungsi eksponensial

Basis fungsi ini - sebuah konstanta - adalah pecahan desimal tak hingga, yaitu bilangan irasional (seperti). Ini disebut “bilangan Euler”, oleh karena itu dilambangkan dengan huruf.

Jadi, aturannya:

Sangat mudah diingat.

Baiklah, tidak usah jauh-jauh, langsung saja kita bahas fungsi inversnya. Fungsi manakah yang merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial? Logaritma:

Dalam kasus kami, basisnya adalah angka:

Logaritma seperti itu (yaitu, logaritma dengan basis) disebut “alami”, dan kami menggunakan notasi khusus untuk itu: kami menulisnya.

Sama dengan apa? Tentu saja, .

Turunan dari logaritma natural juga sangat sederhana:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi tersebut.
Berapakah turunan dari fungsi tersebut?

Jawaban: Logaritma eksponensial dan natural adalah fungsi unik dan sederhana dari perspektif turunan. Fungsi eksponensial dan logaritma dengan basis lain akan mempunyai turunan yang berbeda, yang akan kita analisis nanti, setelah kita membahas aturan diferensiasi.

Aturan diferensiasi

Aturan apa? Lagi istilah baru, lagi?!...

Diferensiasi adalah proses mencari turunannya.

Itu saja. Apa lagi yang bisa Anda sebut proses ini dalam satu kata? Bukan turunan... Matematikawan menyebut diferensial sebagai pertambahan fungsi yang sama di. Istilah ini berasal dari bahasa Latin differential – perbedaan. Di Sini.

Saat menurunkan semua aturan ini, kita akan menggunakan dua fungsi, misalnya, dan. Kita juga memerlukan rumus untuk kenaikannya:

Total ada 5 aturan.

Konstanta tersebut dikeluarkan dari tanda turunannya.

Jika - suatu bilangan konstan (konstan), maka.

Tentu saja, aturan ini juga berlaku untuk perbedaannya: .

Mari kita buktikan. Biarlah, atau lebih sederhana.

Contoh.

Temukan turunan dari fungsi:

pada suatu titik;
pada suatu titik;
pada suatu titik;
pada intinya.

Solusi:

Turunan dari produk

Semuanya serupa di sini: mari perkenalkan fungsi baru dan temukan kenaikannya:

Turunan:

Contoh:

Temukan turunan dari fungsi dan;
Temukan turunan fungsi di suatu titik.

Solusi:

Turunan dari fungsi eksponensial

Sekarang pengetahuan Anda sudah cukup untuk mempelajari cara mencari turunan fungsi eksponensial apa pun, dan bukan hanya eksponen (apakah Anda sudah lupa apa itu?).

Jadi, di mana nomornya.

Kita sudah mengetahui turunan dari fungsi tersebut, jadi mari kita coba mereduksi fungsi kita ke basis baru:

Untuk melakukan ini, kita akan menggunakan aturan sederhana: . Kemudian:

Ya, itu berhasil. Sekarang coba cari turunannya, dan jangan lupa bahwa fungsi ini kompleks.

Telah terjadi?

Di sini, periksa diri Anda:

Rumusnya ternyata sangat mirip dengan turunan eksponen: semula tetap sama, hanya muncul faktor yang hanya berupa bilangan, bukan variabel.

Contoh:
Temukan turunan dari fungsi:

Jawaban:

Turunan dari fungsi logaritma

Di sini serupa: Anda sudah mengetahui turunan dari logaritma natural:

Oleh karena itu, untuk mencari logaritma sembarang dengan basis berbeda, misalnya:

Kita perlu mengurangi logaritma ini ke basis. Bagaimana cara mengubah basis logaritma? Saya harap Anda ingat rumus ini:

Hanya sekarang kami akan menulis:

Penyebutnya hanyalah sebuah konstanta (bilangan konstan, tanpa variabel). Turunannya diperoleh dengan sangat sederhana:

Turunan dari fungsi eksponensial dan logaritma hampir tidak pernah ditemukan dalam Unified State Examination, namun tidak akan berlebihan untuk mengetahuinya.

Turunan dari fungsi kompleks.

Apa yang dimaksud dengan "fungsi kompleks"? Tidak, ini bukan logaritma, dan bukan tangen busur. Fungsi-fungsi ini mungkin sulit untuk dipahami (walaupun jika Anda merasa logaritmanya sulit, bacalah topik “Logaritma” dan Anda akan baik-baik saja), tetapi dari sudut pandang matematika, kata “kompleks” tidak berarti “sulit”.

Bayangkan sebuah ban berjalan kecil: dua orang sedang duduk dan melakukan beberapa tindakan dengan beberapa benda. Misalnya, yang pertama membungkus sebatang coklat dengan bungkusnya, dan yang kedua mengikatnya dengan pita. Hasilnya adalah sebuah benda gabungan: sebatang coklat yang dibungkus dan diikat dengan pita. Untuk memakan sebatang coklat, Anda perlu melakukan langkah sebaliknya dalam urutan terbalik.

Mari kita membuat alur matematika serupa: pertama kita akan mencari kosinus suatu bilangan, lalu mengkuadratkan bilangan yang dihasilkan. Jadi, kita diberi nomor (cokelat), saya mencari cosinusnya (pembungkusnya), lalu Anda mengkuadratkan apa yang saya dapat (ikat dengan pita). Apa yang telah terjadi? Fungsi. Ini adalah contoh fungsi kompleks: ketika, untuk mencari nilainya, kita melakukan tindakan pertama secara langsung dengan variabel, dan kemudian tindakan kedua dengan hasil yang pertama.

Kita dapat dengan mudah melakukan langkah yang sama dalam urutan terbalik: pertama Anda mengkuadratkannya, lalu saya mencari kosinus dari bilangan yang dihasilkan: . Mudah ditebak bahwa hasilnya hampir selalu berbeda. Fitur penting dari fungsi kompleks: ketika urutan tindakan berubah, fungsinya pun berubah.

Dengan kata lain, fungsi kompleks adalah fungsi yang argumennya merupakan fungsi lain: .

Sebagai contoh pertama, .

Contoh kedua: (hal yang sama). .

Tindakan yang terakhir kita lakukan akan dipanggil fungsi "eksternal"., dan tindakan yang dilakukan pertama kali - sesuai fungsi "internal".(ini nama informal, saya menggunakannya hanya untuk menjelaskan materi dalam bahasa sederhana).

Coba tentukan sendiri mana fungsi eksternal dan mana internal:

Jawaban: Memisahkan fungsi dalam dan luar sangat mirip dengan mengubah variabel: misalnya, dalam suatu fungsi

Kami mengubah variabel dan mendapatkan fungsi.

Nah, sekarang kita akan mengekstrak coklat batangan kita dan mencari turunannya. Prosedurnya selalu terbalik: pertama kita mencari turunan fungsi luar, lalu kita mengalikan hasilnya dengan turunan fungsi dalam. Sehubungan dengan contoh aslinya, tampilannya seperti ini:

Contoh lain:

Jadi, mari kita rumuskan aturan resminya:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Tampaknya sederhana, bukan?

Mari kita periksa dengan contoh:

TURUNAN. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Turunan dari suatu fungsi- rasio pertambahan fungsi dengan pertambahan argumen untuk pertambahan argumen yang sangat kecil:

Turunan dasar:

Aturan diferensiasi:

Konstanta dikeluarkan dari tanda turunannya:

Turunan dari jumlah:

Turunan dari produk:

Turunan dari hasil bagi:

Turunan dari fungsi kompleks:

Algoritma untuk mencari turunan fungsi kompleks:

Kami mendefinisikan fungsi "internal" dan mencari turunannya.
Kami mendefinisikan fungsi "eksternal" dan mencari turunannya.
Kita kalikan hasil poin pertama dan kedua.

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang mengenyam pendidikan baik memperoleh penghasilan lebih banyak dibandingkan mereka yang tidak mengenyam pendidikan. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini -
Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - Beli buku teks - 499 RUR

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!

(Gbr.1)

Gambar 1. Grafik turunan

Properti grafik turunan

Pada interval yang semakin meningkat, turunannya positif. Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai positif, maka grafik fungsi pada interval tersebut bertambah.
Pada interval menurun, turunannya negatif (dengan tanda minus). Jika turunan suatu titik tertentu dari interval tertentu bernilai negatif, maka grafik fungsinya menurun pada interval tersebut.
Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik yang sama.
Pada titik maksimum dan minimum suatu fungsi, turunannya sama dengan nol. Garis singgung grafik fungsi pada titik ini sejajar dengan sumbu OX.

Contoh 1

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 2), tentukan di titik mana pada segmen [-3; 5] fungsinya maksimal.

Gambar 2. Grafik turunan

Penyelesaian: Pada ruas ini turunannya negatif, artinya fungsinya mengecil dari kiri ke kanan, dan nilai terbesar ada di ruas kiri di titik -3.

Contoh 2

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik maksimum pada segmen [-11; 3].

Gambar 3. Grafik turunan

Penyelesaian: Titik maksimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari positif ke negatif. Pada interval ini, fungsi berubah tanda dari plus ke minus dua kali - di titik -10 dan di titik -1. Artinya jumlah poin maksimalnya adalah dua.

Contoh 3

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik minimum pada segmen [-11; -1].

Penyelesaian: Titik minimum adalah titik yang tanda turunannya berubah dari negatif ke positif. Di segmen ini, titik tersebut hanya -7. Artinya jumlah titik minimum pada suatu ruas tertentu adalah satu.

Contoh 4

Dengan menggunakan grafik turunan (Gbr. 3), tentukan jumlah titik ekstrem.

Penyelesaian: Titik ekstrim merupakan titik minimum dan maksimum. Mari kita cari banyak titik di mana turunannya berubah tanda.