Točke na grafu diferencijabilne funkcije. Diferencijacija funkcija. Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema

Sadržaj članka

DERIVACIJA– izvod funkcije g = f(x), dano na određenom intervalu ( a, b) u točki x tog intervala naziva se granica kojoj teži omjer prirasta funkcije f u ovoj točki do odgovarajućeg povećanja argumenta kada povećanje argumenta teži nuli.

Derivat se obično označava na sljedeći način:

Druge oznake također se široko koriste:

Trenutačna brzina.

Neka točka M kreće se pravocrtno. Udaljenost s pokretna točka, računajući od neke početne pozicije M 0 , ovisi o vremenu t, tj. s postoji funkcija vremena t: s= f(t). Neka u nekom trenutku u vremenu t pokretna točka M bio na daljinu s iz početne pozicije M 0, au nekom sljedećem trenutku t+D t našla u položaju M 1 - na daljinu s+D s iz početne pozicije ( vidi sliku.).

Dakle, tijekom određenog vremena D t udaljenost s promijenio za iznos D s. U ovom slučaju kažu da je tijekom vremenskog intervala D t veličina s dobio prirast D s.

Prosječna brzina ne može u svim slučajevima točno karakterizirati brzinu kretanja točke M u određenom trenutku t. Ako je npr. tijelo na početku intervala D t kretao vrlo brzo, a na kraju vrlo sporo, tada prosječna brzina neće moći odražavati naznačene značajke kretanja točke i dati predodžbu o stvarnoj brzini njezina kretanja u ovom trenutku t. Za točnije izražavanje stvarne brzine korištenjem prosječne brzine potrebno je uzeti kraće vremensko razdoblje D t. Najpotpunije karakterizira brzinu kretanja točke u trenutku t granica kojoj teži prosječna brzina na D t® 0. Ova granica se naziva trenutna brzina:

Dakle, brzina kretanja u danom trenutku naziva se granica omjera prirasta putanje D s na vremenski prirast D t, kada vremenski prirast teži nuli. Jer

Geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangentnih linija jedan je od onih problema koji su doveli do rođenja diferencijalnog računa. Prvo objavljeno djelo vezano uz diferencijalni račun, koje je napisao Leibniz, bilo je pod naslovom Nova metoda maksimuma i minimuma, kao i tangenti, kojima ni frakcijske ni iracionalne veličine nisu prepreka, te posebna vrsta računa za to..

Neka je krivulja graf funkcije g =f(x) u pravokutnom koordinatnom sustavu ( cm. riža.).

Po nekoj vrijednosti x funkcija je bitna g =f(x). Ove vrijednosti x I g točka na krivulji odgovara M 0(x, g). Ako argument x dati povećanje D x, zatim nova vrijednost argumenta x+D x odgovara novoj funkcijskoj vrijednosti y+ D g = f(x + D x). Odgovarajuća točka krivulje bit će točka M 1(x+D x,g+D g). Ako povučete sekantu M 0M 1 i označeno s j kut koji tvori transverzala s pozitivnim smjerom osi Vol, iz slike je odmah jasno da je .

Ako sada D x teži nuli, a zatim točka M 1 kreće se duž krivulje, približavajući se točki M 0, i kut j mijenja se s D x. Na Dx® 0 kut j teži određenoj granici a i pravac koji prolazi točkom M 0 i komponenta s pozitivnim smjerom x-osi, kutom a, bit će željena tangenta. Njegov nagib je:

Stoga, f´( x) = tga

oni. izvedena vrijednost f´( x) za zadanu vrijednost argumenta x jednak je tangensu kuta koji tvori tangenta na graf funkcije f(x) u odgovarajućoj točki M 0(x,g) s pozitivnim smjerom osi Vol.

Diferencijabilnost funkcija.

Definicija. Ako funkcija g = f(x) ima derivaciju u točki x = x 0, tada je funkcija diferencijabilna u ovoj točki.

Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema.

Ako funkcija g = f(x) je diferencijabilan u nekom trenutku x = x 0, onda je kontinuirana u ovoj točki.

Dakle, funkcija ne može imati derivaciju u točkama diskontinuiteta. Suprotan zaključak je netočan, tj. iz činjenice da u nekom trenutku x = x 0 funkcija g = f(x) kontinuirana ne znači da je diferencijabilna u ovoj točki. Na primjer, funkcija g = |x| kontinuirano za sve x(–Ґ x x = 0 nema derivaciju. U ovoj točki ne postoji tangenta na graf. Postoje desna tangenta i lijeva, ali se ne poklapaju.

Neki teoremi o diferencijabilnim funkcijama. Teorem o korijenima derivacije (Rolleov teorem). Ako funkcija f(x) kontinuirana je na segmentu [a,b], diferencijabilan je u svim unutarnjim točkama ovog segmenta i na krajevima x = a I x = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), zatim unutar segmenta [ a,b] postoji barem jedna točka x= S, a c b, u kojem je izvod fў( x) ide na nulu, tj. fў( c) = 0.

Teorem konačnog prirasta (Lagrangeov teorem). Ako funkcija f(x) kontinuirana je na intervalu [ a, b] i diferencijabilan je u svim unutarnjim točkama ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji barem jedna točka S, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorem o omjeru priraštaja dviju funkcija (Cauchyjev teorem). Ako f(x) I g(x) – dvije funkcije kontinuirane na segmentu [a, b] i diferencijabilan u svim unutarnjim točkama ovog segmenta, i gў( x) ne nestaje nigdje unutar ovog segmenta, onda unutar segmenta [ a, b] postoji takva točka x = S, a c b to

Derivati ​​raznih redova.

Neka funkcija g =f(x) je diferencijabilna na nekom intervalu [ a, b]. Izvedene vrijednosti f ў( x), općenito govoreći, ovise o x, tj. izvedenica f ў( x) također je funkcija od x. Diferenciranjem ove funkcije dobivamo tzv. drugu derivaciju funkcije f(x), što je označeno f ўў ( x).

Izvedenica n- red funkcije f(x) naziva se derivacija (prvog reda) derivacije n- 1- th i označen je simbolom g(n) = (g(n– 1))ŭ.

Diferencijali raznih redova.

Funkcijski diferencijal g = f(x), Gdje x– nezavisna varijabla, da dy = f ў( x)dx, neka funkcija iz x, ali iz x samo prvi faktor može ovisiti f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirast nezavisne varijable x i ne ovisi o vrijednosti ove varijable. Jer dy postoji funkcija iz x, onda možemo odrediti diferencijal ove funkcije. Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda te funkcije i označava se d 2g:

d(dx) = d 2g = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencijal n- prvog reda naziva se prvi diferencijal diferencijala n- 1- redoslijed:

d n y = d(d n–1g) = f(n)(x)dx(n).

Parcijalna derivacija.

Ako funkcija ne ovisi o jednom, nego o nekoliko argumenata x i(ja varira od 1 do n,ja= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada se u diferencijalnom računu uvodi pojam parcijalne derivacije, koja karakterizira brzinu promjene funkcije nekoliko varijabli kada se mijenja samo jedan argument, na primjer, x i. Parcijalna derivacija 1. reda s obzirom na x i je definirana kao obična derivacija i pretpostavlja se da su svi argumenti osim x i, zadržati konstantne vrijednosti. Za parcijalne derivacije uvodi se oznaka

Ovako definirane parcijalne derivacije 1. reda (kao funkcije istih argumenata) mogu pak također imati parcijalne derivacije, to su parcijalne derivacije drugog reda itd. Takve derivacije preuzete iz različitih argumenata nazivamo mješovitim. Kontinuirane mješovite derivacije istog reda ne ovise o redu diferenciranja i međusobno su jednake.

Anna Chugainova

Izvedenica funkcije u točki naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da teži nuli.

Osnovna pravila za pronalaženje derivacije

Ako su - i - diferencijabilne funkcije u točki , (tj. funkcije koje imaju derivacije u točki), tada:

4) .

Tablica izvodnica osnovnih funkcija

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Pravilo za razlikovanje složene funkcije. Ako je i , tj. , gdje i imaju izvodnice, zatim

Parametarski specificirano diferenciranje funkcije. Neka je ovisnost varijable o varijabli parametarski specificirana pomoću parametra:

Zadatak 3. Pronađite derivacije ovih funkcija.

1)

Riješenje. Primjenjujući pravilo 2 za pronalaženje derivata i formule 1 i 2 tablice izvoda, dobivamo:

Riješenje. Primjenom pravila 4 za pronalaženje derivata i formula 1 i 13 tablice derivata dobivamo:

.

Riješenje. Primjenjujući pravilo 3 za pronalaženje derivata i formule 5 i 11 tablice izvoda, dobivamo:

Riješenje. Uz pretpostavku , gdje , prema formuli za pronalaženje derivacije složene funkcije, dobivamo:

Riješenje. Imamo: Zatim, prema formuli za pronalaženje derivacije funkcije specificirane parametarski, dobivamo:

4. Izvodnice višeg reda. L'Hopitalovo pravilo.

Derivacija funkcije drugog reda naziva se izvod svoje derivacije, tj. . Za drugu derivaciju koriste se sljedeće oznake: ili , ili .

Derivacija 1. reda funkcije naziva se izvod njegove derivacije th reda. Za derivaciju th reda koriste se sljedeće oznake: ili , ili .

L'Hopitalovo pravilo. Neka su funkcije i diferencijabilne u okolini točke i derivacija ne nestaje. Ako su funkcije i istovremeno ili beskonačno male ili beskonačno velike na , a postoji granica omjera na , tada također postoji granica omjera na . Štoviše

.

Pravilo vrijedi i kada .

Imajte na umu da u nekim slučajevima otkrivanje nesigurnosti tipa ili može zahtijevati ponovnu primjenu L'Hopitalovog pravila.

Tipske nesigurnosti, itd. uz pomoć elementarnih transformacija lako se mogu svesti na neodređenosti oblika ili .

Zadatak 4. Pronađite granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo.

Riješenje Ovdje imamo nesigurnost oblika , jer u . Primijenimo L'Hopitalovo pravilo:

.

Nakon primjene L'Hopitalovog pravila ponovno smo dobili nesigurnost oblika, jer u . Ponovno primjenjujući L'Hopitalovo pravilo, dobivamo:

.

5. Funkcijska studija

a) Rastuće i padajuće funkcije

Funkcija se zove povećavajući se na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu i za , tada raste na intervalu.

Funkcija se zove smanjujući se na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu i za , onda ona opada na intervalu.

Ako je funkcija samo rastuća ili samo opadajuća u zadanom intervalu, tada se ona poziva monoton na intervalu.

b) Ekstremi funkcija

minimalna točka funkcije .

Ako postoji -okolica točke tako da za sve točke iz te okoline vrijedi nejednakost, tada se točka naziva maksimalna točka funkcije .

Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivamo njezinim ekstremne točke.

Točka se zove stacionarna točka, ako ili ne postoji.

Ako postoji -susjedstvo stacionarne točke tako da za i za , Tada je najveća točka funkcije.

Ako postoji -okolina stacionarne točke takva da za i za , Tada je -minimalna točka funkcije .

a) Konveksni smjer. Točke infleksije

konveksno gore na intervalu , ako se nalazi ispod tangente ucrtane na graf funkcije u bilo kojoj točki ovog intervala.

Dovoljan uvjet za konveksnost grafa funkcije na intervalu prema gore je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od razmatranih intervala.

Graf diferencijabilne funkcije naziva se konveksno prema dolje na intervalu , ako se nalazi iznad tangente ucrtane na graf funkcije u bilo kojoj točki ovog intervala.

Dovoljan uvjet za konveksnost prema dolje grafa funkcije na intervalu je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od razmatranih intervala.

Točka u kojoj se mijenja smjer konveksnosti grafa funkcije naziva se točka infleksije.

Točka u kojoj postoji ili ne postoji je apscisa točke infleksije ako su predznaci lijevo i desno od nje različiti.

d) Asimptote

Ako udaljenost od točke na grafu funkcije do određene ravne crte teži nuli dok se točka beskonačno udaljava od ishodišta, tada se pravac naziva asimptota grafa funkcije.

Ako postoji broj takav da , Tada je linija vertikalna asimptota.

Ako postoje granice , tada je linija kosa (horizontalna na k=0) asimptota.

e) Opće proučavanje funkcije

1. Funkcijska domena

2. Točke presjeka grafa s koordinatnim osima

3. Proučavanje funkcije za kontinuitet, par/nepar i periodičnost

4. Intervali monotonosti funkcije

5. Točke ekstrema funkcije

6. Intervali konveksnosti i točke infleksije grafa funkcije

7. Asimptote grafa funkcije

8. Grafikon funkcije.

Zadatak 5. Istražite funkciju i konstruirajte njezin graf.

Riješenje. 1) Funkcija je definirana na cijelom brojevnom pravcu osim na mjestu gdje nazivnik razlomka ide prema nuli. . Imamo: ne spada u domenu definiranja ove funkcije. Prema tome, stacionarne točke ove funkcije su točke s minimalnom vrijednošću (kao što je prikazano na slici).

8) Koristeći dobivene podatke, izgradimo graf izvorne funkcije: