Punkte auf dem Graphen einer differenzierbaren Funktion. Differenzierung von Funktionen. Stetigkeit einer Funktion mit einer Ableitung. Satz

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DERIVAT– Ableitung der Funktion j = F(X), gegeben in einem bestimmten Intervall ( A, B) am Punkt X Dieses Intervall wird als Grenze bezeichnet, zu der das Verhältnis des Inkrements der Funktion tendiert F an diesem Punkt zum entsprechenden Inkrement des Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert.

Die Ableitung wird üblicherweise wie folgt bezeichnet:

Auch andere Bezeichnungen sind weit verbreitet:

Sofortige Geschwindigkeit.

Lassen Sie den Punkt M bewegt sich in einer geraden Linie. Distanz S Bewegungspunkt, gezählt von einer Anfangsposition M 0 , hängt von der Zeit ab T, d.h. S Es gibt eine Funktion der Zeit T: S= F(T). Irgendwann mal lassen T beweglicher Punkt M war in einiger Entfernung S von der Ausgangsposition aus M 0, und irgendwann im nächsten Moment T+D T befand sich in einer Position M 1 - auf Distanz S+D S von der Ausgangsposition ( siehe Bild.).

Somit über einen Zeitraum D T Distanz S um den Betrag D verändert S. In diesem Fall sagen sie, dass während des Zeitintervalls D T Größe S Inkrement D erhalten S.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann nicht in allen Fällen die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes genau charakterisieren M zu einem bestimmten Zeitpunkt T. Wenn zum Beispiel der Körper am Anfang des Intervalls D T Wenn sich ein Punkt sehr schnell und am Ende sehr langsam bewegt, kann die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht die angegebenen Merkmale der Bewegung des Punktes widerspiegeln und keine Vorstellung von der wahren Geschwindigkeit seiner Bewegung im Moment geben T. Um die wahre Geschwindigkeit anhand der Durchschnittsgeschwindigkeit genauer auszudrücken, müssen Sie einen kürzeren Zeitraum D nehmen T. Charakterisiert am besten die Bewegungsgeschwindigkeit eines Punktes im Moment T die Grenze, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei D tendiert T® 0. Diese Grenze wird als aktuelle Geschwindigkeit bezeichnet:

Daher wird die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt als Grenze des Weginkrementverhältnisses D bezeichnet S zum Zeitinkrement D T, wenn das Zeitinkrement gegen Null geht. Als

Geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Graphen einer Funktion.

Die Konstruktion von Tangenten ist eines der Probleme, die zur Geburt der Differentialrechnung führten. Das erste von Leibniz verfasste veröffentlichte Werk zur Differentialrechnung trug den Titel Eine neue Methode der Maxima und Minima sowie Tangenten, für die weder gebrochene noch irrationale Größen ein Hindernis darstellen, und eine spezielle Art der Analysis dafür.

Die Kurve sei der Graph der Funktion j =F(X) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem ( cm. Reis.).

Zu einem gewissen Wert X Funktion ist wichtig j =F(X). Diese Werte X Und j der Punkt auf der Kurve entspricht M 0(X, j). Wenn das Argument X geben Inkrement D X, dann der neue Wert des Arguments X+D X entspricht dem neuen Funktionswert y+ D j = F(X + D X). Der entsprechende Punkt der Kurve wird der Punkt sein M 1(X+D X,j+D j). Wenn Sie eine Sekante zeichnen M 0M 1 und mit j bezeichnet der Winkel, den eine Transverse mit der positiven Richtung der Achse bildet Ochse, das ist aus der Abbildung sofort ersichtlich.

Wenn jetzt D X tendiert gegen Null, dann der Punkt M 1 bewegt sich entlang der Kurve und nähert sich dem Punkt M 0 und Winkel J ändert sich mit D X. Bei Dx® 0 der Winkel j tendiert zu einem bestimmten Grenzwert a und der Geraden, die durch den Punkt geht M 0 und die Komponente mit der positiven Richtung der x-Achse, Winkel a, ist die gewünschte Tangente. Seine Steigung beträgt:

Somit, F´( X) = tga

diese. Ableitungswert F´( X) für einen gegebenen Argumentwert X entspricht dem Tangens des Winkels, den die Tangente an den Funktionsgraphen bildet F(X) an der entsprechenden Stelle M 0(X,j) mit positiver Achsrichtung Ochse.

Differenzierbarkeit von Funktionen.

Definition. Wenn die Funktion j = F(X) hat an diesem Punkt eine Ableitung X = X 0, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar.

Stetigkeit einer Funktion mit einer Ableitung. Satz.

Wenn die Funktion j = F(X) ist irgendwann differenzierbar X = X 0, dann ist es an dieser Stelle stetig.

Daher kann die Funktion an Unstetigkeitspunkten keine Ableitung haben. Die gegenteilige Schlussfolgerung ist falsch, d. h. aus der Tatsache, dass irgendwann X = X 0 Funktion j = F(X) stetig ist, bedeutet nicht, dass es an dieser Stelle differenzierbar ist. Zum Beispiel die Funktion j = |X| kontinuierlich für alle X(–Ґ x x = 0 hat keine Ableitung. An diesem Punkt gibt es keine Tangente an den Graphen. Es gibt eine Rechtstangente und eine Linkstangente, aber sie fallen nicht zusammen.

Einige Sätze über differenzierbare Funktionen. Satz über die Wurzeln der Ableitung (Satz von Rolle). Wenn die Funktion F(X) ist auf dem Segment kontinuierlich [A,B], ist an allen inneren Punkten dieses Segments und an den Enden differenzierbar X = A Und X = B geht auf Null ( F(A) = F(B) = 0), dann innerhalb des Segments [ A,B] gibt es mindestens einen Punkt X= Mit, A c b, in dem die Ableitung Fў( X) geht gegen Null, d.h. Fў( C) = 0.

Satz des endlichen Inkrements (Satz von Lagrange). Wenn die Funktion F(X) ist stetig im Intervall [ A, B] und ist an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, dann innerhalb des Segments [ A, B] gibt es mindestens einen Punkt Mit, A c b das

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Satz über das Verhältnis der Inkremente zweier Funktionen (Satz von Cauchy). Wenn F(X) Und G(X) – zwei Funktionen, die auf dem Segment fortlaufend sind [A, B] und an allen inneren Punkten dieses Segments differenzierbar, und Gў( X) verschwindet nirgendwo innerhalb dieses Segments, dann innerhalb des Segments [ A, B] Es gibt so einen Punkt X = Mit, A c b das

Derivate verschiedener Ordnungen.

Lassen Sie die Funktion j =F(X) ist in einem bestimmten Intervall differenzierbar [ A, B]. Abgeleitete Werte F ў( X), im Allgemeinen, hängen davon ab X, d.h. Derivat F ў( X) ist auch eine Funktion von X. Wenn wir diese Funktion differenzieren, erhalten wir die sogenannte zweite Ableitung der Funktion F(X), was bezeichnet wird F ўў ( X).

Derivat N- Ordnung der Funktion F(X) heißt die Ableitung (erster Ordnung) der Ableitung N- 1- th und ist mit dem Symbol gekennzeichnet j(N) = (j(N– 1))ў.

Differentiale verschiedener Ordnungen.

Funktionsdifferential j = F(X), Wo X– unabhängige Variable, ja dy = F ў( X)dx, einige Funktion von X, aber von X Nur der erste Faktor kann davon abhängen F ў( X), der zweite Faktor ( dx) ist das Inkrement der unabhängigen Variablen X und hängt nicht vom Wert dieser Variablen ab. Als dy Es gibt eine Funktion von X, dann können wir das Differential dieser Funktion bestimmen. Das Differential des Differentials einer Funktion wird als zweites Differential oder Differential zweiter Ordnung dieser Funktion bezeichnet und mit bezeichnet D 2j:

D(dx) = D 2j = F ўў( X)(dx) 2 .

Differential N- erster Ordnung heißt das erste Differential des Differentials N- 1- Bestellung:

dnj = D(d n–1j) = F(N)(X)dx(N).

Partielle Ableitung.

Wenn eine Funktion nicht von einem, sondern von mehreren Argumenten abhängt x i(ich variiert von 1 bis N,ich= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… x n), dann wird in der Differentialrechnung das Konzept der partiellen Ableitung eingeführt, das die Änderungsrate einer Funktion mehrerer Variablen charakterisiert, wenn sich beispielsweise nur ein Argument ändert, x i. Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x i ist als gewöhnliche Ableitung definiert und es wird angenommen, dass alle Argumente außer x i, konstante Werte beibehalten. Für partielle Ableitungen wird die Notation eingeführt

Die so definierten partiellen Ableitungen 1. Ordnung (als Funktionen derselben Argumente) können wiederum auch partielle Ableitungen haben, das sind partielle Ableitungen zweiter Ordnung usw. Solche Ableitungen aus unterschiedlichen Argumenten nennt man gemischt. Stetige gemischte Ableitungen gleicher Ordnung hängen nicht von der Differenzierungsordnung ab und sind einander gleich.

Anna Chugainova

Derivat Funktionen an einem Punkt heißt die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments, sofern es gegen Null geht.

Grundregeln zum Finden der Ableitung

Wenn - und - am Punkt differenzierbare Funktionen sind (d. h. Funktionen, die am Punkt Ableitungen haben), dann:

4) .

Tabelle der Ableitungen von Grundfunktionen

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion. Wenn und , d.h. , wo und dann Ableitungen haben

Differentiation einer parametrisch spezifizierten Funktion. Die Abhängigkeit einer Variablen von einer Variablen sei parametrisch durch den Parameter spezifiziert:

Aufgabe 3. Finden Sie Ableitungen dieser Funktionen.

1)

Lösung. Unter Anwendung der Regel 2 zum Finden von Ableitungen und der Formeln 1 und 2 der Ableitungstabelle erhalten wir:

Lösung. Wenn wir Regel 4 zum Finden von Ableitungen und die Formeln 1 und 13 der Ableitungstabelle anwenden, erhalten wir:

.

Lösung. Unter Anwendung der Regel 3 zum Finden von Ableitungen und der Formeln 5 und 11 der Ableitungstabelle erhalten wir:

Lösung. Angenommen, wo gemäß der Formel zum Ermitteln der Ableitung einer komplexen Funktion erhalten wir:

Lösung. Wir haben: Dann erhalten wir gemäß der Formel zum Ermitteln der Ableitung einer parametrisch angegebenen Funktion:

4. Derivate höherer Ordnung. Die Herrschaft von L'Hopital.

Ableitung zweiter Ordnung der Funktion heißt die Ableitung seiner Ableitung, d.h. . Für die zweite Ableitung werden folgende Notationen verwendet: or , or .

Die Ableitung 1. Ordnung der Funktion heißt die Ableitung seiner Ableitung dritter Ordnung. Für die Ableitung 4. Ordnung werden die folgenden Notationen verwendet: oder , oder .

Die Herrschaft von L'Hopital. Lassen Sie die Funktionen und in einer Umgebung des Punktes differenzierbar sein und die Ableitung verschwindet nicht. Wenn die Funktionen und gleichzeitig entweder unendlich klein oder unendlich groß sind und es eine Grenze für das Verhältnis bei gibt, dann gibt es auch eine Grenze für das Verhältnis bei . Darüber hinaus

.

Die Regel gilt auch, wenn .

Beachten Sie, dass in einigen Fällen die Offenlegung von Unsicherheiten der Art oder die wiederholte Anwendung der L'Hopital-Regel erforderlich machen kann.

Typunsicherheiten usw. Mit Hilfe elementarer Transformationen können sie leicht auf Unsicherheiten der Form oder reduziert werden.

Aufgabe 4. Finden Sie den Grenzwert mithilfe der L'Hopital-Regel.

Lösung Hier haben wir Unsicherheit über die Form, weil bei . Wenden wir die Regel von L'Hopital an:

.

Nachdem wir die L'Hopital-Regel angewendet hatten, erhielten wir erneut eine Unsicherheit der Form, weil bei . Wenn wir die Regel von L'Hopital erneut anwenden, erhalten wir:

.

5. Funktionsstudie

a) Zunehmende und abnehmende Funktionen

Die Funktion wird aufgerufen zunehmend auf dem Segment , wenn für beliebige Punkte und aus dem Segment , wobei die Ungleichung gilt. Wenn eine Funktion in einem Intervall und für stetig ist, dann nimmt sie in dem Intervall zu.

Die Funktion wird aufgerufen abnehmend auf dem Segment , wenn für beliebige Punkte und aus dem Segment , wobei die Ungleichung gilt. Wenn eine Funktion in einem Intervall und für stetig ist, dann nimmt sie in dem Intervall ab.

Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall nur zunimmt oder nur abnimmt, wird sie aufgerufen eintönig auf dem Intervall.

b) Extrema von Funktionen

Mindestpunktzahl Funktionen .

Wenn es eine -Nachbarschaft des Punktes gibt so dass für alle Punkte aus dieser Umgebung die Ungleichung gilt, dann heißt der Punkt Maximalpunkt Funktionen .

Die maximalen und minimalen Punkte einer Funktion werden als ihre bezeichnet Extrempunkte.

Der Punkt heißt stationären Punkt, ob oder nicht existiert.

Wenn es eine -Nachbarschaft eines stationären Punktes mit for und for gibt, dann ist dies der Maximalpunkt der Funktion.

Wenn es eine -Nachbarschaft eines stationären Punktes gibt, so dass für und für, dann der -Minimalpunkt der Funktion.

A) Konvexe Richtung. Wendepunkte

konvex nach oben auf dem Intervall , wenn es an irgendeinem Punkt in diesem Intervall unterhalb der Tangente liegt, die an den Graphen der Funktion aufgetragen wird.

Eine ausreichende Bedingung für die Aufwärtskonvexität des Graphen einer Funktion in einem Intervall ist die Erfüllung der Ungleichung für eines der betrachteten Intervalle.

Der Graph einer differenzierbaren Funktion heißt konvex nach unten auf dem Intervall , wenn es an irgendeinem Punkt in diesem Intervall über der Tangente liegt, die an den Graphen der Funktion aufgetragen wird.

Eine hinreichende Bedingung für die Abwärtskonvexität des Graphen einer Funktion in einem Intervall ist die Erfüllung der Ungleichung für eines der betrachteten Intervalle.

Der Punkt, an dem sich die Konvexitätsrichtung des Graphen einer Funktion ändert, wird aufgerufen Wendepunkt.

Ein Punkt, an dem oder nicht existiert, ist die Abszisse eines Wendepunkts, wenn die Vorzeichen links und rechts davon unterschiedlich sind.

d) Asymptoten

Wenn der Abstand von einem Punkt im Funktionsgraphen zu einer bestimmten Geraden gegen Null geht, wenn sich der Punkt unendlich vom Ursprung entfernt, dann heißt die Gerade Asymptote des Graphen der Funktion.

Wenn es eine solche Zahl gibt, dann ist die Zeile vertikale Asymptote.

Wenn es Grenzen gibt , dann ist die Linie schräge (horizontale bei k=0) Asymptote.

e) Allgemeine Untersuchung der Funktion

1. Funktionsdomäne

2. Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen

3. Untersuchung einer Funktion für Stetigkeit, Gerade/Ungerade und Periodizität

4. Intervalle der Monotonie einer Funktion

5. Extrempunkte der Funktion

6. Konvexitätsintervalle und Wendepunkte eines Funktionsgraphen

7. Asymptoten des Graphen einer Funktion

8. Funktionsgraph.

Aufgabe 5. Untersuchen Sie die Funktion und erstellen Sie ihren Graphen.

Lösung. 1) Die Funktion ist auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert, mit Ausnahme des Punktes, an dem der Nenner des Bruchs auf Null geht. . Wir haben: gehört nicht zum Definitionsbereich dieser Funktion. Folglich sind die stationären Punkte dieser Funktion die Punkte mit dem minimalen Wert (wie in der Abbildung dargestellt).

8) Erstellen wir anhand der erhaltenen Daten einen Graphen der ursprünglichen Funktion: