Welche Transformation nicht zum Verlust der Wurzeln führt. Transformation von Gleichungen, äquivalente Transformationen. Gemäß den Bestimmungen des DL

Das Thema trigonometrische Gleichungen beginnt mit einer Schulvorlesung, die in Form eines heuristischen Gesprächs aufgebaut ist. In der Vorlesung werden theoretisches Material und Beispiele zur Lösung aller typischen Probleme nach dem Plan besprochen:

• Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen.
• Grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
• Homogene Gleichungen.

In den folgenden Unterrichtsstunden beginnt die eigenständige Kompetenzentwicklung, basierend auf der Anwendung des Prinzips der gemeinsamen Aktivität von Lehrer und Schüler. Zunächst werden Ziele für die Studierenden festgelegt, d.h. Es wird bestimmt, wer nicht mehr wissen will, als die staatliche Norm verlangt, und wer bereit ist, mehr zu tun.

Die endgültige Diagnose wird unter Berücksichtigung der Niveaudifferenzierung erstellt, die es den Studierenden ermöglicht, bewusst zu bestimmen, welche Mindestkenntnisse erforderlich sind, um die Note „3“ zu erhalten. Darauf aufbauend werden mehrstufige Materialien zur Wissensdiagnose der Studierenden ausgewählt. Eine solche Arbeit ermöglicht eine individuelle Herangehensweise an die Studierenden, die Einbeziehung aller in bewusste Lernaktivitäten, die Entwicklung von Selbstorganisation und Selbstlernfähigkeiten sowie die Sicherstellung eines Übergangs zu aktivem, eigenständigem Denken.

Das Seminar wird nach dem Einüben der Grundfertigkeiten zur Lösung trigonometrischer Gleichungen durchgeführt. Mehrere Unterrichtsstunden vor dem Seminar werden den Studierenden Fragen gestellt, die im Seminar besprochen werden.

Das Seminar besteht aus drei Teilen.

1. Der Einführungsteil behandelt den gesamten theoretischen Stoff, einschließlich einer Einführung in die Probleme, die beim Lösen komplexer Gleichungen auftreten.

2. Im zweiten Teil wird die Lösung von Gleichungen der Form besprochen:

• und cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• Gleichungen, die durch Reduzierung des Grades lösbar sind.

Diese Gleichungen verwenden universelle Substitution, Gradreduktionsformeln und die Hilfsargumentmethode.

3. Der dritte Teil befasst sich mit den Problemen des Wurzelverlusts und der Aneignung fremder Wurzeln. Zeigt, wie Wurzeln ausgewählt werden.

Die Schüler arbeiten in Gruppen. Zur Lösung der Beispiele werden gut ausgebildete Leute hinzugezogen, die den Stoff zeigen und erklären können.

Das Seminar richtet sich an gut vorbereitete Studierende, denn... Es befasst sich mit Themen, die etwas über den Rahmen des Programmmaterials hinausgehen. Es umfasst Gleichungen komplexerer Form und befasst sich insbesondere mit Problemen, die bei der Lösung komplexer trigonometrischer Gleichungen auftreten.

Das Seminar richtete sich an Schüler der Jahrgangsstufen 10–11. Jeder Studierende hatte die Möglichkeit, sein Wissen zu diesem Thema zu erweitern und zu vertiefen, seinen Wissensstand nicht nur mit den Anforderungen an einen Schulabsolventen, sondern auch mit den Anforderungen für Einsteiger in die V.U.Z. zu vergleichen.

SEMINAR

Thema:„Trigonometrische Gleichungen lösen“

Ziele:

• Verallgemeinern Sie Ihr Wissen über die Lösung trigonometrischer Gleichungen aller Art.
• Konzentrieren Sie sich auf Probleme: Verlust der Wurzeln; Fremdwurzeln; Wurzelauswahl.

WÄHREND DES UNTERRICHTS.

I. Einführungsteil

1. Grundlegende Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

• Faktorisierung.
• Einführung einer neuen Variable.
• Funktionelle grafische Methode.

2. Einige Arten trigonometrischer Gleichungen.

• Gleichungen, die sich bezüglich cos x = t, sin x = t auf quadratische Gleichungen reduzieren lassen.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Sie werden durch die Einführung einer neuen Variablen gelöst.

• Homogene Gleichungen ersten und zweiten Grades

Gleichung ersten Grades: Asinx + Bcosx = 0 dividiert durch cos x, wir erhalten Atg x + B = 0

Gleichung zweiten Grades: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dividiert durch cos 2 x, wir erhalten Atg 2 x + Btgx + C = 0

Sie werden durch Faktorisierung und Einführung einer neuen Variablen gelöst.

Es gelten alle Methoden.

• Downgrade:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Gelöst durch Faktorisierungsmethode.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Gleichung der Form: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Quadratisch reduziert bezüglich t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Formeln.

x + 2 n; Eine Überprüfung ist erforderlich!

• Abnehmender Grad: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Hilfsargumentmethode.

Ersetzen wir Acosx + Bsinx durch Csin (x + ), wobei sin = a/C; cos=v/c;

– Hilfsargument.

4. Regeln.

• Wenn Sie ein Quadrat sehen, verringern Sie den Grad.
• Wenn Sie ein Stück sehen, machen Sie eine Menge.
• Wenn Sie den Betrag sehen, erledigen Sie die Arbeit.

5. Wurzelverlust, zusätzliche Wurzeln.

• Wurzelverlust: dividiere durch g(x); gefährliche Formeln (universelle Substitution). Mit diesen Operationen schränken wir den Definitionsbereich ein.

• Überschüssige Wurzeln: auf eine gleichmäßige Potenz erhöht; mit g(x) multiplizieren (den Nenner entfernen). Mit diesen Operationen erweitern wir den Definitionsbereich.

II. Beispiele für trigonometrische Gleichungen

1. Gleichungen der Form Asinx + Bcosx = C

1) Universelle Substitution.O.D.Z. x – beliebig.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Untersuchung: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Ist die Wurzel der Gleichung.

Antwort: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funktionelle grafische Methode. O.D.Z. x – beliebig.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Lassen Sie uns die Funktionen grafisch darstellen: y = sinx, y = cosx + 1.

Antwort: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Einführung eines Hilfsarguments. O.D.Z.: x – beliebig.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, weil (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, dann existiert so etwas, dass sin = 8/17,

cos = 15/17, was bedeutet sin cosx + sinx cos = 1; = Arcussin 8/17.

Antwort: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Reduzieren der Ordnung: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – beliebig.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Antwort: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Bei

k = 1 und m = 0 k = 4 und m = 1.

Die Serien sind gleich.

3. Reduktion auf Homogenität. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – beliebig.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) kann nicht durch cos 2 x geteilt werden, da wir Wurzeln verlieren.
cos 2 x = 0 erfüllt die Gleichung.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Antwort: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Gleichung der Form: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – beliebig.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx + sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Antwort: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorisierung.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, keine Wurzeln.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Antwort: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Probleme beim Lösen trigonometrischer Gleichungen

1. Wurzelverlust: durch g(x) dividieren; Wir verwenden gefährliche Formeln.

1) Finden Sie den Fehler.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 Formel.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 dividiere durch 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Verlorene Wurzeln sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Richtige Lösung: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

Sünde 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Fremdwurzeln: Wir werden den Nenner los; auf eine gleichmäßige Potenz erhöhen.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 Sünde 2/3 = 3/2 nicht befriedigen. O.D.Z. 2. n = 1 Sünde 2= 0 erfüllen O.D.Z. 3. n = 2 Sünde 2/ 3 = –3 / 2 erfüllen O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 Sünde 2/6 = 3 / 2 erfüllen nicht O.D.Z. 2. k = 1 Sünde 2*5/6 = –3 / 2 erfüllen O.D.Z.

Antwort: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Grundlegende Methoden zum Lösen von Gleichungen

Was ist die Lösung einer Gleichung?

Identische Transformation. Basic

Arten von Identitätstransformationen.

Ausländische Wurzel. Wurzelverlust.

Lösung der Gleichung ist ein Prozess, der hauptsächlich darin besteht, eine gegebene Gleichung durch eine andere Gleichung zu ersetzen, die dazu äquivalent ist . Dieser Ersatz wird aufgerufenidentische Transformation . Die wichtigsten Identitätstransformationen sind wie folgt:

1.

Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm identisch ist. Beispielsweise ist die Gleichung (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 kann durch das folgende Äquivalent ersetzt werden:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Übertragen von Termen einer Gleichung von einer Seite auf die andere mit umgekehrten Vorzeichen. In der vorherigen Gleichung können wir also alle Terme mit dem „-“-Zeichen von der rechten auf die linke Seite übertragen: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, danach erhalten wir:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Beide Seiten einer Gleichung mit demselben Ausdruck (Zahl) ungleich Null multiplizieren oder dividieren. Das ist sehr wichtig, weilDie neue Gleichung entspricht möglicherweise nicht der vorherigen, wenn der Ausdruck, mit dem wir multiplizieren oder dividieren, möglicherweise gleich Null ist.

BEISPIEL Die gleichungX - 1 = 0 hat eine einzelne Wurzelx = 1.

Beide Seiten mit multiplizierenX - 3 , wir erhalten die Gleichung

( X - 1)( X - 3) = 0, was zwei Wurzeln hat:x = 1 undX = 3.

Der letzte Wert ist nicht die Wurzel der gegebenen Gleichung

X - 1 = 0. Das ist das sogenannteFremdwurzel .

Umgekehrt kann Spaltung dazu führenWurzelverlust . Also

in unserem Fall, wenn (X - 1 )( X - 3 ) = 0 ist das Original

Gleichung, dann die Wurzelx = 3 gehen in der Division verloren

beide Seiten der Gleichung anX - 3 .

In der letzten Gleichung (Punkt 2) können wir alle Terme durch 3 (nicht Null!) dividieren und erhalten schließlich:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Diese Gleichung entspricht der ursprünglichen:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

KannErhöhen Sie beide Seiten der Gleichung mit einer ungeraden Potenz oderExtrahieren Sie die ungerade Wurzel von beiden Seiten der Gleichung . Es ist notwendig, sich daran zu erinnern:

a) Bau insogar Grad kann verursachenzum Erwerb ausländischer Wurzeln ;

B)falsch Extraktionsogar root Kann führen zuVerlust der Wurzeln .

BEISPIELE. Gleichung 7X = 35 hat eine einzelne WurzelX = 5 .

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir

Die gleichung:

49 X 2 = 1225 .

mit zwei Wurzeln:X = 5 UndX = – 5. Letzter Wert

ist eine Fremdwurzel.

Falsch Ziehen Sie die Quadratwurzel aus beiden

Teile der Gleichung 49X 2 = 1225 ergibt 7X = 35,

und wir verlieren unsere WurzelnX = – 5.

Richtig Das Ziehen der Quadratwurzel ergibt

Gleichung: | 7X | = 35, A daher auf zwei Fälle:

1) 7 X = 35, DannX = 5 ; 2) – 7 X = 35, DannX = – 5 .

Deshalb wannrichtig Quadrat extrahieren

Wurzeln verlieren wir nicht die Wurzeln der Gleichung.

Was heißtRechts die Wurzel extrahieren? Hier treffen wir uns

mit einem sehr wichtigen Konzeptarithmetische Wurzel

(cm. ).

Kann zum Auftreten sogenannter Fremdwurzeln führen. In diesem Artikel analysieren wir zunächst im Detail, was es ist fremde Wurzeln. Lassen Sie uns zweitens über die Gründe für ihr Auftreten sprechen. Und drittens betrachten wir anhand von Beispielen die wichtigsten Methoden zum Herausfiltern von Fremdwurzeln, also die Überprüfung der Wurzeln auf das Vorhandensein von Fremdwurzeln unter ihnen, um sie aus der Antwort auszuschließen.

Fremdwurzeln der Gleichung, Definition, Beispiele

Schulalgebra-Lehrbücher enthalten keine Definition einer Fremdwurzel. Dort wird die Idee einer Fremdwurzel gebildet, indem folgende Situation beschrieben wird: Mit Hilfe einiger Transformationen der Gleichung wird von der ursprünglichen Gleichung zur Folgegleichung übergegangen, die Wurzeln der resultierenden Folgegleichung werden gefunden , und die gefundenen Wurzeln werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft, was zeigt, dass einige der gefundenen Wurzeln keine Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind; diese Wurzeln werden als Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung bezeichnet.

Ausgehend von dieser Basis können Sie die folgende Definition einer Fremdwurzel für sich übernehmen:

Definition

Ausländische Wurzeln- Dies sind die Wurzeln der durch Transformationen erhaltenen Folgegleichung, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Geben wir ein Beispiel. Betrachten wir die Gleichung und die Konsequenz dieser Gleichung x·(x−1)=0, die wir erhalten, indem wir den Ausdruck durch den identisch gleichen Ausdruck x·(x−1) ersetzen. Die ursprüngliche Gleichung hat eine einzige Wurzel 1. Die als Ergebnis der Transformation erhaltene Gleichung hat zwei Wurzeln 0 und 1. Das bedeutet, dass 0 eine fremde Wurzel für die ursprüngliche Gleichung ist.

Gründe für das mögliche Auftreten ausländischer Wurzeln

Wenn Sie zum Erhalten der Folgegleichung keine „exotischen“ Transformationen verwenden, sondern nur grundlegende Gleichungstransformationen, können Fremdwurzeln nur aus zwei Gründen entstehen:

• aufgrund der Erweiterung von ODZ und
• aufgrund der Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz.

An dieser Stelle sei daran erinnert, dass die Erweiterung der ODZ hauptsächlich durch die Transformation der Gleichung erfolgt

• Beim Reduzieren von Brüchen;
• Beim Ersetzen eines Produkts mit einem oder mehreren Nullfaktoren durch Null;
• Beim Ersetzen eines Bruchs durch einen Nullzähler durch Null;
• Bei Verwendung einiger Eigenschaften von Potenzen, Wurzeln, Logarithmen;
• Bei der Verwendung einiger trigonometrischer Formeln;
• Wenn beide Seiten einer Gleichung mit demselben Ausdruck multipliziert werden, verschwindet er um die ODZ für diese Gleichung;
• Bei der Befreiung von Logarithmuszeichen im Lösungsprozess.

Das Beispiel aus dem vorherigen Absatz des Artikels veranschaulicht das Auftreten einer Fremdwurzel aufgrund der Erweiterung der ODZ, die beim Übergang von der Gleichung zur Folgegleichung x·(x−1)=0 auftritt. Die ODZ für die ursprüngliche Gleichung ist die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, die ODZ für die resultierende Gleichung ist die Menge R, d. h. die ODZ wird um die Zahl Null erweitert. Es stellt sich letztendlich heraus, dass diese Zahl eine fremde Wurzel ist.

Wir geben auch ein Beispiel für das Auftreten einer Fremdwurzel, die dadurch entsteht, dass beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz gesteigert werden. Die irrationale Gleichung hat eine einzige Wurzel 4 und die Konsequenz dieser Gleichung, die man daraus durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhält, also die Gleichung , hat zwei Wurzeln 1 und 4. Daraus wird deutlich, dass die Quadrierung beider Seiten der Gleichung zum Auftreten einer fremden Wurzel für die ursprüngliche Gleichung führte.

Beachten Sie, dass die Erweiterung der ODZ und die Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz nicht immer zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Wenn man beispielsweise von der Gleichung zur Folgegleichung x=2 übergeht, erweitert sich die ODZ von der Menge aller nichtnegativen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, es treten jedoch keine fremden Wurzeln auf. 2 ist die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung. Außerdem treten beim Übergang von einer Gleichung zu einer Folgegleichung keine fremden Wurzeln auf. Die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung ist x=16. Deshalb sprechen wir nicht über die Gründe für das Auftreten von Fremdwurzeln, sondern über die Gründe für das mögliche Auftreten von Fremdwurzeln.

Was ist das Aussieben von Fremdwurzeln?

Der Begriff „Fremdwurzeln aussieben“ kann nur bedingt als etabliert bezeichnet werden; er kommt nicht in allen Algebra-Lehrbüchern vor, ist aber intuitiv, weshalb er üblicherweise verwendet wird. Was mit dem Heraussieben von Fremdwurzeln gemeint ist, wird aus dem folgenden Satz deutlich: „... die Überprüfung ist ein obligatorischer Schritt bei der Lösung einer Gleichung, der dabei hilft, etwaige Fremdwurzeln zu erkennen und zu verwerfen (normalerweise sagt man „aussortieren“) „)“.

Auf diese Weise,

Definition

Fremdwurzeln aussortieren- Dies ist das Erkennen und Verwerfen von Fremdwurzeln.

Jetzt können Sie mit Methoden zum Aussortieren von Fremdwurzeln fortfahren.

Methoden zum Aussortieren von Fremdwurzeln

Vertretungsprüfung

Die wichtigste Möglichkeit, Fremdwurzeln herauszufiltern, ist ein Substitutionstest. Es ermöglicht Ihnen, Fremdwurzeln auszusortieren, die sowohl durch die Erweiterung der ODZ als auch durch die Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen könnten.

Der Substitutionstest läuft wie folgt ab: Die gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden der Reihe nach in die Originalgleichung oder in eine beliebige dazu äquivalente Gleichung eingesetzt, diejenigen, die die korrekte numerische Gleichheit ergeben, sind die Wurzeln der Originalgleichung, und diejenigen, die die richtige numerische Gleichheit ergeben Falsche numerische Gleichheit oder Ausdruck sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung bedeutungslos, sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie man überflüssige Wurzeln durch Substitution in die ursprüngliche Gleichung herausfiltert.

In manchen Fällen ist es sinnvoller, Fremdwurzeln mit anderen Methoden herauszufiltern. Dies gilt vor allem für die Fälle, in denen die Prüfung durch Substitution mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden ist oder wenn die Standardmethode zur Lösung von Gleichungen eines bestimmten Typs eine weitere Prüfung erfordert (z. B. erfolgt das Aussortieren von Fremdwurzeln bei der Lösung gebrochener rationaler Gleichungen nach dem Bedingung, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist). Schauen wir uns alternative Möglichkeiten an, um Fremdwurzeln auszusortieren.

Laut DL

Im Gegensatz zum Testen durch Substitution ist das Herausfiltern fremder Wurzeln mithilfe von ODZ nicht immer angemessen. Tatsache ist, dass Sie mit dieser Methode nur Fremdwurzeln herausfiltern können, die durch die Erweiterung des ODZ entstehen, und nicht das Aussieben von Fremdwurzeln garantiert, die aus anderen Gründen, beispielsweise durch beidseitiges Anheben, entstehen könnten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz. Darüber hinaus ist es nicht immer einfach, den OD für die zu lösende Gleichung zu finden. Nichtsdestotrotz lohnt es sich, die Methode zur Aussiebung von Fremdwurzeln mittels ODZ im Einsatz zu halten, da ihre Verwendung häufig weniger Rechenaufwand erfordert als die Verwendung anderer Methoden.

Das Aussondern von Fremdwurzeln gemäß ODZ erfolgt wie folgt: Alle gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden daraufhin überprüft, ob sie zum Bereich zulässiger Werte der Variablen für die Originalgleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung gehören. diejenigen, die zur ODZ gehören, sind Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die zur ODZ gehören, sind Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die nicht zur ODZ gehören, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Die Analyse der bereitgestellten Informationen führt zu dem Schluss, dass es ratsam ist, Fremdwurzeln mit ODZ auszusieben, wenn gleichzeitig:

• es ist einfach, die ODZ für die ursprüngliche Gleichung zu finden,
• Fremdwurzeln konnten nur durch die Erweiterung der ODZ entstehen,
• Substitutionstests sind mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden.

Wir zeigen, wie das Aussortieren von Fremdwurzeln in der Praxis durchgeführt wird.

Gemäß den Bestimmungen des DL

Wie wir im vorherigen Absatz gesagt haben, können Fremdwurzeln, wenn sie nur durch die Erweiterung der ODZ entstehen könnten, mithilfe der ODZ für die ursprüngliche Gleichung eliminiert werden. Es ist jedoch nicht immer einfach, ODZ in Form eines numerischen Satzes zu finden. In solchen Fällen ist es möglich, Fremdwurzeln nicht nach der ODZ, sondern nach den die ODZ bestimmenden Bedingungen auszusortieren. Lassen Sie uns erklären, wie das Aussortieren von Fremdwurzeln unter den Bedingungen von ODZ erfolgt.

Die gefundenen Wurzeln werden wiederum in die Bedingungen eingesetzt, die die ODZ für die ursprüngliche Gleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung bestimmen. Diejenigen, die alle Bedingungen erfüllen, sind die Wurzeln der Gleichung. Und diejenigen von ihnen, die mindestens eine Bedingung nicht erfüllen oder einen Ausdruck ergeben, der keinen Sinn ergibt, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel für das Aussortieren von Fremdwurzeln gemäß den ODZ-Bedingungen geben.

Eliminieren Sie überflüssige Wurzeln, die sich aus der Potenz beider Seiten der Gleichung ergeben

Es ist klar, dass das Aussortieren fremder Wurzeln, die sich aus der Potenzierung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz ergeben, durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung oder in eine dazu äquivalente Gleichung erfolgen kann. Eine solche Prüfung kann jedoch mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden sein. In diesem Fall lohnt es sich, eine alternative Methode zum Heraussieben von Fremdwurzeln zu kennen, über die wir jetzt sprechen werden.

Herausfiltern von Fremdwurzeln, die auftreten können, wenn beide Seiten irrationaler Gleichungen der Form auf die gleiche gerade Potenz gesteigert werden , wobei n eine gerade Zahl ist, kann gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt werden. Dies folgt aus der Definition einer Wurzel geraden Grades: Eine Wurzel geraden Grades n ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich der Wurzelzahl ist, daher . Der geäußerte Ansatz ist also eine Art Symbiose aus der Methode, beide Seiten der Gleichung gleich zu potenzieren, und der Methode, irrationale Gleichungen durch Wurzelbestimmung zu lösen. Das heißt, die Gleichung , wobei n eine gerade Zahl ist, wird gelöst, indem beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhöht werden, und die Eliminierung von Fremdwurzeln erfolgt gemäß der Bedingung g(x)≥0, die der Methode zur Lösung irrationaler Gleichungen von entnommen ist Bestimmung der Wurzel.

In der letzten Lektion haben wir drei Schritte zum Lösen von Gleichungen verwendet.

Die erste Stufe ist technischer Natur. Mithilfe einer Kette von Transformationen aus der ursprünglichen Gleichung gelangen wir zu einer ziemlich einfachen Gleichung, die wir lösen und die Wurzeln finden.

Die zweite Stufe ist die Lösungsanalyse. Wir analysieren die von uns durchgeführten Transformationen und finden heraus, ob sie gleichwertig sind.

Die dritte Stufe ist die Verifizierung. Bei der Durchführung von Transformationen, die zu einer Folgegleichung führen können, ist die Überprüfung aller gefundenen Wurzeln durch deren Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung zwingend erforderlich

Ist es beim Lösen einer Gleichung immer notwendig, drei Phasen zu unterscheiden?

Natürlich nicht. Wie zum Beispiel bei der Lösung dieser Gleichung. Im Alltag werden sie meist nicht unterschieden. Aber alle diese Phasen müssen „im Hinterkopf behalten“ und in der einen oder anderen Form durchgeführt werden. Es ist zwingend erforderlich, die Äquivalenz von Transformationen zu analysieren. Und wenn die Analyse ergibt, dass eine Überprüfung erforderlich ist, dann ist diese obligatorisch. Andernfalls kann die Gleichung nicht als korrekt gelöst betrachtet werden.

Ist es immer möglich, die Wurzeln einer Gleichung nur durch Substitution zu überprüfen?

Wenn bei der Lösung der Gleichung äquivalente Transformationen verwendet wurden, ist eine Überprüfung nicht erforderlich. Bei der Überprüfung der Wurzeln einer Gleichung wird sehr häufig die ODZ (zulässiger Wertebereich) verwendet. Wenn die Überprüfung mit der ODZ schwierig ist, erfolgt sie durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.

Übung 1

Lösen Sie die Gleichung Quadratwurzel aus zwei x plus drei gleich eins plus x.

Lösung

Die ODZ der Gleichung wird durch ein System aus zwei Ungleichungen bestimmt: Zwei x plus drei ist größer oder gleich Null und eins plus x ist größer oder gleich Null. Die Lösung ist x größer oder gleich minus eins.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren, die Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere verschieben, ähnliche Terme hinzufügen und eine quadratische Gleichung erhalten, bei der x im Quadrat gleich zwei ist. Seine Wurzeln sind

x erstens, zweitens gleich plus oder minus der Quadratwurzel von zwei.

Untersuchung

Der Wert von x ist zunächst gleich der Quadratwurzel aus zwei und ist die Wurzel der Gleichung, da sie in der ODZ enthalten ist.
Der Wert von x Sekunde ist gleich minus der Quadratwurzel aus zwei und nicht die Wurzel der Gleichung, weil es ist nicht in der DZ enthalten.
Überprüfen wir, ob die Wurzel x gleich der Quadratwurzel aus zwei ist, indem wir sie in die ursprüngliche Gleichheit einsetzen, die wir erhalten

Die Gleichheit ist wahr, was bedeutet, dass x gleich der Quadratwurzel aus zwei ist und die Wurzel der Gleichung ist.

Antwort: Quadratwurzel aus zwei.

Aufgabe 2

Lösen Sie die Gleichung Quadratwurzel von x minus acht gleich fünf minus x.

Lösung

Die ODZ einer irrationalen Gleichung wird durch ein System aus zwei Ungleichungen bestimmt: x minus acht ist größer oder gleich Null und fünf minus x ist größer oder gleich Null. Bei der Lösung stellen wir fest, dass dieses System keine Lösungen hat. Die Wurzel der Gleichung kann keiner der Werte der Variablen x sein.

Antwort: keine Wurzeln.

Aufgabe 3

Lösen Sie die Gleichung: Quadratwurzel von x kubisch plus vier x minus eins minus acht Quadratwurzeln von x in die vierte Potenz minus x ist gleich Quadratwurzel von x kubisch minus eins plus zwei Quadratwurzeln von x.

Lösung

Die ODZ in dieser Gleichung zu finden ist ziemlich schwierig.

Führen wir die Transformation durch: Quadrieren Sie beide Seiten dieser Gleichung,

Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und bringen wir ähnliche Terme, schreiben wir zwei Wurzeln unter eine, bilden uns ähnliche Radikale, bringen wir ähnliche Einsen, dividieren durch den Koeffizienten minus 12 und faktorisieren den Radikalausdruck, wir erhalten eine Gleichung in der Form eines Produkts zweier Faktoren gleich Null. Nachdem wir es gelöst haben, finden wir die Wurzeln:

x erstens ist gleich eins, x zweitens ist gleich null.

Da wir beide Seiten der Gleichung gerade potenziert haben, ist die Überprüfung der Wurzeln obligatorisch.

Untersuchung

Wenn x gleich eins ist, dann

Wir erhalten die richtige Gleichheit, was bedeutet, dass x gleich eins ist und die Wurzel der Gleichung ist.

Wenn x Null ist, ist die Quadratwurzel von minus eins undefiniert.

Das bedeutet, dass x gleich Null eine Fremdwurzel ist.

Antwort: eins.

Aufgabe 4

Lösen Sie den Gleichungslogarithmus des Ausdrucks x zum Quadrat plus fünf x plus zwei zur Basis zwei gleich drei.

Lösung

Finden wir die ODZ-Gleichung. Dazu lösen wir die Ungleichung x zum Quadrat plus fünf x plus zwei über Null.

Wir lösen die Ungleichung mit der Intervallmethode. Dazu faktorisieren wir die linke Seite, nachdem wir zuvor die quadratische Gleichung gelöst haben, und ermitteln unter Berücksichtigung des Ungleichheitszeichens die ODZ. Die ODZ ist gleich der Vereinigung der offenen Strahlen von minus Unendlich bis minus dem Bruch fünf plus der Quadratwurzel aus siebzehn geteilt durch zwei und von minus dem Bruch fünf minus der Quadratwurzel aus siebzehn geteilt durch zwei bis plus Unendlich.

Beginnen wir nun damit, die Wurzeln der Gleichung zu finden. Vorausgesetzt, dass drei gleich dem Logarithmus von acht zur Basis zwei ist, schreiben wir die Gleichung wie folgt: Der Logarithmus des Ausdrucks x Quadrat plus fünf x plus zwei zur Basis zwei ist gleich dem Logarithmus von acht zur Basis zwei. Potenzieren wir die Gleichung, erhalten und lösen wir eine quadratische Gleichung.

Die Diskriminante ist neunundvierzig.

Berechnen Sie die Wurzeln:

X ist zunächst gleich minus sechs; x Sekunde ist gleich eins.

Untersuchung

Minus sechs gehört zur ODZ, eins gehört zur ODZ, was bedeutet, dass beide Zahlen Wurzeln der Gleichung sind.

Antwort: minus sechs; eins.

In der letzten Lektion haben wir uns mit dem Problem des Auftretens von Fremdwurzeln befasst. Wir können sie durch Verifizierung erkennen. Kann man beim Lösen einer Gleichung Wurzeln verlieren und wie kann man das verhindern?

Wenn Sie solche Aktionen an einer Gleichung ausführen, wie zum Beispiel erstens das Dividieren beider Seiten der Gleichung durch denselben Ausdruck ax von x (außer in den Fällen, in denen sicher bekannt ist, dass ax von x für jedes x von nicht gleich Null ist). der Definitionsbereich der Gleichung);

Zweitens kann die Verengung des OD der Gleichung während des Lösungsprozesses zum Verlust der Wurzeln der Gleichung führen.

Erinnern!

Die Gleichung geschrieben als

ef aus x multipliziert mit ash aus x ist gleich zhe aus x multipliziert mit ash aus x wird auf diese Weise gelöst:

Sie müssen faktorisieren, indem Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern setzen.

Setzen Sie dann jeden Faktor mit Null gleich und erhalten Sie so zwei Gleichungen.

Wir berechnen ihre Wurzeln.

Übung 1

Lösen Sie die Gleichung x Würfel ist gleich x.

Erster Weg

Teilen Sie beide Seiten dieser Gleichung durch x, wir erhalten x im Quadrat gleich eins, wobei die Wurzeln x zuerst gleich eins sind.

x Sekunde ist gleich minus eins.

Zweiter Weg

X-Würfel ist gleich X. Verschieben wir x auf die linke Seite der Gleichung, entfernen wir x aus den Klammern und wir erhalten: x multipliziert mit x im Quadrat minus eins ergibt Null.

Berechnen wir seine Wurzeln:

X erstens ist gleich Null, x zweitens ist gleich eins, x drittens ist gleich minus eins.

Die Gleichung hat drei Wurzeln.

Bei der Lösung der ersten Methode haben wir eine Wurzel verloren – x ist gleich Null.

Antwort: minus eins; null; eins.

Erinnern! Die Reduzierung beider Seiten der Gleichung um einen Faktor, der die Unbekannte enthält, kann zum Verlust von Wurzeln führen.

Aufgabe 2

Lösen Sie die Gleichung: Der dezimale Logarithmus von x im Quadrat ist gleich zwei.

Lösung

Erster Weg

Durch die Definition eines Logarithmus erhalten wir die quadratische Gleichung x Quadrat gleich einhundert.

Seine Wurzeln: x ist zuerst gleich zehn; X Sekunde ist gleich minus zehn.

Zweiter Weg

Aufgrund der Eigenschaft von Logarithmen haben wir zwei dezimale Logarithmen x gleich zwei.

Seine Wurzel - x ist gleich zehn

Bei der zweiten Methode ging die Wurzel x gleich minus zehn verloren. Und der Grund dafür ist, dass sie die falsche Formel angewendet und damit den Geltungsbereich der Gleichung eingeengt haben. Der Ausdruck für den dezimalen Logarithmus von x im Quadrat ist für alle x außer x gleich Null definiert. Der Ausdruck für den dezimalen Logarithmus von x lautet für x größer als Null. Die richtige Formel für den Dezimallogarithmus x im Quadrat ist gleich zwei Dezimallogarithmen Modul x.

Erinnern! Verwenden Sie beim Lösen einer Gleichung die verfügbaren Formeln mit Bedacht.

Verlust von Wurzeln und Fremdwurzeln beim Lösen von Gleichungen

Städtische Bildungseinrichtung „Sekundarschule Nr. 2 mit Vertiefung in einzelnen Fächern“ in der Stadt Wsewoloschsk. Die Forschungsarbeit wurde von einem Schüler der 11. Klasse B vorbereitet: Vasilyev Vasily. Projektleiterin: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Gleichung Betrachten wir zunächst verschiedene Möglichkeiten zur Lösung dieser Gleichung sinx+cosx =- 1

Lösung Nr. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Antwort: + 2

Lösung Nr. 2 sinx+cosx =- 1 i Antwort: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Lösung Nr. 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Antwort:

sinx+cosx =-1 Lösung Nr. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Antwort: - + 2 n

Vergleichen wir Lösungen Richtige Lösungen Lassen Sie uns herausfinden, in welchen Fällen Fremdwurzeln auftreten können und warum Nr. 2 Antwort: +2 Nr. 3 Antwort: Nr. 4 Antwort: + 2 n Nr. 1 Antwort: +2

Überprüfung der Lösung Ist eine Überprüfung erforderlich? Kontrollieren Sie vorsichtshalber die Wurzeln, um auf der sicheren Seite zu sein? Das ist natürlich nützlich, wenn es leicht zu ersetzen ist, aber Mathematiker sind rationale Menschen und tun keine unnötigen Dinge. Schauen wir uns verschiedene Fälle an und erinnern uns daran, wann eine Überprüfung wirklich erforderlich ist.

1. Die einfachsten vorgefertigten Formeln c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a In Fällen, in denen die Wurzeln mithilfe der einfachsten vorgefertigten Formeln gefunden werden, muss die Prüfung nicht durchgeführt werden. Bei der Verwendung solcher Formeln sollten Sie jedoch die Bedingungen berücksichtigen, unter denen sie verwendet werden können. Beispielsweise kann die Formel = unter der Bedingung a 0, -4ac 0 verwendet werden. Und die Antwort x= arccos2+2 für die Gleichung cosx =2 wird als grober Fehler angesehen, da die Formel x= arccos a +2 nur sein kann wird für die Wurzeln der Gleichung cosx =a verwendet, wobei | ein | 1

2. Transformationen Beim Lösen von Gleichungen müssen immer häufiger viele Transformationen durchgeführt werden. Wenn eine Gleichung durch eine neue ersetzt wird, die alle Wurzeln der vorherigen hat, und diese so transformiert wird, dass kein Verlust oder Erwerb von Wurzeln auftritt, dann werden solche Gleichungen als äquivalent bezeichnet. 1. Beim Übertragen der Komponenten einer Gleichung von einem Teil auf einen anderen. 2. Wenn auf beiden Seiten die gleiche Zahl hinzugefügt wird. 3. Wenn beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden. 4 . Beim Anwenden von Identitäten, die auf der Menge aller reellen Zahlen wahr sind. Eine Verifizierung ist jedoch nicht erforderlich!

Allerdings kann nicht jede Gleichung durch äquivalente Transformationen gelöst werden. Häufiger ist es notwendig, ungleiche Transformationen anzuwenden. Oftmals basieren solche Transformationen auf der Verwendung von Formeln, die nicht für alle reellen Werte gültig sind. In diesem Fall ändert sich insbesondere der Definitionsbereich der Gleichung. Dieser Fehler wird in Lösung Nr. 4 gefunden. Schauen wir uns den Fehler an, schauen wir uns aber zunächst noch einmal die Lösung Nr. 4 an. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Der Fehler liegt in der Formel sin2x= Diese Formel kann verwendet werden, sollte aber zusätzlich überprüft werden ob die Wurzeln Zahlen der Form + sind, für die tg nicht definiert ist. Nun ist klar, dass die Lösung im Verlust der Wurzeln liegt. Lass es uns bis zum Ende durchziehen.

Lösung Nr. 4 i y x 0 1 Überprüfen wir die Zahlen = + n durch Substitution: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Also x= +2 n ist die Wurzel der Gleichung Antwort: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Wir haben uns eine der Möglichkeiten angesehen, Wurzeln zu verlieren. In der Mathematik gibt es viele davon. Sie müssen sie also sorgfältig lösen und sich alle Regeln merken. So wie man die Wurzeln einer Gleichung verlieren kann, kann man beim Lösen der Gleichung auch zusätzliche Wurzeln erwerben. Betrachten wir Lösung Nr. 3, bei der ein solcher Fehler gemacht wurde.

Lösung #3 I y x 0 1 2 2 und zusätzliche Wurzeln! Wenn beide Seiten der Gleichung quadriert werden, können Fremdwurzeln auftreten. In diesem Fall ist eine Überprüfung erforderlich. Für n=2k gilt sin k+cos k=-1; cos k=-1 für k=2m-1 , Dann n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Antwort: +2 Für n=2k+1 haben wir sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 mit k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Deshalb haben wir uns einige mögliche Fälle angesehen, von denen es sehr viele gibt. Versuchen Sie, Ihre Zeit nicht zu verschwenden und dumme Fehler zu machen.