Крапки на графіці функції, що диференціюється. Диференціювання функцій. Безперервність функції, що має похідну. Теорема

Зміст статті

ВИРОБНИЧА-Похідної функції y = f(x), заданої на деякому інтервалі ( a, b) у точці xцього інтервалу називається межа, до якої прагне відношення збільшення функції fу цій точці до відповідного збільшення аргументу, коли збільшення аргументу прагне до нуля.

Похідну прийнято позначати так:

Широко використовуються й інші позначення:

Миттєва швидкість.

Нехай крапка Mрухається прямою. Відстань sточки, що рухається, що відраховується від деякого початкового її положення M 0 , залежить від часу t, тобто. sє функція часу t: s= f(t). Нехай у певний момент часу tточка, що рухається Mзнаходилась на відстані sвід початкового становища M 0, а в деякий наступний момент t+ D tопинилася в положенні M 1 - на відстані s+ D sвід початкового положення ( див. рис.).

Таким чином, за проміжок часу D tвідстань sзмінилося на величину D s. І тут кажуть, що з проміжок часу D tвеличина sотримала приріст D s.

Середня швидкість не може у всіх випадках точно охарактеризувати швидкість переміщення точки. Mу момент часу t. Якщо, наприклад, тіло на початку проміжку D tпереміщалося дуже швидко, а в кінці дуже повільно, то середня швидкість не зможе відобразити зазначених особливостей руху точки і дати уявлення про справжню швидкість її руху в момент t. Щоб точніше виразити справжню швидкість за допомогою середньої швидкості, треба взяти менший проміжок часу D t. Найбільш повно характеризує швидкість руху точки у момент tта межа, до якої прагне середня швидкість при D t® 0. Цю межу називають швидкістю руху в даний момент:

Таким чином, швидкістю руху в даний момент називається межа відношення збільшення шляху D sдо збільшення часу D t, коли приріст часу прагне до нуля. Так як

Геометричне значення похідної. Дотична до графіка функції.

Побудова дотичних – одне з завдань, які призвели до народження диференціального обчислення. Перша опублікована праця, що відноситься до диференціального числення і належить перу Лейбніца, мала назву Новий метод максимумів і мінімумів, а також дотичних, для якого не є перешкодою ні дробові, ні ірраціональні величини, і особливий для цього рід обчислення.

Нехай крива є графік функції y =f(x) у прямокутній системі координат ( см. Мал.).

За деякого значення xфункція має значення y =f(x). Цим значенням xі yна кривій відповідає точка M 0(x, y). Якщо аргументу xдати приріст D x, то нове значення аргументу x+ D xвідповідає нове значення функції y+ D y = f(x + D x). Відповідною йому точкою кривою буде точка M 1(x+ D x,y+ D y). Якщо провести січну M 0M 1 і позначити через j кут, утворений січною з позитивним напрямком осі Ox, З малюнка безпосередньо видно, що .

Якщо тепер D xпрагне до нуля, то точка M 1 переміщається вздовж кривої, наближаючись до точки M 0, і кут j змінюється зі зміною D x. При Dx® 0 кут j прагне до деякої межі a і пряма, що проходить через точку M 0 і складова з позитивним напрямом осі абсцис кут a буде шуканою дотичною. Її кутовий коефіцієнт:

Отже, f´( x) = tga

тобто. значення похідної f´( x) при даному значенні аргументу xдорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до графіка функції f(x) у відповідній точці M 0(x,y) з позитивним напрямом осі Ox.

Диференційність функцій.

Визначення. Якщо функція y = f(x) має похідну в точці x = x 0, то функція диференційована у цій точці.

Безперервність функції, що має похідну. Теорема.

Якщо функція y = f(x) диференційована в деякій точці x = x 0, то вона у цій точці безперервна.

Таким чином, у точках розриву функція не може мати похідну. Зворотний висновок не так, тобто. з того, що в якійсь точці x = x 0 функція y = f(x) безперервна годі було, що у цій точці диференційована. Наприклад, функція y = |x| безперервна для всіх x(–Ґ х x = 0 не має похідної. У цій точці не існує дотичної до графіка. Є права дотична та ліва, але вони не збігаються.

Деякі теореми про функції, що диференціюються. Теорема про коріння похідної (теорема Роля).Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [a,b], що диференціюється у всіх внутрішніх точках цього відрізка і на кінцях x = aі x = bзвертається в нуль ( f(a) = f(b) = 0), то всередині відрізка [ a,b] існує, принаймні одна, точка x= з, a c b, у якій похідна fў( x) перетворюється на нуль, тобто. fў( c) = 0.

Теорема про кінцеві прирости (теорема Лагранжа).Якщо функція f(x) безперервна на відрізку [ a, b] і диференційована у всіх внутрішніх точках цього відрізка, то всередині відрізка [ a, b] знайдеться принаймні одна точка з, a c b, що

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Теорема про відношення збільшення двох функцій (теорема Коші).Якщо f(x) та g(x) – дві функції, безперервні на відрізку [a, b] та диференційовані у всіх внутрішніх точках цього відрізка, причому gў( x) ніде всередині цього відрізка не перетворюється на нуль, то всередині відрізка [ a, b] знайдеться така точка x = з, a c b, що

Похідні різних систем.

Нехай функція y =f(x) диференційована на деякому відрізку [ a, b]. Значення похідної f ў( x), взагалі кажучи, залежать від x, тобто. похідна f ў( x) являє собою також функцію від x. При диференціації цієї функції виходить так звана друга похідна функції f(x), яка позначається f ўў ( x).

Похідний n-го порядку від функції f(x) називається похідна (першого порядку) від похідної n- 1- го і позначається символом y(n) = (y(n- 1)) в.

Диференціали різних систем.

Диференціал функції y = f(x), де x- незалежна змінна, є dy = f ў( x)dx, деяка функція від x, але від xможе залежати лише перший співмножник f ў( x), другий же співмножник ( dx) є збільшенням незалежної змінної xі значення цієї змінної залежить. Так як dyє функція від x, можна визначити диференціал цієї функції. Диференціал від диференціалу функції називається другим диференціалом або диференціалом другого порядку цієї функції та позначається d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала n- 1- го порядку:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Приватна похідна.

Якщо функція залежить не від одного, а від кількох аргументів x i(iзмінюється від 1 до n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), то в диференціальному обчисленні вводиться поняття приватної похідної, яка характеризує швидкість зміни функції кількох змінних, коли змінюється лише один аргумент, наприклад, x i. Приватна похідна 1-го порядку по x iвизначається як звичайна похідна, у своїй передбачається, що це аргументи, крім x iзберігають постійні значення. Для приватних похідних вводяться позначення

Певні таким чином приватні похідні одного порядку (як функції тих самих аргументів) можуть, своєю чергою, також мати приватні похідні, це приватні похідні другого порядку і т.д. Взяті з різних аргументів такі похідні називаються змішаними. Безперервні змішані похідні одного порядку не залежить від порядку диференціювання і рівні між собою.

Ганна Чугайнова

Похідний функціїу точці називається межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу , за умови, що прагне до нуля.

Основні правила знаходження похідної

Якщо - і - диференційовані функції в точці (тобто функції, що мають похідні в точці), то:

4) .

Таблиця похідних основних функцій

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Правило диференціювання складної функції.Якщо і , тобто. , де мають похідні, то

Диференціювання функції, заданої параметрично. Нехай залежність змінної від змінної задана параметрично за допомогою параметра:

Завдання 3. Знайти похідні цих функцій.

1)

Рішення. Застосовуючи правило 2 знаходження похідних та формули 1 та 2 таблиці похідних, отримуємо:

Рішення.Застосовуючи правило 4 знаходження похідних та формули 1 та 13 таблиці похідних, отримуємо:

.

Рішення.Застосовуючи правило 3 знаходження похідних та формули 5 та 11 таблиці похідних, отримуємо:

Рішення.Вважаючи , де , згідно з формулою знаходження похідної складної функції, отримаємо:

Рішення. Маємо: Тоді, згідно з формулою знаходження похідної функції, заданої параметрично, отримуємо:

4. Похідні вищих систем. Правило Лопіталя.

Похідний другого порядку функціїназивається похідна з її похідною, тобто. . Для другої похідної використовуються такі позначення: або , або .

Похідний - го порядку від функціїназивається похідна від її похідної порядку. Для похідної порядку використовуються такі позначення: або , або .

Правило Лопіталя.Нехай функції і диференційовані на околиці точки, причому похідна не звертається в нуль. Якщо функції і є одночасно або нескінченно малими, або нескінченно великими при , і при цьому існує межа відношення при , існує також і межа відношення при . Причому

.

Правило можна застосувати і у випадку, коли .

Зауважимо, що у деяких випадках розкриття невизначеностей виду чи може вимагати неодноразового застосування правила Лопіталя.

Невизначеності виду і т.д. за допомогою елементарних перетворень легко зводяться до невизначеності виду або .

Завдання 4. Знайти межу, користуючись правилом Лопіталя.

РішенняТут маємо невизначеність виду , т.к. при . Застосуємо правило Лопіталя:

.

Після застосування правила Лопіталя ми знову набули невизначеності виду, т.к. при . Застосовуючи знову правило Лопіталя повторно, отримаємо:

.

5. Дослідження функцій

а) Зростання та зменшення функцій

Функція називається зростаючоюна відрізку якщо для будь-яких точок і з відрізка, де, має місце нерівність. Якщо функція безперервна на відрізку та при , то зростає на відрізку.

Функція називається спадаючоюна відрізку ,якщо будь-яких точок і з відрізка , де , має місце нерівність . Якщо функція безперервна на відрізку і при, то зменшується на відрізку.

Якщо функція є лише зростаючою або лише спадною на даному інтервалі, то вона називається монотонноїна інтервалі.

b) Екстремуми функцій

точкою мінімумуфункції .

Якщо існує околиця точки така, що для всіх точок з цієї околиці має місце нерівність , то точка називається точкою максимумуфункції .

Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму.

Крапка називається стаціонарною точкою,якщо не існує.

Якщо існує околиця стаціонарної точки така, що при і при , то точка максимуму функції .

Якщо існує околиця стаціонарної точки така, що при і при , то точка мінімуму функції .

a) Напрямок опуклості. Точки перегину

опуклим вгоруна інтервалі , якщо він розташований нижче за дотичну, побудовану до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу.

Достатньою умовою опуклості вгору графіка функції на інтервалі є виконання нерівності для будь-якого з інтервалу.

Графік диференційованої функції називається опуклим внизна інтервалі , якщо він розташований вище за дотичну, побудовану до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу.

Достатньою умовою опуклості вниз графіка функції на інтервалі є виконання нерівності для будь-якого з інтервалу.

Точка, в якій змінюється напрям опуклості графіка функції, називається точкою перегину.

Точка , де або немає, є абсцисою точки перегину, якщо ліворуч і праворуч від неї має різні знаки.

d) Асимптоти

Якщо відстань від точки графіка функції до деякої прямої прагне нуля при нескінченному видаленні точки від початку координат, то пряму називають асимптотою графіка функції.

Якщо існує таке, що , то пряма є вертикальною асимптотою.

Якщо існують межі , то пряма є похилою (горизонтальною при k=0) асимптотою.

e) Загальне дослідження функції

1. Область визначення функції

2. Точки перетину графіка з осями координат

3. Дослідження функції на безперервність, парність/непарність та періодичність

4. Інтервали монотонності функції

5. Точки екстремуму функції

6. Інтервали опуклості та точки перегину графіка функції

7. Асимптоти графіка функції

8. Графік функції.

Завдання 5. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Рішення. 1) Функція визначена по всій числовій осі крім точки , де знаменник дробу перетворюється на нуль. . Маємо: не належить області визначення цієї функції. Отже, стаціонарними точками цієї функції є точки, мінімальне значення (що показано малюнку).

8) Використовуючи отримані дані, побудуємо графік вихідної функції: