Pekar på grafen för en differentierbar funktion. Differentiering av funktioner. Kontinuitet för en funktion som har en derivata. Sats

Innehållet i artikeln

DERIVAT– derivata av funktionen y = f(x), ges på ett visst intervall ( a, b) vid punkt x av detta intervall kallas gränsen till vilken förhållandet mellan funktionens inkrement tenderar f vid denna punkt till motsvarande ökning av argumentet när ökningen av argumentet tenderar till noll.

Derivaten betecknas vanligtvis enligt följande:

Andra beteckningar används också i stor utsträckning:

Omedelbar hastighet.

Låt poängen M rör sig i en rak linje. Distans s rörlig punkt, räknat från någon utgångsposition M 0 , beror på tid t, dvs. s det finns en funktion av tiden t: s= f(t). Låt någon gång i tiden t rörlig punkt M var på avstånd s från startpositionen M 0, och i nästa ögonblick t+D t befann sig i en position M 1 - på distans s+D s från utgångsläget ( se bild.).

Alltså, under en tidsperiod D t distans sändras med beloppet D s. I det här fallet säger de att under tidsintervallet D t magnitud s fick inkrement D s.

Medelhastigheten kan inte i alla fall exakt karakterisera en punkts rörelsehastighet M vid en tidpunkt t. Om till exempel kroppen i början av intervallet D t flyttas mycket snabbt, och i slutet mycket långsamt, då kommer medelhastigheten inte att kunna återspegla de indikerade egenskaperna hos punktens rörelse och ge en uppfattning om den verkliga hastigheten för dess rörelse för tillfället t. För att mer exakt uttrycka den verkliga hastigheten med medelhastigheten måste du ta en kortare tid D t. Karakteriserar till fullo rörelsehastigheten för en punkt för tillfället t gränsen till vilken medelhastigheten tenderar vid D t® 0. Denna gräns kallas den aktuella hastigheten:

Således kallas rörelsehastigheten vid ett givet ögonblick gränsen för banökningsförhållandet D s till tidsökning D t, när tidsstegringen tenderar till noll. Därför att

Geometrisk betydelse av derivatan. Tangent till grafen för en funktion.

Konstruktionen av tangentlinjer är ett av de problem som ledde till födelsen av differentialkalkyl. Det första publicerade arbetet relaterade till differentialkalkyl, skrivet av Leibniz, hade titeln En ny metod för maxima och minima, samt tangenter, för vilka varken bråktal eller irrationella storheter är ett hinder, och en speciell typ av kalkyl för detta.

Låt kurvan vara grafen för funktionen y =f(x) i ett rektangulärt koordinatsystem ( centimeter. ris.).

Till något värde x funktion spelar roll y =f(x). Dessa värden x Och y punkten på kurvan motsvarar M 0(x, y). Om argumentet x ge öka D x, sedan det nya värdet på argumentet x+D x motsvarar det nya funktionsvärdet y+ D y = f(x + D x). Motsvarande punkt på kurvan kommer att vara punkten M 1(x+D x,y+D y). Om du ritar en sekant M 0M 1 och betecknad med j vinkeln som bildas av en tvärgående med axelns positiva riktning Oxe, det framgår direkt av figuren att .

Om nu D x tenderar till noll, sedan punkten M 1 rör sig längs kurvan och närmar sig punkten M 0, och vinkel j ändras med D x. På Dx® 0 vinkeln j tenderar till en viss gräns a och den räta linjen som går genom punkten M 0 och komponenten med x-axelns positiva riktning, vinkel a, blir den önskade tangenten. Dess lutning är:

Därav, f´( x) = tga

de där. derivatvärde f´( x) för ett givet argumentvärde xär lika med tangenten för vinkeln som bildas av tangenten till grafen för funktionen f(x) vid motsvarande punkt M 0(x,y) med positiv axelriktning Oxe.

Funktioners differentierbarhet.

Definition. Om funktionen y = f(x) har en derivata vid punkten x = x 0, då är funktionen differentierbar vid denna punkt.

Kontinuitet för en funktion som har en derivata. Sats.

Om funktionen y = f(x) är differentierbar någon gång x = x 0, då är den kontinuerlig vid denna punkt.

Funktionen kan alltså inte ha en derivata vid diskontinuitetspunkter. Den motsatta slutsatsen är felaktig, d.v.s. från det faktum att någon gång x = x 0 funktion y = f(x) är kontinuerlig betyder inte att den är differentierbar vid denna tidpunkt. Till exempel funktionen y = |x| kontinuerligt för alla x(–Ґ x x = 0 har ingen derivata. Vid denna punkt finns det ingen tangent till grafen. Det finns en höger tangent och en vänster, men de sammanfaller inte.

Några satser om differentierbara funktioner. Sats om derivatans rötter (Rolles sats). Om funktionen f(x) är kontinuerlig på segmentet [a,b], är differentierbar vid alla inre punkter i detta segment och i ändarna x = a Och x = b går till noll ( f(a) = f(b) = 0), sedan inuti segmentet [ a,b] finns det minst en punkt x= Med, a c b, där derivatan fў( x) går till noll, dvs. fў( c) = 0.

Finita inkrementsats (Lagranges sats). Om funktionen f(x) är kontinuerlig på intervallet [ a, b] och är differentierbar vid alla inre punkter i detta segment, sedan inuti segmentet [ a, b] finns det minst en punkt Med, a c b det

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Sats om förhållandet mellan inkrementen av två funktioner (Cauchys sats). Om f(x) Och g(x) – två kontinuerliga funktioner på segmentet [a, b] och differentierbar vid alla inre punkter i detta segment, och gў( x) försvinner inte någonstans i detta segment, sedan inuti segmentet [ a, b] det finns en sådan poäng x = Med, a c b det

Derivat av olika beställningar.

Låt funktionen y =f(x) är differentierbar på något intervall [ a, b]. Derivatvärden f ў( x), generellt sett beror på x, dvs. derivat f ў( x) är också en funktion av x. När vi differentierar denna funktion får vi den så kallade andraderivatan av funktionen f(x), som betecknas f ўў ( x).

Derivat n- funktionsordningen f(x) kallas (första ordningens) derivatan av derivatan n- 1- th och betecknas med symbolen y(n) = (y(n– 1))ў.

Differentialer av olika ordning.

Funktionsdifferential y = f(x), Var x– oberoende variabel, ja dy = f ў( x)dx, någon funktion från x, men från x endast den första faktorn kan bero f ў( x), den andra faktorn ( dx) är ökningen av den oberoende variabeln x och beror inte på värdet på denna variabel. Därför att dy det finns en funktion från x, då kan vi bestämma differentialen för denna funktion. Differentialen för differentialen för en funktion kallas den andra differentialen eller andra ordningens differential för denna funktion och betecknas d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Differentiell n- av första ordningen kallas differentialens första differential n- 1- ordning:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Partiell derivata.

Om en funktion inte beror på ett, utan på flera argument x i(i varierar från 1 till n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), så introduceras i differentialkalkyl begreppet partiell derivata, som kännetecknar förändringshastigheten för en funktion av flera variabler när endast ett argument ändras, till exempel, x i. 1:a ordningens partiell derivata med avseende på x i definieras som en vanlig derivata, och det antas att alla argument utom x i, håll konstanta värden. För partiella derivator införs notationen

1:a ordningens partiella derivator definierade på detta sätt (som funktioner av samma argument) kan i sin tur också ha partiella derivator, dessa är andra ordningens partiella derivator osv. Sådana derivator hämtade från olika argument kallas blandade. Kontinuerliga blandade derivator av samma ordning beror inte på differentieringsordningen och är lika med varandra.

Anna Chugainova

Derivat funktioner vid en punkt kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, förutsatt att den tenderar mot noll.

Grundläggande regler för att hitta derivatan

Om - och - är differentierbara funktioner vid punkten , (dvs funktioner som har derivator vid punkten), då:

4) .

Tabell över derivator av grundläggande funktioner

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Regeln för att differentiera en komplex funktion. Om och , dvs. , var och har derivator, alltså

Differentiering av en funktion specificerad parametriskt. Låt en variabels beroende av en variabel specificeras parametriskt med hjälp av parametern:

Uppgift 3. Hitta derivator av dessa funktioner.

1)

Lösning. Genom att tillämpa regel 2 för att hitta derivator och formlerna 1 och 2 i derivattabellen får vi:

Lösning. Genom att tillämpa regel 4 för att hitta derivator och formlerna 1 och 13 i derivattabellen får vi:

.

Lösning. Genom att tillämpa regel 3 för att hitta derivator och formlerna 5 och 11 i derivattabellen får vi:

Lösning. Om vi ​​antar , där , enligt formeln för att hitta derivatan av en komplex funktion, får vi:

Lösning. Vi har: Sedan, enligt formeln för att hitta derivatan av en funktion specificerad parametriskt, får vi:

4. Högre ordningsderivat. L'Hopitals regel.

Andra ordningens derivata av funktionen kallas derivatan av dess derivata, dvs. . Följande beteckningar används för den andra derivatan: eller , eller .

1:a ordningens derivata av funktionen kallas derivatan av dess derivata av th-ordningen. För derivatan av th ordningen används följande notationer: eller , eller .

L'Hopitals regel. Låt funktionerna och vara differentierbara i närheten av punkten och derivatan försvinner inte. Om funktionerna och samtidigt är antingen oändligt små eller oändligt stora vid , och det finns en gräns för förhållandet vid , då finns det också en gräns för förhållandet vid . Dessutom

.

Regeln gäller även när .

Observera att i vissa fall kan avslöjandet av osäkerheter av typen eller kan kräva upprepad tillämpning av L'Hopitals regel.

Typosäkerheter osv. med hjälp av elementära transformationer kan de lätt reduceras till osäkerheter i formen eller .

Uppgift 4. Hitta gränsen med hjälp av L'Hopitals regel.

Lösning Här har vi osäkerhet om formen, eftersom kl. Låt oss tillämpa L'Hopitals regel:

.

Efter att ha tillämpat L'Hopitals regel fick vi återigen osäkerhet om formen, eftersom kl. Om vi ​​tillämpar L'Hopitals regel igen får vi:

.

5. Funktionsstudie

a) Ökande och minskande funktioner

Funktionen kallas ökande på segmentet , om för några punkter och från segmentet , där , olikheten gäller. Om en funktion är kontinuerlig på ett intervall och för , så ökar den med intervallet.

Funktionen kallas minskar på segmentet , om för några punkter och från segmentet , där , olikheten gäller. Om en funktion är kontinuerlig på ett intervall och för , minskar den med intervallet.

Om en funktion bara ökar eller bara minskar på ett givet intervall, så anropas den monoton på intervallet.

b) Extrema funktioner

minimipunkt funktioner .

Om det finns en -grannskap av punkten så att ojämlikheten gäller för alla punkter från denna grannskap, då kallas punkten högsta poäng funktioner .

Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas dess extrema punkter.

Punkten kallas stationär punkt, om eller inte finns.

Om det finns en -grannskap till en stationär punkt så att för och för , då är den maximala punkten för funktionen.

Om det finns en -grannskap till en stationär punkt så att för och för , då -minimumpunkten för funktionen .

a) Konvex riktning. Böjningspunkter

konvexa upp på intervallet , om den är placerad under tangenten som plottas till grafen för funktionen vid någon punkt i detta intervall.

Ett tillräckligt villkor för uppåtriktad konvexitet av grafen för en funktion på ett intervall är uppfyllandet av olikheten för något av de betraktade intervallen.

Grafen för en differentierbar funktion kallas konvexa ner på intervallet , om den är placerad ovanför tangenten som plottas till grafen för funktionen vid någon punkt i detta intervall.

Ett tillräckligt villkor för nedåtriktad konvexitet av grafen för en funktion på ett intervall är uppfyllandet av olikheten för något av de betraktade intervallen.

Den punkt där konvexitetsriktningen för grafen för en funktion ändras kallas böjningspunkt.

En punkt där eller inte finns är abskissan för en böjningspunkt om tecknen till vänster och höger om den är olika.

d) Asymptoter

Om avståndet från en punkt på grafen för en funktion till en viss rät linje tenderar att bli noll när punkten rör sig oändligt bort från origo, då kallas den räta linjen asymptot på grafen för funktionen.

Om det finns ett nummer så att , då är linjen vertikal asymptot.

Om det finns gränser , då är linjen sned (horisontell vid k=0) asymptot.

e) Allmän studie av funktion

1. Funktionsdomän

2. Skärningspunkter för grafen med koordinataxlarna

3. Studie av en funktion för kontinuitet, jämn/udda och periodicitet

4. En funktions monotoniintervall

5. Funktionens extrema punkter

6. Konvexitetsintervall och inflexionspunkter för en funktionsgraf

7. Asymptoter för grafen för en funktion

8. Funktionsdiagram.

Uppgift 5. Utforska funktionen och bygg dess graf.

Lösning. 1) Funktionen definieras på hela tallinjen förutom punkten där bråkets nämnare går till noll. . Vi har: hör inte till definitionsdomänen för denna funktion. Följaktligen är de stationära punkterna för denna funktion punkterna med minimivärdet (som visas i figuren).

8) Med hjälp av de erhållna uppgifterna, låt oss bygga en graf över den ursprungliga funktionen: