Vilken transformation leder inte till att rötter tappas. Transformation av ekvationer, ekvivalenta transformationer. Enligt villkoren i DL

Ämnet trigonometriska ekvationer börjar med en skolföreläsning, som är uppbyggd i form av ett heuristiskt samtal. Föreläsningen diskuterar teoretiskt material och exempel på att lösa alla typiska problem enligt planen:

• De enklaste trigonometriska ekvationerna.
• Grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
• Homogena ekvationer.

På följande lektioner påbörjas en självständig kompetensutveckling, baserad på tillämpningen av principen om gemensam aktivitet mellan lärare och elev. Först sätts mål för eleverna, d.v.s. det bestäms vem som inte vill veta mer än vad som krävs enligt den statliga standarden, och vem som är redo att göra mer.

Den slutliga diagnosen skapas med hänsyn till nivådifferentiering, vilket gör att eleverna medvetet kan bestämma den minsta kunskap som krävs för att få betyget "3". Baserat på detta väljs material på flera nivåer för att diagnostisera elevernas kunskaper. Sådant arbete möjliggör ett individuellt förhållningssätt till elever, inklusive alla i medvetna lärandeaktiviteter, utvecklar självorganisering och självlärande färdigheter, och säkerställer en övergång till aktivt, självständigt tänkande.

Seminariet genomförs efter att ha tränat på de grundläggande färdigheterna att lösa trigonometriska ekvationer. Flera lektioner innan seminariet får studenterna frågor som kommer att diskuteras under seminariet.

Seminariet består av tre delar.

1. Den inledande delen omfattar allt teoretiskt material, inklusive en introduktion till de problem som kommer att uppstå vid lösning av komplexa ekvationer.

2. Den andra delen diskuterar lösningen av ekvationer av formen:

• och cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ekvationer lösbara genom att minska graden.

Dessa ekvationer använder universell substitution, gradreduktionsformler och hjälpargumentmetoden.

3. Den tredje delen behandlar problemen med rotförlust och förvärv av främmande rötter. Visar hur man väljer rötter.

Eleverna arbetar i grupp. För att lösa exemplen kallas vältränade killar in som kan visa och förklara materialet.

Seminariet är utformat för en väl förberedd student, eftersom... den tar upp frågor något utanför programmaterialets ram. Den innehåller ekvationer av en mer komplex form, och tar särskilt upp problem som uppstår vid lösning av komplexa trigonometriska ekvationer.

Seminariet hölls för elever i årskurs 10–11. Varje elev hade möjlighet att utöka och fördjupa sina kunskaper om detta ämne, för att jämföra kunskapsnivån inte bara med kraven för en skolutexaminerad, utan också med kraven för dem som kommer in i V.U.Z.

SEMINARIUM

Ämne:"Lösa trigonometriska ekvationer"

Mål:

• Generalisera kunskap om att lösa trigonometriska ekvationer av alla typer.
• Fokus på problem: förlust av rötter; främmande rötter; rotval.

UNDER KLASSERNA.

I. Inledande del

1. Grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer

• Faktorisering.
• Införande av en ny variabel.
• Funktionell grafisk metod.

2. Vissa typer av trigonometriska ekvationer.

• Ekvationer som reduceras till andragradsekvationer med avseende på cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

De löses genom att införa en ny variabel.

• Homogena ekvationer av första och andra graden

Första gradens ekvation: Asinx + Bcosx = 0 dividera med cos x, vi får Atg x + B = 0

Andra gradens ekvation: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dividera med cos 2 x, vi får Atg 2 x + Btgx + C = 0

De löses genom faktorisering och genom att införa en ny variabel.

Alla metoder gäller.

• Nedvärdera:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Lösas med faktoriseringsmetod.

2). Asin2x + Bsin2x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Formens ekvation: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Reducerad till kvadrat med avseende på t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Formler.

x + 2n; Kontroll krävs!

• Minskande effekt: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Hjälpargumentmetod.

Låt oss ersätta Acosx + Bsinx med Csin (x + ), där sin = a/C; cos=v/c;

– hjälpargument.

4. Regler.

• Om du ser en fyrkant, sänk graden.
• Om du ser en bit, gör en summa.
• Om du ser mängden, gör jobbet.

5. Förlust av rötter, extra rötter.

• Förlust av rötter: dividera med g(x); farliga formler (universell substitution). Med dessa operationer begränsar vi definitionens omfattning.

• Överskott av rötter: höjs till en jämn kraft; multiplicera med g(x) (bli av med nämnaren). Med dessa operationer utökar vi definitionsområdet.

II. Exempel på trigonometriska ekvationer

1. Ekvationer av formen Asinx + Bcosx = C

1) Universell substitution.O.D.Z. x – vilken som helst.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Undersökning: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Är roten till ekvationen.

Svar: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funktionell grafisk metod. O.D.Z. x – vilken som helst.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Låt oss plotta funktionerna: y = sinx, y = cosx + 1.

Svar: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Införande av ett hjälpargument. O.D.Z.: x – alla.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, eftersom (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, då finns det så att sin = 8/17,

cos = 15/17, vilket betyder sin cosx + sinx cos = 1; = båge 8/17.

Svar: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – båge 8/17, n Z.

2. Minska ordningen: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – valfri.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Svar: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

På

k = 1 och m = 0 k = 4 och m = 1.

serierna är desamma.

3. Reduktion till homogenitet. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – valfri.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) kan inte delas med cos 2 x, eftersom vi tappar rötter.
cos 2 x = 0 uppfyller ekvationen.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Svar: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Formens ekvation: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – valfri.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Svar: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorisering.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, inga rötter.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Svar: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problem som uppstår vid lösning av trigonometriska ekvationer

1. Förlust av rötter: dividera med g(x); Vi använder farliga formler.

1) Hitta felet.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formel.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 dividera med 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Förlorade rötter sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Rätt lösning: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Främmande rötter: vi gör oss av med nämnaren; höja till en jämn kraft.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k/6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2/3 = 3/2 inte tillfredsställa. O.D.Z. 2. n = 1 sin 2 = 0 tillfredsställa O.D.Z. 3. n = 2 sin 2/3 = –3/2 tillfredsställa O.D.Z.

II. x = (–1) k/6 + k, k Z 1.k = 0 synd 2/6 = 3/2 uppfyller inte O.D.Z. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3 / 2 tillfredsställa O.D.Z.

Svar: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Grundläggande metoder för att lösa ekvationer

Vad är lösningen på en ekvation?

Identisk transformation. Grundläggande

typer av identitetsomvandlingar.

Utländsk rot. Rotförlust.

Lösa ekvationen är en process som huvudsakligen består av att ersätta en given ekvation med en annan ekvation som är ekvivalent med den . Denna ersättare kallasidentisk transformation . De huvudsakliga identitetstransformationerna är följande:

1.

Att ersätta ett uttryck med ett annat som är identiskt lika med det. Till exempel, ekvationen (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 kan ersättas med följande motsvarighet:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Överföra termer i en ekvation från den ena sidan till den andra med omvända tecken. Så i den föregående ekvationen kan vi överföra alla dess termer från höger sida till vänster med tecknet "-": 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, varefter vi får:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Multiplicera eller dividera båda sidorna av en ekvation med samma uttryck (tal) annat än noll. Detta är mycket viktigt eftersomden nya ekvationen kanske inte är ekvivalent med den föregående om uttrycket vi multiplicerar eller dividerar med kan vara lika med noll.

EXEMPEL Ekvationenx – 1 = 0 har en enda rotx = 1.

Multiplicera båda sidor medx – 3 , får vi ekvationen

( x – 1)( x – 3) = 0, som har två rötter:x = 1 ochx = 3.

Det sista värdet är inte roten till den givna ekvationen

x – 1 = 0. Detta är den så kalladefrämmande rot .

Omvänt kan splittring leda tillrotförlust . Så

i vårt fall, om (x – 1 )( x – 3 ) = 0 är originalet

ekvation, sedan rotenx = 3 kommer att förloras i division

båda sidor av ekvationen påx – 3 .

I den sista ekvationen (punkt 2) kan vi dividera alla dess termer med 3 (inte noll!) och slutligen få:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Denna ekvation motsvarar den ursprungliga ekvationen:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Burkhöja båda sidor av ekvationen till en udda potens ellerextrahera den udda roten från båda sidor av ekvationen . Det är nödvändigt att komma ihåg att:

a) konstruktion ijämn grad kan orsakatill förvärv av utländska rötter ;

b)fel extraktionjämn rot kan leda tillförlust av rötter .

EXEMPEL. Ekvation 7x = 35 har en enda rotx = 5 .

Genom att kvadrera båda sidor av denna ekvation får vi

ekvationen:

49 x 2 = 1225 .

har två rötter:x = 5 Ochx = – 5. Sista värde

är en främmande rot.

Felaktig tar kvadratroten av båda

delar av ekvation 49x 2 = 1225 resultat i 7x = 35,

och vi tappar våra rötterx = – 5.

Korrekt att ta kvadratroten resulterar i

ekvation: | 7x | = 35, A därav två fall:

1) 7 x = 35, Sedanx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Sedanx = – 5 .

Därför, närkorrekt utvinna kvadrat

rötter tappar vi inte rötterna till ekvationen.

Vad betyderHöger extrahera roten? Det är här vi möts

med ett mycket viktigt konceptaritmetisk rot

(centimeter. ).

Kan leda till uppkomsten av så kallade främmande rötter. I den här artikeln kommer vi först att analysera i detalj vad som är främmande rötter. För det andra, låt oss prata om orsakerna till deras förekomst. Och för det tredje, med hjälp av exempel, kommer vi att överväga de viktigaste metoderna för att filtrera bort främmande rötter, det vill säga kontrollera rötterna för närvaron av främmande bland dem för att utesluta dem från svaret.

Externa rötter till ekvationen, definition, exempel

Skolalgebraläroböcker ger ingen definition av en främmande rot. Där bildas idén om en främmande rot genom att beskriva följande situation: med hjälp av några transformationer av ekvationen görs en övergång från den ursprungliga ekvationen till följdekvationen, rötterna till den resulterande följdekvationen hittas , och de hittade rötterna kontrolleras genom att ersätta den ursprungliga ekvationen, vilket visar att några av de hittade rötterna inte är rötter till den ursprungliga ekvationen, dessa rötter kallas främmande rötter för den ursprungliga ekvationen.

Med utgångspunkt från denna bas kan du själv acceptera följande definition av en främmande rot:

Definition

Främmande rötter- dessa är rötterna till följdekvationen som erhålls som ett resultat av transformationer, som inte är rötterna till den ursprungliga ekvationen.

Låt oss ge ett exempel. Låt oss betrakta ekvationen och konsekvensen av denna ekvation x·(x−1)=0, erhållen genom att ersätta uttrycket med det identiskt lika uttrycket x·(x−1) . Den ursprungliga ekvationen har en enda rot 1. Ekvationen som erhålls som ett resultat av transformationen har två rötter 0 och 1. Detta betyder att 0 är en främmande rot för den ursprungliga ekvationen.

Orsaker till eventuellt utseende av främmande rötter

Om du för att erhålla följdekvationen inte använder några "exotiska" transformationer, utan bara använder grundläggande transformationer av ekvationer, kan främmande rötter bara uppstå av två skäl:

• på grund av utbyggnaden av ODZ och
• på grund av att båda sidorna av ekvationen höjs till samma jämna styrka.

Det är värt att komma ihåg här att expansionen av ODZ som ett resultat av att transformera ekvationen huvudsakligen sker

• Vid reducering av fraktioner;
• När du ersätter en produkt med en eller flera nollfaktorer med noll;
• När du ersätter ett bråk med en nolltäljare med noll;
• När du använder vissa egenskaper hos potenser, rötter, logaritmer;
• När du använder några trigonometriska formler;
• När båda sidorna av en ekvation multipliceras med samma uttryck, försvinner den med ODZ för den ekvationen;
• Vid frigöring från logaritmtecken i lösningsprocessen.

Exemplet från föregående stycke i artikeln illustrerar uppkomsten av en främmande rot på grund av expansionen av ODZ, som uppstår när man flyttar från ekvationen till följdekvationen x·(x−1)=0. ODZ för den ursprungliga ekvationen är mängden av alla reella tal, med undantag för noll, ODZ för den resulterande ekvationen är mängden R, det vill säga ODZ utökas med talet noll. Detta nummer visar sig i slutändan vara en främmande rot.

Vi kommer också att ge ett exempel på utseendet av en främmande rot på grund av att båda sidorna av ekvationen höjs till samma jämna styrka. Den irrationella ekvationen har en enda rot 4, och konsekvensen av denna ekvation erhålls från den genom att kvadrera båda sidor av ekvationen, det vill säga ekvationen , har två rötter 1 och 4. Av detta är det tydligt att kvadrering av båda sidor av ekvationen ledde till uppkomsten av en främmande rot för den ursprungliga ekvationen.

Observera att att expandera ODZ och höja båda sidor av ekvationen till samma jämna styrka inte alltid leder till uppkomsten av främmande rötter. Till exempel, när man flyttar från ekvationen till följdekvationen x=2, expanderar ODZ från mängden av alla icke-negativa tal till mängden av alla reella tal, men inga främmande rötter visas. 2 är den enda roten av både den första och andra ekvationen. Dessutom uppstår inga främmande rötter när man går från en ekvation till en följdekvation. Den enda roten av både den första och andra ekvationen är x=16. Det är därför vi inte talar om orsakerna till uppkomsten av främmande rötter, utan om orsakerna till det eventuella uppkomsten av främmande rötter.

Vad är att sålla bort främmande rötter?

Termen "att sålla ut främmande rötter" kan bara med en sträcka kallas etablerad det finns inte i alla algebraläroböcker, men det är intuitivt, varför det vanligtvis används. Vad som menas med att sålla bort främmande rötter blir tydligt av följande fras: "... verifiering är ett obligatoriskt steg för att lösa en ekvation, som kommer att hjälpa till att upptäcka främmande rötter, om några, och kassera dem (vanligtvis säger de "gräs bort) ”).”

Således,

Definition

Sålla bort främmande rötter- detta är upptäckt och kassering av främmande rötter.

Nu kan du gå vidare till metoder för att sålla bort främmande rötter.

Metoder för att sålla bort främmande rötter

Byteskontroll

Det huvudsakliga sättet att filtrera bort främmande rötter är ett substitutionstest. Det låter dig sålla bort främmande rötter som kan uppstå både på grund av expansionen av ODZ och på grund av att båda sidorna av ekvationen höjs till samma jämna effekt.

Substitutionstestet är som följer: de hittade rötterna till följdekvationen ersätts i sin tur i den ursprungliga ekvationen eller i någon ekvation motsvarande den, de som ger den korrekta numeriska likheten är rötterna till den ursprungliga ekvationen, och de som ger den ursprungliga ekvationen felaktig numerisk likhet eller uttryck är rötterna till den ursprungliga ekvationen meningslösa, är främmande rötter för den ursprungliga ekvationen.

Låt oss visa med ett exempel hur man filtrerar bort främmande rötter genom substitution i den ursprungliga ekvationen.

I vissa fall är det mer ändamålsenligt att filtrera bort främmande rötter med andra metoder. Detta gäller främst de fall då kontroll genom substitution är förenat med betydande beräkningssvårigheter eller när standardmetoden för att lösa ekvationer av en viss typ kräver ytterligare en kontroll (exempelvis sållning av främmande rötter vid lösning av fraktionella rationella ekvationer utförs enligt villkor att bråkets nämnare inte är lika med noll ). Låt oss titta på alternativa sätt att sålla bort främmande rötter.

Enligt DL

Till skillnad från testning genom substitution är det inte alltid lämpligt att filtrera bort främmande rötter med ODZ. Faktum är att den här metoden låter dig filtrera bort endast främmande rötter som uppstår på grund av expansionen av ODZ, och den garanterar inte siktning av främmande rötter som kan uppstå av andra skäl, till exempel på grund av att båda sidorna höjs. av ekvationen till samma jämna potens. Dessutom är det inte alltid lätt att hitta OD för ekvationen som löses. Ändå är metoden att sålla ut främmande rötter med hjälp av ODZ värd att behålla, eftersom dess användning ofta kräver mindre beräkningsarbete än användningen av andra metoder.

Utrensning av främmande rötter enligt ODZ utförs på följande sätt: alla hittade rötter i följdekvationen kontrolleras för att se om de tillhör intervallet av tillåtna värden för variabeln för den ursprungliga ekvationen eller någon ekvation som motsvarar den, de som hör till ODZ är rötter till den ursprungliga ekvationen, och de som tillhör ODZ är rötter till den ursprungliga ekvationen, och de som inte tillhör ODZ är främmande rötter för den ursprungliga ekvationen.

Analys av den tillhandahållna informationen leder till slutsatsen att det är tillrådligt att sålla bort främmande rötter med ODZ om samtidigt:

• det är lätt att hitta ODZ för den ursprungliga ekvationen,
• främmande rötter kan bara uppstå på grund av expansionen av ODZ,
• Substitutionstestning är förknippad med betydande beräkningssvårigheter.

Vi kommer att visa hur bortrensning av främmande rötter går till i praktiken.

Enligt villkoren i DL

Som vi sa i föregående stycke, om främmande rötter bara kan uppstå på grund av expansionen av ODZ, kan de elimineras med hjälp av ODZ för den ursprungliga ekvationen. Men det är inte alltid lätt att hitta ODZ i form av en numerisk uppsättning. I sådana fall är det möjligt att sålla bort främmande rötter inte enligt ODZ, utan enligt de förhållanden som bestämmer ODZ. Låt oss förklara hur bortrensning av främmande rötter utförs under ODZ-förhållandena.

De hittade rötterna ersätts i sin tur med de villkor som bestämmer ODZ för den ursprungliga ekvationen eller någon ekvation motsvarande den. De som uppfyller alla villkor är rötterna till ekvationen. Och de av dem som inte uppfyller åtminstone ett villkor eller ger ett uttryck som inte är vettigt är främmande rötter för den ursprungliga ekvationen.

Låt oss ge ett exempel på att sålla bort främmande rötter enligt ODZ-förhållandena.

Rensa bort främmande rötter som härrör från att höja båda sidor av ekvationen till en jämn kraft

Det är uppenbart att sålla bort främmande rötter som uppstår genom att höja båda sidor av ekvationen till samma jämna styrka kan göras genom att ersätta den med den ursprungliga ekvationen eller i valfri ekvation som motsvarar den. Men en sådan kontroll kan innebära betydande beräkningssvårigheter. I det här fallet är det värt att känna till en alternativ metod för att sålla ut främmande rötter, som vi kommer att prata om nu.

Sålla bort främmande rötter som kan uppstå när man höjer båda sidor av irrationella formekvationer till samma jämna styrka , där n är något jämnt tal, kan utföras enligt villkoret g(x)≥0. Detta följer av definitionen av en rot av en jämn grad: en rot av en jämn grad n är ett icke-negativt tal, vars n:te potens är lika med det radikala talet, varav . Det tillvägagångssätt som uttrycks är alltså en sorts symbios av metoden att höja båda sidor av ekvationen till samma makt och metoden att lösa irrationella ekvationer genom att bestämma roten. Det vill säga ekvationen , där n är ett jämnt tal, löses genom att höja båda sidor av ekvationen till samma jämna potens, och eliminering av främmande rötter utförs enligt villkoret g(x)≥0, hämtat från metoden för att lösa irrationella ekvationer genom att bestämma roten.

I förra lektionen använde vi tre steg för att lösa ekvationer.

Det första steget är tekniskt. Med hjälp av en kedja av transformationer från den ursprungliga ekvationen kommer vi fram till en ganska enkel, som vi löser och hittar rötterna.

Det andra steget är lösningsanalys. Vi analyserar de omvandlingar vi utfört och tar reda på om de är likvärdiga.

Det tredje steget är verifiering. Att kontrollera alla hittade rötter genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen är obligatoriskt när man utför transformationer som kan leda till en följdekvation

Är det alltid nödvändigt att särskilja tre steg när man löser en ekvation?

Självklart inte. Som till exempel när man löser denna ekvation. I vardagen särskiljs de vanligtvis inte. Men alla dessa steg måste "hållas i åtanke" och utföras i en eller annan form. Det är absolut nödvändigt att analysera ekvivalensen av transformationer. Och om analysen visar att en kontroll behöver utföras så är det obligatoriskt. Annars kan ekvationen inte anses vara korrekt löst.

Är det alltid möjligt att kontrollera rötterna till en ekvation endast genom substitution?

Om ekvivalenta transformationer användes när ekvationen löstes, krävs ingen verifiering. När man kontrollerar rötterna till en ekvation, används ODZ (tillåtet värdeintervall) mycket ofta. Om det är svårt att kontrollera med ODZ, utförs det genom att ersätta det med den ursprungliga ekvationen.

Övning 1

Lös ekvationen kvadratroten ur två x plus tre är lika med ett plus x.

Lösning

ODZ för ekvationen bestäms av ett system med två olikheter: två x plus tre är större än eller lika med noll och ett plus x är större än eller lika med noll. Lösningen är x större än eller lika med minus ett.

Låt oss kvadratisera båda sidor av ekvationen, flytta termer från ena sidan av ekvationen till den andra, lägga till liknande termer och få en andragradsekvation x kvadrat är lika med två. Dess rötter är

x första, andra är lika med plus eller minus kvadratroten ur två.

Undersökning

Värdet av x först är lika med kvadratroten ur två är roten av ekvationen, eftersom den ingår i ODZ.
Värdet på x sekund är lika med minus kvadratroten ur två är inte roten av ekvationen, eftersom det ingår inte i DZ.
Låt oss kontrollera att roten x är lika med kvadratroten ur två, genom att ersätta den med den ursprungliga likheten får vi

likheten är sann, vilket betyder att x är lika med kvadratroten ur två är roten av ekvationen.

Svar: kvadratroten ur två.

Uppgift 2

Lös ekvationen kvadratroten ur x minus åtta är lika med fem minus x.

Lösning

ODZ för en irrationell ekvation bestäms av ett system med två olikheter: x minus åtta är större än eller lika med noll och fem minus x är större än eller lika med noll. När vi löser det finner vi att det här systemet inte har några lösningar. Roten till ekvationen kan inte vara något av värdena för variabeln x.

Svar: inga rötter.

Uppgift 3

Lös ekvationen kvadratroten ur x i kub plus fyra x minus ett minus åtta kvadratrötter av x till fjärde potensen minus x är lika med kvadratroten ur x i kuben minus ett plus två kvadratrötter av x.

Lösning

Att hitta ODZ i denna ekvation är ganska svårt.

Låt oss utföra omvandlingen: kvadrera båda sidor av denna ekvation,

Låt oss flytta alla termer till vänster sida av ekvationen och ta lika termer, skriv två rötter under en, få liknande radikaler, ta likadana, dividera med koefficienten minus 12, och faktorisera det radikala uttrycket, vi får en ekvation i form av en produkt av två faktorer lika med noll. Efter att ha löst det hittar vi rötterna:

x första är lika med ett, x andra är lika med noll.

Eftersom vi höjde båda sidor av ekvationen till en jämn potens, är det obligatoriskt att kontrollera rötterna.

Undersökning

Om x är lika med ett, då

vi får rätt likhet, vilket betyder att x är lika med en är roten till ekvationen.

Om x är noll är kvadratroten ur minus ett odefinierad.

Detta betyder att x lika med noll är en främmande rot.

Svar: en.

Uppgift 4

Lös ekvationslogaritmen för uttrycket x i kvadrat plus fem x plus två bas två är lika med tre.

Lösning

Låt oss hitta ODZ-ekvationen. För att göra detta löser vi olikheten x i kvadrat plus fem x plus två över noll.

Vi löser ojämlikheten med intervallmetoden. För att göra detta faktoriserar vi dess vänstra sida, efter att tidigare ha löst andragradsekvationen, och med hänsyn till olikhetstecknet bestämmer vi ODZ. ODZ är lika med föreningen av de öppna strålarna från minus oändlighet till minus bråkdelen fem plus kvadratroten ur sjutton delat med två, och från minus bråkdelen fem minus kvadratroten ur sjutton delat med två till plus oändlighet.

Låt oss nu börja hitta rötterna till ekvationen. Med tanke på att tre är lika med logaritmen av åtta till bas två, skriver vi ekvationen enligt följande: logaritmen för uttrycket x kvadrat plus fem x plus två till bas två är lika med logaritmen av åtta till bas två. Låt oss potentiera ekvationen, erhålla och lösa en andragradsekvation.

Diskriminanten är fyrtionio.

Beräkna rötterna:

X först är lika med minus sex; x sekund är lika med ett.

Undersökning

Minus sex tillhör ODZ, en tillhör ODZ, vilket betyder att båda talen är rötter till ekvationen.

Svar: minus sex; ett.

I den senaste lektionen tittade vi på frågan om utseendet på främmande rötter. Vi kan upptäcka dem genom verifiering. Är det möjligt att tappa rötter när man löser en ekvation och hur kan man förhindra detta?

När du utför sådana åtgärder på en ekvation, som att först dividera båda sidor av ekvationen med samma uttryck ax från x (förutom de fall då det är säkert känt att ax från x inte är lika med noll för något x från definitionsområdet för ekvationen);

för det andra kan en minskning av ekvationens OD under lösningsprocessen leda till att ekvationens rötter försvinner.

Kom ihåg!

Ekvationen skriven som

ef från x multiplicerat med aska från x är lika med zhe från x multiplicerat med aska från x löses på detta sätt:

du måste faktorisera genom att sätta den gemensamma faktorn inom parentes;

likställ sedan varje faktor till noll, och erhåll därigenom två ekvationer.

Vi beräknar deras rötter.

Övning 1

Lös ekvationen x kub är lika med x.

Första sättet

Låt oss dividera båda sidorna av denna ekvation med x, vi får x kvadrat är lika med en, med rötter x första är lika med en,

x sekund är lika med minus ett.

Andra sättet

X-kub är lika med X. Låt oss flytta x till vänster sida av ekvationen, ta ut x från parentes och vi får: x multiplicerat med x kvadrat minus ett är lika med noll.

Låt oss beräkna dess rötter:

X första är lika med noll, x andra är lika med ett, x tredje är lika med minus ett.

Ekvationen har tre rötter.

När vi löste den första metoden tappade vi en rot - x är lika med noll.

Svar: minus ett; noll; ett.

Kom ihåg! Att reducera båda sidor av ekvationen med en faktor som innehåller det okända kan resultera i förlorade rötter.

Uppgift 2

Lös ekvationen: decimallogaritmen för x i kvadrat är lika med två.

Lösning

Första sättet

Genom definitionen av en logaritm får vi andragradsekvationen x kvadrat är lika med hundra.

Dess rötter: x först är lika med tio; X sekund är lika med minus tio.

Andra sättet

Med egenskapen för logaritmer har vi två decimala logaritmer x är lika med två.

Dess rot - x är lika med tio

Med den andra metoden är roten x lika med minus tio gick förlorad. Och anledningen är att de tillämpade fel formel, vilket minskade ekvationens omfattning. Uttrycket för decimallogaritmen för x i kvadrat definieras för alla x utom x lika med noll. Uttrycket för decimallogaritmen för x är för x större än noll. Den korrekta formeln för decimallogaritmen x kvadrat är lika med två decimallogaritmer modul x.

Kom ihåg! När du löser en ekvation, använd de tillgängliga formlerna klokt.

Förlust av rötter och främmande rötter vid lösning av ekvationer

Kommunal utbildningsinstitution "Secondary school nr 2 med fördjupad studie av enskilda ämnen" i staden Vsevolozhsk. Forskningsarbetet förbereddes av en elev i årskurs 11 B: Vasilyev Vasily. Projektledare: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Ekvation Låt oss först titta på olika sätt att lösa denna ekvation sinx+cosx =- 1

Lösning nr 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Svar: + 2

Lösning nr 2 sinx+cosx =- 1:a Svar: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Lösning nr 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Svar:

sinx+cosx =-1 Lösning nr 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Svar: - + 2 n

Låt oss jämföra lösningar Rätta lösningar Låt oss ta reda på i vilka fall främmande rötter kan dyka upp och varför Nr 2 Svar: +2 Nr 3 Svar: Nr 4 Svar: + 2 n Nr 1 Svar: +2

Kontrollera lösningen Är det nödvändigt att kontrollera? Kolla rötterna för säkerhets skull? Detta är naturligtvis användbart när det är lätt att ersätta, men matematiker är rationella människor och gör inte onödiga saker. Låt oss titta på olika fall och komma ihåg när verifiering verkligen behövs.

1. De enklaste färdiga formlerna c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a I de fall rötterna hittas med de enklaste färdiga formlerna behöver kontrollen inte göras. Men när du använder sådana formler bör du komma ihåg villkoren under vilka de kan användas. Till exempel kan formeln = användas under villkoret a 0, -4ac 0 Och svaret x= arccos2+2 för ekvationen cosx =2 anses vara ett grovt fel, eftersom formeln x= arccos a +2 bara kan vara används för rötterna till ekvationen cosx =a, där | en | 1

2. Transformationer När man löser ekvationer måste man oftare utföra många transformationer. Om en ekvation ersätts med en ny som har alla rötter från den föregående, och den transformeras så att ingen förlust eller förvärv av rötter sker, så kallas sådana ekvationer ekvivalenta. 1. När komponenterna i en ekvation överförs från en del till en annan. 2. När du lägger till samma nummer på båda sidor. 3. När båda sidorna av en ekvation multipliceras med samma tal som inte är noll. 4 . Vid tillämpning av identiteter som är giltiga på uppsättningen av alla reella tal. Verifiering krävs dock inte!

Men inte alla ekvationer kan lösas genom ekvivalenta transformationer. Oftare är det nödvändigt att tillämpa ojämlika transformationer. Ofta är sådana transformationer baserade på användningen av formler som inte är giltiga för alla verkliga värden. I detta fall ändras i synnerhet ekvationens definitionsdomän. Det här felet finns i lösning #4. Låt oss titta på felet, men låt oss först titta på lösning nr 4 igen. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Felet ligger i formeln sin2x= Denna formel kan användas, men du bör dessutom kontrollera om rötterna är tal av formen + för vilka tg inte är definierat. Nu står det klart att lösningen är förlusten av rötter. Låt oss se till slutet.

Lösning nr. 4 i y x 0 1 Låt oss kontrollera talen = + n genom substitution: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Så x= +2 n är roten till ekvationen Svar: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Vi tittade på ett av sätten att tappa rötter, det finns väldigt många av dem i matematik, så du måste lösa noggrant och komma ihåg alla regler. Precis som du kan tappa rötterna till en ekvation, kan du också skaffa extra sådana när du löser den. Låt oss överväga lösning nr 3 där ett sådant fel gjordes.

Lösning #3 I y x 0 1 2 2 och extra rötter! Främmande rötter kan dyka upp när båda sidorna av ekvationen var kvadratiska. I det här fallet är det nödvändigt att kontrollera. För n=2k har vi sin k+cos k=-1; cos k=-1 för k=2m-1 , Då n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Svar: +2 För n=2k+1 har vi sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 med k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Så vi tittade på ett par möjliga fall, av vilka det finns väldigt många. Försök att inte slösa bort din tid och göra dumma misstag.