Orsaker till uppkomsten av främmande rötter vid lösning av ekvationer. Workshop "att lösa trigonometriska ekvationer". Ekvivalenta transformationer av ekvationer

Ämnet trigonometriska ekvationer börjar med en skolföreläsning, som är uppbyggd i form av ett heuristiskt samtal. Föreläsningen diskuterar teoretiskt material och exempel på att lösa alla typiska problem enligt planen:

De enklaste trigonometriska ekvationerna.
Grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer.
Homogena ekvationer.

På följande lektioner påbörjas en självständig kompetensutveckling, baserad på tillämpningen av principen om gemensam aktivitet mellan lärare och elev. Först sätts mål för eleverna, d.v.s. det bestäms vem som inte vill veta mer än vad som krävs enligt den statliga standarden, och vem som är redo att göra mer.

Den slutliga diagnosen skapas med hänsyn till nivådifferentiering, vilket gör att eleverna medvetet kan bestämma den minsta kunskap som krävs för att få betyget "3". Baserat på detta väljs material på flera nivåer ut för att diagnostisera elevernas kunskaper. Sådant arbete möjliggör ett individuellt förhållningssätt till elever, inklusive alla i medvetna lärandeaktiviteter, utvecklar självorganisering och självlärande färdigheter, och säkerställer en övergång till aktivt, självständigt tänkande.

Seminariet genomförs efter att ha tränat på de grundläggande färdigheterna att lösa trigonometriska ekvationer. Flera lektioner innan seminariet får studenterna frågor som kommer att diskuteras under seminariet.

Seminariet består av tre delar.

1. Den inledande delen omfattar allt teoretiskt material, inklusive en introduktion till de problem som kommer att uppstå vid lösning av komplexa ekvationer.

2. Den andra delen diskuterar lösningen av ekvationer av formen:

och cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
ekvationer lösbara genom att minska graden.

Dessa ekvationer använder universell substitution, gradreduktionsformler och hjälpargumentmetoden.

3. Den tredje delen diskuterar problemen med rotförlust och förvärv av främmande rötter. Visar hur man väljer rötter.

Eleverna arbetar i grupp. För att lösa exemplen kallas vältränade killar in som kan visa och förklara materialet.

Seminariet är utformat för en väl förberedd student, eftersom... den tar upp frågor något utanför programmaterialets ram. Den innehåller ekvationer av en mer komplex form, och tar särskilt upp problem som uppstår vid lösning av komplexa trigonometriska ekvationer.

Seminariet hölls för elever i årskurs 10–11. Varje elev hade möjlighet att utöka och fördjupa sina kunskaper om detta ämne, för att jämföra kunskapsnivån inte bara med kraven för en skolutexaminerad, utan också med kraven för dem som kommer in i V.U.Z.

SEMINARIUM

Ämne:"Lösa trigonometriska ekvationer"

Mål:

Generalisera kunskap om att lösa trigonometriska ekvationer av alla typer.
Fokus på problem: förlust av rötter; främmande rötter; rotval.

UNDER KLASSERNA.

I. Inledande del

1. Grundläggande metoder för att lösa trigonometriska ekvationer

Faktorisering.
Införande av en ny variabel.
Funktionell-grafisk metod.

2. Vissa typer av trigonometriska ekvationer.

Ekvationer som reduceras till andragradsekvationer med avseende på cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

De löses genom att införa en ny variabel.

Homogena ekvationer av första och andra graden

Första gradens ekvation: Asinx + Bcosx = 0 dividera med cos x, vi får Atg x + B = 0

Andra gradens ekvation: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 dividera med cos 2 x, vi får Atg 2 x + Btgx + C = 0

De löses genom faktorisering och genom att införa en ny variabel.

Alla metoder gäller.

Nedvärdera:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Lösas med faktoriseringsmetod.

2). Asin2x + Bsin2x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Formens ekvation: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Reducerad till kvadrat med avseende på t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Formler.

x + 2n; Kontroll krävs!

Minskande grad: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
Hjälpargumentmetod.

Ersätt Acosx + Bsinx med Csin (x + ), där sin = a/C; cos=v/c;

– hjälpargument.

4. Regler.

Om du ser en fyrkant, sänk graden.
Om du ser en bit, gör en summa.
Om du ser mängden, gör jobbet.

5. Förlust av rötter, extra rötter.

Förlust av rötter: dividera med g(x); farliga formler (universell substitution). Med dessa operationer begränsar vi definitionens omfattning.

Överskott av rötter: höjs till en jämn kraft; multiplicera med g(x) (bli av med nämnaren). Med dessa operationer utökar vi definitionsområdet.

II. Exempel på trigonometriska ekvationer

1. Ekvationer av formen Asinx + Bcosx = C

1) Universell substitution.O.D.Z. x – vilken som helst.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Undersökning: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Är roten till ekvationen.

Svar: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Funktionell-grafisk metod. O.D.Z. x – vilken som helst.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Låt oss plotta funktionerna: y = sinx, y = cosx + 1.

Svar: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Införande av ett hjälpargument. O.D.Z.: x – alla.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, eftersom (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, då finns det så att sin = 8/17,

cos = 15/17, vilket betyder sin cosx + sinx cos = 1; = båge 8/17.

Svar: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – båge 8/17, n Z.

2. Minska ordningen: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – valfri.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Svar: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

På

k = 1 och m = 0
k = 4 och m = 1.

serierna är desamma.

3. Reduktion till homogenitet. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – valfri.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) kan inte delas med cos 2 x, eftersom vi tappar rötter.
cos 2 x = 0 uppfyller ekvationen.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Svar: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Formens ekvation: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – valfri.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Svar: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Faktorisering.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, inga rötter.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Svar: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Problem som uppstår vid lösning av trigonometriska ekvationer

1. Förlust av rötter: dividera med g(x); Vi använder farliga formler.

1) Hitta felet.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formel.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 dividera med 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Förlorade rötter sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Rätt lösning: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Främmande rötter: vi gör oss av med nämnaren; höja till en jämn kraft.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k/6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
sin 2/3 = 3/2
inte tillfredsställa. O.D.Z.

2. n = 1
sin 2 = 0
tillfredsställa O.D.Z.

3. n = 2
sin 2/3 = –3/2
tillfredsställa O.D.Z.

II. x = (–1) k/6 + k, k Z
1.k = 0
synd 2/6 = 3/2
uppfyller inte O.D.Z.
2. k = 1
sin 2*5/6 = –3 / 2
tillfredsställa O.D.Z.

Svar: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. TAPPADE OCH UTDRAGNADE rötter VID LÖSNING AV EKVATIONER (TILL EXEMPEL)

REFERENSMATERIAL

1. Två satser i § 3 i kapitel VII talade om vilka åtgärder på ekvationer som inte bryter mot deras ekvivalens.

2. Låt oss nu överväga sådana operationer på ekvationer som kan leda till en ny ekvation som är olik den ursprungliga ekvationen. Istället för allmänna överväganden kommer vi att begränsa oss till att endast överväga specifika exempel.

3. Exempel 1. Givet en ekvation Låt oss öppna parenteserna i denna ekvation, flytta alla termer till vänster och lösa andragradsekvationen. Dess rötter är

Om du reducerar båda sidor av ekvationen med en gemensam faktor får du en ekvation som är olik den ursprungliga, eftersom den bara har en rot

Att reducera båda sidor av ekvationen med en faktor som innehåller det okända kan således resultera i att ekvationens rötter går förlorade.

4. Exempel 2. Givet en ekvation, låt oss kvadrera båda sidorna av denna ekvation.

Vi ser att den nya ekvationen inte är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen Roten är roten till ekvationen som, efter att ha kvadrerat båda sidor, leder till ekvationen.

5. Främmande rötter kan också dyka upp när båda sidor av ekvationen multipliceras med en faktor som innehåller en okänd, om denna faktor försvinner för verkliga värden på x.

Exempel 3. Om vi multiplicerar båda sidor av ekvationen med så får vi en ny ekvation som, efter att ha överfört termen från höger sida till vänster och faktoriserat den, ger en ekvation från antingen

Roten uppfyller inte en ekvation som bara har en rot

Härifrån drar vi slutsatsen: när man kvadrerar båda sidor av ekvationen (i allmänhet till en jämn potens), såväl som när man multiplicerar med en faktor som innehåller ett okänt och försvinner vid verkliga värden av det okända, kan främmande rötter dyka upp.

Alla överväganden som uttrycks här i frågan om förlusten och uppkomsten av främmande rötter till en ekvation gäller lika för alla ekvationer (algebraiska, trigonometriska, etc.).

6. En ekvation kallas algebraisk om bara algebraiska operationer utförs på det okända - addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering och rotextraktion med en naturlig exponent (och antalet sådana operationer är ändligt).

Så till exempel ekvationerna

är algebraiska, och ekvationerna

TÄNDER. Tänderna på ryggradsdjur är helt lika i struktur och utveckling som placoidfjällen som täcker hela huden på hajfiskar. Eftersom hela munhålan, och delvis svalghålan, är kantad med ektodermalt epitel, en typisk placoid... ...

LUNGTUBERKULOS- LUNTUBERKULOS. Innehåll: I. Patologisk anatomi...........110 II. Klassificering av lungtuberkulos.... 124 III. Klinik................................128 IV. Diagnostik.................................160 V. Prognos................... .......... 190 VI. Behandling … Stor medicinsk encyklopedi

FÖRGIFTNING- FÖRGIFTNING. Förgiftning betyder "störningar i djurens funktioner". organismer, orsakade av exogena eller endogena, kemiskt eller fysikaliskt och kemiskt verksamma ämnen, som är främmande i fråga om kvalitet, kvantitet eller koncentration... ... Stor medicinsk encyklopedi

Baljväxtknölbakterier- Paleontologiska data tyder på att de äldsta baljväxterna som hade knölar var några växter som tillhörde Eucaesalpinioideae-gruppen. I moderna arter av baljväxter har man hittat knölar... Biologisk uppslagsverk

Lista över avsnitt av den animerade serien "Luntik"– Den här artikeln saknar länkar till informationskällor. Uppgifterna ska vara kontrollerbara, annars kan de ifrågasättas och raderas. Du kan... Wikipedia

ANLÄGGNING OCH MILJÖ- En växts liv, som alla andra levande organismer, är en komplex uppsättning sammanhängande processer; Den viktigaste av dem är som bekant utbytet av ämnen med miljön. Miljön är källan från vilken... ... Biologisk uppslagsverk

Lista över avsnitt av serien "Luntik"- Huvudartikel: The Adventures of Luntik and his friends Innehåll 1 Antal avsnitt 2 Lista över avsnitt av den animerade serien Luntik och hans vänner ... Wikipedia

Fruktträdssjukdomar– Fruktträd borde, tack vare ständig mänsklig omsorg om dem, nå en mycket högre ålder än sina oodlade släktingar, om inte för de motverkande influenserna från många förhållanden i själva kulturen, nämligen de krav som ställs av oss... ...

Skogsavverkning- Skogsavverkning, eller uttag av skogsinkomst i form av ved och bark, kan göras på två sätt: genom att gräva upp eller rycka upp hela träd, det vill säga stammar tillsammans med rötter, eller separat, i delar, först avverkade eller avlägsnade från... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus och I.A. Ephron

Grosh- (polska grosz, från tyska Groschen, från latin grossus (dēnārius) "tjock denarius") mynt av olika länder och tider. Innehåll 1 Utseendet av ett öre ... Wikipedia

amerikanska mynt- 20 Saint Gaudens-dollar det vackraste och dyraste amerikanska myntet. Amerikanska mynt är mynt som präglas på det amerikanska myntverket. Tillverkad sedan 1792... Wikipedia

Böcker

De främsta orsakerna till håravfall hos kvinnor, Alexey Michman, Sex av tio kvinnor lider av håravfall någon gång i livet. Håravfall kan uppstå av ett antal anledningar, såsom ärftlighet, hormonella förändringar i... Kategori:

I förra lektionen använde vi tre steg för att lösa ekvationer.

Det första steget är tekniskt. Med hjälp av en kedja av transformationer från den ursprungliga ekvationen kommer vi fram till en ganska enkel, som vi löser och hittar rötterna.

Det andra steget är lösningsanalys. Vi analyserar de omvandlingar vi utfört och tar reda på om de är likvärdiga.

Det tredje steget är verifiering. Att kontrollera alla hittade rötter genom att ersätta dem i den ursprungliga ekvationen är obligatoriskt när man utför transformationer som kan leda till en följdekvation

Är det alltid nödvändigt att särskilja tre steg när man löser en ekvation?

Självklart inte. Som till exempel när man löser denna ekvation. I vardagen särskiljs de vanligtvis inte. Men alla dessa steg måste "hållas i åtanke" och utföras i en eller annan form. Det är absolut nödvändigt att analysera ekvivalensen av transformationer. Och om analysen visar att en kontroll behöver utföras så är den obligatorisk. Annars kan ekvationen inte anses vara korrekt löst.

Är det alltid möjligt att kontrollera rötterna till en ekvation endast genom substitution?

Om ekvivalenta transformationer användes när ekvationen löses, krävs ingen verifiering. När man kontrollerar rötterna till en ekvation, används ODZ (tillåtet värdeintervall) mycket ofta. Om det är svårt att kontrollera med ODZ, utförs det genom att ersätta det med den ursprungliga ekvationen.

Övning 1

Lös ekvationen kvadratroten ur två x plus tre är lika med ett plus x.

Lösning

ODZ för ekvationen bestäms av ett system med två olikheter: två x plus tre är större än eller lika med noll och ett plus x är större än eller lika med noll. Lösningen är x större än eller lika med minus ett.

Låt oss kvadratisera båda sidor av ekvationen, flytta termerna från ena sidan av ekvationen till den andra, lägga till liknande termer och få en andragradsekvation x kvadrat är lika med två. Dess rötter är

x första, andra är lika med plus eller minus kvadratroten ur två.

Undersökning

Värdet av x först är lika med kvadratroten ur två är roten av ekvationen, eftersom den ingår i ODZ.
Värdet på x sekund är lika med minus kvadratroten ur två är inte roten av ekvationen, eftersom det ingår inte i DZ.
Låt oss kontrollera att roten x är lika med kvadratroten ur två, genom att ersätta den med den ursprungliga likheten får vi

likheten är sann, vilket betyder att x är lika med kvadratroten ur två är roten av ekvationen.

Svar: kvadratroten ur två.

Uppgift 2

Lös ekvationen kvadratroten ur x minus åtta är lika med fem minus x.

Lösning

ODZ för en irrationell ekvation bestäms av ett system med två olikheter: x minus åtta är större än eller lika med noll och fem minus x är större än eller lika med noll. När vi löser det finner vi att det här systemet inte har några lösningar. Roten till ekvationen kan inte vara något av värdena för variabeln x.

Svar: inga rötter.

Uppgift 3

Lös ekvationen kvadratroten av x i kub plus fyra x minus ett minus åtta kvadratrötter av x till fjärde potensen minus x är lika med kvadratroten ur x i kuben minus ett plus två kvadratrötter av x.

Lösning

Att hitta ODZ i denna ekvation är ganska svårt.

Låt oss utföra omvandlingen: kvadrera båda sidorna av denna ekvation,

Låt oss flytta alla termer till vänster sida av ekvationen och ta lika termer, skriv två rötter under en, få liknande radikaler, ta likadana, dividera med koefficienten minus 12, och faktorisera det radikala uttrycket, vi får en ekvation i form av en produkt av två faktorer lika med noll. Efter att ha löst det hittar vi rötterna:

x första är lika med ett, x andra är lika med noll.

Eftersom vi höjde båda sidor av ekvationen till en jämn potens, är det obligatoriskt att kontrollera rötterna.

Undersökning

Om x är lika med ett, då

vi får rätt likhet, vilket betyder att x är lika med en är roten till ekvationen.

Om x är noll är kvadratroten ur minus ett odefinierad.

Detta betyder att x lika med noll är en främmande rot.

Svar: en.

Uppgift 4

Lös ekvationslogaritmen för uttrycket x i kvadrat plus fem x plus två bas två är lika med tre.

Lösning

Låt oss hitta ODZ-ekvationen. För att göra detta löser vi olikheten x i kvadrat plus fem x plus två över noll.

Vi löser ojämlikheten med intervallmetoden. För att göra detta faktoriserar vi dess vänstra sida, efter att tidigare ha löst andragradsekvationen, och med hänsyn till olikhetstecknet bestämmer vi ODZ. ODZ är lika med föreningen av de öppna strålarna från minus oändlighet till minus bråkdelen fem plus kvadratroten ur sjutton delat med två, och från minus bråkdelen fem minus kvadratroten ur sjutton delat med två till plus oändlighet.

Låt oss nu börja hitta rötterna till ekvationen. Med tanke på att tre är lika med logaritmen av åtta till bas två, skriver vi ekvationen enligt följande: logaritmen för uttrycket x kvadrat plus fem x plus två till bas två är lika med logaritmen av åtta till bas två. Låt oss potentiera ekvationen, erhålla och lösa en andragradsekvation.

Diskriminanten är fyrtionio.

Beräkna rötterna:

X först är lika med minus sex; x sekund är lika med ett.

Undersökning

Minus sex tillhör ODZ, en tillhör ODZ, vilket betyder att båda talen är rötter till ekvationen.

Svar: minus sex; ett.

I den senaste lektionen tittade vi på frågan om utseendet på främmande rötter. Vi kan upptäcka dem genom verifiering. Är det möjligt att tappa rötter när man löser en ekvation och hur kan man förhindra detta?

När man utför sådana åtgärder på en ekvation, som att först dividera båda sidor av ekvationen med samma uttryck ax från x (förutom de fall då det är säkert känt att ax från x inte är lika med noll för något x från definitionsområdet för ekvationen);

för det andra kan en minskning av ekvationens OD under lösningsprocessen leda till att ekvationens rötter försvinner.

Kom ihåg!

Ekvationen skriven som

ef från x multiplicerat med aska från x är lika med zhe från x multiplicerat med aska från x löses på detta sätt:

du måste faktorisera genom att ta den gemensamma faktorn ur parentes;

likställ sedan varje faktor till noll, och erhåll därigenom två ekvationer.

Vi beräknar deras rötter.

Övning 1

Lös ekvationen x kub är lika med x.

Första sättet

Låt oss dividera båda sidorna av denna ekvation med x, vi får x kvadrat är lika med en, med rötter x första är lika med en,

x sekund är lika med minus ett.

Andra sättet

X-kub är lika med X. Låt oss flytta x till vänster sida av ekvationen, ta ut x från parentes och vi får: x multiplicerat med x kvadrat minus ett är lika med noll.

Låt oss beräkna dess rötter:

X första är lika med noll, x andra är lika med ett, x tredje är lika med minus ett.

Ekvationen har tre rötter.

När vi löste den första metoden tappade vi en rot - x är lika med noll.

Svar: minus ett; noll; ett.

Kom ihåg! Att reducera båda sidor av ekvationen med en faktor som innehåller det okända kan resultera i förlorade rötter.

Uppgift 2

Lös ekvationen: decimallogaritmen för x i kvadrat är lika med två.

Lösning

Första sättet

Genom definitionen av en logaritm får vi andragradsekvationen x kvadrat är lika med hundra.

Dess rötter: x först är lika med tio; X sekund är lika med minus tio.

Andra sättet

Med egenskapen hos logaritmer har vi två decimala logaritmer x är lika med två.

Dess rot - x är lika med tio

Med den andra metoden är roten x lika med minus tio förlorades. Och anledningen är att de tillämpade fel formel, vilket minskade ekvationens omfattning. Uttrycket för decimallogaritmen av x i kvadrat definieras för alla x utom x lika med noll. Uttrycket för decimallogaritmen för x är för x större än noll. Den korrekta formeln för decimallogaritmen x kvadrat är lika med två decimallogaritmer modul x.

Kom ihåg! När du löser en ekvation, använd de tillgängliga formlerna klokt.

Grundläggande metoder för att lösa ekvationer

Vad är lösningen på en ekvation?

Identisk transformation. Grundläggande

typer av identitetsomvandlingar.

Utländsk rot. Rotförlust.

Lösa ekvationen är en process som huvudsakligen består av att ersätta en given ekvation med en annan ekvation som är ekvivalent med den . Denna ersättare kallasidentisk transformation . De huvudsakliga identitetstransformationerna är följande:

Att ersätta ett uttryck med ett annat som är identiskt lika med det. Till exempel, ekvationen (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 kan ersättas med följande motsvarighet:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Överföra termer i en ekvation från den ena sidan till den andra med omvända tecken. Så i den föregående ekvationen kan vi överföra alla dess termer från höger sida till vänster med tecknet "-": 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, varefter vi får:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

Multiplicera eller dividera båda sidorna av en ekvation med samma uttryck (tal) annat än noll. Detta är mycket viktigt eftersomden nya ekvationen kanske inte är ekvivalent med den föregående om uttrycket vi multiplicerar eller dividerar med kan vara lika med noll.

EXEMPEL Ekvationenx – 1 = 0 har en enda rotx = 1.

Multiplicera båda sidor medx – 3 , får vi ekvationen

( x – 1)( x – 3) = 0, som har två rötter:x = 1 ochx = 3.

Det sista värdet är inte roten till den givna ekvationen

x – 1 = 0. Detta är den så kalladefrämmande rot .

Omvänt kan splittring leda tillrotförlust . Så

i vårt fall, om (x – 1 )( x – 3 ) = 0 är originalet

ekvation, sedan rotenx = 3 kommer att förloras i division

båda sidor av ekvationen påx – 3 .

I den sista ekvationen (punkt 2) kan vi dividera alla dess termer med 3 (inte noll!) och slutligen få:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Denna ekvation motsvarar den ursprungliga ekvationen: