Puncte de pe graficul unei funcții diferențiabile. Diferențierea funcțiilor. Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema

Conținutul articolului

DERIVAT– derivata functiei y = f(X), dat pe un anumit interval ( A, b) la un moment dat X al acestui interval se numește limita la care tinde raportul de creștere a funcției fîn acest moment la incrementul corespunzător al argumentului când incrementul argumentului tinde spre zero.

Derivatul este de obicei notat după cum urmează:

Alte denumiri sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă:

Viteza instantanee.

Lasă punctul M se mișcă în linie dreaptă. Distanţă s punct de mișcare, numărat dintr-o poziție inițială M 0 , depinde de timp t, adică s există o funcție a timpului t: s= f(t). Lasă la un moment dat t punct de mișcare M era la distanta s din pozitia de start M 0 și într-un moment următor t+D t s-a trezit într-o poziție M 1 - la distanta s+D s din pozitia initiala ( vezi poza.).

Astfel, pe o perioadă de timp D t distanţă s modificat cu suma D s. În acest caz, ei spun că în intervalul de timp D t magnitudinea s a primit sporul D s.

Viteza medie nu poate caracteriza în toate cazurile cu exactitate viteza de mișcare a unui punct M la un moment dat t. Dacă, de exemplu, corpul la începutul intervalului D t s-a deplasat foarte repede și, la sfârșit, foarte lent, atunci viteza medie nu va putea reflecta caracteristicile indicate ale mișcării punctului și va da o idee despre adevărata viteză a mișcării sale în acest moment t. Pentru a exprima mai precis viteza reală folosind viteza medie, trebuie să luați o perioadă mai scurtă de timp D t. Cel mai pe deplin caracterizează viteza de mișcare a unui punct în acest moment t limita la care tinde viteza medie la D t® 0. Această limită se numește viteza curentă:

Astfel, viteza de mișcare la un moment dat se numește limita raportului de creștere a traseului D s la incrementul de timp D t, când incrementul de timp tinde spre zero. Deoarece

Sensul geometric al derivatului. Tangenta la graficul unei functii.

Construcția tangentelor este una dintre acele probleme care au dus la nașterea calculului diferențial. Prima lucrare publicată legată de calculul diferenţial, scrisă de Leibniz, a fost intitulată O nouă metodă a maximelor și minimelor, precum și a tangentelor, pentru care nici mărimile fracționale, nici iraționale nu reprezintă un obstacol, și un tip special de calcul pentru aceasta.

Fie curba graficul funcției y =f(X) într-un sistem de coordonate dreptunghiular ( cm. orez.).

La o oarecare valoare X funcția contează y =f(X). Aceste valori XȘi y punctul de pe curbă corespunde M 0(X, y). Dacă argumentul X da increment D X, apoi noua valoare a argumentului X+D X corespunde noii valori ale funcției y+ D y = f(X + D X). Punctul corespunzător al curbei va fi punctul M 1(X+D X,y+D y). Daca desenezi o secanta M 0M 1 și notat cu j unghiul format de o transversală cu direcția pozitivă a axei Bou, din figură reiese imediat că .

Daca acum D X tinde spre zero, apoi punctul M 1 se deplasează de-a lungul curbei, apropiindu-se de punct M 0 și unghi j schimbari cu D X. La Dx® 0 unghiul j tinde spre o anumită limită a şi dreapta care trece prin punct M 0 și componenta cu direcția pozitivă a axei x, unghiul a, va fi tangenta dorită. Panta sa este:

Prin urmare, f´( X) = tga

acestea. valoare derivată f´( X) pentru o valoare de argument dată X este egal cu tangenta unghiului format de tangenta la graficul functiei f(X) în punctul corespunzător M 0(X,y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Diferențiabilitatea funcțiilor.

Definiție. Dacă funcţia y = f(X) are o derivată la punct X = X 0, atunci funcția este diferențiabilă în acest punct.

Continuitatea unei funcții având o derivată. Teorema.

Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, funcția nu poate avea o derivată la punctele de discontinuitate. Concluzia opusă este incorectă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă nu înseamnă că este diferențiabilă în acest moment. De exemplu, funcția y = |X| continuă pentru toată lumea X(–Ґ x x = 0 nu are derivată. În acest moment nu există tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și una stângă, dar nu coincid.

Câteva teoreme despre funcțiile diferențiabile. Teoremă asupra rădăcinilor derivatei (teorema lui Rolle). Dacă funcţia f(X) este continuă pe segment [A,b], este diferențiabilă în toate punctele interne ale acestui segment și la capete X = AȘi X = b merge la zero ( f(A) = f(b) = 0), apoi în interiorul segmentului [ A,b] există cel puțin un punct X= Cu, A c b, în ​​care derivata fў( X) merge la zero, adică fў( c) = 0.

Teorema incrementului finit (teorema lui Lagrange). Dacă funcţia f(X) este continuă pe intervalul [ A, b] și este diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există cel puțin un punct Cu, A c b că

f(b) – f(A) = fў( c)(b– A).

Teoremă privind raportul incrementelor a două funcții (teorema lui Cauchy). Dacă f(X) Și g(X) – două funcții continue pe segment [A, b] și diferențiabilă în toate punctele interioare ale acestui segment și gў( X) nu dispare nicăieri în interiorul acestui segment, apoi în interiorul segmentului [ A, b] există un astfel de punct X = Cu, A c b că

Derivate de diverse ordine.

Lasă funcția y =f(X) este diferențiabilă pe un anumit interval [ A, b]. Valori derivate f ў( X), în general, depind de X, adică derivat f ў( X) este și o funcție a X. La diferențierea acestei funcție, obținem așa-numita derivată a doua a funcției f(X), care este notat f ўў ( X).

Derivat n- al-lea ordin al funcției f(X) se numește derivată (de ordinul întâi) a derivatei n- 1- th și este notat cu simbolul y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferențiale de diverse ordine.

Diferenţial de funcţie y = f(X), Unde X– variabilă independentă, da dy = f ў( X)dx, unele functii de la X, dar din X numai primul factor poate depinde f ў( X), al doilea factor ( dx) este incrementul variabilei independente Xși nu depinde de valoarea acestei variabile. Deoarece dy există o funcție de la X, atunci putem determina diferenţialul acestei funcţii. Diferenţialul diferenţialului unei funcţii se numeşte a doua diferenţială sau diferenţială de ordinul doi a acestei funcţii şi se notează d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( X)(dx) 2 .

Diferenţial n- de ordinul întâi se numeşte prima diferenţială a diferenţialului n- 1- comanda:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(X)dx(n).

Derivată parțială.

Dacă o funcție depinde nu de unul, ci de mai multe argumente x i(i variază de la 1 la n,i= 1, 2,… n),f(X 1,X 2,… x n), apoi în calculul diferenţial este introdus conceptul de derivată parţială, care caracterizează rata de modificare a unei funcţii a mai multor variabile atunci când se modifică un singur argument, de exemplu, x i. Derivată parțială de ordinul I cu privire la x i este definit ca o derivată obișnuită și se presupune că toate argumentele cu excepția x i, păstrați valori constante. Pentru derivatele parțiale se introduce notația

Derivatele parțiale de ordinul 1 definite în acest fel (ca funcții ale acelorași argumente) pot avea, la rândul lor, și derivate parțiale, acestea sunt derivate parțiale de ordinul doi etc. Astfel de derivate luate din argumente diferite se numesc mixte. Derivatele mixte continue de același ordin nu depind de ordinea diferențierii și sunt egale între ele.

Anna Chugainova

Derivat funcțiiîntr-un punct se numește limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, cu condiția ca acesta să tinde spre zero.

Reguli de bază pentru găsirea derivatei

Dacă - și - sunt funcții diferențiabile în punctul , (adică funcții care au derivate în punctul), atunci:

4) .

Tabel de derivate ale funcțiilor de bază

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Regula de diferențiere a unei funcții complexe. Dacă și , adică , unde și au derivate, atunci

Diferențierea unei funcții specificată parametric. Fie ca dependența unei variabile de o variabilă să fie specificată parametric prin intermediul parametrului:

Sarcina 3. Găsiți derivate ale acestor funcții.

1)

Soluţie. Aplicând regula 2 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 2 ale tabelului de derivate, obținem:

Soluţie. Aplicând regula 4 pentru găsirea derivatelor și formulele 1 și 13 din tabelul derivatelor, obținem:

.

Soluţie. Aplicând regula 3 pentru găsirea derivatelor și formulele 5 și 11 ale tabelului de derivate, obținem:

Soluţie. Presupunând , unde , conform formulei de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem:

Soluţie. Avem: Atunci, conform formulei de găsire a derivatei unei funcții specificate parametric, obținem:

4. Derivate de ordin superior. Regula lui L'Hopital.

Derivată de ordinul doi a funcției se numește derivata derivatei sale, adică. . Pentru derivata a doua se folosesc următoarele notații: sau , sau .

Derivată de ordinul I a funcției se numește derivata derivatei sale de ordinul al treilea. Pentru derivata de ordinul al treilea se folosesc urmatoarele notatii: sau , sau .

Regula lui L'Hopital. Fie funcțiile și să fie diferențiabile într-o vecinătate a punctului și derivata nu dispare. Dacă funcțiile și sunt simultan fie infinitezimale, fie infinit mari la , și există o limită a raportului la , atunci există și o limită a raportului la . în plus

.

Regula se aplică și atunci când .

Rețineți că, în unele cazuri, dezvăluirea incertitudinilor de tip sau poate necesita aplicarea repetată a regulii L'Hopital.

Incertitudini de tip etc. cu ajutorul transformărilor elementare ele pot fi uşor reduse la incertitudini de formă sau .

Sarcina 4. Găsiți limita folosind regula lui L'Hopital.

Soluţie Aici avem incertitudinea formei, deoarece la . Să aplicăm regula lui L'Hopital:

.

După aplicarea regulii lui L'Hopital, am obţinut din nou incertitudinea formei, deoarece la . Aplicând din nou regula lui L'Hopital, obținem:

.

5. Studiu funcțional

a) Funcţii crescătoare şi descrescătoare

Funcția este numită crescând pe segment , dacă pentru orice puncte și din segmentul , unde , inegalitatea este valabilă. Dacă o funcție este continuă pe un interval și pentru , atunci crește pe interval.

Funcția este numită in scadere pe segment , dacă pentru orice puncte și din segmentul , unde , inegalitatea este valabilă. Dacă o funcție este continuă pe un interval și pentru , atunci ea scade pe interval.

Dacă o funcție este doar în creștere sau numai în scădere într-un interval dat, atunci este numită monoton pe interval.

b) Funcția extrema

punct minim funcții .

Dacă există o -vecinătate a punctului astfel încât pentru toate punctele din această vecinătate inegalitatea este valabilă, atunci punctul este numit punct maxim funcții .

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc ei puncte extremum.

Punctul se numește punct staționar, dacă există sau nu.

Dacă există o vecinătate a unui punct staționar astfel încât pentru și pentru , atunci este punctul maxim al funcției.

Dacă există o vecinătate a unui punct staționar astfel încât pentru și pentru , atunci punctul -minim al funcției .

A) Direcție convexă. Puncte de inflexiune

convex în sus pe interval , dacă se află sub tangenta trasată la graficul funcţiei în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea ascendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele considerate.

Graficul unei funcții diferențiabile se numește convex în jos pe interval , dacă este situat deasupra tangentei trasate la graficul funcţiei în orice punct din acest interval.

O condiție suficientă pentru convexitatea descendentă a graficului unei funcții pe un interval este îndeplinirea inegalității pentru oricare dintre intervalele luate în considerare.

Se numește punctul în care direcția de convexitate a graficului unei funcții se modifică punct de inflexiune.

Un punct în care sau nu există este abscisa unui punct de inflexiune dacă semnele din stânga și din dreapta acestuia sunt diferite.

d) Asimptote

Dacă distanța de la un punct de pe graficul unei funcții la o anumită dreaptă tinde spre zero pe măsură ce punctul se îndepărtează infinit de origine, atunci linia dreaptă se numește asimptota graficului functiei.

Dacă există un număr astfel încât , atunci linia este asimptotă verticală.

Dacă există limite , atunci linia este oblică (orizontală la k=0) asimptotă.

e) Studiu general al funcției

1. Domeniul funcțional

2. Puncte de intersecție ale graficului cu axele de coordonate

3. Studiul unei funcții pentru continuitate, par/impar și periodicitate

4. Intervale de monotonitate a unei funcţii

5. Puncte extreme ale funcției

6. Intervale de convexitate și puncte de inflexiune ale unui grafic de funcție

7. Asimptotele graficului unei funcții

8. Graficul funcției.

Sarcina 5. Explorează funcția și construiește graficul acesteia.

Soluţie. 1) Funcția este definită pe întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului în care numitorul fracției ajunge la zero. . Avem: nu aparţine domeniului de definire a acestei funcţii. În consecință, punctele staționare ale acestei funcții sunt punctele cu valoarea minimă (așa cum se arată în figură).

8) Folosind datele obținute, să construim un grafic al funcției inițiale: