Care transformare nu duce la pierderea rădăcinilor. Transformarea ecuațiilor, transformări echivalente. Conform termenilor DL

Tema ecuațiilor trigonometrice începe cu o prelegere școlară, care este structurată sub forma unei conversații euristice. Prelegerea discută materiale teoretice și exemple de rezolvare a tuturor problemelor tipice conform planului:

• Cele mai simple ecuații trigonometrice.
• Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
• Ecuații omogene.

În lecțiile următoare, începe dezvoltarea abilităților independente, bazată pe aplicarea principiului activității comune între profesor și elev. În primul rând, sunt stabilite obiective pentru elevi, adică se determină cine nu vrea să știe mai mult decât ceea ce este cerut de standardul de stat și cine este gata să facă mai mult.

Diagnosticul final este creat ținând cont de diferențierea de nivel, care permite elevilor să determine în mod conștient cunoștințele minime care sunt necesare pentru a primi nota „3”. Pe baza acestui lucru, sunt selectate materiale pe mai multe niveluri pentru a diagnostica cunoștințele elevilor. O astfel de muncă permite o abordare individuală a studenților, incluzând toată lumea în activități de învățare conștientă, dezvoltarea abilităților de auto-organizare și auto-învățare și asigurarea unei tranziții către o gândire activă, independentă.

Seminarul se desfășoară după exersarea abilităților de bază de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Cu câteva lecții înainte de seminar, studenților li se pun întrebări care vor fi discutate în timpul seminarului.

Seminarul constă din trei părți.

1. Partea introductivă acoperă tot materialul teoretic, inclusiv o introducere în problemele care vor apărea la rezolvarea ecuațiilor complexe.

2. A doua parte discută soluția ecuațiilor de forma:

• și cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• ecuaţii rezolvabile prin reducerea gradului.

Aceste ecuații folosesc substituția universală, formulele de reducere a gradului și metoda argumentelor auxiliare.

3. Partea a treia tratează problemele pierderii rădăcinilor și dobândirii rădăcinilor străine. Arată cum să selectezi rădăcinile.

Elevii lucrează în grupuri. Pentru a rezolva exemplele, sunt chemați băieți bine pregătiți care pot arăta și explica materialul.

Seminarul este conceput pentru un student bine pregătit, deoarece... abordează probleme oarecum dincolo de sfera materialului programului. Include ecuații de formă mai complexă și, în special, abordează problemele întâlnite în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice complexe.

Seminarul a fost ținut pentru elevii din clasele 10-11. Fiecare elev a avut ocazia să-și extindă și să-și aprofundeze cunoștințele pe această temă, să compare nivelul de cunoștințe nu doar cu cerințele pentru un absolvent de școală, ci și cu cerințele pentru cei care intră în V.U.Z.

SEMINAR

Subiect:„Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”

Obiective:

• Generalizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de toate tipurile.
• Concentrați-vă pe probleme: pierderea rădăcinilor; rădăcini străine; selecția rădăcinii.

ÎN CURILE CURĂRILOR.

I. Partea introductivă

1. Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

• Factorizarea.
• Introducerea unei noi variabile.
• Metoda functional-grafica.

2. Unele tipuri de ecuații trigonometrice.

• Ecuații care se reduc la ecuații pătratice în raport cu cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Acestea sunt rezolvate prin introducerea unei noi variabile.

• Ecuații omogene de gradul I și II

Ecuația de gradul întâi: Asinx + Bcosx = 0 împărțit la cos x, obținem Atg x + B = 0

Ecuația de gradul doi: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 împărțit la cos 2 x, obținem Atg 2 x + Btgx + C = 0

Ele se rezolvă prin factorizare și prin introducerea unei noi variabile.

Se aplică toate metodele.

• Degradare:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Rezolvată prin metoda factorizării.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Ecuația de formă: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Redusă la pătrat în raport cu t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Formule.

x + 2n; Verificarea este necesară!

• Gradul descrescător: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Metoda argumentării auxiliare.

Să înlocuim Acosx + Bsinx cu Csin (x + ), unde sin = a/C; cos=v/c;

– argument auxiliar.

4. Reguli.

• Dacă vedeți un pătrat, reduceți gradul.
• Dacă vezi o bucată, fă o sumă.
• Dacă vezi suma, fă treaba.

5. Pierderea rădăcinilor, rădăcini suplimentare.

• Pierderea rădăcinilor: împărțiți la g(x); formule periculoase (substituție universală). Cu aceste operații restrângem sfera definiției.

• Rădăcini în exces: ridicate la o putere uniformă; înmulțiți cu g(x) (scăpați de numitor). Cu aceste operațiuni extindem sfera definiției.

II. Exemple de ecuații trigonometrice

1. Ecuații de forma Asinx + Bcosx = C

1) Substituție universală.O.D.Z. x – orice.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Examinare: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Este rădăcina ecuației.

Răspuns: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Metoda functional-grafica. O.D.Z. x – orice.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Să reprezentăm grafic funcțiile: y = sinx, y = cosx + 1.

Răspuns: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Introducerea unui argument auxiliar. O.D.Z.: x – oricare.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, deoarece (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, atunci există astfel încât sin = 8/17,

cos = 15/17, ceea ce înseamnă sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Răspuns: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Reducerea ordinului: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – oricare.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Răspuns: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

La

k = 1 și m = 0 k = 4 și m = 1.

seriale sunt aceleasi.

3. Reducerea la omogenitate. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – oricare.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nu poate fi împărțit la cos 2 x, deoarece pierdem rădăcini.
cos 2 x = 0 satisface ecuația.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Răspuns: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Ecuația de forma: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – oricare.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Răspuns: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorizarea.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, fără rădăcini.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Răspuns: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Probleme apărute la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

1. Pierderea rădăcinilor: se împarte la g(x); Folosim formule periculoase.

1) Găsiți eroarea.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 împărțit la 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Rădăcini pierdute sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Solutia corecta: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Rădăcini străine: scăpăm de numitor; ridică la o putere uniformă.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). cos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 sin 2 /3 = 3 / 2 nu satisface. O.D.Z. 2. n = 1 sin 2= 0 satisface O.D.Z. 3. n = 2 sin 2/ 3 = –3 / 2 satisface O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 sin 2/6 = 3 / 2 nu satisface O.D.Z. 2. k = 1 sin 2*5/6 = –3 / 2 satisface O.D.Z.

Răspuns: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor

Care este soluția unei ecuații?

Transformare identică. De bază

tipuri de transformări identitare.

Rădăcină străină. Pierderea rădăcinilor.

Rezolvarea ecuației este un proces constând în principal în înlocuirea unei ecuații date cu o altă ecuație care îi este echivalentă . Acest înlocuitor se numeștetransformare identică . Principalele transformări de identitate sunt următoarele:

1.

Înlocuirea unei expresii cu alta care este identic cu ea. De exemplu, ecuația (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 poate fi înlocuit cu următorul echivalent:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Transferarea termenilor unei ecuații de la o parte la alta cu semne inverse. Deci, în ecuația anterioară putem transfera toți termenii săi din partea dreaptă în partea stângă cu semnul „-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, după care obținem:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

3.

Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu aceeași expresie (număr), alta decât zero. Acest lucru este foarte important pentru cănoua ecuație poate să nu fie echivalentă cu cea anterioară dacă expresia cu care înmulțim sau împărțim poate fi egală cu zero.

EXEMPLU EcuațiaX - 1 = 0 are o singură rădăcinăx = 1.

Înmulțirea ambelor părți cuX - 3 , obținem ecuația

( X - 1)( X - 3) = 0, care are două rădăcini:x = 1 șiX = 3.

Ultima valoare nu este rădăcina ecuației date

X - 1 = 0. Acesta este așa-numitulrădăcină străină .

În schimb, diviziunea poate duce lapierderea rădăcinii . Asa de

în cazul nostru, dacă (X - 1 )( X - 3 ) = 0 este originalul

ecuație, apoi rădăcinax = 3 va fi pierdut la divizie

ambele părți ale ecuației peX - 3 .

În ultima ecuație (articolul 2), putem împărți toți termenii ei la 3 (nu zero!) și în final obținem:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Această ecuație este echivalentă cu cea inițială:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Poate saridică ambele părți ale ecuației la o putere impară sauextrageți rădăcina impară din ambele părți ale ecuației . Este necesar să ne amintim că:

a) construcția închiar gradul poate cauzala dobândirea de rădăcini străine ;

b)gresit extracţiechiar rădăcină poate duce lapierderea rădăcinilor .

EXEMPLE. Ecuația 7X = 35 are o singură rădăcinăX = 5 .

Punând la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, obținem

ecuația:

49 X 2 = 1225 .

având două rădăcini:X = 5 ȘiX = – 5. Ultima valoare

este o rădăcină străină.

Incorect luând rădăcina pătrată a ambelor

părți ale ecuației 49X 2 = 1225 rezultă în 7X = 35,

și ne pierdem rădăcinileX = – 5.

Corect luând rădăcina pătrată rezultă

ecuație: | 7X | = 35, A de aici două cazuri:

1) 7 X = 35, ApoiX = 5 ; 2) – 7 X = 35, ApoiX = – 5 .

Prin urmare, cândcorect pătrat de extragere

rădăcinile nu pierdem rădăcinile ecuației.

Ce înseamnăDreapta extrage rădăcina? Aici ne întâlnim

cu un concept foarte importantrădăcină aritmetică

(cm. ).

Poate duce la apariția așa-numitelor rădăcini străine. În acest articol, vom analiza mai întâi în detaliu ce este rădăcini străine. În al doilea rând, să vorbim despre motivele apariției lor. Și în al treilea rând, folosind exemple, vom lua în considerare principalele metode de filtrare a rădăcinilor străine, adică verificând rădăcinile pentru prezența celor străine printre ele pentru a le exclude din răspuns.

Rădăcini străine ale ecuației, definiție, exemple

Manualele școlare de algebră nu oferă o definiție a unei rădăcini străine. Acolo, ideea unei rădăcini străine se formează prin descrierea următoarei situații: cu ajutorul unor transformări ale ecuației, se face o tranziție de la ecuația inițială la ecuația corolară, se găsesc rădăcinile ecuației corolare rezultate. , iar rădăcinile găsite sunt verificate prin înlocuirea în ecuația originală, ceea ce arată că unele dintre rădăcinile găsite nu sunt rădăcini ale ecuației originale, aceste rădăcini sunt numite rădăcini străine pentru ecuația originală.

Pornind de la această bază, puteți accepta pentru dvs. următoarea definiție a unei rădăcini străine:

Definiție

Rădăcini străine sunt rădăcinile ecuației corolare obținute ca urmare a transformărilor, care nu sunt rădăcinile ecuației inițiale.

Să dăm un exemplu. Să considerăm ecuația și consecința acestei ecuații x·(x−1)=0, obținute prin înlocuirea expresiei cu expresia identic egală x·(x−1) . Ecuația originală are o singură rădăcină 1. Ecuația obținută în urma transformării are două rădăcini 0 și 1. Aceasta înseamnă că 0 este o rădăcină străină pentru ecuația originală.

Motive pentru posibila apariție a rădăcinilor străine

Dacă pentru a obține ecuația corolară nu folosiți transformări „exotice”, ci folosiți doar transformări de bază ale ecuațiilor, atunci rădăcinile străine pot apărea doar din două motive:

• datorită extinderii ODZ şi
• datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară.

Merită amintit aici că extinderea ODZ ca urmare a transformării ecuației are loc în principal

• La reducerea fracțiilor;
• Când înlocuiți un produs cu unul sau mai mulți factori zero cu zero;
• La înlocuirea unei fracții cu un numărător zero cu zero;
• Când se folosesc unele proprietăți ale puterilor, rădăcinilor, logaritmilor;
• La folosirea unor formule trigonometrice;
• Când ambele părți ale unei ecuații sunt înmulțite cu aceeași expresie, aceasta dispare cu ODZ pentru acea ecuație;
• La eliberarea de semne logaritmice în procesul de soluție.

Exemplul din paragraful anterior al articolului ilustrează apariția unei rădăcini străine din cauza expansiunii ODZ, care apare la trecerea de la ecuație la ecuația corolară x·(x−1)=0. ODZ pentru ecuația originală este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui zero, ODZ pentru ecuația rezultată este mulțimea R, adică ODZ este extins cu numărul zero. Acest număr se dovedește în cele din urmă a fi o rădăcină străină.

Vom da, de asemenea, un exemplu de apariție a unei rădăcini străine datorită ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pare. Ecuația irațională are o singură rădăcină 4, iar consecința acestei ecuații, obținută din aceasta prin punerea la pătrat a ambelor părți ale ecuației, adică ecuația , are două rădăcini 1 și 4. Din aceasta este clar că pătrarea ambelor părți ale ecuației a condus la apariția unei rădăcini străine pentru ecuația originală.

Rețineți că extinderea ODZ și ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă nu duce întotdeauna la apariția rădăcinilor străine. De exemplu, când treceți de la ecuație la ecuația corolară x=2, ODZ se extinde de la mulțimea tuturor numerelor nenegative la mulțimea tuturor numerelor reale, dar nu apar rădăcini străine. 2 este singura rădăcină a primei și a doua ecuații. De asemenea, nu apar rădăcini străine atunci când treceți de la o ecuație la o ecuație corolar. Singura rădăcină a primei și a doua ecuații este x=16. De aceea, nu vorbim despre motivele apariției rădăcinilor străine, ci despre motivele posibilei apariții a rădăcinilor străine.

Ce înseamnă eliminarea rădăcinilor străine?

Termenul „cernerea rădăcinilor străine” poate fi numit stabilit, nu se găsește în toate manualele de algebră, dar este intuitiv, motiv pentru care este de obicei folosit. Ceea ce se înțelege prin cernerea rădăcinilor străine devine clar din următoarea frază: „... verificarea este un pas obligatoriu în rezolvarea unei ecuații, care va ajuta la detectarea rădăcinilor străine, dacă există, și la eliminarea lor (de obicei se spune „elimină buruienile ”).”

Prin urmare,

Definiție

Eliminarea rădăcinilor străine- aceasta este detectarea și eliminarea rădăcinilor străine.

Acum puteți trece la metode de eliminare a rădăcinilor străine.

Metode pentru eliminarea rădăcinilor străine

Verificarea înlocuirii

Principala modalitate de a filtra rădăcinile străine este un test de substituție. Vă permite să îndepărtați rădăcinile străine care ar putea apărea atât din cauza extinderii ODZ, cât și din cauza ridicării ambelor părți ale ecuației la aceeași putere uniformă.

Testul de substituție este următorul: rădăcinile găsite ale ecuației corolare sunt înlocuite la rândul lor în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta, cele care dau egalitatea numerică corectă sunt rădăcinile ecuației inițiale, iar cele care dau Egalitatea numerică sau expresia incorectă sunt rădăcinile ecuației originale fără sens, sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să arătăm cu un exemplu cum să filtram rădăcinile străine prin substituție în ecuația originală.

În unele cazuri, este mai convenabil să se filtreze rădăcinile străine folosind alte metode. Acest lucru se aplică în principal cazurilor în care verificarea prin substituție este asociată cu dificultăți de calcul semnificative sau când metoda standard de rezolvare a ecuațiilor de un anumit tip necesită o altă verificare (de exemplu, eliminarea rădăcinilor străine atunci când rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale se efectuează în conformitate cu condiția ca numitorul fracției să nu fie egal cu zero ). Să ne uităm la modalități alternative de a îndepărta rădăcinile străine.

Potrivit DL

Spre deosebire de testarea prin substituție, filtrarea rădăcinilor străine folosind ODZ nu este întotdeauna adecvată. Faptul este că această metodă vă permite să filtrați numai rădăcinile străine care apar din cauza expansiunii ODZ și nu garantează separarea rădăcinilor străine care ar putea apărea din alte motive, de exemplu, datorită ridicării ambelor părți. a ecuației la aceeași putere pară . Mai mult, nu este întotdeauna ușor să găsiți OD pentru ecuația care se rezolvă. Cu toate acestea, metoda de separare a rădăcinilor străine folosind ODZ merită menținută în funcțiune, deoarece utilizarea sa necesită adesea mai puțină muncă de calcul decât utilizarea altor metode.

Îndepărtarea rădăcinilor străine conform ODZ se efectuează după cum urmează: toate rădăcinile găsite ale ecuației corolare sunt verificate pentru a vedea dacă aparțin intervalului de valori permise ale variabilei pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă acesteia, cele care aparțin ODZ sunt rădăcini ale ecuației originale, iar cele care aparțin ODZ sunt rădăcini ale ecuației originale, iar cele care nu aparțin ODZ sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Analiza informațiilor furnizate duce la concluzia că este recomandabil să se elimine rădăcinile străine folosind ODZ dacă în același timp:

• este ușor să găsiți ODZ pentru ecuația originală,
• rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită extinderii ODZ,
• Testarea de substituție este asociată cu dificultăți de calcul semnificative.

Vom arăta cum se efectuează în practică îndepărtarea rădăcinilor străine.

Conform termenilor DL

După cum am spus în paragraful anterior, dacă rădăcinile străine ar putea apărea numai datorită expansiunii ODZ, atunci ele pot fi eliminate folosind ODZ pentru ecuația originală. Dar nu este întotdeauna ușor să găsiți ODZ sub forma unui set numeric. În astfel de cazuri, este posibil să se elimine rădăcinile străine nu în funcție de ODZ, ci în funcție de condițiile care determină ODZ. Să explicăm cum se efectuează îndepărtarea rădăcinilor străine în condițiile ODZ.

Rădăcinile găsite sunt la rândul lor substituite în condițiile care determină ODZ pentru ecuația originală sau orice ecuație echivalentă cu aceasta. Cele care îndeplinesc toate condițiile sunt rădăcinile ecuației. Iar acelea dintre ele care nu satisfac cel puțin o condiție sau dau o expresie care nu are sens sunt rădăcini străine pentru ecuația originală.

Să dăm un exemplu de eliminare a rădăcinilor străine în funcție de condițiile ODZ.

Îndepărtarea rădăcinilor străine rezultate din ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere uniformă

Este clar că îndepărtarea rădăcinilor străine care decurg din ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară se poate face prin substituirea acesteia în ecuația originală sau în orice ecuație echivalentă cu aceasta. Dar o astfel de verificare poate implica dificultăți de calcul semnificative. În acest caz, merită să cunoașteți o metodă alternativă de separare a rădăcinilor străine, despre care vom vorbi acum.

Eliminarea rădăcinilor străine care pot apărea la ridicarea ambelor părți ale ecuațiilor iraționale ale formei la aceeași putere pară , unde n este un număr par, poate fi efectuată conform condiției g(x)≥0. Aceasta rezultă din definiția unei rădăcini de grad par: o rădăcină de un grad par n este un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu numărul radical, de unde . Astfel, abordarea exprimată este un fel de simbioză a metodei de ridicare a ambelor părți ale ecuației la aceeași putere și a metodei de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii. Adică ecuația , unde n este un număr par, se rezolvă prin ridicarea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere pară, iar eliminarea rădăcinilor străine se realizează conform condiției g(x)≥0, luată din metoda de rezolvare a ecuațiilor iraționale prin determinarea rădăcinii.

În ultima lecție, am folosit trei pași pentru a rezolva ecuații.

Prima etapă este tehnică. Folosind un lanț de transformări din ecuația originală, ajungem la una destul de simplă, pe care o rezolvăm și găsim rădăcinile.

A doua etapă este analiza soluției. Analizăm transformările pe care le-am efectuat și aflăm dacă sunt echivalente.

A treia etapă este verificarea. Verificarea tuturor rădăcinilor găsite prin înlocuirea lor în ecuația originală este obligatorie atunci când se efectuează transformări care pot duce la o ecuație corolar

Este întotdeauna necesar să distingem trei etape atunci când rezolvăm o ecuație?

Desigur că nu. Ca, de exemplu, în rezolvarea acestei ecuații. În viața de zi cu zi, de obicei nu se disting. Dar toate aceste etape trebuie „ține în minte” și realizate într-o formă sau alta. Este imperativ să se analizeze echivalența transformărilor. Și dacă analiza arată că trebuie efectuată o verificare, atunci este obligatorie. În caz contrar, ecuația nu poate fi considerată rezolvată corect.

Este întotdeauna posibil să se verifice rădăcinile unei ecuații doar prin substituție?

Dacă s-au folosit transformări echivalente la rezolvarea ecuației, atunci nu este necesară verificarea. Când se verifică rădăcinile unei ecuații, ODZ (intervalul de valori permis) este foarte des utilizat. Dacă este dificil de verificat folosind ODZ, atunci se efectuează înlocuirea acesteia în ecuația originală.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a două x plus trei egal cu unu plus x.

Soluţie

ODZ a ecuației este determinată de un sistem de două inegalități: doi x plus trei este mai mare sau egal cu zero și unul plus x este mai mare sau egal cu zero. Soluția este x mai mare sau egală cu minus unu.

Să pătram ambele părți ale ecuației, să mutăm termenii dintr-o parte a ecuației în cealaltă, să adăugăm termeni similari și să obținem o ecuație pătratică x pătrat este egal cu doi. Rădăcinile sale sunt

x primul, al doilea este egal cu plus sau minus rădăcina pătrată a două.

Examinare

Valoarea x prima este egală cu rădăcina pătrată a lui doi este rădăcina ecuației, deoarece este inclusă în ODZ.
Valoarea lui x secundă este egală cu minus rădăcina pătrată a lui doi nu este rădăcina ecuației, deoarece nu este inclusă în DZ.
Să verificăm că rădăcina x este egală cu rădăcina pătrată a lui doi, înlocuind-o în egalitatea inițială, obținem

egalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că x este egal cu rădăcina pătrată a lui doi este rădăcina ecuației.

Răspuns: rădăcină pătrată a două.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x minus opt este egal cu cinci minus x.

Soluţie

ODZ a unei ecuații iraționale este determinată de un sistem de două inegalități: x minus opt este mai mare sau egal cu zero și cinci minus x este mai mare sau egal cu zero. Rezolvând-o, constatăm că acest sistem nu are soluții. Rădăcina ecuației nu poate fi nici una dintre valorile variabilei x.

Răspuns: fără rădăcini.

Sarcina 3

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x cub plus patru x minus unu minus opt rădăcini pătrate a lui x la a patra putere minus x este egală cu rădăcina pătrată a lui x cub minus unu plus două rădăcini pătrate a lui x.

Soluţie

Găsirea ODZ în această ecuație este destul de dificilă.

Să efectuăm transformarea: pătratează ambele părți ale acestei ecuații,

Să mutăm toți termenii în partea stângă a ecuației și să aducem termeni similari, să scriem două rădăcini sub una, să obținem radicali similari, să aducem unii asemănători, să împărțim cu coeficientul minus 12 și să factorizăm expresia radicalului, obținem o ecuație în forma unui produs a doi factori egali cu zero. După ce am rezolvat-o, găsim rădăcinile:

x primul este egal cu unu, x al doilea este egal cu zero.

Deoarece am ridicat ambele părți ale ecuației la o putere egală, verificarea rădăcinilor este obligatorie.

Examinare

Dacă x este egal cu unu, atunci

obținem egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că x este egal cu unu este rădăcina ecuației.

Dacă x este zero, atunci rădăcina pătrată a lui minus unu este nedefinită.

Aceasta înseamnă că x egal cu zero este o rădăcină străină.

Răspuns: unul.

Sarcina 4

Rezolvați logaritmul ecuației expresiei x pătrat plus cinci x plus două baza doi egal trei.

Soluţie

Să găsim ecuația ODZ. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea x pătrat plus cinci x plus doi peste zero.

Rezolvăm inegalitatea folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, factorizăm partea stângă, după ce am rezolvat anterior ecuația pătratică și ținând cont de semnul inegalității, determinăm ODZ. ODZ este egal cu unirea razelor deschise de la minus infinit la minus fracția cinci plus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi, iar din minus fracția cinci minus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi la plus infinit.

Acum să începem să găsim rădăcinile ecuației. Având în vedere că trei este egal cu logaritmul de opt la baza doi, scriem ecuația după cum urmează: logaritmul expresiei x pătrat plus cinci x plus doi la baza doi este egal cu logaritmul de opt la baza doi. Să potențem ecuația, să obținem și să rezolvăm o ecuație pătratică.

Discriminantul este patruzeci și nouă.

Calculați rădăcinile:

x primul este egal cu minus șase; x secundă este egală cu unu.

Examinare

Minus șase aparține ODZ, unul aparține ODZ, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: minus șase; unu.

În ultima lecție am analizat problema apariției rădăcinilor străine. Le putem detecta prin verificare. Este posibil să pierdeți rădăcinile atunci când rezolvați o ecuație și cum să preveniți acest lucru?

Când se efectuează astfel de acțiuni asupra unei ecuații, cum ar fi, în primul rând, împărțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie ax din x (cu excepția cazurilor în care se știe cu siguranță că ax din x nu este egal cu zero pentru orice x din domeniul de definire al ecuației);

în al doilea rând, îngustarea OD a ecuației în timpul procesului de rezolvare poate duce la pierderea rădăcinilor ecuației.

Tine minte!

Ecuația scrisă ca

ef din x înmulțit cu cenușa din x este egal cu zhe din x înmulțit cu cenușa din x se rezolvă astfel:

trebuie să factorizați prin scoaterea din paranteze a factorului comun;

apoi, egalați fiecare factor cu zero, obținând astfel două ecuații.

Le calculăm rădăcinile.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația x cubul este egal cu x.

Prima cale

Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații la x, obținem că x pătrat este egal cu unu, având rădăcinile x mai întâi egale cu unu,

x secundă este egală cu minus unu.

A doua cale

X cubul este egal cu X. Să mutam x în partea stângă a ecuației, să scoatem x din paranteze și obținem: x înmulțit cu x pătrat minus unu este zero.

Să îi calculăm rădăcinile:

X primul este egal cu zero, x al doilea este egal cu unu, x al treilea este egal cu minus unu.

Ecuația are trei rădăcini.

La rezolvarea primei metode, am pierdut o rădăcină - x este egal cu zero.

Răspuns: minus unu; zero; unu.

Tine minte! Reducerea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscut poate duce la pierderea rădăcinilor.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația: logaritmul zecimal al lui x pătrat este egal cu doi.

Soluţie

Prima cale

Prin definiția unui logaritm, obținem că ecuația pătratică x pătrat este egal cu o sută.

Rădăcinile sale: x primul este egal cu zece; X secundă este egală cu minus zece.

A doua cale

Prin proprietatea logaritmilor, avem doi logaritmi zecimali x egal cu doi.

Rădăcina sa - x este egală cu zece

Cu a doua metodă, rădăcina x este egală cu minus zece a fost pierdută. Și motivul este că au aplicat formula greșită, restrângând domeniul de aplicare al ecuației. Expresia pentru logaritmul zecimal al lui x pătrat este definită pentru tot x cu excepția x egal cu zero. Expresia pentru logaritmul zecimal al lui x este pentru x mai mare decât zero. Formula corectă pentru logaritmul zecimal x pătrat este egală cu doi logaritmi zecimal modulul x.

Tine minte! Când rezolvați o ecuație, utilizați cu înțelepciune formulele disponibile.

Pierderea rădăcinilor și rădăcinilor străine la rezolvarea ecuațiilor

Instituția de învățământ municipală „Școala secundară nr. 2 cu studiu aprofundat al subiectelor individuale” din orașul Vsevolozhsk. Lucrarea de cercetare a fost pregătită de un elev de clasa a 11-a B: Vasilyev Vasily. Manager de proiect: Egorova Lyudmila Alekseevna.

Ecuația În primul rând, să ne uităm la diferite moduri de a rezolva această ecuație sinx+cosx =- 1

Soluția nr. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Răspuns: + 2

Soluția nr. 2 sinx+cosx =- Primul răspuns: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tg =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Soluția nr. 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Răspuns:

sinx+cosx =-1 Soluția nr. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Răspuns: - + 2 n

Să comparăm soluții Soluții corecte Să ne dăm seama în ce cazuri pot apărea rădăcini străine și de ce Nr. 2 Răspuns: +2 Nr. 3 Răspuns: Nr. 4 Răspuns: + 2 n Nr. 1 Răspuns: +2

Verificarea soluției Este necesar să se verifice? Ar trebui să verific rădăcinile pentru orice eventualitate, pentru a fi în siguranță? Acest lucru este desigur util atunci când este ușor de înlocuit, dar matematicienii sunt oameni raționali și nu fac lucruri inutile. Să ne uităm la diferite cazuri și să ne amintim când este cu adevărat necesară verificarea.

1. Cele mai simple formule gata făcute c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a În cazurile în care rădăcinile sunt găsite folosind cele mai simple formule gata făcute, verificarea nu este necesară. Cu toate acestea, atunci când utilizați astfel de formule, ar trebui să vă amintiți condițiile în care pot fi utilizate. De exemplu, formula = poate fi folosită cu condiția a 0, -4ac 0 Și răspunsul x= arccos2+2 pentru ecuația cosx =2 este considerată o eroare brută, deoarece formula x= arccos a +2 poate fi doar folosit pentru rădăcinile ecuației cosx =a, unde | a | 1

2. Transformări Mai des, atunci când rezolvați ecuații, trebuie să efectuați o mulțime de transformări. Dacă o ecuație este înlocuită cu una nouă care are toate rădăcinile celei anterioare și este transformată astfel încât să nu aibă loc nicio pierdere sau achiziție de rădăcini, atunci astfel de ecuații se numesc echivalente. 1. La transferul componentelor unei ecuații dintr-o parte în alta. 2. Când adăugați același număr pe ambele părți. 3. Când ambele părți ale unei ecuații sunt înmulțite cu același număr diferit de zero. 4 . Când se aplică identități care sunt adevărate pe mulțimea tuturor numerelor reale. În acest caz nu este necesară verificarea!

Cu toate acestea, nu orice ecuație poate fi rezolvată prin transformări echivalente. Mai des este necesar să se aplice transformări inegale. Adesea, astfel de transformări se bazează pe utilizarea unor formule care nu sunt valabile pentru toate valorile reale. În acest caz, în special, domeniul de definire al ecuației se modifică. Această eroare se găsește în soluția #4. Să ne uităm la eroare, dar mai întâi ne vom uita din nou la soluția numărul 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Eroarea constă în formula sin2x= Această formulă poate fi utilizată, dar ar trebui să verificați suplimentar dacă rădăcinile sunt numere de forma + pentru care tg nu este definit. Acum este clar că soluția este pierderea rădăcinilor. Să vedem până la capăt.

Soluția nr. 4 i y x 0 1 Să verificăm numerele = + n prin substituție: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Deci x= +2 n este rădăcina ecuației Răspuns: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Ne-am uitat la una dintre modalitățile de a pierde rădăcinile, există o mulțime de ele în matematică, așa că trebuie să rezolvați cu atenție, amintindu-vă toate regulile. Așa cum puteți pierde rădăcinile unei ecuații, puteți obține și altele suplimentare în cursul rezolvării acesteia. Să luăm în considerare soluția nr. 3 în care s-a făcut o astfel de eroare.

Soluția #3 I y x 0 1 2 2 și rădăcini suplimentare! Rădăcinile străine ar putea apărea atunci când ambele părți ale ecuației au fost la pătrat. În acest caz, este necesar să se verifice. Pentru n=2k avem sin k+cos k=-1; cos k=-1 pentru k=2m-1 , Atunci n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Răspuns: +2 Pentru n=2k+1 avem sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 cu k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= ( 4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Așadar, am analizat câteva cazuri posibile, dintre care sunt foarte multe. Încercați să nu vă pierdeți timpul și să faceți greșeli stupide.