Motive pentru apariția rădăcinilor străine la rezolvarea ecuațiilor. Atelier „rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”. Transformări echivalente ale ecuațiilor

Tema ecuațiilor trigonometrice începe cu o prelegere școlară, care este structurată sub forma unei conversații euristice. Prelegerea discută materiale teoretice și exemple de rezolvare a tuturor problemelor tipice conform planului:

Cele mai simple ecuații trigonometrice.
Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice.
Ecuații omogene.

În lecțiile următoare, începe dezvoltarea abilităților independente, bazată pe aplicarea principiului activității comune între profesor și elev. În primul rând, sunt stabilite obiective pentru studenți, de exemplu. se stabilește cine nu vrea să știe mai mult decât ceea ce este cerut de standardul de stat și cine este gata să facă mai mult.

Diagnosticul final este creat ținând cont de diferențierea de nivel, care permite elevilor să determine în mod conștient cunoștințele minime care sunt necesare pentru a primi nota „3”. Pe baza acestui fapt, sunt selectate materiale pe mai multe niveluri pentru a diagnostica cunoștințele elevilor. O astfel de muncă permite o abordare individuală a studenților, incluzând toată lumea în activități de învățare conștientă, dezvoltarea abilităților de auto-organizare și auto-învățare și asigurarea unei tranziții către o gândire activă, independentă.

Seminarul se desfășoară după exersarea abilităților de bază de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Cu câteva lecții înainte de seminar, studenților li se pun întrebări care vor fi discutate în timpul seminarului.

Seminarul constă din trei părți.

1. Partea introductivă acoperă tot materialul teoretic, inclusiv o introducere în problemele care vor apărea la rezolvarea ecuațiilor complexe.

2. A doua parte discută soluția ecuațiilor de forma:

și cosx + bsinx = c.
a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
ecuaţii rezolvabile prin reducerea gradului.

Aceste ecuații folosesc substituția universală, formulele de reducere a gradului și metoda argumentelor auxiliare.

3. Partea a treia discută problemele pierderii rădăcinilor și achiziționării rădăcinilor străine. Arată cum să selectezi rădăcinile.

Elevii lucrează în grupuri. Pentru a rezolva exemplele, sunt chemați băieți bine pregătiți care pot arăta și explica materialul.

Seminarul este conceput pentru un student bine pregătit, deoarece... abordează probleme oarecum dincolo de sfera materialului programului. Include ecuații de formă mai complexă și, în special, abordează problemele întâlnite în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice complexe.

Seminarul a fost ținut pentru elevii din clasele 10-11. Fiecare elev a avut ocazia să-și extindă și să-și aprofundeze cunoștințele pe această temă, să compare nivelul cunoștințelor sale nu doar cu cerințele pentru un absolvent de școală, ci și cu cerințele pentru cei care intră în V.U.Z.

SEMINAR

Subiect:„Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice”

Obiective:

Generalizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de toate tipurile.
Concentrați-vă pe probleme: pierderea rădăcinilor; rădăcini străine; selecția rădăcinii.

ÎN CURILE CURĂRILOR.

I. Partea introductivă

1. Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

Factorizarea.
Introducerea unei noi variabile.
Metoda functional-grafica.

2. Unele tipuri de ecuații trigonometrice.

Ecuații care se reduc la ecuații pătratice în raport cu cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Acestea sunt rezolvate prin introducerea unei noi variabile.

Ecuații omogene de gradul I și II

Ecuația de gradul întâi: Asinx + Bcosx = 0 împărțit la cos x, obținem Atg x + B = 0

Ecuația de gradul doi: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 împărțit la cos 2 x, obținem Atg 2 x + Btgx + C = 0

Ele se rezolvă prin factorizare și prin introducerea unei noi variabile.

Se aplică toate metodele.

Degradare:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Rezolvată prin metoda factorizării.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

Ecuația de formă: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Redusă la pătrat în raport cu t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Formule.

x + 2n; Verificarea este necesară!

Gradul descrescător: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2
Metoda argumentării auxiliare.

Înlocuiți Acosx + Bsinx cu Csin (x + ), unde sin = a/C; cos=v/c;

– argument auxiliar.

4. Reguli.

Dacă vedeți un pătrat, reduceți gradul.
Dacă vezi o piesă, fă o sumă.
Dacă vezi suma, fă treaba.

5. Pierderea rădăcinilor, rădăcini suplimentare.

Pierderea rădăcinilor: împărțiți la g(x); formule periculoase (substituție universală). Cu aceste operațiuni restrângem sfera definiției.

Rădăcini în exces: ridicate la o putere uniformă; înmulțiți cu g(x) (scăpați de numitor). Cu aceste operațiuni extindem sfera definiției.

II. Exemple de ecuații trigonometrice

1. Ecuații de forma Asinx + Bcosx = C

1) Substituție universală.O.D.Z. x – orice.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Examinare: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Este rădăcina ecuației.

Răspuns: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Metoda functional-grafica. O.D.Z. x – orice.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

Să reprezentăm grafic funcțiile: y = sinx, y = cosx + 1.

Răspuns: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Introducerea unui argument auxiliar. O.D.Z.: x – oricare.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, deoarece (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, atunci există astfel încât sin = 8/17,

cos = 15/17, ceea ce înseamnă sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Răspuns: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Reducerea ordinului: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – oricare.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Răspuns: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

k = 1 și m = 0
k = 4 și m = 1.

seriale sunt aceleasi.

3. Reducerea la omogenitate. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – oricare.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) nu poate fi împărțit la cos 2 x, deoarece pierdem rădăcini.
cos 2 x = 0 satisface ecuația.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Răspuns: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Ecuația de forma: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – oricare.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Răspuns: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorizarea.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, fără rădăcini.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Răspuns: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Probleme apărute la rezolvarea ecuațiilor trigonometrice

1. Pierderea rădăcinilor: se împarte la g(x); Folosim formule periculoase.

1) Găsiți eroarea.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 împărțit la 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Rădăcini pierdute sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Solutia corecta: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

sin 2 x/2 = 0
x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0
x = 4p n, n Z.

2. Rădăcini străine: scăpăm de numitor; ridică la o putere uniformă.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3 / 2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). cos3x + 1 = 0
x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0
x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3
1. n = 0
sin 2 /3 = 3 / 2
nu satisface. O.D.Z.

2. n = 1
sin 2= 0
satisface O.D.Z.

3. n = 2
sin 2/ 3 = –3 / 2
satisface O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z
1.k = 0
sin 2/6 = 3 / 2
nu satisface O.D.Z.
2. k = 1
sin 2*5/6 = –3 / 2
satisface O.D.Z.

Răspuns: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. RĂDĂCINI PIERDUTE ȘI EXTRAGATE LA REZOLVAREA ECUATIILOR (PENTRU EXEMPLE)

MATERIAL DE REFERINTA

1. Două teoreme din § 3 din capitolul VII au vorbit despre ce acțiuni asupra ecuațiilor nu încalcă echivalența lor.

2. Să luăm acum în considerare astfel de operații asupra ecuațiilor care pot duce la o nouă ecuație care este inegală cu ecuația originală. În loc de considerații generale, ne vom limita să luăm în considerare doar exemple specifice.

3. Exemplul 1. Având în vedere o ecuație Să deschidem parantezele din această ecuație, mutam toți termenii în partea stângă și rezolvăm ecuația pătratică. Rădăcinile sale sunt

Dacă reduceți ambele părți ale ecuației cu un factor comun, obțineți o ecuație care este inegală cu cea originală, deoarece are o singură rădăcină

Astfel, reducerea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscutul poate duce la pierderea rădăcinilor ecuației.

4. Exemplul 2. Având în vedere o ecuație, această ecuație are o singură rădăcină.

Vedem că noua ecuație nu este echivalentă cu ecuația inițială. Rădăcina este rădăcina ecuației care, după pătrarea ambelor părți, duce la ecuație

5. Rădăcinile străine pot apărea și atunci când ambele părți ale ecuației sunt înmulțite cu un factor care conține o necunoscută, dacă acest factor dispare pentru valorile reale ale lui x.

Exemplul 3. Dacă înmulțim ambele părți ale ecuației cu atunci obținem o nouă ecuație care, după transferul termenului din partea dreaptă în stânga și factorizarea acestuia, dă o ecuație din oricare

Rădăcina nu satisface o ecuație care are o singură rădăcină

De aici concluzionăm: la pătrarea ambelor părți ale ecuației (în general la o putere pară), precum și la înmulțirea cu un factor care conține o necunoscută și dispare la valorile reale ale necunoscutului, pot apărea rădăcini străine.

Toate considerațiile exprimate aici cu privire la problema pierderii și apariției rădăcinilor străine ale unei ecuații se aplică în mod egal oricăror ecuații (algebrice, trigonometrice etc.).

6. O ecuație se numește algebrică dacă se efectuează numai operații algebrice asupra necunoscutului - adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, exponentierea și extragerea rădăcinii cu un exponent natural (și numărul de astfel de operații este finit).

Deci, de exemplu, ecuațiile

sunt algebrice, iar ecuațiile

DINTII. Dinții vertebratelor sunt complet similari ca structură și dezvoltare cu solzii placoizi care acoperă întreaga piele a peștilor de rechin. Întrucât întreaga cavitate bucală, și parțial cavitatea faringiană, este căptușită cu epiteliu ectodermic, un placoid tipic... ...

TUBERCULOZA PULMONARA- TUBERCULOZA PULMONARA. Cuprins: I. Anatomie patologică...........110 II. Clasificarea tuberculozei pulmonare.... 124 III. Clinica...........................128 IV. Diagnosticare..................................160 V. Prognoză.................... .......... 190 VI. Tratamentul… Marea Enciclopedie Medicală

OTRĂVIRE- Otrăvirea. Otrăvirea înseamnă „tulburări ale funcțiilor animalelor”. organisme, cauzate de substanțe exogene sau endogene, active din punct de vedere chimic sau fizic și chimic, care sunt străine ca calitate, cantitate sau concentrație... ... Marea Enciclopedie Medicală

Bacteriile nodulare de leguminoase- Datele paleontologice indică faptul că cele mai vechi leguminoase care aveau noduli erau unele plante aparținând grupului Eucaesalpinioideae. La speciile moderne de plante leguminoase s-au găsit noduli... Enciclopedie biologică

Lista de episoade din serialul animat „Luntik”- Acest articol nu are legături către surse de informații. Informațiile trebuie să fie verificabile, altfel pot fi puse sub semnul întrebării și șterse. Poți... Wikipedia

PLANTE SI MEDIUL- Viața unei plante, ca orice alt organism viu, este un set complex de procese interdependente; Cel mai semnificativ dintre ele, după cum se știe, este schimbul de substanțe cu mediul. Mediul este sursa din care... ... Enciclopedie biologică

Lista episoadelor din serialul „Luntik”- Articolul principal: Aventurile lui Luntik și prietenii lui Cuprins 1 Numărul de episoade 2 Lista episoadelor din serialul animat Luntik și prietenii săi ... Wikipedia

Bolile pomilor fructiferi- Pomii fructiferi, grație îngrijirii umane constante pentru ei, ar trebui să atingă o vârstă mult mai înaintată decât rudele lor necultivate, dacă nu pentru influențele contracarante ale multor condiții ale culturii în sine, și anume cerințele făcute de noi... ...

Doborârea pădurii- Recoltarea pădurii, sau extragerea veniturilor forestiere sub formă de lemn și scoarță, se poate face în două moduri: prin dezgroparea sau smulgerea copacilor întregi, adică trunchiuri împreună cu rădăcinile, sau separat, pe părți, mai întâi tăiați sau îndepărtați. din... ... Dicţionar enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

Grosh- (poloneză grosz, din germană Groschen, din latină grossus (dēnārius) „denar gros”) monedă din diferite țări și timpuri. Cuprins 1 Aspectul unui ban... Wikipedia

monede americane- 20 dolari Saint Gaudens cea mai frumoasă și scumpă monedă din SUA Monedele americane sunt monede bătute la Monetăria SUA. Produs din 1792... Wikipedia

Cărți

Principalele cauze ale căderii părului la femei, Alexey Michman, Șase din zece femei suferă de căderea părului la un moment dat în viața lor. Căderea părului poate apărea din mai multe motive, cum ar fi ereditatea, modificările hormonale în... Categorie:

În ultima lecție, am folosit trei pași pentru a rezolva ecuații.

Prima etapă este tehnică. Folosind un lanț de transformări din ecuația originală, ajungem la una destul de simplă, pe care o rezolvăm și găsim rădăcinile.

A doua etapă este analiza soluției. Analizăm transformările pe care le-am efectuat și aflăm dacă sunt echivalente.

A treia etapă este verificarea. Verificarea tuturor rădăcinilor găsite prin înlocuirea lor în ecuația originală este obligatorie atunci când se efectuează transformări care pot duce la o ecuație corolar

Este întotdeauna necesar să distingem trei etape atunci când rezolvăm o ecuație?

Desigur că nu. Ca, de exemplu, în rezolvarea acestei ecuații. În viața de zi cu zi, de obicei nu se disting. Dar toate aceste etape trebuie „ținute în minte” și realizate într-o formă sau alta. Este imperativ să se analizeze echivalența transformărilor. Și dacă analiza arată că trebuie efectuată o verificare, atunci este obligatorie. În caz contrar, ecuația nu poate fi considerată rezolvată corect.

Este întotdeauna posibil să se verifice rădăcinile unei ecuații doar prin substituție?

Dacă s-au folosit transformări echivalente la rezolvarea ecuației, atunci nu este necesară verificarea. Când se verifică rădăcinile unei ecuații, ODZ (intervalul de valori permis) este foarte des utilizat. Dacă este dificil de verificat folosind ODZ, atunci se efectuează înlocuirea acesteia în ecuația originală.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a două x plus trei egal cu unu plus x.

Soluţie

ODZ a ecuației este determinată de un sistem de două inegalități: doi x plus trei este mai mare sau egal cu zero și unul plus x este mai mare sau egal cu zero. Soluția este x mai mare sau egală cu minus unu.

Să pătram ambele părți ale ecuației, să mutăm termenii dintr-o parte a ecuației în cealaltă, să adăugăm termeni similari și să obținem o ecuație pătratică x pătrat este egal cu doi. Rădăcinile sale sunt

x primul, al doilea este egal cu plus sau minus rădăcina pătrată a două.

Examinare

Valoarea lui x este mai întâi egală cu rădăcina pătrată a lui doi este rădăcina ecuației, deoarece este inclusă în ODZ.
Valoarea lui x secundă este egală cu minus rădăcina pătrată a lui doi nu este rădăcina ecuației, deoarece nu este inclusă în DZ.
Să verificăm că rădăcina x este egală cu rădăcina pătrată a lui doi, înlocuind-o în egalitatea inițială, obținem

egalitatea este adevărată, ceea ce înseamnă că x este egal cu rădăcina pătrată a lui doi este rădăcina ecuației.

Răspuns: rădăcină pătrată a două.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x minus opt este egal cu cinci minus x.

Soluţie

ODZ a unei ecuații iraționale este determinată de un sistem de două inegalități: x minus opt este mai mare sau egal cu zero și cinci minus x este mai mare sau egal cu zero. Rezolvând-o, constatăm că acest sistem nu are soluții. Rădăcina ecuației nu poate fi nici una dintre valorile variabilei x.

Răspuns: fără rădăcini.

Sarcina 3

Rezolvați ecuația rădăcină pătrată a lui x cub plus patru x minus unu minus opt rădăcini pătrate a lui x la a patra putere minus x este egală cu rădăcina pătrată a lui x cub minus unu plus două rădăcini pătrate a lui x.

Soluţie

Găsirea ODZ în această ecuație este destul de dificilă.

Să efectuăm transformarea: pătratează ambele părți ale acestei ecuații,

Să mutăm toți termenii în partea stângă a ecuației și să aducem termeni asemănători, să scriem două rădăcini sub una, să obținem radicali similari, să aducem unii asemănători, să împărțim cu coeficientul minus 12 și să factorizăm expresia radicalului, obținem o ecuație în forma unui produs a doi factori egali cu zero. După ce am rezolvat-o, găsim rădăcinile:

x primul este egal cu unu, x al doilea este egal cu zero.

Deoarece am ridicat ambele părți ale ecuației la o putere egală, verificarea rădăcinilor este obligatorie.

Examinare

Dacă x este egal cu unu, atunci

obținem egalitatea corectă, ceea ce înseamnă că x este egal cu unu este rădăcina ecuației.

Dacă x este zero, atunci rădăcina pătrată a lui minus unu este nedefinită.

Aceasta înseamnă că x egal cu zero este o rădăcină străină.

Răspuns: unul.

Sarcina 4

Rezolvați logaritmul ecuației expresiei x pătrat plus cinci x plus două baza doi egal trei.

Soluţie

Să găsim ecuația ODZ. Pentru a face acest lucru, rezolvăm inegalitatea x pătrat plus cinci x plus doi peste zero.

Rezolvăm inegalitatea folosind metoda intervalului. Pentru a face acest lucru, factorizăm partea stângă, după ce am rezolvat anterior ecuația pătratică și ținând cont de semnul de inegalitate, determinăm ODZ. ODZ este egal cu unirea razelor deschise de la minus infinit la minus fracția cinci plus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi, iar din minus fracția cinci minus rădăcina pătrată a lui șaptesprezece împărțită la doi la plus infinit.

Acum să începem să găsim rădăcinile ecuației. Având în vedere că trei este egal cu logaritmul de opt la baza doi, scriem ecuația după cum urmează: logaritmul expresiei x pătrat plus cinci x plus doi la baza doi este egal cu logaritmul de opt la baza doi. Să potențem ecuația, să obținem și să rezolvăm o ecuație pătratică.

Discriminantul este patruzeci și nouă.

Calculați rădăcinile:

X primul este egal cu minus șase; x secundă este egală cu unu.

Examinare

Minus șase aparține ODZ, unul aparține ODZ, ceea ce înseamnă că ambele numere sunt rădăcini ale ecuației.

Răspuns: minus șase; unu.

În ultima lecție am analizat problema apariției rădăcinilor străine. Le putem detecta prin verificare. Este posibil să pierdeți rădăcinile atunci când rezolvați o ecuație și cum să preveniți acest lucru?

Când se efectuează astfel de acțiuni asupra unei ecuații, cum ar fi, în primul rând, împărțirea ambelor părți ale ecuației cu aceeași expresie ax din x (cu excepția cazurilor în care se știe cu siguranță că ax din x nu este egal cu zero pentru orice x din domeniul de definire al ecuației);

în al doilea rând, îngustarea OD a ecuației în timpul procesului de rezolvare poate duce la pierderea rădăcinilor ecuației.

Tine minte!

Ecuația scrisă ca

ef din x înmulțit cu cenușa din x este egal cu zhe din x înmulțit cu cenușa din x se rezolvă astfel:

trebuie să factorizați prin eliminarea factorului comun din paranteze;

apoi, egalați fiecare factor cu zero, obținând astfel două ecuații.

Le calculăm rădăcinile.

Exercitiul 1

Rezolvați ecuația x cubul este egal cu x.

Prima cale

Să împărțim ambele părți ale acestei ecuații cu x, obținem că x pătrat este egal cu unu, având rădăcinile x mai întâi egale cu unu,

x secundă este egală cu minus unu.

A doua cale

X cubul este egal cu X. Să mutam x în partea stângă a ecuației, să scoatem x din paranteze și obținem: x înmulțit cu x pătrat minus unu este zero.

Să îi calculăm rădăcinile:

X primul este egal cu zero, x al doilea este egal cu unu, x al treilea este egal cu minus unu.

Ecuația are trei rădăcini.

La rezolvarea primei metode, am pierdut o rădăcină - x este egal cu zero.

Răspuns: minus unu; zero; unu.

Tine minte! Reducerea ambelor părți ale ecuației cu un factor care conține necunoscut poate duce la pierderea rădăcinilor.

Sarcina 2

Rezolvați ecuația: logaritmul zecimal al lui x pătrat este egal cu doi.

Soluţie

Prima cale

Prin definiția unui logaritm, obținem că ecuația pătratică x pătrat este egal cu o sută.

Rădăcinile sale: x primul este egal cu zece; X secundă este egală cu minus zece.

A doua cale

Prin proprietatea logaritmilor, avem doi logaritmi zecimali x egal cu doi.

Rădăcina sa - x este egală cu zece

Cu a doua metodă, rădăcina x este egală cu minus zece a fost pierdută. Și motivul este că au aplicat formula greșită, restrângând domeniul de aplicare al ecuației. Expresia pentru logaritmul zecimal al lui x pătrat este definită pentru tot x cu excepția x egal cu zero. Expresia pentru logaritmul zecimal al lui x este pentru x mai mare decât zero. Formula corectă pentru logaritmul zecimal x pătrat este egală cu doi logaritmi zecimal modulul x.

Tine minte! Când rezolvați o ecuație, utilizați cu înțelepciune formulele disponibile.

Metode de bază pentru rezolvarea ecuațiilor

Care este soluția unei ecuații?

Transformare identică. De bază

tipuri de transformări identitare.

Rădăcină străină. Pierderea rădăcinilor.

Rezolvarea ecuației este un proces constând în principal în înlocuirea unei ecuații date cu o altă ecuație care îi este echivalentă . Acest înlocuitor se numeștetransformare identică . Principalele transformări de identitate sunt următoarele:

Înlocuirea unei expresii cu alta care este identic cu ea. De exemplu, ecuația (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 poate fi înlocuit cu următorul echivalent:9 X 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

Transferarea termenilor unei ecuații de la o parte la alta cu semne inverse. Deci, în ecuația anterioară putem transfera toți termenii săi din partea dreaptă spre stânga cu semnul „-”: 9 X 2 + 12 x+ 4 – 15 X - 10 = 0, după care obținem:9 X 2 – 3 X - 6 = 0 .

Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații cu aceeași expresie (număr), alta decât zero. Acest lucru este foarte important pentru cănoua ecuație poate să nu fie echivalentă cu cea anterioară dacă expresia cu care înmulțim sau împărțim poate fi egală cu zero.

EXEMPLU EcuațiaX - 1 = 0 are o singură rădăcinăx = 1.

Înmulțirea ambelor părți cuX - 3 , obținem ecuația

( X - 1)( X - 3) = 0, care are două rădăcini:x = 1 șiX = 3.

Ultima valoare nu este rădăcina ecuației date

X - 1 = 0. Acesta este așa-numitulrădăcină străină .

În schimb, diviziunea poate duce lapierderea rădăcinii . Asa de

în cazul nostru, dacă (X - 1 )( X - 3 ) = 0 este originalul

ecuație, apoi rădăcinax = 3 va fi pierdut la divizie

ambele părți ale ecuației peX - 3 .

În ultima ecuație (articolul 2), putem împărți toți termenii ei la 3 (nu zero!) și în final obținem:

3 X 2 - X - 2 = 0 .

Această ecuație este echivalentă cu cea inițială: