Punktid diferentseeruva funktsiooni graafikul. Funktsioonide diferentseerimine. Tuletist omava funktsiooni pidevus. Teoreem

Artikli sisu

DERIVAAT– funktsiooni tuletis y = f(x), antud teatud intervalliga ( a, b) punktis x Seda intervalli nimetatakse piiriks, milleni funktsiooni juurdekasvu suhe kaldub f siinkohal argumendi vastavale juurdekasvule, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.

Tuletis on tavaliselt tähistatud järgmiselt:

Laialdaselt kasutatakse ka muid nimetusi:

Vahetu kiirus.

Olgu punkt M liigub sirgjooneliselt. Kaugus s liikuv punkt, mis loetakse mingist algasendist M 0 , oleneb ajast t, st. s on aja funktsioon t: s= f(t). Lase mingil ajahetkel t liikuv punkt M oli eemal s algasendist M 0 ja mõnel järgmisel hetkel t+D t leidis end olukorrast M 1 - distantsil s+D s algsest positsioonist ( vaata pilti.).

Seega teatud aja jooksul D t vahemaa s muudetud summa D võrra s. Sel juhul ütlevad nad, et ajaintervalli D jooksul t suurusjärk s sai juurdekasvu D s.

Keskmine kiirus ei saa kõigil juhtudel täpselt iseloomustada punkti liikumiskiirust M teatud ajahetkel t. Kui näiteks keha intervalli D alguses t liikus väga kiiresti ja lõpus väga aeglaselt, siis ei suuda keskmine kiirus peegeldada punkti liikumise näidatud tunnuseid ja anda aimu selle tegelikust liikumise kiirusest hetkel t. Tegeliku kiiruse täpsemaks väljendamiseks keskmise kiiruse abil peate võtma lühema ajaperioodi D t. Kõige täielikumalt iseloomustab punkti liikumiskiirust hetkel t piir, milleni keskmine kiirus D-s kaldub t® 0. Seda piirangut nimetatakse praeguseks kiiruseks:

Seega nimetatakse liikumiskiirust antud hetkel tee juurdekasvu suhte D piiriks s aja juurdekasvuks D t, kui ajakasv kipub olema null. Sest

Tuletise geomeetriline tähendus. Funktsiooni graafiku puutuja.

Puutujate konstrueerimine on üks neist probleemidest, mis viis diferentsiaalarvutuse sünnini. Leibnizi kirjutatud esimene diferentsiaalarvutusega seotud töö oli pealkirjaga Uus maksimumide ja miinimumide ning puutujate meetod, mille puhul ei ole takistuseks murd- ega irratsionaalsed suurused, ning selle jaoks spetsiaalne arvutus.

Olgu kõver funktsiooni graafik y =f(x) ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ( cm. riis.).

Mingil väärtusel x funktsioon on oluline y =f(x). Need väärtused x Ja y kõvera punkt vastab M 0(x, y). Kui argument x anda juurdekasv D x, siis argumendi uus väärtus x+D x vastab uuele funktsiooni väärtusele y+ D y = f(x + D x). Kõvera vastav punkt on punkt M 1(x+D x,y+D y). Kui joonistad sekanti M 0M 1 ja tähistatud j-ga nurk, mille moodustab põik telje positiivse suunaga Ox, jooniselt on kohe selge, et .

Kui nüüd D x kipub nulli, siis punkt M 1 liigub mööda kõverat, lähenedes punktile M 0 ja nurk j muutub D-ga x. Kell Dx® 0 kaldub nurk j teatud piirini a ja punkti läbiv sirge M 0 ja x-telje positiivse suunaga komponent, nurk a, on soovitud puutuja. Selle kalle on:

Seega f´( x) = tga

need. tuletisväärtus f´( x) antud argumendi väärtuse jaoks x võrdub funktsiooni graafiku puutuja poolt moodustatud nurga puutujaga f(x) vastavas punktis M 0(x,y) positiivse telje suunaga Ox.

Funktsioonide eristatavus.

Definitsioon. Kui funktsioon y = f(x) on punktis tuletis x = x 0, siis on funktsioon selles punktis diferentseeritav.

Tuletist omava funktsiooni pidevus. Teoreem.

Kui funktsioon y = f(x) on mingil hetkel eristatav x = x 0, siis on see selles punktis pidev.

Seega ei saa funktsioonil olla tuletist katkestuspunktides. Vastupidine järeldus on vale, s.t. sellest, et mingil hetkel x = x 0 funktsioon y = f(x) on pidev, ei tähenda, et see on selles punktis diferentseeritav. Näiteks funktsioon y = |x| jätkuv kõigile x(–Ґ x x = 0 ei oma tuletist. Siinkohal pole graafikul puutujat. On parem- ja vasak puutuja, kuid need ei lange kokku.

Mõned teoreemid diferentseeruvate funktsioonide kohta. Teoreem tuletise juurtest (Rolle teoreem). Kui funktsioon f(x) on lõigul pidev [a,b], on diferentseeritav selle segmendi kõigis sisemistes punktides ja otstes x = a Ja x = b läheb nulli ( f(a) = f(b) = 0), siis segmendi [ a,b] on vähemalt üks punkt x= Koos, a c b, milles tuletis fў( x) läheb nulli, st. fў( c) = 0.

Lõpliku juurdekasvu teoreem (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f(x) on pidev intervallil [ a, b] ja on eristatav selle segmendi kõigis sisemistes punktides, seejärel segmendi sees [ a, b] on vähemalt üks punkt Koos, a c b see

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teoreem kahe funktsiooni juurdekasvu suhte kohta (Cauchy teoreem). Kui f(x) Ja g(x) – segmendil kaks pidevat funktsiooni [a, b] ja diferentseeruvad selle segmendi kõigis sisemistes punktides ja gў( x) ei kao kuhugi selle segmendi sees, siis segmendi sees [ a, b] on selline punkt x = Koos, a c b see

Erinevate tellimuste tuletised.

Laske funktsioonil y =f(x) on mõnel intervallil diferentseeruv [ a, b]. Tuletisväärtused f ў( x), sõltuvad üldiselt x, st. tuletis f ў( x) on ka funktsioon x. Selle funktsiooni eristamisel saame funktsiooni nn teise tuletise f(x), mis on tähistatud f ўў ( x).

Tuletis n- funktsiooni järjekord f(x) nimetatakse tuletise (esimest järku) tuletiseks n- 1- th ja seda tähistatakse sümboliga y(n) = (y(n– 1))ў.

Erinevate tellimuste diferentsiaalid.

Funktsioonide diferentsiaal y = f(x), Kus x– sõltumatu muutuja, jah dy = f ў( x)dx, mõni funktsioon x, aga alates x sõltuda võib ainult esimene tegur f ў( x), teine ​​tegur ( dx) on sõltumatu muutuja juurdekasv x ja ei sõltu selle muutuja väärtusest. Sest dy on funktsioon alates x, siis saame määrata selle funktsiooni diferentsiaali. Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse selle funktsiooni teist diferentsiaaliks või teist järku diferentsiaaliks ja seda tähistatakse d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferentsiaal n- esimest järku nimetatakse diferentsiaali esimeseks diferentsiaaliks n- 1- järjekord:

d n a = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Osaline tuletis.

Kui funktsioon ei sõltu mitte ühest, vaid mitmest argumendist x i(i varieerub vahemikus 1 kuni n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), siis diferentsiaalarvutuses võetakse kasutusele osatuletise mõiste, mis iseloomustab mitme muutuja funktsiooni muutumise kiirust, kui muutub näiteks ainult üks argument, x i. Osaline tuletis 1. järku suhtes x i on defineeritud kui tavaline tuletis ja eeldatakse, et kõik argumendid v.a x i, hoidke püsivaid väärtusi. Osatuletiste puhul võetakse kasutusele tähistus

Sel viisil defineeritud 1. järku osatuletistel (samade argumentide funktsioonidena) võivad omakorda olla ka osatuletised, need on teist järku osatuletised jne. Selliseid erinevatest argumentidest võetud tuletisi nimetatakse segateks. Sama järku pidevad segatuletised ei sõltu diferentseerumisjärjekorrast ja on omavahel võrdsed.

Anna Chugainova

Tuletis funktsioonid punktis nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, eeldusel, et see kipub olema null.

Põhireeglid tuletise leidmiseks

Kui - ja - on punktis , diferentseeruvad funktsioonid (st funktsioonid, millel on punktis tuletised), siis:

4) .

Põhifunktsioonide tuletiste tabel

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Keerulise funktsiooni eristamise reegel. Kui ja, s.t. , kus ja on tuletised, siis

Parameetriliselt määratud funktsiooni eristamine. Määratagu muutuja sõltuvus muutujast parameetriliselt parameetri abil:

3. ülesanne. Leidke nende funktsioonide tuletised.

1)

Lahendus. Rakendades tuletiste leidmiseks reeglit 2 ning tuletistabelis valemeid 1 ja 2, saame:

Lahendus. Rakendades tuletiste leidmise reeglit 4 ning tuletiste tabeli valemeid 1 ja 13, saame:

.

Lahendus. Rakendades tuletiste leidmiseks reeglit 3 ning tuletiste tabeli valemeid 5 ja 11, saame:

Lahendus. Eeldades , kus kompleksfunktsiooni tuletise leidmise valemi järgi saame:

Lahendus. Meil on: Seejärel saame parameetriliselt määratud funktsiooni tuletise leidmise valemi järgi:

4. Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid. L'Hopitali reegel.

Funktsiooni teist järku tuletis nimetatakse selle tuletise tuletiseks, s.o. . Teise tuletise jaoks kasutatakse järgmisi tähiseid: või , või .

Funktsiooni 1. järku tuletis nimetatakse selle kolmandat järku tuletiseks. Järkjärgu tuletise puhul kasutatakse järgmisi tähiseid: või , või .

L'Hopitali reegel. Olgu funktsioonid ja punkti naabruses diferentseeruvad ja tuletis ei kao kuhugi. Kui funktsioonid ja on samaaegselt kas lõpmatult väikesed või lõpmatult suured juures , ja suhtel on piirmäär at , siis on ka suhtarvule piirmäär at . enamgi veel

.

Reegel kehtib ka siis, kui .

Pange tähele, et mõnel juhul võib seda tüüpi määramatuste avalikustamine nõuda L'Hopitali reegli korduvat kohaldamist.

Tüübimääramatused jne. elementaarteisenduste abil saab neid kergesti taandada vormi või .

4. ülesanne. Leidke piirmäär L'Hopitali reegli abil.

Lahendus Siin on vormi määramatus, sest aadressil . Rakendame L'Hopitali reeglit:

.

Pärast L'Hopitali reegli rakendamist saime taas vormi määramatuse, sest aadressil . Rakendades uuesti L'Hopitali reeglit, saame:

.

5. Funktsiooniuuring

a) Funktsioonide suurendamine ja vähenemine

Funktsiooni kutsutakse suureneb segmendil , Kui mis tahes punktide ja segmendist , Kus , Ebavõrdsus kehtib. Kui funktsioon on pidev intervallil ja puhul, siis see intervallil suureneb.

Funktsiooni kutsutakse väheneb segmendil , Kui mis tahes punktide ja segmendist , Kus , Ebavõrdsus kehtib. Kui funktsioon on intervalli ja jaoks pidev, siis see intervallil väheneb.

Kui funktsioon ainult kasvab või kahaneb antud intervallil, siis seda kutsutakse üksluine intervallil.

b) Funktsiooni äärmused

miinimumpunkt funktsioonid .

Kui on -punkti naabruskond nii et kõigi selle naabruskonna punktide puhul kehtib ebavõrdsus, siis nimetatakse punkti maksimaalne punkt funktsioonid .

Funktsiooni maksimum- ja miinimumpunkti nimetatakse funktsiooniks äärmuslikud punktid.

Punkti nimetatakse statsionaarne punkt, kui on olemas või mitte.

Kui on -naabruses statsionaarse punkti nii, et ja jaoks , Siis on maksimaalne punkt funktsiooni.

Kui on -naabruskond statsionaarse punkti nii, et ja jaoks , Siis -minimaalne punkt funktsiooni .

a) Kumer suund. Pöördepunktid

kumer üles intervallil , kui see asub funktsiooni graafikule joonistatud puutuja all selle intervalli mis tahes punktis.

Funktsiooni graafiku ülespoole kumeruse piisav tingimus intervallil on ebavõrdsuse täitmine mis tahes vaadeldava intervalli puhul.

Diferentseeruva funktsiooni graafikut nimetatakse allapoole kumer intervallil , kui see asub funktsiooni graafikule joonistatud puutuja kohal selle intervalli mis tahes punktis.

Funktsiooni graafiku allapoole kumeruse piisav tingimus intervallil on ebavõrdsuse täitumine mis tahes vaadeldava intervalli puhul.

Nimetatakse punkti, kus funktsiooni graafiku kumeruse suund muutub pöördepunkt.

Punkt, kus või ei eksisteeri, on käändepunkti abstsiss, kui sellest vasakul ja paremal olevad märgid on erinevad.

d) Asümptoodid

Kui kaugus funktsiooni graafikul olevast punktist teatud sirgeni kipub nulli, kui punkt liigub lõpmatult eemale lähtepunktist, siis sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoot.

Kui on selline arv, et , siis rida on vertikaalne asümptoot.

Kui on piirid , siis rida on kaldus (horisontaalne k=0 juures) asümptoot.

e) Üldine funktsiooni uurimine

1. Funktsiooni domeen

2. Graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega

3. Pidevuse, paaritu/paaritu ja perioodilisuse funktsiooni uurimine

4. Funktsiooni monotoonsuse intervallid

5. Funktsiooni äärmuspunktid

6. Funktsioonigraafiku kumerusvahemikud ja käändepunktid

7. Funktsiooni graafiku asümptoodid

8. Funktsioonigraafik.

5. ülesanne. Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.

Lahendus. 1) Funktsioon on määratletud tervel arvureal, välja arvatud punkt, kus murdosa nimetaja muutub nulliks. . Meil on: ei kuulu selle funktsiooni määratluspiirkonda. Seetõttu on selle funktsiooni statsionaarsed punktid minimaalse väärtusega punktid (nagu on näidatud joonisel).

8) Koostame saadud andmete põhjal algse funktsiooni graafiku: