Σημεία στη γραφική παράσταση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. Διαφοροποίηση συναρτήσεων. Συνέχεια συνάρτησης που έχει παράγωγο. Θεώρημα

Το περιεχόμενο του άρθρου

ΠΑΡΑΓΩΓΟ– παράγωγο της συνάρτησης y = φά(Χ), δίνεται σε ένα ορισμένο διάστημα ( ένα, σι) στο σημείο Χαυτού του διαστήματος ονομάζεται το όριο στο οποίο τείνει ο λόγος της αύξησης της συνάρτησης φάσε αυτό το σημείο στην αντίστοιχη αύξηση του ορίσματος όταν η αύξηση του ορίσματος τείνει στο μηδέν.

Η παράγωγος συνήθως συμβολίζεται ως εξής:

Άλλες ονομασίες χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως:

Στιγμιαία ταχύτητα.

Αφήστε το θέμα Μκινείται σε ευθεία γραμμή. Απόσταση μικρόκινούμενο σημείο, μετρημένο από κάποια αρχική θέση Μ 0 , εξαρτάται από το χρόνο t, δηλ. μικρόυπάρχει συνάρτηση του χρόνου t: μικρό= φά(t). Αφήστε κάποια στιγμή tκινούμενο σημείο Μβρισκόταν σε απόσταση μικρόαπό την αρχική θέση Μ 0, και κάποια επόμενη στιγμή t+Δ tβρέθηκε σε θέση Μ 1 - σε απόσταση μικρό+Δ μικρόαπό την αρχική θέση ( δες εικ.).

Έτσι, σε μια χρονική περίοδο ο Δ tαπόσταση μικρόάλλαξε κατά το ποσό Δ μικρό. Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι κατά το χρονικό διάστημα Δ tμέγεθος μικρόέλαβε προσαύξηση Δ μικρό.

Η μέση ταχύτητα δεν μπορεί σε όλες τις περιπτώσεις να χαρακτηρίσει με ακρίβεια την ταχύτητα κίνησης ενός σημείου Μσε μια χρονική στιγμή t. Αν, για παράδειγμα, το σώμα στην αρχή του διαστήματος D tκινήθηκε πολύ γρήγορα και στο τέλος πολύ αργά, τότε η μέση ταχύτητα δεν θα είναι σε θέση να αντικατοπτρίζει τα υποδεικνυόμενα χαρακτηριστικά της κίνησης του σημείου και να δώσει μια ιδέα για την πραγματική ταχύτητα της κίνησής του αυτή τη στιγμή t. Για να εκφράσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια την πραγματική ταχύτητα χρησιμοποιώντας τη μέση ταχύτητα, πρέπει να διαθέσετε μικρότερο χρονικό διάστημα D t. Το πιο πλήρως χαρακτηρίζει την ταχύτητα κίνησης ενός σημείου τη στιγμή tτο όριο στο οποίο τείνει η μέση ταχύτητα στο D t® 0. Αυτό το όριο ονομάζεται τρέχουσα ταχύτητα:

Έτσι, η ταχύτητα κίνησης σε μια δεδομένη στιγμή ονομάζεται όριο του λόγου αύξησης της διαδρομής D μικρόστην αύξηση του χρόνου Δ t, όταν η χρονική αύξηση τείνει στο μηδέν. Επειδή

Γεωμετρική σημασία της παραγώγου. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.

Η κατασκευή των εφαπτομένων γραμμών είναι ένα από εκείνα τα προβλήματα που οδήγησαν στη γέννηση του διαφορικού λογισμού. Το πρώτο δημοσιευμένο έργο που σχετίζεται με τον διαφορικό λογισμό, γραμμένο από τον Leibniz, είχε τον τίτλο Μια νέα μέθοδος μεγίστων και ελαχίστων, καθώς και εφαπτομένων, για τις οποίες δεν αποτελούν εμπόδιο ούτε τα κλασματικά ούτε τα παράλογα μεγέθη, και ένας ειδικός τύπος λογισμού για αυτό.

Έστω η καμπύλη η γραφική παράσταση της συνάρτησης y =φά(Χ) σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ( εκ. ρύζι.).

Σε κάποια τιμή Χη λειτουργία έχει σημασία y =φά(Χ). Αυτές οι αξίες ΧΚαι yτο σημείο στην καμπύλη αντιστοιχεί Μ 0(Χ, y). Αν το επιχείρημα Χδίνω προσαύξηση Δ Χ, τότε η νέα τιμή του ορίσματος Χ+Δ Χαντιστοιχεί στη νέα τιμή συνάρτησης y+ρε y = φά(Χ + ρε Χ). Το αντίστοιχο σημείο της καμπύλης θα είναι το σημείο Μ 1(Χ+Δ Χ,y+Δ y). Αν σχεδιάσετε ένα τμήμα Μ 0Μ 1 και συμβολίζεται με j η γωνία που σχηματίζει ένα εγκάρσιο με τη θετική φορά του άξονα Βόδι, γίνεται αμέσως σαφές από το σχήμα ότι .

Αν τώρα ο Δ Χτείνει στο μηδέν, μετά το σημείο ΜΤο 1 κινείται κατά μήκος της καμπύλης, πλησιάζοντας το σημείο Μ 0 και γωνία ι αλλάζει με το Δ Χ. Στο Dx® 0 η γωνία j τείνει σε ένα ορισμένο όριο a και η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 0 και η συνιστώσα με τη θετική φορά του άξονα x, γωνία α, θα είναι η επιθυμητή εφαπτομένη. Η κλίση του είναι:

Ως εκ τούτου, φά´( Χ) = τγα

εκείνοι. παράγωγη αξία φά´( Χ) για μια δεδομένη τιμή ορίσματος Χισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης φά(Χ) στο αντίστοιχο σημείο Μ 0(Χ,y) με κατεύθυνση θετικού άξονα Βόδι.

Διαφοροποίηση συναρτήσεων.

Ορισμός. Εάν η συνάρτηση y = φά(Χ) έχει παράγωγο στο σημείο Χ = Χ 0, τότε η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη σε αυτό το σημείο.

Συνέχεια συνάρτησης που έχει παράγωγο. Θεώρημα.

Εάν η συνάρτηση y = φά(Χ) είναι διαφοροποιήσιμο σε κάποιο σημείο Χ = Χ 0, τότε είναι συνεχές σε αυτό το σημείο.

Έτσι, η συνάρτηση δεν μπορεί να έχει παράγωγο σε σημεία ασυνέχειας. Το αντίθετο συμπέρασμα είναι εσφαλμένο, δηλ. από το γεγονός ότι κάποια στιγμή Χ = Χ 0 λειτουργία y = φά(Χ) είναι συνεχές δεν σημαίνει ότι είναι διαφοροποιήσιμο σε αυτό το σημείο. Για παράδειγμα, η συνάρτηση y = |Χ| συνεχής για όλους Χ(–Ґ x x = 0 δεν έχει παράγωγο. Σε αυτό το σημείο δεν υπάρχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση. Υπάρχει μια δεξιά και μια αριστερή, αλλά δεν συμπίπτουν.

Μερικά θεωρήματα για διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις. Θεώρημα για τις ρίζες της παραγώγου (θεώρημα Rolle).Εάν η συνάρτηση φά(Χ) είναι συνεχής στο τμήμα [ένα,σι], είναι διαφοροποιήσιμο σε όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού του τμήματος και στα άκρα Χ = έναΚαι Χ = σιπάει στο μηδέν ( φά(ένα) = φά(σι) = 0), μετά μέσα στο τμήμα [ ένα,σι] υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Χ= Με, έναγ β, στην οποία η παράγωγος φάў( Χ) πηγαίνει στο μηδέν, δηλ. φάў( ντο) = 0.

Θεώρημα πεπερασμένης αύξησης (θεώρημα Lagrange).Εάν η συνάρτηση φά(Χ) είναι συνεχής στο διάστημα [ ένα, σι] και είναι διαφοροποιήσιμο σε όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού του τμήματος, μετά μέσα στο τμήμα [ ένα, σι] υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Με, έναγ β αυτό

φά(σι) – φά(ένα) = φάў( ντο)(σι– ένα).

Θεώρημα για τον λόγο των προσαυξήσεων δύο συναρτήσεων (θεώρημα Cauchy).Αν φά(Χ) Και σολ(Χ) – δύο συναρτήσεις συνεχόμενες στο τμήμα [ένα, σι] και διαφοροποιήσιμο σε όλα τα εσωτερικά σημεία αυτού του τμήματος, και σολў( Χ) δεν εξαφανίζεται πουθενά μέσα σε αυτό το τμήμα, τότε μέσα στο τμήμα [ ένα, σι] υπάρχει ένα τέτοιο σημείο Χ = Με, έναγ β αυτό

Παράγωγα διαφόρων παραγγελιών.

Αφήστε τη λειτουργία y =φά(Χ) είναι διαφοροποιήσιμο σε κάποιο διάστημα [ ένα, σι]. Παράγωγες τιμές φά ў( Χ), σε γενικές γραμμές, εξαρτώνται από Χ, δηλ. παράγωγο φά ў( Χ) είναι επίσης συνάρτηση του Χ. Κατά τη διαφοροποίηση αυτής της συνάρτησης, λαμβάνουμε τη λεγόμενη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης φά(Χ), το οποίο συμβολίζεται φά ўў ( Χ).

Παράγωγο n-η σειρά συνάρτησης φά(Χ) ονομάζεται παράγωγος (πρώτης τάξης) της παραγώγου n- 1- ου και συμβολίζεται με το σύμβολο y(n) = (y(n– 1))ў.

Διαφορικά διαφόρων παραγγελιών.

Διαφορικό λειτουργίας y = φά(Χ), Οπου Χ– ανεξάρτητη μεταβλητή, ναι dy = φά ў( Χ)dx, κάποια λειτουργία από Χ, αλλά από Χμόνο ο πρώτος παράγοντας μπορεί να εξαρτάται φά ў( Χ), ο δεύτερος παράγοντας ( dx) είναι η προσαύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής Χκαι δεν εξαρτάται από την τιμή αυτής της μεταβλητής. Επειδή dyυπάρχει μια λειτουργία από Χ, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το διαφορικό αυτής της συνάρτησης. Το διαφορικό του διαφορικού μιας συνάρτησης ονομάζεται δεύτερο διαφορικό ή διαφορικό δεύτερης τάξης αυτής της συνάρτησης και συμβολίζεται ρε 2y:

ρε(dx) = ρε 2y = φά ўў( Χ)(dx) 2 .

Διαφορικός n-πρώτης τάξης ονομάζεται πρώτο διαφορικό του διαφορικού n- 1- η σειρά:

d n y = ρε(d n–1y) = φά(n)(Χ)dx(n).

Μερική παράγωγος.

Εάν μια συνάρτηση δεν εξαρτάται από ένα, αλλά από πολλά ορίσματα x i(Εγώποικίλλει από 1 έως n,Εγώ= 1, 2,… n),φά(Χ 1,Χ 2,… x n), τότε στον διαφορικό λογισμό εισάγεται η έννοια της μερικής παραγώγου, η οποία χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών όταν αλλάζει μόνο ένα όρισμα, για παράδειγμα, x i. Μερικό παράγωγο 1ης τάξης ως προς x iορίζεται ως ένα συνηθισμένο παράγωγο και θεωρείται ότι όλα τα ορίσματα εκτός από x i, κρατήστε σταθερές τιμές. Για μερικές παραγώγους, εισάγεται ο συμβολισμός

Οι μερικές παράγωγοι 1ης τάξης που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο (ως συναρτήσεις των ίδιων ορισμάτων) μπορούν, με τη σειρά τους, να έχουν επίσης μερικές παραγώγους, αυτές είναι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης κ.λπ. Τέτοια παράγωγα που λαμβάνονται από διαφορετικά ορίσματα ονομάζονται μικτά. Οι συνεχείς μικτές παράγωγοι ίδιας τάξης δεν εξαρτώνται από τη σειρά διαφοροποίησης και είναι ίσες μεταξύ τους.

Άννα Τσουγκάινοβα

Παράγωγο λειτουργίεςσε ένα σημείο λέγεται το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, με την προϋπόθεση ότι τείνει στο μηδέν.

Βασικοί κανόνες για την εύρεση της παραγώγου

Αν - και - είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις στο σημείο , (δηλαδή συναρτήσεις που έχουν παράγωγες στο σημείο), τότε:

4) .

Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Ο κανόνας για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης.Εάν και , δηλ. , όπου και έχουν παράγωγα, τότε

Διαφοροποίηση μιας συνάρτησης που καθορίζεται παραμετρικά. Αφήστε την εξάρτηση μιας μεταβλητής από μια μεταβλητή να καθοριστεί παραμετρικά μέσω της παραμέτρου:

Εργασία 3. Βρείτε τις παραγώγους αυτών των συναρτήσεων.

1)

Λύση. Εφαρμόζοντας τον κανόνα 2 για την εύρεση των παραγώγων και των τύπων 1 και 2 του πίνακα παραγώγων, λαμβάνουμε:

Λύση.Εφαρμόζοντας τον κανόνα 4 για την εύρεση των παραγώγων και των τύπων 1 και 13 του πίνακα παραγώγων, λαμβάνουμε:

.

Λύση.Εφαρμόζοντας τον κανόνα 3 για την εύρεση των παραγώγων και των τύπων 5 και 11 του πίνακα παραγώγων, λαμβάνουμε:

Λύση.Υποθέτοντας , όπου , σύμφωνα με τον τύπο για την εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης, λαμβάνουμε:

Λύση. Έχουμε: Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο για την εύρεση της παραγώγου μιας συνάρτησης που καθορίζεται παραμετρικά, παίρνουμε:

4. Παράγωγα υψηλότερης τάξης. Ο κανόνας του L'Hopital.

Παράγωγος δεύτερης τάξης της συνάρτησηςλέγεται παράγωγος της παραγώγου της, δηλ. . Οι παρακάτω συμβολισμοί χρησιμοποιούνται για τη δεύτερη παράγωγο: ή , ή .

Η παράγωγος 1ης τάξης της συνάρτησηςονομάζεται παράγωγος της παραγώγου ης τάξης του. Για την παράγωγο ης τάξης, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι συμβολισμοί: ή , ή .

Ο κανόνας του L'Hopital.Αφήστε τις συναρτήσεις και να είναι διαφοροποιήσιμες σε μια γειτονιά του σημείου και η παράγωγος δεν εξαφανίζεται. Εάν οι συναρτήσεις και είναι ταυτόχρονα είτε απείρως μικρές είτε απείρως μεγάλες στο , και υπάρχει ένα όριο του λόγου στο , τότε υπάρχει επίσης ένα όριο στον λόγο στο . Εξάλλου

.

Ο κανόνας ισχύει επίσης όταν .

Σημειώστε ότι σε ορισμένες περιπτώσεις, η αποκάλυψη αβεβαιοτήτων του τύπου ή ενδέχεται να απαιτεί επαναλαμβανόμενη εφαρμογή του κανόνα της L'Hopital.

Αβεβαιότητες τύπου κ.λπ. με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών μπορούν εύκολα να αναχθούν σε αβεβαιότητες της μορφής ή .

Εργασία 4. Βρείτε το όριο χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital.

ΛύσηΕδώ έχουμε αβεβαιότητα της μορφής, γιατί στο . Ας εφαρμόσουμε τον κανόνα του L'Hopital:

.

Μετά την εφαρμογή του κανόνα του L'Hopital, αποκτήσαμε και πάλι αβεβαιότητα της μορφής, επειδή στο . Εφαρμόζοντας ξανά τον κανόνα του L'Hopital, παίρνουμε:

.

5. Μελέτη συναρτήσεων

α) Συναρτήσεις αύξησης και μείωσης

Η συνάρτηση καλείται αυξανόμενηστο τμήμα , εάν για οποιαδήποτε σημεία και από το τμήμα , όπου , ισχύει η ανισότητα. Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για , τότε αυξάνεται στο διάστημα.

Η συνάρτηση καλείται μειώνεταιστο τμήμα , εάν για οποιαδήποτε σημεία και από το τμήμα , όπου , ισχύει η ανισότητα. Εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για , τότε μειώνεται στο διάστημα.

Εάν μια συνάρτηση αυξάνει ή φθίνει μόνο σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε καλείται μονότονοςστο μεσοδιάστημα.

β) Ακραίες συναρτήσεις

ελάχιστο σημείολειτουργίες .

Αν υπάρχει -γειτονιά του σημείου έτσι ώστε για όλα τα σημεία αυτής της γειτονιάς να ισχύει η ανισότητα, τότε το σημείο ονομάζεται μέγιστο σημείολειτουργίες .

Τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης ονομάζονται της ακραία σημεία.

Το σημείο λέγεται ακίνητο σημείο,αν υπάρχει ή δεν υπάρχει.

Αν υπάρχει μια -γειτονιά ενός ακίνητου σημείου τέτοια ώστε για και για , τότε είναι το μέγιστο σημείο της συνάρτησης.

Αν υπάρχει μια -γειτονιά ενός ακίνητου σημείου τέτοια ώστε για και για , τότε το -ελάχιστο σημείο της συνάρτησης .

ένα) Κυρτή κατεύθυνση. Σημεία καμπής

κυρτόστο διάστημα , αν βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος.

Μια επαρκής προϋπόθεση για την ανοδική κυρτότητα της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι η εκπλήρωση της ανισότητας για οποιοδήποτε από τα εξεταζόμενα διαστήματα.

Η γραφική παράσταση μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης ονομάζεται κυρτό προς τα κάτωστο διάστημα , αν βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος.

Επαρκής προϋπόθεση για την προς τα κάτω κυρτότητα της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι η εκπλήρωση της ανισότητας για οποιοδήποτε από τα εξεταζόμενα διαστήματα.

Το σημείο στο οποίο αλλάζει η φορά κυρτότητας της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ονομάζεται σημείο καμπής.

Σημείο όπου υπάρχει ή δεν υπάρχει είναι η τετμημένη ενός σημείου καμπής εάν τα σημάδια αριστερά και δεξιά από αυτό είναι διαφορετικά.

δ) Ασύμπτωτες

Εάν η απόσταση από ένα σημείο της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη ευθεία τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο απομακρύνεται άπειρα από την αρχή, τότε η ευθεία ονομάζεται ασύμπτωτο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

Εάν υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος που , τότε η γραμμή είναι κάθετη ασύμπτωτη.

Αν υπάρχουν όρια , τότε η γραμμή είναι λοξή (οριζόντια στο k=0) ασύμπτωτο.

ε) Γενική μελέτη λειτουργίας

1. Τομέας συνάρτησης

2. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων

3. Μελέτη συνάρτησης για συνέχεια, άρτιο/περιττό και περιοδικότητα

4. Διαστήματα μονοτονίας συνάρτησης

5. Ακραία σημεία της συνάρτησης

6. Διαστήματα κυρτότητας και σημεία καμπής γραφήματος συνάρτησης

7. Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης

8. Γράφημα συνάρτησης.

Εργασία 5. Εξερευνήστε τη συνάρτηση και δημιουργήστε το γράφημά της.

Λύση. 1) Η συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρη την αριθμητική γραμμή εκτός από το σημείο όπου ο παρονομαστής του κλάσματος πηγαίνει στο μηδέν. . Έχουμε: δεν ανήκει στον τομέα ορισμού αυτής της συνάρτησης. Κατά συνέπεια, τα ακίνητα σημεία αυτής της συνάρτησης είναι τα σημεία με την ελάχιστη τιμή (όπως φαίνεται στο σχήμα).

8) Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που ελήφθησαν, ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα της αρχικής συνάρτησης: