Punkty na wykresie funkcji różniczkowalnej. Różniczkowanie funkcji. Ciągłość funkcji mającej pochodną. Twierdzenie

Treść artykułu

POCHODNA– pochodna funkcji y = F(X), podawane w określonym przedziale ( A, B) W punkcie X tego przedziału nazywa się granicą, do której zmierza stosunek przyrostu funkcji F w tym momencie do odpowiedniego przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Pochodną zwykle oznacza się w następujący sposób:

Inne oznaczenia są również szeroko stosowane:

Natychmiastowa prędkość.

Niech chodzi M porusza się po linii prostej. Dystans S ruchomy punkt, liczony od pewnej pozycji początkowej M 0 , zależy od czasu T, tj. S istnieje funkcja czasu T: S= F(T). Niech w pewnym momencie T ruchomy punkt M był w oddali S z pozycji wyjściowej M 0 i w następnej chwili T+D T znalazła się w sytuacji M 1 - na odległość S+D S z pozycji początkowej ( zobacz zdjęcie.).

Zatem przez pewien czas D T dystans S zmieniona o kwotę D S. W tym przypadku mówią, że w przedziale czasu D T ogrom S otrzymał dodatek D S.

Średnia prędkość nie we wszystkich przypadkach może dokładnie scharakteryzować prędkość ruchu punktu M w pewnym momencie T. Jeżeli na przykład ciało znajduje się na początku przedziału D T poruszał się bardzo szybko, a na końcu bardzo powoli, wówczas średnia prędkość nie będzie w stanie odzwierciedlić wskazanych cech ruchu punktu i dać wyobrażenia o prawdziwej prędkości jego ruchu w danej chwili T. Aby dokładniej wyrazić prędkość rzeczywistą za pomocą prędkości średniej, należy przyjąć krótszy okres czasu D T. Najpełniej charakteryzuje prędkość ruchu punktu w danej chwili T granica, do której dąży średnia prędkość w D T® 0. Limit ten nazywany jest prędkością bieżącą:

Zatem prędkość ruchu w danym momencie nazywana jest granicą współczynnika przyrostu ścieżki D S do przyrostu czasu D T, gdy przyrost czasu dąży do zera. Ponieważ

Znaczenie geometryczne pochodnej. Styczna do wykresu funkcji.

Konstrukcja linii stycznych jest jednym z problemów, które doprowadziły do ​​narodzin rachunku różniczkowego. Pierwsza opublikowana praca dotycząca rachunku różniczkowego, napisana przez Leibniza, nosiła tytuł Nowa metoda maksimów i minimów oraz stycznych, dla których ani wielkości ułamkowe, ani niewymierne nie są przeszkodą, oraz specjalny rodzaj rachunku różniczkowego do tego.

Niech krzywa będzie wykresem funkcji y =F(X) w prostokątnym układzie współrzędnych ( cm. Ryż.).

Przy jakiejś wartości X Funkcja ma znaczenie y =F(X). Te wartości X I y odpowiada punkt na krzywej M 0(X, y). Jeśli argumentem X dawać przyrost D X, a następnie nowa wartość argumentu X+D X odpowiada nowej wartości funkcji ty+ D y = F(X + D X). Odpowiedni punkt krzywej będzie punktem M 1(X+D X,y+D y). Jeśli narysujesz sieczną M 0M 1 i oznaczone przez j kąt utworzony przez poprzeczkę z dodatnim kierunkiem osi Wół, z rysunku od razu wynika, że ​​.

Jeśli teraz D X dąży do zera, a następnie do punktu M 1 porusza się po krzywej, zbliżając się do punktu M 0 i kąt J zmiany z D X. Na Dx® 0 kąt j zmierza do pewnej granicy a i prosta przechodząca przez ten punkt M 0, a komponent o dodatnim kierunku osi x, kąt a, będzie pożądaną styczną. Jego nachylenie wynosi:

Stąd, F´( X) = tga

te. wartość pochodna F´( X) dla danej wartości argumentu X jest równy tangensowi kąta utworzonego przez styczną do wykresu funkcji F(X) w odpowiednim punkcie M 0(X,y) z dodatnim kierunkiem osi Wół.

Różniczkowalność funkcji.

Definicja. Jeśli funkcja y = F(X) ma pochodną w punkcie X = X 0, to funkcja jest w tym punkcie różniczkowalna.

Ciągłość funkcji mającej pochodną. Twierdzenie.

Jeśli funkcja y = F(X) jest różniczkowalna w pewnym momencie X = X 0, to w tym momencie jest ciągły.

Zatem funkcja nie może mieć pochodnej w punktach nieciągłości. Wniosek przeciwny jest błędny, tj. z tego, że w pewnym momencie X = X 0 funkcji y = F(X) jest ciągły, nie oznacza, że ​​jest różniczkowalny w tym punkcie. Na przykład funkcja y = |X| ciągły dla wszystkich X(–When x x = 0 nie ma pochodnej. W tym momencie nie ma stycznej do wykresu. Jest styczna prawa i lewa, ale nie pokrywają się one.

Niektóre twierdzenia o funkcjach różniczkowalnych. Twierdzenie o pierwiastkach pochodnej (twierdzenie Rolle'a). Jeśli funkcja F(X) jest ciągła w segmencie [A,B], jest różniczkowalna we wszystkich wewnętrznych punktach tego odcinka i na jego końcach X = A I X = B dochodzi do zera ( F(A) = F(B) = 0), to wewnątrz segmentu [ A,B] jest co najmniej jeden punkt X= Z, A c b, w którym pochodna Fў( X) zmierza do zera, tj. Fў( C) = 0.

Twierdzenie o przyrostze skończonym (twierdzenie Lagrange'a). Jeśli funkcja F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] i jest różniczkowalna we wszystkich wewnętrznych punktach tego odcinka, a następnie wewnątrz odcinka [ A, B] jest co najmniej jeden punkt Z, A c b to

F(B) – F(A) = Fў( C)(B– A).

Twierdzenie o stosunku przyrostów dwóch funkcji (twierdzenie Cauchy'ego). Jeśli F(X) I G(X) – dwie funkcje ciągłe na odcinku [A, B] i różniczkowalna we wszystkich wewnętrznych punktach tego odcinka, i Gў( X) nie znika nigdzie wewnątrz tego segmentu, to wewnątrz segmentu [ A, B] jest taki punkt X = Z, A c b to

Pochodne różnych rzędów.

Niech funkcja y =F(X) jest różniczkowalna na pewnym przedziale [ A, B] Wartości pochodne F ў( X), ogólnie rzecz biorąc, zależą od X, tj. pochodna F ў( X) jest także funkcją X. Różniczkując tę ​​funkcję otrzymujemy tzw. drugą pochodną funkcji F(X), co jest oznaczone F ўў ( X).

Pochodna N- rząd funkcji F(X) nazywa się pochodną (pierwszego rzędu) pochodnej N- 1- i jest oznaczony symbolem y(N) = (y(N– 1))ў.

Różniczki różnych rzędów.

Funkcja różnicowa y = F(X), Gdzie X– zmienna niezależna, tak dy = F ў( X)dx, jakaś funkcja z X, ale od X zależy tylko od pierwszego czynnika F ў( X), drugi czynnik ( dx) jest przyrostem zmiennej niezależnej X i nie zależy od wartości tej zmiennej. Ponieważ dy istnieje funkcja z X, to możemy wyznaczyć różniczkę tej funkcji. Różniczkę różniczki funkcji nazywamy różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu tej funkcji i oznaczamy D 2y:

D(dx) = D 2y = F ўў( X)(dx) 2 .

Mechanizm różnicowy N- pierwszego rzędu nazywa się pierwszą różniczką różniczki N- 1- kolejność:

dn y = D(d n–1y) = F(N)(X)dx(N).

Pochodna częściowa.

Jeśli funkcja nie zależy od jednego, ale od kilku argumentów x ja(I waha się od 1 do N,I= 1, 2,… N),F(X 1,X 2,… x rz), to w rachunku różniczkowym wprowadza się pojęcie pochodnej cząstkowej, które charakteryzuje szybkość zmiany funkcji kilku zmiennych, gdy zmienia się tylko jeden argument, np. x ja. Pochodna cząstkowa pierwszego rzędu względem x ja definiuje się jako pochodną zwykłą i zakłada się, że wszystkie argumenty z wyjątkiem x ja, zachowaj stałe wartości. Dla pochodnych cząstkowych wprowadza się oznaczenie

Tak zdefiniowane pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (jako funkcje tych samych argumentów) mogą z kolei mieć także pochodne cząstkowe, są to pochodne cząstkowe drugiego rzędu itp. Takie pochodne wzięte z różnych argumentów nazywane są mieszanymi. Ciągłe pochodne mieszane tego samego rzędu nie zależą od rzędu różniczkowania i są sobie równe.

Anna Czugainowa

Pochodna Funkcje w punkcie nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że dąży on do zera.

Podstawowe zasady znajdowania pochodnej

Jeżeli - i - są funkcjami różniczkowalnymi w punkcie (tzn. funkcjami mającymi pochodne w punkcie), to:

4) .

Tabela pochodnych podstawowych funkcji

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Zasada różniczkowania funkcji zespolonej. Jeśli i , tj. , gdzie i mają pochodne, a następnie

Różniczkowanie funkcji określonej parametrycznie. Niech zależność zmiennej od zmiennej zostanie określona parametrycznie za pomocą parametru:

Zadanie 3. Znajdź pochodne tych funkcji.

1)

Rozwiązanie. Stosując zasadę 2 znajdowania pochodnych oraz wzory 1 i 2 tabeli pochodnych otrzymujemy:

Rozwiązanie. Stosując regułę 4 znajdowania pochodnych oraz wzory 1 i 13 tabeli pochodnych otrzymujemy:

.

Rozwiązanie. Stosując regułę 3 znajdowania pochodnych oraz wzory 5 i 11 tabeli pochodnych otrzymujemy:

Rozwiązanie. Zakładając , gdzie zgodnie ze wzorem na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej otrzymujemy:

Rozwiązanie. Mamy: Wtedy zgodnie ze wzorem na znalezienie pochodnej funkcji określonej parametrycznie otrzymujemy:

4. Pochodne wyższego rzędu. Reguła de l'Hopitala.

Pochodna drugiego rzędu funkcji nazywa się pochodną swojej pochodnej, tj. . Dla drugiej pochodnej stosuje się następujące oznaczenia: lub , lub .

Pochodna pierwszego rzędu funkcji nazywa się pochodną jej pochodnej trzeciego rzędu. Dla pochodnej trzeciego rzędu stosuje się oznaczenia: lub , lub .

Reguła de l'Hopitala. Niech funkcje i będą różniczkowalne w sąsiedztwie punktu, a pochodna nie zanika. Jeśli funkcje i są jednocześnie nieskończenie małe lub nieskończenie duże w , a istnieje granica stosunku w , to istnieje również granica stosunku w . Ponadto

.

Zasada obowiązuje również wtedy, gdy .

Należy pamiętać, że w niektórych przypadkach ujawnienie niepewności typu lub może wymagać ponownego zastosowania reguły L'Hopitala.

Niepewność typu itp. za pomocą elementarnych przekształceń można je łatwo sprowadzić do niepewności postaci lub .

Zadanie 4. Znajdź granicę, korzystając z reguły L'Hopitala.

Rozwiązanie Tutaj mamy niepewność formy , ponieważ Na . Zastosujmy regułę de l'Hopitala:

.

Po zastosowaniu reguły L'Hopitala ponownie uzyskaliśmy niepewność formy, ponieważ Na . Stosując ponownie regułę de l'Hopitala, otrzymujemy:

.

5. Badanie funkcji

a) Funkcje rosnące i malejące

Funkcja nazywa się wzrastający na segmencie , jeśli dla dowolnych punktów i z odcinka , gdzie zachodzi nierówność. Jeśli funkcja jest ciągła na przedziale i dla , to rośnie na tym przedziale.

Funkcja nazywa się malejące na segmencie , jeśli dla dowolnych punktów i z odcinka , gdzie zachodzi nierówność. Jeżeli funkcja jest ciągła na przedziale i dla , to na tym przedziale maleje.

Jeśli funkcja tylko rośnie lub maleje w danym przedziale, to nazywa się ją monotonny na przerwie.

b) Ekstrema funkcji

minimalny punkt Funkcje .

Jeśli istnieje -sąsiedztwo punktu tak, że dla wszystkich punktów z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność, wówczas punkt nazywamy maksymalny punkt Funkcje .

Maksymalne i minimalne punkty funkcji nazywane są jej punkty ekstremalne.

Punkt nazywa się nieruchomy punkt, jeśli lub nie istnieje.

Jeżeli istnieje -sąsiedztwo punktu stacjonarnego takie, że for i for , to jest to maksymalny punkt funkcji.

Jeżeli istnieje -sąsiedztwo punktu stacjonarnego takie, że for i for , to -minimalny punkt funkcji.

A) Kierunek wypukły. Punkty przegięcia

wypukły w górę na przerwie , jeśli znajduje się poniżej stycznej wykreślonej do wykresu funkcji w dowolnym punkcie tego przedziału.

Warunkiem wystarczającym wypukłości ku górze wykresu funkcji na przedziale jest spełnienie nierówności dla dowolnego z rozpatrywanych przedziałów.

Nazywa się wykres funkcji różniczkowalnej wypukły w dół na przerwie , jeśli znajduje się powyżej stycznej wykreślonej do wykresu funkcji w dowolnym punkcie tego przedziału.

Warunkiem wystarczającym wypukłości w dół wykresu funkcji na przedziale jest spełnienie nierówności dla dowolnego z rozpatrywanych przedziałów.

Punkt, w którym zmienia się kierunek wypukłości wykresu funkcji, nazywa się punkt przegięcia.

Punkt, w którym lub nie istnieje, jest odciętą punktu przegięcia, jeśli znaki po jego lewej i prawej stronie są różne.

d) Asymptoty

Jeżeli odległość punktu na wykresie funkcji do określonej linii prostej dąży do zera w miarę oddalania się punktu od początku w nieskończoność, wówczas linię prostą nazywamy asymptota wykresu funkcji.

Jeśli istnieje liczba taka, że ​​, to linia jest pionowa asymptota.

Jeśli istnieją granice , to linia jest asymptota ukośna (pozioma przy k=0).

e) Ogólne badanie funkcji

1. Dziedzina funkcji

2. Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych

3. Badanie funkcji ciągłości, parzystej/nieparzystej i okresowości

4. Przedziały monotoniczności funkcji

5. Ekstremalne punkty funkcji

6. Przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji

7. Asymptoty wykresu funkcji

8. Wykres funkcji.

Zadanie 5. Zbadaj funkcję i skonstruuj jej wykres.

Rozwiązanie. 1) Funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu, w którym mianownik ułamka zmierza do zera. . Mamy: nie należy do dziedziny definicji tej funkcji. W konsekwencji punktami stacjonarnymi tej funkcji są punkty o wartości minimalnej (jak pokazano na rysunku).

8) Korzystając z uzyskanych danych zbudujmy wykres oryginalnej funkcji: