Punkti diferencējamas funkcijas grafikā. Funkciju diferencēšana. Funkcijas ar atvasinājumu nepārtrauktība. Teorēma

Raksta saturs

ATvasinājums– funkcijas atvasinājums y = f(x), dots ar noteiktu intervālu ( a, b) punktā xŠo intervālu sauc par robežu, līdz kurai tiecas funkcijas pieauguma attiecība fšajā brīdī līdz atbilstošajam argumenta pieaugumam, kad argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli.

Atvasinājumu parasti apzīmē šādi:

Plaši tiek izmantoti arī citi apzīmējumi:

Tūlītējs ātrums.

Ļaujiet punktu M pārvietojas taisnā līnijā. Attālums s kustīgais punkts, skaitīts no kādas sākotnējās pozīcijas M 0 , atkarīgs no laika t, t.i. s ir laika funkcija t: s= f(t). Ļaujiet kādā brīdī t kustīgs punkts M bija attālumā s no sākuma pozīcijas M 0, un kādā nākamajā brīdī t+D t atrada sevi stāvoklī M 1 - distancē s+D s no sākotnējās pozīcijas ( skatīt attēlu.).

Tādējādi noteiktā laika periodā D t attālums s mainīts par summu D s. Šajā gadījumā viņi saka, ka laika intervālā D t lielums s saņēma pieaugumu D s.

Vidējais ātrums ne visos gadījumos var precīzi raksturot punkta kustības ātrumu M kādā brīdī t. Ja, piemēram, ķermenis intervāla D sākumā t kustējās ļoti ātri un beigās ļoti lēni, tad vidējais ātrums nespēs atspoguļot norādītās punkta kustības pazīmes un dot priekšstatu par tā kustības patieso ātrumu šobrīd t. Lai precīzāk izteiktu patieso ātrumu, izmantojot vidējo ātrumu, ir nepieciešams īsāks laika periods D t. Vispilnīgāk raksturo punkta kustības ātrumu dotajā brīdī t robeža, līdz kurai vidējais ātrums ir pie D t® 0. Šo ierobežojumu sauc par pašreizējo ātrumu:

Tādējādi kustības ātrumu noteiktā brīdī sauc par ceļa pieauguma koeficienta D robežu s uz laika pieaugumu D t, kad laika pieaugumam ir tendence uz nulli. Jo

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare.

Pieskares līniju konstruēšana ir viena no tām problēmām, kas izraisīja diferenciālrēķina rašanos. Pirmais publicētais darbs, kas saistīts ar diferenciālrēķinu, ko rakstīja Leibnics, bija ar nosaukumu Jauna maksimumu un minimumu, kā arī pieskares metode, kam ne daļējie, ne iracionālie lielumi nav šķērslis, un tam īpašs aprēķinu veids.

Lai līkne ir funkcijas grafiks y =f(x) taisnstūra koordinātu sistēmā ( cm. rīsi.).

Par kādu vērtību x funkcijai ir nozīme y =f(x). Šīs vērtības x Un y punkts uz līknes atbilst M 0(x, y). Ja arguments x dot pieaugums D x, tad argumenta jaunā vērtība x+D x atbilst jaunajai funkcijas vērtībai y+ D y = f(x + D x). Attiecīgais līknes punkts būs punkts M 1(x+D x,y+D y). Ja uzzīmējat sekantu M 0M 1 un apzīmēts ar j leņķis, ko veido šķērsvirziens ar ass pozitīvo virzienu Vērsis, no attēla uzreiz ir skaidrs, ka .

Ja tagad D x tiecas uz nulli, tad punkts M 1 pārvietojas pa līkni, tuvojoties punktam M 0 un leņķis j mainās ar D x. Plkst Dx® 0 leņķim j ir tendence uz noteiktu robežu a un taisnei, kas iet caur punktu M 0 un komponente ar x ass pozitīvo virzienu, leņķi a, būs vēlamā tangense. Tās slīpums ir:

Tāpēc f´( x) = tga

tie. atvasinātā vērtība f´( x) noteiktai argumenta vērtībai x ir vienāds ar leņķa tangensu, ko veido pieskares funkcijas grafikam f(x) attiecīgajā punktā M 0(x,y) ar pozitīvu ass virzienu Vērsis.

Funkciju diferenciācija.

Definīcija. Ja funkcija y = f(x) punktā ir atvasinājums x = x 0, tad funkcija šajā brīdī ir diferencējama.

Funkcijas ar atvasinājumu nepārtrauktība. Teorēma.

Ja funkcija y = f(x) kādā brīdī ir atšķirīgs x = x 0, tad šajā punktā tas ir nepārtraukts.

Tādējādi funkcijai nevar būt atvasinājums pārtraukuma punktos. Pretējs secinājums ir nepareizs, t.i. no tā, ka kādā brīdī x = x 0 funkcija y = f(x) ir nepārtraukts, nenozīmē, ka tas šajā brīdī ir diferencējams. Piemēram, funkcija y = |x| nepārtraukts visiem x(– x x = 0 nav atvasinājuma. Šajā brīdī grafam nav pieskares. Ir labā un kreisā pieskare, taču tās nesakrīt.

Dažas teorēmas par diferencējamām funkcijām. Teorēma par atvasinājuma saknēm (Rolle teorēma). Ja funkcija f(x) ir nepārtraukts segmentā [a,b], ir diferencējams visos šī segmenta iekšējos punktos un galos x = a Un x = b iet uz nulli ( f(a) = f(b) = 0), tad segmenta [ a,b] ir vismaz viens punkts x= Ar, a c b, kurā atvasinājums fў( x) iet uz nulli, t.i. fў( c) = 0.

Galīga pieauguma teorēma (Lagranža teorēma). Ja funkcija f(x) ir nepārtraukts intervālā [ a, b] un ir diferencējams visos šī segmenta iekšējos punktos, pēc tam segmenta [ a, b] ir vismaz viens punkts Ar, a c b ka

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorēma par divu funkciju pieauguma attiecību (Košī teorēma). Ja f(x) Un g(x) – segmentā nepārtrauktas divas funkcijas [a, b] un diferencējams visos šī segmenta iekšējos punktos, un gў( x) nepazūd nekur šajā segmentā, pēc tam segmentā [ a, b] ir tāds punkts x = Ar, a c b ka

Dažādu pasūtījumu atvasinājumi.

Ļaujiet funkcijai y =f(x) ir diferencējams noteiktā intervālā [ a, b]. Atvasinātās vērtības f ў( x), vispārīgi runājot, ir atkarīgi no x, t.i. atvasinājums f ў( x) ir arī funkcija x. Diferencējot šo funkciju, iegūstam tā saukto funkcijas otro atvasinājumu f(x), kas ir apzīmēts f ўў ( x).

Atvasinājums n- funkciju secība f(x) sauc par atvasinājuma (pirmās kārtas) atvasinājumu n- 1- th un tiek apzīmēts ar simbolu y(n) = (y(n– 1))ў.

Dažādu pasūtījumu diferenciāļi.

Funkciju diferenciālis y = f(x), Kur x– neatkarīgs mainīgais, jā dy = f ў( x)dx, dažas funkcijas no x, bet no x var būt atkarīgs tikai pirmais faktors f ў( x), otrais faktors ( dx) ir neatkarīgā mainīgā lielums x un nav atkarīgs no šī mainīgā vērtības. Jo dy ir funkcija no x, tad mēs varam noteikt šīs funkcijas diferenciāli. Funkcijas diferenciāļa diferenciāli sauc par šīs funkcijas otro diferenciāli vai otrās kārtas diferenciāli un apzīmē d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferenciāls n- pirmās kārtas sauc par diferenciāļa pirmo diferenciāli n- 1- pasūtījums:

d n g = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Daļējs atvasinājums.

Ja funkcija ir atkarīga nevis no viena, bet no vairākiem argumentiem x i(i svārstās no 1 līdz n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tad diferenciālrēķinos tiek ieviests daļējā atvasinājuma jēdziens, kas raksturo vairāku mainīgo funkcijas izmaiņu ātrumu, kad mainās tikai viens arguments, piemēram, x i. 1. kārtas daļējs atvasinājums attiecībā uz x i ir definēts kā parasts atvasinājums, un tiek pieņemts, ka visi argumenti, izņemot x i, saglabājiet nemainīgas vērtības. Daļējiem atvasinājumiem tiek ieviests apzīmējums

Šādi definētajiem 1. kārtas parciālajiem atvasinājumiem (kā to pašu argumentu funkcijām) savukārt var būt arī parciālie atvasinājumi, tie ir otrās kārtas parciālie atvasinājumi utt. Šādus atvasinājumus, kas ņemti no dažādiem argumentiem, sauc par jauktiem. Nepārtraukti jaukti vienas kārtas atvasinājumi nav atkarīgi no diferenciācijas kārtas un ir vienādi viens ar otru.

Anna Čugainova

Atvasinājums funkcijas punktā sauc par funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu ar nosacījumu, ka tai ir tendence uz nulli.

Pamatnoteikumi atvasinājuma atrašanai

Ja - un - ir diferencējamas funkcijas punktā , (t.i., funkcijas, kurām punktā ir atvasinājumi), tad:

4) .

Pamatfunkciju atvasinājumu tabula

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Sarežģītas funkcijas diferencēšanas noteikums. Ja un , t.i. , kur un ir atvasinājumi, tad

Parametriski norādītas funkcijas diferenciācija. Ļaujiet mainīgā lieluma atkarību no mainīgā parametriski norādīt ar parametra palīdzību:

3. uzdevums. Atrodiet šo funkciju atvasinājumus.

1)

Risinājums. Piemērojot 2. noteikumu atvasinājumu atrašanai un atvasinājumu tabulas 1. un 2. formulu, iegūstam:

Risinājums. Piemērojot 4. noteikumu atvasinājumu atrašanai un atvasinājumu tabulas 1. un 13. formulu, iegūstam:

.

Risinājums. Piemērojot 3. noteikumu atvasinājumu atrašanai un atvasinājumu tabulas 5. un 11. formulas, iegūstam:

Risinājums. Pieņemot , kur , saskaņā ar formulu sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai, iegūstam:

Risinājums. Mums ir: Tad saskaņā ar formulu parametriski noteiktas funkcijas atvasinājuma atrašanai mēs iegūstam:

4. Augstākas kārtas atvasinājumi. L'Hopital likums.

Funkcijas otrās kārtas atvasinājums sauc par tā atvasinājuma atvasinājumu, t.i. . Otrajam atvasinājumam tiek izmantoti šādi apzīmējumi: vai , vai .

Funkcijas 1. kārtas atvasinājums sauc par tās trešās kārtas atvasinājuma atvasinājumu. Kārtības atvasinājumam tiek izmantoti šādi apzīmējumi: vai , vai .

L'Hopital likums.Ļaujiet funkcijām un būt diferencējamām punkta tuvumā, un atvasinājums nepazūd. Ja funkcijas un vienlaikus ir bezgalīgi mazas vai bezgalīgi lielas pie , un ir attiecības ierobežojums pie , tad ir arī ierobežojums attiecībai pie . Turklāt

.

Noteikums attiecas arī uz gadījumiem, kad .

Ņemiet vērā, ka dažos gadījumos, lai atklātu nenoteiktības veida vai var prasīt atkārtotu piemērošanu L'Hopital's noteikumu.

Veida nenoteiktības utt. ar elementāru pārveidojumu palīdzību tās var viegli reducēt līdz formas nenoteiktībām vai .

4. uzdevums. Atrodiet ierobežojumu, izmantojot L'Hopital noteikumu.

RisinājumsŠeit mums ir formas nenoteiktība, jo plkst. Piemērosim L'Hopital noteikumu:

.

Pēc L'Hopital likuma piemērošanas mēs atkal ieguvām formas nenoteiktību, jo plkst. Atkal piemērojot L'Hopital noteikumu, mēs iegūstam:

.

5. Funkciju izpēte

a) Funkciju palielināšana un samazināšanās

Funkcija tiek izsaukta pieaug segmentā , Ja par jebkuru punktu un no segmenta , Kur , Nevienlīdzība tur. Ja funkcija ir nepārtraukta intervālā un , tad tā palielinās intervālā.

Funkcija tiek izsaukta samazinās segmentā , Ja par jebkuru punktu un no segmenta , Kur , Nevienlīdzība tur. Ja funkcija ir nepārtraukta intervālā un , tad tā samazinās uz intervālu.

Ja funkcija noteiktā intervālā tikai palielinās vai tikai samazinās, tad to sauc vienmuļš uz intervālu.

b) Funkciju ekstrēma

minimālais punkts funkcijas .

Ja ir -punkta apkaime tā, ka visiem punktiem no šīs apkārtnes pastāv nevienlīdzība, tad punkts tiek izsaukts maksimālais punkts funkcijas .

Funkcijas maksimālo un minimālo punktu sauc par to ekstremālie punkti.

Punktu sauc stacionārs punkts, ja nepastāv vai nav.

Ja ir tāda stacionāra punkta apkārtne, ka par un par , Tad ir funkcijas maksimālais punkts.

Ja ir tāda stacionāra punkta apkārtne, ka par un par , Tad funkcijas minimālais punkts .

a) Izliekts virziens. Līkuma punkti

izliekts uz augšu uz intervālu , ja tas atrodas zem pieskares, kas attēlota funkcijas grafikā jebkurā šī intervāla punktā.

Pietiekams nosacījums funkcijas grafika izliekumam uz augšu uz intervālu ir nevienādības izpilde jebkuram no aplūkotajiem intervāliem.

Diferencējamas funkcijas grafiku sauc izliekts uz leju uz intervālu , ja tas atrodas virs pieskares, kas attēlota funkcijas grafikā jebkurā šī intervāla punktā.

Pietiekams nosacījums funkcijas grafika lejupvērstai izliekumam uz intervālu ir nevienādības izpilde jebkuram no aplūkotajiem intervāliem.

Tiek izsaukts punkts, kurā mainās funkcijas grafika izliekuma virziens lēciena punkts.

Punkts, kurā vai nav, ir lēciena punkta abscisa, ja zīmes pa kreisi un pa labi no tā atšķiras.

d) Asimptotes

Ja attālumam no punkta funkcijas grafikā līdz noteiktai taisnei ir tendence uz nulli, punktam bezgalīgi attālinoties no sākuma, tad taisni sauc funkcijas grafika asimptote.

Ja ir tāds skaitlis, ka , tad līnija ir vertikālā asimptote.

Ja ir ierobežojumi , tad līnija ir slīpa (horizontāla pie k=0) asimptote.

e) Vispārīga funkcijas izpēte

1. Funkciju domēns

2. Grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm

3. Nepārtrauktības, pāra/nepāra un periodiskuma funkcijas izpēte

4. Funkcijas monotonitātes intervāli

5. Funkcijas ekstremālie punkti

6. Funkcijas grafika izliekuma intervāli un lēciena punkti

7. Funkcijas grafika asimptotes

8. Funkciju grafiks.

5. uzdevums. Izpētiet funkciju un izveidojiet tās grafiku.

Risinājums. 1) Funkcija ir definēta visā skaitļu rindā, izņemot punktu, kur daļdaļas saucējs iet uz nulli. . Mums ir: neietilpst šīs funkcijas definīcijas jomā. Līdz ar to šīs funkcijas stacionārie punkti ir punkti ar minimālo vērtību (kā parādīts attēlā).

8) Izmantojot iegūtos datus, izveidosim sākotnējās funkcijas grafiku: