미분 함수 그래프의 점. 기능의 차별화. 도함수를 갖는 함수의 연속성. 정리

기사의 내용

유도체– 함수의 파생물 와이 = 에프(엑스), 특정 간격으로 제공됨( ㅏ, 비) 시점에서 엑스이 간격의 함수 증분 비율이 경향이 있는 한계라고 합니다. 에프이 시점에서 인수의 증분이 0이 되는 경향이 있을 때 해당 인수의 증분에 해당합니다.

파생 상품은 일반적으로 다음과 같이 표시됩니다.

다른 명칭도 널리 사용됩니다.

즉각적인 속도.

요점을 보자 중직선으로 움직입니다. 거리 에스이동점, 일부 초기 위치에서 계산 중 0 , 시간에 따라 다름 티, 즉. 에스시간의 기능이 있다 티: 에스= 에프(티). 어느 시점에 보자 티이동점 중멀리 떨어져 있었다 에스시작 위치에서 중 0, 그리고 다음 순간에 티+D 티자신이 어떤 위치에 있는지 발견했습니다. 중 1 - 거리에 에스+D 에스초기 위치에서 ( 사진 참조.).

따라서 일정 기간 동안 D 티거리 에스금액 D만큼 변경됨 에스. 이 경우 그들은 시간 간격 D 동안 다음과 같이 말합니다. 티크기 에스수신된 증분 D 에스.

평균 속도는 모든 경우에 지점의 이동 속도를 정확하게 특성화할 수 없습니다. 중어느 시점에 티. 예를 들어, 구간 D의 시작 부분에 있는 몸체 티매우 빠르게 이동하고 마지막에는 매우 느리게 이동하면 평균 속도가 해당 지점 이동의 표시된 특징을 반영할 수 없으며 현재 이동의 실제 속도에 대한 아이디어를 제공할 수 없습니다. 티. 평균 속도를 이용하여 실제 속도를 보다 정확하게 표현하려면 더 짧은 시간이 소요됩니다. 티. 현재 지점의 이동 속도를 가장 완벽하게 특성화합니다. 티평균 속도가 D에 도달하는 한계 티® 0. 이 한계를 현재 속도라고 합니다.

따라서 주어진 순간의 이동 속도를 경로 증분 비율 D의 한계라고합니다. 에스시간 증분 D로 티, 시간 증가가 0이 되는 경향이 있는 경우. 왜냐하면

도함수의 기하학적 의미. 함수 그래프에 접함.

접선의 구성은 미분학의 탄생을 가져온 문제 중 하나입니다. 라이프니츠(Leibniz)가 미적분학에 관해 처음으로 출판한 작품은 다음과 같습니다. 분수나 무리수 양 모두 장애물이 되지 않는 최대값과 최소값, 탄젠트에 대한 새로운 방법과 이를 위한 특별한 유형의 미적분학.

곡선을 함수의 그래프라 하자 와이 =에프(엑스) 직각 좌표계( 센티미터. 쌀.).

어떤 가치에서는 엑스기능 문제 와이 =에프(엑스). 이러한 값 엑스그리고 와이곡선의 점이 일치합니다. 중 0(엑스, 와이). 인수의 경우 엑스주다 증분 D 엑스, 인수의 새 값 엑스+D 엑스새로운 함수 값에 해당합니다. 와이+디 와이 = 에프(엑스 + 디 엑스). 곡선의 해당 점이 포인트가 됩니다. 중 1(엑스+D 엑스,와이+D 와이). 시컨트를 그리면 중 0중 1이고 j로 표시됨 축의 양의 방향과 횡단면이 이루는 각도 황소, 그림을 보면 즉시 알 수 있다.

지금이라면 D 엑스 0이 되는 경향이 있고 그 다음에는 포인트 중 1은 곡선을 따라 이동하여 점에 접근합니다. 중 0 및 각도 제이 D로 변경 엑스. ~에 Dx® 0 각도 j는 특정 한계 a에 가까워지고 점을 통과하는 직선 중 0이고 x축의 양의 방향인 각도 a를 갖는 구성요소가 원하는 접선이 됩니다. 기울기는 다음과 같습니다.

따라서, 에프´( 엑스) = tga

저것들. 파생 가치 에프´( 엑스) 주어진 인수 값에 대해 엑스함수 그래프의 접선에 의해 형성된 각도의 접선과 같습니다. 에프(엑스) 해당 지점에서 중 0(엑스,와이) 양의 축 방향 황소.

기능의 미분성.

정의. 기능의 경우 와이 = 에프(엑스) 해당 지점에 파생 상품이 있습니다. 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 함수가 미분 가능합니다.

도함수를 갖는 함수의 연속성. 정리.

기능의 경우 와이 = 에프(엑스)는 어느 시점에서 미분가능하다 엑스 = 엑스 0이면 이 시점에서 연속이다.

따라서 함수는 불연속점에서 도함수를 가질 수 없습니다. 반대의 결론은 올바르지 않습니다. 어느 순간부터 엑스 = 엑스 0 기능 와이 = 에프(엑스)가 연속적이라고 해서 이 시점에서 미분 가능하다는 의미는 아닙니다. 예를 들어, 함수 와이 = |엑스| 모두를 위해 지속적으로 엑스(–Ґ x x = 0에는 도함수가 없습니다. 이 시점에는 그래프에 접선이 없습니다. 오른쪽 접선과 왼쪽 접선이 있지만 일치하지 않습니다.

미분 가능한 함수에 관한 몇 가지 정리. 미분의 근에 관한 정리(Rolle의 정리).기능의 경우 에프(엑스)은 세그먼트에서 연속적입니다. [ㅏ,비]는 이 세그먼트의 모든 내부 지점과 끝에서 미분 가능합니다. 엑스 = ㅏ그리고 엑스 = 비 0으로 간다( 에프(ㅏ) = 에프(비) = 0), 세그먼트 내부 [ ㅏ,비] 점이 하나 이상 있습니다 엑스= 와 함께, ㅏ c b, 여기서 도함수는 에프ў( 엑스)는 0이 됩니다. 즉, 에프ў( 씨) = 0.

유한 증분 정리(라그랑주의 정리).기능의 경우 에프(엑스)는 구간 [ ㅏ, 비]이고 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, 그런 다음 세그먼트 내부에서 [ ㅏ, 비] 점이 하나 이상 있습니다. 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

에프(비) – 에프(ㅏ) = 에프ў( 씨)(비– ㅏ).

두 함수의 증분 비율에 관한 정리(Cauchy의 정리).만약에 에프(엑스) 그리고 g(엑스) – 세그먼트에서 연속되는 두 가지 기능 [ㅏ, 비] 이 세그먼트의 모든 내부 지점에서 미분 가능하며, gў( 엑스)는 이 세그먼트 내부 어디에서도 사라지지 않으며, 세그먼트 내부에서는 [ ㅏ, 비] 그런 점이 있어요 엑스 = 와 함께, ㅏㄷㄷ 그거

다양한 주문의 파생 상품.

기능을 보자 와이 =에프(엑스) 는 어떤 구간에서 미분 가능합니다 [ ㅏ, 비]. 파생 가치 에프 ў( 엑스) 일반적으로 다음 사항에 따라 달라집니다. 엑스, 즉. 유도체 에프 ў( 엑스)는 또한 다음의 함수이다. 엑스. 이 함수를 미분할 때, 우리는 소위 함수의 2차 도함수를 얻습니다. 에프(엑스), 이는 다음과 같이 표시됩니다. 에프 ўў ( 엑스).

유도체 N-기능의 순서 에프(엑스)는 도함수의 (1차) 도함수라고 합니다. N- 1- th는 기호로 표시됩니다. 와이(N) = (와이(N– 1))ў.

다양한 주문의 차등.

기능 미분 와이 = 에프(엑스), 어디 엑스– 독립변수, 예 다이 = 에프 ў( 엑스)dx, 일부 기능 엑스, 하지만 에서 엑스첫 번째 요소만 의존할 수 있습니다. 에프 ў( 엑스), 두 번째 요소( dx)는 독립변수의 증분입니다. 엑스이 변수의 값에 의존하지 않습니다. 왜냐하면 다이의 기능이 있습니다 엑스, 그러면 우리는 이 함수의 미분을 결정할 수 있습니다. 함수의 미분의 미분을 이 함수의 2차 미분 또는 2차 미분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. 디 2와이:

디(dx) = 디 2와이 = 에프 ўў( 엑스)(dx) 2 .

미분 N- 1차 미분을 미분의 1차 미분이라고 합니다. N- 1- 번째 순서:

d n y = 디(디엔–1와이) = 에프(N)(엑스)dx(N).

부분 파생.

함수가 하나의 인수에 의존하지 않고 여러 인수에 의존하는 경우 x 나는(나 1부터 다양하다 N,나= 1, 2,… N),에프(엑스 1,엑스 2,… xn) 그런 다음 미분 미적분학에서는 하나의 인수만 변경될 때 여러 변수의 함수 변화율을 특성화하는 편도함수 개념이 도입됩니다. 예를 들어, x 나는. 에 관한 1차 편도함수 x 나는는 일반 도함수로 정의되며, 다음을 제외한 모든 인수는 다음과 같이 가정됩니다. x 나는, 일정한 값을 유지합니다. 편미분의 경우 표기법이 도입됩니다.

이러한 방식으로 정의된 1차 편도함수(동일한 인수의 함수)는 차례로 편도함수도 가질 수 있으며, 이는 2차 편도함수 등입니다. 서로 다른 주장에서 가져온 이러한 파생물을 혼합이라고 합니다. 동일한 차수의 연속 혼합 도함수는 미분 차수에 의존하지 않고 서로 동일합니다.

안나 추가이노바

유도체 기능한 지점에서 0이 되는 경향이 있는 경우 함수 증분 대 인수 증분 비율의 한계를 호출합니다.

파생 상품을 찾는 기본 규칙

- 및 -가 점 에서 미분 가능한 함수인 경우(즉, 점에서 도함수를 갖는 함수), 다음은 다음과 같습니다.

4) .

기본 기능의 파생물 표

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

복잡한 함수를 미분하는 규칙.만약 그리고 , 즉 , 여기서 및 파생 상품이 있는 경우

매개변수적으로 지정된 함수의 미분. 변수에 대한 변수의 종속성을 매개변수를 사용하여 매개변수적으로 지정합니다.

작업 3. 이 함수의 도함수를 찾아보세요.

1)

해결책. 도함수를 찾는 규칙 2와 도함수 표의 공식 1과 2를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

해결책.파생 상품을 찾기 위한 규칙 4와 파생 상품 표의 공식 1과 13을 적용하면 다음을 얻습니다.

.

해결책.도함수를 찾기 위한 규칙 3과 도함수 표의 공식 5와 11을 적용하면 다음을 얻습니다.

해결책., 여기서 , 복소 함수의 도함수를 찾는 공식에 따라 다음을 얻습니다.

해결책. 그런 다음 매개변수적으로 지정된 함수의 도함수를 찾는 공식에 따라 다음을 얻습니다.

4. 고차 파생상품. 로피탈의 법칙.

함수의 2차 도함수파생 상품의 파생 상품이라고합니다. 즉 . 2차 도함수에는 다음 표기법이 사용됩니다: 또는 , 또는 .

함수의 1차 도함수를 차차 도함수의 도함수라고 합니다. 차수 도함수의 경우 다음 표기법이 사용됩니다: 또는 , 또는 .

로피탈의 법칙.함수와 점을 근방에서 미분 가능하게 하면 도함수는 사라지지 않습니다. 함수 및 가 동시에 에서 무한히 작거나 무한히 크면 에서 비율의 한계가 있고 에서 비율에도 한계가 있습니다. 게다가

.

이 규칙은 다음과 같은 경우에도 적용됩니다.

어떤 경우에는 유형의 불확실성을 공개하려면 로피탈의 규칙을 반복적으로 적용해야 할 수도 있습니다.

유형 불확실성 등 기본 변환의 도움으로 형태의 불확실성으로 쉽게 축소될 수 있습니다.

작업 4. 로피탈의 법칙을 이용하여 극한을 구합니다.

해결책여기에는 형태의 불확실성이 있습니다. 왜냐하면 에 . 로피탈의 법칙을 적용해 보겠습니다.

.

로피탈의 법칙을 적용한 후 우리는 다시 형태의 불확실성을 얻었습니다. 에 . 로피탈의 법칙을 다시 적용하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

.

5. 기능 연구

a) 증가 및 감소 기능

함수가 호출됩니다. 증가세그먼트에 , 어떤 점과 세그먼트에서 , 여기서 불평등이 유지됩니다. 함수가 구간 및 에 대해 연속이면 구간에 따라 증가합니다.

함수가 호출됩니다. 감소하는세그먼트에 , 어떤 점과 세그먼트에서 , 여기서 불평등이 유지됩니다. 함수가 구간 및 에 대해 연속이면 구간에서 감소합니다.

함수가 주어진 간격에서만 증가하거나 감소하는 경우 이를 호출합니다. 단조로운간격에.

b) 함수의 극값

최소 포인트기능 .

포인트 인근이 있는 경우 이 이웃의 모든 점에 대해 부등식이 유지되면 그 점은 다음과 같이 호출됩니다. 최대 포인트기능 .

함수의 최대점과 최소점을 함수라고 합니다. 극한점.

점이라고 합니다 정지점,존재하지 않거나 존재하지 않는 경우.

for 및 for 와 같은 고정점의 이웃이 있는 경우 는 함수의 최대점입니다.

for 및 for와 같은 고정점의 주변이 있는 경우 함수의 -최소 지점입니다.

ㅏ) 볼록한 방향. 변곡점

위로 볼록하다간격에 , 이 간격의 임의 지점에서 함수 그래프에 표시된 접선 아래에 위치하는 경우.

구간에 대한 함수 그래프의 상향 볼록성에 대한 충분 조건은 고려된 구간에 대한 부등식을 충족하는 것입니다.

미분 가능한 함수의 그래프는 다음과 같습니다. 볼록한 아래쪽간격에 , 이 간격의 임의 지점에서 함수 그래프에 표시된 접선 위에 위치하는 경우.

구간에 대한 함수 그래프의 하향 볼록성에 대한 충분 조건은 고려된 구간에 대한 부등식을 충족하는 것입니다.

함수 그래프의 볼록한 방향이 바뀌는 점을 '점'이라고 합니다. 변곡점.

존재하거나 존재하지 않는 지점은 왼쪽과 오른쪽의 부호가 다른 경우 변곡점의 가로좌표입니다.

d) 점근선

함수 그래프의 한 점에서 특정 직선까지의 거리가 점이 원점에서 무한히 멀어짐에 따라 0이 되는 경향이 있는 경우, 이 직선을 함수 그래프의 점근선.

와 같은 숫자가 있으면 그 줄은 다음과 같습니다. 수직 점근선.

제한이 있는 경우 , 그러면 라인은 다음과 같습니다 경사(k=0에서 수평) 점근선.

e) 기능에 대한 일반적인 연구

1. 기능 영역

2. 그래프와 좌표축의 교점

3. 연속성, 짝수/홀수 및 주기성에 대한 함수 연구

4. 함수의 단조성 간격

5. 함수의 극점

6. 함수 그래프의 볼록성 구간과 변곡점

7. 함수 그래프의 점근선

8. 함수 그래프.

작업 5. 함수를 탐색하고 그래프를 구성합니다.

해결책. 1) 함수는 분수의 분모가 0이 되는 점을 제외한 수직선 전체에 정의됩니다. . 우리는 이 기능의 정의 영역에 속하지 않습니다. 결과적으로, 이 함수의 고정점은 최소값을 갖는 점입니다(그림 참조).

8) 얻은 데이터를 사용하여 원래 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다.