Tačke na grafu diferencijabilne funkcije. Diferencijacija funkcija. Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema

Sadržaj članka

DERIVAT– derivacija funkcije y = f(x), dat u određenom intervalu ( a, b) u tački x ovog intervala naziva se granica kojoj teži omjer prirasta funkcije f u ovom trenutku na odgovarajući prirast argumenta kada inkrement argumenta teži nuli.

Izvod se obično označava na sljedeći način:

Druge oznake se također široko koriste:

Trenutna brzina.

Pusti poentu M kreće se pravolinijski. Razdaljina s pokretna tačka, računajući od neke početne pozicije M 0 , zavisi od vremena t, tj. s postoji funkcija vremena t: s= f(t). Neka u nekom trenutku t pokretna tačka M bio na distanci s sa početne pozicije M 0, a u nekom sledećem trenutku t+D t našla u poziciji M 1 - na daljinu s+D s sa početne pozicije ( vidi sliku.).

Dakle, tokom određenog vremenskog perioda D t razdaljina s promijenjen za iznos D s. U ovom slučaju kažu da je tokom vremenskog intervala D t magnitude s primljeno povećanje D s.

Prosječna brzina ne može u svim slučajevima tačno okarakterizirati brzinu kretanja tačke M u određenom trenutku t. Ako, na primjer, tijelo na početku intervala D t kretao vrlo brzo, a na kraju vrlo sporo, tada prosječna brzina neće moći odraziti naznačene karakteristike kretanja točke i dati predstavu o pravoj brzini njenog kretanja u ovom trenutku t. Da biste preciznije izrazili pravu brzinu koristeći prosječnu brzinu, potrebno je da uzmete kraći vremenski period D t. Najpotpunije karakterizira brzinu kretanja tačke u ovom trenutku t granica kojoj teži prosječna brzina u D t® 0. Ovo ograničenje se naziva trenutna brzina:

Dakle, brzina kretanja u datom trenutku naziva se granica omjera prirasta putanje D s na vremensko povećanje D t, kada vremenski prirast teži nuli. Jer

Geometrijsko značenje izvedenice. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangentnih linija jedan je od onih problema koji su doveli do rađanja diferencijalnog računa. Prvi objavljeni rad vezan za diferencijalni račun, koji je napisao Leibniz, nosio je naslov Nova metoda maksimuma i minimuma, kao i tangente, za koje ni razlomke ni iracionalne veličine nisu prepreka, i posebna vrsta računa za to.

Neka je kriva grafik funkcije y =f(x) u pravougaonom koordinatnom sistemu ( cm. pirinač.).

Po nekoj vrijednosti x funkcija je bitna y =f(x). Ove vrijednosti x I y tačka na krivoj odgovara M 0(x, y). Ako je argument x dati povećanje D x, zatim novu vrijednost argumenta x+D x odgovara novoj funkcijskoj vrijednosti y+ D y = f(x + D x). Odgovarajuća tačka krive će biti tačka M 1(x+D x,y+D y). Ako nacrtate sekantu M 0M 1 i označeno sa j kut formiran transverzalom s pozitivnim smjerom ose Ox, odmah je jasno iz slike da .

Ako sada D x teži nuli, a zatim tački M 1 se kreće duž krivulje, približavajući se tački M 0, i ugao j promjene sa D x. At Dx® 0 ugao j teži određenoj granici a i pravoj liniji koja prolazi kroz tačku M 0 i komponenta s pozitivnim smjerom x-ose, ugao a, bit će željena tangenta. Njen nagib je:

dakle, f´( x) = tga

one. vrijednost derivata f´( x) za datu vrijednost argumenta x jednak je tangentu ugla koji formira tangenta na graf funkcije f(x) u odgovarajućoj tački M 0(x,y) sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Diferencijalnost funkcija.

Definicija. Ako je funkcija y = f(x) ima derivaciju u tački x = x 0, tada je funkcija u ovom trenutku diferencibilna.

Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema.

Ako je funkcija y = f(x) se može razlikovati u nekom trenutku x = x 0, onda je u ovoj tački kontinuirano.

Dakle, funkcija ne može imati izvod u tačkama diskontinuiteta. Suprotan zaključak je netačan, tj. iz činjenice da je u nekom trenutku x = x 0 funkcija y = f(x) je kontinuirano ne znači da je u ovom trenutku diferencijabilno. Na primjer, funkcija y = |x| kontinuirano za sve x(–Ґ x x = 0 nema izvod. U ovom trenutku nema tangente na graf. Postoje desna i lijeva tangenta, ali se ne poklapaju.

Neke teoreme o diferencijabilnim funkcijama. Teorema o korijenima derivacije (Rolleova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na segmentu [a,b], diferenciran je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta i na krajevima x = a I x = b ide na nulu ( f(a) = f(b) = 0), zatim unutar segmenta [ a,b] postoji barem jedna tačka x= With, a c b, u kojem je izvod fў( x) ide na nulu, tj. fў( c) = 0.

Teorema konačnog priraštaja (Lagrangeova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na intervalu [ a, b] i diferencibilan je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji barem jedna tačka With, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorema o omjeru prirasta dvije funkcije (Cauchyjev teorem). Ako f(x) I g(x) – dvije funkcije kontinuirane na segmentu [a, b] i diferenciran na svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, i gў( x) ne nestaje nigdje unutar ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji takva tačka x = With, a c b to

Derivati ​​raznih redova.

Neka funkcija y =f(x) je diferencibilan na nekom intervalu [ a, b]. Vrijednosti derivata f ў( x), općenito govoreći, zavise od x, tj. derivat f ў( x) je također funkcija x. Prilikom diferenciranja ove funkcije dobijamo takozvani drugi izvod funkcije f(x), što je označeno f ўў ( x).

Derivat n- th red funkcije f(x) se naziva derivat (prvog reda) izvoda n- 1- th i označen je simbolom y(n) = (y(n– 1))ŭ.

Diferencijali raznih redova.

Funkcijski diferencijal y = f(x), Gdje x– nezavisna varijabla, da dy = f ў( x)dx, neke funkcije iz x, ali od x samo prvi faktor može zavisiti f ў( x), drugi faktor ( dx) je prirast nezavisne varijable x i ne zavisi od vrednosti ove varijable. Jer dy postoji funkcija iz x, tada možemo odrediti diferencijal ove funkcije. Diferencijal diferencijala funkcije naziva se drugi diferencijal ili diferencijal drugog reda ove funkcije i označava se d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencijal n- prvog reda naziva se prvi diferencijal diferencijala n- 1- red:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Parcijalni derivat.

Ako funkcija ne zavisi od jednog, već od nekoliko argumenata x i(i varira od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada se u diferencijalni račun uvodi koncept parcijalnog izvoda, koji karakterizira brzinu promjene funkcije nekoliko varijabli kada se promijeni samo jedan argument, npr. x i. Parcijalni izvod 1. reda u odnosu na x i je definiran kao običan derivat, a pretpostavlja se da su svi argumenti osim x i, zadržati konstantne vrijednosti. Za parcijalne izvode uvodi se notacija

Ovako definisane parcijalne derivacije 1. reda (kao funkcije istih argumenata) mogu, zauzvrat, imati i parcijalne izvode, to su parcijalne derivacije drugog reda, itd. Takvi derivati ​​uzeti iz različitih argumenata nazivaju se mješoviti. Kontinuirane mješovite derivacije istog reda ne zavise od reda diferencijacije i jednake su jedna drugoj.

Anna Chugainova

Derivat funkcije u tački se naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da teži nuli.

Osnovna pravila za pronalaženje izvoda

Ako su - i - diferencijabilne funkcije u točki , (tj. funkcije koje imaju izvode u točki), tada:

4) .

Tablica izvoda osnovnih funkcija

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Pravilo za razlikovanje složene funkcije. Ako i , tj. , gdje i imaju derivate, onda

Diferencijacija funkcije specificirane parametarski. Neka se zavisnost varijable od varijable parametarski specificira pomoću parametra:

Zadatak 3. Pronađite derivate ovih funkcija.

1)

Rješenje. Primjenjujući pravilo 2 za pronalaženje izvoda i formule 1 i 2 tablice derivacija, dobijamo:

Rješenje. Primjenjujući pravilo 4 za pronalaženje izvoda i formule 1 i 13 tablice derivacija, dobijamo:

.

Rješenje. Primjenjujući pravilo 3 za pronalaženje izvoda i formule 5 i 11 tablice izvoda, dobijamo:

Rješenje. Uz pretpostavku , gdje , prema formuli za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije, dobivamo:

Rješenje. Imamo: Zatim, prema formuli za pronalaženje derivacije funkcije određene parametarski, dobijamo:

4. Derivati ​​višeg reda. L'Hopitalovo pravilo.

Izvod funkcije drugog reda naziva se derivat njegovog derivata, tj. . Za drugi izvod se koriste sljedeće oznake: ili , ili .

Izvod funkcije 1. reda naziva se derivat njegovog izvoda trećeg reda. Za izvod th reda koriste se sljedeće oznake: ili , ili .

L'Hopitalovo pravilo. Neka su funkcije i diferencijabilne u susjedstvu točke i derivacija ne nestaje. Ako su funkcije i istovremeno ili beskonačno male ili beskonačno velike na , i postoji granica omjera na , tada postoji i granica za omjer na . Štaviše

.

Pravilo se također primjenjuje kada .

Imajte na umu da u nekim slučajevima otkrivanje nesigurnosti tipa ili može zahtijevati ponovnu primjenu L'Hopitalovog pravila.

Nesigurnosti tipa itd. uz pomoć elementarnih transformacija lako se mogu svesti na nesigurnosti oblika ili .

Zadatak 4. Pronađite granicu koristeći L'Hopitalovo pravilo.

Rješenje Ovdje imamo nesigurnost oblika , jer u . Primijenimo L'Hopitalovo pravilo:

.

Nakon primjene L'Hopitalovog pravila, opet smo dobili nesigurnost forme, jer u . Ponovo primjenjujući L'Hopitalovo pravilo, dobijamo:

.

5. Studija funkcije

a) rastuće i opadajuće funkcije

Funkcija se poziva povećanje na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu i za , tada se povećava na intervalu.

Funkcija se poziva opadajući na segmentu , ako za bilo koje točke i iz segmenta , gdje , vrijedi nejednakost. Ako je funkcija kontinuirana na intervalu i za , tada se smanjuje na intervalu.

Ako se funkcija samo povećava ili samo smanjuje u datom intervalu, onda se ona poziva monotono na intervalu.

b) Ekstremi funkcija

minimalna tačka funkcije .

Ako postoji -susedstvo tačke tako da za sve tačke iz ove okoline vrijedi nejednakost, tada se tačka naziva maksimalni poen funkcije .

Maksimalne i minimalne tačke funkcije nazivaju se njenim ekstremne tačke.

Tačka se zove stacionarna tačka, ako ili ne postoji.

Ako postoji -susjedstvo stacionarne točke takva da je za i za , Tada je maksimalna točka funkcije.

Ako postoji -susjedstvo stacionarne točke tako da je za i za , tada je -minimalna točka funkcije .

a) Konveksni smjer. Pregibne tačke

konveksno gore na intervalu , ako se nalazi ispod tangente ucrtane na graf funkcije u bilo kojoj tački ovog intervala.

Dovoljan uslov za uzlaznu konveksnost grafa funkcije na intervalu je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od razmatranih intervala.

Poziva se graf diferencijabilne funkcije konveksno nadole na intervalu , ako se nalazi iznad tangente ucrtane na graf funkcije u bilo kojoj tački ovog intervala.

Dovoljan uslov za silaznu konveksnost grafa funkcije na intervalu je ispunjenje nejednakosti za bilo koji od razmatranih intervala.

Tačka u kojoj se mijenja smjer konveksnosti grafa funkcije naziva se tačka pregiba.

Tačka u kojoj ili ne postoji je apscisa tačke pregiba ako su znakovi lijevo i desno od nje različiti.

d) Asimptote

Ako udaljenost od tačke na grafu funkcije do određene prave linije teži nuli dok se tačka beskonačno udaljava od početka, tada se prava linija naziva asimptota grafa funkcije.

Ako postoji broj takav da , tada je linija vertikalna asimptota.

Ako postoje granice , onda je linija kosa (horizontalna na k=0) asimptota.

e) Opća studija funkcije

1. Domen funkcije

2. Tačke presjeka grafa sa koordinatnim osa

3. Proučavanje funkcije za kontinuitet, par/nepar i periodičnost

4. Intervali monotonosti funkcije

5. Ekstremne tačke funkcije

6. Intervali konveksnosti i točke pregiba grafa funkcije

7. Asimptote grafa funkcije

8. Funkcijski graf.

Zadatak 5. Istražite funkciju i izgradite njen graf.

Rješenje. 1) Funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim na tački gdje imenilac razlomka ide na nulu. . Imamo: ne pripada domenu definicije ove funkcije. Prema tome, stacionarne tačke ove funkcije su tačke sa minimalnom vrednošću (kao što je prikazano na slici).

8) Koristeći dobijene podatke, napravimo graf izvorne funkcije: