Тіла під впливом земного тяжіння. Рух тіл під впливом сили тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння: формули для розв'язання задач

З трактування другого закону Ньютона, можна дійти невтішного висновку, що зміна руху відбувається за допомогою сили. Механіка розглядає сили різної фізичної природи. Багато хто з них визначається за допомогою дії сил тяжіння.

У 1862 році було відкрито закон всесвітнього тяжіння І. Ньютоном. Він припустив, що сили, що утримують Місяць, тієї ж природи, що й сили, що змушують яблуко падати на Землю. Сенс гіпотези полягає у наявності дії сил тяжіння, спрямованих лінією і які з'єднують центри мас, як зображено малюнку 1 . 10 . 1 . Кулясте тіло має центр маси, що збігається з центром кулі.

Малюнок 1 . 10 . 1 . Гравітаційні сили тяжіння між тілами. F 1 → = - F 2 → .

Визначення 1

За відомих напрямів рухів планет Ньютон намагався з'ясувати, які сили діють ними. Цей процес отримав назву зворотного завдання механіки.

Основне завдання механіки – визначення координат тіла відомої маси з його швидкістю у будь-який момент часу за допомогою відомих сил, що діють на тіло, та заданою умовою (пряме завдання). Зворотна виконується з визначенням діючих сил на тіло з відомим його напрямом. Такі завдання призвели вченого до відкриття визначення закону всесвітнього тяжіння.

Визначення 2

Всі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Значення G визначає коефіцієнт пропорційності всіх тіл у природі, що називається гравітаційною постійною і позначається за формулою G = 6 , 67 · 10 - 11 Н · м 2 / кг 2 (С І) .

Більшість явищ у природі пояснюються наявністю дії сили всесвітнього тяжіння. Рух планет, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу Землі – все пояснюється законом тяжіння і динаміки.

Визначення 3

Вияв сили тяжіння характеризується наявністю сили тяжіння. Так називається сила тяжіння тіл до Землі та поблизу її поверхні.

Коли М позначається як маса Землі, R З – радіус, m – маса тіла, то формула сили тяжіння набуває вигляду:

F = G M R З 2 m = mg.

Де g – прискорення вільного падіння, що дорівнює g = G M R З 2 .

Сила тяжіння спрямована до центру Землі, як показано на прикладі Місяць-Земля. За відсутності дії інших сил тіло рухається із прискоренням вільного падіння. Його середнє значення дорівнює 9,81 м/с2. При відомому G і радіусі R 3 = 6 38 · 10 6 м проводяться обчислення маси Землі М за формулою:

M = g R 3 2 G = 5, 98 · 10 24 до р.

Якщо тіло віддаляється від Землі, тоді дія сили тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються назад пропорційно квадрату відстані r до центру. Малюнок 1 . 10 . 2 показує, як змінюється сила тяжіння, що діє на космонавта корабля при віддаленні від Землі. Очевидно, що F притягування його до Землі дорівнює 700 Н.

Малюнок 1 . 10 . 2 . Зміна сили тяжіння, що діє на космонавта при віддаленні Землі.

Приклад 1

Земля-Луна підходить як приклад взаємодії системи двох тіл.

Відстань до Місяця – r Л = 3 , 84 · 10 6 м. Воно в 60 разів більше радіусу Землі R З. Отже, за наявності земного тяжіння прискорення вільного падіння α Л орбіти Місяця становитиме α Л = g R З r Л 2 = 9,81 м/с 2 60 2 = 0,0027 м/с 2 .

Воно спрямоване до центру Землі і отримало назву доцентрового. Розрахунок проводиться за формулою a Л = ? 2 r Л = 4 ? Результати і розрахунки, виконані різними способами, говорять про те, що Ньютон мав рацію у своєму припущенні єдиної природи сили, що утримує Місяць на орбіті, і сили тяжіння.

Місяць має власне гравітаційне поле, яке визначає прискорення вільного падіння g на поверхні. Маса Місяця у 81 разів менша за масу Землі, а радіус у 3,7 рази. Звідси видно, що прискорення g Л слід визначати з виразу:

g Л = G M Л R Л 2 = G M З 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 м/с 2 .

Така слабка гравітація характерна для космонавтів, які перебувають на Місяці. Тому можна робити величезні стрибки та кроки. Стрибок вгору на метр Землі відповідає семиметровому на Місяці.

Рух штучних супутників зафіксовано поза земної атмосфери, на них діють сили тяжіння Землі. Траєкторія космічного тіла може змінюватись в залежності від початкової швидкості. Рух штучного супутника по навколоземній орбіті наближено приймається як відстань до центру Землі, що дорівнює радіусу R З. Вони літають на висотах 200 - 300 км.

Визначення 4

Звідси випливає, що доцентрове прискорення супутника, яке повідомляється силами тяжіння, дорівнює прискоренню вільного падіння g . Швидкість супутника прийме позначення 1 . Її називають першою космічною швидкістю.

Застосувавши кінематичну формулу для доцентрового прискорення, отримуємо

a n = ? 1 2 R З = g , ? 1 = g R З = 7, 91 · 10 3 м / с.

За такої швидкості супутник зміг облетіти Землю за час, що дорівнює T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 м і н 12 с.

Але період звернення супутника по круговій орбіті поблизу Землі набагато більше, ніж зазначено вище, оскільки існує різницю між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі.

Супутник рухається за принципом вільного падіння, що віддалено схоже на траєкторію снаряда або балістичної ракети. Різниця полягає у великій швидкості супутника, причому радіус кривизни його траєкторії досягає довжини радіусу Землі.

Супутники, які рухаються круговими траєкторіями на великих відстанях, мають ослаблене земне тяжіння, обернено пропорційне квадрату радіуса r траєкторії. Тоді знаходження швидкості супутника слідує за умовою:

υ 2 до = g R 3 2 r 2 , υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r .

Тому наявність супутників на високих орбітах говорить про меншу швидкість їх руху, ніж з навколоземної орбіти. Формула періоду звернення дорівнює:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR з υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 приймає значення періоду звернення супутника навколоземною орбітою. Т збільшується з розмірами радіуса орбіти. Якщо r має значення 6 , 6 R 3 то супутника дорівнює 24 годинах. При його запуску в площині екватора спостерігатиметься, як висить над деякою точкою земної поверхні. Застосування таких супутників відоме у системі космічного радіозв'язку. Орбіту, що має радіус r = 6, 6 R З, називають геостаціонарною.

Малюнок 1 . 10 . 3 . Модель руху супутників.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дія сил всесвітнього тяжіння в природі пояснює багато явищ: рух планет у Сонячній системі, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу поверхні Землі – всі вони знаходять пояснення на основі закону всесвітнього тяжіння та законів динаміки.

Закон всесвітнього тяжіння пояснює механічний устрій Сонячної системи, і закони Кеплера, що описують траєкторії руху планет, можуть бути виведені з нього. Для Кеплера його закони мали суто описовий характер - вчений просто узагальнив свої спостереження в математичній формі, не підвівши під формули жодних теоретичних підстав. У великій системі світоустрою по Ньютону закони Кеплера стають прямим наслідком універсальних законів механіки та закону всесвітнього тяжіння. Тобто ми знову спостерігаємо, як емпіричні висновки, одержані на одному рівні, перетворюються на строго обґрунтовані логічні висновки при переході на наступний ступінь поглиблення наших знань про світ.

Ньютон перший висловив думку, що гравітаційні сили визначають як рух планет Сонячної системи; вони діють між будь-якими тілами Всесвіту. Одним із проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння – так прийнято називати силу тяжіння тіл до Землі поблизу її поверхні.

Якщо M – маса Землі, RЗ – її радіус, m – маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює

де g - Прискорення вільного падіння;

біля поверхні Землі

Сила тяжіння спрямовано центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає Землю із прискоренням вільного падіння.

Середнє значення прискорення вільного падіння різних точок поверхні Землі дорівнює 9,81 м/с2. Знаючи прискорення вільного падіння та радіус Землі (RЗ = 6,38 · 106 м), можна обчислити масу Землі

Картину пристрою сонячної системи, що випливає з цих рівнянь і об'єднує земну та небесну гравітацію, можна зрозуміти на прикладі. Припустимо, ми стоїмо біля краю прямовисної скелі, поруч гармата та гірка гарматних ядер. Якщо просто скинути ядро ​​з краю урвища по вертикалі, воно почне падати вниз прямовисно та рівноприскорено. Його рух описуватиметься законами Ньютона для рівноприскореного руху тіла з прискоренням g. Якщо тепер випустити ядро ​​з гармати в напрямку обрію, воно полетить - і падатиме по дузі. І в цьому випадку його рух описуватиметься законами Ньютона, тільки тепер вони застосовуються до тіла, що рухається під впливом сили тяжіння і володіє якоюсь початковою швидкістю в горизонтальній площині. Тепер, раз-по-раз заряджаючи в гармату все важче ядро ​​і стріляючи, ви виявите, що, оскільки кожне наступне ядро ​​вилітає зі стовбура з більшою початковою швидкістю, ядра падають все далі і далі від підніжжя скелі.

Тепер уявімо, що ми забили в гармату стільки пороху, що швидкості ядра вистачає, щоб облетіти навколо земної кулі. Якщо знехтувати опором повітря, ядро, облетівши навколо Землі, повернеться у вихідну точку точно з тією ж швидкістю, з якою воно спочатку вилетіло з гармати. Що буде далі, зрозуміло: ядро ​​на цьому не зупиниться і продовжуватиме намотувати коло за колом навколо планети.

Іншими словами, ми отримаємо штучний супутник, що обертається навколо Землі по орбіті, подібно до природного супутника - Місяцю.

Так поетапно ми перейшли від опису руху тіла, що падає виключно під впливом «земної» гравітації (ньютоновського яблука), до опису руху супутника (Луни) орбітою, не змінюючи при цьому природи гравітаційного впливу з «земної» на «небесну». Ось це прозріння і дозволило Ньютону зв'язати дві сили гравітаційного тяжіння, що воєдино вважалися до нього різними за своєю природою.

При віддаленні від Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються назад пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Прикладом системи двох тіл, що взаємодіють, може служити система Земля-Місяць. Місяць перебуває від Землі з відривом rЛ = 3,84·106 м. Ця відстань приблизно 60 разів перевищує радіус Землі RЗ. Отже, прискорення вільного падіння aЛ, обумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить

З таким прискоренням, спрямованим до центру Землі, Місяць рухається орбітою. Отже, це прискорення є доцентровим прискоренням. Його можна розрахувати за кінематичною формулою для доцентрового прискорення

де T = 27,3 діб - період звернення Місяця навколо Землі.

Збіг результатів розрахунків, виконаних різними способами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, та сили тяжіння.

Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння gЛ її поверхні. Маса Місяця в 81 раз менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі.

Тому прискорення gЛ визначиться виразом

В умовах такої слабкої гравітації виявилися космонавти, які висадилися на Місяці. Людина за таких умов може здійснювати гігантські стрибки. Наприклад, якщо людина в земних умовах підстрибує на висоту 1 м, то на Місяці вона могла б підстрибнути на висоту понад 6 м.

Розглянемо питання про штучні супутники Землі. Штучні супутники Землі рухаються поза земної атмосфери, і них діють лише сили тяжіння із боку Землі.

Залежно від початкової швидкості, траєкторія космічного тіла може бути різною. Розглянемо випадок руху штучного супутника по круговій навколоземній орбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна приблизно прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу RЗ. Тоді доцентрове прискорення супутника, що повідомляється йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через 1 - така швидкість називають першою космічною швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для доцентрового прискорення, отримаємо

Рухаючись із такою швидкістю, супутник облітав би Землю за час.

Насправді період звернення супутника по круговій орбіті поблизу Землі трохи перевищує зазначене значення через відмінність між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі. Рух супутника можна розглядати як вільне падіння, подібне до руху снарядів або балістичних ракет. Відмінність полягає в тому, що швидкість супутника настільки велика, що радіус кривизни його траєкторії дорівнює радіусу Землі.

Для супутників, що рухаються круговими траєкторіями на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіуса r траєкторії. Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менша, ніж на навколоземній орбіті.

Період звернення супутника зростає зі збільшенням радіусу орбіти. Неважко підрахувати, що з радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6 RЗ, період звернення супутника виявиться рівним 24 годин. Супутник з таким періодом обігу, запущений у площині екватора, нерухомо висітиме над деякою точкою земної поверхні. Такі супутники використовують у системах космічної радіозв'язку. Орбіта з радіусом r = 6,6 RЗ називається геостаціонарною.

Другою космічною швидкістю називається мінімальна швидкість, яку потрібно повідомити космічному кораблю біля Землі, щоб він, подолавши земне тяжіння, перетворився на штучний супутник Сонця (штучна планета). При цьому корабель буде віддалятися від Землі параболічною траєкторією.

Малюнок 5 ілюструє космічні швидкості. Якщо швидкість космічного корабля дорівнює ? При початкових швидкостях, що перевищують 1, але менших 2 = 11,2 · 103 м / с, орбіта корабля буде еліптичною. При початковій швидкості υ2 корабель рухатиметься по параболі, а за ще більшої початкової швидкості – по гіперболі.

Космічні швидкості

Вказано швидкості поблизу поверхні Землі: 1) υ = υ1 – кругова траєкторія;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболічна траєкторія; 5) υ > υ2 – гіперболічна траєкторія;

6) траєкторія Місяця

Таким чином, ми з'ясували, що всі рухи в Сонячній системі підпорядковуються закону всесвітнього тяжіння Ньютона.

Виходячи з малої маси планет і тим більше інших тіл Сонячної системи, можна приблизно вважати, що рухи в навколосонячному просторі підпорядковуються законам Кеплера.

Всі тіла рухаються навколо Сонця еліптичними орбітами, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце. Чим ближче до Сонця небесне тіло, тим швидше його швидкість руху по орбіті (планета Плутон, найдальша з відомих, рухається в 6 разів повільніше за Землю).

Тіла можуть рухатися і по розімкнених орбітах: параболі або гіперболі. Це трапляється в тому випадку, якщо швидкість тіла дорівнює або перевищує значення другої космічної швидкості Сонця на даному віддаленні від центрального світила. Якщо йдеться про супутник планети, то й космічну швидкість треба розраховувати щодо маси планети та відстані до її центру.

Рух тіла під впливом сили тяжіння є одним із центральних тем у динамічній фізиці. Про те, що розділ динаміки базується на трьох, знає навіть звичайний школяр. Давайте постараємося розібрати цю тему досконало, а стаття, яка докладно описує кожен приклад, допоможе нам зробити вивчення руху тіла під дією сили тяжіння максимально корисним.

Трохи історії

Люди з цікавістю спостерігали за різними явищами, що відбуваються у нашому житті. Людство довгий час не могло зрозуміти принципи та влаштування багатьох систем, проте тривалий шлях вивчення навколишнього світу привів наших предків до наукового перевороту. У наші дні, коли технології розвиваються з неймовірною швидкістю, люди майже не замислюються над тим, яким чином працюють ті чи інші механізми.

А тим часом наші предки завжди цікавилися загадками природних процесів та устроєм світу, шукали відповіді на найскладніші питання і не переставали вивчати, доки не знаходили на них відповіді. Так, наприклад, відомий вчений Галілео Галілей ще в 16 столітті запитав: "Чому тіла завжди падають вниз, яка ж сила притягує їх до землі?" У 1589 році він поставив низку дослідів, результати яких виявилися дуже цінними. Він детально вивчав закономірності вільного падіння різних тіл, скидаючи предмети зі знаменитої вежі у місті Пізі. Закони, які він вивів, були покращені та детальніше описані формулами ще одним відомим англійським ученим - сером Ісааком Ньютоном. Саме йому належать три закони, на яких ґрунтується практично вся сучасна фізика.

Той факт, що закономірності руху тіл, описані понад 500 років тому, актуальні й донині, означає, що наша планета підпорядковується постійним законам. Сучасній людині необхідно хоча б поверхово вивчити основні засади облаштування світу.

Основні та допоміжні поняття динаміки

Щоб повністю зрозуміти принципи такого руху, слід спочатку ознайомитися з деякими поняттями. Отже, найнеобхідніші теоретичні терміни:

• Взаємодія - це вплив тіл один на одного, при якому відбувається зміна або початок їхнього руху щодо один одного. Розрізняють чотири види взаємодії: електромагнітне, слабке, сильне та гравітаційне.
• Швидкість - це фізична величина, що означає швидкість, з якою рухається тіло. Швидкість є вектором, тобто має значення, а й напрям.
• Прискорення - та величина, яка показує нам швидкість зміни швидкості тіла у проміжок часу. Вона також є
• Траєкторія шляху - це крива, інколи ж - пряма лінія, яку окреслює тіло під час руху. При рівномірному прямолінійному русі траєкторія може збігатися зі значенням переміщення.
• Шлях – це довжина траєкторії, тобто рівно стільки, скільки пройшло тіло за певну кількість часу.
• Інерційна система відліку – це середовище, в якому виконується перший закон Ньютона, тобто тіло зберігає свою інерцію, за умови, що повністю відсутні всі зовнішні сили.

Вищезгаданих понять цілком достатньо для того, щоб грамотно накреслити або уявити в голові моделювання руху тіла під дією сили тяжіння.

Що означає сила?

Давайте перейдемо до основного поняття нашої теми. Отже, сила - це величина, сенс якої полягає у вплив чи вплив одного тіла на інше кількісно. А сила тяжіння - це та сила, яка діє абсолютно на кожне тіло, що знаходиться на поверхні або поблизу нашої планети. Виникає питання: звідки ж береться ця сила? Відповідь полягає у законі всесвітнього тяжіння.

А що таке сила тяжіння?

На будь-яке тіло з боку Землі впливає гравітаційна сила, яка повідомляє йому про прискорення. Сила тяжіння завжди має вертикальний напрямок до центру планети. Інакше висловлюючись, сила тяжкості притягує предмети Землі, ось чому предмети завжди падають вниз. Виходить, що сила тяжіння – це окремий випадок сили всесвітнього тяжіння. Ньютон вивів одну з головних формул для знаходження сили тяжіння між двома тілами. Виглядає вона так: F = G * (m 1 х m 2) / R 2 .

Чому дорівнює прискорення вільного падіння?

Тіло, яке відпустили з певної висоти, завжди летить униз під дією сили тяжіння. Рух тіла під дією сили тяжіння вертикально вгору і вниз можна описати рівняннями, де основною константою буде значення прискорення "g". Ця величина обумовлена ​​виключно дією сили тяжіння і її значення приблизно дорівнює 9,8 м/с 2 . Виходить, що тіло, кинуте з висоти без початкової швидкості, рухатиметься вниз із прискоренням рівним значенню "g".

Рух тіла під дією сили тяжіння: формули для розв'язання задач

Основна формула знаходження сили тяжіння виглядає так: F тяжкості = m х g, де m - це маса тіла, на яке діє сила, а "g" - прискорення вільного падіння (для спрощення завдань його прийнято вважати рівним 10 м/с 2) .

Є ще кілька формул, що використовуються для знаходження того чи іншого невідомого під час вільного руху тіла. Так, наприклад, для того, щоб обчислити пройдений тілом шлях, необхідно підставити відомі значення в цю формулу: S = V 0 х t + a х t 2 / 2 (шлях дорівнює сумі творів початкової швидкості помноженої на час і прискорення на квадрат часу, поділеної на 2).

Рівняння для опису вертикального руху тіла

Рух тіла під дією сили тяжіння по вертикалі можна описати рівнянням, яке має такий вигляд: x = x 0 + v 0 х t + a х t 2 / 2. Використовуючи даний вираз, можна знайти координати тіла у відомий момент часу. Необхідно просто підставити відомі в задачі величини: початкове місце розташування, початкову швидкість (якщо тіло не просто відпустили, а штовхнули з деякою силою) і прискорення, у нашому випадку воно дорівнюватиме прискоренню g.

Так само можна знайти і швидкість тіла, що рухається під дією сили тяжіння. Вираз для знаходження невідомої величини в будь-який момент часу: v = v 0 + g х t (значення початкової швидкості може дорівнювати нулю, тоді швидкість дорівнюватиме добутку прискорення вільного падіння на значення часу, за яке тіло здійснює рух).

Рух тіл під дією сили тяжіння: завдання та способи їх вирішення

При вирішенні багатьох завдань, пов'язаних із силою тяжіння, рекомендуємо скористатися наступним планом:

1. Визначити собі зручну інерційну систему відліку, зазвичай прийнято вибирати Землю, оскільки вона відповідає багатьом вимогам до ИСО.
2. Намалювати невеликий малюнок або малюнок, на якому зображені основні сили, що діють на тіло. Рух тіла під впливом сили тяжкості має на увазі малюнок чи схему, де зазначено, у якому напрямі рухається тіло, якщо нього діє прискорення, рівне g.
3. Потім слід вибрати напрямок для проектування сил та отриманих прискорень.
4. Записати невідомі величини та визначити їх напрямок.
5. І нарешті, використовуючи зазначені вище формули для вирішення завдань, обчислити всі невідомі величини, підставивши дані рівняння для знаходження прискорення або пройденого шляху.

Готове вирішення легкого завдання

Коли йдеться про таке явище, як рух тіла під дією того, яким способом практичніше вирішувати поставлене завдання, може бути скрутним. Однак є кілька хитрощів, використовуючи які, можна легко вирішити навіть найскладніше завдання. Отже, розберемо на живих прикладах, як слід вирішувати те чи інше завдання. Почнемо з легкої розуміння завдання.

Деяке тіло відпустили з висоти 20 м-коду без початкової швидкості. Визначити, скільки часу воно досягне поверхні землі.

Рішення: нам відомий шлях, пройдений тілом, відомо, що початкова швидкість дорівнювала 0. Також можемо визначити, що на тіло діє тільки сила тяжіння, виходить, що це рух тіла під дією сили тяжіння, і тому слід скористатися цією формулою: S = V 0 х t + a х t 2/2. Так як у нашому випадку a = g, то після деяких перетворень отримуємо наступне рівняння: S = g х t 2/2. Тепер залишилося лише виразити час через цю формулу, одержуємо, що t 2 = 2S/g. Підставимо відомі величини (при цьому вважаємо, що g = 10 м/с 2) t 2 = 2 х 20 / 10 = 4. Отже, t = 2 с.

Отже, наша відповідь: тіло впаде на землю за 2 секунди.

Трюк, що дозволяє швидко розв'язати задачу, полягає в наступному: можна помітити, що описаний рух тіла в наведеній задачі відбувається в одному напрямку (вертикально вниз). Воно дуже схоже з рівноприскореним рухом, тому що на тіло не діє жодна сила, крім сили тяжіння (силою опору повітря нехтуємо). Завдяки цьому можна скористатися легкою формулою для знаходження шляху при рівноприскореному русі, минаючи зображення креслень з розстановкою сил, що діють на тіло.

Приклад вирішення складнішого завдання

А тепер давайте подивимося, як краще вирішувати завдання на рух тіла під дією сили тяжіння, якщо тіло рухається не вертикально, а має складніший характер переміщення.

Наприклад, таке завдання. Деякий предмет масою m рухається з невідомим прискоренням вниз по похилій площині, коефіцієнт тертя якої дорівнює k. Визначити значення прискорення, яке є під час руху даного тіла, якщо кут нахилу α відомий.

Рішення: Слід скористатися планом, описаним вище. В першу чергу накреслити малюнок похилої площини із зображенням тіла і всіх сил, що на нього діють. Вийде, що на нього діють три складові: сила тяжіння, тертя та сила реакції опори. Виглядає загальне рівняння рівнодіючих сил так: F тертя + N + mg = ma.

Головною особливістю завдання є умова схильності під кутом α. При ox і вісь oy необхідно врахувати цю умову, тоді в нас вийде наступне вираз: mg х sin α - F тертя = ma (для осі ох) і N - mg х cos α = F тертя (для осі oy).

F тертя легко обчислити за формулою знаходження сили тертя, вона дорівнює k х mg (коефіцієнт тертя, помножений на добуток маси тіла та прискорення вільного падіння). Після всіх обчислень залишається тільки підставити знайдені значення формулу, вийде спрощене рівняння для обчислення прискорення, з яким рухається тіло вздовж похилої площини.

За другим законом Ньютона причиною зміни руху, тобто причиною прискорення тіл, є сила. У механіці розглядаються сили різної фізичної природи. Багато механічних явищ і процесів визначаються дією сил тяжіння. Закон глобального тяжіннябув відкритий І. Ньютоном у 1682 році. Ще в 1665 році 23-річний Ньютон висловив припущення, що сили, що утримують Місяць на її орбіті, тієї ж природи, що й сили, що змушують яблуко падати на Землю. За його гіпотезою між усіма тілами Всесвіту діють сили тяжіння (гравітаційні сили), спрямовані по лінії, що з'єднує центри мас(Рис. 1.10.1). У тіла у вигляді однорідної кулі центр ваги збігається із центром кулі.

У наступні роки Ньютон намагався знайти фізичне пояснення з аконам руху планет, відкритих астрологом І. Кеплером на початку XVII століття, і дати кількісний вираз для гравітаційних сил. Знаючи як рухаються планети, Ньютон хотів визначити, які сили на них діють. Такий шлях називається зворотного завдання механіки.Якщо основним завданням механіки є визначення координат тіла відомої маси та його швидкості у будь-який момент часу за відомими силами, що діють на тіло, і даним вихідним умовам ( рівне завдання механіки), то під час вирішення зворотної завдання необхідно визначити діючі тіло сили, якщо відомо, як і рухається. Вирішення цього завдання і призвело Ньютона до відкриття закону глобального тяжіння. Всі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною їх масам і тому пропорційною квадрату відстані між ними:

Коефіцієнт пропорційності G схожий всім тіл у природі. Його називають гравітаційною незмінною

Багато явищ у природі пояснюються дією сил глобального тяжіння. Рух планет Сонячної системі, рух штучних супутників Землі, лінії руху польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу Землі - всі ці явища знаходять роз'яснення з урахуванням закону глобального тяжіння і законів динаміки. Одним із проявів сили глобального тяжіння є сила тяжіння. Так прийнято називати силу тяжіння тіл до Землі поблизу її поверхні. Якщо M – маса Землі, RЗ – її радіус, m – маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює

де g - прискорення вільного падіннябіля поверхні Землі:

Сила тяжіння спрямована до центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає Землю із прискоренням вільного падіння. Середнє значення прискорення вільного падіння різних точок поверхні Землі дорівнює 9,81 м/с2. Знаючи прискорення вільного падіння та радіус Землі (RЗ = 6,38 · 106 м), можна обчислити масу Землі M:

При віддаленні від Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються назад пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Мал. 1.10.2 ілюструє зміну сили тяжіння, що діє на астронавта в космічному кораблі при його віддаленні від Землі. Сила, з якою астронавт притягується до Землі поблизу її поверхні, прийнята рівною 700 Н.

Прикладом системи двох взаємодіючих тіл може бути система Земля-Луна. Місяць знаходиться від Землі на відстані rЛ = 3,84 · 106 м. Ця відстань приблизно в 60 разів перевищує радіус Землі RЗ. Отже, прискорення вільного падіння aЛ, обумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить

З таким прискоренням, спрямованим до центру Землі, Місяць рухається орбітою. Отже, це прискорення є доцентровим прискоренням.Його можна вирахувати за кінематичною формулою для доцентрового прискорення (див. §1.6):

де T = 27,3 діб – період звернення Місяця навколо Землі. Збіг результатів розрахунків, виконаних різними методами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, та сили тяжіння. Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння gЛ її поверхні. Маса Місяця в 81 раз менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі. Тому прискорення gЛ обумовиться виразом:

В умовах такої слабкої гравітації виявилися астронавти, що висадилися на Місяці. Людина в таких умовах може робити великі стрибки. Наприклад, якщо людина в земних умовах підстрибує на висоту 1 м, то на Місяці він міг би підскочити на висоту понад 6 м. Розглянемо сьогодні питання про штучні супутники Землі. Штучні супутники рухаються поза земної атмосфери, і їх діють лише сили тяжіння із боку Землі. Залежно від початкової швидкості лінія руху космічного тіла може бути різною (див. §1.24). Ми розглянемо тут лише випадок руху штучного супутника по радіальному. навколоземнийорбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна приблизно прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу RЗ. Тоді доцентрове прискорення супутника, що повідомляється йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через 1. Цю швидкість називають першою космічної швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для доцентрового прискорення (див. §1.6), отримаємо:

Рухаючись з такою швидкістю, супутник облітав б Землю під час Суттєво період звернення супутника по радіальної орбіті поблизу поверхні Землі трохи перевищує зазначене значення через відмінність між радіусом справжньої орбіти і радіусом Землі. Рух супутника можна як вільне падіння, Подібне до руху снарядів або балістичних ракет. Відмінність полягає виключно в тому, що швидкість супутника така велика, що радіус кривизни його лінії руху дорівнює радіусу Землі. Для супутників, що пересуваються радіальними траєкторіями на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіуса r лінії руху. Швидкість супутника υ перебуває з умови

Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менше, ніж на навколоземній орбіті. Період T обігу такого супутника дорівнює

Тут T1 - період обігу супутника на навколоземній орбіті. Період звернення супутника зростає із підвищенням радіусу орбіти. Неважко підрахувати, що з радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6RЗ, період звернення супутника виявиться рівним 24 годин. Супутник з таким періодом обігу, запущений у площині екватора, буде нерухомо висіти над якоюсь точкою земної поверхні. Такі супутники використовуються у системах космічного радіозв'язку. Орбіта з радіусом r = 6,6 R3 називається геостаціонарний.

Найменування розділів та тем		Об'єм годинника	Рівень освоєння
Тема 3.3. Рух небесних тіл під впливом сил тяжіння.	Закон всесвітнього тяготіння. Обурення у русі тіл Сонячної системи. Маса та щільність Землі. Визначення маси небесних тіл. Рух штучних супутників Землі та космічних апаратів до планет. Опис особливостей руху тіл Сонячної системи під впливом сил тяжіння по орбітах з різним ексцентриситетом. Пояснення причин виникнення припливів на Землі та збурень у русі тіл Сонячної системи. Розуміння особливості руху та маневрів космічних апаратів для дослідження тіл Сонячної системи.

3.3.1. Закон всесвітнього тяготіння.

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння, вивченого в курсі фізики,

всі тіла у Всесвіті притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

де т 1і т 2- Маси тіл;r - Відстань між ними;G - гравітаційна стала.

Відкриття закону всесвітнього тяжіння багато в чому сприяли закони руху планет, сформульовані Кеплером, та інші досягнення астрономії XVII ст. Так, знання відстані до Місяця дозволило Ісааку Ньютону (1643-1727) довести тотожність сили, що утримує Місяць під час її руху навколо Землі, і сили, що викликає падіння тіл на Землю.

Адже якщо сила тяжіння змінюється обернено пропорційно квадрату відстані, як це випливає із закону всесвітнього тяжіння, то Місяць, що знаходиться від Землі на відстані приблизно 60 її радіусів, повинен відчувати прискорення в 3600 разів менше, ніж прискорення сили тяжіння на поверхні Землі, рівне 9 8 м/с. Отже, прискорення Місяця має становити 0,0027 м/с2.

У той же час Місяць, як будь-яке тіло, що рівномірно рухається по колу, має прискорення

де ω - її кутова швидкість,r - Радіус її орбіти. Якщо вважати, що радіус Землі дорівнює 6400 км, то радіус місячної орбіти становитимеr= 60 6400000 м = 3,84 10 6 м. Зірковий період звернення Місяця Т= 27,32 діб, в секундах становить 2,36 10 6 с. Тоді прискорення орбітального руху Місяця

Рівність цих двох величин прискорення доводить, що сила, яка утримує Місяць на орбіті, є сила земного тяжіння, ослаблена в 3600 разів у порівнянні з діючою на поверхні Землі.

Можна переконатися і в тому, що при русі планет, відповідно до третього закону Кеплера, їх прискорення і сила тяжіння Сонця, що діє на них, назад пропорційні квадрату відстані, як це випливає із закону всесвітнього тяжіння. Дійсно, згідно з третім законом Кеплера відношення кубів великих півосей орбіт.d та квадратів періодів обігу Tє величина постійна:

Прискорення планети одно

З третього закону Кеплера випливає

тому прискорення планети одно

Отже, сила взаємодії планет та Сонця задовольняє закон всесвітнього тяжіння.

3.3.2. Обурення у русі тіл Сонячної системи.

Закони Кеплера суворо виконуються, якщо розглядається рух двох ізольованих тіл (Сонце та планета) під дією їхнього взаємного тяжіння. Однак у Сонячній системі планет багато, всі вони взаємодіють не лише із Сонцем, а й між собою. Тому рух планет та інших тіл не точно підпорядковується законам Кеплера. Відхилення тіл від руху по еліпсах називають обуреннями.

Обурення ці невеликі, оскільки маса Сонця набагато більше за масу не тільки окремої планети, але і всіх планет в цілому. Найбільші обурення у русі тіл Сонячної системи викликає Юпітер, маса якого у 300 разів перевищує масу Землі. Особливо помітні відхилення астероїдів і комет під час їхнього проходження поблизу Юпітера.

В даний час обурення враховуються при обчисленні становища планет, їх супутників та інших тіл Сонячної системи, а також траєкторій космічних апаратів, які запускаються для дослідження. Але ще XIX в. розрахунок збурень дозволив зробити одне з найвідоміших у науці відкриттів «на кінчику пера» - відкриття планети Нептун.

Проводячи черговий огляд неба у пошуку невідомих об'єктів, Вільям Гершель 1781 р. відкрив планету, названу згодом Ураном. Приблизно через півстоліття стало очевидно, що рух Урану не узгоджується з розрахунковим навіть при обліку збурень з боку всіх відомих планет. На основі припущення про наявність ще однієї «зауранової» планети було зроблено обчислення її орбіти та положення на небі. Незалежно одне від одного це завдання вирішилиДжон Адамc в Англії та Урбен Левер'є у Франції. На основі розрахунків Левер'є німецький астроном Йоганн Галле 23 вересня 1846 р. виявив у сузір'ї Водолія невідому раніше планету - Нептун. Це відкриття стало тріумфом геліоцентричної системи, найважливішим підтвердженням справедливості закону всесвітнього тяжіння. Надалі в русі Урана і Нептуна було помічено обурення, які стали підставою для припущення про існування Сонячної системі ще однієї планети. Її пошуки увінчалися успіхом лише в 1930 р., коли після перегляду великої кількості фотографій зоряного неба було відкрито найдальшу від Сонця планету - Плутон.

3.3.3. Маса та щільність Землі.

Закон всесвітнього тяжіння дозволив визначити масу нашої планети. Виходячи із закону всесвітнього тяжіння, прискорення вільного падіння можна висловити так:

Підставимо у формулу відомі значення цих величин:

g = 9,8 м/с, G = 6,67 10 -11 H м 2 /кг 2 R = 6370 км - і отримаємо, що маса Землі М = 6 10 24 кг

Знаючи масу та об'єм земної кулі, можна обчислити її середню щільність: 5,5 10 3 кг/м 3 . З глибиною за рахунок збільшення тиску та утримання важких елементів густина зростає.

3.3.4. Визначення маси небесних тіл.

Більш точна формула третього закону Кеплера, отримана Ньютоном, дає можливість визначити одну з найважливіших характеристик будь-якого небесного тіла - масу. Виведемо цю формулу, вважаючи (у першому наближенні) орбіти планет круговими.

Нехай два тіла, що взаємно притягуються і звертаються навколо загального центру мас, що мають масиm 1 і m 2 , знаходяться від центру мас на відстаніr 1і r 2і звертаються навколо нього з періодом Т.Відстань між їхніми центрамиR= r 1 + r 2 . На підставі закону всесвітнього тяжіння прискорення кожного з цих тіл одно:

Кутова швидкість обігу навколо центру мас становить . Тоді доцентрове прискорення висловиться для кожного тіла так:

Прирівнявши отримані для прискорень вирази, висловивши їхr 1 і r 2 і склавши їх почленно, отримуємо:

звідки

Оскільки в правій частині цього виразу знаходяться лише постійні величини, воно справедливе для будь-якої системи двох тіл, що взаємодіють за законом тяжіння і звертаються навколо загального центру мас, - Сонце і планета, планета та супутник. Визначимо масу Сонця, для цього запишемо вираз:

де М- Маса Сонця;m 1 - Маса Землі; т 2- Маса Місяця;T 1іa 1 - період звернення Землі навколо Сонця (рік) та велика піввісь її орбіти; Т 2і а 2- період обігу Місяця навколо Землі та велика піввісь місячної орбіти.

Нехтуючи масою Землі, яка мізерно мала в порівнянні з масою Сонця, і масою Місяця, який у 81 раз менше маси Землі, отримаємо:

Підставивши у формулу відповідні значення та прийнявши масу Землі за 1, ми отримаємо, що Сонце приблизно в 333 000 разів за масою більше за нашу планету.

Маси планет, що не мають супутників, визначають за тими обуреннями, які вони надають на рух астероїдів, комет або космічних апаратів, що пролітають в околицях.

3.3.5. Причини виникнення припливів Землі

Під впливом взаємного тяжіння частинок тіло прагне набути форми кулі. Якщо ці тіла обертаються, вони деформуються, стискаються вздовж осі обертання.

Крім того, зміна їх форми відбувається і під дією взаємного тяжіння, яке викликають явища, які називаються припливами.Давно відомі Землі, вони отримали пояснення лише з урахуванням закону всесвітнього тяжіння.

Розглянемо прискорення, створювані тяжінням Місяця у різних точках земної кулі (рис. 3.13). Оскільки точки А, Взнаходяться на різних відстанях від Місяця, прискорення, створювані її тяжінням, будуть різні.

Різниця прискорень, викликаних тяжінням іншого тіла у цій точці й у центрі планети, називається приливним прискоренням.

Приливні прискорення у точках Аі Успрямовані від центру Землі. В результаті Земля, і в першу чергу, її водна оболонка, витягується в обидві сторони по лінії, що з'єднує центри Землі та Місяця. У точках Аі Успостерігається приплив, а вздовж кола, площина якого перпендикулярна до цієї лінії, на Землі відбувається відлив. Тяжіння Сонця також викликає припливи, але через більшу його віддаленість вони менші, ніж викликані Місяцем. Припливи спостерігаються у гідросфері, а й у атмосфері й у літосфері Землі та інших планет.

Внаслідок добового обертання Земля прагне захопити за собою приливні горби, в той же час внаслідок тяжіння Місяця, що обертається навколо Землі за місяць, смуга припливів повинна переміщатися земною поверхнею значно повільніше. Через війну між величезними масами води, що у приливних явищах, і дном океану виникає приливне тертя. Воно гальмує обертання Землі та викликає збільшення тривалості доби, яка в минулому була значно коротшою (5-6 год). Водночас припливи, що викликаються Землею на Місяці, загальмували її обертання, і вона тепер звернена до Землі однією стороною. Таке ж повільне обертання притаманно багатьох супутників Юпітера та інших планет. Сильні припливи, що викликаються на Меркурії і Венері Сонцем, мабуть, є причиною вкрай повільного обертання навколо осі.

3.3.6. Рух штучних супутників Землі та космічних апаратів до планет.

Можливість створення штучного супутника Землі теоретично обґрунтував ще Ньютон. Він показав, що існує така горизонтально спрямована швидкість при якій тіло, падаючи на Землю, проте на неї не впаде, а рухатиметься навколо Землі, залишаючись від неї на тій самій відстані. За такої швидкості тіло буде наближатися до Землі внаслідок її тяжіння якраз на стільки, наскільки через кривизну поверхні нашої планети воно віддалятиметься від неї (рис. 3.14). Цю швидкість, яку називають першою космічною (або круговою), відома вам із курсу фізики:

Практично здійснити запуск штучного супутника Землі виявилося можливо лише через два з половиною століття після відкриття Ньютона - 4 жовтня 1957 р. За сорок з лишком років, що минули з цього дня, який нерідко називають початком космічної ери людства, у багатьох країнах світу запущено близько 4000 супутників різного пристрою та призначення. Створено орбітальні станції, на яких тривалий час, змінюючи одна одну, працюють екіпажі, які складаються з космонавтів різних країн. Американські астронавти неодноразово відвідували Місяць, автоматичні міжпланетні станції досліджували всі планети Сонячної системи, за винятком найвіддаленішої планети Плутон.

Космічні апарати (КА), які прямують до Місяця і планет, зазнають тяжіння з боку Сонця і згідно з законами Кеплера так само, як і самі планети, рухаються еліпсами. Швидкість руху Землі орбітою становить близько 30 км/с. Якщо геометрична сума швидкості космічного апарату, яку йому повідомили при запуску, і швидкості Землі буде більшою за цю величину, то КА рухатиметься по орбіті, що лежить за межами земної орбіти. Якщо менше – усередині її. У першому випадку, коли він полетить до Марса або іншої зовнішньої планети, енергетичні витрати будуть найменшими, якщо КА досягне орбіти цієї планети при своєму максимальному віддаленні від Сонця в афелії (рис. 3.15). Крім того, необхідно розрахувати час старту КА, щоб до цього моменту в ту ж точку своєї орбіти прийшла планета. Інакше кажучи, початкова швидкість і день запуску КА повинні бути обрані таким чином, щоб КА та планета, рухаючись кожен по своїй орбіті, одночасно підійшли до точки зустрічі. У другому випадку – для внутрішньої планети – зустріч із КА має відбутися у перигелії його орбіти (рис. 3.16). Такі траєкторії польотів називаються напівеліптичні.Великі осі цих еліпсів проходять через Сонце, яке знаходиться в одному з фокусів, як і належить за першим законом Кеплера.