Ķermeņi gravitācijas ietekmē. Ķermeņu kustība gravitācijas ietekmē. Ķermeņa kustība gravitācijas ietekmē: uzdevumu risināšanas formulas

Pamatojoties uz Ņūtona otrā likuma interpretāciju, mēs varam secināt, ka kustības izmaiņas notiek spēka ietekmē. Mehānika ņem vērā dažādu fizisko dabu spēkus. Daudzas no tām tiek noteiktas, izmantojot gravitācijas spēku darbību.

1862. gadā universālās gravitācijas likumu atklāja I. Ņūtons. Viņš ierosināja, ka spēki, kas notur Mēnesi, ir tādi paši kā spēki, kas liek ābolam nokrist uz Zemes. Hipotēzes nozīme ir pievilcīgu spēku klātbūtne, kas vērsta pa līniju un savieno masas centrus, kā parādīts 1. attēlā. 10 . 1 . Sfēriskam ķermenim ir masas centrs, kas sakrīt ar lodītes centru.

Zīmējums 1 . 10 . 1 . Gravitācijas pievilkšanās spēki starp ķermeņiem. F 1 → = - F 2 → .

1. definīcija

Ņemot vērā zināmos planētu kustības virzienus, Ņūtons mēģināja noskaidrot, kādi spēki uz tām iedarbojas. Šo procesu sauc mehānikas apgrieztā problēma.

Mehānikas galvenais uzdevums ir jebkurā brīdī noteikt zināmas masas ķermeņa koordinātas ar tā ātrumu, izmantojot zināmus spēkus, kas iedarbojas uz ķermeni un doto stāvokli (tiešā problēma). Reverss tiek veikts, nosakot spēkus, kas iedarbojas uz ķermeni ar zināmu virzienu. Šādas problēmas lika zinātniekam atklāt universālās gravitācijas likuma definīciju.

2. definīcija

Visi ķermeņi tiek piesaistīti viens otram ar spēku, kas ir tieši proporcionāls to masām un apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam starp tiem.

F = G m 1 m 2 r 2 .

G vērtība nosaka visu dabā esošo ķermeņu proporcionalitātes koeficientu, ko sauc par gravitācijas konstanti un apzīmē ar formulu G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

Lielākā daļa dabas parādību ir izskaidrojamas ar universālā gravitācijas spēka klātbūtni. Planētu kustība, Zemes mākslīgie pavadoņi, ballistisko raķešu lidojuma trajektorijas, ķermeņu kustība netālu no Zemes virsmas – viss izskaidrojams ar gravitācijas un dinamikas likumu.

3. definīcija

Smaguma izpausmi raksturo klātbūtne smagums. Tas ir nosaukums, kas dots ķermeņu pievilkšanās spēkam pret Zemi un tās virsmas tuvumā.

Ja M ir apzīmēts kā Zemes masa, RZ ir rādiuss, m ir ķermeņa masa, tad gravitācijas formula ir šāda:

F = G M R З 2 m = m g .

Kur g ir gravitācijas paātrinājums, kas vienāds ar g = G M R 3 2.

Gravitācija ir vērsta uz Zemes centru, kā parādīts piemērā Mēness-Zeme. Ja nav citu spēku, ķermenis pārvietojas ar gravitācijas paātrinājumu. Tās vidējā vērtība ir 9,81 m/s2. Ar zināmu G un rādiusu R 3 = 6,38 · 10 6 m, Zemes masu M aprēķina, izmantojot formulu:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 k g.

Ja ķermenis attālinās no Zemes virsmas, tad gravitācijas un paātrinājuma ietekme gravitācijas ietekmē mainās apgriezti proporcionāli attāluma r kvadrātam līdz centram. 1. attēls. 10 . 2 parāda, kā gravitācijas spēks, kas iedarbojas uz kuģa astronautu, mainās atkarībā no attāluma no Zemes. Acīmredzot tā pievilkšanās F vērtība pret Zemi ir vienāda ar 700 N.

Zīmējums 1 . 10 . 2 . Gravitācijas spēka izmaiņas, kas iedarbojas uz astronautu, viņam attālinoties no Zemes.

1. piemērs

Zeme-Mēness ir piemērots piemērs divu ķermeņu sistēmas mijiedarbībai.

Attālums līdz Mēness ir r L = 3,84 · 10 6 m. Tas ir 60 reizes lielāks par Zemes rādiusu R Z. Tas nozīmē, ka gravitācijas klātbūtnē Mēness orbītas gravitācijas paātrinājums α L būs α L = g R Z r L 2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Tas ir vērsts uz Zemes centru un tiek saukts par centripetālu. Aprēķins veikts pēc formulas a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m / s 2, kur T = 27,3 dienas ir Mēness apgriezienu periods ap Zemi. Rezultāti un aprēķini, kas veikti dažādos veidos, liecina, ka Ņūtonam bija taisnība, pieņemot tādu pašu spēku, kas uztur Mēnesi orbītā, un gravitācijas spēku.

Mēnesim ir savs gravitācijas lauks, kas nosaka gravitācijas paātrinājumu g L uz virsmas. Mēness masa ir 81 reizi mazāka par Zemes masu, un tā rādiuss ir 3,7 reizes. Tas parāda, ka paātrinājums g L jānosaka pēc izteiksmes:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m/s 2.

Tik vāja gravitācija ir raksturīga astronautiem uz Mēness. Tāpēc jūs varat veikt milzīgus lēcienus un soļus. Viena metra lēciens uz Zemes atbilst septiņiem metriem uz Mēness.

Mākslīgo pavadoņu kustība tiek fiksēta ārpus Zemes atmosfēras, tāpēc tos ietekmē Zemes gravitācijas spēki. Kosmiskā ķermeņa trajektorija var mainīties atkarībā no sākotnējā ātruma. Mākslīgā pavadoņa kustība tuvu Zemei orbītā tiek aptuveni pieņemta kā attālums līdz Zemes centram, kas vienāds ar rādiusu R Z. Tie lido 200 - 300 km augstumā.

4. definīcija

No tā izriet, ka satelīta centripetālais paātrinājums, ko rada gravitācijas spēki, ir vienāds ar gravitācijas paātrinājumu g. Satelīta ātrums tiks apzīmēts ar υ 1. Viņi viņu sauc pirmais bēgšanas ātrums.

Izmantojot centripetālā paātrinājuma kinemātisko formulu, iegūstam

a n = υ 1 2 R З = g, υ 1 = g R З = 7,91 · 10 3 m/s.

Ar šādu ātrumu satelīts spēja aplidot Zemi laikā, kas vienāds ar T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 min 12 s.

Bet satelīta apgriezienu periods apļveida orbītā pie Zemes ir daudz ilgāks, nekā norādīts iepriekš, jo pastāv atšķirība starp faktiskās orbītas rādiusu un Zemes rādiusu.

Satelīts pārvietojas pēc brīvā kritiena principa, neskaidri līdzīgs šāviņa vai ballistiskās raķetes trajektorijai. Atšķirība slēpjas lielajā satelīta ātrumā, un tā trajektorijas izliekuma rādiuss sasniedz Zemes rādiusa garumu.

Satelītiem, kas pārvietojas pa apļveida trajektorijām lielos attālumos, ir vājināta gravitācija, kas ir apgriezti proporcionāla trajektorijas rādiusa r kvadrātam. Pēc tam, lai atrastu satelīta ātrumu, jāievēro nosacījums:

υ 2 к = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r.

Tāpēc satelītu klātbūtne augstās orbītās norāda uz mazāku to kustības ātrumu nekā no Zemes orbītas. Aprites perioda formula ir šāda:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR З υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 ņem satelīta orbītas perioda vērtību zemās Zemes orbītā. T palielinās līdz ar orbītas rādiusa izmēru. Ja r vērtība ir 6, 6 R3, tad satelīta T ir 24 stundas. Kad tas tiek palaists ekvatoriālajā plaknē, tiks novērots, ka tas karājas virs noteikta punkta uz zemes virsmas. Šādu satelītu izmantošana ir zināma kosmosa radiosakaru sistēmā. Orbītu ar rādiusu r = 6,6 RЗ sauc par ģeostacionāru.

Zīmējums 1 . 10 . 3 . Satelīta kustības modelis.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Universālo gravitācijas spēku darbība dabā izskaidro daudzas parādības: planētu kustība Saules sistēmā, Zemes mākslīgie pavadoņi, ballistisko raķešu lidojuma trajektorijas, ķermeņu kustība Zemes virsmas tuvumā - tās visas ir izskaidrotas. pamatojoties uz universālās gravitācijas likumu un dinamikas likumiem.

Smaguma likums izskaidro Saules sistēmas mehānisko uzbūvi, un no tā var iegūt Keplera likumus, kas apraksta planētu kustības trajektorijas. Kepleram viņa likumi bija tīri aprakstoši – zinātnieks savus novērojumus vienkārši apkopoja matemātiskā formā, nesniedzot formulām nekādus teorētiskus pamatojumus. Lielajā pasaules kārtības sistēmā saskaņā ar Ņūtonu Keplera likumi kļūst par tiešām sekām universālajiem mehānikas likumiem un universālās gravitācijas likumam. Tas ir, mēs atkal novērojam, kā vienā līmenī iegūtie empīriskie secinājumi pārvēršas stingri pamatotos loģiskos secinājumos, pārejot uz nākamo mūsu zināšanu par pasauli padziļināšanas posmu.

Ņūtons pirmais izteica domu, ka gravitācijas spēki nosaka ne tikai Saules sistēmas planētu kustību; tie darbojas starp jebkuriem ķermeņiem Visumā. Viena no universālās gravitācijas spēka izpausmēm ir gravitācijas spēks - tas ir vispārpieņemtais nosaukums ķermeņu pievilkšanās spēkam pret Zemi tās virsmas tuvumā.

Ja M ir Zemes masa, RЗ ir tās rādiuss, m ir dotā ķermeņa masa, tad gravitācijas spēks ir vienāds ar

kur g ir brīvā kritiena paātrinājums;

netālu no Zemes virsmas

Smaguma spēks ir vērsts uz Zemes centru. Ja nav citu spēku, ķermenis brīvi nokrīt uz Zemi ar gravitācijas paātrinājumu.

Vidējā gravitācijas paātrinājuma vērtība dažādiem Zemes virsmas punktiem ir 9,81 m/s2. Zinot gravitācijas paātrinājumu un Zemes rādiusu (RЗ = 6,38·106 m), varam aprēķināt Zemes masu

Saules sistēmas struktūras attēlu, kas izriet no šiem vienādojumiem un kas apvieno zemes un debesu gravitāciju, var saprast, izmantojot vienkāršu piemēru. Pieņemsim, ka mēs stāvam milzīgas klints malā, blakus lielgabalam un lielgabala lodīšu kaudzei. Ja jūs vienkārši nometat lielgabala lodi vertikāli no klints malas, tā sāks krist lejup vertikāli un vienmērīgi paātrināti. Tā kustību aprakstīs Ņūtona likumi vienmērīgi paātrinātai ķermeņa kustībai ar paātrinājumu g. Ja tagad izšauj lielgabala lodi pret horizontu, tā lidos un kritīs lokā. Un šajā gadījumā tā kustību aprakstīs Ņūtona likumi, tikai tagad tie tiek piemēroti ķermenim, kas pārvietojas gravitācijas ietekmē un kam ir noteikts sākotnējais ātrums horizontālajā plaknē. Tagad, pielādējot lielgabalu ar arvien smagākām lielgabala lodēm un šaujot atkal un atkal, jūs atklāsiet, ka, katrai nākamajai lielgabala lodei atstājot stobru ar lielāku sākotnējo ātrumu, lielgabala lodes krīt arvien tālāk no klints pamatnes.

Tagad iedomājieties, ka lielgabalā esam iepakojuši tik daudz šaujampulvera, ka lielgabala lodes ātrums ir pietiekams, lai lidotu apkārt pasaulei. Ja neņemsim vērā gaisa pretestību, lielgabala lode, aplidojusi Zemi, atgriezīsies sākuma punktā tieši tādā pašā ātrumā, ar kādu tā sākotnēji izlidoja no lielgabala. Kas notiks tālāk, ir skaidrs: kodols ar to neapstāsies un turpinās griezties apli pēc apļa ap planētu.

Citiem vārdiem sakot, mēs iegūsim mākslīgu pavadoni, kas riņķo ap Zemi, līdzīgi kā dabisks pavadonis - Mēness.

Tātad soli pa solim mēs pārgājām no tāda ķermeņa kustības aprakstīšanas, kas krīt tikai “zemes” gravitācijas ietekmē (Ņūtona ābols), uz satelīta (Mēness) kustības aprakstīšanu orbītā, nemainot gravitācijas raksturu. ietekme no “zemes” uz “debesu”. Tieši šis ieskats ļāva Ņūtonam savienot kopā divus gravitācijas pievilkšanas spēkus, kas pirms viņa tika uzskatīti par atšķirīgiem.

Attālinoties no Zemes virsmas, gravitācijas spēks un gravitācijas paātrinājums mainās apgriezti proporcionāli attāluma r kvadrātam līdz Zemes centram. Divu mijiedarbīgu ķermeņu sistēmas piemērs ir Zemes-Mēness sistēma. Mēness atrodas attālumā no Zemes rL = 3,84·106 m Šis attālums ir aptuveni 60 reizes lielāks par Zemes rādiusu RЗ. Līdz ar to brīvā kritiena paātrinājums aL gravitācijas dēļ Mēness orbītā ir

Ar šādu paātrinājumu, kas vērsts uz Zemes centru, Mēness pārvietojas orbītā. Tāpēc šis paātrinājums ir centripetālais paātrinājums. To var aprēķināt, izmantojot centripetālā paātrinājuma kinemātisko formulu

kur T = 27,3 dienas ir Mēness apgriezienu periods ap Zemi.

Dažādos veidos veikto aprēķinu rezultātu sakritība apstiprina Ņūtona pieņēmumu par Mēnesi orbītā noturošā spēka un gravitācijas spēka vienoto raksturu.

Paša Mēness gravitācijas lauks nosaka gravitācijas paātrinājumu gL uz tā virsmas. Mēness masa ir 81 reizi mazāka par Zemes masu, un tā rādiuss ir aptuveni 3,7 reizes mazāks par Zemes rādiusu.

Tāpēc paātrinājumu gЛ noteiks izteiksme

Astronauti, kas nolaidās uz Mēness, atradās tik vājas gravitācijas apstākļos. Cilvēks šādos apstākļos var veikt milzu lēcienus. Piemēram, ja cilvēks uz Zemes lec 1 m augstumā, tad uz Mēness viņš varētu uzlēkt vairāk nekā 6 m augstumā.

Apskatīsim jautājumu par mākslīgajiem Zemes pavadoņiem. Zemes mākslīgie pavadoņi pārvietojas ārpus Zemes atmosfēras, un tos ietekmē tikai gravitācijas spēki no Zemes.

Atkarībā no sākotnējā ātruma kosmiskā ķermeņa trajektorija var būt atšķirīga. Apskatīsim gadījumu, kad mākslīgais satelīts pārvietojas apļveida Zemes orbītā. Šādi pavadoņi lido 200–300 km augstumā, un attālumu līdz Zemes centram var aptuveni uzskatīt par vienādu ar tā rādiusu RЗ. Tad satelīta centripetālais paātrinājums, ko tam piešķir gravitācijas spēki, ir aptuveni vienāds ar gravitācijas paātrinājumu g. Apzīmēsim satelīta ātrumu zemās Zemes orbītā ar υ1 - šo ātrumu sauc par pirmo kosmisko ātrumu. Izmantojot centripetālā paātrinājuma kinemātisko formulu, iegūstam

Pārvietojoties ar šādu ātrumu, satelīts laikā riņķotu ap Zemi

Faktiski satelīta apgriezienu periods apļveida orbītā netālu no Zemes virsmas ir nedaudz garāks par norādīto vērtību, jo pastāv atšķirība starp faktiskās orbītas rādiusu un Zemes rādiusu. Satelīta kustību var uzskatīt par brīvu kritienu, līdzīgi kā šāviņu vai ballistisko raķešu kustība. Vienīgā atšķirība ir tā, ka satelīta ātrums ir tik liels, ka tā trajektorijas izliekuma rādiuss ir vienāds ar Zemes rādiusu.

Satelītiem, kas pārvietojas pa apļveida trajektorijām ievērojamā attālumā no Zemes, Zemes gravitācija vājinās apgriezti proporcionāli trajektorijas rādiusa r kvadrātam. Tādējādi augstās orbītās satelītu ātrums ir mazāks nekā zemās Zemes orbītā.

Satelīta orbītas periods palielinās, palielinoties orbītas rādiusam. Ir viegli aprēķināt, ka ar orbītas rādiusu r, kas vienāds ar aptuveni 6,6 RЗ, satelīta orbītas periods būs vienāds ar 24 stundām. Satelīts ar šādu orbītas periodu, kas palaists ekvatoriālajā plaknē, nekustīgi karāsies virs noteiktā zemes virsmas punkta. Šādus satelītus izmanto kosmosa radiosakaru sistēmās. Orbītu ar rādiusu r = 6,6 RЗ sauc par ģeostacionāru.

Otrais kosmiskais ātrums ir minimālais ātrums, kas jāpiešķir kosmosa kuģim uz Zemes virsmas, lai tas, pārvarot gravitāciju, pārvērstos par mākslīgo Saules pavadoni (mākslīgo planētu). Šajā gadījumā kuģis attālināsies no Zemes pa parabolisko trajektoriju.

5. attēlā parādīti evakuācijas ātrumi. Ja kosmosa kuģa ātrums ir vienāds ar υ1 = 7,9·103 m/s un ir vērsts paralēli Zemes virsmai, tad kuģis pārvietosies pa apļveida orbītu nelielā augstumā virs Zemes. Ja sākotnējais ātrums pārsniedz υ1, bet mazāks par υ2 = 11,2·103 m/s, kuģa orbīta būs eliptiska. Ar sākotnējo ātrumu υ2 kuģis pārvietosies pa parabolu un ar vēl lielāku sākotnējo ātrumu pa hiperbolu.

Kosmiskie ātrumi

Norādīti ātrumi pie Zemes virsmas: 1) υ = υ1 – apļveida trajektorija;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – paraboliskā trajektorija; 5) υ > υ2 – hiperboliskā trajektorija;

6) Mēness trajektorija

Tādējādi mēs noskaidrojām, ka visas kustības Saules sistēmā pakļaujas Ņūtona universālās gravitācijas likumam.

Pamatojoties uz planētu un it īpaši citu Saules sistēmas ķermeņu nelielo masu, mēs varam aptuveni pieņemt, ka kustības apļveida telpā pakļaujas Keplera likumiem.

Visi ķermeņi pārvietojas ap Sauli pa elipsveida orbītām, Saulei ir vienā no fokusiem. Jo tuvāk Saulei atrodas debess ķermenis, jo lielāks ir tā orbītas ātrums (vistālākā zināmā planēta Plutons pārvietojas 6 reizes lēnāk nekā Zeme).

Ķermeņi var pārvietoties arī pa atvērtām orbītām: parabolu vai hiperbolu. Tas notiek, ja ķermeņa ātrums ir vienāds ar Saules otrā kosmiskā ātruma vērtību vai pārsniedz to noteiktā attālumā no centrālā ķermeņa. Ja mēs runājam par planētas satelītu, tad bēgšanas ātrums jāaprēķina attiecībā pret planētas masu un attālumu līdz tās centram.

Ķermeņa kustība gravitācijas ietekmē ir viena no centrālajām tēmām dinamiskajā fizikā. Pat parasts skolas skolēns zina, ka dinamikas sadaļa ir balstīta uz trim. Mēģināsim rūpīgi analizēt šo tēmu, un raksts, kurā detalizēti aprakstīts katrs piemērs, palīdzēs mums padarīt pēc iespējas noderīgāku pētījumu par ķermeņa kustību gravitācijas ietekmē.

Nedaudz vēstures

Cilvēki ar ziņkāri vēroja dažādas parādības, kas notiek mūsu dzīvē. Cilvēce ilgu laiku nevarēja izprast daudzu sistēmu principus un uzbūvi, taču ilgs ceļojums, pētot apkārtējo pasauli, noveda mūsu senčus uz zinātnisku revolūciju. Mūsdienās, kad tehnoloģijas attīstās neticamā ātrumā, cilvēki gandrīz nedomā par to, kā darbojas noteikti mehānismi.

Tikmēr mūsu senči vienmēr interesējušies par dabas procesu un pasaules uzbūves noslēpumiem, meklēja atbildes uz vissarežģītākajiem jautājumiem un nepārstāja mācīties, līdz atrada uz tiem atbildes. Piemēram, slavenais zinātnieks Galileo Galilejs jau 16. gadsimtā uzdeva jautājumus: "Kāpēc ķermeņi vienmēr krīt, kāds spēks tos pievelk zemei?" 1589. gadā viņš veica virkni eksperimentu, kuru rezultāti izrādījās ļoti vērtīgi. Viņš sīki pētīja dažādu ķermeņu brīvā kritiena modeļus, nometot objektus no slavenā Pizas pilsētas torņa. Viņa atvasinātos likumus pilnveidoja un sīkāk ar formulām aprakstīja cits slavens angļu zinātnieks sers Īzaks Ņūtons. Tieši viņam pieder trīs likumi, uz kuriem balstās gandrīz visa mūsdienu fizika.

Tas, ka pirms vairāk nekā 500 gadiem aprakstītie ķermeņa kustību modeļi joprojām ir aktuāli, nozīmē, ka mūsu planēta ir pakļauta nemainīgiem likumiem. Mūsdienu cilvēkam ir nepieciešams vismaz virspusēji izpētīt pasaules pamatprincipus.

Dinamikas pamat- un palīgjēdzieni

Lai pilnībā izprastu šādas kustības principus, vispirms vajadzētu iepazīties ar dažiem jēdzieniem. Tātad, visnepieciešamākie teorētiskie termini:

• Mijiedarbība ir ķermeņu ietekme vienam uz otru, kuras laikā notiek izmaiņas vai sākas to kustība vienam pret otru. Ir četri mijiedarbības veidi: elektromagnētiskā, vājā, stiprā un gravitācijas.
• Ātrums ir fizisks lielums, kas norāda ķermeņa kustības ātrumu. Ātrums ir vektors, kas nozīmē, ka tam ir ne tikai vērtība, bet arī virziens.
• Paātrinājums ir lielums, kas parāda ķermeņa ātruma izmaiņu ātrumu noteiktā laika periodā. Viņa arī ir
• Ceļa trajektorija ir līkne un dažreiz taisna līnija, ko ķermenis iezīmē kustībā. Ar vienmērīgu taisnvirziena kustību trajektorija var sakrist ar pārvietojuma vērtību.
• Ceļš ir trajektorijas garums, tas ir, tieši tik daudz, cik ķermenis ir nobraucis noteiktā laika posmā.
• Inerciālais atskaites rāmis ir vide, kurā ir izpildīts pirmais Ņūtona likums, tas ir, ķermenis saglabā savu inerci ar nosacījumu, ka pilnīgi nav visu ārējo spēku.

Iepriekš minētie jēdzieni ir pilnīgi pietiekami, lai pareizi uzzīmētu vai galvā iedomāties ķermeņa kustības simulāciju gravitācijas ietekmē.

Ko nozīmē spēks?

Pāriesim pie mūsu tēmas galvenās koncepcijas. Tātad spēks ir daudzums, kura nozīme ir viena ķermeņa ietekme vai ietekme uz otru kvantitatīvi. Un gravitācija ir spēks, kas iedarbojas uz absolūti katru ķermeni, kas atrodas uz mūsu planētas virsmas vai tās tuvumā. Rodas jautājums: no kurienes rodas šis spēks? Atbilde slēpjas universālās gravitācijas likumā.

Kas ir gravitācija?

Jebkuru Zemes ķermeni ietekmē gravitācijas spēks, kas tam piešķir zināmu paātrinājumu. Smaguma spēkam vienmēr ir vertikāls virziens uz leju, uz planētas centru. Citiem vārdiem sakot, gravitācija velk objektus uz Zemi, tāpēc objekti vienmēr nokrīt. Izrādās, ka gravitācija ir īpašs universālās gravitācijas spēka gadījums. Ņūtons atvasināja vienu no galvenajām formulām pievilkšanās spēka atrašanai starp diviem ķermeņiem. Tas izskatās šādi: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Kāds ir gravitācijas paātrinājums?

Ķermenis, kas ir atbrīvots no noteikta augstuma, vienmēr lido uz leju gravitācijas ietekmē. Ķermeņa kustību gravitācijas ietekmē vertikāli uz augšu un uz leju var aprakstīt ar vienādojumiem, kur galvenā konstante būs paātrinājuma vērtība "g". Šo vērtību nosaka tikai gravitācijas spēks, un tā vērtība ir aptuveni 9,8 m/s 2 . Izrādās, ka ķermenis, kas izmests no augstuma bez sākotnējā ātruma, virzīsies uz leju ar paātrinājumu, kas vienāds ar “g” vērtību.

Ķermeņa kustība gravitācijas ietekmē: uzdevumu risināšanas formulas

Pamatformula gravitācijas spēka atrašanai ir šāda: F gravitācija = m x g, kur m ir ķermeņa masa, uz kuru spēks iedarbojas, un "g" ir gravitācijas paātrinājums (lai vienkāršotu problēmas, to parasti uzskata vienāds ar 10 m/s 2) .

Ir vēl vairākas formulas, ko izmanto, lai atrastu vienu vai otru nezināmo, kad ķermenis pārvietojas brīvi. Tātad, piemēram, lai aprēķinātu ķermeņa noieto ceļu, šajā formulā ir jāaizstāj zināmās vērtības: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (ceļš ir vienāds ar reizinājumu summu no sākotnējā ātruma, kas reizināts ar laiku un paātrinājumu ar laika kvadrātu, kas dalīts ar 2).

Vienādojumi ķermeņa vertikālās kustības aprakstīšanai

Ķermeņa vertikālo kustību gravitācijas ietekmē var aprakstīt ar vienādojumu, kas izskatās šādi: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Izmantojot šo izteiksmi, jūs varat atrast ķermeņa koordinātas pie a. zināms laika moments. Jums vienkārši jāaizstāj uzdevumā zināmie lielumi: sākotnējā atrašanās vieta, sākotnējais ātrums (ja ķermenis netika vienkārši atbrīvots, bet gan stumts ar kādu spēku) un paātrinājums, mūsu gadījumā tas būs vienāds ar paātrinājumu g.

Tādā pašā veidā jūs varat atrast ķermeņa ātrumu, kas pārvietojas gravitācijas ietekmē. Izteiksme nezināma lieluma atrašanai jebkurā laika momentā: v = v 0 + g x t (sākotnējā ātruma vērtība var būt vienāda ar nulli, tad ātrums būs vienāds ar gravitācijas paātrinājuma un laika vērtības reizinājumu kura laikā ķermenis kustas).

Ķermeņu kustība gravitācijas ietekmē: problēmas un to risināšanas metodes

Risinot daudzas ar gravitāciju saistītas problēmas, iesakām izmantot šādu plānu:

1. Lai noteiktu sev ērtu inerciālo atskaites sistēmu, parasti ir ierasts izvēlēties Zemi, jo tā atbilst daudzām ISO prasībām.
2. Uzzīmējiet nelielu zīmējumu vai attēlu, kurā parādīti galvenie spēki, kas iedarbojas uz ķermeni. Ķermeņa kustība gravitācijas ietekmē ietver skici vai diagrammu, kas parāda, kādā virzienā ķermenis pārvietojas, ja tiek pakļauts paātrinājumam, kas vienāds ar g.
3. Pēc tam jāizvēlas spēku projicēšanas virziens un no tā izrietošie paātrinājumi.
4. Pierakstiet nezināmus lielumus un nosakiet to virzienu.
5. Visbeidzot, izmantojot iepriekš minētās problēmu risināšanas formulas, aprēķiniet visus nezināmos lielumus, aizstājot datus vienādojumos, lai atrastu paātrinājumu vai nobraukto attālumu.

Gatavs risinājums vienkāršam uzdevumam

Ja mēs runājam par tādu parādību kā ķermeņa kustība tā ietekmē, kas ir vispraktiskākais veids, kā atrisināt konkrēto problēmu, tas var būt sarežģīti. Tomēr ir vairāki triki, ar kuriem var viegli atrisināt pat vissarežģītāko uzdevumu. Tātad, aplūkosim dzīvos piemērus, kā atrisināt šo vai citu problēmu. Sāksim ar viegli saprotamu problēmu.

Konkrēts ķermenis tika atbrīvots no 20 m augstuma bez sākuma ātruma. Nosakiet, cik ilgs laiks būs nepieciešams, lai tas sasniegtu zemes virsmu.

Risinājums: mēs zinām ķermeņa noieto ceļu, mēs zinām, ka sākotnējais ātrums bija vienāds ar 0. Varam arī noteikt, ka uz ķermeni iedarbojas tikai gravitācijas spēks, izrādās, ka tā ir ķermeņa kustība zem gravitācijas ietekme, un tāpēc jāizmanto šī formula: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Tā kā mūsu gadījumā a = g, tad pēc dažām pārvērtībām iegūstam šādu vienādojumu: S = g x t 2 / 2. Tagad atliek tikai izteikt laiku caur šo formulu, mēs atklājam, ka t 2 = 2S / g. Aizstāsim zināmās vērtības (pieņemam, ka g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Tāpēc t = 2 s.

Tātad, mūsu atbilde: ķermenis nokritīs zemē 2 sekundēs.

Problēmas ātras risināšanas triks ir šāds: jūs varat pamanīt, ka aprakstītā ķermeņa kustība iepriekš minētajā problēmā notiek vienā virzienā (vertikāli uz leju). Tas ir ļoti līdzīgs vienmērīgi paātrinātai kustībai, jo uz ķermeni neiedarbojas neviens spēks, izņemot gravitāciju (gaisa pretestības spēku mēs neņemam vērā). Pateicoties tam, jūs varat izmantot vienkāršu formulu, lai vienmērīgi paātrinātas kustības laikā atrastu ceļu, apejot zīmējumu attēlus ar spēku izkārtojumu, kas iedarbojas uz ķermeni.

Sarežģītākas problēmas risināšanas piemērs

Tagad redzēsim, kā vislabāk atrisināt problēmas par ķermeņa kustību gravitācijas ietekmē, ja ķermenis nepārvietojas vertikāli, bet tam ir sarežģītāks kustības raksturs.

Piemēram, šāds uzdevums. Objekts ar masu m pārvietojas ar nezināmu paātrinājumu lejup pa slīpu plakni, kuras berzes koeficients ir vienāds ar k. Nosakiet paātrinājuma vērtību, kas rodas dotā ķermeņa kustības laikā, ja ir zināms slīpuma leņķis α.

Risinājums: jums vajadzētu izmantot iepriekš aprakstīto plānu. Vispirms uzzīmējiet slīpas plaknes zīmējumu, kas attēlo ķermeni un visus spēkus, kas uz to iedarbojas. Izrādās, ka uz to iedarbojas trīs komponenti: gravitācija, berze un atbalsta reakcijas spēks. Vispārējais rezultējošo spēku vienādojums izskatās šādi: Berze F + N + mg = ma.

Galvenais problēmas akcents ir slīpuma stāvoklis leņķī α. Ja ox un axis oy ir jāņem vērā šis nosacījums, tad mēs iegūstam šādu izteiksmi: mg x sin α - F berze = ma (vērša asij) un N - mg x cos α = F berze (par oy ass).

Berzi F ir viegli aprēķināt, izmantojot berzes spēka atrašanas formulu, tā ir vienāda ar k x mg (berzes koeficients, kas reizināts ar ķermeņa masas un gravitācijas paātrinājuma reizinājumu). Pēc visiem aprēķiniem atliek tikai aizstāt atrastās vērtības formulā, un jūs iegūsit vienkāršotu vienādojumu, lai aprēķinātu paātrinājumu, ar kādu ķermenis pārvietojas pa slīpu plakni.

Saskaņā ar otro Ņūtona likumu kustības konfigurācijas priekšnoteikums, citiem vārdiem sakot, ķermeņu paātrinājuma priekšnoteikums, ir spēks. Mehānika nodarbojas ar dažādu fizisko dabu spēkiem. Daudzas mehāniskās parādības un procesus nosaka spēku darbība smagums. Globālās gravitācijas likums 1682. gadā atklāja I. Ņūtons. Jau 1665. gadā 23 gadus vecais Ņūtons ierosināja, ka spēki, kas notur Mēnesi savā orbītā, ir tādi paši kā spēki, kas liek ābolam nokrist uz Zemes. Pēc viņa domām, starp visiem Visuma ķermeņiem ir pievilkšanās spēki (gravitācijas spēki), kas vērsti gar savienojošo joslu masas centri(1.10.1. att.). Ķermenim viendabīgas bumbiņas formā smaguma centrs sakrīt ar lodītes centru.

Nākamajos gados Ņūtons mēģināja atrast fizisku izskaidrojumu Planētu kustības likumi, ko 17. gadsimta sākumā atklāja astrologs I. Keplers, un sniedz gravitācijas spēku kvantitatīvu izteiksmi. Zinot, kā planētas pārvietojas, Ņūtons vēlējās noskaidrot, kādi spēki uz tām iedarbojas. Šo ceļu sauc reversās mehānikas problēma. Ja mehānikas galvenais uzdevums ir noteikt zināmas masas ķermeņa koordinātas un tā ātrumu jebkurā laika momentā, pamatojoties uz zināmiem spēkiem, kas iedarbojas uz ķermeni, un dotajiem sākuma apstākļiem ( vienkārša mehānikas problēma), tad risinot apgrieztu uzdevumu, jāatrod spēki, kas iedarbojas uz ķermeni, ja ir skaidrs, kā tas kustas. Šīs problēmas risinājums lika Ņūtonam atklāt globālās gravitācijas likumu. Visi ķermeņi tiek piesaistīti viens otram ar spēku, kas ir tieši proporcionāls to masām un apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam starp tiem:

Proporcionalitātes koeficients G ir līdzīgs visiem dabas ķermeņiem. Viņu sauc gravitācijas konstante

Daudzas parādības dabā ir izskaidrojamas ar globālo gravitācijas spēku darbību. Planētu kustība Saules sistēmā, Zemes mākslīgo pavadoņu kustība, ballistisko raķešu lidojuma līnijas, ķermeņu kustība netālu no Zemes virsmas - visas šīs parādības ir izskaidrotas, pamatojoties uz globālās gravitācijas likumu. un dinamikas likumi. Viena no globālās gravitācijas spēka izpausmēm ir smagums. Šis ir vispārpieņemtais nosaukums ķermeņu pievilkšanās spēkam pret Zemi tās virsmas tuvumā. Ja M ir Zemes masa, RЗ ir tās rādiuss, m ir dotā ķermeņa masa, tad gravitācijas spēks ir vienāds ar

kur g - gravitācijas paātrinājums uz Zemes virsmas:

Gravitācija ir vērsta uz Zemes centru. Ja nav citu spēku, ķermenis brīvi nokrīt uz Zemi ar gravitācijas paātrinājumu. Gravitācijas izraisītā paātrinājuma vidējā vērtība dažādiem Zemes virsmas punktiem ir 9,81 m/s2. Zinot gravitācijas paātrinājumu un Zemes rādiusu (RЗ = 6,38·106 m), varam aprēķināt Zemes masu M:

Attālinoties no Zemes virsmas, gravitācijas spēks un gravitācijas paātrinājums mainās proporcionāli attāluma r kvadrātam līdz Zemes centram. Rīsi. 1.10.2. ilustrē gravitācijas spēka izmaiņas, kas iedarbojas uz astronautu kosmosa kuģī, viņam attālinoties no Zemes. Tiek pieņemts, ka spēks, ar kādu astronauts tiek piesaistīts Zemei tās virsmas tuvumā, ir 700 N.

Divu mijiedarbīgu ķermeņu sistēmas piemērs ir Zemes-Mēness sistēma. Mēness atrodas attālumā no Zemes rЛ = 3,84·106 m. Šis attālums ir aptuveni 60 reizes lielāks par Zemes rādiusu RЗ. Gravitācijas paātrinājums aL gravitācijas dēļ Mēness orbītā ir šāds:

Ar šādu paātrinājumu, kas vērsts uz Zemes centru, Mēness pārvietojas orbītā. Šis paātrinājums ir šāds centripetālais paātrinājums. To var aprēķināt, izmantojot centripetālā paātrinājuma kinemātisko formulu (sk. 1.6. punktu):

kur T = 27,3 dienas ir periods, kurā Mēness riņķo ap Zemi. Ar dažādām metodēm veikto aprēķinu rezultātu sakritība apstiprina Ņūtona pieņēmumu par Mēnesi orbītā noturošā spēka un gravitācijas spēka vienoto raksturu. Paša Mēness gravitācijas lauks nosaka gravitācijas paātrinājumu gL uz tā virsmas. Mēness masa ir 81 reizi mazāka par Zemes masu, un tā rādiuss ir aptuveni 3,7 reizes mazāks par Zemes rādiusu. Tāpēc paātrinājums gA tiks noteikts pēc izteiksmes:

Astronauti, kas nolaidās uz Mēness, atradās tik vājas gravitācijas apstākļos. Cilvēks šādos apstākļos var veikt milzīgus lēcienus. Piemēram, ja cilvēks uz Zemes lec 1 m augstumā, tad uz Mēness viņš varētu uzlēkt vairāk nekā 6 m augstumā.Tagad apskatīsim jautājumu par mākslīgajiem Zemes pavadoņiem. Mākslīgie pavadoņi pārvietojas ārpus Zemes atmosfēras, un tos ietekmē tikai Zemes gravitācijas spēki. Atkarībā no sākotnējā ātruma galaktikas ķermeņa kustības līnija var būt atšķirīga (sk. §1.24). Šeit mēs aplūkosim tikai gadījumu, kad mākslīgais satelīts pārvietojas radiāli tuvu zemei orbītā. Šādi pavadoņi lido 200–300 km augstumā, un attālumu līdz Zemes centram var aptuveni pieņemt par vienādu ar tā rādiusu RЗ. Tad satelīta centripetālais paātrinājums, ko tam piešķir gravitācijas spēki, ir aptuveni vienāds ar gravitācijas paātrinājumu g. Apzīmēsim satelīta ātrumu zemās Zemes orbītā kā υ1. Šo ātrumu sauc pirmais kosmiskais ātrums. Izmantojot centripetālā paātrinājuma kinemātisko formulu (sk. §1.6), iegūstam:

Pārvietojoties ar šādu ātrumu, satelīts apgrieztos ap Zemi laikā.Faktiski satelīta orbītas periods radiālā orbītā netālu no Zemes virsmas nedaudz pārsniedz norādīto vērtību, jo pastāv atšķirība starp faktiskās orbītas rādiusu un Zemes rādiuss. Satelīta kustību var uzskatīt par Brīvais kritiens, līdzīgi kā šāviņu vai ballistisko raķešu kustība. Atšķirība ir tikai tajā apstāklī, ka satelīta ātrums ir tik liels, ka tā kustības līnijas izliekuma rādiuss ir vienāds ar Zemes rādiusu. Satelītiem, kas pārvietojas pa radiālām trajektorijām ievērojamā attālumā no Zemes, Zemes gravitācija vājinās atpakaļ proporcionāli kustības līnijas rādiusa r kvadrātam. Satelīta ātrums υ tiek atrasts no stāvokļa

Tādējādi lielās orbītās satelītu ātrums ir mazāks nekā zemās Zemes orbītā. Šāda satelīta izsaukuma periods T ir vienāds ar

Šeit T1 ir satelīta izsaukšanas periods zemās Zemes orbītā. Satelīta izsaukšanas periods palielinās, palielinoties orbītas rādiusam. Ir viegli aprēķināt, ka ar orbītas rādiusu r, kas vienāds ar aptuveni 6,6 RZ, satelīta zvana periods būs vienāds ar 24 stundām. Satelīts ar šādu izsaukuma periodu, kas palaists ekvatoriālajā plaknē, nekustīgi lidinās virs noteikta punkta uz zemes virsmas. Šādus satelītus izmanto kosmiskās radiosakaru sistēmās. Tiek izsaukta orbīta ar rādiusu r = 6,6R3 ģeostacionārs.

Sadaļu un tēmu nosaukums		Stundu apjoms	Meistarības līmenis
Tēma 3.3. Debess ķermeņu kustība gravitācijas spēku ietekmē.	Universālās gravitācijas likums. Saules sistēmas ķermeņu kustības traucējumi. Zemes masa un blīvums. Debess ķermeņu masas noteikšana. Mākslīgo Zemes pavadoņu un kosmosa kuģu pārvietošana uz planētām. Saules sistēmas ķermeņu kustības iezīmju apraksts gravitācijas spēku ietekmē orbītās ar dažādu ekscentriskumu. Paisuma un bēguma cēloņu uz Zemes un Saules sistēmas ķermeņu kustības traucējumiem skaidrojums. Izpratne par kosmosa kuģu kustības un manevru īpatnībām Saules sistēmas ķermeņu izpētei.

3.3.1. Universālās gravitācijas likums.

Saskaņā ar universālās gravitācijas likumu, kas apgūts fizikas kursā,

Visi ķermeņi Visumā tiek piesaistīti viens otram ar spēku, kas ir tieši proporcionāls to masu reizinājumam un apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam starp tiem:

Kur t 1 Un t 2- ķermeņa masas;r - attālums starp tiem;G - gravitācijas konstante.

Universālās gravitācijas likuma atklāšanu ievērojami veicināja Keplera formulētie planētu kustības likumi un citi astronomijas sasniegumi 17. gadsimtā. Tādējādi zināšanas par attālumu līdz Mēnesim ļāva Īzakam Ņūtonam (1643-1727) pierādīt tā spēka identitāti, kas notur Mēnesi, kad tas pārvietojas ap Zemi, un spēku, kas liek ķermeņiem nokrist uz Zemi.

Galu galā, ja gravitācijas spēks mainās apgriezti proporcionāli attāluma kvadrātam, kā izriet no universālās gravitācijas likuma, tad Mēnesim, kas atrodas no Zemes aptuveni 60 tā rādiusu attālumā, vajadzētu piedzīvot paātrinājumu. 3600 reižu mazāks par gravitācijas paātrinājumu uz Zemes virsmas, kas vienāds ar 9,8 m/s. Tāpēc Mēness paātrinājumam jābūt 0,0027 m/s 2 .

Tajā pašā laikā Mēnesim, tāpat kā jebkuram ķermenim, kas vienmērīgi pārvietojas pa apli, ir paātrinājums

Kur ω - tā leņķiskais ātrums,r - tā orbītas rādiuss. Ja pieņemam, ka Zemes rādiuss ir 6400 km, tad Mēness orbītas rādiuss būsr= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 m Mēness revolūcijas siderālais periods T= 27,32 dienas, sekundēs ir 2,36 10 6 Ar. Tad Mēness orbitālās kustības paātrinājums

Šo divu paātrinājuma vērtību vienādība pierāda, ka spēks, kas notur Mēnesi orbītā, ir gravitācijas spēks, kas ir 3600 reizes vājināts salīdzinājumā ar spēku, kas darbojas uz Zemes virsmas.

Varat arī būt pārliecināti, ka planētām kustoties saskaņā ar Keplera trešo likumu, to paātrinājums un Saules gravitācijas spēks, kas uz tām iedarbojas, ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam, kā tas izriet no universālās gravitācijas likuma. Patiešām, saskaņā ar Keplera trešo likumu, orbītu puslielāko asu kubu attiecībad un aprites periodu kvadrāti T ir nemainīga vērtība:

Planētas paātrinājums ir

No Keplera trešā likuma izriet

tāpēc planētas paātrinājums ir vienāds

Tātad planētu un Saules mijiedarbības spēks atbilst universālās gravitācijas likumam.

3.3.2. Saules sistēmas ķermeņu kustības traucējumi.

Keplera likumi ir stingri izpildīti, ja ņem vērā divu izolētu ķermeņu (Saules un planētas) kustību to savstarpējās pievilkšanās ietekmē. Tomēr Saules sistēmā ir daudz planētu, tās visas mijiedarbojas ne tikai ar Sauli, bet arī viena ar otru. Tāpēc planētu un citu ķermeņu kustība precīzi nepakļaujas Keplera likumiem. Tiek sauktas ķermeņu novirzes no pārvietošanās pa elipsēm traucējumi.

Šie traucējumi ir nelieli, jo Saules masa ir daudz lielāka par ne tikai atsevišķas planētas, bet arī visu planētu masu kopumā. Vislielākos traucējumus ķermeņu kustībā Saules sistēmā rada Jupiters, kura masa ir 300 reizes lielāka par Zemes masu. Asteroīdu un komētu novirzes ir īpaši pamanāmas, kad tās iet garām Jupitera tuvumā.

Patlaban traucējumi tiek ņemti vērā, aprēķinot planētu, to pavadoņu un citu Saules sistēmas ķermeņu novietojumu, kā arī to pētīšanai palaisto kosmosa kuģu trajektorijas. Bet tālajā 19. gadsimtā. traucējumu aprēķins ļāva "pildspalvas galā" veikt vienu no slavenākajiem zinātnes atklājumiem - planētas Neptūna atklāšanu.

Veicot kārtējo debesu aptauju, meklējot nezināmus objektus, Viljams Heršels 1781. gadā viņš atklāja planētu, kas vēlāk tika nosaukta par Urānu. Pēc apmēram pusgadsimta kļuva skaidrs, ka novērotā Urāna kustība nesakrīt ar aprēķināto, pat ja ņem vērā traucējumus no visām zināmajām planētām. Pamatojoties uz pieņēmumu par citas “subaurānas” planētas klātbūtni, tika veikti aprēķini par tās orbītu un atrašanās vietu debesīs. Mēs šo problēmu atrisinājām neatkarīgiDžons Adamss Anglijā un Urbain Le Verrier Francijā. Pamatojoties uz Le Verjē aprēķiniem, vācu astronoms Johans Halle 1846. gada 23. septembrī viņš Ūdensvīra zvaigznājā atklāja iepriekš nezināmu planētu – Neptūnu. Šis atklājums kļuva par heliocentriskās sistēmas triumfu, vissvarīgāko apstiprinājumu universālās gravitācijas likuma spēkā esamībai. Pēc tam Urāna un Neptūna kustībā tika pamanīti traucējumi, kas kļuva par pamatu pieņēmumam par citas planētas eksistenci Saules sistēmā. Viņas meklējumi vainagojās panākumiem tikai 1930. gadā, kad, noskatoties lielu skaitu zvaigžņoto debesu fotogrāfiju, tika atklāta planēta, kas atrodas vistālāk no Saules, Plutons.

3.3.3. Zemes masa un blīvums.

Universālās gravitācijas likums ļāva noteikt mūsu planētas masu. Pamatojoties uz universālās gravitācijas likumu, gravitācijas paātrinājumu var izteikt šādi:

Aizstāsim zināmās šo daudzumu vērtības formulā:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - un mēs atklājam, ka Zemes masa ir M = 6 10 24 kg

Zinot zemeslodes masu un tilpumu, varam aprēķināt tā vidējo blīvumu: 5,5 10 3 kg/m 3 . Ar dziļumu, palielinoties spiedienam un smago elementu saturam, blīvums palielinās.

3.3.4. Debess ķermeņu masas noteikšana.

Precīzāka Keplera trešā likuma formula, kuru ieguva Ņūtons, ļauj noteikt vienu no svarīgākajiem jebkura debess ķermeņa raksturlielumiem – masu. Atvasināsim šo formulu, pieņemot (pirmajā tuvinājumā), ka planētu orbītas ir apļveida.

Lai diviem ķermeņiem, kas savstarpēji piesaista un griežas ap kopīgu masas centru, ir masam 1 Un m 2 , atrodas attālumā no masas centrar 1 Un r 2un griezties ap to ar punktu T. Attālums starp to centriemR= r 1 + r 2 . Pamatojoties uz universālās gravitācijas likumu, katra ķermeņa paātrinājums ir vienāds ar:

Apgriezienu leņķiskais ātrums ap masas centru ir . Tad centripetālais paātrinājums katram ķermenim tiks izteikts šādi:

Pielīdzinot paātrinājumiem iegūtās izteiksmes, izsakot no tiemr 1 Un r 2 un pievienojot tos pa vārdam, mēs iegūstam:

kur

Tā kā šī izteiksmes labajā pusē ir tikai nemainīgi lielumi, tas attiecas uz jebkuru divu ķermeņu sistēmu, kas mijiedarbojas saskaņā ar gravitācijas likumu un griežas ap kopīgu masas centru - Sauli un planētu, planētu un satelītu. Noteiksim Saules masu, šim rakstam izteiksmi:

Kur M- Saules masa;m 1 - Zemes masa; t 2- Mēness masa;T 1 Una 1 - Zemes apgriezienu periods ap Sauli (gads) un tās orbītas puslielākā ass; T 2 Un a 2- Mēness apgriezienu periods ap Zemi un Mēness orbītas puslielāko asi.

Neņemot vērā Zemes masu, kas ir niecīga salīdzinājumā ar Saules masu, un Mēness masu, kas ir 81 reizi mazāka par Zemes masu, iegūstam:

Formulā aizstājot atbilstošās vērtības un ņemot Zemes masu uz 1, mēs iegūstam, ka Saules masa ir aptuveni 333 000 reižu lielāka nekā mūsu planēta.

To planētu masas, kurām nav satelītu, nosaka to tuvumā lidojošo asteroīdu, komētu vai kosmosa kuģu kustības traucējumi.

3.3.5. Paisuma un bēguma cēloņi uz Zemes

Daļiņu savstarpējās pievilkšanās ietekmē ķermenim ir tendence pieņemt bumbiņas formu. Ja šie ķermeņi griežas, tie tiek deformēti un saspiesti gar rotācijas asi.

Turklāt savstarpējas pievilkšanās ietekmē notiek arī to formas maiņa, ko izraisa parādības, t.s. plūdmaiņas Zināmi uz Zemes ilgu laiku, tie tika izskaidroti, tikai pamatojoties uz universālās gravitācijas likumu.

Apskatīsim paātrinājumus, ko rada Mēness pievilkšanās dažādos zemeslodes punktos (3.13. att.). Kopš punktiem A, B atrodas dažādos attālumos no Mēness, tā gravitācijas radītie paātrinājumi būs atšķirīgi.

Paātrinājuma atšķirību, ko izraisa cita ķermeņa pievilkšanās noteiktā punktā un planētas centrā, sauc par plūdmaiņu paātrinājumu.

Paisuma un paisuma paātrinājumi punktos A Un IN vērsta no Zemes centra. Rezultātā Zeme un galvenokārt tās ūdens apvalks ir izstiepts abos virzienos pa līniju, kas savieno Zemes un Mēness centrus. Punktos A Un IN ir paisums, un pa apli, kura plakne ir perpendikulāra šai līnijai, uz Zemes notiek bēgums. Arī Saules gravitācija izraisa plūdmaiņas, taču tās lielākā attāluma dēļ tie ir mazāki nekā Mēness radītie. Plūdmaiņas novērojamas ne tikai hidrosfērā, bet arī Zemes un citu planētu atmosfērā un litosfērā.

Zemes ikdienas rotācijas dēļ tai ir tendence vilkt sev līdzi paisuma un paisuma kalnus, savukārt Mēness gravitācijas dēļ, kas mēneša laikā riņķo ap Zemi, paisuma joslai būtu jāvirzās gar zemes virsma daudz lēnāk. Rezultātā starp milzīgajām plūdmaiņu ūdens masām un okeāna dibenu rodas plūdmaiņu berze. Tas palēnina Zemes rotāciju un izraisa dienas garuma palielināšanos, kas agrāk bija daudz īsāks (5-6 stundas). Tajā pašā laikā Zemes izraisītie paisumi uz Mēness ir palēninājuši tās rotāciju, un tagad tā ir vērsta pret Zemi ar vienu pusi. Tāda pati lēna rotācija ir raksturīga daudziem Jupitera un citu planētu satelītiem. Spēcīgie paisumi, ko Saule izraisa uz Merkura un Veneras, šķiet, ir iemesls to ārkārtīgi lēnajai rotācijai ap savu asi.

3.3.6. Mākslīgo Zemes pavadoņu un kosmosa kuģu pārvietošana uz planētām.

Iespēja izveidot mākslīgo Zemes pavadoni teorētiski pamatoja Ņūtons. Viņš parādīja, ka pastāv tāds horizontāli virzīts ātrums, ar kuru ķermenis, nokrītot uz Zemi, tomēr neuzkritīs uz tās, bet gan pārvietosies ap Zemi, paliekot no tās vienādā attālumā. Ar šādu ātrumu ķermenis pievilkšanās dēļ tuvosies Zemei tieši tik daudz, cik attālināsies no tās mūsu planētas virsmas izliekuma dēļ (3.14. att.). Šis ātrums, ko sauc par pirmo kosmisko (vai apļveida), jums ir zināms no fizikas kursa:

Mākslīgo Zemes pavadoni praktiski iespējams palaist tikai divarpus gadsimtus pēc Ņūtona atklājuma – 1957. gada 4. oktobrī. Vairāk nekā četrdesmit gadu laikā kopš tās dienas, ko mēdz dēvēt par cilvēces kosmosa laikmeta sākumu aptuveni 4000 satelītu ir palaisti daudzās pasaules valstīs dažādām ierīcēm un mērķiem. Ir izveidotas orbitālās stacijas, uz kurām ilgstoši strādā ekipāžas, kas sastāv no dažādu valstu kosmonautiem, viena otru nomainot. Amerikāņu astronauti atkārtoti apmeklēja Mēnesi; automātiskās starpplanētu stacijas izpētīja visas Saules sistēmas planētas, izņemot vistālāko planētu Plutonu.

Kosmosa kuģi (SV), kas tiek nosūtīti uz Mēnesi un planētām, piedzīvo Saules pievilcību un saskaņā ar Keplera likumiem, tāpat kā pašas planētas, pārvietojas elipsēs. Zemes orbītas ātrums ir aptuveni 30 km/s. Ja kosmosa kuģa ātruma ģeometriskā summa, par kuru tika ziņots palaišanas laikā, un Zemes ātruma summa ir lielāka par šo vērtību, tad kosmosa kuģis pārvietosies pa orbītu, kas atrodas ārpus Zemes orbītas. Ja mazāk, tad iekšā. Pirmajā gadījumā, kad tas lido uz Marsu vai citu ārējo planētu, enerģijas izmaksas būs minimālas, ja kosmosa kuģis sasniegs šīs planētas orbītu tās maksimālajā attālumā no Saules - afēlijā (3.15. att.). Turklāt ir jāaprēķina kosmosa kuģa palaišanas laiks, lai līdz šim brīdim planēta nonāktu tajā pašā orbītas punktā. Citiem vārdiem sakot, kosmosa kuģa sākotnējais ātrums un palaišanas diena ir jāizvēlas tā, lai kosmosa kuģis un planēta, katrs pārvietojoties pa savu orbītu, vienlaicīgi tuvotos tikšanās vietai. Otrajā gadījumā – iekšējai planētai – tikšanās ar kosmosa kuģi jānotiek tās orbītas perihēlijā (3.16. att.). Šādas lidojuma trajektorijas sauc daļēji eliptisks.Šo elipsi lielākās asis iet caur Sauli, kas atrodas vienā no perēkļiem, kā paredzēts Keplera pirmajā likumā.