Teorija izvedenica. Čitanje grafa izvoda

B8. Jedinstveni državni ispit

1. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0. Odgovor: 2

Odgovor: -5

Na intervalu (–9;4).

Odgovor:2

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0 Odgovor: 0,5

5. Odredite dodirnu točku pravca y = 3x + 8 i grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. U svom odgovoru označite apscisu ove točke. Odgovor: -2

Odredite broj cjelobrojnih vrijednosti argumenta za koje je derivacija funkcije f(x) negativna. Odgovor: 4

Odgovor: 2

Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna ili se poklapa s pravcem y=5–x. Odgovor: 3

Interval (-8; 3).

Pravac y = -20. Odgovor: 2

10.

Odgovor: -0,5

Odgovor: 1

12. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0. Odgovor: 0,5

13. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0. Odgovor: -0,25

14.

Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna ili se poklapa s pravcem y = x+7. Odgovor: 4

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0. Odgovor: -2

16.

interval (-14;9).

Odredite broj maksimalnih točaka funkcije f(x) na segmentu [-12;7]. Odgovor: 3

na intervalu (-10;8).

Odredite broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu [-9;7]. Odgovor: 4

18. Pravac y = 5x-7 dodiruje graf funkcije y = 6x2 + bx-1 u točki s apscisom manjom od 0. Nađite b. Odgovor: 17

Odgovor:-0,25

Odgovor: 6

21. Odredite tangentu na graf funkcije y=x2+6x-7, paralelnu s pravcem y=5x+11. U odgovoru označite apscisu dodirne točke. Odgovor: -0,5

22.

Odgovor: 4

23. f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] pronađite broj maksimalnih točaka funkcije. Odgovor: 1

B8 Grafovi funkcija, derivacije funkcija. Istraživanje funkcija . Jedinstveni državni ispit

1. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki s apscisom x0. Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

2. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-6; 5).

U kojoj točki segmenta [-5; -1] f(x) uzima najmanju vrijednost?

3. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f(x), definirane

Na intervalu (–9;4).

Odredi broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna s pravcem

y = 2x-17 ili se poklapa s njim.

4. Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0

5. Odredite dodirnu točku pravca y = 3x + 8 i grafa funkcije y = x3+x2-5x-4. U svom odgovoru označite apscisu ove točke.

6. Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-7; 5).

Odredite broj cjelobrojnih vrijednosti argumenta za koje je derivacija funkcije f(x) negativna.

7. Na slici je prikazan graf funkcije y=f"(x), definirane na intervalu (-8; 8).

Odredite broj točaka ekstrema funkcije f(x) koje pripadaju segmentu [-4; 6].

8. Na slici je prikazan graf funkcije y = f "(x), definirane na intervalu (-8; 4).

Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna s pravcem y=5–x ili se s njim poklapa.

9. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije y = f(x), definirane na

Interval (-8; 3).

Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna

Pravac y = -20.

10. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

11 . Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-9;9).

Odredite broj minimalnih točaka funkcije $f(x)$ na segmentu [-6;8]. 1

12. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

13. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

14. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-6;8).

Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna ili se poklapa s pravcem y = x+7.

15 . Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

16. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na

interval (-14;9).

Odredite broj maksimalnih točaka funkcije f(x) na segmentu [-12;7].

17 . Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane

na intervalu (-10;8).

Odredite broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu [-9;7].

18. Pravac y = 5x-7 dodiruje graf funkcije y = 6x2 + bx-1 u točki s apscisom manjom od 0. Nađite b.

19 . Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) i tangente na nju u točki s apscisom x0.

Odredite vrijednost derivacije funkcije f(x) u točki x0.

20 . Pronađite broj točaka na intervalu (-1;12) u kojima je derivacija funkcije y = f(x) prikazana na grafu jednaka 0.

21. Odredite tangentu na graf funkcije y=x2+6x-7, paralelnu s pravcem y=5x+11. U odgovoru označite apscisu dodirne točke.

22. Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x). Odredite broj cjelobrojnih točaka u intervalu (-2;11) u kojima je derivacija funkcije f(x) pozitivna.

23. Na slici je prikazan graf funkcije y= f "(x) na intervalu (-16;4).

Na segmentu [-11;0] pronađite broj maksimalnih točaka funkcije.

Zdravo! Udarimo na nadolazeći Jedinstveni državni ispit kvalitetnom sustavnom pripremom i upornošću u brušenju granita znanosti!!! UNa kraju objave je natječajni zadatak, budi prvi! U jednom od članaka u ovom odjeljku, ti i ja, u kojem je dan graf funkcije i postavljena razna pitanja o ekstremima, intervalima porasta (opadanja) i dr.

U ovom ćemo članku razmotriti probleme uključene u Jedinstveni državni ispit iz matematike, u kojem je dan graf izvoda funkcije i postavljena su sljedeća pitanja:

1. U kojoj točki zadanog segmenta funkcija poprima najveću (ili najmanju) vrijednost.
2. Odredite broj maksimalnih (ili minimalnih) točaka funkcije koje pripadaju zadanom segmentu.
3. Odredite broj točaka ekstrema funkcije koje pripadaju zadanom segmentu.
4. Odredite točku ekstrema funkcije koja pripada zadanom segmentu.
5. Pronađite intervale rastuće (ili opadajuće) funkcije i u odgovoru navedite zbroj cjelobrojnih točaka uključenih u te intervale.
6. Odredite intervale porasta (ili opadanja) funkcije. U odgovoru navedite duljinu najvećeg od tih intervala.
7. Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije paralelna ili se poklapa s pravcem oblika y = kx + b.
8. Odredite apscisu točke u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna s apscisnom osi ili se s njom poklapa.

Mogu postojati i druga pitanja, ali ona vam neće stvarati poteškoće ako ih razumijete i (daju se poveznice na članke koji daju informacije potrebne za rješenje, preporučam da ih ponovite).

Osnovne informacije (ukratko):

1. Derivacija u rastućim intervalima ima pozitivan predznak.

Ako derivacija u određenoj točki iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada graf funkcije na tom intervalu raste.

2. U opadajućim intervalima derivacija ima negativan predznak.

Ako derivacija u određenoj točki iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada graf funkcije opada na tom intervalu.

3. Derivacija u točki x jednaka je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj točki.

4. U točkama ekstrema (maksimuma-minimuma) funkcije derivacija je jednaka nuli. Tangenta na graf funkcije u ovoj je točki paralelna s osi x.

Ovo se mora jasno shvatiti i zapamtiti!!!

Izvedeni grafikon "zbunjuje" mnoge ljude. Neki ga ljudi nenamjerno zamijene za graf same funkcije. Dakle, u takvim zgradama, gdje vidite da je zadan graf, odmah usmjerite pozornost u uvjetu na ono što je zadano: graf funkcije ili graf derivacije funkcije?

Ako je to graf derivacije funkcije, onda ga tretirajte kao "odraz" same funkcije, koji vam jednostavno daje informacije o toj funkciji.

Razmotrite zadatak:

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–2;21).

Odgovorit ćemo na sljedeća pitanja:

1. U kojoj je točki segmenta funkcija f(X) uzima najveću vrijednost.

Na zadanom intervalu derivacija funkcije je negativna, što znači da funkcija na tom intervalu opada (opada od lijeve granice intervala prema desnoj). Time se najveća vrijednost funkcije postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u točki 7.

Odgovor: 7

2. U kojoj je točki segmenta funkcija f(X)

Iz ovog izvedenog grafa možemo reći sljedeće. Na zadanom intervalu derivacija funkcije je pozitivna, što znači da funkcija na tom intervalu raste (raste od lijeve granice intervala prema desnoj). Time se najmanja vrijednost funkcije postiže na lijevoj granici segmenta, odnosno u točki x = 3.

Odgovor: 3

3. Odredite broj maksimalnih točaka funkcije f(X)

Maksimalne točke odgovaraju točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz pozitivnog u negativan. Razmotrimo gdje se znak mijenja na ovaj način.

Na segmentu (3;6) izvodnica je pozitivna, na segmentu (6;16) negativna.

Na segmentu (16;18) izvodnica je pozitivna, na segmentu (18;20) negativna.

Dakle, na danom segmentu funkcija ima dvije maksimalne točke x = 6 i x = 18.

Odgovor: 2

4. Odredite broj minimalnih točaka funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Minimalne točke odgovaraju točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz negativnog u pozitivan. Naša derivacija je negativna na intervalu (0;3), a pozitivna na intervalu (3;4).

Dakle, na segmentu funkcija ima samo jednu minimalnu točku x = 3.

*Pazite pri zapisivanju odgovora - bilježi se broj bodova, a ne vrijednost x; takva pogreška može nastati zbog nepažnje.

Odgovor: 1

5. Odredite broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Zabilježite što trebate pronaći količina točke ekstrema (to su i maksimalne i minimalne točke).

Točke ekstrema odgovaraju točkama u kojima se mijenja predznak derivacije (iz pozitivnog u negativni ili obrnuto). Na grafu danom u uvjetu to su nulte točke funkcije. Derivacija nestaje u točkama 3, 6, 16, 18.

Dakle, funkcija ima 4 točke ekstrema na segmentu.

Odgovor: 4

6. Odredite intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali porasta ove funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je njegova derivacija pozitivna, odnosno intervalima (3;6) i (16;18). Imajte na umu da granice intervala nisu uključene u njega (okrugle zagrade - granice nisu uključene u interval, uglate zagrade - uključene). Ovi intervali sadrže cjelobrojne točke 4, 5, 17. Njihov zbroj je: 4 + 5 + 17 = 26

Odgovor: 26

7. Odredite intervale opadajuće funkcije f(X) u zadanom intervalu. U odgovoru navedite zbroj cjelobrojnih točaka uključenih u te intervale.

Opadajući intervali funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. U ovom zadatku to su intervali (–2;3), (6;16), (18:21).

Ovi intervali sadrže sljedeće cjelobrojne točke: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Njihov zbroj je:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odgovor: 140

*Obratite pažnju na uvjet: da li su granice uključene u interval ili ne. Ako su granice uključene, tada se u intervalima koji se razmatraju u procesu rješavanja te granice također moraju uzeti u obzir.

8. Odredite intervale rastuće funkcije f(X)

Intervali rastuće funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna. Već smo ih naznačili: (3;6) i (16:18). Najveći od njih je interval (3; 6), njegova duljina je 3.

Odgovor: 3

9. Odredite intervale opadajuće funkcije f(X). U odgovoru navedite duljinu najvećeg od njih.

Opadajući intervali funkcije f(X) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna. Već smo ih naveli; to su intervali (–2;3), (6;16), (18;21), njihove duljine su redom 5, 10, 3.

Dužina najvećeg je 10.

Odgovor: 10

10. Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(X) paralelna ili se podudara s pravom y = 2x + 3.

Vrijednost derivacije u točki tangente jednaka je nagibu tangente. Budući da je tangenta paralelna s pravcem y = 2x + 3 ili se poklapa s njim, njihovi su kutni koeficijenti jednaki 2. To znači da je potrebno pronaći broj točaka u kojima je y′(x 0) = 2. Geometrijski, to odgovara broju točaka presjeka derivacijskog grafa s pravcem y = 2. Na ovom intervalu postoje 4 takve točke.

Odgovor: 4

11. Pronađite točku ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu.

Točka ekstrema funkcije je točka u kojoj je njezina derivacija jednaka nuli, au blizini te točke derivacija mijenja predznak (iz pozitivnog u negativan ili obrnuto). Na segmentu graf derivacije siječe x-os, derivacija mijenja predznak iz negativnog u pozitivan. Dakle, točka x = 3 je točka ekstrema.

Odgovor: 3

12. Odredite apscisu točaka u kojima su tangente na graf y = f (x) paralelne s apscisnom osi ili se s njom podudaraju. U svom odgovoru označite najveći od njih.

Tangenta na graf y = f (x) može biti paralelna s apscisnom osi ili se s njom poklapati, samo u točkama u kojima je derivacija jednaka nuli (to mogu biti točke ekstrema ili stacionarne točke u čijoj je blizini derivacija ne mijenja predznak). Ovaj grafikon pokazuje da je derivacija nula u točkama 3, 6, 16,18. Najveći je 18.

Svoje razmišljanje možete strukturirati na sljedeći način:

Vrijednost derivacije u točki tangente jednaka je nagibu tangente. Budući da je tangenta paralelna s x-osi ili se podudara s njom, njen nagib je 0 (zapravo, tangens kuta od nula stupnjeva je nula). Dakle, tražimo točku u kojoj je nagib jednak nuli, a samim tim i izvodnica jednaka nuli. Derivacija je jednaka nuli u točki u kojoj njen graf siječe x-os, a to su točke 3, 6, 16,18.

Odgovor: 18

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–8;4). U kojoj je točki segmenta [–7;–3] funkcija f(X) uzima najmanju vrijednost.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–7;14). Odredite broj maksimalnih točaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–6;9].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–18;6). Pronađite minimalni broj točaka funkcije f(X), koji pripada segmentu [–13;1].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–11; –11). Odredite broj točaka ekstrema funkcije f(X), koji pripada segmentu [–10; -10].

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–7;4). Pronađite intervale rastuće funkcije f(X). U odgovoru navedite zbroj cjelobrojnih točaka uključenih u te intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–5;7). Odredite intervale opadajuće funkcije f(X). U odgovoru navedite zbroj cjelobrojnih točaka uključenih u te intervale.

Na slici je prikazan grafikon y =f'(X)- izvod funkcije f(X), definiran na intervalu (–11;3). Pronađite intervale rastuće funkcije f(X). U odgovoru navedite duljinu najvećeg od njih.

F Slika prikazuje grafikon

Uvjeti problema su isti (koje smo razmatrali). Nađi zbroj triju brojeva:

1. Zbroj kvadrata ekstrema funkcije f (x).

2. Razlika kvadrata zbroja točaka maksimuma i zbroja točaka minimuma funkcije f (x).

3. Broj tangenti na f (x) paralelnih s pravom y = –3x + 5.

Tko prvi da točan odgovor dobit će poticajnu nagradu od 150 rubalja. Svoje odgovore napišite u komentarima. Ako je ovo vaš prvi komentar na blogu, neće se pojaviti odmah, već malo kasnije (ne brinite, vrijeme kada je komentar napisan se bilježi).

Sretno ti!

Srdačan pozdrav, Alexander Krutitsikh.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu [–5; 6]. Odredite broj točaka na grafu f(x), u svakoj od kojih se tangenta povučena na graf funkcije podudara ili je paralelna s x-osi

Na slici je prikazan graf derivacije diferencijabilne funkcije y = f(x).

Odredite broj točaka na grafu funkcije koje pripadaju segmentu [–7; 7], u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna s pravcem zadanim jednadžbom y = –3x.

Materijalna točka M počinje se kretati iz točke A i giba se pravocrtno 12 sekundi. Grafikon pokazuje kako se udaljenost od točke A do točke M mijenjala tijekom vremena. Na apscisnoj osi prikazano je vrijeme t u sekundama, a na ordinatnoj osi udaljenost s u metrima. Odredite koliko se puta tijekom gibanja brzina točke M okrenula na nulu (ne uzimajte u obzir početak i kraj gibanja).

Na slici su prikazani presjeci grafa funkcije y=f(x) i tangenta na nju u točki s apscisom x = 0. Poznato je da je ta tangenta paralelna s pravcem koji prolazi kroz točke grafa s apscisom x = -2 i x = 3. Pomoću toga pronađite vrijednost derivacije f"(o).

Slika prikazuje graf y = f’(x) - derivacije funkcije f(x), definirane na segmentu (−11; 2). Odredite apscisu točke u kojoj je tangenta na graf funkcije y = f(x) paralelna ili se poklapa s apscisom.

Materijalna točka se giba pravocrtno po zakonu x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t vrijeme u sekundama, mjereno od početka kretanja. U kojem je trenutku (u sekundama) njegova brzina bila jednaka 2 m/s?

Materijalna se točka kreće pravocrtno od početnog do krajnjeg položaja. Na slici je prikazan graf njegovog kretanja. Na apscisnoj osi prikazano je vrijeme u sekundama, a na ordinatnoj osi udaljenost od početnog položaja točke (u metrima). Odredite prosječnu brzinu točke. Odgovorite u metrima u sekundi.

Funkcija y = f (x) definirana je na intervalu [-4; 4]. Na slici je prikazan graf njegove derivacije. Odredite broj točaka na grafu funkcije y = f (x) u kojima tangenta s pozitivnim smjerom osi Ox zaklapa kut od 45°.

Funkcija y = f (x) definirana je na intervalu [-2; 4]. Na slici je prikazan graf njegove derivacije. Pronađite apscisu točke na grafu funkcije y = f (x), u kojoj ona poprima najmanju vrijednost na segmentu [-2; -0,001].

Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki x0. Tangens je dan jednadžbom y = -2x + 15. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = -(1/4)f(x) + 5 u točki x0.

Na grafu diferencijabilne funkcije y = f (x) označeno je sedam točaka: x1,.., x7. Pronađite sve označene točke u kojima je derivacija funkcije f(x) veća od nule. U odgovoru navedite broj tih bodova.

Na slici je prikazan graf y = f"(x) derivacije funkcije f(x), definiran na intervalu (-10; 2). Odredite broj točaka u kojima je tangenta na graf funkcije f (x) je paralelna s pravcem y = -2x-11 ili se s njim poklapa.

Na slici je prikazan graf y=f"(x) - derivacija funkcije f(x). Na apscisnoj osi označeno je devet točaka: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Koliko od tih točaka pripada intervalima opadajuće funkcije f(x)?

Na slici je prikazan graf funkcije y = f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki x0. Tangens je dan jednadžbom y = 1,5x + 3,5. Odredite vrijednost derivacije funkcije y = 2f(x) - 1 u točki x0.

Na slici je prikazan graf y=F(x) jedne od antiderivacija funkcije f (x). Na grafu je šest točaka označeno apscisama x1, x2, ..., x6. U koliko od ovih točaka funkcija y=f(x) poprima negativne vrijednosti?

Slika prikazuje grafikon automobila koji se kreće duž rute. Na osi apscisa prikazano je vrijeme (u satima), a na osi ordinata prijeđeni put (u kilometrima). Pronađite prosječnu brzinu automobila na ovoj ruti. Odgovorite u km/h

Materijalna točka se giba pravocrtno prema zakonu x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, gdje je x udaljenost od referentne točke (u metrima), t je vrijeme kretanja (u sekundama). Odredi njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t=6 s

Na slici je prikazan graf antiderivacije y = F(x) neke funkcije y = f(x), definirane na intervalu (-6; 7). Pomoću slike odredite broj nula funkcije f(x) na tom intervalu.

Na slici je prikazan graf y = F(x) jedne od antiderivacija neke funkcije f(x), definirane na intervalu (-7; 5). Pomoću slike odredite broj rješenja jednadžbe f(x) = 0 na intervalu [- 5; 2].

Na slici je prikazan graf diferencijabilne funkcije y=f(x). Na x-osi je označeno devet točaka: x1, x2, ... x9. Pronađite sve označene točke u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna. U odgovoru navedite broj tih bodova.

Materijalna točka giba se pravocrtno po zakonu x(t)=12t^3−3t^2+2t, gdje je x udaljenost od referentne točke u metrima, t vrijeme u sekundama mjereno od početka gibanja. Odredi njegovu brzinu (u metrima u sekundi) u trenutku t=6 s.

Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na taj graf povučena u točki x0. Jednadžba tangente prikazana je na slici. pronađite vrijednost derivacije funkcije y=4*f(x)-3 u točki x0.

Zamislimo ravnu cestu koja prolazi kroz brdovito područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:

Os je određena razina nulte visine; u životu kao nju koristimo razinu mora.

Dok se krećemo naprijed takvom cestom, također se krećemo gore ili dolje. Također možemo reći: kada se mijenja argument (kretanje po apscisnoj osi), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje po osi ordinata). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" naše ceste? Kakva bi to vrijednost mogla biti? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti kada se pomaknete naprijed na određenu udaljenost. Doista, na različitim dionicama ceste, krećući se naprijed (duž x-osi) za jedan kilometar, dignut ćemo se ili spustiti za različit broj metara u odnosu na razinu mora (duž y-osi).

Označimo napredak (čitaj "delta x").

Grčko slovo (delta) obično se koristi kao prefiks u matematici, što znači "promjena". To jest - ovo je promjena u količini, - promjena; što je onda? Tako je, promjena u veličini.

Važno: izraz je jedinstvena cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte "deltu" od "x" ili bilo kojeg drugog slova! To je, na primjer,.

Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, za. Uspoređujemo li liniju ceste s grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Sigurno, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.

Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja točka niža od početne, bit će negativna – to znači da se ne penjemo, nego silazimo.

Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se pomakne naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:

Pretpostavimo da se na nekoj dionici ceste, kada se krećemo naprijed za kilometar, cesta uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se cesta, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.

Sada pogledajmo vrh brda. Ako se početak dionice uzme pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, vidi se da je visina gotovo ista.

To jest, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije točno. Samo na udaljenosti od kilometra mnogo toga se može promijeniti. Za adekvatniju i točniju ocjenu strmine potrebno je uzeti u obzir manje površine. Na primjer, ako mjerite promjenu visine dok se pomičete za jedan metar, rezultat će biti puno točniji. Ali čak ni ova točnost možda nam neće biti dovoljna - uostalom, ako je stup nasred ceste, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost trebamo odabrati? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!

U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra više je nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimalnog, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilijunti dio! Koliko manje? I ovaj broj podijelite s - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo napisati da je neka veličina infinitezimalna, pišemo ovako: (čitamo “x teži nuli”). Vrlo je važno razumjeti da taj broj nije nula! Ali vrlo blizu toga. To znači da ga možete dijeliti.

Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerojatno ste već naišli na to dok ste radili na nejednakostima: ovaj broj je po modulu veći od bilo kojeg broja koji vam pada na pamet. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite s dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je još veća od onoga što se događa. Zapravo, beskonačno veliko i beskonačno malo su inverzni jedno drugom, to jest, at, i obrnuto: at.

Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za infinitezimalni segment staze, to jest:

Napominjem da će s infinitezimalnim pomakom promjena visine također biti infinitezimalna. Ali dopustite mi da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Podijelite li infinitezimalne brojeve jedan s drugim, možete dobiti sasvim običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti točno puta veća od druge.

Čemu sve ovo? Cesta, strmina... Ne idemo na auto reli, nego učimo matematiku. I u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.

Pojam derivata

Derivacija funkcije je omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni priraštaj argumenta.

Postupno u matematici zovu promjena. Poziva se opseg do kojeg se argument () mijenja dok se pomiče duž osi povećanje argumenta a označava se. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju duž osi za udaljenost naziva se prirast funkcije i naznačen je.

Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Derivaciju označavamo istim slovom kao i funkciju, samo s promom gore desno: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu izvedenice koristeći ove oznake:

Kao i u analogiji s cestom, ovdje kada funkcija raste derivacija je pozitivna, a kada opada negativna.

Je li moguće da derivacija bude jednaka nuli? Sigurno. Na primjer, ako se vozimo ravnom vodoravnom cestom, strmina je nula. I istina je, visina se uopće ne mijenja. Tako je i s izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:

budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koji.

Sjetimo se primjera s brda. Ispostavilo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:

Ali veliki segmenti znak su netočnog mjerenja. Podići ćemo naš segment paralelno sa samim sobom, tada će se njegova duljina smanjiti.

Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrhu, duljina segmenta će postati infinitezimalna. Ali pritom je ostao paralelan s osi, odnosno visinska razlika na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, ali je jednaka). Dakle izvedenica

To se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.

Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada funkcija raste, izvod je pozitivan, a kada opada negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (budući da cesta nigdje ne mijenja oštro nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. Bit će tamo gdje funkcija niti raste niti opada - u točki vrha.

Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a s desne povećava):

Još malo o inkrementima.

Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Od koje vrijednosti mijenjamo? Što je (argument) sada postao? Možemo odabrati bilo koju točku, a sada ćemo plesati iz nje.

Promotrimo točku s koordinatom. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isto povećanje: povećavamo koordinatu za. Koji je sad argument? Vrlo jednostavno: . Kolika je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Što je s povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je i dalje iznos za koji se funkcija promijenila:

Vježbajte pronalaženje povećanja:

Pronađite priraštaj funkcije u točki kada je priraštaj argumenta jednak.
Isto vrijedi i za funkciju u točki.

rješenja:

U različitim točkama s istim inkrementom argumenta, inkrement funkcije bit će različit. To znači da je derivacija u svakoj točki različita (o tome smo govorili na samom početku - strmina ceste je različita u različitim točkama). Stoga, kada pišemo izvedenicu, moramo navesti u kojoj točki:

Funkcija snage.

Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument do nekog stupnja (logičan, zar ne?).

Štoviše – u bilo kojoj mjeri: .

Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:

Nađimo njegovu derivaciju u točki. Prisjetimo se definicije derivata:

Dakle, argument se mijenja iz u. Koliki je prirast funkcije?

Povećanje je ovo. Ali funkcija je u bilo kojoj točki jednaka svom argumentu. Zato:

Derivacija je jednaka:

Derivacija je jednaka:

b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .

Prisjetimo se sada toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, budući da je infinitezimalna i stoga beznačajna u odnosu na drugi član:

Pa smo smislili još jedno pravilo:

c) Nastavljamo logički niz: .

Ovaj se izraz može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu pomoću formule za skraćeno množenje kuba zbroja ili faktorizirati cijeli izraz pomoću formule razlike kubova. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.

Dakle, dobio sam sljedeće:

I opet se toga prisjetimo. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:

Dobivamo: .

d) Slična pravila mogu se dobiti za velike snage:

e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za potencnu funkciju s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:

(2)

Pravilo se može formulirati riječima: "stupanj se pomiče naprijed kao koeficijent, a zatim smanjuje za."

To ćemo pravilo dokazati kasnije (gotovo na samom kraju). Sada pogledajmo nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcije:

(na dva načina: formulom i pomoću definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);

Trigonometrijske funkcije.

Ovdje ćemo se poslužiti jednom činjenicom iz više matematike:

S izrazom.

Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, morate dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:

Vidimo da kada funkcija ne postoji - točka na grafu je izrezana. Ali što je bliža vrijednosti, to je bliža funkcija ovome "cilju".

Dodatno, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, nemojte se sramiti, uzmite kalkulator, još nismo na Jedinstvenom državnom ispitu.

Dakle, pokušajmo: ;

Ne zaboravite prebaciti svoj kalkulator u radijanski način rada!

itd. Vidimo da što je manji, to je vrijednost omjera bliža.

a) Razmotrimo funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:

Pretvorimo razliku sinusa u produkt. Da bismo to učinili, koristimo se formulom (sjetite se teme “”): .

Sada izvedenica:

Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:

I sada se toga sjećamo izrazom. I također, što ako se infinitezimalna količina može zanemariti u zbroju (tj. at).

Dakle, dobivamo sljedeće pravilo: derivacija sinusa jednaka je kosinusu:

To su osnovne ("tabularne") izvedenice. Evo ih na jednom popisu:

Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovi su najvažniji, jer se najčešće koriste.

Praksa:

Naći derivaciju funkcije u točki;
Pronađite izvod funkcije.

rješenja:

Eksponent i prirodni logaritam.

U matematici postoji funkcija čija je derivacija za bilo koju vrijednost istovremeno jednaka vrijednosti same funkcije. Zove se "eksponent" i eksponencijalna je funkcija

Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačni decimalni razlomak, odnosno iracionalan broj (kao npr.). Naziva se "Eulerovim brojem", zbog čega se označava slovom.

Dakle, pravilo:

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? Logaritam:

U našem slučaju baza je broj:

Takav logaritam (odnosno logaritam s bazom) nazivamo “prirodnim” i za njega koristimo posebnu oznaku: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Derivacija prirodnog logaritma također je vrlo jednostavna:

Primjeri:

Pronađite izvod funkcije.
Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam jedinstveno su jednostavne funkcije iz derivacijske perspektive. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će različitu derivaciju, koju ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferenciranja.

Pravila razlikovanja

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja izvoda.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim povećanjem funkcije na. Ovaj pojam dolazi od latinske riječi differentia - razlika. Ovdje.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Trebat će nam i formule za njihova povećanja:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta je izvučena iz predznaka izvoda.

Ako - neki stalni broj (konstanta), tada.

Očito, ovo pravilo vrijedi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

u točki;
u točki;
u točki;
u točki.

rješenja:

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedimo novu funkciju i pronađemo njezin inkrement:

izvedenica:

Primjeri:

Nađite derivacije funkcija i;
Pronađite izvod funkcije u točki.

rješenja:

Derivacija eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći izvod bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili što je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo izvod funkcije, pa pokušajmo reducirati našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo se jednostavnim pravilom: . Zatim:

Pa, uspjelo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Dogodilo se?

Evo, provjerite sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvodu eksponenta: kakva je bila, ostaje ista, samo se pojavio faktor koji je samo broj, ali ne i varijabla.

Primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Derivacija logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate izvedenicu prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljni logaritam s različitom bazom, na primjer:

Moramo svesti ovaj logaritam na bazu. Kako mijenjate bazu logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Samo što ćemo sada umjesto toga napisati:

Nazivnik je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobiva vrlo jednostavno:

Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno znati ih.

Derivacija složene funkcije.

Što je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teške za razumijevanje (iako vam je logaritmiranje teško, pročitajte temu “Logaritmi” i bit ćete dobro), ali s matematičke točke gledišta, riječ “kompleksno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Primjerice, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže vrpcom. Rezultat je kompozitni objekt: čokoladna pločica omotana i povezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, trebate učiniti obrnute korake obrnutim redoslijedom.

Stvorimo sličan matematički cjevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati dobiveni broj. Dakle, dan nam je broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a ti onda kvadriraš ono što sam ja dobio (zaveži vrpcom). Što se dogodilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njezinu vrijednost, izvodimo prvu radnju izravno s varijablom, a zatim drugu radnju s onim što je proizašlo iz prve.

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadrirate, a ja zatim tražim kosinus dobivenog broja: . Lako je pogoditi da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna značajka složenih funkcija: kada se promijeni redoslijed radnji, mijenja se i funkcija.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za prvi primjer,.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Radnja koju obavimo posljednja bit će pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja koja je prva izvedena - prema tome "unutarnja" funkcija(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da jednostavnim jezikom objasnim gradivo).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutarnja:

odgovori: Odvajanje unutarnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

Mijenjamo varijable i dobivamo funkciju.

E, sad ćemo izdvojiti našu čokoladicu i potražiti izvedenicu. Postupak je uvijek obrnut: prvo tražimo derivaciju vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s derivacijom unutarnje funkcije. U odnosu na izvorni primjer, to izgleda ovako:

Još jedan primjer:

Dakle, konačno formulirajmo službeno pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije složene funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

DERIVACIJA. UKRATKO O GLAVNOM

Derivacija funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za infinitezimalni prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je izuzeta iz predznaka izvoda:

Derivacija zbroja:

Derivat proizvoda:

Derivacija kvocijenta:

Derivacija složene funkcije:

Algoritam za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Definiramo “unutarnju” funkciju i nalazimo njezinu derivaciju.
Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
Množimo rezultate prve i druge točke.

Pa tema je gotova. Ako čitate ove retke, znači da ste vrlo cool.

Jer samo 5% ljudi je u stanju svladati nešto samostalno. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada ono najvažnije.

Razumjeli ste teoriju o ovoj temi. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već si bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što to možda neće biti dovoljno...

Za što?

Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na proračun na fakultet i, ŠTO JE NAJVAŽNIJE, za život.

Neću te uvjeravati ni u što, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju puno više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavno da su SRETNIJI (postoje takve studije). Možda zato što se pred njima otvara mnogo više prilika i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Što je potrebno da biste bili bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju bili... sretniji?

USPORITE SE RJEŠAVANJEM ZADATAKA NA OVU TEMU.

Tijekom ispita nećete tražiti teoriju.

Trebat će vam rješavati probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu pogrešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - trebaš ponoviti mnogo puta da bi sigurno pobijedio.

Pronađite kolekciju gdje god želite, obavezno s rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (neobavezno) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Kako biste se bolje snašli u našim zadacima, morate pomoći produžiti vijek trajanja udžbenika YouClever koji upravo čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, imamo 99 takvih članaka u našem udžbeniku i odmah se otvara pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima.

Pristup svim skrivenim zadacima omogućen je CIJELI život stranice.

U zaključku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, nađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” potpuno su različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

(Sl. 1)

Slika 1. Derivacijski graf

Svojstva derivacijskih grafova

U rastućim intervalima derivacija je pozitivna. Ako derivacija u određenoj točki iz određenog intervala ima pozitivnu vrijednost, tada graf funkcije na tom intervalu raste.
U opadajućim intervalima derivacija je negativna (s predznakom minus). Ako derivacija u određenoj točki iz određenog intervala ima negativnu vrijednost, tada graf funkcije opada na tom intervalu.
Derivacija u točki x jednaka je nagibu tangente povučene na graf funkcije u istoj točki.
U točkama maksimuma i minimuma funkcije derivacija je nula. Tangenta na graf funkcije u ovoj je točki paralelna s osi OX.

Primjer 1

Pomoću grafa (slika 2) derivacije odredite u kojoj točki segmenta [-3; 5] funkcija je maksimalna.

Slika 2. Derivacijski graf

Rješenje: Na ovom segmentu izvodnica je negativna, što znači da funkcija opada slijeva nadesno, a najveća vrijednost je na lijevoj strani u točki -3.

Primjer 2

Pomoću grafa (slika 3) derivacije odredite broj maksimalnih točaka na segmentu [-11; 3].

Slika 3. Derivacijski graf

Rješenje: Maksimalne točke odgovaraju točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz pozitivnog u negativan. Na tom intervalu funkcija dva puta mijenja predznak s plusa na minus - u točki -10 i u točki -1. To znači da je maksimalan broj bodova dva.

Primjer 3

Pomoću grafa (slika 3) derivacije odredite broj minimalnih točaka u segmentu [-11; -1].

Rješenje: Minimalne točke odgovaraju točkama u kojima se predznak derivacije mijenja iz negativnog u pozitivan. Na ovom segmentu takva točka je samo -7. To znači da je minimalni broj bodova na određenom segmentu jedan.

Primjer 4

Pomoću grafa (slika 3) derivacije odredite broj točaka ekstrema.

Rješenje: Ekstremne točke su i minimalne i maksimalne točke. Nađimo broj točaka u kojima derivacija mijenja predznak.