Лінійна, особливо лінійна поліноміальна, апроксимація часто відповідає характеру функції. Наприклад, багаточлен високого ступеня швидко росте, тому навіть нескладну функцію многочлен погано апроксимує на великому відрізку. Оскільки апроксимація проводиться в широкому інтервалі зміни аргументу, використання нелінійної залежності від коефіцієнтів тут вигідніше, ніж при інтерполяції.

Насправді використовують два виду залежності. Один - квазілінійна залежність, що зводиться вирівнюючою заміною змінних до лінійної, яка докладно вивчена в попередніх пунктах. Цей спосіб дуже ефективний і часто використовується при обробці експерименту, тому що апріорні відомості про фізику процесу допомагають знайти хорошу заміну змінних. Треба лише пам'ятати, що наближення, найкраще у нових змінних, нічого очікувати найкращим у сенсі скалярного твори в старих змінних. Тому на вибір ваги у нових змінних треба звертати особливу увагу.

Класичний приклад - завдання про радіоактивний розпад опроміненого зразка, в якій зручні змінні та t, де - швидкість розпаду. У цих змінних крива зазвичай апроксимується ламаною, ланки якої відповідають розпаду все більш довгоживучих членів радіоактивного ряду.

Інший уживаний вид залежності від коефіцієнтів - дробово-лінійна, коли апроксимуюча функція раціональна:

Нерідко використовують і ставлення узагальнених многочленов. Така апроксимація дозволяє передати полюси функції - їм відповідають нулі знаменника необхідної кратності. Найчастіше можна відтворити асимптотичну поведінку за рахунок відповідного вибору величини наприклад, якщо , то треба покласти . При цьому самі можна брати досить великими, щоб мати у своєму розпорядженні багато коефіцієнтів апроксимації.

Проте квадрат похибки не буде квадратичною функцією коефіцієнтів, отже знайти коефіцієнти раціональної функції нелегко. Можна за аналогією із середньоквадратичною апроксимацією багаточленами висунути гіпотезу, що похибка має на число нулів, не менше числа вільних коефіцієнтів (порівняйте із зауваженням 3 у п. 2). Тоді завдання зводиться до лагранжової інтерполяції за цими нулями і коефіцієнти перебувають із системи лінійних рівнянь:

Зрозуміло, точне положення нулів невідоме; їх вибирають довільно, зазвичай рівномірно розподіляючи на відрізку. Цей спосіб називають методом вибраних точок. Отримане цим способом наближення не буде найкращим.

Крім того, метод обраних точок нерозумний, як і будь-яка інтерполяція, якщо мають помітну похибку.

Найкраще наближення можна визначити шляхом ітерованої ваги. Зауважимо, що завдання

Легко вирішується: ліворуч, що стоїть, є квадратична функція коефіцієнтів і диференціювання за ними призводить до лінійної системи для визначення коефіцієнтів, подібної до (38). Нова задача відрізняється від вихідної по суті тим, що замість ваги використовується інша вага, тому її рішення не є найкращим наближенням. Запишемо вихідне завдання у новій формі:

і вирішуватимемо її простим ітераційним процесом

за нульове наближення можна взяти. На кожній ітерації вага відома за попередньою ітерацією, тому коефіцієнти легко знаходяться з умови мінімуму квадратичної форми. Практика показує, що коефіцієнти найкращого наближення слабо залежить від вибору ваги, тому зазвичай ітерації сходяться швидко.

а) Розглянемо деякі приклади апроксимації раціональною функцією. Покладемо

замінюючи два перших члени ряду дробом, отримаємо . Ця нескладна формула забезпечує точність при дуже зручна для оцінок.

б) Теоретично ймовірностей важливу роль грає інтеграл помилок котрого відомі розкладання до лав:

Перший ряд абсолютно сходиться, але при збіжності дуже повільна; другий ряд сходить асимптотично при великих значеннях. Замінюючи перші члени кожного ряду дробами, отримаємо

У зазначених діапазонах зміни аргументу похибка першої формули вбирається у 0,4%, а похибка другої формули -2,4%. Таким чином, точність цих апроксимацій цілком достатня для багатьох 1 практичних додатків.

в) Покладемо за . Ця функція монотонна, причому при Легко побудувати дріб

Апроксимація нелінійної функції

x 0/12/6/4/3 5/12/2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Так як інтервал розбиття функції дорівнює, то обчислюємо наступні коефіцієнти нахилу відповідних ділянок функції, що апроксимується:

1. Побудова блоків формування відрізків апроксимуючої функції

Формування функції часу

Інтервал зміни:

Час циклічного перезапуску: T = 1c

Тепер змоделюємо функцію:

Апроксимація

Рисунок 3.1 - Схема розв'язання рівняння

Малюнок 3.2 – Блок-схема формування нелінійної функції

Таким чином, автоматично формується ліва частина рівняння. При цьому умовно вважається, що старша похідна x // відома, оскільки члени правої частини рівняння відомі і можуть бути підключені до входів У1 (рисунок 3.1). Операційний підсилювач У3 виконує роль інвертора сигналу +х. Для моделювання x// необхідно у схему ввести ще один підсумуючий підсилювач, на входи якого необхідно подати сигнали, що моделюють праву частину рівняння (3.2).

Розраховуються масштаби всіх змінних з урахуванням того, що максимальна величина машинної змінної за абсолютною величиною дорівнює 10 В:

Mx = 10/xmax; Mx/ = 10/x/max; Mx // = 10 / x // max;

My = 10/ymax. (3.3)

Масштаб часу Mt = T/tmax = 1, оскільки моделювання завдання здійснюється у реальному масштабі часу.

Розраховуються коефіцієнти передачі кожного входу інтегруючих підсилювачів.

Для підсилювача У1 коефіцієнти передачі знаходяться за формулами:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/a2/(MxMt);

K13 = Mx/a1/(MxMt). (3.4)

Для підсилювача У2:

K21 = Mx// (Mx/Mt), (3.5)

і для підсилювача У3:

К31 = 1. (3.6)

Напруги початкових умов обчислюються за формулами:

ux/(0) = Mx/x/(0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Права частина рівняння (3.2) представлена ​​нелінійною функцією, що визначається шляхом лінійної апроксимації. При цьому необхідно перевіряти, щоб похибка апроксимації не перевищувала задану величину. Блок-схема формування нелінійної функції представлена ​​малюнку 3.2.

Опис принципової схеми

Блок формування функції часу (Ф) виконується у вигляді одного (для формування t) або двох послідовно з'єднаних (для формування t2) підсилювачів, що інтегрують, з нульовими початковими умовами.

У цьому випадку при подачі на вхід першого інтегратора сигналу U на його виході отримаємо:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Поклавши K11E=1, маємо u1(t)=t.

На виході другого інтегратора отримаємо:

u2(t) = K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

Поклавши K11K21E/2 = 1, маємо u2(t)= t2.

Блоки формування відрізків апроксимуючої функції реалізуються як діодних блоків нелінійних функцій (ДБНФ), вхідний величиною яких є функція часу t чи t2. Порядок розрахунку та побудови ДБНФ наведені у .

Суматор (ЖУМ) відрізків апроксимуючої функції виконується у вигляді диференціального підсумкового підсилювача.

Початкові умови для інтеграторів схеми, що моделюють, вводяться за допомогою вузла зі змінною структурою (рисунок 3.3). Ця схема може працювати у двох режимах:

а) інтегрування - при положенні ключа До позиції 1. При цьому вихідний сигнал схеми з достатньою точністю описується рівнянням ідеального інтегратора:

u1(t)= - (1/RC) . (3.10)

Цей режим використовується для моделювання завдання. Для перевірки правильності вибору параметрів R і C інтегратора перевіряють величину вихідної напруги інтегратора у функції часу та корисний час інтегрування в межах припустимої помилки?

Величина вихідної напруги інтегратора

U(t)= - KYE (1 - e - Т / [(Ky+1)RC) (3.11)

за час моделювання Т при інтегруванні вхідного сигналу E з використанням операційного підсилювача з коефіцієнтом передачі Ky без ланцюга зворотного зв'язку не повинна перевищувати значення машинного змінного (10 В).

Час інтегрування

Tі = 2RC(Kу + 1)? Uдоп (3.12)

при вибраних параметрах схеми не повинен бути меншим, ніж час моделювання Т.

б) завдання початкових умов реалізується при перекладі ключа К у положення 2. Цей режим використовується для підготовки моделюючої схеми до процесу розв'язання. При цьому вихідний сигнал схеми описується рівнянням:

u0(t)= - (R2/R1) E (3.13)

де u0(t) – величина початкових умов.

З метою скорочення часу формування початкових умов та забезпечення надійної роботи параметри схеми повинні задовольняти умову: R1C1 = R2C.

Побудувати повну розрахункову схему. При цьому слід користуватися умовними позначеннями, наведеними у підрозділі 3.1.

Користуючись розрядністю вхідних та вихідних даних, побудувати важливі схеми блоків Б1 і Б2 і з'єднати їх із блоком РС.

(Зверніть увагу на додатковий розділ від 04.06.2017 наприкінці статті.)

Облік та контроль! Ті, кому за 40 мають добре пам'ятати це гасло з доби побудови соціалізму та комунізму в нашій країні.

Але без добре налагодженого обліку неможливе ефективне функціонування ні країни, ні області, ні підприємства, ні домашнього господарства за будь-якої суспільно-економічної формації суспільства! Для складання прогнозів та планів діяльності та розвитку необхідні вихідні дані. Де їх брати? Тільки один достовірнийджерело – це вашістатистичні облікові дані попередніх періодів.

Враховувати результати своєї діяльності, збирати та записувати інформацію, обробляти та аналізувати дані, застосовувати результати аналізу для прийняття правильних рішень у майбутньому має, у моєму розумінні, кожна розсудлива людина. Це є ніщо інше, як накопичення та раціональне використання свого життєвого досвіду. Якщо не вести облік важливих даних, то ви через певний період їх забудете і, почавши займатися цими питаннями знову, ви знову наробите ті самі помилки, що робили, коли вперше цим займалися.

«Ми, пам'ятаю, 5 років тому виготовляли до 1000 штук таких виробів на місяць, а зараз і 700 ледве збираємо!». Відкриваємо статистику і бачимо, що 5 років тому та 500 штук не виготовляли…

«У скільки обходиться кілометр пробігу твого автомобіля з урахуванням всіхвитрат?» Відкриваємо статистику – 6 руб./км. Поїздка працювати – 107 рублів. Дешевше, ніж на таксі (180 рублів) більш ніж у півтора рази. А бували часи, коли на таксі було дешевше.

«Скільки часу потрібно виготовлення металоконструкцій кутової вежі зв'язку висотою 50 м?» Відкриваємо статистику – і за 5 хвилин готова відповідь…

«Скільки коштуватиме ремонт кімнати у квартирі?» Піднімаємо старі записи, робимо поправку на інфляцію за минулі роки, враховуємо, що минулого разу купили матеріали на 10% дешевші за ринкову ціну і – орієнтовну вартість ми вже знаємо…

Ведучи облік своєї професійної діяльності, ви завжди будете готові відповісти на запитання начальника: "Коли!!!???". Ведучи облік домашнього господарства, легше спланувати витрати на великі покупки, відпочинок та інші витрати в майбутньому, вживши відповідних заходів щодо додаткового заробітку або скорочення необов'язкових витрат сьогодні.

У цій статті я на простому прикладі покажу, як можна обробляти зібрані статистичні дані в Excel для подальшого використання при прогнозуванні майбутніх періодів.

Апроксимація в Excel статистичних даних є аналітичною функцією.

Виробнича ділянка виготовляє будівельні металоконструкції з листового та профільного металопрокату. Ділянка працює стабільно, замовлення однотипні, чисельність робітників коливається незначною мірою. Є дані про випуск продукції за попередні 12 місяців і кількість переробленого в ці періоди часу металопрокату по групах: листи, двотаври, швелери, куточки, труби круглі, профілі прямокутного перерізу, круглий прокат. Після попереднього аналізу вихідних даних виникло припущення, що сумарний місячний випуск металоконструкцій залежить від кількості куточків у замовленнях. Перевіримо це припущення.

Насамперед, кілька слів про апроксимацію. Ми шукатимемо закон – аналітичну функцію, тобто функцію, задану рівнянням, яке краще за інших описує залежність загального випуску металоконструкцій від кількості кутового прокату у виконаних замовленнях. Це і є апроксимація, а знайдене рівняння називається апроксимуючою функцією для вихідної функції, заданої у вигляді таблиці.

1. Включаємо Excel та поміщаємо на аркуш таблицю з даними статистики.

2. Далі будуємо та форматуємо точкову діаграму, в якій по осі X задаємо значення аргументу – кількість перероблених куточків у тоннах. По осі Y відкладаємо значення вихідної функції – загальний випуск металоконструкцій за місяць, задані таблицею.

3. «Наводимо» мишу на будь-яку з точок на графіку і клацанням правої кнопки викликаємо контекстне меню (як каже один мій добрий товариш — працюючи в незнайомій програмі, коли не знаєш, що робити, частіше клацни правою кнопкою миші…). У меню вибираємо «Додати лінію тренда…».

4. У вікні «Лінія тренду» на вкладці «Тип» вибираємо «Лінійна».

6. На графіці з'явилася пряма лінія, що апроксимує нашу табличну залежність.

Ми бачимо, крім самої лінії, рівняння цієї лінії і, головне, бачимо значення параметра R 2 – величини достовірності апроксимації! Чим ближче до його значення до 1, тим найбільш точно обрана функція апроксимує табличні дані!

7. Будуємо лінії тренду, використовуючи статечну, логарифмічну, експоненційну та поліноміальну апроксимацію за аналогією з тим, як ми будували лінійну лінію тренду.

Найкраще з обраних функцій апроксимує наші дані поліном другого ступеня, має максимальний коефіцієнт достовірності R 2 .

Однак хочу вас застерегти! Якщо ви візьмете поліноми вищих ступенів, то, можливо, отримаєте ще кращі результати, але криві матимуть хитромудрий вигляд. Тут важливо розуміти, що ми шукаємо функцію, яка має фізичне значення. Що це означає? Це означає, що нам потрібна апроксимуюча функція, яка видаватиме адекватні результати не тільки всередині діапазону значень X, що розглядається, але і за його межами, тобто відповість на запитання: «Який буде випуск металоконструкцій при кількості перероблених за місяць куточків менше 45 і більше 168 тонн!» Тому я не рекомендую захоплюватися поліномами високих ступенів, та й параболу (поліном другого ступеня) обирати обережно!

Отже, нам необхідно вибрати функцію, яка не тільки добре інтерполює табличні дані в межах діапазону значень X=45…168, а й припускає адекватну екстраполяцію за межами цього діапазону. Я вибираю в даному випадку логарифмічну функцію, хоча можна вибрати і лінійну як найбільш просту. У прикладі при виборі лінійної апроксимації в excel помилки будуть більше, ніж при виборі логарифмічної, але не на багато.

8. Видаляємо всі лінії тренду з поля діаграми, крім логарифмічної функції. Для цього клацаємо правою кнопкою миші по непотрібних лініях і в контекстному меню вибираємо «Очистити».

9. На завершення додамо до точок табличних даних планки похибок. Для цього правою кнопкою миші клацаємо на будь-якій крапці на графіку і в контекстному меню вибираємо «Формат рядів даних…» і налаштовуємо дані на вкладці «Y-похибки» так, як на малюнку нижче.

10. Потім клацаємо по будь-якій лінії діапазонів похибок правою кнопкою миші, вибираємо в контекстному меню «Формат смуг похибок…» і у вікні «Формат планок похибок» на вкладці «Вид» налаштовуємо колір і товщину ліній.

Аналогічно форматуються будь-які інші об'єкти діаграми вExcel!

Остаточний результат діаграми наведено на наступному знімку екрана.

Підсумки.

Результатом усіх попередніх дій стала одержана формула апроксимуючої функції y=-172,01*ln(x)+1188,2. Знаючи її, і кількість куточків у місячному наборі робіт, можна з високим ступенем ймовірності (±4% — дивися планки похибок) спрогнозувати загальний випуск металоконструкцій за місяць! Наприклад, якщо у плані на місяць 140 тонн куточків, то загальний випуск, швидше за все, за інших рівних становитиме 338±14 тонн.

Для підвищення достовірності апроксимації статистичних даних має бути багато. Дванадцять пар значень – це обмаль.

З практики скажу, що добрим результатом слід вважати перебування апроксимуючої функції з коефіцієнтом достовірності R 2 >0,87. Відмінний результат при R 2 >0,94.

На практиці буває важко виділити один найголовніший визначальний фактор (у нашому прикладі – маса перероблених за місяць куточків), але якщо постаратися, то у кожному конкретному завданні його завжди можна знайти! Звичайно, загальний випуск продукції за місяць реально залежить від сотні факторів, для обліку яких потрібні суттєві трудовитрати нормувальників та інших фахівців. Тільки результат все одно буде приблизним! Тож чи варто нести витрати, якщо є набагато дешевше математичне моделювання!

У цій статті я лише торкнувся верхівки айсберга під назвою збір, обробка та практичне використання статистичних даних. Про те вдалося, чи ні, мені розворушити ваш інтерес до цієї теми, сподіваюся дізнатися з коментарів та рейтингу статті у пошукових системах.

Порушене питання апроксимації функції однієї змінної має широке практичне застосування у різних сферах життя. Але набагато більше застосування має вирішення задачі апроксимації функції кількох незалежнихзмінних…. Про це і не лише читайте у наступних статтях на блозі.

Підписуйтесь на анонси статей у вікні, розташованому наприкінці кожної статті або у вікні вгорі сторінки.

Не забувайте підтверджувати підписку кліком за посиланням у листі, який прийде до вас на вказану пошту (може прийти до папки « Спам » )!!!

З інтересом прочитаю Ваші коментарі, шановні читачі! Пишіть!

P.S. (04.06.2017)

Високоточна красива заміна табличних даних простим рівнянням.

Вас не влаштовують отримані точність апроксимації (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

Розміри виразу та форма лінії апроксимуючого полінома високого ступеня не тішить око?

Звертайтеся через сторінку « » для отримання більш точного та компактного результату апроксимації ваших табличних даних та для того, щоб дізнатися просту методику вирішення задач високоточної апроксимації функцією однієї змінної.

При використанні запропонованого алгоритму дій знайдено компактну функцію, що забезпечує найвищу точність апроксимації: R 2 =0,9963!!!

Вирішення систем нелінійних та трансцендентних рівнянь.

Системи нелінійних та трансцендентних рівнянь. Розв'язання рівнянь у чисельному вигляді.

Численні методи вирішення завдань

Радіофізики та електроніки

(Навчальний посібник)

Воронеж 2009

Навчальний посібник підготовлено на кафедрі електроніки фізичного

факультету Воронезького Держуніверситету.

Розглядаються методи вирішення завдань, пов'язаних із автоматизованим аналізом електронних схем. Викладаються основні поняття теорії графів. Наводиться матрично-топологічне формулювання законів Кірхгофа. Описуються найвідоміші матрично-топологічні методи: метод вузлових потенціалів, метод контурних струмів, метод дискретних моделей, гібридний метод, метод змінних станів.

1. Апроксимація нелінійних характеристик. Інтерполяція. 6

1.1. Поліноми Ньютона та Лагранжа 6

1.2. Сплайн-інтерполяція 8

1.3. Метод найменших квадратів 9

2. Системи рівнянь алгебри 28

2.1. Системи лінійних рівнянь. Метод Гауса. 28

2.2. Розріджені системи рівнянь. LU-факторизація. 36

2.3. Розв'язання нелінійних рівнянь 37

2.4. Розв'язання систем нелінійних рівнянь 40

2.5. Диференційне рівняння. 44

2. Методи пошуку екстремуму. Оптимізація. 28

2.1. Методи пошуку екстремуму. 36

2.2. Пасивний пошук 28

2.3. Послідовний пошук 36

2.4. Багатовимірна оптимізація 37

Список литературы 47

Апроксимація нелінійних характеристик. Інтерполяція.

1.1. Поліноми Ньютона та Лагранжа.

При вирішенні багатьох завдань виникає необхідність у заміні функції f, про яку є неповна інформація або форма якої занадто складна, простішою і зручнішою функцією F, близькою в тому чи іншому сенсі до f, що дає її наближене уявлення. Для апроксимації (наближення) використовуються функції F, що належать певному класу, наприклад, поліноми алгебри заданого ступеня. Існує багато різних варіантів задачі про наближення функції, які залежать від того, які функції f апроксимуються, які функції F використовуються для апроксимації, як розуміється близькість функцій f і F і т.д.

Одним із методів побудови наближених функцій є інтерполювання, коли потрібно, щоб у певних точках (вузлах інтерполяції) збігалися значення вихідної функції f і апроксимуючої функції F. У більш загальному випадку повинні збігатися значення похідних у заданих точках.

Інтерполювання функцій використовується для заміни функції, що складно обчислюється, інший, що обчислюється простіше; для наближеного відновлення функції з її значенням у окремих точках; для чисельного диференціювання та інтегрування функцій; для чисельного розв'язання нелінійних та диференціальних рівнянь тощо.

Найпростіше завдання інтерполювання полягає в наступному. Для деякої функції на відрізку задані n+1 значень у точках, які називаються вузлами інтерполяції. При цьому . Потрібно побудувати інтерполюючу функцію F(x), що приймає у вузлах інтерполяції ті ж значення, що і f(x):

F(x 0) = f(x 0), F(x 1) = f(x 1), … , F(x n) = f(x n)

Геометрично це означає знаходження кривої певного типу, що проходить через задану систему точок (x i, y i), i = 0,1, ..., n.

Якщо значення аргументу виходять за область, то говорять про екстраполювання – продовження функції за область її визначення.

Найчастіше функція F(x) будується як алгебраїчного полінома . Існує кілька уявлень алгебраїчних інтерполяційних поліномів.

Один з методів інтерполювання функцій, що приймає в точках значення - це побудова полінома Лагранжа, який має такий вигляд:

Ступінь інтерполяційного полінома, що проходить через n+1 вузлів інтерполяції, дорівнює n.

З виду полінома Лагранжа випливає, що додавання нової вузлової точки призводить до зміни всіх членів полінома. У цьому полягає незручність формули Лагранжа. Проте метод Лагранжа містить мінімальну кількість арифметичних дій.

Для побудови поліномів Лагранжа зростаючих ступенів може бути використана наступна ітераційна схема (схема Ейткена).

Поліноми, що проходять через дві точки (x i, y i), (x j, y j) (i=0,1,…,n-1 ; j=i+1,…,n), можуть бути представлені таким чином:

Поліноми, що проходять через три точки (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k)

(i=0,…,n-2 ; j=i+1,…,n-1 ; k=j+1,…,n), можуть бути виражені через поліноми L ij і L jk:

Поліноми для чотирьох точок (x i, y i), (x j, y j), (x k, y k), (x l, y l) будуються з поліномів L ijk і L jkl:

Процес триває доти, доки отримано поліном, проходить через n заданих точок.

Алгоритм обчислення значення полінома Лагранжа в точці XX, що реалізує схему Ейткена, може бути записаний за допомогою оператора:

for (int i=0;i

for (int i=0;i<=N-2;i++)Здесь не нужно слово int, программа

його сприйме як помилку – повторне оголошення змінної,

змінна i вже була оголошена

for (int j=i+1;j<=N-1;j++)

F[j]=((arg-x[i])*F[j]-(arg-x[j])*F[i])/(x[j]-x[i]);

де масив F – це проміжні значення поліном Лагранжа. Спочатку слід покласти F[I] рівними y i. Після виконання циклів F[N] – це значення полінома Лагранжа ступеня N у точці XX.

Іншою формою подання інтерполяційного полінома є формули Ньютона. Нехай - рівновіддалені вузли інтерполяції; i=0,1,…,n; - крок інтерполяції.

1-а інтерполяційна формула Ньютона, яка використовується для інтерполювання «вперед», має вигляд:

Називається (кінцевими) різницями i-го порядку. Вони визначаються так:

Нормований аргумент.

При інтерполяційній формулі Ньютона перетворюється на ряд Тейлора.

2-я інтерполяційна формула Ньютона використовується для інтерполювання «назад»:

В останньому записі замість різниць (званих різницею «вперед») використовуються різниці «назад»:

У разі нерівновіддалених вузлів розглядаються т.зв. розділені різниці

При цьому інтерполяційний багаточлен у формі Ньютона має вигляд

На відміну від формули Лагранжа додавання нової пари значень. (x n +1 , y n +1) зводиться тут до додавання одного нового члена. Тому число вузлів інтерполяції можна легко збільшити без повторення всього обчислення. Це дозволяє оцінити точність інтерполювання. Проте формули Ньютона вимагають більше арифметичних дій, ніж формули Лагранжа.

При n=1 отримуємо формулу лінійного інтерполювання:

При n=2 матимемо формулу параболічного інтерполювання:

При інтерполюванні функцій алгебраїчні поліноми високого ступеня застосовуються рідко через значні обчислювальні витрати і великі похибки при обчисленні значень.

Насправді найчастіше використовують кусочно-линейное чи кусочно-параболическое інтерполювання.

При кусково-лінійному інтерполюванні функція f(x) на інтервалі (i=0,1,…,n-1) апроксимується відрізком прямої

Алгоритм обчислення, що реалізує шматково-лінійне інтерполювання, може бути записаний за допомогою оператора:

for (int i=0;i

if ((arg>=Fx[i]) && (arg<=Fx))

res=Fy[i]+(Fy-Fy[i])*(arg-Fx[i])/(Fx-Fx[i]);

За допомогою першого циклу шукаємо, де знаходиться точка, що шукається.

При кусково-параболічному інтерполюванні поліном будується за 3-ма вузловими точками, найближчими до заданого значення аргументу.

Алгоритм обчислення, що реалізує шматково-параболічне інтерполювання, може бути записаний за допомогою оператора:

for (int i=0;i

y0=Fy; При i=0 елемент немає!

x0 = Fx; Теж саме

res=y0+(y1-y0)*(arg-x0)/(x1-x0)+(1/(x2-x0))*(arg-x0)*(arg-x1)*(((y2-y1) /(x2-x1))-((y1-y0)/(x1-x0))));

Застосування інтерполювання який завжди доцільно. При обробці експериментальних даних бажано згладжувати функції. Апроксимація експериментальних залежностей за методом найменших квадратів виходить із вимоги мінімізації середньоквадратичної помилки

Коефіцієнти апроксимуючого полінома перебувають з рішення системи m+1 лінійних рівнянь, т.зв. «нормальних» рівнянь k=0,1,…,m

Крім алгебраїчних поліномів для апроксимації функцій широко використовуються тригонометричні поліноми.

(Див. «Чисельний гармонійний аналіз»).

Ефективним апаратом наближення функції є сплайн. Для сплайну потрібно збіг його значень і похідних у вузлових точках з функцією f(x), що інтерполується, і її похідними до деякого порядку. Проте побудова сплайнів часом потребує значних обчислювальних витрат.

1 | | | | | | | | | | | |

Нехай у результаті вимірів у процесі досвіду отримано табличне завдання деякої функції f(х),що виражає зв'язок між двома географічними параметрами:

х	x 1	х 2	…	x n
f(x)	y 1	у 2	…	y n

Звичайно, можна знайти формулу, що виражає цю залежність аналітично, застосувавши метод інтерполяції. Однак, збіг значень отриманого аналітичного завдання функції у вузлах інтерполяції з наявними емпіричними даними часто може зовсім не означати збіг характерів поведінки вихідної та інтерполюючої функції на всьому інтервалі спостереження. Крім того, таблична залежність географічних показників завжди виходить в результаті вимірювань різними приладами, що мають певну і не досить малу похибку вимірювання. Вимога точного збігу значень функцій, що наближає і наближається, у вузлах є тим більше невиправданим, якщо значення функції f(х),отримані в результаті вимірів вже є наближеними.

Завдання апроксимації функції однієї змінної від початку обов'язково враховує характер поведінки вихідної функції по всьому інтервалі спостережень. Формулювання завдання виглядає так. Функція у = f(х)задана таблицею (1). Необхідно знайти функцію заданого виду:

яка в точках x 1 , x 2 , …, x nприймає значення, якомога ближче до табличних y 1, y 2, …, y n.

Насправді вид наближувальної функції найчастіше визначають шляхом порівняння виду наближено побудованого графіка функції у = f(х)з графіками відомих досліднику функцій, заданих аналітично (найчастіше простих на вигляд елементарних функцій). А саме, за таблицею (1) будується точковий графік f(x),потім проводиться плавна крива, що по можливості найкраще відображає характер розташування точок. За отриманою таким чином кривою на якісному рівні встановлюється вид функції, що наближає.

Розглянемо рисунок 6.

На малюнку 6 зображено три ситуації:

• На графіку (а) взаємозв'язок хі ублизька до лінійної; пряма лінія тут близька до точок спостережень, і останні відхиляються від неї лише результаті порівняно невеликих випадкових впливів.
• На графіку (b) реальний взаємозв'язок величин хі уописується нелінійною функцією, і яку б ми провели пряму лінію, відхилення точок спостереження від неї буде суттєвим і невипадковим. У той же час проведена гілка параболи досить добре відображає характер залежності між величинами.
• На графіку (с) явний взаємозв'язок між змінними хі уВідсутнє; хоч би яку ми вибрали формулу зв'язку, результати її параметризації будуть тут невдалими. Зокрема, обидві обрані прямі однаково погані для того, щоб робити висновки про очікувані значення змінної уза значеннями змінної х.

Слід зазначити, що строга функціональна залежність для таблиці вихідних даних спостерігається рідко, бо кожна з величин, що беруть участь у ній, може залежати від багатьох випадкових факторів. Однак формула (2) (її називають емпіричною формулою або рівнянням регресії уна х) цікава тим, що дозволяє знаходити значення функції fдля нетабличних значень х, "згладжуючи" результати вимірювань величини у, тобто. на всьому інтервалі зміни х. Виправданість такого підходу визначається зрештою практичною корисністю отриманої формули.

Через наявну "хмару" точок завжди можна спробувати провести лінію встановленого виду, яка є найкращою у певному сенсі серед усіх ліній даного виду, тобто "найближчої" до точок спостережень щодо їх сукупності. Для цього визначимо спочатку поняття близькості лінії до деякої множини точок на площині. Заходи такої близькості можуть бути різними. Однак, будь-яка розумна міра повинна бути, очевидно, пов'язана з відстанню від точок спостереження до лінії, що розглядається (що задається рівнянням y=F(x)).

Припустимо, що функція, що наближає F(x)у точках х 1, x 2, ..., x nмає значення y 1 , y 2 , ..., y n. Часто як критерій близькості використовується мінімум суми квадратів різниць спостережень залежної змінної y iі теоретичних, розрахованих за рівнянням регресії значень y i. Тут вважається, що y iі x i- відомі дані спостережень, а F- Рівняння лінії регресії з невідомими параметрами (формули для їх обчислення будуть наведені нижче). Метод оцінювання параметрів наближувальної функції, що мінімізує суму квадратів відхилень спостережень залежною змінною від значень функції, що шукається, називається методом найменших квадратів (МНК)або Least Squares Method (LS).

Отже, завдання наближення функції fтепер можна сформулювати так: для функції f, заданою таблицею (1), знайти функцію Fпевного виду так, щоб сума квадратів Ф була найменшою.

Розглянемо метод знаходження наближувальної функції у загальному вигляді на прикладі апроксимуючої функції з трьома параметрами:

(3)

Нехай F(x i , a, b, c) = y i , i = 1, 2, ..., n.Сума квадратів різниць відповідних значень fі Fматиме вигляд:

Ця сума є функцією Ф (а, b, c)трьох змінних (параметрів a, bі c). Завдання зводиться до пошуку її мінімуму. Використовуємо необхідну умову екстремуму:

Отримуємо систему визначення невідомих параметрів a, b, c.

(5)

Вирішивши цю систему трьох рівнянь із трьома невідомими щодо параметрів a, b, c,ми і отримаємо конкретний вид шуканої функції F(x, a, b, c).Як очевидно з розглянутого прикладу, зміна кількості параметрів призведе до спотворення сутності самого підходу, а виявиться лише зміні кількості рівнянь у системі (5).

Природно очікувати, що значення знайденої функції F(x, a, b, c)у точках х 1, x 2, ..., x n, відрізнятимуться від табличних значень y 1 , y 2 , ..., y n. Значення різниць y i -F(x i ,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n)називаються відхиленнями виміряних значень yвід обчислених за формулою (3). Для знайденої емпіричної формули (2) відповідно до вихідної таблиці (1) можна, отже знайти

суму квадратів відхилень , яка відповідно до методу найменших квадратів для заданого виду функції, що наближає (і знайдених значень параметрів) повинна бути найменшою. З двох різних наближень однієї й тієї ж табличної функції, слідуючи методу найменших квадратів, найкращим слід вважати те, котрого сума (4) має найменше значення.

В експериментальній практиці як наближуючі функції залежно від характеру точкового графіка fчасто використовуються функції, що наближають, з двома параметрами:

Очевидно, що коли наближення функції встановлений, завдання зводиться тільки до відшукання значень параметрів.

Розглянемо емпіричні залежності, що найчастіше зустрічаються в практичних дослідженнях.

3.3.1. Лінійна функція (лінійна регрессія). Початковим пунктом аналізу залежностей зазвичай є оцінка лінійної залежності змінних. Слід при цьому враховувати, однак, що "найкраща" за методом найменших квадратів пряма лінія завжди існує, але навіть найкраща не завжди досить хороша. Якщо насправді залежність y=f(x)є квадратичною, її не зможе адекватно описати ніяка лінійна функція, хоча серед усіх таких функцій обов'язково знайдеться "найкраща". Якщо величини хі увзагалі не пов'язані, ми також завжди зможемо знайти "найкращу" лінійну функцію y=ax+bдля даної сукупності спостережень, але в цьому випадку конкретні значення аі bвизначаються лише випадковими відхиленнями змінних і самі дуже змінюватимуться різних вибірок з однієї й тієї ж генеральної сукупності.

Розглянемо тепер завдання оцінки коефіцієнтів лінійної регресії формально. Припустимо, що зв'язок між xі yлінійна і шукану функцію, що наближає, будемо шукати у вигляді:

Знайдемо приватні похідні за параметрами:

Підставимо отримані співвідношення в систему виду (5):

або, ділячи кожне рівняння на n:

Введемо позначення:

(7)

Тоді остання система матиме вигляд:

(8)

Коефіцієнти цієї системи M x , M y , M xy , M x 2- числа, які в кожній конкретній задачі наближення можуть бути легко обчислені за формулами (7), де x i , y i- Значення з таблиці (1). Вирішивши систему (8), отримаємо значення параметрів aі b, отже, і конкретний вид лінійної функції (6).

Необхідною умовою для вибору лінійної функції як шукана емпірична формула є співвідношення :

3.3.2. Квадратична функція (квадратична регресія).Будемо шукати функцію, що наближає, у вигляді квадратного тричлена:

Знаходимо приватні похідні:

Складемо систему виду (5):

Після нескладних перетворень виходить система трьох лінійних рівнянь із трьома невідомими a, b, c. Коефіцієнти системи, як і у разі лінійної функції, виражаються лише через відомі дані з таблиці (1):

(10)

Тут використані позначення (7), а також

Рішення системи (10) дає значення параметрів a, bі здля наближення функції (9).

Квадратична регресія застосовується, якщо всі вирази виду у 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2і т.д. мало відрізняються один від одного.

3.3.3. Ступенева функція (геометрична регресія).Знайдемо тепер функцію, що наближає, у вигляді:

(11)

Припускаючи, що у вихідній таблиці (1) значення аргументу та значення функції позитивні, прологарифмуємо рівність (11) за умови а>0:

Оскільки функція Fє наближаючим для функції f, функція lnFбуде наближаючим для функції lnf. Введемо нову змінну u=lnx; тоді, як випливає з (12), lnFбуде функцією від u: Ф(u).

Позначимо

Тепер рівність (12) набуває вигляду:

тобто. Завдання звелося до пошуку наближувальної функції у вигляді лінійної. Практично для знаходження шуканої наближувальної функції у вигляді статечної (при зроблених вище припущеннях) необхідно зробити наступне:

1. за даною таблицею (1) скласти нову таблицю, прологарифмувавши значення xі yу вихідній таблиці;

2. по новій таблиці знайти параметри Аі Унаближає функції виду (14);

3. використовуючи позначення (13), знайти значення параметрів aі mі підставити їх у вираз (11).

Необхідною умовою для вибору статечної функції як шукана емпірична формула є співвідношення :

3.3.4. Показова функція . Нехай вихідна таблиця (1) така, що функцію, що наближає, доцільно шукати у вигляді показової функції:

Прологарифмуємо рівність (15):

(16)

Прийнявши позначення (13), перепишемо (16) у вигляді:

(17)

Таким чином, для знаходження наближувальної функції у вигляді (15) потрібно прологарифмувати значення функції у вихідній таблиці (1) і, розглядаючи їх спільно з вихідними значеннями аргументу, побудувати для нової таблиці функцію наближення (17). Після цього відповідно до позначень (13) залишається отримати значення параметрів, що шукаються aі bі підставити їх у формулу (15).

Необхідною умовою для вибору показової функції як шукана емпірична формула є співвідношення :

.

3.3.5. Дробно-лінійна функція.Шукатимемо наближувальну функцію у вигляді:

(18)

Рівність (18) перепишемо так:

З останньої рівності випливає, що для знаходження значень параметрів aі bпо заданій таблиці (1) потрібно скласти нову таблицю, у якої значення аргументу залишити колишніми, а значення функції замінити зворотними числами, після чого для отриманої таблиці знайти функцію виду, що наближає ax+b. Знайдені значення параметрів aі bпідставити у формулу (18).

Необхідною умовою для вибору дробово-лінійної функції як шукана емпірична формула є співвідношення :

.

3.3.6. Логарифмічна функція. Нехай функція, що наближає, має вигляд:

Легко бачити, що для переходу до лінійної функції достатньо зробити підстановку lnx=u. Звідси випливає, що знаходження значень aі bНеобхідно прологарифмировать значення аргументу у вихідної таблиці (1) і, розглядаючи отримані значення разом із вихідними значеннями функції, знайти для отриманої в такий спосіб нової таблиці наближальну функцію як лінійної. Коефіцієнти aі bзнайденої функції підставити у формулу (19).

Необхідною умовою для вибору логарифмічної функції як шукана емпірична формула є співвідношення :

.

3.3.7. Гіперболу.Якщо точковий графік, побудований за таблицею (1), дає галузь гіперболи, функцію, що наближає, можна шукати у вигляді.