Система зчислення- це спосіб запису числа за допомогою зазначеного набору особливих знаків (цифр).

Система зчислення:

• дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);

• дає кожному числу унікальне уявлення (чи, хоча б, стандартне уявлення);

• відображає алгебраїчну та арифметичну структуру числа.

Запис числа в деякій системі числення називається кодом числа.

Окрема позиція у відображенні числа називається розряд, Отже, номер позиції - номер розряду.

Кількість розрядів у записі числа називають розрядністюта збігається з його довжиною.

Системи числення поділяються на позиційніі непозиційні.Позиційні системи числення діляться

на однорідніі змішані.

вісімкова система числення, шістнадцяткова система числення та інші системи числення.

Переклад систем числення.Числа можна перевести з однієї системи числення до іншої.

Таблиця відповідності цифр у різних системах числення.

Існують позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах численнявага цифри (тобто той внесок, який вона вносить у значення числа) не залежить від її позиціїу записі числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах численнявага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.

Сама ж запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 -1 = 757,7.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своїм основою.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д. Запис чисел у кожній із систем числення з основою qозначає скорочений запис виразу

a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + ... + a -m q -m ,

де a i - Цифри системи числення; n і m - Число цілих і дробових розрядів, відповідно. Наприклад:

Які системи числення використовують фахівці для спілкування з комп'ютером?

Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

двійкова(використовуються цифри 0, 1);

вісімкова(використовуються цифри 0, 1, ..., 7);

шістнадцяткова(Для перших цілих чисел від нуля до дев'яти використовуються цифри 0, 1, ..., 9, а для наступних чисел - від десяти до п'ятнадцяти - як цифри використовуються символи A, B, C, D, E, F).

Корисно запам'ятати запис у цих системах числення перших двох десятків цілих чисел:

З усіх систем числення особливо простаі тому цікава для технічної реалізації в комп'ютерах двійкова система числення.

Що таке система числення?

Що таке система числення? Система числення - це сукупність прийомів і правил, якими числа записуються і читаються.

Існують позиційні та непозиційні системи числення.

У непозиційних системах числення вага цифри (тобто той внесок, що вона вносить у значення числа) залежить від її позиції запису числа. Так, у римській системі числення в числі ХХХII (тридцять два) вага цифри Х у будь-якій позиції дорівнює просто десяти.

У позиційних системах числення вага кожної цифри змінюється в залежності від її положення (позиції) у послідовності цифр, що зображують число. Наприклад, серед 757,7 перша сімка означає 7 сотень, друга - 7 одиниць, а третя - 7 десятих часток одиниці.

А сам запис числа 757,7 означає скорочений запис виразу:

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Основа позиційної системи числення - кількість різних цифр, використовуваних зображення чисел у цій системі числення.

За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число – два, три, чотири тощо. Отже, можливо безліч позиційних систем: двійкова, трійкова, четвіркова і т.д.

Як породжуються цілі числа у позиційних системах числення?

У кожній системі числення цифри упорядковані відповідно до їх значень: 1 більше 0, 2 більше 1 і т.д.

Просуванням цифри називають заміну її наступної за величиною.

Просунути цифру 1 означає замінити її на 2, просунути цифру 2 означає замінити на 3 і т.д. Просування старшої цифри (наприклад, цифри 9 у десятковій системі) означає заміну її на 0. У двійковій системі, яка використовує лише дві цифри - 0 і 1, просування 0 означає заміну на 1, а просування 1 - заміну її на 0.

Для освіти цілого числа, наступного за будь-яким даним цілим числом, потрібно просунути праву цифру числа; якщо якась цифра після просування стала банкрутом, потрібно просунути цифру, що стоїть ліворуч від неї.

Застосовуючи це правило, запишемо перші десять цілих чисел

· У двійковій системі: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

· У трійковій системі: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

· У п'ятирічній системі: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

· У вісімковій системі: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

Крім десяткової широко використовуються системи з основою, що є цілим ступенем числа 2, а саме:

Двійкова система	Четверкова система	Вісімкова система	Десяткова система	Шістнадцяткова система
1	1	1	1	1
10	2	2	2	2
11	3	3	3	3
100	10	4	4	4
101	11	5	5	5
110	12	6	6	6
111	13	7	7	7
1000	20	10	8	8
1001	21	11	9	9
1010	22	12	10	A
1011	23	13	11	B
1100	30	14	12	C
1101	31	15	13	D
1110	32	16	14	E
1111	33	17	15	F
10000	40	20	16	10

Чому люди користуються десятковою системою, а комп'ютери – двійковою?

Люди віддають перевагу десятковій системі, мабуть, тому, що з давніх часів рахували на пальцях, а пальців у людей по десять на руках і ногах. Не завжди і скрізь люди користуються десятковою системою числення. У Китаї, наприклад, тривалий час користувалися п'ятирічною системою числення.

А комп'ютери використовують двійкову систему тому, що вона має низку переваг перед іншими системами:

· Для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами (є струм - немає струму, намагнічний - не намагнічний і т.п.), а не, наприклад, з десятьма, - як у десятковій;

· Подання інформації за допомогою тільки двох станів надійно і завадостійке;

· Можливе застосування апарату булевої алгебри для виконання логічних перетворень інформації;

· Двійкова арифметика набагато простіше десяткової.

Недолік двійкової системи - швидке зростання числа розрядів, необхідні записи чисел.

Чому в комп'ютерах використовуються також вісімкова та шістнадцяткова системи числення?

Двійкова система, зручна для комп'ютерів, для людини незручна через її громіздкість та незвичний запис.

Переведення чисел із десяткової системи у двійкову і навпаки виконує машина. Однак, щоб професійно використовувати комп'ютер, слід навчитися розуміти слово машини. Для цього і розроблено вісімкову та шістнадцяткову системи.

Числа в цих системах читаються майже так само легко, як десяткові, вимагають відповідно в три (вісімкова) і в чотири (шістнадцяткова) рази менше розрядів, ніж у двійковій системі (адже числа 8 і 16 - відповідно, третій та четвертий ступеня числа 2) .

Переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Кількість p різних цифр, які у позиційної системі визначає назву системи числення і називається основою системи числення – "p". Будь-яке число N у позиційній системі числення з основою p може бути представлене у вигляді полінома від основи p:

N = a n p n +a n-1 p n-1 + ... +a 1 p+a 0 +a -1 p -1 +a -2 p -2 + ... (1.1)

тут N – число, a j – коефіцієнти (цифри числа), p – основа системи числення (p>1). Прийнято подавати числа у вигляді послідовності цифр:

N = n a n -1 ... a 1 a 0 . a -1 a -2 ...

Переведення чисел у десяткову систему здійснюється шляхом складання статечного ряду з основою тієї системи (див. формулу 1.1), з якої число перекладається. Потім підраховується сума.

Переведення цілих десяткових чисел у десяткову систему числення здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу тієї системи, в яку воно переводиться, доти, доки не вийде менша приватна ця підстава. Число в новій системі записується у вигляді залишків розподілу, починаючи з останнього.

Приклад: Перекладемо число 75 з десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Відповідь: 75 10 = 1 001 011 2 = 113 8 = 4B 16 .

Переклад правильних дробів із десяткової системи числення в десяткову. Для переведення правильного десяткового дробу в іншу систему цей дріб треба послідовно множити на підставу тієї системи, в яку вона переводиться. При цьому множаться лише дробові частини. Дріб у новій системі записується у вигляді цілих частин творів, починаючи з першого.

приклад. Переведемо число 0,36 з десяткової системи в двійкову, вісімкову та шістнадцяткову:

Для переведення неправильного десяткового дробу в систему числення з десятковою основою необхідно окремо перевести цілу частину та окремо дробову. Перекласти 23.125 10 2 с.с.

Системи числення називаються кратними, якщо виконується співвідношення: S = R N , де S, R – основи числення, N – ступінь кратності (ціле число: 2, 3 …).

Для переведення числа із системи числення R в кратну їй систему числення S надходять таким чином: рухаючись від точки вліво і вправо, розбивають число на групи N розрядів, доповнюючи при необхідності нулями крайні ліву і праву групи. Потім групу замінюють відповідною цифрою із системи числення S.

Перекласти 1101111001.1101 2 "8" с.с.	Перекласти 11111111011.100111 2 "16" с.с.

Для переведення числа із системи числення S в кратну їй систему числення R достатньо замінити кожну цифру цього числа відповідним числом системи обчислення R, при цьому відкидають незначні нулі в старших (00512) і молодших (15,124000) розрядах.

Перекласти 305.4 8 "2" с.с.	Перекласти 7B2.E 16 "2" с.с.

Якщо потрібно виконати переклад із системи числення S в R, за умови, що вони не є кратними, тоді потрібно спробувати підібрати систему числення K, таку: S = K N і R = K N .

Перекласти 175.24 8 "16" с.с.

Результат: 175.24 8 = 7D.5 16 .

Якщо систему числення K підібрати не вдається, тоді слід виконати переклад використовуючи як проміжну десяткову систему числення.

Для цього приклади

Переведення вісімкових і шістнадцяткових чисел у двійкову систему дуже простий: досить кожну цифру замінити еквівалентною їй двійковою тріадою (трійкою цифр) або зошитом (четвіркою цифр).

Наприклад:

Щоб перевести число з двійкової системи у вісімкову або шістнадцяткову, його потрібно розбити вліво та вправо від коми на тріади (для вісімкової) або зошити (для шістнадцяткової) та кожну таку групу замінити відповідною вісімковою (шістнадцятковою) цифрою. Наприклад:

Додавання в різних системах числення

Таблиці складання легко скласти, використовуючи Правило Рахунку.

Віднімання у різних системах числення

Розмноження в різних системах числення

Виконуючи множення багатозначних чисел у різних позиційних системах числення, можна використовувати звичайний алгоритм перемноження чисел у стовпчик, але при цьому результати перемноження та складання однозначних чисел необхідно запозичувати з відповідних аналізованих таблиць множення і додавання.

Розподіл у різних системах числення

Розподіл у будь-якій позиційній системі числення проводиться за тими самими правилами, як і розподіл кутом у десятковій системі. У двійковій системі розподіл виконується особливо просто, адже чергова цифра частки може бути лише банкрутом або одиницею.

Помножувати на основу нової системи числення до тих пір, поки в новому дробі не буде потрібної кількості цифр, що визначається необхідною точністю подання дробу. Правильний дріб у новій системі числення записується з цілих частин творів, що виходять при послідовному множенні, причому перша ціла частина буде старшою цифрою нового дробу. Розглянемо як приклад...

Подання в них досить великих чисел, тому що при цьому виходить надзвичайно громіздкий запис чисел або потрібен дуже великий алфавіт цифр, що використовуються. У ЕОМ застосовують лише позиційні системи числення, у яких кількісний еквівалент кожної цифри алфавіту залежить тільки від виду цієї цифри, а й її розташування у записи числа. Позиційні системи числення У...

Послідовності 0 і 1. Наприклад, ціле невід'ємне число А2=Т 111100002 буде зберігатися в комірці наступним чином: 1 1 1 1 0 0 0 0 Значить, ми можемо записати всі числа від 0 до 255 в двійковій системі числення в 1 комірці пам'яті. 2.2 Подання чисел у комп'ютері Цілі числа в комп'ютері зберігаються в комірках пам'яті, у цьому випадку кожному розряду комірки пам'яті відповідає...

Подання чисел за допомогою письмових знаків.

Система зчислення:

• дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);
• дає кожному числу унікальну виставу (або, принаймні, стандартну виставу);
• відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Системи числення поділяються на позиційні, непозиційніі змішані.

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення один і той же числовий знак (цифра) у записі числа має різні значення в залежності від місця (розряду), де він розташований. Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам; розвинена була така нумерація індусами та мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації. До таких систем належить сучасна десяткова система числення , виникнення якої пов'язані з рахунком пальцями. У середньовічній Європі вона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували в мусульман.

Під позиційною системою числення зазвичай розуміється -річна система числення, яка визначається цілим числом основоюсистеми числення. Ціле число без знака в -річковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації ступенів числа:

де - це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівність .

Кожен ступінь у такому записі називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних цифр визначається значенням показника (номером розряду). Зазвичай, у ненульових числах ліві нулі опускаються.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри подаються у вигляді унікальних письмових знаків), число записують у вигляді послідовності його -річних цифр, що перераховуються за спаданням старшинства розрядів зліва направо:

Наприклад, число сто триподається в десятковій системі числення у вигляді:

Найбільш вживаними нині позиційними системами є:

У позиційних системах чим більше основа системи, тим менша кількість розрядів (тобто цифр, що записуються) потрібно при записі числа.

Змішані системи числення

Змішана система численняє узагальненням -річкової системи числення і часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел, і кожне число в ній представляється як лінійна комбінація:

, де на коефіцієнти , звані як і раніше цифрами, накладаються деякі обмеження.

Записом числа у змішаній системі числення називається перерахування його цифр у порядку зменшення індексу, починаючи з першого ненульового.

Залежно від виду як функції від змішані системи числення можуть бути статечними, показовими тощо. Коли для деякого, змішана система числення збігається з показовою-річковою системою числення.

Найбільш відомим прикладом змішаної системи числення є уявлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин та секунд. У цьому величина « днів, годин, хвилин, секунд» відповідає значенню секунд.

Факторіальна система числення

У факторіальній системі численняосновами є послідовність факторіалів, і кожне натуральне число подається у вигляді:

де .

Факторіальна система числення використовується при декодування перестановок списками інверсій: маючи номер перестановки, можна відтворити її так: число, на одиницю менше номера (нумерація починається з нуля) записується в факторіальной системі числення, причому коефіцієнт при числі i! буде позначати число інверсій для елемента i+1 у тому множині, в якому проводяться перестановки (кількість елементів менших i+1, але стоять правіше за нього в перестановці)

Приклад: розглянемо безліч перестановок із 5 елементів, всього їх 5! = 120 (від перестановки з номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки з номером 119 - (5,4,3,2,1)), знайдемо 101 перестановку: 100 = 4!* 4 + 3! * 0 + 2! * 2 + 1! * 0 = 96 + 4; покладемо ti - коефіцієнт при числі i!, Тоді t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 тоді: число елементів менших 5, але стоять правіше дорівнює 4; число елементів менших 4, але стоять правіше 0; число елементів менших 3, але які стоять правіше, дорівнює 2; число елементів менших 2, але стоять правіше дорівнює 0 (останній елемент у перестановці «ставиться» на єдине місце, що залишилося) - таким чином, 101-а перестановка матиме вигляд: (5,3,1,2,4) Перевірка даного методу може бути здійснена шляхом безпосереднього підрахунку інверсій кожного елемента перестановки.

Фібоначчієва система численняґрунтується на числах Фібоначчі. Кожне натуральне число в ній представляється у вигляді:

, де - Числа Фібоначчі, , при цьому в коефіцієнтах є кінцева кількість одиниць і не зустрічаються дві одиниці поспіль.

Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, залежить від становища в числе. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад, щоб вони були розташовані в порядку зменшення.

Біноміальна система числення

Подання, що використовує біномні коефіцієнти

де .

Система залишкових класів (СІК)

Уявлення числа в системі залишкових класів засноване на понятті відрахування та китайської теореми про залишки. СІК визначається набором взаємно простих модулівз твором так, що кожному цілому з відрізка ставиться у відповідність набір відрахувань , де

…

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність уявлення для чисел із відрізка.

У СІК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, поділ) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілим і також лежить в .

Недоліками СІК є можливість представлення лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, поданих у СІК. Порівняння зазвичай здійснюється через переведення аргументів із СОК у змішану систему числення на підставах.

Система числення Штерна-Броко- Спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко.

Системи числення різних народів

Одинична система числення

Очевидно, хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Натуральне число зображується шляхом повторення одного й того самого знака (риски або крапки). Наприклад, щоб зобразити число 26, потрібно провести 26 рисок (або зробити 26 засічок на кістки, камені тощо). Згодом, задля зручності сприйняття великих чисел ці знаки групуються по три або по п'ять. Потім рівнооб'ємні групи знаків починають замінюватись якимось новим знаком - так виникають прообрази майбутніх цифр.

Давньоєгипетська система числення

Вавилонська система числення

Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки (іонічна система числення), араби (абджадія), євреї (див. гематрія) та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецьку алфавітну систему було переведено на літери кирилиці.

Єврейська система числення

Грецька система числення

Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські літери:
I позначає 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Наприклад, II = 1 + 1 = 2
тут символ I означає 1 незалежно від місця в числі.

Насправді, римська система не є повністю непозиційною, оскільки менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї, наприклад:

IV = 4, тоді як:
VI = 6

Система числення майя

Див. також

Примітки

Посилання

• Гашков С. Б.Системи числення та їх застосування. – М.: МЦНМО, 2004. – (Бібліотека «Математичне просвітництво»).
• Фомін С. В.Системи числення. – М.: Наука, 1987. – 48 с. - (популярні лекції з математики).
• Яглом І.Системи числення // Квант. – 1970. – № 6. – С. 2-10.
• Цифри та системи числення. Онлайн Енциклопедія Навколишній світ.
• Стахов А.Роль систем числення історія комп'ютерів .
• Мікушин А. В. Системи числення. Курс лекцій "Цифрові пристрої та мікропроцесори"
• Butler JT, Sasao T

Wikimedia Foundation. 2010 .

волів (розрядів). Такий підхід використовується при передачі, зберіганні та обробці інформації і зазвичай не пов'язаний із змістом інформації.

1.5.2. Імовірнісний підхід

У Теорія інформації, інформація визначається як знята невизначеність. Тут враховується цінність інформації для одержувача. Кількість інформації визначається тим, наскільки зменшиться міра невизначеності (ентропія) після отримання повідомлення чи настання події.

За одиницю кількості інформації (біт) приймається така кількість інформації, що містить повідомлення, що зменшує інформаційну невизначеність у 2 рази. У випадку, кількість інформації (Н ) що міститься у повідомленні у тому, що сталося одне з N рівноймовірних подій, визначається так:

Група із 8 бітів називається байтом. Якщо біт – мінімальна одиниця інформації, то байт – основна. Існують похідні одиниці інформації:

1 байт = 8 біт;

1 кілобайт = 210 байт = 1024 байт;

1 мегабайт = 220 байт = 1024 кілобайт;

1 гігабайт = 230 байт = 1024 мегабайт;

1 Терабайт = 240 байт = 1024 гігабайт.

1.6. Системи числення, що використовуються в інформатиці

Система числення - це сукупність прийомів та правил запису чисел за допомогою цифр. Розрізняють непозиційні та позиційні системи числення.

У Непозиційна система числення кожен символ має своє певне значення, яке не залежить від положення символу в записі числа. Наприклад, у римській системі числення

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Число 77 записується LXXVII.

У позиційної системи числення значення будь-якої цифри у зображенні числа залежить від її положення (позиції) у ряді цифр, що зображують це число. Наприклад: 77 - 7 одиниць та 7 десятків.

Кожна позиційна система числення має певну кількість символів (цифр) для позначення будь-якого числа:

- Двійкова - 2: 0 і 1;

– десяткова - 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Кількість цифр, які у позиційної системі числення для запису чисел, називається основою системи числення. Підставою системи числення може бути будь-яке натуральне число.

Нехай q - основа системи, тоді будь-яке число в системі числення з основою q можна представити у вигляді:

А q = n q n + a n –1 q n –1 + ... + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a –1 q –1 + a –2 q –2 + ... + a –k q–k , (3) де А q - число, записане в системі числення з основою q

n + 1 - кількість розрядів цілої частини числа

а i - цифри числа, причому 0 ≤ а i< q ,

k - кількість розрядів у дрібній частині числа.

В інформатиці використовуються лише позиційні системи числення: десяткова, двійкова, вісімкова, шістнадцяткова.

1.6.1. Правила переведення чисел з однієї системи числення до іншої

Правило 1 . Для переведення цілого десяткового числа А в систему числення з основою q необхідно число А ділити на основу q до отримання цілого залишку меншого q . Отримане окреме слід знову ділити на q до отримання цілого залишку, меншого q і т.д. доти, доки останнє приватне нічого очікувати менше q . Тоді десяткове число А в системі числення з основою q слід записати у вигляді послідовності залишків поділу в порядку, зворотному їхньому отриманню, причому старший розряд дає останнє приватне.

Правило 2 . Для переведення десяткового дробу в систему числення з основою q слід помножити це число на основу q. Ціла частина твору буде першою цифрою числа в системі числення з основою q. Потім, відкинувши цілу частину, знову помножити основу q тощо. до тих пір, поки не буде отримано необхідну кількість розрядів у новій системі числення або поки що переклад не закінчиться.

Правило 3 . Змішані числа десяткової системи числення переводяться у два прийоми: окремо ціла частина за своїм правилом та окремо дробова частина за своїм правилом. Потім записується загальний результат, у якого дробова частина відокремлюється комою.

Правило 4 . Для переведення числа із системи числення з основою q у десяткову систему числення слід використовувати форму запису числа у вигляді (3).

Правило 5 . Для переведення цілого числа з двійкової системи числення у вісімкову систему необхідно послідовність двійкових цифр раз-