Kroppar under påverkan av gravitationen. Kropparnas rörelse under påverkan av gravitationen. Kroppsrörelse under påverkan av gravitationen: formler för att lösa problem

Baserat på tolkningen av Newtons andra lag kan vi dra slutsatsen att en förändring i rörelse sker genom kraft. Mekanik beaktar krafter av olika fysisk natur. Många av dem bestäms med hjälp av gravitationskrafter.

År 1862 upptäcktes lagen om universell gravitation av I. Newton. Han föreslog att krafterna som håller upp månen är av samma karaktär som de krafter som får ett äpple att falla till jorden. Innebörden av hypotesen är närvaron av attraktionskrafter riktade längs en linje och förbinder masscentra, som visas i figur 1. 10 . 1 . En sfärisk kropp har ett masscentrum som sammanfaller med kulans centrum.

Teckning 1 . 10 . 1 . Gravitationskrafter för attraktion mellan kroppar. F 1 → = - F 2 → .

Definition 1

Med tanke på planeternas kända rörelseriktningar försökte Newton ta reda på vilka krafter som verkar på dem. Denna process kallas omvända mekanikens problem.

Mekanikens huvuduppgift är att bestämma koordinaterna för en kropp med känd massa med dess hastighet när som helst med hjälp av kända krafter som verkar på kroppen och ett givet tillstånd (direkt problem). Det omvända utförs genom att bestämma de verkande krafterna på en kropp med dess kända riktning. Sådana problem ledde vetenskapsmannen till upptäckten av definitionen av lagen om universell gravitation.

Definition 2

Alla kroppar attraheras av varandra med en kraft som är direkt proportionell mot deras massor och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem.

F = G m 1 m 2 r 2 .

Värdet på G bestämmer proportionalitetskoefficienten för alla kroppar i naturen, kallad gravitationskonstanten och betecknas med formeln G = 6,67 · 10 - 11 N · m 2 / k g 2 (CI).

De flesta fenomen i naturen förklaras av närvaron av den universella gravitationskraften. Rörelsen av planeter, jordens konstgjorda satelliter, flygbanorna för ballistiska missiler, rörelsen av kroppar nära jordens yta - allt förklaras av tyngdlagen och dynamik.

Definition 3

Tyngdkraftens manifestation kännetecknas av närvaron allvar. Detta är namnet på kropparnas attraktionskraft mot jorden och nära dess yta.

När M betecknas som jordens massa, är RZ radien, m är kroppens massa, då tar formeln för gravitationen formen:

F = G M R З 2 m = mg.

Där g är tyngdaccelerationen, lika med g = G M R 3 2.

Tyngdkraften riktas mot jordens centrum, som visas i Moon-Earth-exemplet. I frånvaro av andra krafter rör sig kroppen med tyngdaccelerationen. Dess medelvärde är 9,81 m/s2. Med ett känt G och radie R 3 = 6,38 · 10 6 m, beräknas jordens massa M med hjälp av formeln:

M = g R 3 2 G = 5,98 10 24 k g.

Om en kropp rör sig bort från jordens yta så förändras effekten av gravitationen och accelerationen på grund av gravitationen i omvänd proportion till kvadraten på avståndet r till centrum. Bild 1 . 10 . 2 visar hur gravitationskraften som verkar på skeppets astronaut förändras med avståndet från jorden. Uppenbarligen är F för dess attraktion till jorden lika med 700 N.

Teckning 1 . 10 . 2 . Förändringar i gravitationskraften som verkar på en astronaut när han rör sig bort från jorden.

Exempel 1

Jord-månen är ett lämpligt exempel på växelverkan mellan ett tvåkroppssystem.

Avståndet till månen är r L = 3,84 · 10 6 m. Det är 60 gånger större än jordens radie R Z. Detta betyder att i närvaro av gravitation kommer gravitationsaccelerationen α L för månens bana att vara α L = g R Z r L2 = 9,81 m/s 2 60 2 = 0,0027 m/s 2.

Den är riktad mot jordens centrum och kallas centripetal. Beräkningen görs enligt formeln a L = υ 2 r L = 4 π 2 r L T 2 = 0,0027 m / s 2, där T = 27,3 dagar är månens rotationsperiod runt jorden. Resultaten och beräkningarna utförda på olika sätt tyder på att Newton hade rätt i sitt antagande om samma karaktär av kraften som håller månen i omloppsbana och tyngdkraften.

Månen har sitt eget gravitationsfält, som bestämmer gravitationsaccelerationen g L på ytan. Månens massa är 81 gånger mindre än jordens massa och dess radie är 3,7 gånger. Detta visar att accelerationen g L bör bestämmas från uttrycket:

g L = G M L R L 2 = G M Z 3, 7 2 T 3 2 = 0, 17 g = 1, 66 m/s 2.

En sådan svag gravitation är typisk för astronauter på månen. Därför kan du göra enorma hopp och steg. Ett hopp på en meter på jorden motsvarar sju meter på månen.

Rörelsen av konstgjorda satelliter registreras utanför jordens atmosfär, så de påverkas av jordens gravitationskrafter. Banan för en kosmisk kropp kan variera beroende på den initiala hastigheten. Rörelsen av en konstgjord satellit i omloppsbana nära jorden tas ungefär som avståndet till jordens centrum, lika med radien R Z. De flyger på höjder av 200 - 300 km.

Definition 4

Det följer att satellitens centripetalacceleration, som förmedlas av gravitationskrafter, är lika med gravitationsaccelerationen g. Satellitens hastighet kommer att ha beteckningen υ 1. De ringer henne första flykthastighet.

Genom att tillämpa den kinematiska formeln för centripetalacceleration får vi

a n = υ 1 2 R З = g, υ 1 = g R З = 7,91 · 10 3 m/s.

Med denna hastighet kunde satelliten flyga runt jorden på en tid lika med T 1 = 2 πR З υ 1 = 84 min 12 s.

Men rotationsperioden för en satellit i en cirkulär bana nära jorden är mycket längre än vad som anges ovan, eftersom det finns en skillnad mellan radien för den faktiska banan och jordens radie.

Satelliten rör sig enligt principen om fritt fall, vagt likt banan för en projektil eller ballistisk missil. Skillnaden ligger i satellitens höga hastighet, och krökningsradien för dess bana når längden av jordens radie.

Satelliter som rör sig längs cirkulära banor över stora avstånd har en försvagad gravitation, omvänt proportionell mot kvadraten på banans radie r. Att sedan hitta satellitens hastighet följer villkoret:

υ 2 к = g R 3 2 r 2, υ = g R 3 R З r = υ 1 R 3 r.

Därför indikerar närvaron av satelliter i höga banor en lägre hastighet för deras rörelse än från en omloppsbana nära jorden. Formeln för cirkulationsperioden är:

T = 2 πr υ = 2 πr υ 1 r R З = 2 πR З υ 1 r R 3 3 / 2 = T 1 2 π R З.

T 1 tar värdet av satellitens omloppsperiod i låg omloppsbana om jorden. T ökar med storleken på omloppsradien. Om r har värdet 6, 6 R 3 så är satellitens T 24 timmar. När den skjuts upp i ekvatorialplanet kommer den att observeras hänga ovanför en viss punkt på jordens yta. Användningen av sådana satelliter är känd i rymdradiokommunikationssystemet. En bana med radien r = 6,6 RЗ kallas geostationär.

Teckning 1 . 10 . 3 . Modell av satellitrörelse.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Verkan av universella gravitationskrafter i naturen förklarar många fenomen: planeternas rörelse i solsystemet, jordens konstgjorda satelliter, flygbanorna för ballistiska missiler, rörelsen av kroppar nära jordens yta - alla förklaras på grundval av lagen om universell gravitation och dynamikens lagar.

Tyngdlagen förklarar solsystemets mekaniska struktur, och Keplers lagar som beskriver planetrörelsens banor kan härledas från den. För Kepler var hans lagar rent beskrivande - vetenskapsmannen sammanfattade helt enkelt sina observationer i matematisk form, utan att ge några teoretiska grunder för formlerna. I världsordningens stora system enligt Newton blir Keplers lagar en direkt konsekvens av mekanikens universella lagar och den universella gravitationens lag. Det vill säga, vi observerar återigen hur empiriska slutsatser som erhållits på en nivå förvandlas till strikt underbyggda logiska slutsatser när vi går till nästa steg av fördjupning av vår kunskap om världen.

Newton var den förste som uttryckte idén att gravitationskrafter inte bara bestämmer rörelsen av solsystemets planeter; de verkar mellan alla kroppar i universum. En av manifestationerna av den universella gravitationskraften är tyngdkraften - detta är det vanliga namnet för kropparnas attraktionskraft mot jorden nära dess yta.

Om M är jordens massa, RЗ är dess radie, m är massan av en given kropp, då är tyngdkraften lika med

där g är accelerationen av fritt fall;

nära jordens yta

Tyngdkraften är riktad mot jordens centrum. I frånvaro av andra krafter faller kroppen fritt till jorden med tyngdaccelerationen.

Medelvärdet för accelerationen på grund av gravitationen för olika punkter på jordens yta är 9,81 m/s2. Genom att känna till tyngdaccelerationen och jordens radie (RЗ = 6,38·106 m), kan vi beräkna jordens massa

Den bild av solsystemets struktur som följer av dessa ekvationer och kombinerar jordisk och himmelsk gravitation kan förstås med ett enkelt exempel. Anta att vi står vid kanten av en skir klippa, bredvid en kanon och en hög med kanonkulor. Om du helt enkelt tappar en kanonkula vertikalt från kanten av en klippa, kommer den att börja falla ner vertikalt och jämnt accelererat. Dess rörelse kommer att beskrivas av Newtons lagar för likformigt accelererad rörelse av en kropp med acceleration g. Om du nu skjuter en kanonkula mot horisonten kommer den att flyga och falla i en båge. Och i det här fallet kommer dess rörelse att beskrivas av Newtons lagar, bara nu tillämpas de på en kropp som rör sig under påverkan av gravitationen och har en viss initial hastighet i horisontalplanet. Nu, när du laddar kanonen med allt tyngre kanonkulor och skjuter om och om igen, kommer du att upptäcka att när varje på varandra följande kanonkula lämnar pipan med en högre initial hastighet, faller kanonkulorna längre och längre från klippans bas.

Föreställ dig nu att vi har packat så mycket krut i en kanon att hastigheten på kanonkulan räcker för att flyga jorden runt. Om vi ​​försummar luftmotståndet kommer kanonkulan, efter att ha flugit runt jorden, återgå till sin startpunkt med exakt samma hastighet som den först flög ut ur kanonen. Vad som kommer att hända härnäst är klart: kärnan kommer inte att stanna där och kommer att fortsätta att slingra sig cirkel efter cirkel runt planeten.

Med andra ord kommer vi att få en konstgjord satellit som kretsar runt jorden, som en naturlig satellit - Månen.

Så, steg för steg, gick vi från att beskriva rörelsen hos en kropp som enbart faller under påverkan av "jordisk" gravitation (Newtons äpple) till att beskriva rörelsen hos en satellit (Månen) i omloppsbana, utan att ändra karaktären av gravitationen inflytande från "jordiskt" till "himmelskt". Det var denna insikt som gjorde det möjligt för Newton att koppla samman de två gravitationskrafterna som ansågs olika till sin natur före honom.

När vi rör oss bort från jordens yta ändras tyngdkraften och tyngdaccelerationen i omvänd proportion till kvadraten på avståndet r till jordens centrum. Ett exempel på ett system med två samverkande kroppar är jord-månesystemet. Månen är belägen på ett avstånd från jorden rL = 3,84·106 m. Detta avstånd är ungefär 60 gånger jordens radie RЗ. Följaktligen är accelerationen av fritt fall aL, på grund av gravitationen, i månens omloppsbana

Med en sådan acceleration riktad mot jordens centrum rör sig månen i omloppsbana. Därför är denna acceleration centripetalacceleration. Det kan beräknas med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration

där T = 27,3 dagar är månens rotationsperiod runt jorden.

Sammanträffandet av resultaten av beräkningar utförda på olika sätt bekräftar Newtons antagande om den enda karaktären hos kraften som håller månen i omloppsbana och tyngdkraften.

Månens eget gravitationsfält bestämmer gravitationsaccelerationen gL på dess yta. Månens massa är 81 gånger mindre än jordens massa och dess radie är ungefär 3,7 gånger mindre än jordens radie.

Därför kommer accelerationen gЛ att bestämmas av uttrycket

Astronauterna som landade på månen befann sig i förhållanden med så svag gravitation. En person under sådana förhållanden kan göra stora språng. Till exempel, om en person på jorden hoppar till en höjd av 1 m, kan han hoppa till en höjd av mer än 6 m på månen.

Låt oss överväga frågan om konstgjorda jordsatelliter. Jordens konstgjorda satelliter rör sig utanför jordens atmosfär, och de påverkas endast av gravitationskrafter från jorden.

Beroende på den initiala hastigheten kan en kosmisk kropps bana vara annorlunda. Låt oss överväga fallet med en konstgjord satellit som rör sig i en cirkulär jordbana. Sådana satelliter flyger på höjder av storleksordningen 200–300 km, och avståndet till jordens centrum kan ungefär tas vara lika med dess radie RЗ. Då är centripetalaccelerationen för satelliten som tilldelas den av gravitationskrafter ungefär lika med gravitationsaccelerationen g. Låt oss beteckna satellitens hastighet i låg omloppsbana om jorden med υ1 - denna hastighet kallas den första kosmiska hastigheten. Med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration får vi

Med en sådan hastighet skulle satelliten cirkla runt jorden i tid

Faktum är att rotationsperioden för en satellit i en cirkulär bana nära jordens yta är något längre än det angivna värdet på grund av skillnaden mellan radien för den faktiska omloppsbanan och jordens radie. En satellits rörelse kan ses som ett fritt fall, liknande rörelsen hos projektiler eller ballistiska missiler. Den enda skillnaden är att satellitens hastighet är så hög att krökningsradien för dess bana är lika med jordens radie.

För satelliter som rör sig längs cirkulära banor på ett betydande avstånd från jorden, försvagas jordens gravitation i omvänd proportion till kvadraten på banans radie r. Således är hastigheten för satelliter i höga omloppsbanor mindre än i låg omloppsbana om jorden.

Satellitens omloppsperiod ökar med ökande omloppsradie. Det är lätt att beräkna att med en omloppsradie r lika med cirka 6,6 RЗ, kommer satellitens omloppsperiod att vara lika med 24 timmar. En satellit med en sådan omloppsperiod, uppskjuten i ekvatorialplanet, kommer att hänga orörlig över en viss punkt på jordens yta. Sådana satelliter används i rymdradiokommunikationssystem. En bana med radien r = 6,6 RЗ kallas geostationär.

Den andra kosmiska hastigheten är den lägsta hastighet som måste tilldelas en rymdfarkost på jordens yta så att den, efter att ha övervunnit gravitationen, förvandlas till en artificiell satellit för solen (konstgjord planet). I det här fallet kommer skeppet att röra sig bort från jorden längs en parabolisk bana.

Figur 5 illustrerar utrymningshastigheter. Om rymdfarkostens hastighet är lika med υ1 = 7,9·103 m/s och är riktad parallellt med jordens yta, kommer skeppet att röra sig i en cirkulär bana på låg höjd över jorden. Vid initiala hastigheter som överstiger υ1, men mindre än υ2 = 11,2·103 m/s, kommer fartygets bana att vara elliptisk. Vid en initial hastighet på υ2 kommer fartyget att röra sig längs en parabel, och med en ännu högre initial hastighet, längs en hyperbel.

Kosmiska hastigheter

Hastigheterna nära jordens yta anges: 1) υ = υ1 – cirkulär bana;

2) υ1< υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – parabolisk bana; 5) υ > υ2 – hyperbolisk bana;

6) Månens bana

Således fick vi reda på att alla rörelser i solsystemet följer Newtons lag om universell gravitation.

Baserat på den lilla massan av planeterna, och särskilt andra kroppar i solsystemet, kan vi ungefär anta att rörelser i det cirkumsolära rymden följer Keplers lagar.

Alla kroppar rör sig runt solen i elliptiska banor, med solen i ett av fokuserna. Ju närmare en himlakropp är solen, desto snabbare är dess omloppshastighet (planeten Pluto, den mest avlägsna kända, rör sig 6 gånger långsammare än jorden).

Kroppar kan också röra sig i öppna banor: parabel eller hyperbel. Detta händer om kroppens hastighet är lika med eller överstiger värdet av den andra kosmiska hastigheten för solen på ett givet avstånd från den centrala kroppen. Om vi ​​talar om en planets satellit, måste flykthastigheten beräknas i förhållande till planetens massa och avståndet till dess centrum.

En kropps rörelse under påverkan av gravitationen är ett av de centrala ämnena inom dynamisk fysik. Även en vanlig skolelev vet att dynamikdelen bygger på tre. Låt oss försöka analysera detta ämne noggrant, och en artikel som beskriver varje exempel i detalj kommer att hjälpa oss att göra studiet av en kropps rörelse under påverkan av gravitationen så användbar som möjligt.

Lite historia

Människor tittade med nyfikenhet på olika fenomen som inträffade i våra liv. Under lång tid kunde mänskligheten inte förstå principerna och strukturen för många system, men en lång resa med att studera världen omkring oss ledde våra förfäder till en vetenskaplig revolution. Nuförtiden, när tekniken utvecklas i en otrolig hastighet, tänker man knappt på hur vissa mekanismer fungerar.

Under tiden var våra förfäder alltid intresserade av naturliga processers mysterier och världens struktur, letade efter svar på de mest komplexa frågorna och slutade inte studera förrän de hittade svar på dem. Till exempel ställde den berömda vetenskapsmannen Galileo Galilei frågorna redan på 1500-talet: "Varför faller kroppar alltid ner, vilken kraft lockar dem till marken?" 1589 genomförde han en serie experiment, vars resultat visade sig vara mycket värdefulla. Han studerade i detalj mönstren för fritt fall för olika kroppar och släppte föremål från det berömda tornet i staden Pisa. De lagar han härledde förbättrades och beskrevs mer i detalj med formler av en annan berömd engelsk vetenskapsman, Sir Isaac Newton. Det är han som äger de tre lagar som nästan all modern fysik bygger på.

Att de mönster av kroppsrörelser som beskrevs för mer än 500 år sedan är relevanta än idag innebär att vår planet är föremål för oföränderliga lagar. Den moderna människan behöver åtminstone ytligt studera världens grundläggande principer.

Grundläggande och hjälpbegrepp för dynamik

För att till fullo förstå principerna för en sådan rörelse bör du först bli bekant med några begrepp. Så, de mest nödvändiga teoretiska termerna:

• Interaktion är kropparnas påverkan på varandra, under vilken en förändring sker eller början av deras rörelse i förhållande till varandra. Det finns fyra typer av interaktion: elektromagnetisk, svag, stark och gravitation.
• Hastighet är en fysisk storhet som anger hastigheten med vilken en kropp rör sig. Hastighet är en vektor, vilket betyder att den inte bara har ett värde utan också en riktning.
• Acceleration är den kvantitet som visar oss förändringshastigheten i en kropps hastighet över en tidsperiod. Hon är också
• Banans bana är en kurva, och ibland en rak linje, som kroppen konturerar när den rör sig. Med enhetlig rätlinjig rörelse kan banan sammanfalla med förskjutningsvärdet.
• Banan är längden på banan, det vill säga exakt lika mycket som kroppen har färdats under en viss tid.
• En tröghetsreferensram är ett medium där Newtons första lag är uppfylld, det vill säga kroppen behåller sin tröghet, förutsatt att alla yttre krafter är helt frånvarande.

Ovanstående koncept är tillräckligt för att korrekt rita eller föreställa dig i ditt huvud en simulering av en kropps rörelse under påverkan av gravitationen.

Vad betyder styrka?

Låt oss gå vidare till huvudkonceptet för vårt ämne. Så kraft är en kvantitet, vars innebörd är inverkan eller inflytande av en kropp på en annan kvantitativt. Och gravitationen är den kraft som verkar på absolut varje kropp som ligger på ytan eller nära vår planet. Frågan uppstår: var kommer just denna kraft ifrån? Svaret ligger i lagen om universell gravitation.

Vad är gravitation?

Varje kropp från jorden påverkas av gravitationskraften, vilket ger den en viss acceleration. Tyngdkraften har alltid en vertikal riktning nedåt, mot planetens centrum. Tyngdkraften drar med andra ord föremål mot jorden, vilket är anledningen till att föremål alltid faller ner. Det visar sig att gravitationen är ett specialfall av den universella gravitationens kraft. Newton härledde en av huvudformlerna för att hitta attraktionskraften mellan två kroppar. Det ser ut så här: F = G * (m 1 x m 2) / R 2.

Vilken är accelerationen på grund av gravitationen?

En kropp som frigörs från en viss höjd flyger alltid ner under påverkan av gravitationen. En kropps rörelse under inverkan av gravitationen vertikalt upp och ner kan beskrivas med ekvationer, där huvudkonstanten kommer att vara accelerationsvärdet "g". Detta värde beror enbart på tyngdkraften och dess värde är ungefär 9,8 m/s 2 . Det visar sig att en kropp som kastas från en höjd utan en initial hastighet kommer att röra sig ner med en acceleration som är lika med "g"-värdet.

Kroppsrörelse under påverkan av gravitationen: formler för att lösa problem

Grundformeln för att hitta tyngdkraften är följande: F gravitation = m x g, där m är massan av den kropp som kraften verkar på, och "g" är gravitationsaccelerationen (för att förenkla problem brukar det anses lika med 10 m/s 2) .

Det finns flera formler som används för att hitta en eller annan okänd när en kropp rör sig fritt. Så, till exempel, för att beräkna vägen som en kropp färdas, är det nödvändigt att ersätta kända värden i denna formel: S = V 0 x t + a x t 2 / 2 (vägen är lika med summan av produkterna av starthastigheten multiplicerad med tid och acceleration med kvadraten på tid dividerat med 2).

Ekvationer för att beskriva en kropps vertikala rörelse

En kropps vertikala rörelse under påverkan av gravitationen kan beskrivas med en ekvation som ser ut så här: x = x 0 + v 0 x t + a x t 2 / 2. Med hjälp av detta uttryck kan du hitta kroppens koordinater vid en känt ögonblick i tiden. Du behöver bara ersätta de kvantiteter som är kända i problemet: initial plats, initial hastighet (om kroppen inte bara släpptes, utan trycktes med viss kraft) och acceleration, i vårt fall kommer det att vara lika med acceleration g.

På samma sätt kan du hitta hastigheten på en kropp som rör sig under påverkan av gravitationen. Uttrycket för att hitta en okänd storhet vid varje tidpunkt: v = v 0 + g x t (värdet på den initiala hastigheten kan vara lika med noll, då blir hastigheten lika med produkten av tyngdaccelerationen och tidsvärdet under vilken kroppen rör sig).

Kropparnas rörelse under påverkan av gravitationen: problem och metoder för att lösa dem

När du löser många problem relaterade till gravitation rekommenderar vi att du använder följande plan:

1. För att bestämma ett bekvämt tröghetsreferenssystem för dig själv är det vanligtvis vanligt att välja jorden, eftersom den uppfyller många av kraven för ISO.
2. Rita en liten ritning eller bild som visar huvudkrafterna som verkar på kroppen. En kropps rörelse under påverkan av gravitationen involverar en skiss eller diagram som visar i vilken riktning kroppen rör sig när den utsätts för en acceleration lika med g.
3. Riktningen för att projicera krafterna och de resulterande accelerationerna måste sedan väljas.
4. Skriv ner okända kvantiteter och bestäm deras riktning.
5. Slutligen, med hjälp av problemlösningsformlerna ovan, beräkna alla okända kvantiteter genom att ersätta data i ekvationerna för att hitta accelerationen eller tillryggalagd sträcka.

Färdig lösning på en enkel uppgift

När vi talar om ett sådant fenomen som en kropps rörelse under påverkan av vad som är det mest praktiska sättet att lösa ett givet problem, kan det vara svårt. Det finns dock flera knep, med vilka du enkelt kan lösa även den svåraste uppgiften. Så låt oss titta på levande exempel på hur man löser det här eller det problemet. Låt oss börja med ett lättförståeligt problem.

En viss kropp släpptes från en höjd av 20 m utan starthastighet. Bestäm hur lång tid det tar att nå jordens yta.

Lösning: vi känner till den väg som kroppen färdats, vi vet att den initiala hastigheten var lika med 0. Vi kan också fastställa att endast tyngdkraften verkar på kroppen, det visar sig att detta är kroppens rörelse under gravitationens inverkan, och därför bör vi använda denna formel: S = V 0 x t + a x t 2 /2. Eftersom i vårt fall a = g, så får vi efter några transformationer följande ekvation: S = g x t 2 / 2. Nu återstår bara att uttrycka tid genom denna formel, vi finner att t 2 = 2S / g. Låt oss ersätta de kända värdena (vi antar att g = 10 m/s 2) t 2 = 2 x 20 / 10 = 4. Därför är t = 2 s.

Så vårt svar: kroppen kommer att falla till marken på 2 sekunder.

Tricket för att snabbt lösa problemet är som följer: du kan märka att den beskrivna rörelsen av kroppen i ovanstående problem sker i en riktning (vertikalt nedåt). Det är mycket likt likformigt accelererad rörelse, eftersom ingen kraft verkar på kroppen förutom gravitationen (vi försummar kraften i luftmotståndet). Tack vare detta kan du använda en enkel formel för att hitta vägen under likformigt accelererad rörelse, förbi bilder av ritningar med arrangemanget av krafter som verkar på kroppen.

Ett exempel på att lösa ett mer komplext problem

Låt oss nu se hur man bäst löser problem med en kropps rörelse under påverkan av gravitationen, om kroppen inte rör sig vertikalt, men har en mer komplex rörelsekaraktär.

Till exempel följande uppgift. Ett föremål med massan m rör sig med okänd acceleration nedför ett lutande plan vars friktionskoefficient är lika med k. Bestäm värdet på accelerationen som uppstår under rörelsen av en given kropp om lutningsvinkeln α är känd.

Lösning: Du bör använda planen som beskrivs ovan. Först och främst, rita en ritning av ett lutande plan som visar kroppen och alla krafter som verkar på den. Det visar sig att tre komponenter verkar på den: gravitation, friktion och stödets reaktionskraft. Den allmänna ekvationen för de resulterande krafterna ser ut så här: Friktion F + N + mg = ma.

Den huvudsakliga höjdpunkten i problemet är lutningens tillstånd i en vinkel α. När oxe och axel oy är det nödvändigt att ta hänsyn till detta tillstånd, då får vi följande uttryck: mg x sin α - F friktion = ma (för oxaxeln) och N - mg x cos α = F friktion (för oy-axeln).

Friktion F är lätt att beräkna med hjälp av formeln för att hitta friktionskraften, den är lika med k x mg (friktionskoefficient multiplicerad med produkten av kroppsmassa och gravitationsacceleration). Efter alla beräkningar återstår bara att ersätta de hittade värdena i formeln, och du får en förenklad ekvation för att beräkna accelerationen med vilken en kropp rör sig längs ett lutande plan.

Enligt Newtons andra lag är förutsättningen för rörelsens konfiguration, med andra ord förutsättningen för kropparnas acceleration, kraft. Mekanik handlar om krafter av olika fysisk natur. Många mekaniska fenomen och processer bestäms av krafternas inverkan allvar. Den globala gravitationens lag upptäcktes av I. Newton 1682. Redan 1665 föreslog 23-årige Newton att de krafter som håller månen i sin bana är av samma karaktär som de krafter som får ett äpple att falla till jorden. Enligt hans gissning finns det mellan universums alla kroppar attraktionskrafter (gravitationskrafter) riktade längs remsan som förbinder masscentra(Fig. 1.10.1). För en kropp i form av en homogen boll sammanfaller tyngdpunkten med bollens centrum.

Under de följande åren försökte Newton hitta en fysisk förklaring till lagar för planetrörelse, upptäcktes av astrologen I. Kepler i början av 1600-talet, och ger ett kvantitativt uttryck för gravitationskrafter. Newton visste hur planeterna rör sig och ville ta reda på vilka krafter som verkar på dem. Denna väg kallas problem med omvänd mekanik. Om mekanikens huvuduppgift är att bestämma koordinaterna för en kropp med känd massa och dess hastighet vid varje tidpunkt baserat på kända krafter som verkar på kroppen och givna initiala förhållanden ( enkelt mekanikproblem), då när du löser ett omvänt problem måste du hitta krafterna som verkar på kroppen, om det är tydligt hur den rör sig. Lösningen på detta problem ledde Newton till upptäckten av lagen om global gravitation. Alla kroppar attraheras av varandra med en kraft som är direkt proportionell mot deras massor och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem:

Proportionalitetskoefficienten G är likartad för alla kroppar i naturen. Han heter gravitationskonstant

Många fenomen i naturen förklaras av verkan av globala gravitationskrafter. Rörelsen av planeter i solsystemet, rörelsen av jordens konstgjorda satelliter, flyglinjerna för ballistiska missiler, rörelsen av kroppar nära jordens yta - alla dessa fenomen förklaras på grundval av lagen om global gravitation och dynamikens lagar. En av manifestationerna av den globala gravitationskraften är allvar. Detta är det vanliga namnet för kropparnas attraktionskraft mot jorden nära dess yta. Om M är jordens massa, RЗ är dess radie, m är massan av en given kropp, då är tyngdkraften lika med

där g - gravitationsacceleration vid jordens yta:

Tyngdkraften är orienterad mot jordens centrum. I frånvaro av andra krafter faller kroppen fritt till jorden med tyngdaccelerationen. Medelvärdet av tyngdaccelerationen för olika punkter på jordens yta är 9,81 m/s2. Genom att känna till tyngdaccelerationen och jordens radie (RЗ = 6,38·106 m), kan vi beräkna jordens massa M:

När vi rör oss bort från jordens yta ändras tyngdkraften och tyngdaccelerationen bakåt i proportion till kvadraten på avståndet r till jordens centrum. Ris. 1.10.2 illustrerar förändringen i gravitationskraften som verkar på en astronaut i ett rymdskepp när han rör sig bort från jorden. Kraften med vilken astronauten attraheras av jorden nära dess yta antas vara 700 N.

Ett exempel på ett system med två samverkande kroppar är jord-månesystemet. Månen är belägen på ett avstånd från jorden rЛ = 3,84·106 m. Detta avstånd är ungefär 60 gånger större än jordens radie RЗ. Som följer är gravitationsaccelerationen aL, på grund av gravitationen, i månens omloppsbana

Med en sådan acceleration riktad mot jordens centrum rör sig månen i omloppsbana. Som följer är denna acceleration centripetalacceleration. Det kan beräknas med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration (se §1.6):

där T = 27,3 dagar är perioden för månens bana runt jorden. Sammanträffandet av resultaten av beräkningar utförda med olika metoder bekräftar Newtons antagande om den enda karaktären hos den kraft som håller månen i omloppsbana och tyngdkraften. Månens eget gravitationsfält bestämmer gravitationsaccelerationen gL på dess yta. Månens massa är 81 gånger mindre än jordens massa och dess radie är ungefär 3,7 gånger mindre än jordens radie. Därför kommer accelerationen gА att bestämmas av uttrycket:

Astronauterna som landade på månen befann sig i förhållanden med så svag gravitation. En person under sådana förhållanden kan göra enorma hopp. Till exempel, om en person på jorden hoppar till en höjd av 1 m, kan han på månen hoppa till en höjd av mer än 6 m. Låt oss nu överväga frågan om konstgjorda jordsatelliter. Konstgjorda satelliter rör sig utanför jordens atmosfär, och påverkas endast av gravitationskrafter från jorden. Beroende på starthastigheten kan den galaktiska kroppens rörelselinje vara olika (se §1.24). Vi kommer här endast att betrakta fallet med en konstgjord satellit som rör sig radiellt nära jorden bana. Sådana satelliter flyger på höjder av storleksordningen 200-300 km, och avståndet till jordens centrum kan ungefär tas vara lika med dess radie RЗ. Då är centripetalaccelerationen för satelliten som tilldelas den av gravitationskrafter ungefär lika med gravitationsaccelerationen g. Låt oss beteckna satellitens hastighet i låg omloppsbana om jorden som υ1. Denna hastighet kallas första kosmiska hastigheten. Med hjälp av den kinematiska formeln för centripetalacceleration (se §1.6) får vi:

Om satelliten rörde sig med en sådan hastighet skulle satelliten cirkulera runt jorden på en tid. Faktum är att perioden för satellitens bana i en radiell bana nära jordens yta överstiger något det angivna värdet på grund av skillnaden mellan radien för den faktiska omloppsbanan och jordens radie. Satellitens rörelse kan betraktas som fritt fall, liknande rörelsen av projektiler eller ballistiska missiler. Skillnaden ligger enbart i det faktum att satellitens hastighet är så hög att krökningsradien för dess rörelselinje är lika med jordens radie. För satelliter som rör sig längs radiella banor på ett betydande avstånd från jorden, försvagas jordens gravitation bakåt i proportion till kvadraten på radien r för rörelselinjen. Satellithastigheten υ hittas från tillståndet

Således är hastigheten för satelliter i stora banor mindre än i låg omloppsbana om jorden. Anropsperioden T för en sådan satellit är lika med

Här är T1 perioden för satellitens anrop i låg omloppsbana om jorden. Satellitens anropsperiod ökar med ökande omloppsradie. Det är lätt att beräkna att med en omloppsradie r lika med ungefär 6,6RZ kommer satellitanropsperioden att vara lika med 24 timmar. En satellit med en sådan anropsperiod, uppskjuten i ekvatorialplanet, kommer att sväva orörligt över en viss punkt på jordens yta. Sådana satelliter används i kosmiska radiokommunikationssystem. En bana med radien r = 6,6R3 kallas geostationär.

Namn på avsnitt och ämnen		Timmvolym	Mästerskapsnivå
Ämne 3.3. Himlakropparnas rörelse under påverkan av gravitationskrafter.	Lagen om universell gravitation. Störningar i solsystemets kroppars rörelse. Jordens massa och densitet. Bestämning av himlakropparnas massa. Förflyttning av konstgjorda jordsatelliter och rymdfarkoster till planeterna. Beskrivning av egenskaperna hos solsystemkropparnas rörelse under påverkan av gravitationskrafter i banor med olika excentriciteter. Förklaring av orsakerna till tidvatten på jorden och störningar i kroppars rörelse i solsystemet. Förstå särdragen hos rymdfarkosternas rörelser och manövrar för att studera solsystemets kroppar.

3.3.1. Lagen om universell gravitation.

Enligt lagen om universell gravitation, studerade i fysikkursen,

alla kroppar i universum attraheras av varandra med en kraft som är direkt proportionell mot produkten av deras massor och omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet mellan dem:

Var t 1 Och t 2- kroppsmassor;r - avståndet mellan dem;G - gravitationskonstant.

Upptäckten av lagen om universell gravitation underlättades avsevärt av lagarna för planetrörelser som formulerades av Kepler och andra astronomiprestationer på 1600-talet. Kunskapen om avståndet till månen gjorde det alltså möjligt för Isaac Newton (1643-1727) att bevisa identiteten för den kraft som håller fast månen när den rör sig runt jorden och den kraft som får kroppar att falla mot jorden.

När allt kommer omkring, om tyngdkraften varierar i omvänd proportion till kvadraten på avståndet, enligt lagen om universell gravitation, bör Månen, belägen från jorden på ett avstånd av ungefär 60 av dess radier, uppleva en acceleration 3600 gånger mindre än tyngdaccelerationen på jordens yta, lika med 9,8 m/s. Därför bör månens acceleration vara 0,0027 m/s 2 .

Samtidigt har månen, som alla kroppar som rör sig jämnt i en cirkel, en acceleration

Var ω - dess vinkelhastighet,r - radien för dess omloppsbana. Om vi ​​antar att jordens radie är 6400 km, så kommer radien för månbanan att varar= 60 6 400 000 m = 3,84 10 6 m. Siderisk period av månens revolution T= 27,32 dagar, i sekunder är 2,36 10 6 Med. Sedan accelerationen av månens omloppsrörelse

Likheten mellan dessa två accelerationsvärden bevisar att kraften som håller månen i omloppsbana är tyngdkraften, försvagad med 3600 gånger jämfört med den som verkar på jordens yta.

Du kan också vara övertygad om att när planeterna rör sig, i enlighet med Keplers tredje lag, är deras acceleration och solens gravitationskraft omvänt proportionell mot kvadraten på avståndet, vilket följer av lagen om universell gravitation. I själva verket, enligt Keplers tredje lag, förhållandet mellan kuberna i banornas halvstora axlard och kvadrater av cirkulationsperioder T det finns ett konstant värde:

Planetens acceleration är

Av Keplers tredje lag följer

därför är planetens acceleration lika

Så, samverkanskraften mellan planeterna och solen uppfyller lagen om universell gravitation.

3.3.2. Störningar i solsystemets kroppars rörelse.

Keplers lagar är strikt uppfyllda om rörelsen hos två isolerade kroppar (solen och planeten) under påverkan av deras ömsesidiga attraktion beaktas. Men det finns många planeter i solsystemet; de interagerar alla inte bara med solen utan också med varandra. Därför följer rörelsen av planeter och andra kroppar inte precis Keplers lagar. Avvikelser hos kroppar från att röra sig längs ellipser kallas störningar.

Dessa störningar är små, eftersom solens massa är mycket större än massan av inte bara en enskild planet, utan också alla planeter som helhet. De största störningarna i kroppars rörelse i solsystemet orsakas av Jupiter, vars massa är 300 gånger större än jordens massa. Asteroidernas och kometernas avvikelser är särskilt märkbara när de passerar nära Jupiter.

För närvarande beaktas störningar när man beräknar positionen för planeterna, deras satelliter och andra kroppar i solsystemet, såväl som banorna för rymdfarkoster som lanseras för att studera dem. Men redan på 1800-talet. beräkning av störningar gjorde det möjligt att göra en av de mest kända upptäckterna inom vetenskapen "på spetsen av en penna" - upptäckten av planeten Neptunus.

Genomför ytterligare en undersökning av himlen på jakt efter okända föremål, William Herschel 1781 upptäckte han en planet som senare fick namnet Uranus. Efter ungefär ett halvt sekel blev det uppenbart att Uranus observerade rörelse inte överensstämmer med den beräknade, även när man tar hänsyn till störningar från alla kända planeter. Baserat på antagandet om närvaron av en annan "subauranian" planet gjordes beräkningar av dess omloppsbana och position på himlen. Vi löste detta problem självständigtJohn Adams i England och Urbain Le Verrier i Frankrike. Baserat på Le Verriers beräkningar, den tyske astronomen Johann Halle Den 23 september 1846 upptäckte han en tidigare okänd planet i stjärnbilden Vattumannen - Neptunus. Denna upptäckt blev det heliocentriska systemets triumf, den viktigaste bekräftelsen på giltigheten av lagen om universell gravitation. Därefter märktes störningar i Uranus och Neptunus rörelse, vilket blev grunden för antagandet om existensen av en annan planet i solsystemet. Hennes sökning kröntes med framgång först 1930, när, efter att ha sett ett stort antal fotografier av stjärnhimlen, upptäcktes planeten längst bort från solen, Pluto.

3.3.3. Jordens massa och densitet.

Lagen om universell gravitation gjorde det möjligt att bestämma massan på vår planet. Baserat på lagen om universell gravitation kan gravitationsaccelerationen uttryckas på följande sätt:

Låt oss ersätta de kända värdena för dessa kvantiteter i formeln:

g = 9,8 m/s, G = 6,67 10 -11 N m 2 /kg 2, R = 6370 km - och vi finner att jordens massa är M = 6 10 24 kg

Genom att känna till jordklotets massa och volym kan vi beräkna dess genomsnittliga densitet: 5,5 10 3 kg/m 3 . Med djupet, på grund av ökande tryck och halten av tunga element, ökar densiteten.

3.3.4. Bestämning av himlakropparnas massa.

En mer exakt formel för Keplers tredje lag, som erhölls av Newton, gör det möjligt att bestämma en av de viktigaste egenskaperna hos någon himlakropp - massa. Låt oss härleda denna formel, och anta (till en första approximation) att planeternas banor är cirkulära.

Låt två kroppar, som ömsesidigt attraherar och kretsar kring ett gemensamt masscentrum, ha massorm 1 Och m 2 , ligger på avstånd från massans centrumr 1 Och r 2och kretsar kring det med en punkt T. Avstånd mellan deras centraR= r 1 + r 2 . Baserat på lagen om universell gravitation är accelerationen för var och en av dessa kroppar lika med:

Rotationshastigheten runt massans centrum är . Sedan kommer centripetalaccelerationen att uttryckas för varje kropp enligt följande:

Efter att ha likställt de erhållna uttrycken för accelerationer, uttrycka från demr 1 Och r 2 och lägger vi till dem term för term får vi:

var

Eftersom den högra sidan av detta uttryck endast innehåller konstanta kvantiteter, är det giltigt för alla system av två kroppar som interagerar enligt tyngdlagen och kretsar kring ett gemensamt masscentrum - solen och en planet, en planet och en satellit. Låt oss bestämma solens massa, för detta skriver vi uttrycket:

Var M- solens massa;m 1 - jordens massa; t 2- Månens massa;T 1 Ocha 1 - rotationsperioden för jorden runt solen (år) och dess banas halva huvudaxel; T 2 Och en 2- Månens rotationsperiod runt jorden och månbanans halvhuvudaxel.

Om vi ​​försummar jordens massa, som är försumbar jämfört med solens massa, och månens massa, som är 81 gånger mindre än jordens massa, får vi:

Genom att ersätta motsvarande värden i formeln och ta jordens massa till 1 får vi att solen är ungefär 333 000 gånger större i massa än vår planet.

Massorna av planeter som inte har satelliter bestäms av de störningar som de har på rörelsen av asteroider, kometer eller rymdfarkoster som flyger i deras närhet.

3.3.5. Orsaker till tidvatten på jorden

Under påverkan av ömsesidig attraktion av partiklar, tenderar kroppen att ta formen av en boll. Om dessa kroppar roterar deformeras de och komprimeras längs rotationsaxeln.

Dessutom sker en förändring i deras form också under påverkan av ömsesidig attraktion, som orsakas av fenomen som kallas tidvatten Kända på jorden under lång tid, förklarades de endast på grundval av lagen om universell gravitation.

Låt oss betrakta de accelerationer som skapas av månens attraktion vid olika punkter på jordklotet (Fig. 3.13). Eftersom poängen A, B befinner sig på olika avstånd från månen, kommer accelerationerna som skapas av dess gravitation att vara olika.

Skillnaden i acceleration som orsakas av attraktionen av en annan kropp vid en given punkt och i planetens centrum kallas tidvattenacceleration.

Tidvattenaccelerationer vid punkter A Och I riktad från jordens centrum. Som ett resultat sträcks jorden, och i första hand dess vattenskal, i båda riktningarna längs en linje som förbinder jordens centra och månen. På punkter A Och I det är högvatten, och längs en cirkel, vars plan är vinkelrät mot denna linje, inträffar en ebb på jorden. Solens gravitation orsakar också tidvatten, men på grund av dess större avstånd är de mindre än de som orsakas av månen. Tidvatten observeras inte bara i hydrosfären, utan också i atmosfären och litosfären på jorden och andra planeter.

På grund av jordens dagliga rotation tenderar den att släpa med sig tidvattenpuckel, samtidigt som på grund av månens gravitation, som kretsar runt jorden på en månad, bör tidvattenbandet röra sig längs jordens ytan mycket långsammare. Som ett resultat uppstår tidvattenfriktion mellan de enorma massorna av tidvatten och havsbotten. Det saktar ner jordens rotation och orsakar en ökning av dygnets längd, som tidigare var mycket kortare (5-6 timmar). Samtidigt har tidvatten som orsakats av jorden på månen saktat ner dess rotation, och den är nu vänd mot jorden med en sida. Samma långsamma rotation är karakteristisk för många satelliter på Jupiter och andra planeter. De starka tidvatten som solen orsakar på Merkurius och Venus verkar vara orsaken till deras extremt långsamma rotation på deras axel.

3.3.6. Förflyttning av konstgjorda jordsatelliter och rymdfarkoster till planeterna.

Möjligheten att skapa en konstgjord jordsatellit underbyggdes teoretiskt av Newton. Han visade att det finns en sådan horisontellt riktad hastighet med vilken en kropp, som faller till jorden, ändå inte kommer att falla på den, utan kommer att röra sig runt jorden och förbli på samma avstånd från den. Med denna hastighet kommer kroppen att närma sig jorden på grund av dess attraktion lika mycket som den kommer att röra sig bort från den på grund av krökningen av vår planets yta (fig. 3.14). Denna hastighet, som kallas den första kosmiska (eller cirkulära), är känd för dig från en fysikkurs:

Det visade sig vara praktiskt möjligt att skjuta upp en konstgjord jordsatellit bara två och ett halvt sekel efter Newtons upptäckt – 4 oktober 1957. På mer än fyrtio år sedan den dagen, som ofta kallas början på mänsklighetens rymdålder, cirka 4 000 satelliter har sänts upp i många länder runt om i världen olika enheter och ändamål. Orbitalstationer har skapats där besättningar bestående av kosmonauter från olika länder arbetar under lång tid och ersätter varandra. Amerikanska astronauter besökte månen upprepade gånger; automatiska interplanetära stationer utforskade alla planeter i solsystemet, med undantag för den mest avlägsna planeten Pluto.

Rymdfarkoster (SV), som skickas till månen och planeterna, upplever attraktion från solen och rör sig, enligt Keplers lagar, precis som planeterna själva i ellipser. Jordens omloppshastighet är cirka 30 km/s. Om den geometriska summan av rymdfarkostens hastighet, som rapporterades till den vid uppskjutningen, och jordens hastighet är större än detta värde, kommer rymdfarkosten att röra sig i en bana som ligger utanför jordens bana. Om mindre, inuti den. I det första fallet, när den flyger till Mars eller en annan yttre planet, blir energikostnaderna minimala om rymdfarkosten når denna planets omloppsbana på maximalt avstånd från solen - vid aphelion (fig. 3.15). Dessutom är det nödvändigt att beräkna uppskjutningstiden för rymdfarkosten så att planeten i detta ögonblick anländer till samma punkt i sin omloppsbana. Med andra ord måste den initiala hastigheten och uppskjutningsdagen för rymdfarkosten väljas på ett sådant sätt att rymdfarkosten och planeten, som var och en rör sig i sin egen bana, samtidigt närmar sig mötesplatsen. I det andra fallet - för den inre planeten - bör mötet med rymdfarkosten ske vid perihelionen av dess omloppsbana (fig. 3.16). Sådana flygbanor kallas halvelliptisk. De stora axlarna för dessa ellipser passerar genom solen, som är vid en av brännpunkterna, vilket förväntas av Keplers första lag.