Teoria pochodnej. Odczytywanie wykresu pochodnej

B8. Ujednolicony egzamin państwowy

1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie o odciętej x0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0. Odpowiedź: 2

Odpowiedź: -5

W przedziale (–9;4).

Odpowiedź:2

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0 Odpowiedź: 0,5

5. Znajdź punkt styczności prostej y = 3x + 8 i wykres funkcji y = x3+x2-5x-4. W swojej odpowiedzi wskaż odciętą tego punktu. Odpowiedź: -2

Określ liczbę wartości całkowitych argumentu, dla których pochodna funkcji f(x) jest ujemna. Odpowiedź: 4

Odpowiedź: 2

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa lub pokrywa się z prostą y=5–x. Odpowiedź: 3

Przedział (-8; 3).

Linia prosta y = -20. Odpowiedź: 2

10.

Odpowiedź: -0,5

Odpowiedź 1

12. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0. Odpowiedź: 0,5

13. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0. Odpowiedź: -0,25

14.

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa lub pokrywa się z prostą y = x+7. Odpowiedź: 4

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0. Odpowiedź: -2

16.

interwał (-14;9).

Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) na odcinku [-12;7]. Odpowiedź: 3

w przedziale (-10;8).

Znajdź liczbę ekstremów funkcji f(x) na odcinku [-9;7]. Odpowiedź: 4

18. Prosta y = 5x-7 styka się z wykresem funkcji y = 6x2 + bx-1 w punkcie, którego odcięta jest mniejsza niż 0. Znajdź b. Odpowiedź: 17

Odpowiedź:-0,25

Odpowiedź: 6

21. Znajdź styczną do wykresu funkcji y=x2+6x-7, równoległą do prostej y=5x+11. W swojej odpowiedzi wskaż odciętą punktu styczności. Odpowiedź: -0,5

22.

Odpowiedź: 4

23. F „(x) w przedziale (-16;4).

Na odcinku [-11;0] znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji. Odpowiedź: 1

B8 Wykresy funkcji, pochodne funkcji. Badania funkcji . Ujednolicony egzamin państwowy

1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie o odciętej x0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

2. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-6; 5).

W którym punkcie odcinka [-5; -1] f(x) przyjmuje najmniejszą wartość?

3. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji y = f(x), określonej

W przedziale (–9;4).

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa do prostej

y = 2x-17 lub pokrywa się z nim.

4. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0

5. Znajdź punkt styczności prostej y = 3x + 8 i wykres funkcji y = x3+x2-5x-4. W swojej odpowiedzi wskaż odciętą tego punktu.

6. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x), określonej na przedziale (-7; 5).

Określ liczbę wartości całkowitych argumentu, dla których pochodna funkcji f(x) jest ujemna.

7. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f "(x), określonej na przedziale (-8; 8).

Znajdź liczbę ekstremów funkcji f(x) należących do odcinka [-4; 6].

8. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f „(x), określonej na przedziale (-8; 4).

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa lub pokrywa się z prostą y=5–x.

9. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji y = f(x), określonej na

Przedział (-8; 3).

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa

Linia prosta y = -20.

10. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

11 . Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-9;9).

Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji $f(x)$ na odcinku [-6;8]. 1

12. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

13. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

14. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-6;8).

Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f(x) jest równoległa lub pokrywa się z prostą y = x+7.

15 . Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

16. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na

interwał (-14;9).

Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) na odcinku [-12;7].

17 . Rysunek przedstawia wykres zdefiniowanej pochodnej funkcji f(x).

w przedziale (-10;8).

Znajdź liczbę ekstremów funkcji f(x) na odcinku [-9;7].

18. Prosta y = 5x-7 styka się z wykresem funkcji y = 6x2 + bx-1 w punkcie, którego odcięta jest mniejsza niż 0. Znajdź b.

19 . Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) i stycznej do niej w punkcie z odciętą x0.

Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x0.

20 . Znajdź liczbę punktów na przedziale (-1;12), w których pochodna funkcji y = f(x) pokazana na wykresie jest równa 0.

21. Znajdź styczną do wykresu funkcji y=x2+6x-7, równoległą do prostej y=5x+11. W swojej odpowiedzi wskaż odciętą punktu styczności.

22. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x). Znajdź liczbę punktów całkowitych w przedziale (-2;11), w którym pochodna funkcji f(x) jest dodatnia.

23. Rysunek przedstawia wykres funkcji y= F „(x) w przedziale (-16;4).

Na odcinku [-11;0] znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji.

Cześć! Zdajmy się na nadchodzący Egzamin Państwowy Jednolity wysokiej jakości, systematycznym przygotowaniem i wytrwałością w szlifowaniu granitu nauki!!! WNa końcu postu znajduje się zadanie konkursowe, bądź pierwszy! W jednym z artykułów w tym dziale ty i ja, w którym podano wykres funkcji i poruszono różne pytania dotyczące ekstremów, przedziałów wzrostu (spadku) i innych.

W tym artykule rozważymy problemy zawarte w Unified State Examination z matematyki, w którym podany jest wykres pochodnej funkcji i stawione są następujące pytania:

1. W którym punkcie danego odcinka funkcja przyjmuje największą (lub najmniejszą) wartość.
2. Znajdź liczbę punktów maksymalnych (lub minimalnych) funkcji należących do danego odcinka.
3. Znajdź liczbę ekstremów funkcji należących do danego odcinka.
4. Znajdź ekstremum funkcji należącej do danego odcinka.
5. Znajdź przedziały funkcji rosnącej (lub malejącej) i w odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.
6. Znajdź przedziały wzrostu (lub spadku) funkcji. W swojej odpowiedzi wskaż długość największego z tych przedziałów.
7. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą postaci y = kx + b.
8. Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętych lub z nią pokrywa się.

Mogą pojawić się inne pytania, ale nie sprawią one żadnych trudności, jeśli zrozumiesz i (podane są linki do artykułów zawierających informacje niezbędne do rozwiązania, polecam je powtórzyć).

Podstawowe informacje (w skrócie):

1. Pochodna w rosnących odstępach ma znak dodatni.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.

2. W malejących odstępach pochodna ma znak ujemny.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.

3. Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.

4. W punktach ekstremum (maksimum-minimum) funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi x.

Należy to jasno zrozumieć i zapamiętać!!!

Wykres pochodnej „dezorientuje” wiele osób. Niektórzy nieumyślnie mylą go z wykresem samej funkcji. Dlatego w takich budynkach, gdzie widzisz, że dany jest wykres, od razu skup swoją uwagę w warunku na tym, co jest dane: wykresie funkcji czy wykresie pochodnej funkcji?

Jeśli jest to wykres pochodnej funkcji, to potraktuj go jako „odbicie” samej funkcji, co po prostu daje informację o tej funkcji.

Rozważ zadanie:

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–2;21).

Odpowiemy na następujące pytania:

1. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X) przyjmuje największą wartość.

Na danym przedziale pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że funkcja na tym przedziale maleje (maleje od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem największą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie 7.

Odpowiedź: 7

2. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X)

Z tego wykresu pochodnego możemy powiedzieć, co następuje. Na danym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, co oznacza, że funkcja na tym przedziale rośnie (rośnie od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie x = 3.

Odpowiedź: 3

3. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X)

Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Zastanówmy się, gdzie znak zmienia się w ten sposób.

W segmencie (3;6) pochodna jest dodatnia, w segmencie (6;16) ujemna.

W segmencie (16;18) pochodna jest dodatnia, w segmencie (18;20) ujemna.

Zatem na danym odcinku funkcja ma dwa maksymalne punkty x = 6 i x = 18.

Odpowiedź: 2

4. Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu.

Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. Nasza pochodna jest ujemna w przedziale (0;3) i dodatnia w przedziale (3;4).

Zatem na odcinku funkcja ma tylko jeden punkt minimalny x = 3.

*Bądź ostrożny podczas zapisywania odpowiedzi - zapisywana jest liczba punktów, a nie wartość x; taki błąd może zostać popełniony przez nieuwagę.

Odpowiedź 1

5. Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu.

Zanotuj, co musisz znaleźć ilość punkty ekstremalne (są to zarówno punkty maksymalne, jak i minimalne).

Punkty ekstremalne odpowiadają punktom, w których zmienia się znak pochodnej (z dodatniej na ujemną i odwrotnie). Na wykresie podanym w warunku są to zera funkcji. Pochodna znika w punktach 3, 6, 16, 18.

Zatem funkcja ma 4 ekstrema na odcinku.

Odpowiedź: 4

6. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały wzrostu tej funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których jego pochodna jest dodatnia, to znaczy przedziałom (3;6) i (16;18). Należy zwrócić uwagę, że nie są w nim zawarte granice przedziału (nawiasy okrągłe – granice nie są wliczane do przedziału, nawiasy kwadratowe – uwzględnione). Przedziały te zawierają punkty całkowite 4, 5, 17. Ich suma wynosi: 4 + 5 + 17 = 26

Odpowiedź: 26

7. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X) w danym odstępie czasu. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. W tym zadaniu są to przedziały (–2;3), (6;16), (18:21).

Przedziały te zawierają następujące punkty całkowite: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich suma wynosi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpowiedź: 140

*Zwróć uwagę na warunek: czy granice mieszczą się w przedziale, czy nie. Jeżeli uwzględnione są granice, to w przedziałach uwzględnianych w procesie rozwiązywania należy je również uwzględnić.

8. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały funkcji rosnącej F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest dodatnia. Już je wskazaliśmy: (3;6) i (16:18). Największym z nich jest przedział (3;6), jego długość wynosi 3.

Odpowiedź: 3

9. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. Już je wskazaliśmy; są to przedziały (–2;3), (6;16), (18;21), ich długości wynoszą odpowiednio 5, 10, 3.

Długość największego wynosi 10.

Odpowiedź: 10

10. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F(X) równolegle lub pokrywa się z linią prostą y = 2x + 3.

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do prostej y = 2x + 3 lub pokrywa się z nią, ich współczynniki kątowe wynoszą 2. Oznacza to, że należy znaleźć liczbę punktów, w których y′(x 0) = 2. Geometrycznie odpowiada to liczbie punktów przecięcia wykresu pochodnej z prostą y = 2. Na tym przedziale znajdują się 4 takie punkty.

Odpowiedź: 4

11. Znajdź ekstremum funkcji F(X), należący do segmentu.

Ekstremum funkcji to punkt, w którym jej pochodna jest równa zeru i w pobliżu tego punktu pochodna zmienia znak (z dodatniego na ujemny i odwrotnie). Na odcinku wykres pochodnej przecina oś x, pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Dlatego punkt x = 3 jest punktem ekstremalnym.

Odpowiedź: 3

12. Znajdź odciętą punktów, w których styczne do wykresu y = f (x) są równoległe do osi odciętych lub z nią pokrywają się. W swojej odpowiedzi wskaż największy z nich.

Styczna do wykresu y = f (x) może być równoległa do osi odciętej lub pokrywać się z nią tylko w punktach, w których pochodna jest równa zeru (mogą to być punkty ekstremalne lub punkty stacjonarne, w pobliżu których pochodna nie nie zmieniać znaku). Ten wykres pokazuje, że pochodna wynosi zero w punktach 3, 6, 16,18. Największy ma 18.

Możesz uporządkować swoje rozumowanie w następujący sposób:

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do osi x lub pokrywa się z nią, jej nachylenie wynosi 0 (w rzeczywistości tangens kąta zerowego stopni wynosi zero). Dlatego szukamy punktu, w którym nachylenie jest równe zero, a zatem pochodna jest równa zero. Pochodna jest równa zeru w punkcie przecięcia jej wykresu z osią x i są to punkty 3, 6, 16,18.

Odpowiedź: 18

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–8;4). W którym punkcie odcinka [–7;–3] znajduje się funkcja F(X) przyjmuje najmniejszą wartość.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X), należący do segmentu [–6;9].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–18;6). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu [–13;1].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11; –11). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu [–10; -10].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;4). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–5;7). Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11;3). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

F Rysunek przedstawia wykres

Warunki problemu są takie same (co rozważaliśmy). Znajdź sumę trzech liczb:

1. Suma kwadratów ekstremów funkcji f (x).

2. Różnica między kwadratami sumy punktów maksymalnych i sumą punktów minimalnych funkcji f (x).

3. Liczba stycznych do f (x) równoległych do prostej y = –3x + 5.

Osoba, która jako pierwsza udzieli prawidłowej odpowiedzi, otrzyma nagrodę motywacyjną w wysokości 150 rubli. Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach. Jeżeli jest to Twój pierwszy komentarz na blogu, nie pojawi się on od razu, ale nieco później (nie martw się, odnotowywana jest godzina dodania komentarza).

Powodzenia!

Pozdrawiam, Alexander Krutitsikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [–5; 6]. Znajdź liczbę punktów na wykresie f(x), w każdym z których tangens narysowana na wykresie funkcji pokrywa się lub jest równoległa do osi x

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji różniczkowalnej y = f(x).

Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji należących do odcinka [–7; 7], w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do prostej określonej równaniem y = –3x.

Punkt materialny M rozpoczyna ruch od punktu A i porusza się po linii prostej przez 12 sekund. Wykres pokazuje, jak zmieniała się odległość od punktu A do punktu M w czasie. Oś odciętych pokazuje czas t w sekundach, a oś rzędnych odległość s w metrach. Określ, ile razy podczas ruchu prędkość punktu M spadła do zera (nie uwzględniaj początku i końca ruchu).

Rysunek przedstawia przekroje wykresu funkcji y=f(x) oraz styczną do niej w punkcie z odciętą x = 0. Wiadomo, że styczna ta jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty wykresu z odciętą x = -2 i x = 3. Korzystając z tego, znajdź wartość pochodnej f"(o).

Rysunek przedstawia wykres y = f’(x) – pochodnej funkcji f(x), określonej na odcinku (−11; 2). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y = f(x) jest równoległa lub pokrywa się z odciętą.

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach, mierzone od początku ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość była równa 2 m/s?

Punkt materialny przemieszcza się po linii prostej od pozycji początkowej do końcowej. Rysunek przedstawia wykres jego ruchu. Oś odciętych pokazuje czas w sekundach, a oś rzędnych odległość od początkowego położenia punktu (w metrach). Znajdź średnią prędkość punktu. Podaj odpowiedź w metrach na sekundę.

Funkcja y = f (x) jest zdefiniowana na przedziale [-4; 4]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y = f (x), której styczna tworzy kąt 45° z dodatnim kierunkiem osi Ox.

Funkcja y = f (x) jest zdefiniowana na przedziale [-2; 4]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź odciętą punktu na wykresie funkcji y = f (x), w którym przyjmuje ona najmniejszą wartość na odcinku [-2; -0,001].

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Tangens jest określony równaniem y = -2x + 15. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = -(1/4)f(x) + 5 w punkcie x0.

Na wykresie funkcji różniczkowalnej y = f (x) zaznaczono siedem punktów: x1,.., x7. Znajdź wszystkie zaznaczone punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest większa od zera. W swojej odpowiedzi podaj liczbę tych punktów.

Rysunek przedstawia wykres y = f"(x) pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-10; 2). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji f (x) jest równoległe do prostej y = -2x-11 lub pokrywa się z nią.

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x). Na osi odciętych zaznaczono dziewięć punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7, x8, x9.
Ile z tych punktów należy do przedziałów malejącej funkcji f(x)?

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Tangens jest określony równaniem y = 1,5x + 3,5. Znajdź wartość pochodnej funkcji y = 2f(x) - 1 w punkcie x0.

Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Na wykresie zaznaczono sześć punktów za pomocą odciętych x1, x2, ..., x6. W ilu z tych punktów funkcja y=f(x) przyjmuje wartości ujemne?

Na rysunku przedstawiono wykres samochodu poruszającego się po trasie. Oś odciętych pokazuje czas (w godzinach), a oś rzędnych pokazuje przebytą odległość (w kilometrach). Znajdź średnią prędkość samochodu na tej trasie. Podaj odpowiedź w km/h

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, gdzie x to odległość od punktu odniesienia (w metrach), t to czas ruchu (w sekundach). Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=6 s

Rysunek przedstawia wykres funkcji pierwotnej y = F(x) pewnej funkcji y = f(x), określonej na przedziale (-6; 7). Korzystając z rysunku, określ liczbę zer funkcji f(x) w tym przedziale.

Rysunek przedstawia wykres y = F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-7; 5). Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x) = 0 na przedziale [- 5; 2].

Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x). Na osi x zaznaczono dziewięć punktów: x1, x2,...x9. Znajdź wszystkie zaznaczone punkty, w których pochodna funkcji f(x) jest ujemna. W swojej odpowiedzi podaj liczbę tych punktów.

Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem x(t)=12t^3−3t^2+2t, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach liczony od początku ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=6 s.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie x0. Równanie styczne pokazano na rysunku. znajdź wartość pochodnej funkcji y=4*f(x)-3 w punkcie x0.

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, to linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości; w życiu używamy poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Rzeczywiście, na różnych odcinkach drogi, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, podniesiemy się lub opadniemy o różną liczbę metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi y).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana jako przedrostek w matematyce, oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy będzie niższy od punktu początkowego, będzie on ujemny – oznacza to, że nie wznosimy się, a opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość, która pokazuje, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. W celu bardziej odpowiedniej i dokładnej oceny stromości konieczne jest uwzględnienie mniejszych obszarów. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu wyprzedzić. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwym życiu mierzenie odległości z dokładnością do milimetra jest więcej niż wystarczające. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. A nieskończoność jest jeszcze większa niż to, co się dzieje. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie znaczy równy zeru. Jeśli podzielisz przez siebie nieskończenie małe liczby, możesz otrzymać zupełnie zwyczajną liczbę, na przykład . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony, jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodna funkcji jest stosunkiem do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zeru? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest takie ułożenie końców odcinka po przeciwnych stronach wierzchołka, aby wysokość na końcach okazała się taka sama, czyli odcinek był równoległy do osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego muszą istnieć wartości pomiędzy wartościami ujemnymi i dodatnimi. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różnych punktach z tym samym przyrostem argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek zakresie: .

Najprostszy przypadek ma miejsce, gdy wykładnik wynosi:

Znajdźmy jego pochodną w punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Rozważmy teraz funkcję kwadratową (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić dla funkcji potęgowej z dowolnym wykładnikiem, a nie nawet liczbą całkowitą:

(2)

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

(na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód zdobędziesz na pierwszym roku studiów (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać ujednolicony egzamin państwowy). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliższa jest temu funkcja.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniejsza, tym bliższa jest wartość stosunku do.

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Otrzymujemy więc następującą regułę: pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

Wykładnik i logarytm naturalny.

Istnieje w matematyce funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji - stałą - jest nieskończony ułamek dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się na egzaminie Unified State Exam, ale ich znajomość nie będzie zbędna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy otrzymaną liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnosimy kwadrat, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

No cóż, temat się skończył. Jeśli czytasz te słowa, oznacza to, że jesteś bardzo fajny.

Bo tylko 5% ludzi jest w stanie samodzielnie coś opanować. A jeśli przeczytasz do końca, to jesteś w tych 5%!

Teraz najważniejsza rzecz.

Zrozumiełeś teorię na ten temat. I powtarzam, to... to jest po prostu super! Już jesteś lepszy od zdecydowanej większości Twoich rówieśników.

Problem w tym, że to może nie wystarczyć...

Po co?

Za pomyślne zdanie egzaminu Unified State Exam, za rozpoczęcie studiów z ograniczonym budżetem i, CO NAJWAŻNIEJSZE, za całe życie.

Nie będę Cię do niczego przekonywać, powiem tylko jedno...

Ludzie, którzy otrzymali dobre wykształcenie, zarabiają znacznie więcej niż ci, którzy go nie otrzymali. To jest statystyka.

Ale to nie jest najważniejsze.

Najważniejsze, że są BARDZIEJ SZCZĘŚLIWI (są takie badania). Być może dlatego, że otwiera się przed nimi o wiele więcej możliwości i życie staje się jaśniejsze? nie wiem...

Ale pomyśl samodzielnie...

Czego potrzeba, aby na egzaminie Unified State Exam wypaść lepiej od innych i ostatecznie… być szczęśliwszym?

Zdobądź rękę, rozwiązując problemy z tego tematu.

Podczas egzaminu nie będziesz proszony o zadawanie teorii.

Będziesz potrzebować rozwiązywać problemy na czas.

A jeśli ich nie rozwiązałeś (DUŻO!), na pewno popełnisz gdzieś głupi błąd lub po prostu nie będziesz miał czasu.

To jak w sporcie – trzeba to powtarzać wiele razy, żeby na pewno wygrać.

Znajdź kolekcję gdziekolwiek chcesz, koniecznie z rozwiązaniami, szczegółową analizą i decyduj, decyduj, decyduj!

Możesz skorzystać z naszych zadań (opcjonalnie) i oczywiście je polecamy.

Aby lepiej radzić sobie z naszymi zadaniami, musisz pomóc przedłużyć żywotność podręcznika YouClever, który aktualnie czytasz.

Jak? Istnieją dwie opcje:

Odblokuj wszystkie ukryte zadania w tym artykule -
Odblokuj dostęp do wszystkich ukrytych zadań we wszystkich 99 artykułach podręcznika - Kup podręcznik - 499 RUR

Tak, w naszym podręczniku mamy 99 takich artykułów i dostęp do wszystkich zadań oraz wszystkich ukrytych w nich tekstów można od razu otworzyć.

Dostęp do wszystkich ukrytych zadań jest zapewniony przez CAŁĄ żywotność witryny.

Podsumowując...

Jeśli nie podobają Ci się nasze zadania, znajdź inne. Tylko nie poprzestawaj na teorii.

„Rozumiem” i „Umiem rozwiązać” to zupełnie różne umiejętności. Potrzebujesz obu.

Znajdź problemy i rozwiąż je!

(ryc. 1)

Rysunek 1. Wykres pochodnej

Właściwości grafu pochodnego

W rosnących odstępach pochodna jest dodatnia. Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.
W malejących odstępach pochodna jest ujemna (ze znakiem minus). Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.
Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.
W maksymalnych i minimalnych punktach funkcji pochodna wynosi zero. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi OX.

Przykład 1

Korzystając z wykresu (rys. 2) pochodnej określ, w którym punkcie odcinka [-3; 5] jest maksymalna.

Rysunek 2. Wykres pochodnej

Rozwiązanie: Na tym odcinku pochodna jest ujemna, co oznacza, że funkcja maleje od lewej do prawej, a największa wartość znajduje się po lewej stronie w punkcie -3.

Przykład 2

Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej, wyznacz liczbę maksymalnych punktów na odcinku [-11; 3].

Rysunek 3. Wykres pochodnej

Rozwiązanie: Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Na tym przedziale funkcja dwukrotnie zmienia znak z plusa na minus – w punkcie -10 i w punkcie -1. Oznacza to, że maksymalna liczba punktów wynosi dwa.

Przykład 3

Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej, wyznacz liczbę minimalnych punktów w odcinku [-11; -1].

Rozwiązanie: Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. W tym segmencie taki punkt wynosi tylko -7. Oznacza to, że minimalna liczba punktów na danym odcinku wynosi jeden.

Przykład 4

Korzystając z wykresu (rys. 3) pochodnej wyznacz liczbę punktów ekstremalnych.

Rozwiązanie: Punkty skrajne to zarówno punkty minimalne, jak i maksymalne. Znajdźmy liczbę punktów, w których pochodna zmienia znak.